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第八章 辐射换热的计算
§8-1 角系数的定义、性质及计算
前面讲过，热辐射的发射和吸收均具有空间方向特性，因 此，表面间的辐射换热与表面几何形状、大小和各表面的相 对位置等几个因素均有关系，这种因素常用角系数来考虑。 角系数的概念是随着固体表面辐射换热计算的出现与发展， 于20世纪20年代提出的，它有很多名称，如，形状因子、可 视因子、交换系数等等。但叫得最多的是角系数。值得注意 的是，角系数只对漫射面(既漫辐射又漫发射)、表面的发射 辐射和投射辐射均匀的情况下适用。 1. 角系数的定义
再来看一下2 对 1 的 能量守恒情况:
图8-4 角系数的可加性
2,1 2A,12B,1
A2Eb2X2,1 A2AEb2X2A,1A2BEb2X2B,1
X1,2
A2A A2
X2A,1
A2B A2
X2B,1
3 角系数的计算方法
求解角系数的方法通常有直接积分法、代数分析法、几 何分析法以及Monte-Carlo法。直接积分法的结果见公式(82)~(8-4)。下面只给出代数分析法。
1 黑体表面
2 如图8-7所示，黑表面1和2之间的辐射换热量 为1,2 A1Eb1X1,2 A2Eb2 X2,1 A1X1,2 (Eb1 Eb2 )
表面1发出 表面2发出
的热辐射 的热辐射
到达表面 到达表面 2的部分 1的部分
图8-7 黑体系统的 辐射换热
2 漫灰表面
灰体间的多次反射给辐射换热的计算带来 麻烦，此时需要采用前面讲过的投入辐射G和 有效辐射J的概念。下面在假设表面物性和温 度已知的情况下，考察J与表面净辐射换热量 之间的关系，为计算漫灰表面间的辐射换热作 准备。如图8-1所示，对表面1来讲，净辐射换 热量q为
A1X1,2A2X2,1
以上性质被称为角系数的相对性。
(2) 完整性
对于有n个表面组成的封闭系统，见图8-3所示，据能量
守恒可得:
n
X 1,1X 1,2X 1,3 X 1,n X 1,i1
i1
上式称为角系数的完整性。若表面1为
非凹表面时，X1,1 = 0。
(3) 可加性
图8-3 角系数的完整性
1 ,2A 1 X 1 ,2(E b 1 E b 2) 与黑体辐射换热比较，上式多了一个 s ，它是考虑由
于灰体系统多次吸收与反射对换热量影响的因子。
三种特殊情形
(1) 表面1为凸面或平面，此时，X1,2＝1，于是
s1X1,2111 1X1,2A A1 2121
1,2111A 1(X E11b,12EA A b122)12 1
定义系统黑度(或称为系统发射率)
s
1
1X1,2111X2,112 1
1 ,2 s A 1 X 1 ,2 ( E b 1 E b 2 )
1,2 A1J1X1,2 A2J2 X2,1
(d)
表面1发出的有 表面2发出的有
效辐射到达表 效辐射到达表
面2的部分
面1的部分
根据下式及能量守恒有
J Eb (11)q
J
1
A1
A1 E b1
1 1
1
1,
2
J
2
A2
A2 Eb2
1 2
外部： 内部：
qJ1G1
qE11G11Eb11G1
(1) 热势差与热阻 (2)上节公式(8-12)：
J Eb (11)q
改写为：
qE 1bJ or E 1bJ
A
式中，Eb J
辐射热阻。
称为表面热势差；1
or
1则被称为表面 A
表面辐射热阻见图8-9所示，可 见，每一个表面都有一个表面 辐射热阻。 对于黑表面， ＝ 1 Rr ＝ 0 即，黑体的表面热阻等于零。
X 1,2
1,2 1
A1 A2 d 1,d 2 A1 d 1
A1 A2 L b1cos 1d 1dA 1 A1 L b1dA 1
A1 A2 L b1cos 1d A2 cos 2 dA 1
A1 L b1 r 2
1
1 2 A2 2
图8-11 两表面封闭系统辐射换热等效网络图
求解上面方程组获得 J1orJ2
，根据：
计算净辐射热流，其中i 代表表面1或表面2。
i
Ebi J i 1i
Ai i
在上面的过程中需要注意的是(1)节点的概念；(2)每个表面一个 表面热阻，每对表面一个空间热阻；(3)以及画电路图的一些基 本知识。
J1
0
根据电路中的基尔霍夫定律——
A1 1
A1 X 1,2
流入结点的电流总和等于零，列 出个个节点的热流方程，组成有 效辐射的联立方程组，见左式
J2
:
Eb2
1
J
2
2
J1 J2 1
0
A2 2
A1 X 1,2
E b1
1 1 A1 1
J1
1,2
J2
1 A1,2 X 1,2
Eb2
质，则表面1对表面2的角系数X1,2是：表面1直接投射到 表面2上的能量，占表面1辐射能量的百分比。即
表面 1对表面 2的投入辐射
X1,2 表面 1的有效辐射
(8-1)
同理，也可以定义表面2对表面1的角系数。从这个概
念我们可以得出角系数的应用是有一定限制条件的，
即漫射面、等温、物性均匀
(2) 微元面对微元面的角系数
Xd2,d1dA1cosr12cos2
dA 1Xd1,d2dA 2Xd2,d1
由式(8-4a)和(8-4b)也可以看出
X 1 ,2 A 1 1A 1 A 2co 1 cs r o 2 2 d A 1 s d A 2 A 1 1A 1 A 2X d 1 ,d 2 d A 1 X 2 ,1 A 1 2A 1A 2co 1 cs r o 2 2 d A 1 s d A 2 A 1 2A 1A 2X d 2 ,d 1 d A 2
在介绍角系数概念前，要先温习两个概念 (1)投入辐射：单位时间内投射到单位面积上的总辐射能，记为
G。
(2)有效辐射：单位时间内离开单位
面积的总辐射能为该表面的有效
辐射，参见图8-1 。包括了自身
的发射辐射E和反射辐射G。G
为投射辐射。
下面介绍角系数的概念及表达式。 (1) 角系数：有两个表面，编号为1和2，图其8间-1 有充效满辐透射示明意介图
A1
A1
A2
cos
1cos r2
2dA2
dA
1
1
A1
A1
A2 X d 1,d 2 dA 1
2. 角系数性质 根据角系数的定义和诸解析式，可导出角系数的代数性质。 (1) 相对性
由式(8-2a)和(8-2b)可以看出
X d1,d2L b1cE b od 1 1 A d 1 A s1d dA 2co r1 2cso2s
则上式可写为
X1,2
l1
l2 l3 2l1
下面考察两个表面的情况， 假想面如图8-6所示，根据 完整性和上面的公式，有:
图8-6 两个非凹表面及 假想面组成的封闭系统
X ab ,cd 1 X ab ,ac X ab ,bd
X ab ,ac
ab
ac bc 2ab
ab bd ad
X1,2 X1,3 1 X2,1X2,3 1 X3,1X3,2 1
A1X1,2 A2X2,1 A1X1,3 A3X3,1 A2，如X1,2为:
X1,2
A1
A2 A3 2A1
图8-5 三个非凹表面 组成的封闭系统
若系统横截面上三个表面的长度分别为l1，l2和l3，
X ab ,bd
2ab
解方程组得:
Xa,bcd(b ca)2d a(ab cb)d交2叉 表线 A面 1的 不之 断 交和 面 叉长 线
该方法又被称为交叉线法。注意：这里所谓的交叉线和 不交叉线都是指虚拟面断面的线，或者说是辅助线
§8-2 被透明介质隔开的两固体表面间的辐射换 热
Eb
J1
1
A
图8-9 表面辐射热阻
又根据上节中的公式(d) 1 ,2 A 1 J 1 X 1 ,2 A 2 J 2 X 2 ,1
以及角系数相对性？
A1X1,2A2X2,1
1,2 A1X1,2(J1J2)J11J2
A1X1,2
1
式中， J1 J2 是空间热势差，A 1 X 1 , 2 则是空间辐
如图8-4所示，表面2可分为2a和2b两个面，当然也可以分
为n个面，则角系数的可加性为
n
X1,2
X1,2i
i 1
值得注意的是，上图中的表面2对表面1的角系数不存在上述
的可加性。
1,2 1,2A1,2B
A1Eb1X1,2 A1Eb1X1,2AA1Eb1X1,2B
X1,2 X1,2AX1,2B
1
2
,1
1,
2
2,1
于是有
图8-8 两个物体组成的辐射换热系统
1,2
11 1A1
Eb1Eb2
A1X 11,2 1 2A 2 2
1,2111A 1(X E 1 1 b,1 2 E A A b1 2 2)121
如图8-2所示，黑体微元面dA1对微元面dA2的角系数记
