2019-2020年高中数学 第一讲 坐标系 二 极坐标系成长训练 新人教A版选修4-4

二 极坐标系主动成长夯基达标1.点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )A.(2,4π) B.(2,43π)C.(2,45π)D.(2,47π)解析:因为点P (-2,2)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为43π,故选B.这种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础. 答案:B2.点P (ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( ) A.(-ρ0,θ0) B.(ρ0,-θ0) C.(-ρ0,-θ0) D.(-ρ0,θ0+π)解析:由ρ取负值时点的确定方法即可. 答案:A3.方程ρ2cos2θ=c 2(c>0)的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析:方程ρ2cos2θ=c 2⇒ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=c 2⇒x 2-y 2=c 2. 答案:C4.曲线的极坐标方程为a ρcos 2θ+bcos θ-sin θ=0(a≠0),则曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析:将方程aρcos 2θ+b cos θ-sin θ=0各项都乘以ρ,aρ2cos 2θ+bρcos θ-ρsin θ=0⇒ax 2+bx -y =0⇒y =ax 2+bx ,是抛物线. 答案:D 5.点P 1(2,4π),P 2(-3,-4π),则|P 1P 2|的值为( ) A.13B.5C.2613+D.2613-解析:应用极坐标系中两点间的距离公式 |P 1P 2|=)-θ(θρρ-+ρρ12212221cos 2(ρ1、ρ2≥0). 其中P 2(3,43π),代入可得. 答案:A6.已知点A(-2,-2π),B(2,43π),O (0,θ),则△ABO 为( ) A.正三角形B.直角三角形C.锐角等腰三角形D.等腰直角三角形 解析:点A (-2,-2π)即为A (2,2π), ∴∠AOB =4π,且|OB |=2,|OA |=2. ∴△ABO 为等腰直角三角形. 答案:D7.直线l 过点A (3,3π)、B (3,6π),则直线l 与极轴夹角等于________. 解析:如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B 的位置分析夹角的大小.∵|AO |=|BO |=3,∠AOB =3π-6π=6π, ∴∠OAB =26π-π=125π. ∴∠ACO =π-3π-125π=4π.答案：4π8.极坐标方程ρ=θθsin cos 22+所对应的直角坐标方程为________.解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,⎩⎨⎧θy=ρθx=ρsin,cos,⎪⎩⎪⎨⎧≠+=,0,tan,222xxy=yxρθ将ρ、θ消去,换成字母x、y即可.因为ρ=θθ2sincos22+可化为ρ=θθ2cos1)cos1(2-+,即ρ=θcos12-,去分母,得ρ=2+ρcosθ,将公式代入得x2+y2=(2+x)2,整理可得.答案：y2=4(x+1)说明：极坐标与直角坐标的互化是重点,在解这类题时,除正确使用互化公式外,还要注意与恒等变换等知识相结合.9.已知下列各点的极坐标为A(5,3π),B(2,0),C(6,-65π),D(-4,6π),E(0,3π),画出这些点,并求出它们的直角坐标.解:这些点如图.利用公式⎩⎨⎧θy=ρθx=ρsin,cos即可求出它们的直角坐标为A(0,5),B(2,0),C(-33,-3),D(-23,-2),E(0,0).10.在极轴上求与点A(42,4π)距离为5的点M的坐标.解析:题目要求是点在极轴上,可设点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A、M两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M的坐标来.解:设M(r,0),∵A(42,4π),∴4πcos28)24(22rr-+=5,即r2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M点的坐标为(1,0)或(7,0).在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=)-θ(θρρ-+ρρ21212221cos 2,此式可直接利用余弦定理得证.11.舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.解析:先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段BC 的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和PA 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标.解:对舰B 而言,A 、C 两舰位置如图所示.为方便起见,取B 所在直线为x 轴,AB 的中点O 为原点建立直角坐标系,则A 、B 、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,23). 由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所处位置为P ,则|PB |=|PC |. 于是P 在BC 的中垂线l 上,易求得其方程为3x -3y +73=0.又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB |-|PA |=4,于是知P 应在双曲线5422y x -=1的右支上. 直线l 与双曲线的交点P (8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解.据已知两点的斜率公式,得直线P A 的倾斜角为60°.于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|P A|=10.所以,以舰A 所在地为极点,舰A 发射炮弹的极坐标为(10,3π).走近高考1.(经典回放)极坐标方程4ρsin 22θ=5表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解析:利用半角公式把原方程化为4ρ2cos 1θ-=5,即4ρ-4ρcos θ=10,∴4ρ=4x +10.∵ρ=,22y x +∴16(x 2+y 2)=(4x +10)2.整理,得4y 2-20x -25=0.∴为抛物线. 答案:D2.(经典回放)极坐标方程4sin 2θ=3表示的曲线是( ) A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解析:把原极坐标方程两边都乘以ρ2,得4ρ2sin 2θ=3ρ2,即4y 2=3(x 2+y 2),即y =±3x .∴所表示的曲线是两条相交直线. 答案:B3.(经典回放)极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=cos4πcos θ+sin 4πsin θ. 两边同乘以ρ,得ρ2=22ρcos θ+22ρsin θ, 即x 2+y 2=22x +22y , 即为x 2+y 2-22x -22y =0表示圆.答案:D4.(经典回放)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+4π)=22,则极点到该直线的距离是________. 解析:∵ρsin(θ+4π)=22,∴ρsin θcos 4π+ρcos θsin 4π=22,即x +y =1.∴原点到直线x +y =1的距离为d =2221. 答案:22 5.在极坐标系中,O 是极点,设点A (4,3π),B (5,-65π),则△OAB 的面积是________.解析:如图,|OA |=4,|OB |=5,∠AOB =2π-3π-65π=65π.∴S △OAB =21×4×5×sin 65π=5. 答案:5。

二极坐标系学习目标：1。

理解极坐标系的概念．2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．(难点）3.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式,能进行极坐标和直角坐标的互化.(重点、易错点）教材整理１极坐标系阅读教材P8～Ｐ10，完成下列问题．1．极坐标系的概念(1）极坐标系的建立:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点Ｏ引一条射线Ｏx，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标:设M是平面内一点,极点O与点Ｍ的距离｜OM｜叫做点Ｍ的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM为终边的角ｘＯM叫做点Ｍ的极角,记为θ.有序数对（ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M（ρ,θ).一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．点与极坐标的关系一般地,极坐标(ρ，θ)与（ρ,θ＋2ｋπ）(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0,θ）（θ∈R)．如果规定ρ〉0,０≤θ＜２π，那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ）表示；同时，极坐标（ρ，θ）表示的点也是惟一确定的．在极坐标系中，ρ1＝ρ2,且θ1=θ2是两点M（ρ1,θ1)和N(ρ２，θ2)重合的( )A．充分不必要条件Ｂ.必要不充分条件C．充要条件ﻩＤ.既不充分也不必要条件[解析]前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ１与θ2可相差2π的整数倍.［答案] A教材整理2 极坐标和直角坐标的互化阅读教材P１１，完成下列问题.1.互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示．2.互化公式:设Ｍ是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,ｙ），极坐标是（ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：将点Ｍ的极坐标错误!化为直角坐标是（ )A.(5,5错误!未定义书签。

第一讲坐标系二、极坐标高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1点P的直角坐标为(1,- 3),则它的极坐标是()A.QB.(2,C.^T)D.(2'-竽)解析：p= 2, tan B=—叮3,因为点P(1,- 3)在第四象限’/ n故取e=- 3,所以点P的极坐标为2,- n答案：C2. 将点的极坐标(n , —2n )化为直角坐标为()A. ( n , 0)B. ( n , 2 n )C. (— n , 0)D. (—2n , 0)解析：x=兀cos(— 2 兀)=n , y=兀sin(— 2 兀)=0,所以点的极坐标(n,—2兀)化为直角坐标为(n, 0).答案：A3. 设点P对应的复数为一3+ 3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为()A. 3 2,条B. —3 2,右解析：点P 的直角坐标是（一3, 3）,极坐标是3 2, 一卜 '4 丿答案：A4. 若 p = pH 0, & — 02= n,则点 M （ p ,①）与点 N （ p, 02）的位置关系是（）A .关于极轴所在直线对称B .关于极点对称C .关于过极点与极轴垂直的直线对称D .重合解析：因为p = p M0, 01— 0= n,故点M , N 位于过极点的直 线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称.答案：B 二、填空题广 3 、 （ \5. 在极坐标系中，已知点 A1, 4n J, B2, -4 J,贝“ A 、B 两点 间的距离为 _______ .解析：由公式 |AB| = pl + p — 2 p i P2COS （ 01 — 02）,得 |AB| =答案：56.已知A , B 两点的极坐标为6, n j, 8, fj,则线段AB 中 点的直角坐标为 ________ .C. 3, 5 4nD.r 3,4n3n所以A , B 两点的直角坐标是(3, 3 3), (— 4,— 4 3), (n (7 n7.在极坐标系中，0为极点，若A3, 3 J, B — 4,石J ，则厶AOB 的面积等于 ________ .解析：点B 的极坐标可表示为g, n ，n n n则/AOB = 3—6= 6 ,11兀故 Sg AB = 2|0A| ・|OB|sinZAOB = q x 3X 4 s in 石=3. 答案：3(7 n「八2x ,8.平面直角坐标系中，若点 P 3, 7经过伸缩变换＜ ,1i 2， [y = 后的点为Q ,则极坐标系中，极坐标与 Q 的直角坐标相同的点到极 轴所在直线的距离等于 _____________ .(7n X=x ,解析：因为点P 3, 经过伸缩变换彳 1 后的点为'2〉 ”=y Q6,则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所(n解析：因为A , B 两点的极坐标为6, 3)8, 4n 3，所以线段AB 中点的直角坐标是答案:1 2’1 2,sin 7n=3. 在直线的距离等于6答案：3 三、解答题( 冗、 (5n ' 9.在极坐标系中，如果A 2, z , B 2, n 为等边三角形ABC < 4丿 < 4丿的两个顶点，求顶点 C 的极坐标(p> 0, 0< 0 < 2n )./ 、nn n □—解：对于点 A 2 一 有 p= 2, 0= T ，所以 x =2cos "j = J 2,i ' 4丿44ny = 2sin 4 = 2,则 A( 2,2).x= p 6, 解得ly= — 76所以点C 的坐标为(6,— 6)或(—6, 6).当x = 6, y =— 6,即点C 在第四象限时，对于B 2,5 n有 p=2, 0=~4,5 n 厂 所以 x = 2cos 4 =— 2, y = 2sin 5n 4 =— 2・ 所以 B( — 2，— 2).设点C 的坐标为(x , y),由于△ABC 为等边三角形,故 |AB| = |Bq = |AC|= 4.所以(x - 2) 2+(y - 2)(x + 2) 2+(y + 2) 16, 16.x =— 6,或y = 6.有p= 2 3, tan 0= —1,所以尸2』3, 0 = 4n.3当x =— 6, y = 6,即点C 在第二象限时，有尸2 3, 0=厶兀.( 7n 〔3n故点C 的极坐标为2民-4-或 2\3,〒.<4丿i4丿10•如果对称点的极坐标定义如下：当已知M( p, 0 )( p> 0, 0€ R)时，点M 关于极点0的对称点 M '— p, 0 ).例如，M 3, n 关于极点 0的对称点 M ，— 3, n ],就是说 I 3丿 I3丿r n 、 r n 、一一3, n +n 与—3, "3表示的就是同一点.已知A 点的极坐标是「 5n 、 一 6, 5^，分别在下列给定条件下，写出 A 点的极坐标： < 3丿(1) P> 0,— n < 0< n ・ (2) p<0, 0< 0<2 n ・ (3) p<0,— 2n < 0<0・即点A 与A‘关于极点O 对称. 由极坐标的定义知解：如图所示, |OA =|OA '=6,/xOA ‘2 n 5 n =3 ,/x0A = 3 ,p>0,— nVBWn 时，A 6,直线AB 的倾斜角为则 |OA| = |OB|= 3,n nZAOx = 2 , ZBOx = 6,n所以Z AOB = 3・所以△AOB 为正三角形，从而|AB| = 3,直线AB 的倾斜角为n-答案：3 P 在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为 2,[0, 2n ）时，点P 的极坐标为 .⑵当 pV 0, 0< 0<2n 时，A-6,⑶当 p<0,- 2n< 0< 0 时,[B 级 1.已知两点的极坐标为 A3,2n A — 6,-能力提升]，B3,，则 |AB| =解析：在极坐标系Ox 中作出点A 3, I 和 B n3,石J ，如图所示,2.已知点 则当p>0, 0 €解析：因为点P （X , y ）在第三象限角的平分线上，且到横轴的距 离为2,所以 x = — 2,且 y = — 2, 所以 p= x 2 + y 2= 2 2,所以△ AOB ^^ BOC ^^ AOC ，所以 AB = BC = CA ,又tan e=y = i ,且 0€ [0,5 n2兀），所以0= 4 .因此点 P 的极坐标为2^2 答案: 厂5n2迄，Tj3 .在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A2 訂 B（2' n），C 2,3 丿（1）判断△ ABC 的形状;兀）,C2,ZAOB =/ BOC =Z AOC = 3 ,故厶ABC为等边三角形.(2)由(1)可知，|AC|= 2|0A|sin； = 2X 2X 2 3. 所以S^ABC = 4 X (2 3)2= 3 3.。

主动成长夯基达标1.点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为(A.(2,4π) B.(2,43π)C.(2,45π)D.(2,47π)解析:因为点P (-2,2)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为43π,故选B.这种类型的问题是极坐标这一知识点中最基本的知识,是这一章知识的基础 答案:B2.点P (ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是( )A.(-ρ0,θ0)B.(ρ0,-θ0C.(-ρ0,-θ0)D.(-ρ0,θ0+π)解析:由ρ取负值时点的确定方法即可 答案:A3.方程ρ2cos2θ=c 2(c>0)的曲线是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析:方程ρ2cos2θ=c 2⇒ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=c 2⇒x 2-y 2=c 2 答案:C4.曲线的极坐标方程为a ρcos 2θ+bcos θ-sin θ=0(a≠0),则曲线是(A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 解析:将方程aρcos 2θ+b cos θ-sin θ=0各项都乘以ρ,aρ2cos 2θ+bρcos θ-ρsin θ=0⇒ax 2+bx -y =0⇒y =ax 2+bx ,是抛物线 答案:D 5.点P 1(2,4π),P 2(-3,-4π),则|P 1P 2|的值为(A.13B.5C.2613+D.2613-解析:应用极坐标系中两点间的距离公式 |P 1P 2|=)-θ(θρρ-+ρρ12212221cos 2(ρ1、ρ2其中P 2(3,43π),代入可得答案:A6.已知点A(-2,-2π),B(2,43π),O (0,θ),则△ABO 为( )A.正三角形B.直角三角形C.锐角等腰三角形D.等腰直角三角形 解析:点A (-2,-2π)即为A (2,2π ∴∠AOB =4π,且|OB |=2,|OA ∴△ABO为等腰直角三角形答案:D7.直线l 过点A (3,3π)、B (3,6π),则直线l 与极轴夹角等于________. 解析:如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B的位置分析夹角的大小∵|AO |=|BO |=3,∠AOB =3π-6π=6π∴∠OAB =26π-π=125π ∴∠ACO =π-3π-125π=4π答案：4π8.极坐标方程ρ=θθsin cos 22+所对应的直角坐标方程为________.解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式,⎩⎨⎧θy=ρθx=ρsin ,cos ,⎪⎩⎪⎨⎧≠+=,0,tan ,222x x y=y x ρθ将ρ、θ消去,换成字母x 、y 即可因为ρ=θθ2sin cos 22+可化为ρ=θθ2cos 1)cos 1(2-+,即ρ=θcos 12-去分母,得ρ=2+ρcos θ,将公式代入得x 2+y 2=(2+x )2,整理可得答案：y 2=4(x说明：极坐标与直角坐标的互化是重点,在解这类题时,除正确使用互化公式外,还要注意与恒等变换等知识相结合.9.已知下列各点的极坐标为A (5,3π),B (2,0),C (6,-65π),D(-4,6π),E(0,3π),画出这些点,并求出它们的直角坐标. 解:这些点如图利用公式⎩⎨⎧θy=ρθx=ρsin ,cos 即可求出它们的直角坐标为A (0,5),B (2,0),C (-33,-3),D (-23,-2),E (0,0).10.在极轴上求与点A(42,4π)距离为5的点M 的坐标. 解析:题目要求是点在极轴上,可设点M (r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A 、M 两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来 解:设M ∵A (42,4π∴4πcos28)24(22r r -+=5, 即r 2-解得r =1或r ∴M 点的坐标为(1,0)或在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=)-θ(θρρ-+ρρ21212221cos 2,此式可直接利用余弦定理得证.11.舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是 1 km/s,炮弹运行的初速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.解析:先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段BC 的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和P A 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标解:对舰B 而言,A 、C 两舰位置如图所示.为方便起见,取B 所在直线为x 轴,AB 的中点O 为原点建立直角坐标系,则A 、B 、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,23由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所处位置为P ,则|PB |=|PC于是P 在BC 的中垂线l 上,易求得其方程为3x -3y +73又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB |-|P A |=4,于是知P 应在双曲线5422y x -=1的右支上直线l 与双曲线的交点P (8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解据已知两点的斜率公式,得直线P A 的倾斜角为60°.于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|P A|=10. 所以,以舰A 所在地为极点,舰A 发射炮弹的极坐标为(10,3π).走近高考1.(经典回放)极坐标方程4ρsin 22θ=5表示的曲线是(A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解析:利用半角公式把原方程化为4ρ2cos 1θ-=5,即4ρ-4ρcos θ=10,∴4ρ=4x +10.∵ρ=,22y x +∴16(x 2+y 2)=(4x +10)2.整理,得4y 2-20x -25=0.∴为抛物线 答案:D2.(经典回放)极坐标方程4sin 2θ=3表示的曲线是(A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解析:把原极坐标方程两边都乘以ρ2,得4ρ2sin 2θ=3ρ2,即4y 2=3(x 2+y 2),即y =±3x∴所表示的曲线是两条相交直线答案:B3.(经典回放)极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是(A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解析:利用两角差余弦公式把原极坐标方程变形为ρ=cos4πcos θ+sin 4πsin θ两边同乘以ρ,得ρ2=22ρcos θ+22ρsin θ即x 2+y 2=22x +22y即为x 2+y 2-22x -22y =0表示圆答案:D4.(经典回放)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+4π)=22,则极点到该直线的距离是________. 解析:∵ρsin(θ+4π)=22,∴ρsin θcos 4π+ρcos θsin 4π=22,即x +y =1.∴原点到直线x +y =1的距离为d =2221=答案:225.在极坐标系中,O 是极点,设点A (4,3π),B (5,-65π),则△OAB 的面积是________. 解析:如图,|OA |=4,|OB |=5,∠AOB =2π-3π-65π=65π.∴S △OAB =21×4×5×sin65π答案:5。

二 第一课时 极坐标系的概念[课时作业][A 组 基础巩固]1．点M ⎝⎛⎭⎪⎫ρ，π4(ρ≥0)的轨迹是( ) A ．点B ．射线C ．直线D ．圆解析：由于动点M ⎝⎛⎭⎪⎫ρ，π4的极角θ＝π4，ρ取一切非负数，故点M 的轨迹是极角为π4的终边，是一条射线，故选B.答案：B2．极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫5，5π6关于极轴所在直线的对称点的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫5，7π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，11π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫5，－11π6 解析：由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π6关于极轴所在直线的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，－5π6，根据终边相同的角的概念，此点即⎝⎛⎭⎪⎫5，7π6. 答案：A3．在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫3，2π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，4π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6 解析：与A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎪⎫3，2k π＋π3(k ∈Z)，只有B 满足．答案：B4．在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H 解析：把极坐标化成最简形式M ⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，0， 故M ，N 是相互重合的点．答案：A5．一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P 1(－5,109°)，P 2(4,49°)，则这个三角形P 1OP 2的面积为( )A ．5 3B ．10 3 C.52 3 D ．10解析：点P 1的坐标可写为(5，－71°)，则∠P 1OP 2＝120°，S △P 1OP 2＝12×4×5sin 120°＝5 3.答案：A6．极坐标系中，极坐标为(6,2)的点的极角为________．解析：极坐标系中，极坐标为(6,2)的点的极角为2.答案：27．关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线；②极点的极坐标是(0,0)；③点(0, 0)表示极点；④点M ⎝⎛⎭⎪⎫4，π4与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π4表示同一个点；⑤动点M (5，θ)(θ>0)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．其中，所有正确叙述的序号是________．解析：结合极坐标系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任意实数；④中点M ，N 的终边互为反方向．答案：①③⑤8．求极坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4与B ⎝⎛⎭⎪⎫3，7π4两点之间的距离． 解析：如图所示．∠xOB ＝7π4，∠xOA ＝3π4， |OA |＝2，|OB |＝3，由题意，A ，O ，B 三点共线，∴|AB |＝|OA |＋|OB |＝2＋3＝5.9．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．解析：作出图形，可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于直线θ＝π2的对称点是⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6.[B 组 能力提升]1．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍． 答案：A2．在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π4，P 2⎝⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( ) A ．9B ．10C ．14D ．2解析：∵∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2， ∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝OP 21＋OP 22＝62＋82＝10，故选B.答案：B 3．已知极坐标系中，O 为极点，A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，OA ⊥OB ，|AB |＝5，若ρ≥0，θ∈[0,2π)，则点B 的极坐标为________．解析：设B (ρ，θ)，由OA ⊥OB ，得θ－π6＝±π2＋2k π，k ∈Z ， 即θ＝π6±π2＋2k π，k ∈Z ， 由|AB |＝5，得 ρ2＋32－2×3×ρk π±π2＝5， 所以ρ2＝42⇒ρ＝4(因为ρ≥0)．又θ∈[0,2π)，得θ＝2π3或5π3， 所以点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π3 4．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________． 解析：如下图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3， 在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3 5．设点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求： (1)点A 关于极轴的对称点；(2)点A 关于直线l 的对称点；(3)点A 关于极点的对称点．(限定ρ>0，－π<θ≤π)．解析：如图所示：(1)关于极轴的对称点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3，(2)关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，(3)关于极点O 的对称点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2π3.。

二 极坐标系一、基础达标1.点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，则点P 的直角坐标为( ) A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2)D.(－2，2)解析 x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝－ 2. 答案 B2.点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则点M 的极坐标可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，－π2解析 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.答案 C3.下列各点与⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3表示极坐标系中同一点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3B.(2，π)C.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3 D.(2，2π)解析 与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3＋2k π(k ∈Z )，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，7π3适合.答案 C4.在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π4、P 2⎝⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( )A.9B.10C.14D.2解析 ∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.答案 B5.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________.解析 由公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）， 得|AB |＝1＋4－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝1＋4－0＝ 5.答案56.平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________.解析 ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 7π6＝3.答案 37.在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4距离为5的点M 的坐标.解 设M (r ，0)，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，∴（42）2＋r 2－82r cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7. ∴点M 的坐标为(1，0)或(7，0). 二、能力提升8.下列的点在极轴上方的是( ) A.(3，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6C.⎝⎛⎭⎪⎫4，7π4D.⎝⎛⎭⎪⎫4，17π4解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π4在极轴下方，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，17π4在极轴上方，故选D.答案 D9.点M ⎝⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在直线的距离为________.解析 依题意，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.答案 310.已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________.解析 如图，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝⎛⎭⎪⎫1，4π311.(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，11π6，求它们的直角坐标.(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，C (－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (－2，－2)，D (23，－2).(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.12.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.解 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形. (2)由上述可知，AC ＝2OA sin π3＝2×2×32＝2 3. ∴S △ABC ＝34×(23)2＝33(面积单位). 三、探究与创新13.某大学校园的部分平面示意图如图：用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m.建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).解 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系. 由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F (300，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫1502，34π.。

2021-2022年高中数学第一讲坐标系二极坐标系学案含解析新人教A 版1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)就叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.求点的极坐标(1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义． (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以，点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)(k ∈Z)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)．(2)由P ，Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)， 所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ) 或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)．设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．1．设点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：(1)点A 关于极轴的对称点； (2)点A 关于直线l 的对称点；(3)点A 关于极点的对称点．(规定ρ>0，－π＜θ≤π)． 解：如图所示：(1)点A 关于极轴的对称点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3.(2)点A 关于直线l 的对称点为C ⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3. (3)点A 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫1，－2π3. 2．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈)．解：作出图形，可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于直线θ＝π2的对称点是⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6.点的极坐标与直角坐标的互化(1)把点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)． 依据极坐标与直角坐标互化的公式解题． (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．3．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4解析：选B 点P (－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴的夹角为3π4.4．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)解：(1)∵x ＝ρcos θ＝4cos 5π3＝2.y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋－22＝22，tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y ＜0， ∴ρ＝15，θ＝3 π2.∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 课时跟踪检测(二)一、选择题1．在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( ) A ．M 和N B ．M 和G C ．M 和H D ．N 和H解析：选A 由极坐标的定义知，M ，N 表示同一个点． 2．将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化成直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53，5) C ．(5,5) D ．(－5，－5)解析：选A x ＝ρcos θ＝10cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3.3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．二、填空题5．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6关于极点的对称点为________．解析：如图，易知对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76π 6．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB |＝________.解析：|AB |＝12＋22－2×1×2co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ 5.答案： 57．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴的夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， ∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12，所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π4三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4， 所以422＋r 2－82r cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0. 解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)． 解：(1)ρ＝32＋32＝2 3.tan θ＝33＝ 3.又因为点在第一象限， 所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3. (2)ρ＝－12＋－12＝2，tan θ＝1.又因为点在第三象限， 所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4. (3)ρ＝－32＋02＝3，画图可知极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．10．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．解：(1)设点P 新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6， ∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2.30393 76B9 皹KY27799 6C97 沗36282 8DBA 趺Y20570 505A 做 m4K=L23334 5B26 嬦,。

第一课时 极坐标系的概念课时跟踪检测一、选择题1．(2019·衡水期中)极坐标系中，与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3相同的点是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫3，5π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－2π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫3，－4π3 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3，－5π3 解析：因点π3与－5π3的终边相同，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－5π3与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3重合，故选D ． 答案：D2．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(ρ，π－θ)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在的直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于过极点且垂直于极轴的直线对称解析：如图，点A (ρ，θ)与点B (ρ，π－θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称．故选D ．答案：D3．(2019·北京海淀区期末)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4与点⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4的距离为( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ． 5解析：依题意，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4和点⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4的距离d ＝12＋12－2×1×1×co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3π4＝2.故选B ． 答案：B4．在极坐标系中，确定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6的位置，下面方法正确的是( )A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2B ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：本题涉及极径ρ取负值的坐标表示，当ρ<0，确定点M (ρ，θ)的方法如下：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝|ρ|，故选B ．答案：B5．已知极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，若O 为极点，则△OAB 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰锐角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，∴|OA |＝2，|OB |＝2，∠AOB ＝34π－π2＝π4，∴|AB |＝22＋(2)2－2×2×2×22＝2，∴△AOB 为等腰直角三角形．故选D ． 答案：D6．与极坐标⎝⎛⎭⎪⎫－3，π6不表示同一点的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，76π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－76πC ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，－116π D ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，136π 解析：由ρ＝－3的表示方法知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，76π，⎝⎛⎭⎪⎫－3，－116π，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，136π与⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π6表示同一点，故选B ．答案：B 二、填空题7．将极轴绕极点顺时针方向旋转π4，得到射线OP ，在OP 上取一点M ，使|OM |＝2 018，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时的点M 的极坐标为____________．解析：∵－π4＝－2π＋74π，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018，74π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫2 018，74π8．下列各点的相互位置关系：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.①A ，B 关于极轴所在直线对称；②A ，C 关于极点对称；③A ，D 关于过极点且垂直于极轴的直线对称．其中正确的是________．解析：在极坐标系中画出各点便知①②③都正确． 答案：①②③9．(2019·宝鸡中学期末)将极轴Ox 绕极点顺时针方向旋转π6得到射线OP ，在OP 上取点M ，使|OM |＝2，则当ρ＞0，θ∈[0,2π)时点M 的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为________(ρ＞0，θ∈[0,2π))．解析：依题意，ρ＝|OM |＝2，与OP 终边相同的角为－π6＋2k π(k ∈Z )．∵θ∈[0,2π)，∴k ＝1时θ＝11π6，∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6，它关于极轴对称的点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，11π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6三、解答题10．某大学校园的部分平面示意图如图，用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系． 由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m.又|AB |＝|BC |， 所以|AB |＝150 m.同理，得|OE |＝2|OD |＝2|AC |＝300 2 m ，|OG |＝12|OE |＝150 2 m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，D ⎝⎛⎭⎪⎫300，π2，E ⎝⎛⎭⎪⎫3002，3π4，F (300，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫1502，3π4. 11．(2019·抚顺第一中学月考)已知定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，将极点O 移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处，极轴方向不变，求点P 的新的极坐标．解：设点P 的新的极坐标为(ρ，θ)，如图．则|OO ′|＝23，又|OP |＝4，∠POO ′＝π3－π6＝π6，在△OPO ′中，ρ2＝(23)2＋42－2×23×4×cos π6＝4，故ρ＝2，又sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，所以sin ∠OPO ′＝sinπ62×23＝32，所以∠OPO ′＝π3，所以θ＝π3＋π3＝2π3，故点P 的新的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3.12．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解：(1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3得，|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3.∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， ∴|AB |＝|BC |＝|CA |，故△ABC 为等边三角形．(2)由上述可知，|AC |＝2|OA |sin π3＝2×2×32＝2 3.∴S △ABC ＝34×(23)2＝3 3.13．(2019·保定高二期末)在极坐标系中，与点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3关于极点对称的点的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，4π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3 D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－2π3 解析：设点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3关于极点的对称点为P ′(ρ，θ)，则ρ＝|OP |＝2，θ＝(2k ＋1)π＋π3(k ∈Z )，令k ＝－1，则θ＝－2π3，∴P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3. 答案：D。

二 极坐标系更上一层楼基础·巩固1点 P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为()3A.(2, )B.(2,)4 45 7C.(2,)D.(2,)44思路解析： 因为点 P( 2, 2 )在第二象限,与原点的距离为 2,且 OP 的倾斜角为 答案：B34.故选 B.2图 1-2-8是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说 出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.图 1-2-8思路分析：如图所示,以 AB 所在直线为极轴,点 A 为极点建立极坐标系.找 AB 、AC 、AD 、AE 的 距离为各点的极径,分别以 x 轴为始边,AB 、AC 、AD 、AE 为终边找在 0到 2π之间的极角.解：教学楼点 A(0,0),体育馆点 B(60,0),图书馆点 C(120, 3楼点 E(50,).43),实验楼点 D(60 3 ,2),办公3已知过曲线x y3cos ,4 s in(θ 为参数，且 0≤θ≤π)上一点 P 与原点 O 的直线 PO 的倾斜角为4，则 P 点坐标是()3 2A.(3,4)B.(,22)211212C.(-3,-4)D.( , )55思路解析：因为点P与原点O的直线PO的倾斜角为，即点P的极角θ=4曲线方程，即可求出点P的直角坐标来.答案：B 4，直接代入已知4极坐标系中，点A的极坐标是(3, 6)，则(1)点A关于极轴对称的点是_______________；(2)点A关于极点对称的点的极坐标是_______________；(3)点A关于直线θ=的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ>0,θ∈［0,2π］）2思路解析：如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意：极角是以x轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.11答案：(1)(3, ) (2)(3,65直线l过点A(3, )、B(3,375) (3)(3, )66)，则直线l与极轴夹角等于_______________. 6思路解析：如图所示,先在图形中找到直线l与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A、B的位置分析夹角的大小.∵|AO|=|BO|=3,∠AOB= - = ,36665∴∠OAB=分π- .2125∴∠ACO=π- - = .3124答案：422cos6极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程为__________.sin222cos 2(1cos)2思路解析：因为ρ= 可化为ρ= ,即ρ=,sin1cos1cos22去分母,得ρ=2+ρcosθ.将公式代入得x2+y2=(2+x)2.整理可得.答案：y2=4(x+1)27在极轴上求与点 A(4 2 , 4)距离为 5的点 M 的坐标_________.思路分析：题目要求是点在极轴上,可设点 M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A 、M 两 点之间的距离为 5,所以可以根据余弦定理求出点 M 的坐标来. 解：设 M(r,0), ∵A(4 2 ,4),∴(4 2)2r28 2r cos=5,4即 r 2-8r+7=0.解得 r=1或 r=7. ∴M 点的坐标为(1,0)或(7,0).在极坐标系下,任意两点 P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=12 cos() 222,此式可直接利用余弦定理证得.21128已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A(5,6 ),B(5, 2 ),C( 4 3 , 3 ),判断△ABC 的形状， 并求出它的面积.（提示：对于点 M(ρ,θ)，当极径小于零时，此时 M 点在极角 θ 终边的反 向延长线上，且 OM=|ρ|）思路分析：判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易， 不妨先计算边长.解：∵∠AOB=3,∠BOC=56,∠AOC=56,又∵|OA|=|OB|=5,|OC|=4 3 ,∴由余弦定理，得|AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|·|OC|·cos∠AOC5=52+(4 3 )2-2×5×4 3 ·cos=133.6∴|AC|= 133 .同理,|BC|= 133 . ∴|AC|=|BC|.∴△ABC 为等腰三角形.又|AB|=|OA|=|OB|=5,∴AB 边上的高 h=1 13 3 | AC |2( | AB |)2.2 2∴S △ABC =1 2 133 .3 65 ×524综合·应用9二次方程x2-ax+b=0的两根为sinθ、cosθ，求点P(a,b)的轨迹方程（其中|θ|≤）.4思路分析：这是一道三角函数知识与极坐标知识的综合运用题,尤其对三角要求比较高,还要注3意三角函数的有界性,求出轨迹方程的限制条件.a解：由已知,得bs insin cos,cos,.①②1①2-2②,得a2=2(b+ ).2∵|θ|≤,由sinθ+cosθ= 2sin(θ+ ),知0≤a≤2.4411由sinθ·cosθ= sin2θ,知|b|≤.221∴P(a,b)的轨迹方程是a2=2(b+ )（0≤a≤2）.210舰A在舰B的正东6km处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4km处，它们围捕海洋动物.某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号.A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 k m/s,炮弹运行的初速度是203g3km/s，其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求舰A发射炮弹的极坐标.思路分析：先建立直角坐标系,分析出点P在双曲线上,又在线段的垂直平分线上,求出交点P的坐标,然后求出P、A两点之间的距离和PA与x轴正向所成的角,即可确定点P的极坐标.解：对舰B而言,A、C两舰位置如图所示.为方便起见,取B所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,则A、B、C三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,23).由于B、C同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC|.于是P在BC的中垂线l上,此直线的倾斜角为30°,则其斜率为tan30°=33,设此直线为y=33x+b,将B,C的中点(-4, 3)代入上73式,得b=,则求得其方程为3x-3y+73=0.3又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4.∴a=2.又A、B的坐标分别为(3,0)、(-3,0),可知c=3.∴945.于是知P应在双曲线x2y2=1的右支上.由44422xy1, 4 43x 3y 73 0, 得直线 l 与双曲线的交点 P(8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解. 据已知两点的斜率公式,得直线 PA 的倾斜角为 60°.于是舰 A 发射炮弹的方位角应是北偏东 30 °.利用两点间的距离公式,可得|PA|= (83)2 (5 3 0)225 75 =10.所以,以舰 A 所在地为极点,舰 A 发射炮弹的极坐标为(10,3).11我们已经熟悉了极点在直角坐标系的原点、极轴与 x 轴正向相同的极坐标系下直角坐标与 极坐标的互化,那么当极点不在坐标原点,以与 x 轴平行的直线的正向为极轴时，又怎么求出点 的极坐标来呢？(1)极坐标系的极点在直角坐标系的 O′(-3+ 3,2 3 )，极轴的方向与 x 轴正向相同，两个坐 标系的长度单位相同，则点 P(-3, 3 )的极坐标是____________.(2)极点在点 O′(3,5)处，极轴与 y 轴正方向一致，两个坐标系的长度单位相同，求点 M(9,-1) 的极坐标.思路分析：不管哪种建系原则,我们只要从定义出发,就能够解决问题.需要的量是极径、极点 与点 P 的距离、极角,从极轴开始逆时针旋转到 OP 所得到的角.解：(1)如图(1),在 Rt △PAO ′中,O ′A=-3+ 3 -（-3）= 3 ,AP=2 3 - 3 = 3 .则 tan α=33=1,α=4,θ=∠x ′O ′P=π+4 =54,ρ=|O ′P|= [(3 3) (3)]2 (2 3 3)26 .在极坐标系 O ′x ′中,P 点的极坐标是( 6 ,54).(2)利用定义求出点的极坐标.如图(2),过 O ′点作 O ′A ∥Ox 轴,过 M 点作 MA ∥Oy 轴,与 O ′A 交于 A 点,连结 O ′M,则 ρ=|O ′M|= (93)2 (1 5)2 6 2 ,在 Rt △MAO ′中,|O ′A|=9-3=6,cos ∠AO ′M=2 2,.∴∠AO′M=453∴θ= -245∴M(62,45=4)..（注:极角是极轴按照逆时针方向旋转的）12如图1-2-9所示是某防空部队进行射击训练时的示意图，以O为极点，OA所在直线为极轴，已知A点坐标为(1,0)（千米），直升飞机位于D点向目标C发射防空导弹，D点坐标为5( , )，该导弹运行与地面最大高度为3千米，相应水平距离为4千米(即图中E点)，在地3293面O、A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α和β，tanα=，tanβ=，不考288 虑空气阻力，导弹飞行轨道为一抛物线，那么按轨道运行的导弹能否击中目标C?说明理由.图1-2-9思路分析：能否击中C点，关键是看一下C点是否在导弹飞行的轨迹上，需要算出它的轨迹方程来.先把极坐标化为直角坐标，然后建立直角坐标系：以地面为x轴，以点D向地面作的垂线为y轴,并且求出C点坐标，再验证该点是否满足轨迹方程.5解：A点化为(1,0)，D点化为(0, )，由已知E点为(4,3),351设抛物线为y=a(x-4)2+3.由抛物线过点(0, )，求得a=.所以y=312 25x+ .331(x-4)2+3=121x2+12设C点坐标为(x0,y0)，过C作CB⊥Ox于B，tanα= yx928,tanβ=yx138,则928x0=38(x0-1).解得x0＝94,即C点941)，经计算2+23x0+531=2+·723·7+537，求出y0＝坐标为(7,x1212= 9 4 .所以C点在抛物线上.故依轨道运行的导弹可以击中目标C.6。