2017-2018学年高中数学北师大版选修4-4(课件+教师用书+学业分层测评+章末分层突破)：第1章 2 2.3+2.4+2.5

学业分层测评(四) (建议用时：45分钟)一、选择题1.在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρsin θ＝－2B.ρcos θ＝－2C.ρsin θ＝2D.ρcos θ＝2【解析】 过点⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2与极轴平行的直线为y ＝－2，即ρsin θ＝－2. 【答案】 A2.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2C.(1,0)D.(1，π)【解析】 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.【答案】 B3.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )【导学号：12990013】A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线【解析】 ∵方程(ρ－1)(θ－π)＝0， ∴ρ＝1或θ＝π，ρ＝1为半径是1的圆，θ＝π是一条射线. 【答案】 C4.曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋(y ＋2)2＝4 B.x 2＋(y －2)2＝4 C.(x －2)2＋y 2＝4D.(x ＋2)2＋y 2＝4【解析】 ∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝4y ， ∴x 2＋(y －2)2＝4. 【答案】 B5.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】 在极坐标系中，圆心坐标ρ＝1，θ＝0，半径r ＝1. 故左切线为θ＝π2或3π2.右切线满足cos θ＝2ρ⇒ρcos θ＝2，即切线方程为θ＝π2和ρcos θ＝2.所以选B.【答案】 B 二、填空题6.圆ρ＝2cos θ的半径是________.【解析】 ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 即x 2＋y 2＝2x ， (x －1)2＋y 2＝1， ∴r ＝1. 【答案】 17.在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________. 【解析】 ∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ，x 2＋y 2＝4y ，∴x 2＋(y －2)2＝4. 又θ＝π6，∴直线方程y ＝33x . 由点到直线的距离公式有d ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1＝ 3. 【答案】 38.在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2，得a ＝22. 【答案】22三、解答题9.在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值.【解】 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.10.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.【解】 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)， 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ 2 2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.1.在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )【导学号：12990014】A.4B.7C.2 2D.2 3【解析】 ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理得，切线长为 23 2＋ 2－2 2－22＝22，故选C. 【答案】 C2.在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4到直线l 的距离为( )A. 2B.22C.2－22D.2＋22【解析】 由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，得ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直线方程为x ＋y ＝1.点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4对应的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos3π4＝－2，y ＝ρsin θ＝2sin3π4＝ 2.即直角坐标为(－2，2).所以点到直线的距离为|－2＋2－1|2＝22，选B.【答案】 B3.在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________.【解析】 由ρ＝4sin θ可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a 可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示.由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt△DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫33a ，a . 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.【答案】 34.在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，试求|PQ |的最大值.【解】 ∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36. 又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，∴ρ2＝12ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴|PQ |max ＝6＋6＋ 33 2＋32＝18.。

§3 柱坐标系和球坐标系
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解 在柱坐标系、球坐标 系中刻画空间点的位置的 方法. 2.理解 柱坐标、球坐标与空 间直角坐标的互化关系与 公式. 3.体会 空间直角坐标、柱坐 标、球坐标刻画点的位置 的方 在平面极坐标系的基础上,通过极点O,增加一条与极坐标系所在 平面垂直的z轴,这样就建立了柱坐标系(如图).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解：(1)设点的直角坐标为(x,y,z).
∵(r,θ,z)=
5π 2, ,3 6
, 3,
������ = ������cos������ = 2cos
∴ ������ = ������sin������ =
������ = 3, ∴(- 3,1,3)为所求直角坐标. (2)设点的直角坐标为(x,y,z).
一
二
特别地, r=常数,表示的是以原点为球心的球面; φ=常数,表示的是以原点为顶点,z轴为轴的圆锥面; θ=常数,表示的是过z轴的半平面. ������ = |������������|cos������ = ������sin������cos������ , 点M的直角坐标与球坐标的关系为 ������ = |������������|sin������ = ������sin������sin������ , ������ = ������cos������ . 名师点拨空间中点的三种坐标的特点 设空间中点M的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(r,θ,z),球坐标为 (r,φ,θ),它们都是有序数组,但意义不同.直角坐标为三个实数;柱坐 标分别表示距离、角、实数;球坐标分别表示距离、角、角.
答案：(2,2 3,6)
π 3
一

解： (1)由 ρcos ������从而曲线
1 3 cos������ + sin������ 2 2 1 3 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2
π 3
=1,得 ρ
=1.
即 x+ 3y=2. 当 θ=0 时 ,ρ=2,得 M(2,0); 当
π 2 3 θ= 时 ,ρ= ,得 2 3
N
2 3 π , 3 2
| 2cos������+ 2sin������-4| = 3 π π 当且仅当 θ+ =2kπ+ ,即 4 2
d=
∴点 Q 到直线
π 4 2 3 l 距离的最小值为 . 3
2sin ������+π -4 4 3
≥
2 3 , 3
θ=2kπ+ (k∈ Z)时取等号 .
专题一
专题二
专题三
变式训练3 在极坐标系中,曲线C:ρ=2acos θ(a>0),直线l: π 3 ρcos ������- = ,曲线C与直线l有且仅有一个公共点. 3 2 (1)求a; π (2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB= 3,求|OA|+|OB|的 最大值. 解：(1)曲线C:ρ=2acos θ(a>0),可变形为ρ2=2ρacos θ, 化为x2+y2=2ax,即(x-a)2+y2=a2. 所以曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆.
由正弦定理,得
即 ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1).① 显然 ,点 P 的坐标(ρ1,θ1)是方程 ①的解 . 所以方程 ①为直线 l 的极坐标方程.
专题一
专题二
专题三
变式训练1在直角坐标系xOy中,以点O为极点,x轴正半轴为极轴 π 建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos ������- =1,点M,N分别为曲 3 线C与x轴、y轴的交点. (1)写出曲线C的直角坐标方程,并求点M,N的极坐标; (2)设MN的中点为点P,求直线OP的极坐标方程.

模块标准测评(满分：150分 测试时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是 ( A )A ．⎝⎛⎭⎫5，π3 B ．⎝⎛⎭⎫5，4π3 C ．⎝⎛⎭⎫5，－2π3 D ．⎝⎛⎭⎫5，－8π3 解析：由极坐标的定义可知选A ，⎝⎛⎭⎫－5，π3与⎝⎛⎭⎫5，π3关于极点对称．故选A ． 2．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心极坐标是 ( A ) A ．⎝⎛⎭⎫1，π4 B ．⎝⎛⎭⎫12，π4C ．⎝⎛⎭⎫2，π4 D ．⎝⎛⎭⎫2，π4 解析：可化为直角坐标方程⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1或化为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，这是ρ＝2r cos (θ－θ0)形式的圆的方程．故选A ．3．极坐标方程(ρ－1)θ＝0(ρ≥0)表示的曲线是( D ) A ．圆B ．直线C ．圆和直线D ．圆和射线解析：由极坐标方程(ρ－1)θ＝0(ρ≥0)，可得ρ＝1或θ＝0.ρ＝1表示到极点的距离为1的点的轨迹，是圆．θ＝0表示极角为0的点的集合，是射线．故选D ．4．(2016·安徽一模)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，已知点M 的极坐标是(2，θ)，圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ＋1，y ＝sin t (t为参数)，点M 与圆C 的位置关系是( D )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．在圆上或圆外解析：圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ＋1，y ＝sin t (t 为参数)，化作普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.点M 的极坐标是(2，θ)，其直角坐标为(2cos θ，2sin θ)，则点M 到圆心C (1,0)的距离d ＝(2cos θ－1)2＋(2sin θ)2＝5－4cos θ ∈ [1,3]．因此点M 在⊙C 的外部或圆上．故选D ．5．已知点P 所在曲线的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点Q 所在曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4＋2t (t 为参数)，则|PQ |的最小值是( D ) A ．2B ．455＋1C ．1D ．455－1解析：易知点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上，圆心为(1,0)，半径为1，点Q 在直线2x －y ＋2＝0上，故|PQ |的最小值是|2＋2|5－1＝455－1.6．已知参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ (a ，b ，λ均不为零，0≤θ＜2π)，分别取①t 为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( C )A ．①，②，③均是直线B ．只有②是直线C ．①②是直线，③是圆D ．②是直线，①③是圆解析：①t 为参数，原方程可化为y －λsin θ＝ba(x －λcos θ)，表示直线；②λ为参数，原方程可化为y －bt ＝(x －at )·tan θ，表示直线；③θ为参数，原方程可化为(x －at )2＋(y －bt )2＝λ2，表示圆．故选C ．7．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( D )A ．2B ．4C ．5D ．10解析：不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC |＝|BC |＝4，则|AB |＝42，|CD |＝ 12|AB |＝22，|PC |＝|PD |＝12|CD |＝2，|P A |＝|PB |＝|AD |2＋|PD |2＝ (22)2＋(2)2＝10，所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝10＋102＝10.故选D ．8．直线⎩⎨⎧x ＝1－12t ，y ＝32t(t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：直线方程可化为3x ＋y －3＝0，曲线方程可化为x 2＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3，x 2＋y 23＝1，得x 2－x ＝0，∴x ＝0或x ＝1.可得交点为A (0，3)，B (1,0)．∴|AB |＝1＋3＝2.故选B ．9．若P (2，－1)为圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( C )A ．x ＋y ＋3＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ消去θ，得(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心C (1,0)，所以k CP ＝－1.所以弦所在的直线的斜率为1.所以弦所在的直线方程为y －(－1)＝1·(x －2)，即为x －y －3＝0.故选C ．10．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( C )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(－2)2＋(2)2·|t |＝2，解得t ＝±22，将t 代入原方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．故选C ．11．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( D )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)解析：⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，设方程两根为t 1，t 2，∴t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4，中点为⎩⎨⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－ 3.故选D ． 12．如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a 的取值范围是( C )A ．(－22，0)B ．(0,22)C ．(－22，0)∪(0,22)D ．(1,22)解析：曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)转化为普通方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，问题可转化为以原点为圆心，2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜2a 2＜4，∴0＜a 2＜8，解得0＜a ＜22或－22＜a ＜0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ＝1与曲线C 2：ρ＝2上任意两点，则|PQ |的最小值为1.解析：极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ＝1与曲线C 2：ρ＝2上任意两点，可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ |的最小值为1.14．(2016·湖南雅礼中学月考)已知极坐标系下曲线ρ＝4sin θ表示圆，则点A ⎝⎛⎭⎫4，π6到圆心的距离为解析：将曲线ρ＝4sin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝4y ，则该圆的圆心为(0,2)，而点A ⎝⎛⎭⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，由两点间距离公式可得d ＝(23)2＋(2－2)2＝2 3.15．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，那么常数a 的值为3.解析：直线和椭圆的普通方程分别为x －y －a ＝0，x 29＋y 24＝1.把椭圆的右顶点(3,0)代入直线方程x －y －a ＝0，得到a ＝3.16．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 3解析：椭圆、直线、圆化为直角坐标方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1，x ＋y －m ＝0，x 2＋y 2＝b 2，由题意得m ＝a 2－b 2＝c ，|m |2＝b ，∴c ＝2b ，∴c 2＝2(a 2－c 2)，∴c 2a 2＝23，∴e ＝c a ＝63.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ (θ为参数，r ＞0)．(1)求圆心C 的极坐标；(2)当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3. 解析：(1)由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，得ρ(cos θ＋sin θ)＝1， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －1＝0.由⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ 得圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫－22，－22. ∴圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，5π4. (2)圆C ：⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ 的圆心到直线l 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－22－22－12＝1＋22.∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，∴1＋22＋r ＝3，r ＝2－22. ∴当r ＝2－22时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3. 18．(12分)(2015·山西三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ (φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解析：(1)圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ (φ为参数)，消去参数可得(x －1)2＋y 2＝1.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入化简，得ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程． (2)由直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3，化为普通方程为直线l ：y ＋3x ＝33，射线OM ：y ＝3x . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3x ＝33，y ＝3x ， 解得 ⎩⎨⎧x ＝32，y ＝332，即Q ⎝⎛⎭⎫32，332.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，(x －1)2＋y 2＝1， 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0 或 ⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32. ∴P ⎝⎛⎭⎫12，32.∴|PQ |＝⎝⎛⎭⎫12－322＋⎝⎛⎭⎫32－3322＝1＋3＝2 19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4 2.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标． 解析：(1)由曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α， 可得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos α，y ＝sin α，两式两边平方相加得⎝⎛⎭⎫x 32＋y 2＝1，即曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.由曲线C 2：ρsin(θ＋π4)＝42， 得22ρ(sin θ＋cos θ)＝42，即ρsin θ＋ρcos θ＝8，即曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －8＝0.(2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点，设椭圆上的动点P 的坐标为()3cos α，sin α(0≤α＜2π)，则P 到直线x ＋y －8＝0的距离为d ＝|3cos α＋sin α－8|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－82，∴当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1时，d 取得最小值32，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12 20．(12分)(2016·江苏卷)在平面角坐标系xOy 中，已知直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长．解析：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t2，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1得⎝⎛⎭⎫1＋t 22＋⎝⎛⎭⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0得t 1＝0，t 2＝－167，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝16721．(12分)(2016·江西上饶一模)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．解析：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的极坐标方程可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4.(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)代入圆的方程得t 2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0.∵曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ， ∴Δ＝16(sin α＋cos α)2－16＞0，∴sin αcos α＞0， 又α∈[0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2| ＝4|sin α＋cos α|＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎝⎛⎦⎤22，1. ∴|PM |＋|PN |的取值范围是(]4，42.22．(12分)在直角坐标系xOy ，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解析：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos ty ＝1＋a sin t化为直角坐标方程得x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0 由已知得tan θ＝2，∴16cos 2θ－8sin θcos θ＝0从而1－a 2＝0⇒a ＝1，a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点且在C 3上，故a ＝1.。