人教版初中数学八年级下册19.2.3

人教版七年级数学下册2020-2021年第十九章19.2.3一次函数与方程、不等式同步习题练 一、单选题1．已知一次函数y ＝ax +a +2的图象与y 轴的正半轴相交，且y 随x 的增大而减小，则a 的值可以是（ ） A ．14B ．﹣1C ．﹣2D ．122．已知一次函数y kx b =+（k b 、为常数，且0k ≠），x y 、的部分对应值如下表：x … 2-1-0 1 … y…2-4- 6-…当0y >时，x 的取值范围是（ ） A ．4x <-B ．4x >-C ．2x >-D ．2x <-3．如图，函数y =ax +4和y =bx 的图象相交于点A ，则不等式bx ≥ax +4的解集为（ ）A ．x ≥2B ．x ≤2C ．x ＜2D ．x ＞24．如图，已知一次函数y ＝x +1和一次函数y ＝ax +3图象交于点P ，点P 的横坐标为1，那么方程y ＝x +1和方程y ＝ax +3的公共解为（ ）A ．13x y =⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．23x y =⎧⎨=⎩D ．21x y =⎧⎨=⎩5．如图，直线1:12AB y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，点B ，直线:CD y x b =+分别与x 轴，y 轴交于点C ，点D ．直线AB 与CD 相交于点P ，已知4ABD S ∆=，则点P 的坐标是（ ）A ．5(3,)2B ．(8,5)C ．(4,3)D ．1(2，5)46．如图，直线y x m =-+与4y nx n =+的交点的横坐标为2-，则关于x 的不等式40nx n x m +>-+>的整数解可能是（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．17．如图，直线y kx b =+与y mx n =+分别交x 轴于点(1,0),(4,0)A B -，则不等式()()0kx b mx n ++<的解集为（ ）A ．2x >B ．04x <<C ．14x -<<D ．1x <-或4x >8．已知直线()110y kx k =+<与直线()20y mx m =>的交点坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，则关于x 的不等式1kx mx <的解集为（ ） A ．12x >B ．12x <C ．32x >D ．32x <9．如图所示，函数1y x =和21433y x =+的图像相交于()1,1-，()2,2两点，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．1x <-B ．12x -<<C ．1x <-或2x >D ．2x >10．如图所示，在平面直角坐标系中，直线124y x =+分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，以线段OB 为一条边向右侧作矩形OCDB ，且点D 在直线2y x b =-+上，若矩形OCDB 的面积为20，直线124y x =+与直线2y x b =-+交于点P ．则P 的坐标为（ ）A ．522,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．1731,33⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()2,8 D ．()4,1211．如图，直线1y x b =+与21y kx =-相交于点P ，点P 的横坐标为1-，则关于x 的不等式1x b kx +>-的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D12．已知一次函数y 1＝kx+1（k ＜0）的图象与正比例函数y 2＝mx （m ＞0）的图象交于点（12，12m ），则不等式组113kx mx kx mx +<⎧⎨+>-⎩的解集为（ ）A ．122x << B ．1322x << C ．12x >D ．0＜x ＜2二、填空题13．已知一次函数y＝ax＋b（a、b是常数），x与y的部分对应值如下表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4不等式ax＋b＞0的解集是_____．14．一次函数y=﹣3x+b和y=kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式kx+1≥﹣3x+b的解集是_______．15．已知一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＜0；④关于x的方程kx＋b＝x＋a的解为x＝3；⑤x＞3时，y1＜y2，其中正确的结论是_____．（只填序号）16．如果方程组1(21)4y xy k x=+⎧⎨=-+⎩无解，那么直线(23) 1y k x=---不经过第_________象限．17．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝ax+b （a 、b 为常数且a≠0）和直线l 2：y ＝mx+n （m 、n 为常数且m≠0）相交于点A ，若点A 的坐标是(4，5)，则关于x 、y 的二元一次方程组y ax by mx n=+⎧⎨=+⎩的解为_____．三、解答题18．请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数y ＝∣2x －1∣的图像和性质，并解决问题．（1）根据函数表达式，填空m ＝ ，n ＝ ； x … －2 －1 0 121 2 3 … y…5m1n35…（2）利用（1）中表格画出函数y ＝∣2x －1∣的图像． （3）观察图像，当x 时，y 随x 的增大而减小； （4）利用图像，直接写出不等式∣2x －1∣＜x ＋1的解集．19．已知直线y kx b =+经过点()2,0A -，且平行于直线2y x =-（1）求该函数的关系式；（2）如果直线y kx b =+经过点()3,P m -，求m 的值； （3）求经过P 点的直线13y x n =+与直线y kx b =+和y 轴所围成的三角形的面积． 20．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:5l y kx =+与y 轴交于点A ．直线2:1l y x =-+与直线1l 交于点B ，与y 轴交于点C ． （1）当点B 的纵坐标为2时， ①写出点B 的坐标及k 的值；②求直线1l ，2l 与y 轴所围成的图形的面积；（2）当点B 的横坐标B x 满足31B x --时，求实数k 的取值范围．21．如图，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1，b )． （1）求b 的值；（2）不解关于x，y的方程组1y xy mx n=+⎧⎨=+⎩，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．（4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－12x＋32与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．参考答案1．B解：∵一次函数y ＝ax +a +2，y 随x 的增大而减小， ∴a <0，又∵一次函数y ＝ax +a +2的图象与y 轴的正半轴相交， ∴a +2>0， ∴a >-2， ∴-2<a <0， 则a 的值可以是-1． 2．D解： 根据表可以知道函数值y 随x 的增大而减小，当x ＝−2时，y ＝0， ∴y ＞0时，x 的取值范围是x ＜−2． 故选D ． 3．A解：根据函数图象，当x ≥2时，bx ≥ax +4． 故选：A ． 4．B解：把x ＝1时，代入y ＝x +1，得出y ＝2，即两直线的交点坐标P 为（1，2），即x ＝1，y ＝2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x ，y 的方程组13y x y ax =+⎧⎨=+⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩ 故选B ． 5．B解：∵直线AB ：y =12x +1分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ， 令0x =，则1y =；令0y =，则2x =-， ∴点A 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（0，1）， ∴OA =2，OB =1， ∵S △ABD =12BD •OA =12×BD ×2=4， ∴BD =4，∴OD =BD -OB =4-1=3， ∴点D 的坐标为（0，-3）， ∵点D 在直线y =x +b 上， ∴b =-3，∴直线CD 的解析式为：y =x -3， ∵直线AB 与CD 相交于点P ，联立可得：1123y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩， 解得85x y =⎧⎨=⎩，即P 的坐标是(8,5)． 故选：B ． 6．A解：∵直线y ＝−x ＋m 与y ＝nx ＋4n 的交点的横坐标为−2， ∴关于x 的不等式nx ＋4n ＞−x ＋m 的解集为x ＞−2， ∵−x ＋m ＞0 ∴由图象可知，x ＜m 又∵−2＜m ＜0， ∴−2＜x ＜0， ∴整数解可能是−1． 故选：A ． 7．D解： ∵直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝mx ＋n 分别交x 轴于点A （−1，0），B （4，0）， ∴1x <-或4x >时，0kx b +<且0mx n +>或者0kx b +>且0mx n +<， ∴不等式()()0kx b mx n ++<的解集为：1x <-或4x >． 故选：D ．8．A 解：∵k ＜0，∴11y kx =+中1y 随x 的增大而减小， ∵m ＞0，∴2y mx =中2y 随x 的增大而增大， ∵两直线交点坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴当x ＞12时，2y mx =的图像在11y kx =+上方， ∴不等式1kx mx <的解集为为x ＞12，故选A ． 9．C解：∵当x≥0时，y 1＝x ；当x ＜0时，y 1＝−x ， 两直线的交点为（2，2），（−1，1）， ∴由图象可知：当y 1＞y 2时x 的取值范围为：x ＜−1或x ＞2． 故选C ． 10．A∵直线y 1=2x +4分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴B (0，4)， ∴OB =4，∵矩形OCDB 的面积为20， ∴OB •OC =20， ∴OC =5， ∴D (5，4)，∵D 在直线y 2=﹣x +b 上， ∴4=﹣5+b ， ∴b =9，∴直线y 2=﹣x +9，解924y x y x =-+⎧⎨=+⎩，得53223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴P (53，223)， 故选：A ．11．A解：当x ＞-1时，x +b ＞kx -1，即不等式x +b ＞kx -1的解集为x ＞-1．故选：A ．12．A解：∵一次函数11y kx =+（k ＜0）的图象过点11,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴11122m k =+， ∴m ＝k+2， ∴不等式组113kx mx kx mx +⎧⎨+-⎩＜＞，即为()()12123kx k x kx k x ⎧++⎪⎨++-⎪⎩＜＞， 解得12＜x ＜2． 故选：A ．13．x ＜1解：由图表可得：当x ＝1时，y ＝0，∴方程ax +b ＝0的解是x ＝1，y 随x 的增大而减小，∴不等式ax +b ＞0的解是：x ＜1，故答案为：x ＜1．14．x≥3如图由图知当x ≥3时，一次函数y=kx+1的图象在y=﹣3x+b 上方，所以kx+1≥﹣3x+b 的解集是x ≥3 ．故答案为：x ≥3 ．15．①④⑤解：∵一次函数y 1=kx +b 的图象经过一、二、四象限，∴k ＜0，b ＞0，故①正确，③错误；∵一次函数y 2=x +a 的图象经过一、三、四象限，∴a ＜0，故②错误；∵一次函数y 1=kx +b 与y 2=x +a 的交点的横坐标为3，∴关于x 的方程kx +b =x +a 的解为x =3，故④正确；由图象可知，当x ＞3时，y 1＜y 2，故⑤正确；故正确的结论是①④⑤．故答案为：①④⑤．16．二解：∵1(21)4y x y k x =+⎧⎨=-+⎩无解， ∴函数1y x =+和(21)4y k x =-+无交点（即平行），∴211k -=，解得1k =，∴1y x =-，k >0，b <0，经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为：二．17．45 xy=⎧⎨=⎩解：由题意及图像可得：关于x、y的二元一次方程组y ax by mx n=+⎧⎨=+⎩的解为直线l1与直线l2的交点坐标，即45xy=⎧⎨=⎩；故答案为45 xy=⎧⎨=⎩．18．（1）∵函数y＝∣2x－1∣，∴当x＝﹣1时，m＝y＝3,当x＝1时，n＝y＝1，故答案为：3，1；（2）函数图象如图所示；（3）由题（2）图象所示，当x＜12时，y随x的增大而减小；（4）如图所示，先画出y=x＋1的图象，不等式∣2x－1∣＜x＋1的解集即为函数y=x＋1在函数y＝∣2x－1∣的图像上方部分，此时x的取值范围为：0＜x＜219．解：∵y kx b =+与2y x =-平行，∴2k =-，∴2y x b =-+．∵过点(2,0)A -∴()022b =-⨯-+，∴4b =-，∴该函数的关系式：24y x =--．（2）∵24y x =--经过点(3,)P m -∴()234m =-⨯--，∴2m =；（3）令直线24y x =--中0x =时，则4y =-，∴直线24y x =--与y 轴的交点是(0,4)-． 令直线13y x n =+中2y =，3x =-，可得：12(3)3n =⨯-+， ∴3n =，∴直线13y x n =+表达式为直线133y x =+∴直线13y x n =+与y 轴的交点坐标为(0,3)， ∴所围成的三角形的面积1217322=⨯⨯=． 20．解：（1）①直线2:1l y x =-+过点B ，点B 的纵坐标为2，12x ∴-+=，解得1x =-，∴点B 的坐标为(1,2)-．直线1:5l y kx =+过点B ，25k ∴=-+，解得3k =；②3k =，∴直线1l 的解析式为：35y x =+，(0,5)A ∴．直线2l 的解析式为：1y x =-+，(0,1)C ∴．514AC ∴=-=，又点B 的坐标为(1,2)-∴直线1l ，2l 与y 轴所围成的图形的面积14122ABC S ∆=⨯⨯=；（2）解方程组51y kx y x =+⎧⎨=-+⎩， 两直线相交，不平行，则1,k ≠-∴ 4151x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，∴点B 的坐标为4(1k -+，5)1k k ++． 点B 的横坐标B x 满足31B x --，∴当3B x =-时，431k -=-+，解得13k =， 经检验：13k =符合题意， 当1B x =-时，411k -=-+，解得3k =， 经检验：3k =符合题意，∴实数k 的取值范围是133k ． 21． 解：（1）把P (1，b )代入y ＝x ＋1中得b ＝2．（2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点P 的坐标，即解为：12x y =⎧⎨=⎩ （3）∵l 2：y ＝mx ＋n 经过P (1，2)，∴m ＋n ＝2，把P (1，2)代入y ＝nx ＋m ，得m ＋n ＝2，故y ＝nx ＋m 也经过P 点．（4）x +1≥mx +n 的解集可理解为直线l 1：y ＝x ＋1的图像在直线l 2：y ＝mx ＋n 的图像上方部分，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1，2)观察图像可得：x ≥1． 22．（1）∵直线y ＝－12x ＋32与y ＝x 相交于点A ， ∴联立得1322y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩， ∴点A （1，1），∵直线y ＝－12x ＋32与x 轴交于点B ，∴令y＝0，得－12x＋32＝0，解得x＝3，∴B（3，0），（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，OC∥AB，∴四边形CABO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（－2，1），②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，BC∥AO，∴四边形CAOB是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），③如图3，过点O作平行于AB的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵OC∥AB，BC∥AO，∴四边形CBAO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AO＝BC，OC＝AB，作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，∴C（2，－1），（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝322，∴D（－322，－322），②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝322，∴D（322，322），③如图6，当OB＝DB时，∵∠AOB＝∠ODB＝45°，∴DB⊥OB，∵OB＝3，∴D（3，3），④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵∠AOB＝∠OBD＝45°，∴OD⊥DB，∵OB＝3，∴OE＝32，AE＝32，∴D（32，32）．综上所述，在直线OA上，存在点D（－2，－2），D（2，2），D（3，3）或D（32，32），使得△DOB是等腰三角形．。

19.2.3 一次函数与方程、不等式【知识与技能】1.理解一次函数与方程、不等式的关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.【过程与方法】学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.【情感态度】经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题.【教学重点】一次函数与方程、不等式关系的应用.【教学难点】一次函数与方程、不等式关系的理解.一、情境导入，初步认识探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.问题1 直线y=2x+20与x轴交点横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？问题2 这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判.【归纳总结】从“数”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.二、思考探究，获取新知问题1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？思考：（1）本题的相等关系是什么？（2）设再过x 秒物体速度为17m/s ，能否列出方程？（3）如果速度用y 表示，那么能否列出函数关系式？（4）上面不同的解法各有何特点？解法1 设再过x 秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2 速度y （m/s ）是时间x （s ）的函数，关系式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x 值可得2x+5=17.求得x=6.解法3 由2x+5=17可变形得到2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x 轴的交点为（6，0）.故x=6.问题2 1.解不等式5x+6＞3x+10.【思考】不等式5x+6＞3x+10可以转化为ax+b ＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？2.当自变量x 为何值时函数y=2x-4的值大于0？【思考】上述两个问题是同一个问题吗？3.问题2能用一次函数图象说明吗？【教学说明】引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：（1）在问题1中，不等式5x+6＞3x+10可以转化为2x-4＞0，解这个不等式得x ＞2.（2）解问题2就是要不等式2x-4＞0，得出x ＞2时函数y=2x-4的值大于0.因此它们是同一问题.（3）如图，函数y=2x-4与x 轴的交点为（2,0），且这个函数的y 随着x 的增大而增大，故要求当函数y=2x-4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x 轴上方时的x 的值即可，由图可知，当x ＞2时，函数y=2x-4的值大于0.问题3 试用一次函数图象法求解35821x y x y +=⎧⎨-=⎩，，从中总结你的体会. 【归纳总结】上面的方程组可以转化为385521y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，其本质是求当x 为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线3855y x=-+与y=2x-1的交点坐标.三、典例精析，掌握新知例1 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？【分析】（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=-6k；令x=0，得y=6.∴A（-6k，0），B（0，6），∴|OA|=|-6k|，|OB|=6.∴S=12OA·OB=12|-6k|×6=24.|k|=34.∴k=±34.【教学说明】教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24来构造方程.例2 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，求（1）当x为何值时，kx+b＞0；（2）当x为何值时，kx+b=0；（3）当x为何值时，kx+b＜0.解：（1）当x＜3时，kx+b＞0；（2）当x=3时，kx+b=0；（3）当x＞3时，kx+b＜0.【教学说明】寻找kx+b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y=kx+b 的图象在x轴的上方；寻找kx+b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的下方.例3 用作图象的方法解方程组3 3 5. x yx y+=⎧⎨-=⎩，【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，可得y=3x-5.在同一直角坐标系内作出一次函数y=3-x的图象l1和y=3x-5的图象l2，如图所示，观察图象得l1、l2的交点坐标为P（2，1）.所以，方程组335x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是21.xy=⎧⎨=⎩，四、运用新知，深化理解1.如图，已知直线y=kx-3经过点M，求此直线与x轴、y轴交点坐标.【分析】要求此直线与x轴、y轴的交点坐标，就需确定这条直线对应的函数解析式，即确定直线y=kx-3中的k，这由直线过点M（-2，1）求得.2.用画函数图象的方法解不等式3x+2＞2x+1.【分析】本题可以把原不等式的两边分别看作一次函数，也可以先化简将其看作一个一次函数，然后画出函数图象求解.3.已知如图所示，直线l1:y=2x-4与x轴交于点A，直线l2:y=-3x+1与x轴交于点B，且直线l1与l2相交于点P，求△APB的面积.【分析】显然本题易求A点与B点的坐标，这样很容易求出线段AB的长度，则本题的关键就是求出点P的坐标，进而把点P的坐标转化为点P到线段AB的距离，求点P的坐标的方法就是联立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程组，求解即可.【教学说明】下列问题有一定综合性，教师提示思路，由学生分组讨论求解.【答案】1.解：由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，∴-2k-3=1，解得k=-2.∴此直线的解析式为y=-2x-3.当y=0时，可得x=-32，∴直线与x轴交于（-32，0）.当x=0时，可得y=-3，∴直线与y轴交于（0，-3）.2.解法一：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=3x+2和直线y=2x+1的图象，如图1，由图象可以看出它们的交点的横坐标为-1，当x＞-1时，直线y=3x+2在直线y=2x+1的上方，即不等式3x+2＞2x+1的解集为x＞-1.图1 图2解法二：原不等式也可以化为x+1＞0，画出y=x+1的图象，如图2，可以看出当x ＞-1时这条直线上的点在x轴的上方，即y=x+1＞0，所以不等式的解集为x＞-1.3.解：l1：y=2x-4，令y=0，x=2，则A（2，0）l2：y=-3x+1，令y=0，x=13，则B（13，0），则AB=53，2431y xy x=-⎧⎨=-+⎩解得12xy=⎧⎨=-⎩∴P（1，-2），则点P到直线AB的距离为2. ∴S△APB =12×53×2=53.五、师生互动，课堂小结结合下表总结一次函数与一元一次方程的关系：从数的角度看：从形的角度看：反思如何由一次函数图象求得一元一次不等式的解集.理解一次函数图象与二元一次方程组间的关系.掌握图象法解二元一次方程组的步骤.1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.用函数的观点看方程和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法，本课时教学应考虑到学生形成一种教学观点的需要，考虑学生对函数、方程、不等式之间关系的理解.应从不同角度（如练习，讨论交流）帮助学生认识知识间关系的本质，形成函数、方程、不等式知识间相互转化的能力.。

人教版初中数学八年级下册19.2.3一次函数的概念分层作业夯实基础篇一、单选题：1．有下列函数：①πy x ，②21y x ；③1y x④223226y x x x ；⑤13y x x；⑥21y x ，其中是一次函数的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】根据一次函数的定义逐项分析判断即可即可求解．【详解】解：因为一次函数的一般形式为(y kx b 其中k ，b 是常数且0k )，所以①②④是一次函数，③⑤⑥自变量的次数不为1，不是一次函数，故选B ．【点睛】本题考查一次函数的概念，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的概念．一次函数y kx b 中k 、b 为常数，0k ，自变量次数为1．2．若 211my m x 是关于x 的一次函数，则m 的值为（）A ．1B ．1C ．1D ．2【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．3．若y −2与x +3成正比例，且当x =0时，y =5，则当x =1时，y 等于（）A ．1B ．6C ．4D ．3【答案】B【分析】根据y -2与x +3成正比，设出解析式，将x =0时，y =5代入计算即可确定出解析式，再计算当x =1时，y 的值即可．【详解】解：根据题意设y -2=k （x +3），将x =0时，y =5代入得：5-2=k （0+3），解得：k =1，∴解析式为y -2=x +3，即y =x +5，∴当x =1时，y =1+5=6，故选：B ．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．4．已知点(2,)P m 在一次函数32y mx m 的图像上，则m 的值为（）A ．2B ．1C ．1D ．2【答案】C【分析】将点(2,)P m 的坐标代入一次函数32y mx m 中，转化为解关于字母m 的一元一次方程，即可解题．【详解】把点(2,)P m 的坐标代入一次函数32y mx m 中，得232=m m m 220m1m 故选：C ．【点睛】本题考查点在一次函数图像上，涉及解一元一次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．已知函数关系式21y x ，当自变量x 增加1时，函数值（）A ．增加2B ．减少2C ．增加3D ．减少3【答案】B【分析】本题中可令x 分别等于a ，1a ，求出相应的函数值，再求差即可解决问题．【详解】解：令x a ，则21y a ；令1x a ，则 21123y a a ，∵ 21232a a ∴当自变量x 增加1时，函数值减少2，故选：B ．【点睛】本题考查的是一次函数，解决本题的关键是理解自变量x 和因变量之间的关系，确定函数值．6．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A ． 1203004S t tB ． 3004S t tC ． 120300S t tD ．304S t t 【答案】A【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t 的取值范围即可．【详解】解：∵汽车行驶的路程为：30t ，∴汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系为：12030S t ，∵120304 ，∴自变量t 的取值范围是04t ，故选：A ．【点睛】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系．二、填空题：7．函数y kx b （k ，b 都是常数，且0k ）叫做__________，当0b 时，函数y kx （k 是常数，0k ）叫做__________，常数k 叫做__________．【答案】一次函数正比例函数比例系数【分析】直接根据一次函数和正比例函数的定义作答即可．【详解】函数y kx b （k ，b 都是常数，且0k ）叫做一次函数，当0b 时，函数y kx （k 是常数，0k ）叫做正比例函数，常数k 叫做比例系数．【点睛】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．8．下列函数：①y kx ；②23y x；③2(1)y x x x ；④21y x ；⑤22y x ．其中一定是一次函数的有____________．（只是填写序号）⑤y ＝22−x 是一次函数．故答案为：②③⑤．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y ＝kx ＋b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1．9．将二元一次方程23x y 化为一次函数y kx b 的形式______．【答案】23y x 【分析】直接移项变形即可．【详解】解：23x y 移项得：23y x 故答案为：23y x 【点睛】本题考查了二元一次方程与一次函数的转换；运用等式的性质变形即可．10．函数 212n y m x m n ，当m __，n __时为正比例函数；当m __，n __时为一次函数．【答案】2【分析】根据一次函数的定义解题，若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y kx b （k 、b 为常数，0k ）的形式，则称y 是x 的一次函数，其中x 是自变量，y 是因变量．当0b 时，则 0y kx k 称y 是x 的正比例函数，即可求解．【详解】解：当211n ，0m n 且20m 时，该函数为正比例函数解得∶0,0n m ；∵函数 212n y m xm n 为一次函数∴211n ，且20m ，解得：2,0m n ．故答案为：0、0、2 、0．【点睛】本题主要考查一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．11．在画一次函数y kx b 的图象时，小雯同学列表如下，其中“▲”表示的数为____12．一个水库的水位在最近5h 内持续上涨，水位高度y （m ）与时间t （h ）之间的函数关系式为0.3305y t t ，每小时水位上升的高度是______m ．【答案】0.3【分析】分别求出当1t 和2t 时对应函数值，即可求解．【详解】解：根据题意得：当1t 时，0.33 3.3y ，当2t 时，0.323 3.6y ，∴每小时水位上升的高度是3.6 3.30.3 m ．故答案为：0.3【点睛】本题主要考查了求函数值，根据题意得到当1t 和2t 时对应函数值是解题的关键．三、解答题：13．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k 和常数项b 的值各是多少？2πC r ，22003y x，200t v ，2(3)y x ，(50)s x x ．14．设函数 332my m xm ．(1)当m 为何值时，它是一次函数；(2)当m 为何值时，它是正比例函数．【答案】(1)当2m 或2 ，它是一次函数(2)当2m ，它是正比例函数【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于m 的方程进行求解即可；15．220b ，则函数 2312a y b xab b 是什么函数？当x 2时，函数值y 是多少？16．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．（1）长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的函数关系式；（2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的函数关系式；（3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的函数关系式；（4）爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x 之间的函数关系式．17．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB=x cm，BC=y cm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x 的取值范围．能力提升篇一、单选题：1．若点 1,2M 关于y 轴的对称点在一次函数 32y k x k 的图象上，则k 的值为（）A ．2B ．0C ．1D ．37【答案】A【分析】依题意，点(1,2)M 关于y 轴的对称点为12()1,M ，然后将点1M 带入一次函数解析式即可；【详解】由题知，点关于y 轴的对称点坐标的规律---横坐标变为相反数，纵坐标不变，可得：对称点12()1,M 将点12()1,M 代入一次函数(32)y k x k ，即为2(32)(1)k k ，可得：2k ；故选：A【点睛】本题主要考查点的对称、一次函数解析式的性质，难点在熟悉二者的衔接；2．下列函数关系不是一次函数的是（）A ．汽车以120/km h 的速度匀速行驶，行驶路程()y km 与时间t(h)之间的关系B ．等腰三角形顶角y 与底角x 间的关系C ．高为4cm 的圆锥体积3()y cm 与底面半径()x cm 的关系D ．一棵树现在高50cm ，每月长高3cm ，x 个月后这棵树的高度()y cm 与生长月数x （月）之间的关系二、填空题：3．下列各题：①汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程y （千米）与行驶时间x （时）之间的关系；②圆的面积y （2cm ）与它的半径x （cm ）之间的关系；③一棵树现在高50cm ，每个月长高2cm ，x 个月后这棵树的高度为y （cm ）；④某种大米的单价是2.2元/千克，花费y （元）与购买大米x （千克）之间的关系．其中y 是x 的一次函数的是___（填序号）．【答案】①③④【分析】根据题意列出表达式，再根据一次函数的定义进行解答．【详解】解：根据题意列出函数表达式：①y＝60x；②y＝πx2；③y＝2x＋50；④y＝2.2x；符合一次函数定义的有①③④，故答案为①③④．【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．4．根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值2，则输出的y值为________．【答案】0【分析】根据x的取值范围，判断选择哪种计算方式即可．【详解】解：∵x＝2，∴满足1＜x≤2，∴把x＝2代入y＝﹣x+2中，得y＝﹣2+2＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查一次函数已知自变量x，求函数值，判断自变量取值范围是本题解题的关键．5．某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x （3x ）千米，乘车费为y 元，那么y 与x 之间的关系为______．【答案】y =1.1x +2.7【分析】根据乘车费用=起步价+超过3千米的费用即可得出．【详解】解：依据题意得：y =6+1.1（x -3）=1.1x +2.7，故答案为：y =1.1x +2.7．【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式．理解题意，找到数量关系是本题关键．6．对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定：a ☆b ＝ ()a b a b a a b b，那么函数y ＝2☆x ，当y ＝5时，则x 的值为_______．三、解答题：7．“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x 人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元．(1)写出家政服务公司每天的收入y （元）与x （人）之间的函数关系式：(2)应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元．【答案】(1)204800016y x x (2)应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间【分析】（1）设派x 人去清扫大房间，则(16)x 人清扫小房间，根据题意列出y （元）与x （人）之间的函数关系式即可；（2）把5000y ，代入204800y x 求解即可．【详解】（1）有x 人清扫大房间，则有16x 人清扫小房间∴80460516204800016y x x x x （2）2048005000x 解得：10x ，166x 答：应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间．【点睛】本题考查了列一次函数解析式，已知函数值求自变量x 的值，属于基础题，第（1）问要写出自变量的取值范围是易错点．。

19.2.3一次函数与方程、不等式1.如图，直线y=ax＋b过点A(0，2)和点B(-3，0)，则方程ax＋b=0的解是( )A.x=2B.x=0C.x=-1D.x=-32.下列图象中，以方程-2x+y-2=0的解为坐标的点组成的图象是( )3.一次函数y=kx＋b的图像如图所示，则方程kx＋b=0的解为( ).A.x=2B.y=2C.x=－1D.y=－14.如图，直线y=kx+b交坐标轴于A(﹣2，0)、B(0，3)两点，则不等式kx+b＞0的解集是( )A.x＞﹣2B.x＞3C.x＜﹣2D.x＜35.如图，直线y=kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足﹣3≤a＜0时，k的取值范围是（）A.﹣1≤k＜0B.1≤k≤3C.k≥1D.k≥36.如图，直线y=kx+b经过点A(3，1)和点B(6，0)，则不等式0＜kx+b＜1解集为( )A.x＜0B.0＜x＜3C.x＞6D.3＜x＜67.如图，是在同一坐标系内作出的一次函数l1.l2的图象，设l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则方程组的解是（）A. B. C. D.8.当自变量x_______时，函数y=5x＋4的值大于0；当x_______时，函数的值小于0.9.如图，已知函数y=x＋b和y=ax＋3图像交点为P，则不等式x＋b>ax＋3解集为_____.10.已知点A（0，m）和点B（1，n）都在函数y=﹣3x+b的图象上，则m n．（在横线上填“＞”、“＜”或“=”）11.已知两条直线y=kx－2和y=2x＋b相交于点（－2，4），则这两条直线与y轴所围成的三角形的面积为_______.12.如图，平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A坐标为（6，0），C点坐标为（2，2），若直线y=mx+2平分▱OABC的周长，则m的值为．13.某公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y乙（元）与铺设面积x(m2)满足函数关系式为y乙=kx.(1)根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系式；(2)如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600 m2，那么公园选择哪个工程队施工更合算？14.已知一次函数y=-2x+4，完成下列问题：(1)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标；(2)画出此函数的图像；观察图像，当0≤y≤4时，x的取值范围是；(3)平移一次函数y=-2x+4的图像后经过点(-3，1)，求平移后的函数表达式.15.如图，直线l1：y=x＋1与直线l2：y=mx＋n相交于点P(1，b).(1)求b的值；(2)不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；(3)直线l3：y=nx＋m是否也经过点P？请说明理由.参考答案1.D2.B3.C4.A.5.C6.D7.B8.答案为：＞－0.8，＜－0.89.答案为：x>110.答案为：＞．11.答案为：1012.答案为：﹣0.25．13.解：(1)y甲=(2)当k>45时，选择甲工程队更合算；当0<k<45时，选择乙工程队更合算；当k=45时，选择两个工程队的花费一样.14.解：(1)当x=0时y=4，∴函数y=-2x+4的图像与y轴的交点坐标为(0，4)；当y=0时，-2x+4=0，解得：x=2，∴函数y=-2x+4的图像与x轴的交点坐标(2，0).(2)图像略；观察图像，当0≤y≤4时，x的取值范围是0≤x≤2.(3)设平移后的函数表达式为y=-2x+b，将(-3，1)代入得：b+6=1，∴b=-5，∴y=-2x-5.答：平移后的直线函数表达式为：y=-2x-5.15.解：(1)2 (2)x=1，y=2; (3)经过点P。

19.2.3一次函数与方程、不等式第2课时【教学目标】知识与技能:理解一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式之间的联系.会用函数观点解释方程和不等式及其解(解集)的意义,会求二元一次方程的解. 过程与方法:经历用函数图象表示方程、不等式解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想. 情感态度与价值观:培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见,让学生体会数学的应用价值.【重点难点】重点:会根据一次函数图象求一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解.难点:会根据一次函数图象求一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解.【教学过程】一、创设情境,导入新课如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).(1)不解关于x,y的方程组请你直接写出它的解.(2)求不等式x+1>mx+n的解集.(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.你能解答上面的三个问题吗?这一节我们就来研究这一问题.二、探究归纳活动1:一次函数与一元一次不等式的关系1.探究:我们来看下面两个问题有什么关系?(1)解不等式5x+6>3x+10.(2)当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0?在问题(1)中,不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0,解这个不等式得x>2.解问题(2)就是要解不等式2x-4>0,得出x>2时函数y=2x-4的值大于0.因此这两个问题实际上是同一个问题.那么,是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢?它在函数图象上的表现是什么?如何通过函数图象来求解一元一次不等式?[师]我们先观察函数y=2x-4的图象.可以看出:当x>2时,直线y=2x-4上的点全在x轴上方,即这时y=2x-4>0.由此可知,通过函数图象也可求得不等式的解为x>2.由上面两个问题的关系,我们能得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x 在什么范围内,一次函数y=ax+b的值大于0”之间的关系,实质上是同一个问题.2.归纳:任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.活动2:一次函数与二元一次方程组的关系1.问题:我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法,比如可以用代入法,也可以用加减法.我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢?首先,任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合.比如可化为根据方程组解的意义和函数的观点,就是求当x取什么数值时,两个一次函数的y值相等.它反映在图象上,就是求直线y=x+5和y=0.5x+15的交点坐标.因此,我们也可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.2.归纳:(1)一般地,每一个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写为y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线,这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.(2)含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的方程组的解,是对应的两个一次函数图象交点的坐标.活动3:例题讲解【例1】用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4分析:将不等式转化为kx+b>0的形式,画相应函数y=kx+b的图象,得到相应自变量的取值范围.解:原不等式可化为-x-3>0,画出函数y=-x-3的图象,从图象可以看出,当x<-3时这条直线上的点在x轴上方,即这时-x-3>0,因此不等式的解集是x<-3.总结:用图象法解不等式的步骤(1)把不等式化成ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式.(2)画出一次函数y=ax+b的图象.(3)找出图象与x轴交点的横坐标,不等式的解集就相应得出.【例2】如图,若直线l1与l2相交于点P,则根据图象可得,二元一次方程组的解是______.分析:方程组的解,就是直线l1与直线l2的交点P的坐标. 解:∵一次函数y=2x-3的图象l1与y=-x+3的图象l2相交于点P, 点P的坐标是(2,1),∴方程组的解是答案:总结:用图象法确定二元一次方程组的解1.将两个方程都化为y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的形式.2.画出两个函数的图象,确定交点坐标.3.两个一次函数图象交点的坐标是二元一次方程组的解.三、交流反思这节课我们学习了一次函数与二元一次方程(组)、一元一次不等式之间的联系. 能把解方程kx+b=0(k≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0看成是一个问题.利用图象法解一元一次不等式和二元一次方程组,并能应用它们的关系解决实际问题.理解数形结合的内涵.四、检测反馈1.如图,直线y=kx+b(k<0)与x轴交于点(3,0),关于x的不等式kx+b>0的解集是( )A.x<3B.x>3C.x>0D.x<02.如图,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,1),则关于x的不等式kx+b>1的解集是( )A.x>0B.x<0C.x>1D.x<13.如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x<ax+4的解集为( )A.x<B.x<3C.x>D.x>34.两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A(-2,3),则方程组的解是( )A. B. C. D.5.如图,如果一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P,则方程组的解是( )A. B.C. D.6.如图,已知一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的图象交于点P,则根据图象可得二元一次方程组的解是________.7.如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为________ .8.已知两直线y1=2x-3,y2=6-x,(1)在同一坐标系中作出它们的图象.(2)求它们的交点A的坐标.(3)根据图象指出x为何值时,y1>y2;x为何值时,y1<y2.(4)求这两条直线与x轴所围成的△ABC的面积.9.兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9 m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3 m,哥哥每秒跑 4 m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:①何时弟弟跑在哥哥前面?②何时哥哥跑在弟弟前面?③谁先跑过20 m?谁先跑过100 m?五、布置作业教科书第99页习题19.2第8,10,13,15题六、板书设计19.2.3 一次函数与方程、不等式第2课时一、一次函数与一元一次不等式的关系二、一次函数与二元一次方程组的关系三、例题讲解四、板演练习七、教学反思这节课学习了一次函数与一元一次不等式、与二元一次方程组的关系.1.关于一次函数与一元一次不等式的关系,教师通过实例引导学生通过分析一次函数与一元一次方程的关系,关键抓住一次函数图象与x轴的交点坐标,x轴上方的部分y的值大于0,下方的部分y的值小于0,就得到了一次函数与一元一次不等式的关系.同时引导学生分析得出一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系与区别.2.关于一次函数与二元一次方程组的关系,教师通过实例引导学生分析得出:二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成,而每个一次方程的图象都是一条直线;两条直线的交点坐标表示该方程组中各个方程的公共解, 也就是这个二元一次方程组的解.并让学生通过练习验证.。

19.2.3一次函数与方程、不等式第1课时【教学目标】知识与技能:认识一次函数与一元一次方程之间的联系.会用函数观点解释一元一次方程的意义.过程与方法:经历用函数图象表示一元一次方程解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想,进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想.情感态度与价值观:培养数形结合的数学思想,积极参与交流,积极发表意见,让学生体会数学的应用价值.【重点难点】重点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.难点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.【教学过程】一、创设情境,导入新课我们来看下面两个问题:1.解方程2x+20=0.2.当自变量x为何值时,函数y=2x+20的值为0?这两个问题之间有什么联系吗?我们这节课就来研究这个问题,并学习利用这种关系解决相关问题的方法.二、探究归纳活动1: 一次函数与一元一次方程的关系1.问题:填空:(1)解方程2x+6=0,得x=________.(2)从函数图象上看,直线y=2x+6与x轴交点的坐标为________ ,这也说明函数y=2x+6值为________,对应的自变量x为__________,即方程2x+6=0的解是________.答案:(1)-3(2)(-3,0)0 -3x=-32.思考:直线y=2x+6与x轴的交点坐标和方程2x+6=0的解有什么关系?提示:直线y=2x+6与x轴的交点的横坐标,就是方程2x+6=0的解.3.归纳:一次函数与一元一次方程的关系(1)由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式.所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时,求自变量x的值.(2)一元一次方程ax+b=0的解,是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标值.活动2:例题讲解【例1】利用函数图象解下列方程:(1)0.5x-3=1. (2)3x-2=x+4.分析:将方程转化为kx+b=0的形式,画出y=kx+b的图象,由直线与x轴的交点坐标确定原方程的解.解:(1)原方程可化为0.5x-4=0.画出一次函数y=0.5x-4的图象,由图象看出直线y=0.5x-4与x轴的交点为(8,0),所以方程0.5x-3=1的解为x=8.(2)原方程可化为2x-6=0.画出一次函数y=2x-6的图象,由图象看出直线y=2x-6与x轴的交点为(3,0),所以方程3x-2=x+4的解为x=3.总结:一次函数与一元一次方程的关系一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.【例2】甲、乙两地距离300 km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,根据图象,解答下列问题:(1)线段CD表示轿车在途中停留了______ h.(2)求线段DE对应的函数解析式.(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.分析:(1)根据图象中点C,点D的横坐标求出轿车在途中停留的时间.(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象得出D点坐标(2.5,80),与E点坐标(4.5,300),代入y=kx+b列方程组求解.(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.解:(1)CD平行于x轴,说明轿车离甲地的距离没发生变化,即轿车停留,时间为C,D两点横坐标的差,2.5-2=0.5(小时).(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象可得在线段DE上,D点坐标(2.5,80),E点坐标(4.5,300),由题意得解得所以线段DE对应的函数解析式为:y=110x-195(2.5≤x≤4.5).(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.∵A点坐标为(5,300),代入解析式y=ax得300=5a,解得a=60,故y=60x,当60x=110x-195时,解得x=3.9,故3.9-1=2.9(小时),答:轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车.总结:用一次函数与方程的关系解决实际问题的步骤(1)分析题目中的数量关系及等量关系.(2)列出函数关系式.(3)利用函数与方程的关系求解.(4)验证所求的解是否符合题意,并作答.三、交流反思这节课我们学习了一次函数与一元一次方程之间的联系.能把解方程kx+b=0(k≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0看成是一个问题.利用图象法解一元一次方程,并能应用它们的关系解决实际问题.理解数形结合的内涵.四、检测反馈1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为 ()A.x=2B.y=2C.x=-1D.y=-12.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是()A.x=2B.x=4C.x=8D.x=103.已知方程kx+b=0的解是x=3,则函数y=kx+b的图象可能是()4.如图,直线y=kx+b分别交x轴,y轴于点A,B,则关于x的方程kx+b=0的解为()A.x=-2B.x=0C.x=2D.x=35.下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形,利用函数的图象解方程5x-1=2x+5,其中正确的是()6.如图所示,是某航空公司托运行李的费用y(元)与行李重量x(千克)的关系图象,由图中可知,乘客可以免费托运行李的最大重量为()A.20千克B.30千克C.40千克D.50千克7.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程是2x+b=0的解是x=________.8.科学研究发现,空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系.经测量,在海拔高度为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米;在海拔高度为2 000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米.(1)求出y与x的函数关系式.(2)已知某山的海拔高度为1 200米,请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少?五、布置作业教科书第99页习题19.2第8题六、板书设计七、教学反思这节课学习了一次函数与一元一次方程的关系,关于一次函数与一元一次方程的关系,教师通过引导学生观察分析图象与x轴交点或一次函数解析式与一元一次方程的关系,引导学生得出一次函数与一元一次方程的关系:一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.让学生明确有关方程问题可用函数的方法来解决,反之,有关函数问题也可用方程的方法来解决.。

人教版初中数学八年级下册19.2.3 一次函数的概念 分层作业夯实基础篇一、单选题：1．有下列函数：①πy x =，②21y x =-；③1y x =④()223226y x x x =--；⑤13y x x=-；⑥21y x =-，其中是一次函数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 2．若()211m y m x-=-+是关于x 的一次函数，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．2±3．若y −2与x +3成正比例，且当x =0时，y =5，则当x =1时，y 等于（ ）A ．1B ．6C ．4D ．34．已知点(2,)P m 在一次函数32y mx m =-+的图像上，则m 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知函数关系式21y x =--，当自变量x 增加1时，函数值（ ）A ．增加2B ．减少2C ．增加3D ．减少36．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系及自变量的取值范围是（ ）A ．()1203004S t t =-≤≤B ．()3004S t t =≤≤C ．()120300S t t =->D ．()304S t t ==二、填空题：7．函数y kx b =+（k ，b 都是常数，且0k ≠）叫做__________，当0b =时，函数y kx =（k 是常数，0k ≠）叫做__________，常数k 叫做__________．8．下列函数：①y kx =；②23y x =；③2(1)y x x x =--；④21y x =+；⑤22y x =-．其中一定是一次函数的有____________．（只是填写序号）9．将二元一次方程23x y +=化为一次函数y kx b =+的形式______．10．函数()212n y m x m n +-=-+，当m =__，n = __时为正比例函数；当m __，n = __时为一次函数．11．在画一次函数y kx b =+的图象时，小雯同学列表如下，其中“▲”表示的数为____12．一个水库的水位在最近5h 内持续上涨，水位高度y （m ）与时间t （h ）之间的函数关系式为()0.3305y t t =+≤≤，每小时水位上升的高度是______m ．三、解答题：13．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k 和常数项b 的值各是多少？2πC r =，22003y x =+，200t v =，2(3)y x =-，(50)s x x =-．14．设函数()332m y m x m -=-++．(1)当m 为何值时，它是一次函数；(2)当m 为何值时，它是正比例函数．15．()220b -=，则函数()2312a y b x ab b -=++-+是什么函数？当x 12=-时，函数值y 是多少？16．写出下列各题中y 关于x 的函数关系式，并判断y 是否为x 的一次函数，是否为正比例函数． （1）长方形的面积为20，长方形的长y 与宽x 之间的函数关系式；（2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y 元与所买西瓜x 千克之间的函数关系式；（3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y 与星期数x 之间的函数关系式；（4）爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数y 元与月数x 之间的函数关系式．17．已知矩形ABCD 的周长为20cm ．若设AB =x cm ，BC =y cm ．请写出y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围．能力提升篇一、单选题：1．若点()1,2M 关于y 轴的对称点在一次函数()32y k x k =++的图象上，则k 的值为（ ）A ．2-B ．0C ．1-D ．37- 2．下列函数关系不是一次函数的是（ ）A ．汽车以120/km h 的速度匀速行驶，行驶路程()y km 与时间t(h)之间的关系B ．等腰三角形顶角y 与底角x 间的关系C ．高为4cm 的圆锥体积3()y cm 与底面半径()x cm 的关系D ．一棵树现在高50cm ，每月长高3cm ，x 个月后这棵树的高度()y cm 与生长月数x （月）之间的关系二、填空题：3．下列各题：①汽车以60千米/时的速度行驶，行驶路程y （千米）与行驶时间x （时）之间的关系；②圆的面积y （2cm ）与它的半径x （cm ）之间的关系；③一棵树现在高50 cm ，每个月长高2 cm ，x 个月后这棵树的高度为y （cm ）；④某种大米的单价是2.2元/千克，花费y （元）与购买大米x （千克）之间的关系．其中y 是x 的一次函数的是___（填序号）．4．根据如图所示的程序计算函数值，若输入x 的值2，则输出的y 值为________．5．某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x （3x >）千米，乘车费为y 元，那么y 与x 之间的关系为______．6．对于不为零的两个实数a ，b ，如果规定：a ☆b ＝()()a b a b a a b b+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，那么函数y ＝2☆x ，当y ＝5时，则x 的值为_______．三、解答题：7．“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x 人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元．(1)写出家政服务公司每天的收入y （元）与x （人）之间的函数关系式：(2)应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元．。

初中数学试卷八年级下册第十九章19.2.3一次函数与方程、不等式第1课时（测）总分：100 时间：40分钟 班级 姓名 总分一、选择题(每小题5分，共20分)1．两条直线y=11k x b +和y=22k x b +相交于点A(－2,3)，则方程组1122y k x b y k x b ì=+ïí=+ïî的解是 .【答案】23x y ì=-ïí=ïî【解析】试题分析：两个一次函数的交点坐标就是以这两个一次函数为方程的二元一次方程组的解. 考点：一次函数与二元一次方程组的关系2．为了推动校园足球发展，某市教体局准备向全市中小学免费赠送一批足球，这批足球的生产任务由甲、乙两家足球制造企业平均承担，甲企业库存0.2万个，乙企业库存0.4万个，两企业同时开始生产，且每天生产速度不变，甲、乙两家企业生产的足球数量y 万个与生产时间x 天之间的函数关系如图所示，则每家企业供应的足球数量a 等于 万个．【答案】1 【解析】试题分析：结合函数图象，设乙企业每天生产足球x 万个，则甲企业每天生产足球2x 万个，根据企业供应的足球数=库存+每日产量×生产天数，得出关于x 、a 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． ∵（6﹣2）÷（4﹣2）=2，∴设乙企业每天生产足球x 万个，则甲企业每天生产足球2x 万个， 根据题意可得：，解得：．∴每家企业供应的足球数量a=1万个． 故答案为：1．考点：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是得出关于x 、a 的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．3.如图，已知一次函数(0)y ax b a =+≠和(0)y kx k =≠的图象交于点P ，则二元一次方程组,0y ax b y kx -=⎧⎨-=⎩的解是 ．【答案】42x y ì=-ïí=-ïî【解析】试题分析：方程组的解就是两个函数图象的交点，则42x y ì=-ïí=-ïî.考点：一次函数与方程组.4．如图，已知一次函数y=ax+b 和y=kx 的图象相交于点P ，则根据图中信息可得二元一次方程组的解是 ．【答案】【解析】试题分析：直接利用已知图形结合一次函数与二元一次方程组的关系得出答案． 如图所示：根据图中信息可得二元一次方程组的解是：．故答案为：．考点：此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系。

《一次函数与方程、不等式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是让学生：1. 熟练掌握一次函数的定义及基本性质；2. 学会通过一次函数与一元一次方程、不等式的联系，解决实际问题；3. 培养数学思维能力和逻辑推理能力。

二、作业内容作业内容主要围绕一次函数的基本概念和性质展开，具体包括：1. 复习一次函数的定义，包括自变量x和因变量y的关系式，并要求学生能够识别和绘制一次函数的图像。

2. 练习一次函数与一元一次方程的关联，包括如何通过函数图像求交点，并建立相应的一元一次方程。

3. 探究一次函数与一元一次不等式的联系，理解函数图像在不同区间内的变化与不等式解集的关系。

4. 布置实际问题解决练习，如利用一次函数描述速度与时间的关系，并解决相应的行程问题。

5. 拓展延伸：介绍一次函数在实际生活中的应用，如电费计算、速度与距离等，并鼓励学生寻找生活中的数学实例。

三、作业要求为确保学生能够独立完成作业并达到教学目标，作业要求如下：1. 基础练习：要求学生必须独立完成作业，并保证答案的准确性。

对于基本概念和性质的理解要牢固。

2. 探究拓展：鼓励学生进行拓展性学习，对一次函数在不同领域的应用进行探索，并尝试用所学知识解决实际问题。

3. 解题思路：在解题过程中，要求学生清晰表达解题思路，每一步骤都应详细阐述。

4. 时间安排：作业应在规定时间内完成，以保证学生能够合理分配学习时间，培养时间管理的能力。

5. 规范书写：要求学生在解答过程中，字迹工整、规范书写，以提高数学表达能力。

四、作业评价作业评价将根据以下标准进行：1. 正确性：答案的正确性是评价的首要标准。

2. 解题思路：清晰的解题思路和逻辑性强的答案将得到更高的评价。

3. 创新性：对于有创新思路和独特解法的同学给予额外加分。

4. 规范性：字迹工整、格式规范的答案将得到额外的评价。

五、作业反馈作业反馈是提高学生学习效果的重要环节，具体包括：1. 教师批改：教师将对每位学生的作业进行批改，并给出详细的评语和建议。