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2013届高考一轮数学复习理科课时作业 8-4

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课时作业(四十二)1．下列命题中正确的个数是()①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．3 D．4答案 B解析a∩α＝A时，a不在α内，∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b，b∥α时，a∥α或a⊂α，故④错；l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD 平行，∴⑥正确．2．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案 C解析 ①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m . ②中l 与m 也可能异面．③中⎭⎪⎬⎪⎫l ∥γl ⊂ββ∩γ＝m ⇒l ∥m ，同理l ∥n ，则m ∥n ，正确． 3．下列命题中，是假命题的是( )A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B ．平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥aC ．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a∥b ∥c ∥dD ．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 答案 D解析 D 错误．当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如下图，α⊥β，直线AB 与α、β都成45°角，但α∩β＝l .4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定 答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D ，∴面MNP∥面BB1C1C，∴MN∥面BB1C1C.5．设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，∴该命题不对；②m、n相交时才有α∥β，此命题不对；③由面面平行的性质定理可知该命题正确；④∵l∥γ，β∩γ＝m，l⊂β，∴l∥m，又α∩β＝l，且m⊂β，∴m∥α，又m⊂γ且γ∩α＝n，∴m∥n，故④对，选B.6．如图所示，四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③7．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.8．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EMMA ＝EN NB ＝12得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .9．设x ，y ，z 为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x ⊥z ，y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的序号有________．(把所有的真命题全填上)①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 都为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y ，z 都为直线，⑤x ，y 为平面，z 为直线．答案 ③⑤解析 ①直线x 可能在平面y 内；②平面x 与y 可能相交；④直线x 与y 可能相交，也可能异面，故③⑤正确．10．(2011·天津文)如上图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．证明：PB∥平面ACM.解析连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC 的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.11. 如下图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . 解析 (1)连接FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2， ∴BG 綊A 1E ，∴A 1G ∥BE . 又∵C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F ，∴D 1F 綊EB ， 故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1， ∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.12. 如下图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A ⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC 上的动点，EC＝2FB.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?解析方法一如下图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.∵侧棱A 1A ⊥底面ABC ， ∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ， ∴OM ⊥底面ABC . 又∵EC ＝2FB ， ∴OM ∥FB 綊12EC ， ∴四边形OMBF 为矩形， ∴BM ∥OF ，又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF .故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二如上图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ，∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF，又∵BQ⊂面PQB，∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．13．(2011·山东文) 如下图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D ⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.解析(1)证法一因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB cos60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2，因此AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD.证法二因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以BD⊥D1D.取AB 的中心G ，连接DG ，在△ABD 中，由AB ＝2AD 得AG ＝AD ，又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形，因此GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB ，又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，故∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°， 所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1， 故AA 1⊥BD . (2)连接AC ，A 1C 1， 设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以EC ＝12AC .由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1，知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1∥EA1.又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.1．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面P AD.证明方法一取CD中点E，连接NE、ME.∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NE∥PD，ME∥AD.∴NE∥平面P AD，ME∥平面P AD.又NE ∩ME ＝E ， ∴平面MNE ∥平面P AD . 又MN ⊂平面MNE ， ∴MN ∥平面P AD .方法二 取PD 中点F ，连接AF 、NF .∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点， ∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD ， ∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形， ∴MN ∥AF .又AF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1C ，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD .证明 方法一如图(1)所示，连接B1D1.∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理：MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.方法二如图(2)所示，连接AC1，AC，∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD.又CC1⊥平面ABCD，∴AC为AC1在平面ABCD上的射影，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN.∴平面PMN∥平面A1BD.3. 如下图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD ⊥C1D.(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)设E是B1C1上的一点，当B1EEC1的值为多少时，A1E∥平面ADC1？请给出证明．解析(1)在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1.又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在平面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1.(2)由(1)得AD⊥BC.在正三角形ABC中，D是BC的中点．当B1EEC1＝1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D、E 分别是BC、B1C1的中点，∴B1B∥DE，B1B＝DE.又B1B∥AA1，且B1B＝AA1，∴DE∥AA1，且DE＝AA1.∴四边形ADEA1为平行四边形，∴A1E∥AD.而A1E⊄平面ADC1，故A1E∥平面ADC1.1．如图在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，∴平面NHF∥平面B1BDD1.故线段FH上任一点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1，故填M∈线段FH.2. 如下图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝6 3a，试在AB上找一点F，使EF∥平面P AD.解析在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，则F即为所求作的点．∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE∥AG.又AG⊂平面P AD，FE⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD.又在△BCE中，CE ＝BC 2－BE 2＝a 2－23a 2＝33a .在Rt △PBC 中，BC 2＝CE ·CP ， ∴CP ＝a 233a ＝3a .又EG CD ＝PE PC ，∴EG ＝AF ＝23a .∴点F 为AB 的一个三等分点，且靠近B 点．。

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2013届高考数学一轮复习课时练 第1课时 集合 新人教版 理

2013届高考数学一轮复习课时练 第1课时 集合 新人教版 理

2013届高考一轮数学复习理科课时练（人教版）第1课时 集合1．(2011·大纲全国)设集合U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则∁U (M ∩N )＝( )A ．{1,2}B ．{2,3}C ．{2,4}D ．{1,4} 答案 D解析 依题意得，M ∩N ＝{2,3}，∁U (M ∩N )＝{1,4}，故选D.2．(2011·某某)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝( )A ．[12，＋∞) B．(0，12)C ．(0，＋∞) D．(－∞，0][12，＋∞)答案 A解析 因为函数y ＝log 2x 在定义域内为增函数，故U ＝{y |y >0}，函数y ＝1x在(0，＋∞)内为减函数，故集合P ＝{y |0<y <12}，所以∁U P ＝{y |y ≥12}．3．(2011·)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1] B. [1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 答案 C解析 由P ∪M ＝P ⇒M ⊆P ，即a ∈P ，又P ＝{x |－1≤x ≤1}，因此a 的取值X 围为[－1,1]，故选C.4．集合M ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈N *}，P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}，则下列关系中正确的是( )A ．M PB ．P MC ．M ＝PD ．M P 且PM答案 A解析 P ＝{x |x ＝1＋(a －2)2，a ∈N *}，当a ＝2时，x ＝1，而M 中无元素1，P 比M 多一个元素．5.如图所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义集合AB 为阴影部分所表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则AB ＝( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2} D．{x |0≤x ≤1或x ＞2} 答案 D解析 依据定义，AB 就是将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合．B ＝{y |y ＞1}，依据定义得：AB ＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．6．(2011·某某)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠Ø的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8 答案 B解析 由题意知，集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.7．(2012·某某模拟)设集合P ＝{(x ，y )|x ＋y <4，x ，y ∈N *}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8 答案 C解析 当x ＝1时，y <3，又y ∈N *，因此y ＝1或y ＝2；当x ＝2时，y <2，又y ∈N *，因此y ＝1；当x ＝3时，y <1，又y ∈N *，因此这样的y 不存在．综上所述，集合P 中的元素有(1,1)、(1,2)、(2,1)，集合P 的非空子集的个数是23－1＝7，选C.8．(2011·某某)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝{x ||x －1i |<2，i 为虚数单位，x ∈R }，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1] 答案 C解析 对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式x 2＋1<2，即x 2<1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．正确选项为C.9．(2011·某某)已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x |－1<x <3}，A ∩Z ＝{0,1,2}，A ∩Z 中所有元素之和等于3. 10．(2011·《高考调研》原创题)已知集合A 、B 与集合AB 的对应关系如下表：________.答案 {2011,2012}11．a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }，则b －a 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 答案 C解析 利用集合相等的定义，后面集合中含有元素0，前面集合中也必含有元素0，且只可能a ＋b 或a 为0.注意后面集合中含有元素b a，故a ≠0，只能a ＋b ＝0，即b ＝－a .集合变成了{1,0，a }＝{0，－1，－a }，显然a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2，选C.12．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数为________．答案 10解析 由题知，A ∩B ＝{0,1}，A ∪B {－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共10个，即A *B 中的元素有10个．13．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈A ∩B ；(2){9}＝A ∩B . 答案 (1)a ＝5或a ＝－3 (2)a ＝－3 解析 (1)∵9∈A ∩B 且9∈B ，∴9∈A . ∴2a －1＝9或a 2＝9.∴a ＝5或a ＝±3. 而当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，故舍去． ∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A ∩B . ∴a ＝5或a ＝－3.而当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}， 此时A ∩B ＝{－4,9}≠{9}，故a ＝5舍去． ∴a ＝－3.讲评 9∈A ∩B 与{9}＝A ∩B 意义不同，9∈A ∩B 说明9是A 与B 的一个公共元素，但A 与B 允许有其他公共元素．而{9}＝A ∩B 说明A 与B 的公共元素有且只有一个9.14．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，某某数m 的取值X 围．答案 m ∈(－∞，3]解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ＝{x |－2≤x ≤5}， 当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，解得m <2.当B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可知，m ∈(－∞，3]．讲评 空集在以下两种情况下容易忘记：①在以方程的根、不等式的解为元素构成的集合中，方程或不等式无解时的情况容易漏掉；②在A ∪B ＝B 、A ∩B ＝A 中，容易忽视A ＝∅的情况．15．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )＜0}． (1)若AB ，求a 的取值X 围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值X 围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的取值X 围． 答案 (1)43≤a ≤2 (2)a ≤23或a ≥4 (3)3解析 ∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}． (1)当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2， 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥4⇒a ∈∅.∴43≤a ≤2时，A B . (2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，a ≥4或3a ≤2， ∴0＜a ≤23或a ≥4.当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43.∴a ＜0时成立．验证知当a ＝0时也成立． 综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅.(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立， ∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}， 而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}， 故所求a 的值为3.1．(2011·某某)设集合M ＝{x |x 2＋x －6<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．(2,3] D ．[2,3] 答案 A解析 集合M ＝(－3,2)，M ∩N ＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)． 2．若P ＝{x |x <1}，Q ＝{x |x >－1|，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P 答案 C解析 由题意，∁R P ＝{x |x ≥1}，画数轴可知，选项A ，B ，D 错，故选C.3．设全集U ＝Z ，集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝4m ，m ∈Z }，则U 等于( ) A ．P ∪Q B ．(∁U P )∪QC ．P ∪(∁U Q )D ．(∁U P )∪(∁U Q ) 答案 C4．设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有________．①A∪B＝A；②∁U A∩B＝∅②∁U A⊆∁U B；④A∪∁U B＝U答案①②③④解析由韦恩图知①②③④均正确．5．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝Ø，则m的值是________．答案1或2思路本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁U A)∩B＝Ø对集合A，B 的关系进行转化．解析A＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝Ø，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠Ø.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4, 这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.1．(2011·文)已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁U P＝( )A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 D解析集合P＝[－1,1]，所以∁U P＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．(2011·某某)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D．{x |0≤x ≤1} 答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．3．M ＝{x |x ＝3n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝3n －1，n ∈Z }且a ∈M ，b ∈N ，c ∈P .设d ＝a －b ＋c ，则( )A ．d ∈MB ．d ∈NC ．d ∈PD ．以上都不对 答案 B解析 ①集合M 表示3的整数倍数集，N 表示被3除余1数集，P 表示被3除余2数集， ∴a 为3的倍数，b ＝3k ＋1，c ＝3n ＋2. ∴d ＝a －b ＋c 表示被3除余1的数．∴d ∈N . ②法2，取a ＝3，b ＝4，c ＝2，∴d ＝1被3除余1.4．(2012·东北三省等值模拟)已知集合A ＝{－1,0，a }，B ＝{x |0<x <1}，若A ∩B ≠Ø，则实数a 的取值X 围是( )A ．{1}B ．(－∞，0)C ．(1，＋∞) D．(0,1) 答案 D解析 ∵A 中－1,0不属于B ，且A ∩B ≠Ø ∴a ∈B ，∴a ∈(0,1)．5．已知集合A ＝B ＝{0,1}，集合C ＝{u |u ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，则集合C 的子集个数是( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．16 答案 A解析 ∵C ＝{u |u ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }， ∴C ＝{0,1}，故C 的子集个数为22个．6．(2012·某某一模)设函数y ＝x ＋1的定义域为M ，集合N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．ØB ．NC ．[1，＋∞) D．M 答案 B解析 由题意得M ＝{x |x ≥－1}＝[－1，＋∞)，N ＝{y |y >0}＝(0，＋∞)，∴M ∩N ＝N . 7．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i ⊕A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3，满足关系式(x ⊕x )⊕A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 C解析 A 0⊕A 0＝A 0，A 1⊕A 1＝A 2，A 2⊕A 2＝A 0，A 3⊕A 3＝A 2，再次进行计算可知只有A 1，A 3符合题目要求，故选C.8．(2011·某某)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1x ＝y ，得2x 2＝1，解得x ＝22或x ＝－22，这时y ＝22或y ＝－22，即A ∩B 中有两个元素．9．(2011·某某理)设a ，b ，c 为实数，f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }．若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )A ．|S |＝1且|T |＝0B ．|S |＝1且|T |＝1C ．|S |＝2且|T |＝2D ．|S |＝2且|T |＝3 答案 D解析 若a ＝b ＝c ＝0，则f (x )＝x 3＝0，x ＝0，|S |＝1，g (x )＝1，g (x )＝0无解，因此|T |＝0，即A 项有可能；若a ＝1且b 2－4c <0，则|S |＝1且|T |＝1成立，即f (x )＝0和g (x )＝0都仅有一个解x ＝－1，即B 项也是有可能的；若a ＝1且b 2－4c ＝0(b ＝22，c ＝2)，则|S |＝2且|T |＝2成立，即都仅有两个解x ＝－1和x ＝－2，即C 项也是有可能的；对于D 项，若|T |＝3，则Δ＝b 2－4c >0，从而导致f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )也有3解，因此|S |＝2且|T |＝3不可能成立．10．已知R 为实数集，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，若B ∪∁R A ＝R ，B ∩∁R A ＝{x |0<x <1或2<x <3}，求集合B .解析 A ＝{x |1≤x ≤2}． ∴∁R A ＝(－∞，1)∪(2，＋∞)．∵B ∪∁R A ＝R .B ∩∁R A ＝(0,1)∪(2,3)．∴B ＝(0,3)．11．(2011·海淀区)已知集合A＝{1,2,3，…，2n}(n∈N*)，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m，则称S具有性质P.(1)当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x>9}和C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由；(2)若集合S具有性质P，试判断集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由．解析(1)当n＝10时，集合A＝{1,2,3，…，19,20}，B＝{x∈A|x>9}＝{10,11,12，…，19,20}不具有性质P.因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1＝10与b2＝10＋m，使得|b1－b2|＝m成立．集合C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}具有性质P.因为可取m＝1<10，对于该集合中任意一对元素c1＝3k1－1，c2＝3k2－1，k1，k2∈N*，都有|c1－c2|＝3|k1－k2|≠1.(2)若集合S具有性质P，那么集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}一定具有性质P.首先因为T＝{(2n＋1)－x|x∈S}，任取t＝(2n＋1)－x0∈T，其中x0∈S，因为S⊆A，所以x0∈{1,2,3，……，2n}，从而1≤(2n＋1)－x0≤2n，即t∈A，所以T⊆A，由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m，对上述取定的不大于n的正整数m，从集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}中任取元素t1＝2n＋1－x1，t2＝2n＋1－x2，其中x1，x2∈S，都有|t1－t2|＝|x1－x2|；因为x1，x2∈S，所以有|x1－x2|≠m，即|t1－t2|≠m，所以集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}具有性质P.。

2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(1)集合及其运算

2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(1)集合及其运算

课时作业(一)[第1讲集合及其运算][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．[2011·课标全国卷] 已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个2．[2011·长沙模拟] 已知全集是实数集R，M＝{x|x≤1}，N＝{1,2,3,4}，则(∁R M)∩N 等于()A．{4} B．{3,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}3．[2011·嘉和一中模拟] 已知集合A＝{y|y＝lg x，x>1}，B＝{x|0<|x|≤2，x∈Z}，则下列结论正确的是()A．A∩B＝{－2，－1} B．A∪B＝{x|x<0}C．A∪B＝{x|x≥0} D．A∩B＝{1,2}4．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图K1－1(阴影区域及其边界)，其中为凸集的是()图K1－1A．①③B．②③C．③④D．①④能力提升5．[2011·合肥模拟] 已知集合M＝{－4，－3，－2，－1，0,1,4}，N＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，且M，N都是全集I()A．{－1，－2，－3} B．{0,1,2,3}C．{2,3} D．{0，－1，－2，－3}6．[2011·江西卷] 若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于() A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)7．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}且B≠∅，若A∪B＝A，则m的取值范围是()A．－3≤m≤4 B．－3<m<4C．2<m<4 D．2<m≤48．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁U B)的充要条件是()A．m>－1且n<5 B．m<－1且n<5C．m>－1且n>5 D．m<－1且n>59．设集合A ＝{x |y ＝ln(x －3)}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ y ＝1－4＋5x －x 2，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)10．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．11．若全集U ＝{0,1,2,4,16}，集合A ＝{0,2，a }，∁U A ＝{1，a 2}，则a 的值为________．12．设数集M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫n －13≤x ≤n ，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________．13．已知集合A ＝{x |1≤log 2x ≤2}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．14．(10分)[2012·安徽名校联考] 已知集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{x |x 2＋ax －6<0}，C ＝{x |x 2－2x －15<0}．(1)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围；(2)是否存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．15．(13分)设函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B .(1)求证：函数f (x )的图象关于原点成中心对称；(2)a ≥2是A ∩B ＝∅的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)？并证明你的结论．难点突破16．(12分)集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．作业手册课时作业(一)【基础热身】1．B [解析] 因为M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，所以P ＝M ∩N ＝{1,3}，所以集合P 的子集共有∅，{1}，{3}，{1,3}4个．2．C [解析] 因为∁R M ＝{x |x >1}，所以(∁R M )∩N ＝{2,3,4}．3．D [解析] A ＝{y |y >0}，B ＝{－1，－2,1,2}，故A ∩B ＝{1,2}．4．B [解析] 只有②③两个图形内任意两点所连线段仍在图形内．【能力提升】5．C [解析] 根据补集和交集的运算，把N 中属于M 的元素去掉即可．6．D [解析] 方法一：∵M ∪N ＝{1,2,3,4}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{5,6}．故选D.方法二：∵∁U M ＝{1,4,5,6}，∁U N ＝{2,3,5,6}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝{5,6}．故选D.7．D [解析] ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，又B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2＜m ≤4.8．A [解析] ∵P ∈A ，∴m >－1，又∁U B ＝{(x ，y )|x ＋y －n >0}，∵P ∈(∁U B )，∴n <5，故选A.9．B [解析] 集合A ，B 均是函数的定义域，求出定义域后计算即可．集合A ＝(3，＋∞)，集合B 中的x 满足－4＋5x －x 2>0，即x 2－5x ＋4<0，即得1<x <4，即集合B ＝(1,4)，故A ∩B ＝(3,4)．故选B.10．1 [解析] ∵A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，∴a ＋2＝3或a 2＋4＝3，又∵a 2＋4＝3不符合题意，无解．∴a ＝1，经检验，符合题意．11．4 [解析] a 只可能等于4.12.112 [解析] 由题意，知集合M 的“长度”是34，集合N 的“长度”是13，由集合M 、N 是{x |0≤x ≤1}的子集，知当且仅当M ∪N ＝{x |0≤x ≤1}时，集合M ∩N 的“长度”最小，最小值是34＋13－1＝112. 13．(－∞，－2] [解析] 集合A 是不等式1≤log 2x ≤2的解集，求出这个集合，根据集合之间的关系得a ，b 满足的条件，即可求出a －b 的取值范围．由题意，集合A ＝[2,4]，因为A ⊆B ，故a ≤2，b ≥4，故a －b ≤2－4＝－2，即a －b 的取值范围是(－∞，－2]．14．[解答] A ＝{x |－1<x <3}，C ＝{x |－3<x <5}．(1)由A ∪B ＝B 知，A ⊆B ，令f (x )＝x 2＋ax －6，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－a －6≤0，f (3)＝32＋3a －6≤0， 解得－5≤a ≤－1，即a 的取值范围是[－5，－1]．(2)假设存在a 的值使得A ∪B ＝B ∩C ，由A ∪B ＝B ∩C ⊆B 知A ⊆B ，由A ∪B ＝B ∩C ⊆C 知B ⊆C ，于是A ⊆B ⊆C ，由(1)知若A ⊆B ，则a ∈[－5，－1]，当B ⊆C 时，由Δ＝a 2＋24>0，知B 不可能是空集， 于是⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝(－3)2－3a －6≥0，f (5)＝52＋5a －6≥0，－3<－a 2<5，解得a ∈⎣⎡⎦⎤－195，1， 综合a ∈[－5，－1]知存在a ∈⎣⎡⎦⎤－195，－1满足条件． 15．[解答] (1)证明：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 2x ＋1－1>0， 由2x ＋1－1>0⇔x －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1，∴A ＝(－1,1)，故f (x )的定义域关于原点对称．又f (x )＝lg 1－x x ＋1，则f (－x )＝lg 1＋x －x ＋1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x x ＋1－1＝－lg 1－x x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．即函数f (x )的图象关于原点成中心对称．(2)B ＝{x |x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a ]． 若A ∩B ＝∅，则只需要－1－a ≥1或者1－a ≤－1，解得a ≤－2或者a ≥2， 故A ∩B ＝∅等价于a ≤－2或者a ≥2，而{a |a ≥2} {a |a ≤－2或a ≥2}． 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件．【难点突破】16．[解答] (1)①当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅满足B ⊆A .②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m ≤3. 综上，m 的取值范围是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又A ∩B ＝∅， 则①若B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2，满足条件．②若B ≠∅，则要满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2， 解得m >4.综上，m 的取值范围是m <2或m >4.。

2013届高考数学一轮复习课时作业 理

2013届高考数学一轮复习课时作业 理

1．(2012·衡水调研卷)若ξ～B(n，p)且Eξ＝6，Dξ＝3，则P(ξ＝1)的值为( )A．3·2－2 B．3·2－10C．2－4 D．2－8答案 B解析Eξ＝np＝6，Dξ＝np(1－p)＝3p＝，n＝12，P(ξ＝1)＝C()12＝3·2－10.2．设随机变量的分布列如表所示，且Eξ＝1.6，则a×b＝( )ξ0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2B．0.1C．0.15 D．0.4解析由分布列的性质得0.1＋a＋b＋0.1＝1，a＋b＝0.8又由Eξ＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3由解得a＝0.3，b＝0.5，a×b＝0.3×0.5＝0.15.答案 C3．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( )A．Eξ＝3.5，Dξ＝3.52 B．Eξ＝3.5，Dξ＝C．Eξ＝3.5，Dξ＝3.5 D．Eξ＝3.5，Dξ＝答案 B4．(2012·沧州七校联考)某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)( )A．60.82元 B．68.02元C．58.82元 D．60.28元答案 A解析E(ξ)＝100×＋(－10)×≈60.82，选A.5．(2012·岳阳联考)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )A. B.C. D.答案 D解析设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为X 3 2 0 P a b c E(X)＝3a＋2b＝2≥2，所以ab≤，当且仅当3a＝2b时，等号成立．6．随机变量ξ的分布列如下：ξ－1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，若Eξ＝，则Dξ的值是( )A. B.C. D.解析a，b，c成等差数列，2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，且Eξ＝－1×a＋1×c＝c－a＝.联立三式得a＝，b＝，c＝，Dξ＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.答案 C7．若随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a.若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于________．答案0解析依题意有a＝1－＝，所以Eξ＝m＋n＝2，即m＋2n＝6，又Dξ＝(m－2)2＋(n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2，所以当n＝2时，Dξ取最小值为0. 8．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．答案，25解析Dξ＝100p(1－p)≤100·()2＝25当且仅当p＝1－p.即p＝时，Dξ最大为25.9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元．解析设要求投保人交x元，公司的收益额ξ作为随机变量，则p(ξ＝x)＝ 1－p，p(ξ＝x－a)＝p，故Eξ＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，x－ap＝0.1a，x＝(0.1＋p)a.答案(0.1＋p)a10．(2011·江苏)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.答案解析可以先把这组数都减去6再求方差，11．(2010·浙江理)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.答案解析P(X＝0)＝＝(1－p)2×，p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X ＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.12．(2012·江南十校联考)甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为，乙能攻克的概率为，丙能攻克的概率为.(1)求这一技术难题被攻克的概率；(2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得万元．设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望．解析(1)这一技术难题被攻克的概率P＝1－(1－)(1－)(1－)＝1－××＝.(2)X的可能取值分别为0，，，a.P(X＝0)＝＝，P(X＝)＝＝，P(X＝)＝＝，P(X＝a)＝＝.X的分布列为X 0 a P E(X)＝0×＋×＋×＋a×＝a. 13．(2012·广州综合测试)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)．参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球，则没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望．解析设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000,800,600,0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金减半，即分别为500,400,300,0.则ξ的所有可能取值为1000,800,600,500,400,300,0.依题意得P(ξ＝1000)＝P(ξ＝800)＝P(ξ＝600)＝，P(ξ＝500)＝P(ξ＝400)＝P(ξ＝300)＝P(ξ＝0)＝，则ξ的分布列为ξ1000 800 600 500 400 300 0 P 所以所求的期望为E(ξ)＝×(1000＋800＋600)＋×(500＋400＋300＋0)＝675(元)．即一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望是675元．14．(2012·衡水调研卷)甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：甲运动员射击环数频数频率7 10 0.1 8 10 0.1 9 x 0.4510 35 y 合计100 1 乙运动员射击环数频数频率7 8 0.1 8 12 0.15 9 z10 0.35 合计80 1若将频率视为概率，回答下列问题：(1)求甲运动员击中10环的概率；(2)求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率；(3)若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及E(ξ)．解析由题意得x＝100－(10＋10＋35)＝45，y＝1－(0.1＋0.1＋0.45)＝0.35.因为乙运动员的射击环数为9时的频率为(1－(0.1＋0.15＋0.35)＝0.4，所以z＝0.4×＝32.由上可得表中x处填45，y处填0.35，z处填32.(1)设“甲运动员击中10环”为事件A，则P(A)＝0.35，即甲运动员击中10环的概率为0.35.(2)设甲运动员击中9环为事件A1，击中10环为事件A2，则甲运动员在一次射击中9环以上(含9环)的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝0.45＋0.35＝0.8，故甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率P＝1－[1－P(A1＋A2)]3＝1－0.23＝0.992.(3)ξ的可能取值是0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝0.22×0.25＝0.01，P(ξ＝1)＝C×0.2×0.8×0.25＋0.22×0.75＝0.11，P(ξ＝2)＝0.82×0.25＋C×0.8×0.2×0.75＝0.4，P(ξ＝3)＝0.82×0.75＝0.48.所以ξ的分布列是ξ0 1 2 3 P 0.01 0.11 0.4 0.48 E(ξ)＝0×0.01＋1×0.11＋2×0.4＋3×0.48＝2.35.1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于( )A. B.C. D．1答案 A解析离散型随机变量X服从N＝10，M＝3，n＝2的超几何分布，EX＝＝＝.2．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为( )A．0.4 B．1.2C．0.43 D．0.6答案 B解析途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，EX＝3×0.4＝1.2. 3．设ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝12，D(ξ)＝4，则n与p的值分别为( ) A．18， B．12，C．18， D．12，答案 C解析由，解得n＝18，p＝.4．(2012·沈阳模拟)设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－2，－，－，0，，，2.用X表示坐标原点到l的距离，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.答案解析当l的斜率为±时，直线方程为±2x－y＋1＝0，此时d1＝；k＝±时，d2＝；k＝±时，d3＝；k＝0时，d4＝1.由等可能性事件的概率可得分布列如下：X 1 P EX＝×＋×＋×＋1×＝. 5．(2011·江西理)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．解析(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)，即X 0 1 2 3 4 P (2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500，则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝，EY＝3500×＋2800×＋2100×＝2280，所以此员工月工资的期望为2280元．6．(2011·陕西理)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的频率0.1 0.20.3 0.2 0.2 L2的频率0 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．()为了尽量大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？()用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对()的选择方案，求X的分布列和数学期望．【解析】()Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6。

2013届高考一轮数学复习理科课时同步8-3

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课时作业(四十一)1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾．2．设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时()A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件答案 C解析当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立，故选C.3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析ABCD可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．4．上图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③ B．②④C．③④D．②③④答案 C解析 如上图，把正方体的平面展开图还原到原来的正方体，显然BM 与ED 为异面直线，故命题①不成立；而CN 与BE 平行，故命题②不成立；又四个选项中仅有选项C 不含②，运用排除法，故应选C.5．(2009·全国)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010 B.15 C.31010D.35答案 C解析 连接BA 1，则CD 1∥BA 1，于是∠A 1BE 就是异面直线BE 与CD 1所成的角(或补角)，设AB ＝1，则BE ＝2，BA 1＝5，A 1E ＝1，在△A 1BE 中，cos ∠A 1BE ＝5＋2－125·2＝31010，选C.6．已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是()A．(1)(2)(3) B．(1)(4)C．(1)(2)(4) D．(2)(4)答案 C解析如图1，当直线m或直线n在平面α内时不可能有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.7．(2011·湖北八校)如图所示，设地球半径为R，点A、B在赤道上，O为地心，点C在北纬30°的纬线(O′为其圆心)上，且点A、C、D、O′、O共面，点D、O′、O共线．若∠AOB＝90°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.64 B ．－64 C.6＋24 D.6－24答案 A解析 分别以OB 、OA 、OD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，易得A (0，R,0)，B (R,0,0)，C (0，32R ，12R )，D (0,0，R )，AB →＝(R ，－R,0)，CD →＝(0，－32R ，12R )，AB →，CD →＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝32R 22R 2＝64，选A. 8. 如下图是正四面体的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.9．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案②④解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．10．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的序号)答案①③④解析 如图，由面面平行的性质可知：BE ∥FD ′，ED ′∥BF ，∴四边形BFD ′E 是平行四边形，∴①正确；它不可能是正方形，否则BE ⊥平面A ′ADD ′，∴②错误；又∵四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影为四边形ABCD ，∴它一定是正方形，∴③正确；当E 、F 分别为所在棱的中点时，EF ⊥平面BB ′D ，∴此时面BFDE ′垂直于面BB ′D .∴④正确．11．如下图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点．求异面直线A 1E 与GF 所成角的大小．答案 90°解 连接B 1G ，EG ，B 1F ，CF .∵E 、G 是棱DD 1、CC 1的中点，∴A 1B 1∥EG .∴四边形A 1B 1GE 是平行四边形，∴B 1G ∥A 1E .所以∠B 1GF (或其补角)就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在Rt △B 1C 1G 中，B 1C 1＝AD ＝1，C 1G ＝12AA 1＝1，∴B1G＝ 2.在Rt△FBC中，BC＝BF＝1，∴FC＝ 2.在Rt△FCG中，CF＝2，CG＝1，∴FG＝ 3.在Rt△B1BF中，BF＝1，B1B＝2，∴B1F＝ 5.在△B1FG中，B1G2＋FG2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°.因此，异面直线A1E与GF所成的角为90°.12. 如下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB 和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明(1)如下图，连接CD1、EF、A1B，∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B ，又∵A 1D 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1确定一个平面α，∴E 、F 、C 、D 1∈α，即E 、C 、D 1、F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则P ∈CE ⊂平面ABCD ，且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1，∴P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1，又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，∴P ∈AD ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．13．如图所示，设A 是BCD 所在平面外一点，AD ＝BC ＝2 cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．(1)若EF ＝ 2 cm ，求异面直线AD 和BC 所成的角；(2)若EF ＝ 3 cm ，求异面直线AD 和BC 所成的角．答案 (1)90° (1)60°解 取AC 的中点G ，连接EG 、FG .∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点，∴EG ∥BC 且EG ＝12BC ＝1 cm ，FG ∥AD 且FG ＝12AD ＝1 cm ，∴∠EGF 即为所求异面直线的角或其补角．(1)当EF ＝ 2 cm 时，由EF 2＝EG 2＋FG 2，得∠EGF ＝90°. ∴异面直线AD 和BC 所成的角为90°.(2)当EF ＝ 3 cm 时，在△EFG 中，取EF 的中点H ，连接GH ，∵EG ＝GF ＝1 cm ，∴GH ⊥EF ，EH ＝FH ＝32 cm ，∴GH ＝GF 2－HF 2＝12 cm ，得∠GFH ＝∠GEH ＝30°，∴∠FGE ＝120°，其补角为60°.∴异面直线AD 和BC 所成的角为60°.14．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1所有的棱长都为2，E 是A 1B 的中点，F 在棱CC 1上．(1)当C 1F ＝12CF 时，求多面体ABCFA 1的体积；(2)当点F 使得A 1F ＋BF 为最小时，求异面直线AE 与A 1F 所成的角．解析 (1)当C 1F ＝12CF即F 为C 1C 的一个三等分点．多面体ABCFA 1可分解为三棱锥A 1－ABC 和A 1－BCF 两部分，∴V ＝V A 1－ABC ＋V A 1－BCF ＝1039.(2)将平面BCC 1B 1沿CC 1展开可知，F 为中点时，A 1F ＋BF 最小，取BF 的中点D ，连接DE ，则∠AED 即为所求角．在△AED 中AE ＝2，ED ＝12A 1F ＝52，AD ＝132.∴AD 2＝AE 2＋ED 2，∴∠AED ＝90°.∴异面直线AE 与A 1F 所成的角为90°.(此题也可用向量法解，学生自己试做)．1．已知空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列判断：①MN ≥12(AC ＋BD )；②MN >12(AC ＋BD )；③MN ＝12(AC ＋BD )；④MN <12(AC ＋BD )．其中正确的是________．答案 ④2．若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则( )A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面答案 B解析 对于选项A ，若过点P 有直线n 与l ，m 都平行，则l ∥m ，这与l ，m 异面矛盾．对于选项B ，过点P 与l 、m 都垂直的直线，即过P 且与l 、m 的公垂线段平行的那一条直线．对于选项C ，过点P 与l 、m 都相交的直线有一条或零条． 对于选项D ，过点P 与l 、m 都异面的直线可能有无数条．3．如图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是线段AD 、BC 上的点，AE ED ＝BF FC ＝12，AB ＝CD ＝3，EF ＝7，求AB 、CD 所成角的大小．解析 如图所示，在线段BD 上取一点G ，使GB GD ＝12.连接GF 、GE 、EF .∵AE ED ＝BG GD ＝BF FC ＝12，∴GE ∥AB ，且GE ＝23AB ＝2，同理，GF ∥CD ，且GF ＝13CD ＝1，在△EGF 中，cos ∠EGF ＝22＋12－72×2×1＝－12， ∴∠EGF ＝120°.由GF ∥CD ，GE ∥AB 可知，AB 与CD 所成的角应是∠EGF 的补角为60°.。