初三数学 切线的性质及判定

初三数学 切线的性质及判定一. 教学内容：切线的性质及判定圆是初中数学的重要内容之一 ,是全国各地中招考试必考查的重要知识点 .尤其是“切线的判定和性质”的相关内容是中考试卷中经常出现的题目 .而且题型多 ,从出题方式看 ,有填空题 ,判断题 ,选择题 ,证明题 .因此 ,同学们在学习这节内容时 ,要予以高度重视 . 二. 教学目标：1. 使学生掌握切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；使学生理解掌握切线的性质定理及其推论2. 通过判定定理的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力3. 通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性三. 教学重点和难点：切线的性质定理及判定和性质的综合运用是重点； 切线性质定理的证明和性质与判定的灵活运用是难点。

四. 教学过程1、直线与圆的三种位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么 （1）直线l 和圆O 相交⇔d<r ：有2个公共点 （2）直线l 和圆O 相切r d =⇔：有1个公共点 （3）直线l 和圆O 相离r d >⇔：没有公共点根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便，为此我们还要学习切线的判定定理。

2、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

要点：（1）经过半径外端；（2）垂直于这条半径。

反例定理实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式。

因此，定理不必另加证明。

3、切线判定的三种方法（1）切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 （2）圆心到直线的距离等于半径（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论： 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个 （1）垂直于切线 （2）过切点 （3）过圆心5、关于切线的性质主要有五个 ①切线和圆只有一个公共点②切线和圆心的距离等于圆的半径 ③切线垂直于过切点的半径④经过圆心垂直于切线的直线必过切点 ⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心 6、辅助线规律（1）直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直（2）当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径【典型例题】例1. 已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB 求证：直线AB 是⊙O 的切线。

证：连接OC ∵OA=OB ，CA=CB ∴OC ⊥AB∴AB 是圆O 的切线例2. 如图，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O 的直径为6厘米 求证：AB 与⊙O 相切证明：过O 作OC ⊥AB ，垂足为C因为OA=OB=5厘米，AB=8厘米，所以 AC=BC=4厘米因此在Rt △AOC 中，345AC OA OC 2222=-=-=（厘米） 又因为⊙O 的直径长为6厘米，故OC 的长等于⊙O 的半径3厘米所以AB 与⊙O 相切。

练习1：判断下列命题是否正确（1）经过半径外端的直线是圆的切线 （2）垂直于半径的直线是圆的切线（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线 （4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切练习2：如图所示，圆O 的半径为8厘米，圆内弦38AB =厘米，以O 为圆心，4厘米为半径作小圆，求证：小圆与直线AB 相切证明：作OC ⊥AB ∵r=8，38AB = ∴4OC 34AC ==， ∴小圆与直线AB 相切例3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，点C 在圆上， ∠CAB=30°，求证：DC 是⊙O 的切线。

证明：连OC 、CB ∵AB 为直径 ∴∠ACB=90° ∵∠A=30° ∴∠CBO=60°∴CO=BO=BC ，∴△BOC 为等边三角形，∴∠OCB=∠OBC=60° ∵BD=OB ∴BC=BD∴∠BCD=∠D ，∴∠BCD+∠D=∠OBC=60° ∴∠BCD=∠D=30°∴∠OCB+∠BCD=60°+30°=90° ∴DC 是圆O 切线例4. 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，求证：AC 平分∠DAB 。

证明：连接OC ∵DC 为圆O 切线∴OC ⊥DC ∵AD ⊥DC ∴OC//DA ∴∠1=∠2 ∵OC=OA∴∠1=∠3，∴∠2=∠3 ∴AC 平分∠DAB例5. 已知：AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于AD 求证：DC 是⊙O 的切线。

证明：连DO∵BC 是圆O 的切线 ∴AB ⊥BC ∵OC//AD∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵AO=DO ∴∠3=∠1 ∴∠2=∠4在△DCO 与△BCO 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OB DO 42CO CO ∴BCO DCO ∆≅∆ ∴∠CDO=∠OBC=90° ∴DC 是圆O 切线。

例6. 如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 和CD 相等，且AB 与小圆切于点E 。

求证：CD 与小圆相切。

证：连OE 、OA 、OC 作OF ⊥CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CDCFO Rt AEO Rt OC AO CFAE CD AB CD21CF AB 21AE ∆≅∆∴==∴===∴，，，∴EO=OF∴CD与小圆相切例7. 如图，A是⊙O外一点，连OA交⊙O于C，过⊙O上一点P作OA的垂线交OA于F，交⊙O于E，连结PA，若∠FPC=∠CPA，求证：PA是⊙O的切线证明：连结OP∵OA⊥PE于F，PE是⊙O的弦由垂径定理可知：⋂⋂=PC EC∴∠AOP=2∠EPC∵∠EPC=∠CPA∴∠AOP=∠EPA∵∠EPA＋∠A=90°∴∠AOP＋∠A=90°∴∠OPA=90°即OP⊥PA∴ PA是⊙O切线例8. 如图，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E求证：DE与⊙O相切证明：连结OD∵ OB=OD∴∠B=∠ODB∵ AB=AC∴∠B=∠C∴∠ODB=∠C∴ OD∥AC∵ DE⊥AC∴ DE⊥OD∴直线DE与⊙O相切例9. 如图，已知AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=EB，E点在BC上。

求证：PE是⊙O的切线。

证法1：如下图所示，连结OP和OE证法2：如下图所示，连结OP和PB【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 已知：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=a。

（1）求作：圆C与AB相切；（2）求圆C的半径。

C A2. 已知：BC为⊙O的直径，A为⊙O上一点，AD⊥BC于D，EA切⊙O于A，交BC延长线于E，∠EAD=54°。

求∠DAC的度数。

3. 已知：⊙O的半径OA，OB互相垂直，过点A的一条直线交OB于D，交⊙O于E，过E 引⊙O的切线交OB的延长线于C，且EC=DE。

求∠A的度数。

4. 已知：AB为⊙O的直径，AC⊥直线MN于C，BD⊥直线MN于D，且AC+BD=AB。

求证：⊙O与直线MN相切。

5. 已知：CB与⊙O切于B，CD与⊙O切于D，AB为⊙O的直径。

求证：AD∥OC。

6. 已知：⊙O的半径OA⊥OB，∠OAE=30°，AE交OB于D，交⊙O于E，C为OB延长线上一点，且CE=DE。

求证：CE与⊙O相切。

试题答案1. （1）略（2）23a 2. 27°。

提示：连接OA ，则∠AOC=54°，∠DAC=∠OAC －∠OAD 21=（180°－54°）－∠OEA=63°－36°=27°。

3. 30°。

提示：连接OE ，∠DEC=90°－∠OEA=90°－∠OAE=∠ODA=∠CDE 从而DE=EC=CD ，即△CDE 为等边三角形。

4. 提示：作OE ⊥MN 于E ，则OE 为梯形ACDB 的中位线，所以AB 21)BD AC (21OE =+=，即OE 为圆O 的半径，所以圆O 与直线MN 相切。

5. 提示：证法一：连接OD 。

先证明△OBC ≌△ODC 得出∠COB=∠COD ，进而证明∠COB=∠A 。

所以AD//OC 。

证法二：连接BD ，证明AD ，OC 都垂直于BD 。

6. 提示：证法一 连接OE 。

先证明△DEC 是等边三角形。

从而∠DEC=60°。

所以∠OEC=∠OEA+∠DEC=90°。

所以OE ⊥EC ，即CE 与⊙O 相切。

证法二：∠OEC=∠OEA+∠DEC=∠OAE+∠EDC=∠OAE+∠ODA=90°。

所以EC ⊥OE 。

从而CE 与⊙O 相切。