2021哈三中高三(下)理数试卷 (二模)+答案

2021年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷〔理工类〕 第一卷〔选择题，共60分〕一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕 1. 复数21z i=-+，那么D.z 的共轭复数为1+i2. 集合{0,2,4,6},{n N |28}n A B ==∈<，那么集合A B ⋂的子集个数为3. 对于平面α和不重合的两条直线m 、n ，以下选项中正确的选项是 ,m n αα⊂，m 、n 共面，那么m nm α⊂，n 与α相交，那么m 、n 是异面直线 ,m n αα⊂⊄，m 、n 是异面直线，那么n α ,m n m α⊥⊥，那么n α4. 随机变量ξ服从正态分布()()22,,40.84N P δξ≤=，那么()0P ξ≤=5. 在区间⎡⎣中随机取一个实数k ，那么事件“直线y=kx 与圆()2231x y -+=相交发生的概率为 A.12 B.14C.16D.186. 宋元时期数学名著?算学启蒙?中有关于“松竹并生〞的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。

右图是源于其思想的一个程序框图，假设输入的a、b 分别为5、2，那么输出的n=7. 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为8.1sin33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么sin26πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A.79- B.79C.79± D.29-9. 德国著名数学家狄克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数()10,x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数为无理数，提前为狄克雷函数，那么关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③对于任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形。

黑龙江省哈三中2020-2021学年高三下期第二次模拟考试数学理试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）． A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．10,3AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞2．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．123．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =- B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+4．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A BC ．2D5．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）6．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A．1322i-+B．3122i-+C．1322i--D．3122i--7．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则Vv=（）A．4 B．8 C．9 D．278．如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足120AFB∠=︒，且||2||BF AF=，则双曲线C的离心率是（）.A．33B．72C．3D．79．已知复数z满足()1i+z=2i，则z=（）A．2B．1C．22D．1210．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n这2n个数填入n n⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n阶幻方．定义()f n为n阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f=，则(10)f=（）A．55 B．500 C．505 D．505011．若62axx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中6x的系数为150，则2a=（）A．20 B．15 C．10 D．2512．在ABC∆中，D为BC中点，且12AE ED=，若BE AB ACλμ=+，则λμ+=（）A．1B．23-C．13-D．34-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省哈尔滨三中2021届高考数学二模试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={1,2，3}，B ={2,4}，则(∁U A)∪B 为( )A. {4}B. {2,4，5}C. {1,2，3，4}D. {1,2，4，5}2.复数z =−1+i 2+i的虚部为( )A. −35iB. −35C. 35iD. 353.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )．A. 243B. 252C. 261D. 2794.计算tanπ81−tan 2π8的结果是( )A. 1B. 2C. 12D. 145.已知|a ⃗ |=|b ⃗ |=4且a ⃗ ⊥b ⃗ ，若向量c ⃗ 满足|c ⃗ −a ⃗ |=2，则当向量b ⃗ 、c ⃗ 的夹角取最小值时，b ⃗ ⋅c ⃗ =( )A. 4√2B. 8C. 4√3D. 8√36.函数y =−3x 4是( )A. 偶函数B. 奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数7.已知函数g(x)=x −1，函数f(x)满足f(x +1)=−2f(x)−1，当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2−x ，对于∀x 1∈(1,2]，∀x 2∈R ，则(x 1−x 2)2+(f(x 1)−g(x 2))2的最小值为( )A. 12B. 49128C. 81128D. 1251288.已知实数a ，b ，c 满足b +c =3a 2−4a +6，c −b =a 2−4a +4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. c ≥b >aB. c >b >aC. a >c ≥bD. a >c >b9.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为，则球的表面积为( )A.B.C. D.10. 函数f(x)=sin(x2−π6)的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P(3,4)在双曲线的渐近线上，若|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则此双曲线的方程为( )A. x 23−y 24=1B. x 216−y29=1C. x 24−y 23=1D. x 29−y 216=112. 已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数，满足f(1)=1，xf′(x)−f(x)<x 2，则不等式①f(2)<2，②f(2)<4，③f(12)>12，④f(12)<14中一定成立的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y −1≥0x +y −2≤0y +1≥0，则目标函数z =2x +y 的最大值是______．14. 已知(x +1x )9展开式中x 5的系数是______；15. 若球O 内切于棱长为2的正方体，则球O 的表面积为______． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 如图，在△ABC 中，∠C =45°，D 是BC 边上的一点，且AB =7，AD =5，BD =3，则∠ADC 的度数为 ，AC 的长为 ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1=3，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，首项b 1=1，且a 2b 2=12，S 3+b 2=20． (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式．(Ⅱ)令C n =S n cos(a n π)(n ∈N +)，求{c n }的前n 项和T n ．18. 如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，BDEF 为矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠DAB =∠ABC =90°，AD =AB =ED =1，BC =2． (1)若点M 为EF 中点，求证：BM ⊥平面CDF ；(2)若点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角的取值范围．19. 为了了解篮球爱好者小李投篮命中率与打篮球时间之间的关系，记录了小李第i 天打篮球的时间x i (单位：小时)与当天投篮命中率y i 的数据，其中i =1，2，3，4，5.算得：∑x i 5i=1=15，∑y i 5i=1=2.5，∑x i 5i=1y i =7.6，∑x 5i=1 i 2=5.5，．(Ⅰ)求投篮命中率y 对打篮球时间x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂； (Ⅱ)若小李明天准备打球2.5小时，预测他的投篮命中率． 附：线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中b ̂=∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−n x−2，a ̂=y −b̂x ，其中x ，y 为样本平均数．20. 已知A(2,0)，O 为坐标原点，动点P 满足|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2 (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点A 且不垂直于坐标轴的直线l 交轨迹C 于不同的两点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点D ，线段MN 的中点为H ，求|DH||MN|的取值范围．21. 已知函数f(x)=e x−a −ln(x +a)． (1)当a =12时，求f(x)的单调区间与极值； (2)当a ≤1时，证明：f(x)>0．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(t 为参数，0≤α<π)。

2021年高三下学期第二次模拟考试数学理试题 含答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数＝（A ）1（B ）－1（C ）i （D ）－i（2）向量，若，则实数的值为（A ） （B ） （C ） （D ）1（3）已知随机变量X 服从正态分布N ，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)＝ （A ）0.22（B ）0.28（C ）0.36 （D ）0.64（4）在等差数列中，，则此数列的前10项的和＝（A ）10 （B ）20 （C ）40 （D ）80（5）执行右图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（6）设函数())sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<且其图象关于直线对称，则（A ）的最小正周期为，且在上为增函数 （B ）的最小正周期为，且在上为减函数 （C ）的最小正周期为，且在上为增函数 （D ）的最小正周期为，且在上为减函数（7（A ）6 （B ）5.5 （C ）5 （D ）4.5正视图 侧视图俯视图1 1 （第7题）（8）下列叙述正确的个数是①l为直线，α、β为两个不重合的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α②若命题，则③在△ABC中，“∠A＝60°”是“cos A＝”的充要条件④若向量a，b满足a·b＜0，则a与b的夹角为钝角（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（9）双曲线（）的两个焦点为，若双曲线上存在一点，满足，则双曲线离心率的取值范围为（A）（B）（C）（D）（10）已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S—ABC的体积为（A）3 3 （B）2 3 （C） 3 （D）1（11）已知长方形ABCD，抛物线以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线与AB边围成的封闭区域为M．若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为p．则下列结论正确的是（A）当且仅当AB＝AD时，p的值最大（B）当且仅当AB＝AD时，p的值最小（C）若的值越大，则p的值越大（D）不论边长AB，AD如何变化，p的值为定值（12）定义域为R的偶函数满足对R，都有成立，且当时，．若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x)的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列命题中正确的是（）A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 函数y = log2(x + 1)在定义域内单调递减C. 若a > b > 0，则a - b > 0D. 若x > 1，则x^2 > x3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，公差d = 2，则S10 =（）A. 90B. 100C. 110D. 1204. 下列复数中，不属于第四象限的是（）A. 2 + 3iB. -1 - 2iC. -2 + 3iD. 1 - 2i5. 已知直线l的方程为2x - y + 1 = 0，则直线l的斜率为（）A. 2B. -2C. 1/2D. -1/26. 函数y = e^x在区间（0，+∞）上的（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数7. 已知等比数列{an}的公比q = 1/2，若a1 = 16，则第5项a5 =（）A. 2B. 4C. 8D. 168. 下列各式中，正确的是（）A. sin(π/2) = 1B. cos(π/3) = √3/2C. tan(π/4) = 1D. cot(π/6) = √39. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(-1) = 1，f(1) = -1，则f(0) =（）A. 0B. 1C. -1D. 210. 下列命题中正确的是（）A. 若a > b > 0，则a/b > 1B. 若a < b < 0，则a/b < 1C. 若a > b > 0，则a + b > 2D. 若a < b < 0，则a - b < 211. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - n + 1，则数列的前n项和为（）A. n(n + 1)/2B. n(n + 1)(n + 2)/6C. n(n + 1)(n + 2)/4D. n(n + 1)(n + 2)/312. 下列复数中，不属于纯虚数的是（）A. 3iB. -2iC. 4iD. -5i二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 函数y = log2(x + 1)的定义域为__________。

黑龙江省哈三中20xx届高三下学期第二次高考模拟数学（理）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第1I卷（非选择题）两部分，满分1 50分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证弓‘码填。

与清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，小得折替、小要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题EI要求的．）1．设集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，定义集合，则集合S中元素的个数是A．5 B．6 C．8 D．92．设i为虚数单位，则复数31izi=-在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第_象限C．第三象限D．第四象限3．幂函数1()(2,),()278f x f x x--=的图象经过点则满足的的值是A．12B．13C．14D．154．如果执行右面的程序框图，那么输出的S为A．96 B．768C．1 536 D．7685．已知a ，b ，l ，表示三条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，有下列四个命题：A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6．已知二项等差数列{}n a ，若存在常数t ，使得2n n a ta =对一切*n N ∈成立，则t 的集合是A ．{1}B ．{1，2}C ．{2}D ．{1,22}7．已知二项式(2nx-展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 A ．1 B ．32 C ．64 D ．1288．一只蚂蚁从正方体ABCD —A 1B 2C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 。

处，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）9．在△ABC中，内角A,B,C的对边长分别为a，b，c，且22tan2,3,tanAa c bC-==则b等于A．3 B．4 C．6 D．710．11．对实数a和b，定义运算“*”：a*b=,1,1a a bb a b-≤⎧⎨->⎩，设函数f（x）=（21x+）*（x+2），若函数y=f（x）一c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是A．（2，4]（5，+∞）B．（1,2] （4,5]C．（一∞，1）（4,5] D．[1，2]第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．设x ，y 满足约束条件11,(2,)(1,1),//,2210x y x a y x m b a b x y ≥⎧⎪⎪≥=-=-⎨⎪+≤⎪⎩向量且则m 的最小值为 .14．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的概率为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分） 已知（I ）求f （x ）的最大值及取到最大值时相应的x 的集合；-（II ）若函数()[0,]2y f x m π==-在区间上恰好有两个零点，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分） 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE=BE ，平面ABCD ⊥平面ABE ，动点F 在校CE 上，无论点F 运动到何处时，总有BF ⊥AE ． （I ）试判断平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并证明你的结论； （II ）求二面角D —CE —A 的余弦值的大小。

2021年高三第二次模拟测试数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：１．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.３．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.４．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.５．考生必须保持答题卡的整洁.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．“”是“”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为A．B．C．1 D．23. 若集合，，则集合不可能是A． B． C． D．4．A． B． C． D．5．若函数，常数，则A．存在使是奇函数 B．存在使是偶函数C．在上是增函数 D．在上是减函数6. 动点在函数的图象上移动，动点满足，则动点的轨迹方程为A． B．C． D．Array 7．执行如图所示的程序框图，输出的值是A．8 B. 7 C. 6 D. 58. 设函数，则的图象A．在第一象限内B．在第四象限内C．与轴正半轴有公共点D．一部分在第四象限内，其余部分在第一象限内第II卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 右图中阴影部分区域的面积 .10. 若命题“，”的否定为真命题，则实数的取值范围是 .11. 如右图，在四边形中，，为的中点，且，则 .12．在中，，则 .13．已知函数满足：①对任意，恒有；②当时，.则；方程的最小正数解为 .选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）. 14．（几何证明选讲选做题）如图，已知点在圆直径的延长线上，过作圆的切线,切点为若,则圆的面积为 .15．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)；以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题共12分） （1）若，，求；（2）已知，,求与夹角的值.17．（本小题满分13分）已知函数的部分图象如下图，其中分别是的角所对的边. （1）求的解析式； （2）若，求的面积.18． (本题满分13分)已知向量，向量，． (1) 若,且,求的值；（2）若，设，求函数的单调增区间. 19.（本小题共14分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中常数, 且 (1) 求的值； （2）设函数①求证：是偶函数； ②求函数的值域.20．（本题满分14分）设函数，其中为自然对数的底数.(1) 已知，求证：；（2）是否存在与函数，的图象均相切的直线？若存在，则求出所有这样的直线的方程；若不存在，则说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数，其中常数.(1) 求的单调增区间与单调减区间；（2）若存在极值且有唯一零点，求的取值范围及不超过的最大整数.参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9． 10． 11. 12． 13. ，14. 15.,或三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题共12分）（1）若，，求；（2）已知，,求与夹角的值.解：（1），，……………………………………………………………………2分则，……………………………………………4分，…………………………………………………………6分另解：（1），，………………………3分则，……………………………………………4分c====，……………………6分（2）a b +===……8分又,,,. .………………………………………10分 ,.………………………………………………………………………12分另解：（2）假设与方向相同，那么，这与矛盾；假设与方向相反，那么这与矛盾.故与不共线. .……………………………………………………………8分 如图,在中,,, 则,. 从而在中,,.……………………………………………10分 由,知故2ππ5π.366AOB AOC BOC θ=∠=∠+∠=+=……………………………12分 17．（本小题满分13分）已知函数的部分图象如下图，其中分别是的角所对的边. （1）求的解析式； （2）若，求的面积. max ()1,f x a b =-=解：（1）由图象可知：得，…………………………………………………………2分函数的最小正周期，得…………………3分 由得…………………4分 ，……………………………………………………………5分 故 …………………………………………………6分 （2）由得，，……7分即 ……………………………………………………………8分 又，得…………………………10分由得，，……………………………………………………11分 故……………………………………………………………13分 18． (本题满分13分) 已知向量，向量，． (1) 若,且,求的值；（2）若，设，求函数的单调增区间. 解：（1）,且， ………………………2分即 ……………………………………………………………3分……………………………………5分 （2），，得, …………7分即π()1cos 222sin(2) 1.6y f x x x x ==+=++………………………9分 ，.（没考虑这点不扣分）由得，………11分即. …………………………………………………12分 故的单调增区间为.………………………………13分 另解：（2），，得, ………7分即π()1cos 222sin(2) 1.6y f x x x x ==+=++………………………9分 ，.（没考虑这点不扣分）函数的单调增区间为,……………10分且函数是增函数, 由，得. …………………………………………………12分 故的单调增区间为.………………………………13分 19.（本小题共14分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中常数, 且 (1) 求的值； （2）设函数①求证：是偶函数； ②求函数的值域.(1)解： ， ……………………………………………………1分由函数的周期为，得3311()(2)()2()102222f f f =-=-=-+=……3分 ，……………………………………………………………4分 (2) ①证明：对，有且()()(())()()()g x f x f x f x f x g x -=-+--=-+=，是偶函数. …………………………………………………6分 ②解：由①知函数的值域与函数在上的值域相等(1)(1)(1)(1)(12)2(1)2,g f f f f f =+-=+-+==-…………………………………………………8分 当时, ,()()()(2)(2)g x f x f x f x f x =+-=-+-+4(2)26()2(2)127(2)13x g x x x x x --+=-++=---+-,………………………10分,在内是增函数, …………………………11分得,即…………………13分综上知,函数的值域为…………14分 20．（本题满分14分）设函数，其中为自然对数的底数.(1) 已知，求证：；（2）是否存在与函数，的图象均相切的直线？若存在，则求出所有这样的直线的方程；若不存在，则说明理由. (1)证明:…………………………………5分 ……………………………………………6分(2) 设直线与函数的图象相切,切点为,则直线的方程为即……………………9分直线与函数的图象相切的充要条件是关于的方程 即有两个相等的实数根, ………10分即……………………………………………11分 设,则,且,在上递增, 只有一个零点……………………………………13分 所以存在唯一一条直线与函函数与的图象均相切,其方程为……………………………………………………………………………14分 21．(本小题满分14分)已知函数，其中常数.(1) 求的单调增区间与单调减区间；（2）若存在极值且有唯一零点，求的取值范围及不超过的最大整数. 解:（1）……………………………………1分①当时，1()20f x x k k k x '=+-≥=-≥， 函数为增函数. …………………………………………………………………3分②当时，，其中…………………………………4分 的取值变化情况如下表：………………………………………………………………………………………6分综合①②知当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为与，减区间为…………………7分（2）由(1)知当时，无极值；…………………………………………………8分当时，知的极大值，的极小值，故在上无零点. ………………………………………………………………10分，又，故函数有唯一零点，且.………………………………………11分又，记，则，从而，…………………………………………13分故的取值范围是不超过的最大整数………………………14分U{L29185 7201 爁27483 6B5B 歛 19977 4E09 三- R24804 60E4 惤25613 640D 損37137 9111 鄑S。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2022届高三第二次模拟考试理科数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ） A ．4B C ．2D ．102．设集合{}{lg(3)},2,x M x N y x N y y x M =∈=-==∈∣∣，则（ ） A ．MN ⊆ B ．N M ⊆ C ．{0,1,2}M N ⋂=D ．{0,1,2,4}MN =3．命题“存在实数0x ，使001e xx >”的否定是（ ） A ．不存在实数0x ，使001e xx ≤B ．存在实数0x ，使001e xx ≤C ．对任意的实数x ，都有1e x x≤D ．对任意的实数x ，都有1e x x>4．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a ，则sin 26aππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．12-CD ．…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………式中二项式系数最大的项为第（ ）项. A ．3B ．4C ．5D ．66．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴，若直线AB 的倾斜角为4π，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．37．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12111,3,2(2)n n n a a S S S n +-===+≥，则2022a =（ ）A ．4043B ．4042C ．4041D ．40408．已知1ln2sin,e ,46a b c ππ===执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．12B ．22C ．6πD ．19．双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=，和双曲余弦函数e e cosh 2x xx -+=.下列结论错误的是（ ）A ．双曲正弦函数图象关于原点中心对称，双曲余弦函数图象关于y 轴对称B ．若直线y m =与双曲余弦函数图象1C 和双曲正弦函数图象2C 共有三个交点，则1m ≥ C ．双曲余弦函数图象1C 总在双曲正弦函数图象2C 上方D ．双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=导函数的图象与双曲余弦函数图象重合 10．己知四条直线1234:0,:,:32,:32l y l y x l y x l y x ===-=+，从这四条直线中任取两条，这两条直线都与函数3()f x x =的图象相切的概率为（ ） A ．0B ．16C ．12D ．1311．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为3的正方形，侧棱长为4，E ，F 分别在AB ，BC 上，且11,33AE AB CF CB ==，过1D ，E ，F 的平面记为α，则下列说法…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………①1D F 与面ABCD 210； ②平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的形状为四边形； ③平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为3:1； ④平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的面积为3 A ．1B ．2C ．3D ．412．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A ．33⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2343⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2343⎫⎪⎪⎝⎭D ．2343⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题 13．已知向量,a b 满足：1,(1,3)a b ==-，a 与b 的夹角为3π，则||a b -=__________. 14．已知()f x 是奇函数，且当0x >时()e ax f x =，若1ln 42f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则=a __________.15．已知等比数列{}n a 各项均为正数，且满足：11a >，10110210110221a a a a <+<+，记12n n T a a a =，则使得1n T >的最大正整数n 为__________.16．已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为(1,0)F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为原点）交l 于C ，连接BO 交l 于D ，则四边形ABCD 面积的最小值为__________. 评卷人 得分三、解答题…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17．已知2()sin 2cos 1468x x f x πππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的单调递增区间及其图象的对称轴； (2)当(0,4)x ∈时，求()f x 的值域.18．哈尔滨市工会为了解市民日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了1000名市民，利用手机计步软件统计了他们3月15日健步的步数，并将样本数据分为[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九组（单位：千步），将样本数据绘制成频率分布直方图如图，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.(1)请利用频率分布直方图估计样本平均数x 和众数a ；(2)由频率分布直方图可以认为，市民日健步步数Z （单位：千步）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ的值已求出约为3.64.现从哈尔滨全市市民中随机抽取5人，记其中日健步步数Z 位于(4.88,15.8)的人数为X ，求X 的数学期望. 参考数据：若~(,)Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.19．如图1，矩形ABCD ，点E ，F 分别是线段AB ，CD 的中点，4,2AB AD ==，将矩形ABCD 沿EF 翻折.(1)若所成二面角的大小为2π（如图2），求证：直线CE ⊥面DBF ；(2)若所成二面角的大小为3π（如图3），点M 在线段AD 上，当直线BE 与面EMC 所成角为4π时，求二面角D EM C --的余弦值. 20．已知函数21()ln 6(ln 1)2f x x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，a 为常数，R a ∈.(1)当13a =时，求()f x 在e x =处的切线方程；(2)①讨论函数()f x 的单调性；②(e,)x ∀∈+∞，不等式2()2f x a >恒成立，求a 的取值范围. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在圆22:3O x y +=上取一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为M ，N ，（PM 与PN 的斜率均存在），直线PM ，PN分别与圆O 相交于异于点P 的A 、B 两点. ①求证：||AB =； ②求OMN 面积的取值范围.22．在平面直角坐标系 xOy 中，设曲线1C 的参数方程为1cos 312sin 3x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2C 的极坐标方程为ρ.(1)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； (2)设P ，Q 分别为曲线1C 与2C 上的动点，求||PQ 的最大值. 23．已知函数()|43||45|f x x x =-++. (1)求不等式()14f x >的解集； (2)设,m n R +∈，且23m n +=，求证：()f x <.参考答案：1．B【解析】【分析】先化简()iz z-，再计算模长【详解】因为12z i=-所以()()()2i12i1i1i2i2i3iz z-=-+=+--=-所以()i3iz z-=-=故选：B2．D【解析】【分析】先用列举法写出集合M和集合N，再判定他们之间的关系即可得出答案.【详解】根据题意，{}{|3,}0,1,2M x x x N=<∈={}0,1,2M=时，{}1,2,4N=所以选项D正确.故选：D.3．C【解析】【分析】由已知，给出命题为特称命题，其否定为全称命题，可根据原命题直接变换即可.【详解】由已知，命题“存在实数x，使01e xx>”为特称命题，其否定为全称命题，即“对任意的实数x，都有1e xx≤”.故选：C.4．D【解析】 【分析】根据题意可得数字黑洞为123，然后利用诱导公式即得. 【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即123a =，∴1233sin sin sin cos 2626266a πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D. 5．B 【解析】 【分析】由已知，根据给的式子写出其通项，分别写出第3项的系数与倒数第3项的系数得到关于n 的方程，先求解出n ，即可确定其展开式二项式系数最大在第几项. 【详解】22nx ⎫⎪⎭的展开式通项为52122()2n r r n r r r r r n n T C C xx --+==， 第3项为1022232n nT C x-=，其系数为222n C ，倒数第3项为1042221·2?nn n n n T C x----=，其系数为222n n nC --，由题意，224222212224n n n n n C C ----===，所以6n =，所以展开式中二项式系数最大的项为36C ，即为展开式的第4项. 故选：B. 6．C 【解析】 【分析】由题设可得(,0)A a -、2(,b B c a，根据倾斜角与斜率关系及斜率两点式得到a 、c 的齐次方程，即可求双曲线C 的离心率. 【详解】由题设，(,0)A a -，(c,0)F ，又BF 垂直于x 轴，则2(,)b B c a±，又直线AB 的倾斜角为4π，即2(,bB c a ，且2ta 14n b a a cπ==+， 所以22b a ac =+，故222(2)()0a ac c a c a c +-=-+=，可得2a c =，即2e =. 故选：C 7．A 【解析】 【分析】由等差中项的性质及等差数列的定义写出通项公式，再由,n n a S 关系求{}n a 的通项公式，进而求2022a . 【详解】由2)n ≥知：为等差数列， 1=2==，则公差1d =，n =，故2n S n =，则21(1)n S n -=-(2)n ≥，可得221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，而11a =也满足，所以21n a n =-，则20222202214043a =⨯-=. 故选：A 8．A 【解析】 【分析】根据已知输入数据，结合条件语句的执行逻辑确定输出结果. 【详解】由题设，1,26a b c π===， 所以x a b ==>，则12x b c ==<，故输出12x =.………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………故选：A 9．B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，可判断A;利用导数判断函数的单调性，结合奇偶性，作出函数的大致图象，由此数形结合，判断B ，进而判断C,D. 【详解】对于A ，由于e e sinh()sinh ,R 2x x x x x ---==-∈，故e e sinh 2x xx --=为奇函数，其图象关于原点中心对称， 而e e cosh()cosh ,R 2x x x x x -+-==∈，故e e cosh 2x xx -+=为偶函数，图象关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，当0x >时 ，e e (cosh )02x x x --'=>，故e e cosh 2x xx -+=在0x >时为增函数，当0x <时 ，e e (cosh )02x x x --'=<，故e e cosh 2x xx -+=在0x <时为减函数，因此e e cosh 2x xx -+=的最小值在0x = 时取到，最小值为1； 又e e (+sinh )02x x x -'=>，故e e sinh 2x xx --=在R 上为增函数，又因为e e e e cosh sinh e 022x x x xx x x ---+--=-=>， 由此作出e e sinh 2x xx --=，e e cosh 2x x x -+=的大致图象，如图示，由图象可知，当1m =时，直线y m =与双曲余弦函数图象1C 和双曲正弦函数图象2C 共有2个交点，故B 错误；对于C ，由对B 的分析可知，双曲余弦函数图象1C 总在双曲正弦函数图象2C 上方，C 正确；对于D ，由于+e e (sinh )cosh 2x x x x -'==，故双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=导函数的图象与双曲余弦函数图象重合，D 正确， 故选：B 10．C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求斜率分别为()0f x '=、()3f x '=的切线方程，结合题设直线，应用古典概型的概率求法求概率即可. 【详解】由题设，2()3f x x '=，当()0f x '=，得0x =，则(0)0f =，即切点为(0,0)的切线为1:0l y =； 当()3f x '=，得1x =±，若1x =，则(1)1f =，即切点为(1,1)的切线为3:32l y x =-； 若1x =-，则(1)1f -=-，即切点为(1,1)--的切线为4:32l y x =+；所以从已知四条直线中任取两条与函数3()f x x =的图象相切的概率为232412C C =.故选：C 11．B 【解析】 【分析】延长,DA DC 交直线EF 于,G H ，连接11,D G D H 交11,AA CC 于,I J ，连接BD 交EF 于K ，再连接,IE JF ，根据直棱柱的结构特征知1D F 与面ABCD 所成角正切值1DD DF判断①；应用数形结合即知截面的形状为五边形1D IEFJ 判断②；由下部分体积112D GDH I AGE V V V --=-，上部分体积111121ABCD A B C D V V V -=-，即可得比例判断③；根据截面的面积112D IEFJ D GH IGE S S S =-判断④. 【详解】………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………延长,DA DC 交直线EF 于,G H ，连接11,D G D H 交11,AA CC 于,I J ，连接BD 交EF 于K ，再连接,IE JF ， 由11,33AE AB CF CB ==，易知：//EF AC ，则1FC =，可得10DF =， 而1DD ⊥面ABCD ，且14DD =， 所以1D F 与面ABCD 所成角正切值12105DD DF =，①正确； 所以平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的形状为五边形1D IEFJ ，②错误；由上知：平面α分割的下部分体积122111113124421132323D GDH I AGE V V V --=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，平面α分割的上部分体积11112131773633ABCD A B C D V V V -=-=-=， 所以上、下两部分的体积之比为77:31，③错误； 由13GIE GD H π∠=∠=，故所得截面的面积11132(3222)7322D IEFJ D GH IGE S S S =-=⨯-⨯⨯=，④正确.故选：B 12．C 【解析】 【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出,A B 关系后求解 【详解】在ABC 中，1sin()sin ,sin 2A CB S ac B +==，故题干条件可化为22b a ac -=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，故2cos c aB a =+，又由正弦定理化简得： sin 2sin cos sin sin cos cos sinC A B A A B A B =+=+，整理得sin()sin B A A -=，故B A A -=或B A A -=π-（舍去），得2B A =ABC 为锐角三角形，故02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64A ππ<<tan 1A <<114tan tan )3tan()3tan 3A AB A A +=+∈-故选：C 13【解析】 【分析】首先求出b ，再根据平面向量数量积的定义求出a b ⋅，最后根据()2a b a b-=-及平面向量数量积的运算律计算可得； 【详解】解：因为(1,3)b =-，所以()212b =-=，又1a =且a 与b 的夹角为3π，所以1co 1123s2a b a b π===⋅⨯⋅⨯，所以()22222222121a b a b a a b b a a b b -=-=-⋅+=-⋅+=-⨯=14．2 【解析】 【分析】根据奇函数的性质及对数的运算性质计算可得； 【详解】解：因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()1ln ln 2ln 242f f f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()ln 24f =，又当0x >时()e ax f x =，所以()ln 2ln 2ln 2e e 4aa f ===，即24a =，解得2a =；故答案为：215．202 【解析】 【分析】根据1011021011021a a a a +<+可得()()101102110a a --<，结合11a >，0n a >可得1011a >，10201a <<.根据10110221a a <+可得10110212021a a a a =>，根据()2121nn a n T a aa a a ==可判断2021T >、2031T <，从而求得答案.【详解】()101102101102101102101102110a a a a a a a a +<+⇒---< ()()()()101102102101102110110a a a a a ⇒---<⇒--<， 10110211a a <>⎧∴⎨⎩或10110211a a <⎧⎨>⎩， 11a >，0n a >， 1011a ∴>，10201a <<，又101102101102211a a a a <+⇒>，∴10110212021a a a a =>， ()2121n n a n T a a a a a ==，()202220212021T a a =>， ()()()20320322032220312031021021T a a a a ⨯===<，∴使1n T >的最大整数n 为202. 故答案为：202. 16．8 【解析】 【分析】首先求出抛物线方程，设直线l 的倾斜角为()0θθπ<<，分类讨论，当2πθ=时，8ABCD S =；当2πθ≠时，令tan θk ，证明四边形ABCD 是直角梯形，利用………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11(||||)||||||22ABCD S AD BC CD AB CD =+=，可求四边形ABCD 的面积，从而求出面积的最小值．【详解】解：因为抛物线的焦点为(1,0)F ，即12p=，所以2p =，所以抛物线方程为24y x =，则准线为1x =-，设直线l 的倾斜角为()0θθπ<<， 当2πθ=时，282ABCD S p ==． 当2πθ≠时，令tan θk．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由(1)y k x =-，①，24y x =，②，消去x 得，2440y y k--=， 所以124y y k+=，124y y =- ③， 又直线AO 的方程为：11y y x x =，即为14y x y =， 所以AO 与准线的交点的坐标为141,C y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 而由③知，214y y =-， 所以B 和C 的纵坐标相等，从而//BC x 轴． 同理//AD x 轴，故四边形ABCD 是直角梯形．所以它的面积为11(||||)||||||22ABCD S AD BC CD AB CD =+=22212112121||())4]2y y y y y y y y-=-+- 322811k ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+．因为20k >，所以210k >，所以2111k +>，所以322111k ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以8ABCD S >，综上可得()min 8ABCD S =； 故答案为：817．(1)增区间为2108,8()33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，图象的对称轴方程为104,3x k k Z =+∈，(2)32⎛- ⎝ 【解析】 【分析】（1）先对函数化简得()43xf x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，由22,2432x k k k Z ππππππ-+≤-≤+∈可求出其增区间，由,432x k k Z ππππ-=+∈求出其对称轴方程， （2）由(0,4)x ∈，得23433x ππππ-<-<，然后根据正弦函数的性质可求出函数的值域 (1)2()sin 2cos 1468x x f x πππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1cos 4sin coscossin2146462xxxπππππ+=--⋅+1cos 1cos 14244x x xπππ---+ 3cos424x xππ=- 43x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由22,2432x k k k Z ππππππ-+≤-≤+∈，得21088,33k x k k Z -+≤≤+∈，所以()f x 的增区间为2108,8()33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由,432x k k Z ππππ-=+∈，得104,3x k k Z =+∈，所以()f x 图象的对称轴方程为104,3x k k Z =+∈， (2)由(0,4)x ∈，得23433x ππππ-<-<， 所以sin sin sin 3432x ππππ⎛⎫⎛⎫-<-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以sin 143x ππ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭， 所以3243x ππ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为32⎛- ⎝18．(1)平均数：12.16千步；众数：12千步 (2)4.093 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图平均数和众数的计算公式求解即可；（2）根据题意得()()2, 4.88,15.8μσμσ-+=，求出(2)P Z μσμσ-<<+的值， 得到()~5,0.8185X B ，根据分布类型求解即可. (1)样本平均数为：40.0460.0680.10100.10120.3140.2160.1180.08200.0212.16x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=样本众数1311122a +==； (2)根据题意得12.16μ=， 3.64σ=；所以2 4.88μσ-=，15.8μσ+=，即()()2, 4.88,15.8μσμσ-+=， 因为11(2)(22)+()0.818622P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-<<+=-<<+-<<+=， 所以()~5,0.8186X B ，所以50.8186 4.093EX =⨯=. 19．(1)证明见解析；………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………(2)64. 【解析】 【分析】（1）由题设易知BF EC ⊥，再由面面垂直的性质可得DF ⊥面BEFC ，根据线面垂直的性质有DF EC ⊥，最后由线面垂直的判定即可证结论.（2）过E 作⊥Ez 面AEFD ，构建空间直角坐标系并设(2,,0)M m 且02m ≤≤，求出面EMC 法向量、直线BE 的方向向量，根据线面角的大小，结合空间向量夹角的坐标表示列方程求出参数m ，再确定面EMD 的法向量，应用向量法求二面角的余弦值即可. (1)由题设易知：BEFC 是边长为2的正方形，,BF EC 是BEFC 的对角线， 所以BF EC ⊥，又面BEFC ⊥面AEFD ，面BEFC ⋂面AEFD EF =，DF EF ，DF ⊂面AEFD ，所以DF ⊥面BEFC ，又EC ⊂面BEFC ，则DF EC ⊥， 又DF BF F ⋂=，则EC ⊥面BDF . (2)过E 作⊥Ez 面AEFD ，而,AE EF ⊂面AEFD ，则⊥Ez AE ，⊥Ez EF ，而AE EF ⊥， 可构建如下图示的空间直角坐标系，由题设知：3BEA CFD π∠=∠=，所以(0,0,0)E ，3)B ，(1,3)C ，(2,,0)M m 且02m ≤≤， 则3)EB =，(1,3)EC =，(2,,0)EM m =，若(,,)n x y z =是面EMC 的一个法向量，则23020EC n x y z EM n x my ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令x m =，则(,n m =-， |cos ,|||||||EB nEB n EB n m ⋅<>==，可得1m =，则(1,2,n =-，又(0,0,1)l =是面EMD 的一个法向量，所以3|cos ,|||||||22l n l n l n ⋅<>===，则锐二面角D EM C --20．(1)23e 2(e 1)2e 2y x =-+-；(2)①答案见解析，②2318e e 23a -≤<.【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求()f x 在e x =处的切线方程；（2）①由题设可得()2(3)ln f x x a x '=-且,()0x ∈+∞，讨论0a ≤、103a <<、13a =、13a >研究()'f x 的符号，即可确定单调性；②构造2()()2g x f x a =-，利用导数研究()0>g x 在(e,)+∞上恒成立，结合分类讨论方法求a 的范围.(1)由题设，21()ln 2(ln 1)2f x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，则()2(1)ln f x x x '=-，所以(e)2(e 1)f '=-，而2e(e)2f =，则在e x =处的切线方程为2e 2(e 1)(e)2x y -=--，整理得23e2(e 1)2e 2y x =-+-. (2)①由()2(3)ln f x x a x '=-且,()0x ∈+∞，当0a ≤时，在(0,1)x ∈上()0f x '<，(1,)x ∈+∞上()0f x '>， 当103a <<时，在(0,3)x a ∈上()0f x '>，(3,1)x a ∈上()0f x '<，(1,)x ∈+∞上()0f x '>， 当13a =时，在,()0x ∈+∞上()0f x '≥，当13a >时，在(0,1)x ∈上()0f x '>，(1,3)x a ∈上()0f x '<，(3,)x a ∈+∞上()0f x '>，综上，0a ≤时()f x 在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增； 103a <<时()f x 在(0,3)a 上递增，(3,1)a 上递减，(1,)+∞上递增； 13a =时()f x 在(0,)+∞上递增；13a >时()f x 在(0,1)上递增，(1,3)a 上递减，(3,)a +∞上递增；②令2221()()2ln 6(ln 1)22g x f x a x x a x x a ⎛⎫=-=---- ⎪⎝⎭，问题转化为()0>g x 在(e,)+∞上恒成立，而()2(3)ln g x x a x '=-， 由①知：当e3a ≤时，在(e,)+∞上()0g x '>，即()g x 递增，所以，只需22e ()(e)202g x g a >=-≥，可得e e 23a -≤≤；当3ea >时，在(e,3)a 上()0g x '<，()g x 递减；(3,)a +∞上()0g x '>，()g x 递增，所以，只需()222339ln 302a g a a a =->，可得2318e e 33a <<，综上，2318e e 23a -≤<.21．(1)2212x y +=(2)①证明见详解；②23⎡⎢⎢⎭⎣【解析】 【分析】（1）根据题意可知22b =，e ，解方程即可解出2a ,2b ，得到椭圆C 的标准方程； （2）①设()00,P x y ，设过P 点与椭圆C 相切的直线方程为00()y k x x y =-+，联立直线与椭圆方程，根据0∆=可得直线PA ，PB 的斜率的关系，结合点P 在圆O 上可得PA PB ⊥，得到AB 为圆的直径，进而得到AB 的值.②设()11,M x y ，()22,N x y ，由直线PM 与椭圆方程联立可得1112x k y -=，11:22PM x x y y ∴+=，同理可得直线22:22PN x x y y +=，即可得直线MN 的方程为0022xx yy +=，再与椭圆方程联立求得弦长MN ，由点到直线的距离公式求出点O 到直线MN 的距离，从而得到OMN 的面积的表达式，再根据换元法以及函数值域的求法即可求解． (1)22b =，1b ∴=，又12e =-=，22a ∴=，22:12x C y +=.(2)①设()00,P xy ，过P 点与椭圆C 相切的直线方程为00()y k x x y =-+0022()22y k x x y x y =-+⎧⎨+=⎩得2220000(12)4220()()k x k y kx x kx y ++-+--=， 0∆=得2220000(2)210x k x y k y --+-=，2200122200131122y x k k x x ---===---， 所以PA PB ⊥，又因为点P ,A ,B 在圆O 上，所以AB 为圆O 的直径，||AB ∴=.②设()11,M x y ，()22,N x y ，设PM ：()111y k x x y =-+，由()1112222y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得到()()()22211111111124220k xk y k x x y k x ++-+--=，()()()2222111111111641222k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦由0∆=得()2221111112210k x y x k y -++-=111121122x y x k x y ∴==--，11:22PM xx y y ∴+=，同理22:22PN x xy y +=， ∵()00,P x y 在直线PM ， PN 上，101022x x y y ∴+=,202022x x y y ∴+=, , ∴直线MN 的方程为0022xx yy ∴+=.由00222222xx yy x y +=⎧⎨+=⎩得222000(3)4440y x x x y +-+-=， 0122043x x x y +=+，21220443y x x y -=+ 12||MN x ==-.O 到MN 的距离d== 021=213OMN S MN d y +=+△， 01y ≠±t ，则2]t ∈⋃2223OMN S t t ⎡=∈⎢⎢⎭⎣+ 【点睛】 思路点睛：本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，直线与圆的位置关系的应用，以及椭圆中的三角形面积问题的解法应用，意在考查数学运算能力和运用知识的综合能力，综合性强，运算量大，属于较难题． 22．(1)1C ：22129x y ，2C ：2214x y +=. 【解析】 【分析】 （1）直接利用三角消参1C 的普通方程；用公式法得到2C 的直角坐标方程； （2）用几何法求解，先求出1QC 的最大值，加上半径即可. (1) 曲线1C 的参数方程为1cos 312sin 3x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数），消去α，得：22129x y . 2C 的极坐标方程为ρ=可化为()222cos 4sin 4ρθθ+=，化为直角坐标方程为：2214x y +=. (2) 圆1C ：22129x y 的圆心()10,2C ，半径为13r =. 所以1113PQ QC r QC ≤+=+.由2C 的直角坐标方程为：2214x y +=，化为参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 所以()2cos ,sin Q θθ. 所以1QC===≤所以113PQ QC ≤+≤即||PQ 23．(1)()3,2,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）用零点区间讨论法即可求解（2）要证()f x ⋅<，需证于()f x 的最大值 (1) 原不等式等价于 ①54344514x x x ⎧≤-⎪⎨⎪--->⎩ 或②5344453414x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++->⎩或③34434514x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++>⎩ 解①得2x <-；解②得x ∈∅；解③得32x > 则原不等式得解集为()3,2,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (2) ()582,4538,44382,4x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩ 当5344x -≤≤时， ()f x 取得最小值，且 min ()8f x =, 即 ()8f x ≥.(()22222218m m n ⎡⎤+≤+=++=⎢⎥⎣⎦当且仅当 2m = ，12n =时等号成立 ≤3228∴=≤<= 即()f x <。

2021年黑龙江省哈尔滨市新第三中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数（且）的定义域是（）A． B．C． D．参考答案：A2. 函数，若方程有且只有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（）A. (－∞,1)B. [0,1)C. (－∞,0)D. [0,+∞)参考答案：A【分析】在同一坐标系中画出的图像与的图像，利用数形结合，易求出满足条件的实数的取值范围.【详解】画出函数图像如下：当时，函数的图像与的图像有两个交点，即方程有且只有两个不等的实根. 故选：A【点睛】本题考查分段函数的图像，根的存在性及根的个数的判断，将方程根的个数转化为求函数零点的个数，并用图像法进行解答是本题的关键，属于基础题.3. 设实数满足则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B略4. 函数f(x)=2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是（）A．B．C．D．参考答案：B函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率．故选B．5. 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当时，成立，若,,,则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：C6. 已知，则的大小关系为、、、、参考答案：D已知，由指数函数性质易知，又，故选.另：，，亦得.7. 已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则的最小值为( )A．2 B．4 C． D．参考答案：B8. 设曲线上任一点处的切线的的斜率为，则函数的部分图象可以为（）参考答案：A【知识点】函数的图象B8解析：g（x）=2x，g（x）?cosx=2x?cosx，g（﹣x）=﹣g（x），cos（﹣x）=cosx，∴y=g（x）cosx为奇函数，故排除：B、D．令x=0.1，h（x）＞0．故排除：C．故选：A【思路点拨】先研究函数y=g（x）cos x的奇偶性，再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判定.9. 已知集合，集合（是自然对数的底数），则= （）A．B．C．D．参考答案：A略10. 已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 .参考答案：6略12. 设函数，则____；函数的值域是____.参考答案：，.试题分析：，∴，当时，，当时，，∴的值域为.考点：分段函数.13. 若的三顶点坐标,D点的坐标为，向内部投以石子，那么石子落在内的概率为.参考答案：略14. 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.其中正确的命题是________．参考答案：①②③解析∵ab>0，bc－ad>0，∴－＝>0，∴①正确；∵ab>0，又－>0，即>0，∴bc－ad>0，∴②正确；∵bc－ad>0，又－>0，即>0，∴ab>0，∴③正确．故①②③都正确．15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=π，sinA=，c﹣a=5﹣，则b=．参考答案：考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由已知可求得cosA ，sinB ，sinC，由正弦定理得=，又因为c﹣a=5﹣，从而可求得a，即可由正弦定理求b=的值．解答：解：因为C=π，sinA=，所以cosA==，由三角形内角和得B=，所以sinB=sin（）=sin cosA﹣cos sinA==，已知C=，所以sinC=，由正弦定理得=，又因为c﹣a=5﹣，所以c=5，a=，由sinB=，所以b===，故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理、两角差的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．16. 设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1，则f （ln2）的值为．参考答案：3考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f （x）的表达式，即可得到结论．解答：解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故答案为：3点评：本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．17. 设函数，对任意x∈，恒成立，则实数的取值范围是 .参考答案：(－∞,－]∪ [,＋∞)三、解答题：本大题共5小题，共72分。

黑龙江省哈尔滨市第六中学xx届高三第二次模拟考试2021年高三第二次模拟考试数学（理）试题含答案考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，若复数为纯虚数，则（）（A）（B）（C）（D）2．已知，，则（）（A）（B）或（C）（D）3．下列函数中在区间上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（）（A）（B）（C）（D）4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）（A）（B）160 （C）（D）5．计划在个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有（）（A）60种（B）42种（C）36种（D）24种6．已知圆C过点，且圆心在x轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C 的标准方程为（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）（A ） （B ） （C ）2 （D ）18．已知函数22cos sin sin 21cos 21)(22+--=x x x x x f ，则（ ） （A ）在时取得最小值，其图像关于点对称（B ）在时取得最小值，其图像关于点对称（C ）在单调递减，其图像关于直线对称（D ）在单调递增，其图像关于直线对称9．已知向量，，，且，则取得最小值时，=（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）10．已知球的直径，是球球面上的三点， 是正三角形，且，则三棱锥的体积为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）11．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为原点，若，则双曲线的离心率为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）12．已知是函数的零点，，则①；②；③；④其中正确的命题是（ ）（A ）①④ （B ）②④ （C ）①③ （D ）②③第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知，若的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中项的系数为___________14．已知不等式的解集为，不等式的解集为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______________15．设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为______________16．的内角的对边长分别为，若，且，则__________三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等比数列是递增数列，，数列满足，且（）（1）证明：数列是等差数列；（2）若对任意，不等式总成立，求实数的最大值．（18）（本小题满分12分）某射击比赛规则如下，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知某射手在100米处击中目标的概率为，他的命中率与目标距离的平方成反比，且各次射击都是相互独立的（1）求这名射手在射击比赛中命中目标的概率；（2）若这名射手在射击比赛中得分记为，求的分布列与数学期望．（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱中，，，，是以为底边的等腰三角形，平面平面，分别为棱、的中点（1）求证：平面；（2）若为整数，且与平面所成的角的余弦值为，求二面角的余弦值．（20）（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，过F E D CB A三点的圆的半径为2，过定点的直线与椭圆交于两点（在之间）（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围？如果不存在，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）是否存在实数，对任意的，且，有恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上．（1）若，求的值；（2）若，证明：．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以正半轴为极轴，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数，，射线与曲线交于极点外的三点（1）求证：；（2）当时，两点在曲线上，求与的值．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知均为正数（1）证明：，并确定如何取值时等号成立；（2）若，求的最大值．二模理科数学参考答案一、选择题：1-12 BCCCA ABDDB AA二、填空题：（13）61 （14） （15）2 （16）317解（1）因为，，且是递增数列，所以，所以，所以 ......3分因为，所以，所以数列是等差数列 ......6分（2）由（1）， 所以)32(222)1)(2()2(11++=⋅++=+≤-+n n n n n b b n n n n n λ最小值总成立， ......9分因为，所以或2时最小值为12，所以最大值为12． ...12分18解：记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件A ，B ，C ，，则， ......3分（1）“该射手射中目标”为事件D ， ......5分（2）射手得分为，则 ...... 6分， ，分0 1 2 3分 19解（1），是以为斜边的等腰直角三角形, 取的中点，连接,设，则面面，且面面，面，面以为坐标原点，以、、为轴建立空间直角坐标系 )0,0,1(),,1,1(),,0,0(),0,1,0(),0,0,1(11--∴B b A b A C C设平面的一个法向量为， 又面面 ...... 4分x yz O（2）设平面的一个法向量为 又则，，令，则又 = ...... 6分解得或， 为整数 ...... 8分所以 同理可求得平面的一个法向量= ......11分又二面角为锐二面角，故余弦值为 ......12分20解（1），是的中点，，，过三点的圆的圆心为，半径为，， ......4分（2）设直线的方程为3416,2100416)43(134)0(22212222+-=+>⇒>∆⇒=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+>+=k k x x k kx x k y x k kx y ......6分 ，))(,(),(12121212x x k x x y y x x --=--=由于菱形对角线垂直，则，解得， ......9分 即，， ......11分当且仅当时，等号成立 ......12分21解：（1）xa x x x a x a x a x a x x f ))(2(2)2()2(2)(2+-=--+=-+-=' ①当时，，由得，得②当时，由得或，由得；③当时，恒成立；④当时，由得或，由得；......5分综上，当时，在单调递减；在上单调递增；当时，在和上单调递增；在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增；在上单调递减 ......6分（2）∵，∴，令 ......8分xa x x a x x x a x x g 21)1(2222)(22---=--=--=' 要使，只要在上为增函数，即在上恒成立，因此，即故存在实数，对任意的，且，有恒成立 ......12分22证明：（I ）四点共圆，，又， ∽，，，． ......5分（II ），， 又，∽，，又四点共圆，， ， . ......10分23解（1）设点的极坐标分别为 ∵点在曲线上，∴)4cos(4),4cos(4,cos 4321πϕρπϕρϕρ-=+== 则=ϕπϕπϕρρcos 24)4cos(4)4cos(432=-++=+ , 所以 ......5分（2）由曲线的参数方程知曲线为倾斜角为且过定点的直线，当时，B ，C 点的极坐标分别为化为直角坐标为，，∵直线斜率为，， ∴直线BC 的普通方程为，∵过点， ∴，解得 ......10分24（1）证明：36)(9)(3)111(32322222≥+≥+++++-abc abc cb ac b a 取等条件 ......5分 （2）])13()13()13)[(111()131313(2222+++++++≤+++++c b a c b a =18 所以的最大值为，取等条件 ......10分F E D CB A。

2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 集合{||1|2}A x x =-<，1{|39}3x B x =<<，则A B = A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,3)D ．(1,3)-2．设S n 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则“d < 0”是“数列{}n S 有最大项”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．ΔABC 中，(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =-，若12m n ⋅=，则角C 为 A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 4．已知11ea dx x =⎰，则61()x ax-展开式中的常数项为 A ．20B ．-20C ．-15D ．155．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为A ．12B ．14C ．23D ．46．已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的 外接球半径为A ．12 B ．16C ．174D ．48．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的摄影为C ，若AF FB =，36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．2y =9．阅读右面的程序框图，输出结果s 的值为A ．12 B C ．116D ．1810．在平行四边形ABCD 中，AE EB =，2CF FB =， 连接CE 、DF 相交于点M ，若AM AB AD λμ=+，则实数 λ与μ的乘积为A ．14B ．38C ．34D ．4311．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞12．设点P 在曲线xy e =上，点Q 在曲线11(0)y x x=->上，则||PQ 的最小值为 A．1)2e - B1)e -C．2D第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2021届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第二次模拟考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U =R ，(){}2ln 1A x y x==-，{}24x B y y -==，则()A B =R （） A ．()1,0-B ．(]1,0-C ．()0,1D ．[)0,1 答案：B根据对数函数和指数函数的性质确定集合,A B ，然后由集合运算法则计算． 解：(){}{}22ln 110{|11}(1,1)A x y x x x x x ==-=-=-<<=-， {}{}240(0,)x B y y y y -====+∞，(,0]R B =-∞， 所以()(1,0]R A B =-．故选：B ．本题考查集合的综合运算，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键．2．复数z 满足()3,z i i i i +=-+为虚数单位，则z 等于（）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --答案：A利用复数的运算法则即可得出．解：解：()3z i i i +=-+，()(3)i i z i i i ∴-+=--+， 化为31z i i +=+，21z i ∴=+，故选：A ．3．2020年11月，兰州地铁2号线二期开通试运营．甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字，每人只能去一个地方，西站十字一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A ．60B ．65C ．70D ．75答案：B根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择3个地方的全部情况数目，再计算西站十字没人去的情况数目，分析可得西站十字一定要有人去的游览方案数目，即可得答案． 解：解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字．每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有333381⨯⨯⨯=种情况，若西站十字没人去，即四位同学选择了兰州老街、西固公园．每人有2种选择方法，则4人一共有222216⨯⨯⨯=种情况，故西站十字一定要有人去有811665-=种情况，即西站十字一定有人去的游览方案有65种；故选：B ．4．已知α为第二象限角，sin cos 3αα+=，则cos2α=（ ）A ．B ．CD 答案：A解：21312sin cos (sin cos ),221sin 2sin 232433k k ππααααπαπαα+=+=+<<+∴+=∴=-253cos 2424cos 292k k παππαπα=+<<+∴=，故选A. 5．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π答案：C根据2a b a b +=+，两边平方222a b a b +=+，化简得()223ab a =-，再利用数量积定义得到()22cos ,3a b a b a =-求解. 解：因为平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+， 所以222a b a b +=+，所以()223ab a =-， 所以()22cos ,3a b a b a =-，。