10.04.22高二理科数学《第一讲 二、极坐标系》

极坐标系定义
极坐标系是一种用来描述平面上点的坐标系统。

它由两个数
值组成，分别是极径和极角。

在极坐标系中，每个点可以通过一个有序对(r,θ)来表示，其
中r表示点到原点的距离，即极径，θ表示点与正向极轴的夹角，即极角。

极径是一个非负数，它可以是实数或者正无穷大。

而极角是
一个弧度数，它的取值范围通常是[0,2π)或者(π,π]。

极轴是极坐标系中一个特殊的直线，通常与正x轴重合。

在极坐标系中，一个点的坐标可以有不同的表示方法，例如(r,θ)，(r,θ+2kπ)，(r,θ+360°)，其中k是整数。

这是因为极角的定义具有周期性。

极坐标系的优点是可以方便地描述环形结构和对称性。

例如，圆的方程在极坐标系中变为简单的r=constant的形式，而直
线在极坐标系中通常会变为一个斜线。

在极坐标系中，坐标变换与直角坐标系相比较复杂，因此在
实际应用中，一般会选择最方便的坐标系来描述问题。

但对于
一些特殊的情况，如天文学中描述星体的运动轨迹、电力工程
中描述电场分布等，极坐标系仍然是一种重要的工具。

1. 极坐标系的概念(1) 极坐标系的建立：在平面内取一个定点O,叫做披点，自极点O 引一条 射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方 回(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2) 极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M,用p 表示线 段OM 长度,用e 表示射线Ox 到0M 的角度,p 叫做点M 的极径,e 叫做点M 的鯉，有序数对虹卫就叫做点M 的极坐标，记作M (0 0).(3)极坐标与直角坐标的区别与联系直角坐标 极坐标区别点与直角坐标是“一对一”的关系山于终边相同的角有无数个，即点的极角不惟 因此点与极坐标是“一对多”的关系联系直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意一点的位置的，它们都是一对有序的实数2. 极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；② 极轴与X 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位.[对应学生用书P4][对应学生用书P4](2)互化公式＜x=pcos 0, y=psin 0：才=壬+)己 tan 0=*(xHO).［例1］已知点Q9, 0），分别按下列条件求出点P的极坐标.（1）点P是点Q关于极点O的对称点；（2）点P是点Q关于直线0=1的对称点.［思路点拨］确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义.［解］（1）由于P, Q关于极点对称,得极径\OP\=\OQ\t极角相差（2R+1）兀伙GZ）.所以，点P的极坐标为S，（2W+1）兀+0）或（一p, 2M+0）伙GZ）.（2）由P、Q关于直线0=扌对称，得它们的极径\OP\ = \OQ\,点P的极角0’满足0’ =兀一0+2加伙WZ）,所以点P的坐标为9，（2«+1）兀一0）或（—p、2kn—0）伙GZ）.［方法•规律•小结］、设点M的极坐标是（Q, 0）,则M点关于极点的对称点的极坐标是（一“，0）或（/?, 0+兀）；M点关于极轴的对称点的极坐标是（q,—0）：M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是9,兀一0）或（一“ 一0）.另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的.1.在极坐标系中，画出点人（1,另，B（2,夢）,C（3, —彳）.解：如图所示.2.在极坐标系中，点A的极坐标是〔3,芳，求点A关于直线0=号的对称点的极坐标（规定p>0, 6>G［O,2H］）.解：作出图形，可知A（3,肖关于直线0=乡的对称点是（3, ¥|.［例2］（1）把点A的极坐标（2,乎）化成直角坐标；（2）把点P的直角坐标（1, 一羽）化成极坐标.（卩>0, 0WX2JT）.［思路点拨］依据极坐标与直角坐标互化的公式解题.［解］（l）x=2cos¥=—羽，7兀y=2sin-^-= —1,故点q的直角坐标为（一羽，-1）.（2）p=pF+（—羽尸=2, tan0=〒—=_羽.又因为点P在第四象限且0WX2兀，得0=¥・因此点p的极坐标是b，¥）•［方法•规律•小结］、（1）极坐标和直角坐标互化的前•提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可.（2）熟记互化公式，必要时可画图来分析.3.点P的直角坐标为（一血，^2）,那么它的极坐标可表示为（）B (2,芋 D (2,乎解析：点P(-羽,迈)在第二象限，与原点的距离为2,且与极轴夹角为乎.答案：B4. 若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. (1)已知点4的极坐标(4, y),求它的直角坐标;(2)已知点3和点C 的直角坐标为(2, —2)和(0, -15),求它们的极坐标.(p >0,000<2兀)小八 5兀 解:(1) Vx=pcos ^=4 cos —=2y=/?sin 0=4sin¥= — 2羽.・・.q 点的直角坐标为(2, — 2羽).(2) ••>=心2+护=寸22+(_2)2 = 2^2,—2tan^=—=-1.且点B 位于第四象限内,・・・0=乎，・••点B 的极坐标为(2边，乎). 又・.・x=0, yVO, ・・・p=15, 0=話. ・••点C 的极坐标为(15, y].[对应学生用书P5]一、选择题A.(2, | C (2,乎 YING YONG1.在极坐标平面内，点 Mf ，200兀)，N 3 兀，201 兀j), G(—扌，一200兀),)彳2兀+£, 200TTB. M 和 G解析：由极坐标的定义知，M. N 表示同一个点. 答案：A2.将点M 的极坐标(10, A. (5,5^3) C. (5,5)解析：x=pcos 0= lOXcos 扌=5, y=psin 0=lOsin^=5羽. 答案：A3. 在极坐标系中，p\—pi 且01 =02是两点M （p\, 01）和N （/>2，02）重合的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：前者显然能推出E 者，但E 者不一定推出前者，因为创与02可相差 2兀的整数倍.答案：A4. 已知A, B 两点的极坐标分别为（6,另和（8, y ）,则线段AB 中点的直角解析：A3中点的极坐标为（1, 根据互化公式x=pcos0=cos y=—y=psin 0=sin 警=一誓，因此，所求直角坐标为（一*,—誓）答案：B 二、填空题5. ________________________________ 点（2,号关于极点的对称点为B. (5羽，5)D. (—5, —5)解析：如图所示，先在图形中找到直线/与极轴夹角(要注意夹角是个锐角), 然后根据点4, B 的位置分析夹角大小.因为 1401 = 1501 = 3,TC所以 =所以ZACO=7i_彳一誇=彳. 答案：扌 三、解答题8. 在极轴上求与点q (4辺，另的距离为5的点M 的坐标. 解：设 M(r,0), 因为菱4迈，另，71 7T 7TZAOB=~6=69则 \AB\=答案:^5所以p (4&y + F — 8羽厂co 呀=5, 即 r-8r+7=0.解得 r= 1 致 r=7. 所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0).9. (1)已知点的极坐标分别为彳3, —另，耳2, y), 4爭，#一4,劭，求它们的直角坐标.(2)已知点的直角坐标分别为4(3, V3),彳0,—割, C (-2, 一2羽)，求它们的极坐标S$O,OW0V2TT ).‘3迈 3呵 I 2，一 2 丿,B （-l,回，d —芈，0）, 00, -4）.⑵根据°2=疋+)?, tan0=*得A (2萌,号, 聘'夢)'《，T ) 10. 已知定点”4,另.⑴将极点移至O'(2羽，劭处极轴方向不变，求P 点的新坐标; (2)极点不变，将极轴顺时针转动｛角，求P 点的新坐标.解：⑴设P 点新坐标为(小0),如图所示，由题意可知\oo f i=2V3, \OP \:•乙 POO' =g在△POO'中，p2=42+（2羽）2-242迈・cos 彳=16+12—24=4, :.p = 2.解：（1）根据 x=pcos 0, y=psin0 得 A=4, "Ox=彳，ZO fsinZOPO' sin POO f又• —A/3 —=—2 —'・兀 sm&r:.sin ZOPO r =—2V3=^, :•乙OPO, =£,71 Tl 71/• ZOP P = 7T_〒_亍=亍，・・・P 点的新坐标为(2, y ). (2)如图,设P 点新坐标为0),则p=4, 0=扌+彳=乡9jr:•乙PP‘ x=y.A ^PO fx 9•••P 点的新坐标为。

二 极坐标系一．书读百遍1．极坐标系的概念（1）极坐标系在平面上取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．建立极坐标系的四要素：极点，极轴，长度单位、角度单位和其正方向.（2）极坐标系内一点的极坐标的规定设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记做ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ.说明：（1）一般地，不作特殊说明，我们认为0ρ≥，θ可取任意实数，当0ρ<时，我们规定点(,)M ρθ与点(,)P ρθ-关于极点对称.；（2）当极角R θ∈时，极坐标系中一个点的极坐标可以有无数种表示，但一个极坐标只对应一个点；当极角θ的取值范围是[)0,2π时，平面上的点（除去极点）就与极坐标()(),0ρθρ>建立一一对应的关系.约定：极点的极坐标为(0,)θ， 其中θ可以取任意角.2．极坐标系与直角坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系取相同的长度单位.设M 的直角坐标为(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，则互化公式为： cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩与222tan (0)x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩.二．感悟典例例1．（1）写出右图中,,,,,,A B C D E F G 各点的极坐标（0,02ρθπ>≤<）.（2）设点(2,)3A π，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴、直线l 、极点的对称点的极坐标（限定0ρ>，πθπ-<≤）．例2．（1）已知点的极坐标分别为(3,)4π，2(8,)3π，(2,)3π-，求它们的直角坐标；（2）已知点的直角坐标为，(1,1)--，(0,0)求它们的极坐标.例3．（1）在极轴上求与点)4A π的距离为5的点M 的坐为 ．（2）已知A 、B 两点极坐标为(4,)3A π，2(6,)3B π-，则线段AB 中点的极坐标为__________．（3）若2,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，54,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AB = _____．ABO S ∆= _____．（其中O 是极点）（4）在极坐标系中，如果52,2,44A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）.课时作业（二）1、3、10、11、13、16；课时作业（三）1——10。

高中数学第1讲坐标系2极坐标系学案新人教A版选修44二极坐标系学习目标：1.理解极坐标系的概念.2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．(难点)3.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点、易错点)教材整理1 极坐标系阅读教材P8～P10，完成下列问题．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．在极坐标系中，ρ1＝ρ2，且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．[答案] A教材整理2 极坐标和直角坐标的互化阅读教材P11，完成下列问题．1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．2．互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化为直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53，5) C ．(5,5)D ．(－5，－5)[解析] x ＝ρcos θ＝10 cos π3＝5，y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3.[答案] A将点的极坐标化为直角坐标【例1(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π；(3)⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3；(4)(2，－2)．[思路探究] 点的极坐标(ρ，θ)―→⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ―→点的直角坐标(x ，y )―→判定点所在象限．[自主解答] (1)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，∴点⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3的直角坐标为()－1，－3，是第三象限内的点．(2)x ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝3，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π的直角坐标为(－1，3)，是第二象限内的点．(3)x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点． (4)x ＝2cos (－2)＝2cos 2，y ＝2sin(－2)＝－2sin 2，∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限内的点．1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同．2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．1．分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6；(2)⎝⎛⎭⎪⎫3，π2；(3)(π，π)． [解] (1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)．(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3，∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫3，π2化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y ＝ρsin θ＝πsin π＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．将点的直角坐标化为极坐标【例2】 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)： (1)(－2,23)；(2)(6，－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.[思路探究] 利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限．[自主解答] (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x＝－3，θ∈[0,2π)， 由于点(－2,23)在第二象限， ∴θ＝2π3，∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π. (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)， 由于点(6，－2)在第四象限， ∴θ＝11π6，∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. (3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝yx＝1，θ∈[0,2π)， 由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，∴θ＝π4，∴点的直角坐标⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.1．将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)进行求解，先求极径，再求极角．2．在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z )即可．2．已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标： (1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．[解] (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23， tan θ＝33， 所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. (2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，43π. (3)ρ＝02＋(－2)2＝2，θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以C 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π.(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0，所以D 点的极坐标为(3,0)．极坐标与直角坐标的综合应用【例3】 在极坐标系中，如果A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．[思路探究] 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C 的直角坐标，进而求出点C 的极坐标．[自主解答] 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2)．对于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π有ρ＝2，θ＝54π， ∴x ＝2cos 5π4＝－2，y ＝2sin 5π4＝－2，∴B (－2，－2)．设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4，∴有⎩⎨⎧ (x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16，解之得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝6，∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6)， ∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1，∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．2．若设出C (ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解．3．本例中，如果点的极坐标仍为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点C 的极坐标？[解] 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直角坐标为(2，2)，点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4的直角坐标为(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |， ∴AC →·BC →＝0，即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0，∴x 2＋y 2＝4. ①又|A C →|2＝|B C →|2，于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2，∴y ＝－x ，代入①，得x 2＝2，解得x ＝±2， ∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)， ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.极坐标[探究问题]1．如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： ①他向东偏北60°方向走120 m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ ②如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？[提示] 以A 为基点，射线AB 为参照方向，利用与A 的距离、与AB 所成的角，就可以刻画平面上点的位置．①到达图书馆，该位置惟一确定；②体育馆在正东方向60 m 处，办公楼在西北方向50 m 处．2．在极坐标系中，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋2π，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋4π，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6－2π表示的点有什么关系？你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？[提示] 由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示同一个点．实际上，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋2k π(k ∈Z )都表示这个点．【例4】 设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．。

二 极坐标系[对应学生用书P5] 1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)极坐标与直角坐标的区别与联系2．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).[对应学生用书P5][例1] 已知点 (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．[思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．[解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)．(2)由P ，Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)， 所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)．设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．1．与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6不表示同一个点的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－7π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13π6解析：选B 根据极坐标(ρ，θ)与(ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)，(－ρ，2k π＋π＋θ)(k∈Z)在极坐标系中表示同一个点，可知只有⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－7π6与⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6表示的不是同一个点的极坐标．另外，也可画出点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，π6在极坐标系中的位置，如图所示，对照各选项进行检验．2．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π))．解：作出图形，可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于直线θ＝π2的对称点是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.[例2] (1)把点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，6化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ>0，θ∈[0,2π))． [思路点拨] 依据极坐标与直角坐标互化的公式解题． [解] (1)设A (x ，y )，则x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3.(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．3．分别把下列点的极坐标化为直角坐标．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2；(3)⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3；(4)(π，π)；(5)(6,2)．解：(1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)．(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3，∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫3，π2化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x ＝ρcos θ＝4cos 2π3＝－2，y ＝ρsin θ＝4sin2π3＝23， ∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3化为直角坐标为(－2,23)．(4)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y ＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)． (5)∵x ＝ρcos θ＝6cos 2，y ＝ρsin θ＝6sin 2， ∴点的极坐标(6,2)化为直角坐标为(6cos 2,6sin 2)． 4．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(ρ＞0，θ∈[0,2π))．解：(1)∵x ＝ρcos θ＝4cos 5π3＝2.y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. ∴点A 的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内，∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4.又∵x ＝0，y ＜0，∴ρ＝15，θ＝3π2.∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2.一、选择题1．已知点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6C.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析：选 B 在极坐标系中，描点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边，再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点，即为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2就是极角为π2的那些点的集合．故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2对称的点为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，但选项中没有此点，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6还可以写成⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.2．点M 的直角坐标为(－3，－1)，化为极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6C.⎝⎛⎭⎪⎫2，11π6D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π6解析：选B ∵点M 的直角坐标为(－3，－1)，∴ρ＝(－3)2＋(－1)2＝2，又点M 位于第三象限，且tan θ＝－1－3＝33，∴可取θ＝7π6，故选B. 3．极坐标系中的点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心的距离为( )A ．2B ．1C ．3 D. 3解析：选D 点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，由两点间的距离公式得所求距离为 3.4．在复平面内，设点P 对应的复数为1＋i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫－2，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34πD.⎝⎛⎭⎪⎫－1，π4 解析：选A 设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，∵点P 的直角坐标为(1,1)， ∴ρ＝|OP |＝2，θ＝π4，故选A.二、填空题5．极点的极坐标为________．解析：因为极点对应的极径为0，极角为任意角，所以极点的极坐标为(0，θ)(θ∈R)． 答案：(0，θ)(θ∈R)6．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB |＝________.解析： |AB |＝ 12＋22－2×1×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ 5.答案： 57．直线l 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角的大小为________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12，所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π4三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4， 所以(42)2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0. 解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3， C ⎝⎛⎭⎪⎫32，3π2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (6，2)，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－63， C ()－6，－2，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得A ⎝⎛⎭⎪⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，－32，D (32，－32)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π6. 10．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解：(1)如图，由A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，B ()2，π，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3，得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3. 所以△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， 所以|AB |＝|BC |＝|CA |， 故△ABC 为等边三角形． (2)由上述可知，|AC |＝2|OA |sin π3＝2×2×32＝2 3.所以S △ABC ＝12×23×23×32＝3 3.。

二极坐标系互动课堂重难突破一、极坐标的概念1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，我们经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标.2.如图,极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标.把定义弄清楚，我们就会用极坐标确定点的位置特别注意:(1)①极点,②极轴,③长度单位,④角度单位和它的正方向构成了极坐标系的四要素,缺一不可(2)特别地,当M在极点时,它的极坐标ρ=0,θ可以取任意值.极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R(3)一般地,不作特殊说明时,ρ≥0,θ可取任意实数.3.建立极坐标系后,给定ρ(ρ≥0)和θ,就可以在平面内唯一确定点M.确定的方法是(1)由θ定射线.根据θ角确定点M所在的射线OM(2)由ρ取点.在射线OM上取|OM|=ρ,点M的位置即可确定.4.给定平面内任意一点M,也可以找到它的极坐标(ρ,θ)(ρ特别注意:(1)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示(2)如果规定ρ≥0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.5.为完整起见,现作一补充:若ρ<0,则-ρ>0,我们规定点M(ρ,θ)与点P(-ρ,θ)关于极点对称.点M(ρ,θ)(ρ<0)的位置的确定方法是:(1)由θ定射线.先找出θ角的终边所在的射线,确定其反向延长线OM(2)由ρ取点.在射线OM上取|OM|=-ρ,点M的位置即可确定,如图进一步可以得出,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)(-ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z)表示同一点.应当指出,若ρ<0,应有说明;否则,可认为ρ≥0.二、极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示.我们要理解极坐标的概念,会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化,利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.2.极坐标与直角坐标的互化公式3.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(或除以)ρ等技巧.4.由直角坐标化成极坐标时,要注意点所在象限,从而确定极角θ 试一试：(1)已知点A 的极坐标(-4,3π5),求它的直角坐标； (2)已知点B 、C 、D 的直角坐标为(2,-2),(0,-15),(-12,5),求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 解：(1)点A 的直角坐标为(-2,23(2)∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋tan θ=22-=-1,且点位于第四象限,(注意!) ∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,43π对于D (-12,5),ρ=13,tan θ=-125.∵D 在第二象限内,∴θ=π-arctan 125∴D 点坐标为(13,π-arctan 125).活学巧用【例1】 已知两点的极坐标A (3,2π)、B (3,6π)，则|AB |=________，AB 与极轴正方向所成的角为________.解析:如图,根据极坐标的定义可得|A O |=|B O |=3,∠A O B=60°，即△A O B 为正三角形答案:365π点评:在极坐标系中,点P 1(ρ1,θ1)、P 2(ρ2,θ2)(ρ1、ρ2>0),则P 1P 2两点距离|P 1P 2|=.)cos(212212221θθρρρρ--+请同学们推导一下. 【例2】在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A (2,4π)、B (2,45π),那么顶点C 的坐标可能是( )A.(4,43π) B.(23,43π)C.(23,π)D.(3,π)解析:如图,由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点又|AB |=4，△ABC 为正三角形，|OC |=23，∠AOC =2π，C 对应的极角θ=4π+2π=43π或θ=4π-2π=-4π，即C 点极坐标为(23,43π)或(23,-4π).答案:B点评:在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合. 【例3】在极坐标系中与点A (3,-3π)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) A.(3,32π) B.(3,3π)C.(3,34π)D.(3,65π)解析:极坐标中的点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2k π-θ)(k ∈Z ),利用这一规律即可. 答案:B点评:一般地,在极坐标系中点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2k π-θ)(k ∈Z );点(ρ,θ)关于极点对称的点的极坐标为(ρ,2k π+π+θ)(k ∈Z);点(ρ,θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ,2k π+π-θ)(k ∈Z ).【例4】(1)θ=43π的直角坐标方程是________； (2)极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是解析:(1)根据极坐标的定义，∵tan θ=xy ，∴tan 43π=x y ，即y =-x (x ≤0).(2)将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状，因为给定的ρ不恒等于零，用ρ同乘方程的两边得ρ2=ρsin θ+2ρcos θ. 化成直角坐标方程为x 2+y 2=y +2x ,即(x -1)2+(y -21)2=45，这是以点(1,21)为圆心，半径为25的圆.答案:(1)y =-x (x ≤0) (2)以点(1,21)为圆心，半径为25的圆 点评:当极坐标方程中含有sin θ、cos θ时,可将方程两边同乘以ρ,凑成含有ρsin θ、ρcos θ的项，然后再代入互化公式便可化为直角坐标方程，此法是常用技巧. 【例5】 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y 2=4x ;(2)y 2+x 2-2x -1=0;(3)θ=3π;(4)ρcos 22θ=1;(5)ρ2cos2θ=4;(6)ρ=θcos 21－.解:(1)将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入y 2=4x ,得(ρsin θ)2=4ρcos θ,化简得ρsin 2θ=4cos θ.(2)将x =ρcos θ,y =ρsin θ代入y 2+x 2-2x -1=0,得(ρsin θ)2+(ρcos θ)2-2ρcos θ-1=0,化简得ρ2-2ρcos θ-1=0.(3)tan θ=xy ,∴tan 3π=x y=3,化简得y =3x (x ≥0).(4)∵ρcos 22θ =1,∴ρ2cos 1θ+=1,即ρ+ρcos θ=2. ∴22y x ++x =2,化简得y 2=-4(x -1).(5)∵ρ2cos2θ=4,∴ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=4,即x 2-y 2=4. (6)∵ρ=θcos 21-,∴2ρ-ρcos θ=1.∴222y x +,化简得3x 2+4y 2-2x -1=0.点评:在进行两种坐标间的互化时,我们要注意:(1)互化公式是有三个前提条件的,极点与直角坐标系的原点重合;极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合;两种坐标系的单位长度相同(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值. (3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在,是等价变形,否则,不是等价变形.。