高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系学案(含解析)

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第２节极坐标系[核心必知]1．极坐标系的概念（1)极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫做极点，自极点O引一条射线Ｏx，叫做极轴；再选定一个长度单位,一个角度单位（通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2）点的极坐标设Ｍ是平面内一点,极点O与点Ｍ的距离|OM｜叫做点M的极径，记为ρ;以极轴Ｏx为始边,射线OM为终边的角xOＭ叫做点M的极角，记为θ．有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M（ρ,θ).一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2.极坐标与直角坐标的互化（１）互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合;③两种坐标系取相同的长度单位．（2）互化公式错误!错误![问题思考]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么?提示：不是．在极坐标系中,与给定的极坐标(ρ,θ）相对应的点是唯一确定的;反过来,同一个点的极坐标却可以有无穷多个.如一点的极坐标是(ρ，θ)（ρ≠0）,那么这一点也可以表示为(ρ，θ+２nπ)或(-ρ，θ＋(2n+１)π)（其中n∈Ｚ)．2.若ρ>０，0≤θ〈2π,则除极点外,点M(ρ,θ）与平面内的点之间是否是一一对应的?提示:如果我们规定ρ>0,０≤θ＜２π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)来表示，这时,极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M的极坐标为(ρ,θ)，则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M的极坐标是(ρ，θ)，则Ｍ点关于极点的对称点的极坐标是（－ρ,θ）或（ρ，θ+π）；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ,－θ);M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ,π-θ)或（-ρ，-θ）．已知定点P错误!．(1)将极点移至Ｏ′错误!处极轴方向不变,求Ｐ点的新坐标；(２）极点不变，将极轴顺时针转动＼ｆ（π,６)角,求Ｐ点的新坐标.[精讲详析］本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系,然后求相应的点的极坐标．（１）设P点新坐标为(ρ，θ），如图所示，由题意可知|OO′|=2错误!，|OＰ|＝4,∠POx=＼f(π,３)，∠O′Ox=错误!，∴∠POO′=错误!.在△PＯO′中，ρ２=42+(２错误!)２-2·4·2错误!·cｏs 错误!=16+１２－２4＝4,∴ρ=2．即|Ｏ′Ｐ｜=2。

1§1.2极坐标系【自主学习】 复习回顾：1、回顾自己在为人指路时常用的方法2举一个生活中用“距离”和“角度”刻画位置的例子 学习过程：阅读课本P8~P10解决下列问题 一、极坐标系的概念1、引入：阅读课本P9页的“思考”，并回答提出的问题 答1）： 答2）：2、你是否注意到在以上问题中，用“距离”和“角度”刻画位置时，总是先固定一个位置作为 ，并以某个方向作为参照 。

3极坐标系的概念：1）在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O 引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.2)如图：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ； 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ； 有序实数对(,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ； 注：一般地,不做特殊说明时,我们认为0,ρθ≥∈R 4例题例1.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标， 并标出点D(2，6π) ，E(4，34π) ， F(3.5，53π)所在的位置。

例2．在右图中，点A ，B ，C ，D ，E 分别表示教学楼，体育馆， 图书馆，实验楼，办公楼的位置。

建立适当的极坐标系， 写出各点的极坐标。

5思考1）：在极坐标系中，（4，6π），（4，26ππ+），（4，46ππ+），（4，26ππ-）表示的点有什么关系？你能体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？思考2）：如果规定0ρ>，02θπ≤<，那么平面内的点与极坐标极是一一对应的吗？ 6极坐标系与直角坐标系的区别二、极坐标与平面直角坐标的互化1引入：为实现转换，要把两个坐标系放在同一个平面中，应当如何 建立这两个坐标系呢？2极坐标与平面直角坐标的互化：1）互化前提： 与 重合， 与 重合； 取 的单位长度2）互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (,)x y ，极坐标是(,)ρθ那么两者之间的关系：cos ,sin x y ρθρθ==--------（1） ________ 坐标化为 ______ 坐标222,tan (0)yx y x x ρθ=+=≠-----（2）___________ 坐标化为 ____ 坐标 3例题：例3.将点M 的极坐标（5，23π）化成直角坐标。

湖南省蓝山二中高二数学?第一讲 坐标系 二、极坐标系?教课设计 新人教A 版知识与技术：经过本节知识的学习，使我们对极坐标的定义有一个明确的认识，认识极坐标在平时生活中的作用，能在极坐标系中， 用极坐标刻画点的地点特点， 会在极坐标系中描出相应的点，把那个会写出而点的极坐标，进一步理解点与极坐标的关系 .理解极坐标系与平面直角坐标系的联系与差别， 会把极坐标化为平面直角坐标系， 及把平面直角坐标化为极坐标，面认识二者之间的转变关系， 把极坐标作为我们解决数学识题、 认识客观世界的一种重要工具.全感情、态度与价值观： 经过本节知识的学习，使我们在实质应用中认识极坐标的作用及应用极坐标来描绘实质问题的方便性及适用性，认识极坐标的相关观点，及合理成立极坐标系，学会用极坐标表示平面上的点，领会用极坐标刻画平面上的点的地点与从前学习过的平面直角坐标系的差别，会用两种方法来描绘平面内的点，并掌 握坐标与直角坐标的变换公式，理解在规定了极径 >0,极角0≤＜2 以后，极坐标也与平面直角坐标同样， 与平面内的点拥有一一对应的关系.教课过程：1.极坐标系的观点实验楼 图书室.假定某同学在教课楼处，请回复以以下图是某校园的平面表示图以下问题：D C他向东偏北60o方向走120m 后抵达什么地点？该地点唯一确立吗？(2)假如有人探询体育馆和办公楼的地点，他应怎样描绘？ 办公楼120mE 45o60o50m AB教课楼 60m 体育馆在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位〔往常取弧度〕及其正方向〔往常取逆时针方向〕，这样就成立一个极坐标系.M(,)一般地，不作特别说明时，我们以为≥0，可取随意实数.O x 例1.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点D(2,)，3)，F(3.5,5)所在的地点？6E(4,4322335BE66DA27F1164C63533例2.2在图中，用点A，B，C，D，E分别表示教课楼，体育馆，图书室，实验楼，办公楼的地点.成立适合的极坐标系，写出各点的极坐标.D CE 45o120m603m60o50m60m B x A(O)思虑在极坐标系中，(4,)，(4,2)，，(4,2)表示的点有什么6(4,4)666关系？你能从中领会极坐标与直角坐标在刻画点的地点时的差别吗？小结极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示同一个点.特别地，极点O的坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不一样，平面内一个点的极坐标有无数种表示.假如规定＞0，＜≤2，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时，极坐标表示的点(,)也是唯一确立的.极坐标与直角坐标的互化平面内的一个点既能够用直角坐标表示，也能够用极坐标表示.那么，这两种坐标之间有什么关系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取同样的长度单位.设M是平面内随意一点，它的直角坐标是 (x,y)极坐标是(,). 从以以下图能够得出它们之间的关系：x cos,y sin.①y由①又可获得下边的关系式：My2x 22,tany0)这就是极坐标与直角坐标的互化公式.O x N x y(xx例3.将点M的极坐标(5,2)化成直角坐标.3例4.将点M 的直角坐标 ( 3，1)化成极坐标 .讲堂练习241.写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标〔＞0，0≤＜25〕.6 CD ..B2E A4F G5332.中央气象台在2021年7月15日10︰30公布的一那么台风信息：今年第 9号热带风暴“圆规〞的中心今日上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大概 440公里的南海东北部海面上，中心邻近最狂风力有9级.请成立适合的坐标系，用坐标表示出该台风中心的地点.3.在极坐标系中，两点A(3,),B(1,2)，求A，B两点间的距离.33课后作业1.设点A(2, )，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A对于极轴、直线l、极3点的对称点的极坐标(限制>0，－＜≤).2.教材习题第4、5题.。

高二数学导学案课题:极坐标系(两课时)一、三维目标知识与技能：认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。

过程与方法：通过生活中的实例，让学生认识到学习极坐标系的必要性，从而引出极坐标系与极坐标的概念；根据极坐标与直角坐标的特点和三角函数的概念，实现极坐标和直角坐标间的互化情感态度价值观：通过学习，体会数学知识的产生与发展源于生活又服务于生活，体会数学的应用价值，激发学生的学习数学的热情。

二、教学重难点重点：理解并能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。

三、学法指导：认真阅读教材P8—10，结合实例，理解极坐标的建立、点与极坐标的对应；结合任意角的三角函数的定义，理解极坐标和直角坐标间的互化。

四、知识链接：1、回顾自己在为人指路时常用的方法2举一个生活中用“距离”和“角度”刻画位置的例子五、学习过程：一、极坐标系的概念1、引入：阅读课本P9页的“思考”，并回答提出的问题答1）：答2）：2、你是否注意到在以上问题中，用“距离”和“角度”刻画位置时，总是先固定一个位置作为 ，并以某个方向作为参照 。

3极坐标系的概念：1）在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O 引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方 向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.2)如图：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ；有序实数对( ,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ；注：一般地,不做特殊说明时,我们认为0,ρθ≥∈R4例题例 1.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D(2，6π) ，E(4，34π) ， F(3.5，53π)所在的位置。

极坐标系的的概念教学目的：知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：理解极坐标的意义教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．二、讲解新课：从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。

）2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。

学 习 资 料 汇编1.2 极坐标系[对应学生用书P4][读教材·填要点]1．平面上点的极坐标(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，由O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 点称为极点，Ox 称为极轴．(2)点的极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．2．极坐标与直角坐标的关系(1)极坐标和直角坐标变换的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位． (2)极坐标和直角坐标的变换公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x[小问题·大思维]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2n π)或(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(其中n ∈Z )．2．若ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点M (ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示．这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M 的极坐标为(ρ，θ)，则M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．[对应学生用书P5][例1] 已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处，极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6，求P 点的新坐标．[思路点拨] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．[精解详析] (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示， 由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.即|O ′P |＝2.∴|OP |2＝|OO ′|2＋|O ′P |2，∠OO ′P ＝π2.∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3.∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2.建立极坐标系的要素是：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的．极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.1．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则(1)点A 关于极轴的对称点是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0,2π))解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6[例2] 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)[思路点拨] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．[精解详析] (1)∵x ＝ρcos θ＝4·cos 5π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－23， ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋－2＝22，tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内，∴θ＝7π4.∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y ＜0，ρ＝15， ∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2.(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. (2)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．2．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，－π2，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A (3，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，C (－2,23)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A ⎝⎛⎭⎪⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3.[例3] △ABC 的顶点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6，C ⎝⎛⎭⎪⎫8，7π6.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积； (3)求△ABC 的边AB 上的高．[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解．[精解详析] ∠AOB ＝4π3－5π6＝π2，∠BOC ＝7π6－5π6＝π3，∠COA ＝4π3－7π6＝π6.(O为极点)(1)∵|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝42＋62＝213. |BC |＝|OB |2＋|OC |2－2|OB |·|OC |cos ∠BOC ＝213，|AC |＝|OA |2＋|OC |2－2|OA |·|OC |cos ∠AOC ＝45－2 3.∴△ABC 是等腰三角形． (2)S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12，S △BOC ＝12|OB |·|OC |sin ∠BOC ＝123，S △C OA ＝12|OC |·|OA |sin ∠COA ＝8.∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △C OA －S △AOB ＝123－4. (3)设AB 边上的高为h ，则h ＝2S △ABC |AB |＝243－8213＝1239－41313.对于这类问题的解决方法，可以直接用极坐标内两点间的距离公式d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2求得；也可以把A ，B 两点由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式d ＝x 1－x 22＋y 1－y 22求得，极坐标与直角坐标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得．3．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，求第三个顶点C 的坐标．解：由题设知，A ，B 两点关于极点O 对称．又|AB |＝4，所以由正三角形的性质知，|CO |＝23，∠AOC ＝π2，从而C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4.[对应学生用书P6]一、选择题1．在极坐标系中，与点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6 解析：选 B 与A ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z )，只有选项B 满足．2．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π6，则△AOB 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选B 由题意知∠AOB ＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故选B.3．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )A.18＋62 B.18－62 C.36＋322D.36－322解析：选C A ，B 在极坐标中的位置，如图，则由图可知∠AOB ＝13π12－π4＝5π6.在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3， 所以，由余弦定理，得|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos 5π6＝9＋9－2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝18＋93＝92(1＋3)2.∴|AB |＝36＋322.4．已知极坐标平面内的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，()1，3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3，()1，－3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，(－1，3)D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－2π3，(－1，－3)解析：选D 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3关于极点的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－5π3＋π，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，且x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－2cos π3＝－1，y ＝2sin －⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin π3＝－3，所以选D.二、填空题5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )．依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.∴y ＝θ＝0，ρ>0.∴M (ρ，0)． 答案：(ρ，0)6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π37．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12.所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π48．写出与直角坐标系中的点(－2,23)表示同一个点的所有点的极坐标________________．解析：∵ρ＝ x 2＋y 2＝ －2＋32＝4，tan θ＝y x ＝23－2＝－3，∴θ＝2π3.∴点(－2,23)用极坐标表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z )． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z )三、解答题9．设点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)．解：如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－π3，关于直线l 的对称点为C ⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3，关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫1，－2π3. 10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．解：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x ，－3＝3y .解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∴点P 的直角坐标为(3，－3)．ρ＝32＋－32＝23，tan θ＝－33.∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6.∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6. 11．在极轴上求与点A (42，π4)的距离为5的点M 的坐标．解：设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4， 所以22＋r 2－82r ·cos π4＝5.即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．敬请批评指正。

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1。

2 极坐标系教学目的知识目标理解极坐标的概念能力目标能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别。

教学重点理解极坐标的意义教学难点能够在极坐标系中用极坐标确定点位置授课类型新授课教学模式启发、诱导发现教学．教具多媒体、实物投影仪教学过程一、复习引入情境1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定它们的位置以便将它们引爆?情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走1２0Ｍ后到达什么位置?该位置惟一确定吗？（２)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描述?问题1:为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢?问题２：如何刻画这些点的位置?这一思考,能让学生结合自己熟悉的背景,体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础.二、讲解新课从情镜2中探索出:在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立在平面上取一个定点O ，自点Ｏ引一条射线OX,同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向）,这样就建立了一个极坐标系。

学习资料专题第1课极坐标系一、学习要求1.在问题情境中了解可用距离与角度刻划平面上点的位置；2.了解极坐标系、点的极坐标的概念；3.能写出建立了极坐标系的平面内的点的极坐标。

二、先学后讲1．日常生活中刻划平面上点的位置的方法（1）用点的直角坐标；（2）经纬度；（3）用距离与角度。

2．极坐标系在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

3．点的极坐标设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的极角，记为。

有序数对叫做点的极坐标，记为。

一般地，不作特殊说明时，我们认为，可取任意实数。

如：写出图中，，，，，，各点的极坐标（4．点的极坐标的唯一性思考：在极坐标系中，极坐标、、、、xOxπ唐玲唐玲表示的点有什么关系？一个极坐标只表示一个点，但一个点的极坐标有无数种表示。

极坐标与（）表示同一个点；极点的坐标为（）。

如果规定：，那么除原点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时极坐标表示的点也是唯一确定的。

5.时极坐标的意义若，则，规定点与点关于极点对称，即与表示同一个点。

如：点与点点。

即当时，点位于极角终边的反向延长线上。

三、问题探究 ■合作探究例1．以下各点坐标与点不同的是（ ）。

．． ． ．解：点的坐标为，∵与的终边相同， ∴点可以表示为，故相同。

∵与或是终边在反向延长线上的角，∴点可以表示为，，故，相同。

∴选。

xNM.33,(-5π)(-2π3)xπ四、总结提升本节课你主要学习了。

五、问题过关1.在极坐标系中，点到极点的距离为3，（逆时针方向），则点的极坐标为。

（答案：）2.在极坐标系中，与点重合的点是（）。

解：极坐标与（）表示同一个点。

，固选。

3.在极坐标系中，与点关于极轴对称点是（）。

解：关于极轴对称的点，极径没有发生变化，极角应为（）。

二极坐标系互动课堂重难突破一、极坐标的概念1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，我们经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标.2.如图,极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标.把定义弄清楚，我们就会用极坐标确定点的位置特别注意:(1)①极点,②极轴,③长度单位,④角度单位和它的正方向构成了极坐标系的四要素,缺一不可(2)特别地,当M在极点时,它的极坐标ρ=0,θ可以取任意值.极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R(3)一般地,不作特殊说明时,ρ≥0,θ可取任意实数.3.建立极坐标系后,给定ρ(ρ≥0)和θ,就可以在平面内唯一确定点M.确定的方法是(1)由θ定射线.根据θ角确定点M所在的射线OM(2)由ρ取点.在射线OM上取|OM|=ρ,点M的位置即可确定.4.给定平面内任意一点M,也可以找到它的极坐标(ρ,θ)(ρ特别注意:(1)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示(2)如果规定ρ≥0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.5.为完整起见,现作一补充:若ρ<0,则-ρ>0,我们规定点M(ρ,θ)与点P(-ρ,θ)关于极点对称.点M(ρ,θ)(ρ<0)的位置的确定方法是:(1)由θ定射线.先找出θ角的终边所在的射线,确定其反向延长线OM(2)由ρ取点.在射线OM上取|OM|=-ρ,点M的位置即可确定,如图进一步可以得出,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)(-ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z)表示同一点.应当指出,若ρ<0,应有说明;否则,可认为ρ≥0.二、极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示.我们要理解极坐标的概念,会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化,利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.2.极坐标与直角坐标的互化公式3.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(或除以)ρ等技巧.4.由直角坐标化成极坐标时,要注意点所在象限,从而确定极角θ 试一试：(1)已知点A 的极坐标(-4,3π5),求它的直角坐标； (2)已知点B 、C 、D 的直角坐标为(2,-2),(0,-15),(-12,5),求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 解：(1)点A 的直角坐标为(-2,23(2)∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋tan θ=22-=-1,且点位于第四象限,(注意!) ∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,43π对于D (-12,5),ρ=13,tan θ=-125.∵D 在第二象限内,∴θ=π-arctan 125∴D 点坐标为(13,π-arctan 125).活学巧用【例1】 已知两点的极坐标A (3,2π)、B (3,6π)，则|AB |=________，AB 与极轴正方向所成的角为________.解析:如图,根据极坐标的定义可得|A O |=|B O |=3,∠A O B=60°，即△A O B 为正三角形答案:365π点评:在极坐标系中,点P 1(ρ1,θ1)、P 2(ρ2,θ2)(ρ1、ρ2>0),则P 1P 2两点距离|P 1P 2|=.)cos(212212221θθρρρρ--+请同学们推导一下. 【例2】在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A (2,4π)、B (2,45π),那么顶点C 的坐标可能是( )A.(4,43π) B.(23,43π)C.(23,π)D.(3,π)解析:如图,由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点又|AB |=4，△ABC 为正三角形，|OC |=23，∠AOC =2π，C 对应的极角θ=4π+2π=43π或θ=4π-2π=-4π，即C 点极坐标为(23,43π)或(23,-4π).答案:B点评:在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合. 【例3】在极坐标系中与点A (3,-3π)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) A.(3,32π) B.(3,3π)C.(3,34π)D.(3,65π)解析:极坐标中的点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2k π-θ)(k ∈Z ),利用这一规律即可. 答案:B点评:一般地,在极坐标系中点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2k π-θ)(k ∈Z );点(ρ,θ)关于极点对称的点的极坐标为(ρ,2k π+π+θ)(k ∈Z);点(ρ,θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ,2k π+π-θ)(k ∈Z ).【例4】(1)θ=43π的直角坐标方程是________； (2)极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是解析:(1)根据极坐标的定义，∵tan θ=xy ，∴tan 43π=x y ，即y =-x (x ≤0).(2)将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状，因为给定的ρ不恒等于零，用ρ同乘方程的两边得ρ2=ρsin θ+2ρcos θ. 化成直角坐标方程为x 2+y 2=y +2x ,即(x -1)2+(y -21)2=45，这是以点(1,21)为圆心，半径为25的圆.答案:(1)y =-x (x ≤0) (2)以点(1,21)为圆心，半径为25的圆 点评:当极坐标方程中含有sin θ、cos θ时,可将方程两边同乘以ρ,凑成含有ρsin θ、ρcos θ的项，然后再代入互化公式便可化为直角坐标方程，此法是常用技巧. 【例5】 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y 2=4x ;(2)y 2+x 2-2x -1=0;(3)θ=3π;(4)ρcos 22θ=1;(5)ρ2cos2θ=4;(6)ρ=θcos 21－.解:(1)将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入y 2=4x ,得(ρsin θ)2=4ρcos θ,化简得ρsin 2θ=4cos θ.(2)将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入y 2+x 2-2x -1=0,得(ρsin θ)2+(ρcos θ)2-2ρcos θ-1=0,化简得ρ2-2ρcos θ-1=0.(3)tan θ=xy ,∴tan 3π=x y=3,化简得y =3x (x ≥0).(4)∵ρcos 22θ =1,∴ρ2cos 1θ+=1,即ρ+ρcos θ=2. ∴22y x ++x =2,化简得y 2=-4(x -1).(5)∵ρ2cos2θ=4,∴ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=4,即x 2-y 2=4. (6)∵ρ=θcos 21-,∴2ρ-ρcos θ=1.∴222y x +,化简得3x 2+4y 2-2x -1=0.点评:在进行两种坐标间的互化时,我们要注意:(1)互化公式是有三个前提条件的,极点与直角坐标系的原点重合;极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合;两种坐标系的单位长度相同(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值. (3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在,是等价变形,否则,不是等价变形.。