选修4-4第一讲简单曲线的极坐标方程2.直线的极坐标方程

高中数学选修4­4坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：2.设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标＝ρcosθ，＝ρsinθＷ.(2)直角坐标化极坐标2＝x2＋y2，θ＝yx（x≠0）.三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r (0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cos_θ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0即)cos(2002022θθρρρρ--+=r 3．直线的极坐标方程00△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1．柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z ）(z ∈R )表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z ∈R ．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z．2．球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ．第二讲：一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y ＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。

2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程学习目标：1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化．(易错易混点)3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示．(难点)教材整理1 曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：(1)曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．2．常见简单曲线的极坐标方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过极点且垂直于极轴的直线方程为x＝π2.()(2)直线ρcos θ＝2与直线ρsin θ＝2互相平行．()(3)ρ＝cos θ表示一个圆．()[解析](1)√过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为π2，故正确．(2)×ρcos θ＝2表示直线x＝2，ρsin θ＝2表示直线y＝2，这两直线互相垂直．(3)√ρ＝cos θ可化为x2＋y2＝x，故正确．[答案](1)√(2)×(3)√教材整理2曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．利用把曲线的两种方程进行相互转化．填空：(1)曲线ρ＝1的直角坐标方程为__________________________．(2)方程y＝2x的极坐标方程为___________________________．(3)圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为_____________________．[解析](1)ρ＝1，即ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.(2)把y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ，即tan θ＝2.(3)ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.[答案](1)x2＋y2＝1(2)tan θ＝2(3)(x－1)2＋y2＝1教材整理3圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系．如图，设定点F到直线l的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.①当0＜e＜1时，方程表示椭圆．②当e＝1时，方程表示开口向右的抛物线．③当e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．【例1】(1)求过点A(1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程；(2)求圆心在A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上． [精彩点拨] 解答本题先根据题意画出草图，设点M (ρ，θ)后建立关于ρ与θ的方程化简即可．[尝试解答] (1)如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4， ∠OAM ＝3π4， ∠OMA ＝π4－θ.在△OAM 中，由正弦定理得 OM sin ∠OAM ＝OAsin ∠OMA ，即ρsin 3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ， 所以ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝22， 化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(2)由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连结AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ.经验证，点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式．所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤： (1)建立适当的极坐标系； (2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； (5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常第(5)步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可．1．(1)求过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程．(2)在圆心的极坐标为A (4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹．[解] (1)如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)．∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴|MH |＝2·sin π4＝2，在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2，所以过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝2，其中0<θ<π.(2)设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点．连结OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.(1)射线y ＝3x (x ≤0)； (2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．[精彩点拨] 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入―→极坐标方程 [尝试解答] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 代入y ＝3x ，得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)． (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0，∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ，圆心为(－a,0)，半径为r＝|a|.1．化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0，只要将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入到方程f(x，y)＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x2＋y2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆．2．由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简．2．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．[解析]直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.[答案]ρ＝2cos θ(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos 2θ＝2；(4)ρ＝11－cos θ.[精彩点拨]极坐标方程――――→ρcos θ＝xρsin θ＝y直角坐标方程―→曲线的形状[尝试解答]根据点的极坐标化为直角坐标的公式：ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y.(1)∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，是过点(2,0)，垂直于x 轴的直线． (2)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x ＝0，即 (x －1)2＋y 2＝1. 故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆． (3)∵ρ2cos 2θ＝2，∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝2， 即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2，∴x 2－y 2＝2.故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线． (4)∵ρ＝11－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，∴x 2＋y 2＝1＋x ，两边平方并整理， 得y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.故曲线是顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，焦点为F (0,0)，准线方程为x ＝－1的抛物线．1．将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程．2．解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的式子，进行整体代换．方程的两边同乘以(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法．3．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．[解析] 极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.[答案] 1[1．在极坐标系中，求圆的极坐标方程的一般思路是什么？求直线的极坐标方程呢？[提示] 在圆上设M (ρ，θ)为任意一点，连结OM ，构造出含OM 的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，从而得到圆的极坐标方程．求直线的极坐标方程时，首先在直线上设任意一点M (ρ，θ)，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程．2．在极坐标系内，如何确定某一个点P 是否在某曲线C 上？[提示] 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．3．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？[提示] 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．【例4】 在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上任意一点，试求RP 的最小值．[精彩点拨] 解答本题可以设出动点P ，M 的极坐标，然后代入条件等式求解即可，也可以转化为直角坐标方程解决．[尝试解答] 法一：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，点M 为(ρ0，θ)． ∵|OM |·|OP |＝12，∴ρ0ρ＝12，得ρ0＝12ρ. ∵M 在直线ρcos θ＝4上， ∴ρ0cos θ＝4，即12ρcos θ＝4，于是ρ＝3cos θ(ρ＞0)为所求的点P 的轨迹方程． (2)由于点P 的轨迹方程为ρ＝3cos θ＝2·32cos θ，所以点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉极点)．又直线l ：ρcos θ＝4过点(4,0)且垂直于极轴，点R 在直线l 上，由此可知RP 的最小值为1.法二：(1)直线l ：ρcos θ＝4的直角坐标方程为x ＝4，设点P (x ，y )为轨迹上任意一点，点M (4，y 0)，由O P →∥OM →得y 0＝4yx (x ＞0)． 又|OM |·|OP |＝12， 则|OM |2·|OP |2＝144， ∴(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋16y 2x 2＝144， 整理得x 2＋y 2＝3x (x ＞0)，这就是点P 的轨迹的直角坐标方程．(2)由上述可知，点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉原点)．又点R 在直线l ：x ＝4上，由此可知RP 的最小值为1.建立适当的极坐标系，有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式．可是，由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性，且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异，这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便，为此，往往把极坐标方程化为直角坐标方程，再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解．4．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程． [解] 法一：如图，圆心C (4,0)，半径r ＝|OC |＝4，连结CM . ∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上．所以，动点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)．N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1. ①∵M 是ON 的中点，∴⎩⎨⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ，代入①式得2ρ＝8cos θ，故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.1．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆[解析] 方程可化为ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2－22x －22y ＝0，所以曲线表示圆．[答案] D2．过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρcos θ＝2B ．ρsin θ＝2C ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1[解析] 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除点A (2,0)外的任意一点，连结OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，所以有|OM |cosθ＝|OA |，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.[答案] A3．在极坐标系中，极点到直线ρcos θ＝2的距离是________．[解析] ρcos θ＝2，即x ＝2.所以极点到直线的距离为2.[答案] 24．两直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 016，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 015的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交)[解析] 两直线方程可化为x ＋y ＝2 0162，y －x ＝2 0152，故两直线垂直．[答案] 垂直5．求以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．[解] 设P (ρ，θ)为圆C 上任意一点(不与O ，A 点重合)，圆C 交极轴于另一点A ，则|OA |＝8.在Rt △AOP 中，|OP |＝|OA |cos θ，即ρ＝8cos θ，经验证点O ，点A 也满足该等式，所以ρ＝8cos θ.这就是圆C 的极坐标方程．。

4.简单曲线的极坐标方程教学目标 班级______姓名________1.了解简单曲线的极坐标方程.2.熟练掌握曲线极坐标方程与直角坐标方程的相互转化.教学过程一、知识要点.1.极坐标与直角坐标的相互转化.（1）直角坐标),(y x 化极坐标),(θρ：22y x +=ρ，xy arctan =θ； （2）极坐标),(θρ化直角坐标),(y x ：θρcos ⋅=x ，θρsin ⋅=y .2.简单曲线的极坐标方程.（1）直线：①过极点，倾斜角为α：αθ=或παθ+=.②过),(αa A ，垂直于极轴：αθρcos cos ⋅=⋅a .（2）圆：①以极点为圆心，a 为半径：a =ρ.②过)0,0(O ，)0,2(a A )0(>a ，以OA 为直径：θρcos 2a =.3.极坐标方程的解题思想：（1）将极坐标转化成直角坐标；（2）在直角坐标系中解决问题；（3）再将结果转化成极坐标.二、例题分析.1.极坐标方程化直角坐标方程.例1：把下列极坐标方程化成直角坐标方程.（1）2sin =θρ； （2）04)sin 5cos 2(=-+θθρ；（3）θρcos 10-=； （4）θθρsin 4cos 2-=.2.直角坐标方程化极坐标方程.例2：把下列直角坐标方程化成极坐标方程.（1）4=x ； （2）02=+y ；（3）0132=--y x ； （4）1622=-y x .作业：1.求下列曲线的极坐标方程.（1）过点)3,2(π，且与极轴垂直的直线；（2）圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆.2.已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，求点)47,2(πA 到这条直线的距离.。