全等三角形性质与判定的综合运用及动点问题

全等三角形中的动态问题解决动点问题的常见思路：1、注意分类讨论；2、仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3、利用速度×时间表示处相应线段或边的长度，列出方程求解。

例1如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动多少秒时，△DEB与△BCA全等。

例2已知，如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P 从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为何值时，△ABP与△DCE全等。

练习：1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7厘米，BC=3厘米，CD为AB边上的高，点E从点B出发沿直线BC以2厘米/秒的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F。

（1）证明：∠A=∠BCD；（2）当点E运动多长时间时，CF=AB。

请说明理由。

2、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m），B（n，0），且｜m−n−3｜+2n−6=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒。

（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用含t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

例3如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿A—C—E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始在线段EC上往返运动，当点P到达终点时，P、Q同时停止运动。

全等三角形中的动点问题全等三角形的判断与定义1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

2.判定：(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

3.性质：(1)全等三角形的对应角相等。

(2)全等三角形的对应边相等。

(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。

(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。

(5)全等三角形的对应边上的中线相等。

(6)全等三角形面积相等。

(7)全等三角形周长相等。

(8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。

1、如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．(1)求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC；(2)当取何值时，△DFE与△DMG全等；(3)在(2)的前提下，若，，求S△BFD．（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM，∴=，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴AE=2tcm，CG=tcm，∴=2，即=2，∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．（2）解：设时间为t时，△DFE与△DMG全等，则EF=MG，①当M在线段CG的延长线上时，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，即10-2t=4-t，解得：t=6，当t=6时，MG=-2，所以舍去；②当M在线段CG上时，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），即10-2t=t-4，解得：t=，综上所述当t=时，△DFE与△DMG全等．（3）∵t=，∴AE=2t=（cm），∵DF=DM，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，∵AC=14cm，∴AB=（cm），∴BF=AB-AF=-10=（cm），∵S△ADE：S△BDF=AE：BF=：，S△AED=28cm2，∴S△BDF=（cm2）．解析：（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．（2）若△DFE与△DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．(1)几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的？(2)填空：①点经过_____秒，点P在线段AB的垂直平分线上．②点Q经过_____秒，点Q在∠BAC的平分线上．（1）设经过x秒，首先求得线段BC的长，然后分x≤6和6＜x≤8两种情况列方程求解即可；（2）①点P在线段AB的垂直平分线上，即可得到PA=PB，从而求得时间；②点Q在∠BAC的平分线上，则Q点到AC和AB的距离相等．解；（1）设经过x秒．在Rt△ABC中，根据题意得；当x≤6时，（8-x）x=××8×6解得：当6＜x≤8时，（8-x）×6=37解得：x=7答：经过7秒或秒．（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，PA=PB，∵设经过x秒后点P在线段AB的垂直平分线上，∴x2=（8-x）2+62解得：x=，∴经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上②如图，作QD⊥AB于点D，∵点Q在∠BAC的平分线上，∴QD=QC，设经过x秒，则CQ=x，则QD=（6-x），∴x=（6-x），解得：x=，∴点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．3、如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是()A.8cm2B.16cm2C.24cm2D.32cm2解：根据题意沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，∴AP=2t，AQ=t，S△APQ=t2，∵0＜t≤4，∴三角形APQ的最大面积是16．故选B．4、如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；(2)当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？(直接回答成立或不成立)(3)当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；解法二：如图2过点P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF．∵AC∥BD，∴FP∥BD．∴∠FPB=∠PBD．∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD；解法三：如图3，∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）当动点P在射线BA上，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M．∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠PBD=∠PAC+∠APB．选择（b）证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．解析：（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．6、如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF．(1)试说明BF=CE的理由；(2)当E、F相向运动，形成如图2时，BF和CE还相等吗？请说明你的结论和理由．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，∵∠ABC=∠DCB，∴∠BAD=∠CDA，∵AE=DF，∴AE+AD=DF+AD，即AF=DE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABt≌△DCE（SAS），∴BF=CE；（2）相等．在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴BF=CE．解析：（1）根据两直线平行，同旁内角互明证明∠BAD=∠CDA，根据AE边DF证明AF=DE，再根据边角边定理证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明BF=CE．（2）利用边角边定即证明△ABC和△DCB全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明7、如图，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M是AB的中点．(1)在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等，请说明理由；(2)在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；(3)线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明．解：（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等．理由如下：∵在△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，点M是AB的中点，∴∠A=∠MCQ=45°，AM=CM，∴在△APM与△CQM中，，∴△APM与△CQM（SAS）；（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米2，理由如下：由（1）知，△APM与△CQM，∴S△APM=S△CQM，∴S四边形PMQC=S△AMC=S△ABC=AC•BC=×8×8=32（厘米2），即在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米2；（3）AP2+BQ2=PQ2．证明如下：∵由（1）知，△APM与△CQM，∴AP=CQ，又AC=BC，∴PC=BQ，∴AP2+BQ2=CQ2+CP2=PQ2．即AP2+BQ2=PQ2．解析：（1）通过SAS证得△APM与△CQM；（2）由（1）中的全等三角形的面积相等可以推知：S四边形PMQC=S△AMC=S△ABC；（3）AP2+BQ2=PQ2．利用（1）中的全等三角形的对应边相等推知AP=CQ，则PC=BQ，所以在直角△PCQ中，利用勾股定理推得AP2+BQ2=PQ2．8、如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？解：（1）①∵t=1秒，∴BP=CQ=3×1=3厘米，∵AB=10厘米，点D为AB的中点，∴BD=5厘米．又∵PC=BC-BP，BC=8厘米，∴PC=8-3=5厘米，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP．（SAS）②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间秒，∴厘米/秒；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3=80厘米．∵80=56+24=2×28+24，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．解析：（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．9、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？分析：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．解答：解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，∵△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且BD=PC，BP=CQ，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，∵AB=AC，∴∠B=∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；①当BD=PC且BP=CQ时，8-3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8-3t，解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．点评：本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．10、在△ABC中，AB=AC，(1)如图①，若∠BAC=45°，AD和CE是高，它们相交于点H．求证：AH=2BD；(2)如图②，若AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点M为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．如果在运动过程中存在某一时刻使得△BPM与△CQP全等，那么点Q的运动速度为多少？点P、Q运动的时间t为多少？解：（1）证明：在△ABC中，∵∠BAC=45°，CE⊥AB，∴AE=CE，∠EAH=∠ECB，在△AEH和△CEB中，，∴△AEH≌△CEB（ASA），∴AH=BC，∵BC=BD+CD，且BD=CD，∴BC=2BD，∴AH=2BD．（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPM与△CQP全等有两种情况：△BPM≌△CPQ 或△BPM≌△CQP当△BPM≌△CPQ时，BP=PC=4，CQ=BM=5，∴点P，点Q运动的时间秒，∴厘米/秒．当△BPM≌△CQP时，BP=CQ，∴V Q=V P=3厘米/秒．此时PC=BM=5，t=秒．综上所述，点Q的运动速度为厘米/秒，此时t=秒或点Q的运动速度为3厘米/秒，此时t=1秒．解析：（1）证得△BCE≌△HAE，证得AH=BC，证得AH=2BD；（2）根据全等三角形应满足的的件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度B11、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：(1)若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是______；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=k•AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明分析：（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．解答：解：（1）①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC，∵∠DAE=∠BAC，∴∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中∵∴△CAE≌△BAD（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∵DM=BD，EN=CE，∴BM=CN，在△ABM和△ACN中，∵∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM=AN，∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；（2）AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．12、已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D(-m，-m)为AC上的点(m＞0)(1)试分别求出A，B，C三点的坐标；(2)设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？请说明理由；(3)若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，下列说法：(i)∠APQ+∠PBQ的度数和不变；(ii)∠BAP+∠BQP的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断正确的说法，并求这个不变的值．解：（1）∵OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=45°，∴∠ACB=90°，又△ABC的面积为9，∴OA=OC=OB=3，∴A（-3，0），B（3，0），C（0，-3）；（2）当t=3秒时，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．理由如下：连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，∵D（-m，-m），∴DM=DN=OM=ON=m，∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，∴DC=DO，∴∠PCD=∠BOD=135°，又CP=OC=OB，∴△PCD≌△BOD （SAS），∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，∴∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB．（3）解：（i）正确．在QA上截取QS=QP，连接PS．∵∠PQA=60°，∴△QSP是等边三角形，∴PS=PQ，∠SPQ=60°，∵PO是AB的垂直平分线，∴PA=PB 而PA=AB，∴PA=PB=AB，∴∠APB=60°，∴∠APS=∠BPQ，∴△APS≌△BPQ，∴∠PAS=∠PBQ，∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．解析：（1）利用OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°得出∠ACB=90°，再利用△ABC的面积为9，得出OA=OC=OB=3 即可得出各点的坐标；（2）作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，假设出D点的坐标，进而得出△PCD≌△BOD，进而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；（3）在QA上截取QS=QP，连接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等边三角形，进而得出△APS≌△BPQ，从而得出∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS得出答案．13、如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．(1)求证：BP=DP；(2)如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．分析：（1）由正方形的性质可证△ABP≌△ADP，即BP=DP；（2）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立；（3）由旋转的性质和正方形的性质可证△BEC≌△DFC，即BE=DF．解答：（1）证明：证法一：在△ABP与△ADP中，∵AB=AD∠BAC=∠DAC，AP=AP，∴△ABP≌△ADP，∴BP=DP．（2分）证法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．（2分）（2）解：不是总成立．（3分）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立，（5分）说明：未用举反例的方法说理的不得分．（3）解：连接BE、DF，则BE与DF始终相等，，在图1中，由正方形ABCD可证：AC平分∠BCD，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴PE=PF，∠BCD=90°，∴四边形PECF为正方形．（7分）∴CE=CF，∵∠DCF=∠BCE，BC=CD，∴△BEC≌△DFC，∴BE=DF．（8分）点评：本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定，以及正方形的性质．14、如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠B=∠C，BC=8，点D从B点出发沿线段BC向C运动(D不与B、C重合)，点E从点C出发沿线段CA向A运动(E不与A、C重合)，它们以相同的速度同时运动，连结AD、DE．若要使△ABD≌△DCE，①请给出确定D、E两点位置的方法(如指明CD长度等)，并说明理由；②此时∠ADE与∠C大小关系怎样？为什么？解：①DC=5，理由是：∵BC=8，CD=AB=5，∴BD=8-5=3，即CE=BD=3，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE，即当CD=5时，△ABD≌△DCE．②∠ADE=∠C，理由是：∵△ABD≌△DCE，∴∠BDA=∠DEC，∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC=180°-∠ADB-∠EDC，∵∠ADE=180°-∠BDA-∠EDC，∴∠ADE=∠C．解析：①CD=5时，根据SAS推出△ABD≌△DCE即可．②根据全等三角形性质得出∠BDA=∠DEC，根据三角形内角和定理求出∠C=180°-∠ADB-∠EDC，求出∠ADE=180°-∠BDA-∠EDC，即可得出答案．15、如图：△ABC中，AB=AC=5(即有∠B=∠C)，BC=8，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，点E在线段AC上运动(E不与A、C重合)，连结AD、DE．(1)点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____(填“大”或“小”)；(2)若要使△ABD≌△DCE，①请给出确定D、E两点位置的方法(如指明某些线段的长度等)，并说明理由；②此时∠ADE与∠C大小关系怎样？为什么？（1）根据BD边逐渐增长可得∠BAD逐渐增大，又因为∠B的大小固定不变，结合三角形内角和定理∠B+∠BAD+∠ADB=180°可得∠ADB逐渐减小．（2）①根据三角形全等的性质可得DC=AB，DB=CE，进而得到答案；②根据全等三角形的性质可得∠1=∠2，再根据∠1+∠B+∠ADB=180°，∠2+∠ADE+∠BDA=180°，可得∠ADE=∠B，进而得到∠ADE=∠C．解：（1）∵点D从B向C运动时，BD边逐渐变长，∴∠BAD逐渐增大，∵∠B的大小固定不变，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∴∠ADB逐渐减小；（2）①∵△ABD≌△DCE，∴DC=AB=5，CE=DB，∵BC=8，∴CE=DB=8-5=3；②∠ADE=∠C；理由：∵△ABD≌△DCE，∴∠1=∠2，∵∠1+∠B+∠ADB=180°，∠2+∠ADE+∠BDA=180°，∴∠ADE=∠B，∵∠B=∠C，∴∠ADE=∠C．17、如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD 于点F．(1)求证：EF+AC=AB；(2)点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动(不与点B重合)，同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)在(2)的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．分析：（1）过F作FM⊥AB于点M，首先证明△AMF≌△AEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB．（2）连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，证明Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化简为E1F1+A1C1=AB．（3）设PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E1F1+A1C1=AB，得出BD=．解答：（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD 于点E．∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，∵AF平分∠BAC，∴EF=MF，又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM，∵∠MFB=∠ABF=45°，∴MF=MB，MB=EF，∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．（2）E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，∵A1F1平分∠BA1C1点/sub>，∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1，21又∵A1F1=A1F1，∴Rt △A1E1F1≌Rt △A1PF1，∴A1E1=A1P ，同理Rt △QF1C1≌Rt △E1F1C1，∴C1Q=C1E1，由题意：A1A=C1C ，∴A1B+BC1=AB+A1A+BC-C1C=AB+BC=2AB ，∵PB=PF1=QF1=QB ，∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，∴E1F1+A1C1=AB ．（3）解：设PB=x ，则QB=xm∵A1E1=3，QC1=C1E1=2，Rt △A1BC1中，A1B 2+BC12g/sup>=A 1C 12， 即（3+x ）2+（2+x ）2=52，∴x 1=1，x 2=-6（舍去）， ∴PB=1，∴E 1F 1=1， 又∵A 1C 1=5， 由（2）的结论：E 1F 1+A 1C 1=AB ， ∴AB=，∴BD=．点评：本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定以及正方形的性质等有关知识．18、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=8cm ．动点P 从点A 出发沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发沿射线BC 运动，连接PQ ，交AC 于点D ．作PE ⊥AC 于点E ，若在点P ，Q 运动的过程中，始终保持AP=CQ ，则线段DE 的长度为_____．作PF∥BC交AC于点D，就可以得出△APE是等腰直角三角形，由其性质就可以得出AE=EF，由△PFD≌△QCD就可以得出DC=DF，进而就可以得出DF+FE=CD+AE就可以得出结论．解：作PF∥BC交AC于点D，∴∠APF=∠B=90°，∠AFP=∠ACB．∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD．∵∠B=90°，AB=BC=8cm，∴∠A=∠ACB=45°，∴∠A=∠ACB=45°，∴PA=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=CQ，∴PF=CQ．在Rt△ABC中，由勾股定理就可以得出AC=8．在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（ASA）∴DF=DC，∴DF+EF=DC+AE，∴DE=AC，∴DE=4cm．故答案为：4．19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，M在AC上且AM=6cm，过点A(与BC在AC同侧)作射线AN⊥AC，若动点P从点A出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为1厘米/秒，设点P运动时间为t秒(1)经过几秒时，Rt△AMP是等腰三角形？(2)又经过几秒时，PM⊥AB？(3)连接BM，在(2)的条件下，求四边形AMBP的面积．（1）解：设经过x秒时，Rt△AMP是等腰三角形，∵∠PAM=90°，∴只能AM=AP，∵AM=6cm，∴AP=6cm，即x=6（秒），答：经过6秒时，Rt△AMP是等腰三角形；（2）解：设经过t秒时，PM⊥AB，∵PM⊥AB，AN⊥AC，∠C=90°∴∠PAM=∠4=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴△ACB∽△PAM，∴=，∴=，x=8，8-6=2，答：又经过2秒时，PM⊥AB；23（3）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，同理可求PM=10，∵PM⊥AB，∴四边形AMBP的面积S=AB×PM=×10×10=50，答：四边形AMBP的面积是50．解析：（1）得出腰时AM=AP，即可得出答案；（2）证△PAM∽△ACB，得出比例式，代入求出AP，即可得出答案；（3）由勾股定理求出PM、AB，关键三角形的面积公式求出即可．。

全等三角形中的动态性问题动态性几何问题是中考数学题型中的热点题型，这类试题常以运动的点、线段、变化的图形等为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。

解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，要始终把握住“动静结合找界点、分类讨论细演算” 。

一、图形的全等图形经过“轴对称”、“平移”、“旋转” 后，位置发生了变化，但形状和大小不变，变换后的图形和变换前的图形能完全重合，这样的两个图形就全等。

1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。

2、全等三角形的判定：SSS , SAS , ASA , AAS , HL 。

二、试题探究例题1、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

例题1图（1）（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.结论：AC⊥CE （证明略）（2）若将△ECD沿CB方向平移，其余条件不变, 结论：AC⊥C1E 还成立吗?请说明理由。

例题1图（2）结论：AC⊥C1E （证明略）例题2、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

（1）线段BD、AB、DE之间有怎样的数量关系，并说明理由。

例题2图（1）结论：BD=AB+DE （证明略）（2）若将两个三角形绕点C 旋转到如图所示的位置，则线段BD、AB、DE之间数量关系还成立吗？并说明理由。

例题2图（2）结论：BD = AB - ED （证明略）总结：图形变换，全等不变；遇到变式，先找不变。

三、典型例题例题3、如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ 。

（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E，如图b，求证：BE⊥DQ 。

例题3图（a）例题3图（b）证明：略。

例题4、已知,如图1,E、F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF ⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点；（1）求证：MB=MD，ME=MF；（2）当E、F两点移至如图2所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。

人教版 八年级上
第十二章 全等三角形
专题四 全等三角形中的动点问题
专题四
全等三角形中的动点问题
类型1 以 U 型框为背景的动点问题
1. [2024雅安月考]如图，做一个“U”字形框架
PABQ ，其中 AB ＝42 cm， AP ， BQ 足够长， PA ⊥
AB ， QB ⊥ AB ，点 M 从点 B 出发，向点 A 运动，
10厘米， BC ＝8厘米， CD ＝12厘米，∠ B ＝∠ C ，点 E
为 AB 的中点.如果点 P 在线段 BC 上以3厘米/秒的速度由
B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点
运动.(1)ຫໍສະໝຸດ 点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过1秒
后，△ BPE 与△ CQP 是否全等？请说明理由.
∴ BE ＝5厘米，∴ BE ＝ PC ，
＝，
在△ BPE 和△ CQP 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ BPE ≌△ CQP (SAS).
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专题四
全等三角形中的动点问题
(2)当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△ BPE 与△ CQP
全等？
【解】∵△ BPE 与△ CQP 全等，
∵∠ A ＝∠ B ＝90°，
∴使△ ACM 与△ BMN 全等，可分两种情况：
情况一：当 BM ＝ AC ， BN ＝ AM 时，
∵ BN ＝ AM ， AB ＝42 cm，
∴4 t ＋3 t ＝42，解得 t ＝6，
∴ AC ＝ BM ＝3×6＝18(cm)；
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专题四
全等三角形中的动点问题

学思堂教育个性化辅导授课案教师： 学生： 时间： 2016 年 月 日 段授课内容：全等三角形中动点问题的处理教学目标：培养学生对运动变化、分类讨论思想等的数学综合运用能力教学重难点：寻找运动规律，分析问题（1）质点的运动形成全等三角形通过全等三角形的性质：对应边相等，（对应角相等，面积相等），来确定质点运动的速度或时间，注意分类讨论思想的运用。

（2）几何问题中三角板旋转形成的全等三角形三角板是学生最常用的学习工具，以三角板为道具，以学生常见、熟悉的几何图形为载体，并辅之以平移、旋转等变换手段的问题，能为学生提供动手实践操作设计的空间，较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及运动变化、分类讨论思想等的综合运用能力。

这类操作性的题目格调清新，立意新颖，充分体现了课标中提出的“培养学生动手动脑、实践探索的能力”的要求，既注重基础知识，同时又具有很强的综合性，因此受到了各地中考命题专家的青睐。

1．如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？A Q C DB P2.如图，已知长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A 向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S；(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△AEP与△BPQ全等？3. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠A＝∠B＝30°，点D在线段AB上运动(D不与A、B重合)，连接CD，作∠CDE＝30°，DE交BC于点E．(1)AB＝；(2)当AD等于多少时，△ADC≌△BED，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出∠ADC的度数；若不可以，说明理由．4. 问题背景：如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离5.将一副三角板如图放置，D为BC的中点，将三角板MDN的直角顶点放在点D处，三角板的两边与AB，AC分别交于点E、F，当三角板MDN绕点D旋转时，且旋转过程中使点E不与A、B重合．（1）请你说明△DEF一定为等腰直角三角形；（2）证明点E、F到线段BC的距离之和为定值．6.问题情境：将一副直角三角尺(Rt△ABC和Rt△DEF)按图①所示的方式摆放，其中∠ACB＝90°．CA＝CB，∠FDE＝90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM＝ON，证明：连接CO，则⊙O是AB边上的中线．∵CA＝CB，∴CO是∠ACB的平分线（依据1）．∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM＝ON(依据2)．反思交流：(1)上述证明过程的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：__________________________________________．依据2：__________________________________________．(2)你有与小宇不同的方法吗？请写出你的证明过程．(3)将图①中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图②所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系和位置关系，并写出证明过程．7.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2．现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直角边分别与直线AC、直线BC相交于点E、F．我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置（如图1），将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．（1）在旋转过程中，当点E在线段AC上，点F在线段BC上时（如图2），①试判别△DEF的形状，并说明理由；②判断四边形ECFD的面积是否发生变化，并说明理由．（2）设直线ED交直线BC于点G，在旋转过程中，是否存在点G，使得△EFG为等腰三角形？若存在，求出CG的长，若不存在，说明理由；8.如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．课后巩固计划：学生对于本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：________教师评定：1、学生上次作业评价：○特别满意○满意○一般○差2、学生本次上课情况评价：○特别满意○满意○一般○差教师签字：________ 教师评语：教学主管审核批复：教学主管签字：________学思堂教育教务处。

全等三角形动点问题的解题技巧全等三角形动点问题的解题技巧1. 引言全等三角形动点问题是解决三角形相关问题的一种重要方法，它可以帮助我们深入理解全等三角形的定义和性质。

在本文中，我们将探讨全等三角形动点问题的解题技巧，并通过具体例子来说明。

2. 全等三角形的定义和性质在开始解决全等三角形动点问题之前，我们首先需要了解全等三角形的定义和性质。

全等三角形指的是具有相等边长和相等角度的两个三角形。

全等三角形有如下性质：2.1 两个全等三角形的对应边对应角均相等。

2.2 两个全等三角形的相应边长比相等。

3. 解题技巧在解决全等三角形动点问题时，我们可以采用以下技巧：3.1 选取适当的动点在全等三角形动点问题中，我们需要选择一个适当的动点来进行分析。

通常情况下，我们可以选取一个顶点或者一个角度作为动点，并通过改变该动点的位置来观察全等三角形的变化。

3.2 确定动点的运动轨迹一旦我们选定了一个动点，我们需要确定它的运动轨迹。

通过观察，我们可以发现，在全等三角形中，动点的运动轨迹通常是一条直线、一条弧线或一个圆。

3.3 利用全等三角形的性质在确定了动点的运动轨迹后，我们需要利用全等三角形的性质来解决问题。

根据全等三角形的定义和性质，我们可以得到一些等式或比例关系，从而推导出所需的结论。

4. 例子分析为了更好地理解全等三角形动点问题的解题技巧，我们以一个具体例子进行分析。

假设我们需要证明一个三角形ABC与另一个三角形A'B'C'全等。

我们可以选择顶点A作为动点，并通过改变点A的位置来观察全等三角形的性质。

4.1 确定动点A的运动轨迹观察发现，当我们固定点B和点C不动时，点A可以在与线段BC平行的直线上自由移动。

点A的运动轨迹是一条平行于BC的直线。

4.2 利用全等三角形的性质由于我们已经确定了点A的运动轨迹，我们可以利用全等三角形的性质来解决问题。

根据全等三角形的性质，我们可以得到如下结论：4.2.1 边AC与A'C'相等4.2.2 角BAC与角B'A'C'相等等等。

2
∵P、Q同时同速出 ∴AP=BQ
设AP=BQ= x ，则PC=6- x ， QC=6+ x
即6-x= 1（6+x）解得x=2 2
∴AP的长是2.
②用含30°角的直角三角形的性质及 等边三角形性质进行解答（在
Rt△QCP中）
∵△ABC是边长为6的等边 三角形，
∴AC=BC=6，∠C=60° 又∵∠BQD=30° ∴△QCP是含有30°角的Rt△ ∴CQ=2PC ∵P、Q同时同速出发， ∴AP=BQ ∵AP+PC+BC=2AC=12
而△APF是等边三角形， PE⊥AF,
∴AE=EF ∴BD+AE=FD+EF 又(FD+EF)+(BD+AE)=AB
=6, 即ED+ED=6
∴ ED=3为定值，即ED的 长不变
(2) 解法二：构造三角形与 △APE全等
过点Q作QF⊥AB的延长 线于点F
先证△APE≌△BQF ∴AE=BF，PE=QF 又∵∠QDF=∠PDE 再证△QDF≌△PDE ∴FD=DE ∵AB=AE+DE+BD=BF+
二、问题引入 遵义市2012年中考第26题：
• 26．如图，△ABC是边长 为6的等边三角形，P 是 AC边上一动点，由A向C 运动（与A、C不重
• 合），Q是CB延长线上一 动点，与点P同时以相同 的速度由B向CB延长线方 向运动（Q不与B重合） ，过P作PE⊥AB于E，连 接PQ交AB于D.
• （1）当∠BQD=30°时， 求AP的长；
又∵∠A=∠C=60° ∴△APE∽△CQE
利用 AE AP 即 PC CQ
x
1
x 2
x

FED CBA举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形例2、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．举一反三：【变式】如图，AD是ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形例3、如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段例4、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．例5、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD，求证：BD是∠ABC的平分线．类型二、全等三角形动态型问题例6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.（1）如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.举一反三：【变式】【问题情境】如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．【探究展示】（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．知识梳理三角形全等中的动点问题分析思路：审题:要明白动点问题的关键是什么,一是点的运动路径,也就是点往哪里运动?有多少个点运动?点的运动速度是多少?运动到何时停止?运动情景分析:点运动的过程中会发生哪些变化?线段长的变化和线段长的表示.经过转折点后,图形会发生什么变化?线段长的表示是否发生变化,能否用代数式表示出来等;建立等量关系解答:动点问题到最后都是等量关系建立起来解答,如全等三角形对应边相等的讨论时,建立的就是线段长方程。

全等三角形中的动点问题全等三角形的判断与定义1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

2.判定：(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

3.性质：(1)全等三角形的对应角相等。

(2)全等三角形的对应边相等。

(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。

(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。

(5)全等三角形的对应边上的中线相等。

(6)全等三角形面积相等。

(7)全等三角形周长相等。

(8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。

1、如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．(1)求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC；(2)当取何值时，△DFE与△DMG全等；(3)在(2)的前提下，若，，求S△BFD．（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM，∴=，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴AE=2tcm，CG=tcm，∴=2，即=2，∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．（2）解：设时间为t时，△DFE与△DMG全等，则EF=MG，①当M在线段CG的延长线上时，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，即10-2t=4-t，解得：t=6，当t=6时，MG=-2，所以舍去；②当M在线段CG上时，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），即10-2t=t-4，解得：t=，综上所述当t=时，△DFE与△DMG全等．（3）∵t=，∴AE=2t=（cm），∵DF=DM，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，∵AC=14cm，∴AB=（cm），∴BF=AB-AF=-10=（cm），∵S△ADE：S△BDF=AE：BF=：，S△AED=28cm2，∴S△BDF=（cm2）．解析：（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．（2）若△DFE与△DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．(1)几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的？(2)填空：①点经过_____秒，点P在线段AB的垂直平分线上．②点Q经过_____秒，点Q在∠BAC的平分线上．（1）设经过x秒，首先求得线段BC的长，然后分x≤6和6＜x≤8两种情况列方程求解即可；（2）①点P在线段AB的垂直平分线上，即可得到PA=PB，从而求得时间；②点Q在∠BAC的平分线上，则Q点到AC和AB的距离相等．解；（1）设经过x秒．在Rt△ABC中，根据题意得；当x≤6时，（8-x）x=××8×6解得：当6＜x≤8时，（8-x）×6=37解得：x=7答：经过7秒或秒．（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，PA=PB，∵设经过x秒后点P在线段AB的垂直平分线上，∴x2=（8-x）2+62解得：x=，∴经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上②如图，作QD⊥AB于点D，∵点Q在∠BAC的平分线上，∴QD=QC，设经过x秒，则CQ=x，则QD=（6-x），∴x=（6-x），解得：x=，∴点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．3、如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是()A.8cm2B.16cm2C.24cm2D.32cm2解：根据题意沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，∴AP=2t，AQ=t，S△APQ=t2，∵0＜t≤4，∴三角形APQ的最大面积是16．故选B．4、如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；(2)当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？(直接回答成立或不成立)(3)当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；解法二：如图2过点P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF．∵AC∥BD，∴FP∥BD．∴∠FPB=∠PBD．∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD；解法三：如图3，∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）当动点P在射线BA上，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M．∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠PBD=∠PAC+∠APB．选择（b）证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．解析：（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．6、如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF．(1)试说明BF=CE的理由；(2)当E、F相向运动，形成如图2时，BF和CE还相等吗？请说明你的结论和理由．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，∵∠ABC=∠DCB，∴∠BAD=∠CDA，∵AE=DF，∴AE+AD=DF+AD，即AF=DE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABt≌△DCE（SAS），∴BF=CE；（2）相等．在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴BF=CE．解析：（1）根据两直线平行，同旁内角互明证明∠BAD=∠CDA，根据AE边DF证明AF=DE，再根据边角边定理证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明BF=CE．（2）利用边角边定即证明△ABC和△DCB全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明7、如图，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M是AB的中点．(1)在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等，请说明理由；(2)在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；(3)线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明．解：（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等．理由如下：∵在△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，点M是AB的中点，∴∠A=∠MCQ=45°，AM=CM，∴在△APM与△CQM中，，∴△APM与△CQM（SAS）；（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米2，理由如下：由（1）知，△APM与△CQM，∴S△APM=S△CQM，∴S四边形PMQC=S△AMC=S△ABC=AC•BC=×8×8=32（厘米2），即在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米2；（3）AP2+BQ2=PQ2．证明如下：∵由（1）知，△APM与△CQM，∴AP=CQ，又AC=BC，∴PC=BQ，∴AP2+BQ2=CQ2+CP2=PQ2．即AP2+BQ2=PQ2．解析：（1）通过SAS证得△APM与△CQM；（2）由（1）中的全等三角形的面积相等可以推知：S四边形PMQC=S△AMC=S△ABC；（3）AP2+BQ2=PQ2．利用（1）中的全等三角形的对应边相等推知AP=CQ，则PC=BQ，所以在直角△PCQ中，利用勾股定理推得AP2+BQ2=PQ2．8、如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？解：（1）①∵t=1秒，∴BP=CQ=3×1=3厘米，∵AB=10厘米，点D为AB的中点，∴BD=5厘米．又∵PC=BC-BP，BC=8厘米，∴PC=8-3=5厘米，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP．（SAS）②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间秒，∴厘米/秒；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3=80厘米．∵80=56+24=2×28+24，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．解析：（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．9、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？分析：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．解答：解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，∵△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且BD=PC，BP=CQ，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，∵AB=AC，∴∠B=∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；①当BD=PC且BP=CQ时，8-3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8-3t，解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．点评：本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．10、在△ABC中，AB=AC，(1)如图①，若∠BAC=45°，AD和CE是高，它们相交于点H．求证：AH=2BD；(2)如图②，若AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点M为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．如果在运动过程中存在某一时刻使得△BPM与△CQP全等，那么点Q的运动速度为多少？点P、Q运动的时间t为多少？解：（1）证明：在△ABC中，∵∠BAC=45°，CE⊥AB，∴AE=CE，∠EAH=∠ECB，在△AEH和△CEB中，，∴△AEH≌△CEB（ASA），∴AH=BC，∵BC=BD+CD，且BD=CD，∴BC=2BD，∴AH=2BD．（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPM与△CQP全等有两种情况：△BPM≌△CPQ 或△BPM≌△CQP当△BPM≌△CPQ时，BP=PC=4，CQ=BM=5，∴点P，点Q运动的时间秒，∴厘米/秒．当△BPM≌△CQP时，BP=CQ，∴V Q=V P=3厘米/秒．此时PC=BM=5，t=秒．综上所述，点Q的运动速度为厘米/秒，此时t=秒或点Q的运动速度为3厘米/秒，此时t=1秒．解析：（1）证得△BCE≌△HAE，证得AH=BC，证得AH=2BD；（2）根据全等三角形应满足的的件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度B11、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：(1)若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是______；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=k•AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明分析：（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．解答：解：（1）①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC，∵∠DAE=∠BAC，∴∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中∵∴△CAE≌△BAD（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∵DM=BD，EN=CE，∴BM=CN，在△ABM和△ACN中，∵∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM=AN，∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；（2）AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．12、已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D(-m，-m)为AC上的点(m＞0)(1)试分别求出A，B，C三点的坐标；(2)设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？请说明理由；(3)若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，下列说法：(i)∠APQ+∠PBQ的度数和不变；(ii)∠BAP+∠BQP的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断正确的说法，并求这个不变的值．解：（1）∵OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=45°，∴∠ACB=90°，又△ABC的面积为9，∴OA=OC=OB=3，∴A（-3，0），B（3，0），C（0，-3）；（2）当t=3秒时，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．理由如下：连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，∵D（-m，-m），∴DM=DN=OM=ON=m，∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，∴DC=DO，∴∠PCD=∠BOD=135°，又CP=OC=OB，∴△PCD≌△BOD （SAS），∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，∴∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB．（3）解：（i）正确．在QA上截取QS=QP，连接PS．∵∠PQA=60°，∴△QSP是等边三角形，∴PS=PQ，∠SPQ=60°，∵PO是AB的垂直平分线，∴PA=PB 而PA=AB，∴PA=PB=AB，∴∠APB=60°，∴∠APS=∠BPQ，∴△APS≌△BPQ，∴∠PAS=∠PBQ，∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．解析：（1）利用OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°得出∠ACB=90°，再利用△ABC的面积为9，得出OA=OC=OB=3 即可得出各点的坐标；（2）作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，假设出D点的坐标，进而得出△PCD≌△BOD，进而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；（3）在QA上截取QS=QP，连接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等边三角形，进而得出△APS≌△BPQ，从而得出∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS得出答案．13、如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．(1)求证：BP=DP；(2)如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．分析：（1）由正方形的性质可证△ABP≌△ADP，即BP=DP；（2）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立；（3）由旋转的性质和正方形的性质可证△BEC≌△DFC，即BE=DF．解答：（1）证明：证法一：在△ABP与△ADP中，∵AB=AD∠BAC=∠DAC，AP=AP，∴△ABP≌△ADP，∴BP=DP．（2分）证法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．（2分）（2）解：不是总成立．（3分）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立，（5分）说明：未用举反例的方法说理的不得分．（3）解：连接BE、DF，则BE与DF始终相等，，在图1中，由正方形ABCD可证：AC平分∠BCD，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴PE=PF，∠BCD=90°，∴四边形PECF为正方形．（7分）∴CE=CF，∵∠DCF=∠BCE，BC=CD，∴△BEC≌△DFC，∴BE=DF．（8分）点评：本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定，以及正方形的性质．14、如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠B=∠C，BC=8，点D从B点出发沿线段BC向C运动(D不与B、C重合)，点E从点C出发沿线段CA向A运动(E不与A、C重合)，它们以相同的速度同时运动，连结AD、DE．若要使△ABD≌△DCE，①请给出确定D、E两点位置的方法(如指明CD长度等)，并说明理由；②此时∠ADE与∠C大小关系怎样？为什么？解：①DC=5，理由是：∵BC=8，CD=AB=5，∴BD=8-5=3，即CE=BD=3，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE，即当CD=5时，△ABD≌△DCE．②∠ADE=∠C，理由是：∵△ABD≌△DCE，∴∠BDA=∠DEC，∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC=180°-∠ADB-∠EDC，∵∠ADE=180°-∠BDA-∠EDC，∴∠ADE=∠C．解析：①CD=5时，根据SAS推出△ABD≌△DCE即可．②根据全等三角形性质得出∠BDA=∠DEC，根据三角形内角和定理求出∠C=180°-∠ADB-∠EDC，求出∠ADE=180°-∠BDA-∠EDC，即可得出答案．15、如图：△ABC中，AB=AC=5(即有∠B=∠C)，BC=8，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，点E在线段AC上运动(E不与A、C重合)，连结AD、DE．(1)点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____(填“大”或“小”)；(2)若要使△ABD≌△DCE，①请给出确定D、E两点位置的方法(如指明某些线段的长度等)，并说明理由；②此时∠ADE与∠C大小关系怎样？为什么？（1）根据BD边逐渐增长可得∠BAD逐渐增大，又因为∠B的大小固定不变，结合三角形内角和定理∠B+∠BAD+∠ADB=180°可得∠ADB逐渐减小．（2）①根据三角形全等的性质可得DC=AB，DB=CE，进而得到答案；②根据全等三角形的性质可得∠1=∠2，再根据∠1+∠B+∠ADB=180°，∠2+∠ADE+∠BDA=180°，可得∠ADE=∠B，进而得到∠ADE=∠C．解：（1）∵点D从B向C运动时，BD边逐渐变长，∴∠BAD逐渐增大，∵∠B的大小固定不变，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∴∠ADB逐渐减小；（2）①∵△ABD≌△DCE，∴DC=AB=5，CE=DB，∵BC=8，∴CE=DB=8-5=3；②∠ADE=∠C；理由：∵△ABD≌△DCE，∴∠1=∠2，∵∠1+∠B+∠ADB=180°，∠2+∠ADE+∠BDA=180°，∴∠ADE=∠B，∵∠B=∠C，∴∠ADE=∠C．17、如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD 于点F．(1)求证：EF+AC=AB；(2)点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动(不与点B重合)，同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)在(2)的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．分析：（1）过F作FM⊥AB于点M，首先证明△AMF≌△AEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB．（2）连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，证明Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化简为E1F1+A1C1=AB．（3）设PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E1F1+A1C1=AB，得出BD=．解答：（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD 于点E．∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，∵AF平分∠BAC，∴EF=MF，又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM，∵∠MFB=∠ABF=45°，∴MF=MB，MB=EF，∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．（2）E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，∵A1F1平分∠BA1C1点/sub>，∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1，21又∵A1F1=A1F1，∴Rt △A1E1F1≌Rt △A1PF1，∴A1E1=A1P ，同理Rt △QF1C1≌Rt △E1F1C1，∴C1Q=C1E1，由题意：A1A=C1C ，∴A1B+BC1=AB+A1A+BC-C1C=AB+BC=2AB ，∵PB=PF1=QF1=QB ，∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，∴E1F1+A1C1=AB ．（3）解：设PB=x ，则QB=xm∵A1E1=3，QC1=C1E1=2，Rt △A1BC1中，A1B 2+BC12g/sup>=A 1C 12， 即（3+x ）2+（2+x ）2=52，∴x 1=1，x 2=-6（舍去）， ∴PB=1，∴E 1F 1=1， 又∵A 1C 1=5， 由（2）的结论：E 1F 1+A 1C 1=AB ， ∴AB=，∴BD=．点评：本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定以及正方形的性质等有关知识．18、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=8cm ．动点P 从点A 出发沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发沿射线BC 运动，连接PQ ，交AC 于点D ．作PE ⊥AC 于点E ，若在点P ，Q 运动的过程中，始终保持AP=CQ ，则线段DE 的长度为_____．作PF∥BC交AC于点D，就可以得出△APE是等腰直角三角形，由其性质就可以得出AE=EF，由△PFD≌△QCD就可以得出DC=DF，进而就可以得出DF+FE=CD+AE就可以得出结论．解：作PF∥BC交AC于点D，∴∠APF=∠B=90°，∠AFP=∠ACB．∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD．∵∠B=90°，AB=BC=8cm，∴∠A=∠ACB=45°，∴∠A=∠ACB=45°，∴PA=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=CQ，∴PF=CQ．在Rt△ABC中，由勾股定理就可以得出AC=8．在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（ASA）∴DF=DC，∴DF+EF=DC+AE，∴DE=AC，∴DE=4cm．故答案为：4．19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，M在AC上且AM=6cm，过点A(与BC在AC同侧)作射线AN⊥AC，若动点P从点A出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为1厘米/秒，设点P运动时间为t秒(1)经过几秒时，Rt△AMP是等腰三角形？(2)又经过几秒时，PM⊥AB？(3)连接BM，在(2)的条件下，求四边形AMBP的面积．（1）解：设经过x秒时，Rt△AMP是等腰三角形，∵∠PAM=90°，∴只能AM=AP，∵AM=6cm，∴AP=6cm，即x=6（秒），答：经过6秒时，Rt△AMP是等腰三角形；（2）解：设经过t秒时，PM⊥AB，∵PM⊥AB，AN⊥AC，∠C=90°∴∠PAM=∠4=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴△ACB∽△PAM，∴=，∴=，x=8，8-6=2，答：又经过2秒时，PM⊥AB；23（3）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，同理可求PM=10，∵PM⊥AB，∴四边形AMBP的面积S=AB×PM=×10×10=50，答：四边形AMBP的面积是50．解析：（1）得出腰时AM=AP，即可得出答案；（2）证△PAM∽△ACB，得出比例式，代入求出AP，即可得出答案；（3）由勾股定理求出PM、AB，关键三角形的面积公式求出即可．。

Rt△ODE≌Rt△OCE(AAS)，∴DE＝CE
类型三：证明两直线平行
4．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.
解：在△DOC 与△BOA 中，O∠CD＝OOC＝ A，∠BOA， OD＝OB，
∴△DOC≌△BOA(SAS)，∴∠D＝∠B，∴AB∥CD
类型四：证明两直线互相垂直 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点， 将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别 与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证 明你的猜想． 解：BE＝EC，BE⊥EC，证明：∵AC＝2AB，D是AC的中点，∴AB＝ AD＝CD，∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°，∵EA＝ ED，∴△EAB≌△EDC(SAS)，∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC，∴∠BED＋ ∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝90°，∴BE⊥EC
3．如图，AC⊥AD，BC⊥BD，OE⊥CDபைடு நூலகம்AC＝BD.求证：DE＝CE.
解：∵AC⊥AD，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°，在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中，DACC＝＝CBDD，，∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)，∴∠ACD
＝∠BDC，在 Rt△ODE 和 Rt△OCE 中，∠∠OOEDDE＝＝∠∠OOECCE＝，90°，∴ OE＝OE，
∴∠A＝∠D
类型二：证明两线段相等 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC， CE⊥BD于点E.求证：AD＝BE. 解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又CE⊥BD，∴∠BEC＝90°， 又∵∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC，又BD＝CB，∴△ABD≌△ECB(AAS)， ∴AD＝BE

全等三角形的性质与判定的综合应用全等三角形的对应角、对应边是相等的，全等三角形的判定是“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，在说明线段相等或角相等时，常常需要综合运用全等三角形的性质和判定，下面举例予以说明。

一、说明线段相等例1、如图1，在△ABC 与△ABD 的顶点A 和D 均在BC 的同旁，AB=DC ，AC=DB ，AD 与BC 相交于O 点，则OA 与OD 相等吗若相等，请说明理由。

分析：要使OA=OD ，可分析△ABO 与△DCO 是否全等，但是条件中有一组边对应相等（AB=DC ），一组角对应相等（对顶角），显然不具备全等的条件。

但由已知条件可推出△ABC ≌△DCB ，再根据全等的性质可得∠A=∠D ，再根据全等三角形的判定“AAS”推出△ABO ≌△DCO ，从而得到OA=OD 。

解：OA=OD ，理由如下：在△ABC 和△DCB 中，因为AB=DC ，AC=BD ，BC=CB ，所以△ABC ≌△DCB （SSS ），所以∠A =∠D ，在△ABO 与△DCO 中因为∠A =∠D ，∠AOB=∠DOC ，AB=DC所以△ABO ≌△DCO ，所以OA=OD点评：本题考查了全等三角形的判定和性质。

说明两条线段相等时，可考虑着两条线段所在的两个三角形是否全等，若由已知条件不能直接说明这两个三角形全等时，可以由已知条件先推出其它的三角形全等，再由全等三角形的性质得到一些线段或角相等，为说明前面的三角形全等提供条件。

二、说明角相等例2、如图2，AB 、MN 与CD 相交于点O ，OA=OB ，OM=ON ，试问：∠D 与∠C 相等吗若相等，请进行说明理由. O D C B A 图1分析：要得到∠D=∠C，只需说明△BOD≌△AOC Array即可，但是由已知条件不能直接说明这两个三角形全等，但是由已知条件可推出△BON≌△AOM，由全等三角形的性质得到∠A=∠B，再结合OA=OB，∠AOC=∠BOD，即可说明△BOD≌△AOC。

八年级上册数学《第十二章 全等三角形》专题 全等三角形的应用---动点运动问题（30题）1．（2023春•虹口区校级期末）如图，AB ＝8，BC ＝10，CD 为射线，∠B ＝∠C ，点P 从点B 出发沿BC 向点C 运动，速度为1个单位/秒，点Q 从点C 出发沿射线CD 运动，速度为x 个单位/秒；若在某时刻，△ABP 能与△CPQ 全等，则x ＝ ．【分析】设点P 、Q 的速度为ts ，分两种情形构建方程即可解决问题．【解答】解：设点P 、Q 的速度为ts ，分两种情形讨论：①当AB ＝PC ，BP ＝CQ 时，△ABP ≌△PCQ ，即8＝10﹣t ，解得：t ＝2，∴2x ＝2×1，∴x ＝1；②当BP ＝PC ，AB ＝CQ 时，△ABP ≌△QCP ，即t =12×10＝5，∴5x ＝8，x =85，综上所述，x ＝1或85，故答案为：1或85．【点评】本题考查全等三角形的判定、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2022秋•攸县期末）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AB ＝5cm ，AD ＝BC ＝3cm ，点E 在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 cm/s．【分析】设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，由于∠DAB＝∠ABC，则当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt；当AD＝BF，AE＝BE 时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，然后分别解方程求出x即可．【解答】解：设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，∵∠DAB＝∠ABC，∴当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt，解得t＝2，x＝1；当AD＝BF，AE＝BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，解得t＝2.5，x＝1.2，综上所述，点F的运动速度为1或1.2cm/s．故答案为：1或1.2．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．3．（2022春•普宁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 ．【分析】设BE＝3t，则BF＝7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．【解答】解：设BE＝3t，则BF＝7t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，∵BF＝AE，AB＝60，∴7t＝60﹣3t，解得：t＝6，∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，∵BE＝AE，AB＝60，∴3t＝60﹣3t，解得：t＝10，∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，综上所述，AG＝18或AG＝70．故答案为：18或70．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．4．如图，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP 全等时，v＝（ ）A．3B．4C．2或4D．2或3【分析】表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD 与CQ是对应边两种情况讨论即可．【解答】解：∵AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点，∴BD=12×24＝12cm，设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t，PC＝（16﹣2t）c①当BD＝PC时，16﹣2t＝12，解得：t＝2，则BP＝CQ＝2t＝4，故点Q的运动速度为：4÷2＝2（厘米/秒）；②当BP＝PC时，∵BC＝16cm，∴BP＝PC＝8cm，∴t＝8÷2＝4（秒），故点Q的运动速度为12÷4＝3（厘米/秒）；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．5．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s 的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（ ）A．2或83B．6或83C．2或6D．1或23【分析】设Q运动的速度为xcm/s，则根据△AEP与△BQP得出AP＝BP、AE＝BQ或AP＝BQ，AE＝BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案．【解答】解：∵长方形ABCD，∴∠A＝∠B＝90°，∵点E为AD的中点，AD＝8cm，∴AE＝4cm，设点Q的运动速度为xcm/s，①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，2y=6−2y4=8−xy，解得，x=83 y=32，即点Q的运动速度83cm/s时能使两三角形全等．②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，2y=8−xy4=6−2y，解得：x=6 y=1，即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．综上所述，点Q的运动速度83或6cm/s时能使两三角形全等．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，涉及了动点的问题使本题的难度加大了，解答此类题目时，要注意将动点的运用时间t和速度的乘积当作线段的长度来看待，这样就能利用几何知识解答代数问题了．6．（2022秋•高邑县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（ ）A．2B．2.8C．3D．6【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．【解答】解：当P在AC上，Q在BC上时，如图，过点P，Q，C分别作PE⊥直线l于点E，QF⊥直线l于点F，CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∵△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣2t＝8﹣3t，解得t＝2；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣2t＝3t﹣8，解得t＝2.8；当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，由题意得，2t﹣6＝6，解得t＝6．综上，当△CPE与△CQF全等时，t的值为2或2.8或6．∴t的值不可能是3．故选：C．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图﹣基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．7．（2022秋•浠水县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（ ）A．2B．4C．6D．2或6【分析】当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，由全等三角形的性质求出其解即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝AC，BD＝CE．如图，当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，∵CE＝t，BD＝6﹣2t，∴6﹣2t＝t，∴t＝2．如图，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，∵CE＝t，BD＝2t﹣6，∴t＝2t﹣6，∴t＝6．综上所述，当t＝2或6时，△ABD≌△ACE，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．8．（2023春•和平区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，满足AC＝7，BC＝12，点P从A 点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为　（不考虑两三角形重合的情况）．【分析】三角形PEC和三角形QFC要全等，P的对应顶点是C，有两种情况：一种是点P在AC上，点P在BC上时；另一种是点Q到达终点，而P在BC上时，先把各线段的长度表示出来，再让对应边相等，即可构造方程解出t．【解答】解：①当点P在线段AC上，点P在线段BC上时；如图：当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由题意知：AP＝t，PC＝7﹣t，BQ＝3t，CQ＝12﹣3t；∴7﹣t＝12﹣3t，解得t＝2.5．②当P在线段BC上，点Q到达终点时，如图：当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由题意知：AP＝t，PC＝t﹣7，CQ＝7，∴t﹣7＝7，解得t＝14．综上所述，t的值为2.5或14．【点评】本题考查全等三角形的性质，找到全等三角形的对应边是解题的关键．9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与直线AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0＜t＜2和2＜t＜4时段BF的长度（用含t的代数式表示）（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值．【分析】（1）根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答；（2）根据题意列出方程，解方程即可；（3）分点E从点A运动至点G、从点G返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．【解答】解：（1）当0＜t≤2时，BF＝4t，当2＜t≤4时，BF＝16﹣4t；（2）由题意得，16﹣4t＝2t，解得t=8 3；（3）当0＜t≤2时，△ADE≌△CDF，则AE＝CF，即8﹣4t＝2t，解得t=4 3，当2＜t≤4时，△ADE≌△CDF，则AE＝CF，即4t﹣8＝2t，解得t＝4，则t=43或4时，△ADE≌△CDF．【点评】本题考查的是全等三角形的性质的应用，根据题意求出函数关系式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QPA全等．【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．【解答】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=BCPQ=AB∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝5cm；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=ACPQ=AB，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP＝BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．11．（2023春•吉安县期末）如图，△ABC中，D为AB的中点，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，再加上BP＝CQ＝3，PC＝BD＝5，则可判断△BPD 与△CQP全等；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解方程得到点P运动的路程为3×10＝30，得到此时点P在BC边上，于是得到结果．【解答】解：（1）∵BP＝3×1＝3，CQ＝3×1＝3，∴BP＝CQ，∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝5，∵CP＝BC﹣BP＝5，∴BD＝CP，在△BPD与△CQP中，BD=CP∠B=∠C，BP=CQ∴△BPD≌△CQP（SAS）；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解得：x＝10，∴点P运动的路程为3×10＝30，∵30＝28+2，∴此时点P在BC边上，∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．12．如图，∠BAC＝90°，AB＝22，AC＝28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C 点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？【分析】分类讨论：当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB＝2t，CQ＝3t，AP＝22﹣2t，AQ＝28﹣3t，利用三角形全等得PA＝AQ，即22﹣2t＝28﹣3t；当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t﹣28＝22，当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA＝2t﹣22，AQ＝3t﹣28，由PA＝AQ，即2t﹣22＝3t﹣28；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA＝QA得2t﹣22＝22，然后分别解方程求出t，再根据题意确定t的值．【解答】解：设P、Q点运动的时间为t，（1）当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB＝2t，CQ＝3t，AP＝22﹣2t，AQ＝28﹣3t，∵△PFA与△QAG全等，∴PA＝AQ，即22﹣2t＝28﹣3t，解得t＝6，即P运动6秒时，△PFA与△QAG全等；（2）当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t﹣28＝22，解得t＝10，（3）当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA＝2t﹣22，AQ＝3t﹣28，∵△PFA与△QAG全等，∴PA＝AQ，即2t﹣22＝3t﹣28，解得t＝6（舍去）；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA＝QA得2t﹣22＝22，解得t＝22，舍去．综上所述：当t等于6秒或10秒时，△PFA与△QAG全等．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．对于动点问题常利用代数的方法解决．13．（2022秋•苍溪县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．【分析】（1）证明△ABC≌△EDC（SAS），可得∠A＝∠E，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论；（2）分两种情况讨论：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，可得AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，进而可以解决问题；（3）先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况列方程求解即可．【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，AC=EC∠ACB=∠ECD，BC=DC∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE；（2）解：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，∴AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，∴线段AP的长为2tcm或（16﹣2t）cm；（3）解：根据题意得DQ ＝tcm ，则EQ ＝（8﹣t ）cm ，由（1）得：∠A ＝∠E ，ED ＝AB ＝8cm ，在△ACP 和△ECQ 中，∠A =∠E AC =EC ∠ACP =∠ECQ，∴△ACP ≌△ECQ （ASA ），∴AP ＝EQ ，当0≤t ≤4时，2t ＝8﹣t ，解得：t =83；当4＜t ≤8时，16﹣2t ＝8﹣t ，解得：t ＝8；综上所述，当线段PQ 经过点C 时，t 的值为83或8．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到△ACP ≌△ECQ ．14．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）（2）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /s 的速度沿CA 向点A 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC ﹣BP 即可得到CP 的长；（2）此题主要分两种情况①当BP ＝CQ ，AB ＝PC 时，△ABP ≌△PCQ ；当BA ＝CQ ，PB ＝PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别计算出t 的值，进而得到v 的值．【解答】解：（1）依题意，得PC＝（10﹣2t）（cm）．故答案为：10﹣2t；（2）①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝6cm，∴PC＝6（cm），∴BP＝10﹣6＝4（cm），2t＝4，解得：t＝2，CQ＝BP＝4（cm），v×2＝4，解得：v＝2；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC=12BC＝5（cm），2t＝5，解得：t＝2.5，CQ＝BP＝6（cm），v×2.5＝6，解得：v＝2.4．综上所述：当v＝2.4或2时△ABP与△PQC全等．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过　秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，∵AB＝6cm，点D为AB的中点，∴BD＝3cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，∴PC＝4﹣1＝3cm，∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP；②假设△BPD≌△CQP，∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，∴点P，点Q运动的时间t=BP1=2秒，∴v Q=CQt=32=1.5cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 1.5x＝x+2×6，解得x＝24，∴点P共运动了24s×1cm/s＝24cm．∵24×1.5＝36，∴点P、点Q在AC边上相遇，∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．【点评】此题主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．16．（2022秋•聊城月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．【分析】（1）经过1秒后，可得BP＝CQ＝3厘米，则PC＝8﹣3＝5厘米，可证明△BPE≌△CQP；（2）由△BPE与△CQP全等可知有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，全等可得BP＝CP或BP＝CQ，或可求得BP的长，可求得P点运动的时间，由CQ＝BE或CQ＝BP可求得Q点运动的路程，可求得其速度．【解答】解：（1）△BPE与△CQP全等，理由如下：当运动1秒后，则BP＝CQ＝3厘米，∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3＝5厘米，∵E为AB中点，且AB＝10厘米∴BE＝5厘米，∴BE＝PC，在△BPE和△CQP中BE=PC∠B=∠CBP=CQ∴△BPE≌△CQP（SAS）；（2）∵△BPE与△CQP全等，∴△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，当△BEP≌△CQP时，则BP＝CP，CQ＝BE＝5厘米，设P点运动的时间为t秒，则3t＝8﹣3t，解得t=4 3，∴Q点的运动的速度＝5÷43=154（厘米/秒），当△BEP≌△CPQ时，由（1）可知t＝1（秒），∴BP＝CQ＝3厘米，∴Q点的运动的速度＝3÷1＝3（厘米/秒），即当Q点每秒运动154厘米或3厘米时△BEP≌△CQP．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P，Q是边AC，BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿AC，BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1个单位，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动，在运动过程中△APD和△QBE是否保持全等？判断并说明理由；（2）若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t为何值时，△APD和△QBE全等？【分析】（1）根据∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，于是得到∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，证得∠APD ＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，即可得到结论；（2）分两种情况：①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，求得t＝2，②t≥83时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，求得t＝4．【解答】解：（1）△ADP≌△QBE，理由：∵∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，∴∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，∴∠APD＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，∵AP＝BQ＝t，在△ADP与△QBE中，∠APD=∠B∠ADP=∠QEB AP=BQ，∴△ADP≌△QBE；（2）①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，当△ADP≌△QBE时，则AP＝BQ，即8﹣3t＝t，解得：t＝2，②t≥83时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，当△ADP≌△QBE时，则AP＝BQ，即3t﹣8＝t，解得：t＝4，综上所述：当t＝2s或4s时，△ADP≌△QBE．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解方程，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．18．如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（注：长方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等：①经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；②设运动时间为t秒时，△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△AEP与△BPQ全等．【分析】（1）①当t＝1时，AP＝BQ，∠A＝∠B，AE＝PB，从而可证明△EAP≌Rt△PBQ；②当t≤4时，AP＝BQ＝t，S＝S梯形AEQB﹣S AEP﹣S PBQ；当4＜t≤6时，点P与点B重合，S＝2t；（2）如图3所示：因为△AEP≌△BQP，所以AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3，从而可求得t＝2，点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒．【解答】解：（1）①当t＝1时，AP＝1，BQ＝1，∴AP＝BQ．∵E是AD的中点，∴AE=12AD＝3．∵PB＝AB＝AP＝4﹣1＝3，∴AE＝PB．在Rt△EAP和Rt△PBQ中，AE=PB ∠A=∠B AP=BQ，∴Rt△EAP≌Rt△PBQ．∴∠APE＝∠BQP，∵∠BQP+∠BPQ＝90°，∴∠APE+∠BPQ＝90°，∴∠EPQ＝90°，∴PE⊥PQ；②如图1所示连接QE．图1Ⅰ、当t≤4时，AP＝BQ＝t，S梯形AEQB =12（AE+BQ）•AB=12×4×（3+t）＝2t+6．S△AEP =12AE•PA=12×3t=32t，S△PBQ=12PB•BQ=12×（4﹣t）t＝2t−12t2．∴S＝2t+6−32t﹣（2t−12t2）．整理得：S=12t2−32t+6，如图2所示：Ⅱ、当4＜t≤6时，点P与点B重合，S=12QB•AB=12×4×t＝2t．∴S与t的函数关系式为S=2−32t+6(0＜t≤4)＜t≤6)；（2）如图3所示：∵△AEP≌△BQP，PA≠BQ，∴AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3．∴t＝AP=12AB=12×4＝2．∴点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒时，△AEP≌△BQP．故答案为：1.5．【点评】此题是四边形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、函数的解析式、一元一次方程的综合应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．19．（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．【分析】（1）由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，根据对应边相等求得BO的长；（2）分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，∴∠ACD＝∠AOE，∴∠BOD＝∠ACD．又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD，∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），∴BO＝AC＝6．（2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，∴t＝4t﹣6，解得t＝2．综上，t＝1.2或2．【点评】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用．20．如图1，长方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t＝2时：①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；②求∠EDF的度数．（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①根据SAS证明：△BEF≌△ADE；②由①：△BEF≌△ADE得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，证明△DEF是等腰直角三角形可得结论；（2）分两种情况：①如图2，当△DAE≌△EBF时，②如图3，当△ADE≌△BFE时，分别根据AD＝BE，AE＝BF，列方程组可得结论．【解答】解：（1）①△BEF≌△ADE，理由如：当t＝2时，AE＝BF＝2，∴BE＝AB﹣AD＝7﹣2＝5，∵AD＝5，∴BE＝AD，∵∠A＝∠B＝90°，∴△BEF≌△ADE；②由①得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，∵∠A＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BEF+∠AED＝90°，∴∠DEF＝180°﹣（∠BEF+∠AED）＝90°，∵DE＝EF∴∠EDF＝∠EFD，∵∠EDF+∠EFD＝90°，∴∠EDF＝45°；（说明：用其他方法的，请参照此评分标准给分）（2）存在，①如图2，当△DAE≌△EBF时，∴AD＝BE，AE＝BF，则5=7−t t=xt∴x＝1，t＝2；②如图3，当△ADE≌△BFE时，AE＝BE，AD＝BF，则t=7−t 5=xt，∴x=107，t=72．（说明：每正确写出一对x、t的值，给1分．）【点评】本题考查四边形综合题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定、三角形全等的性质和判定及动点运动等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．【分析】（1）由PD⊥BD、∠C＝90°可推出∠PDA＝∠CBD，即可根据ASA判定△PDA≌△DBC；（2）由PD⊥AB，AE⊥AC可推出∠APF＝∠CAB，即可根据AAS判定△APD≌△CAB，再由全等三角形的性质即可得解．【解答】（1）证明：如图①，∵PD⊥BD，∴∠PDB＝90°，∴∠BDC+∠PDA＝90°，又∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠PDA＝∠CBD，又∵AE⊥AC，∴∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠C＝90°，又∵BC＝6cm，AD＝6cm，∴AD＝BC，在△PAD和△DCB中，∠PAD=∠CAD=CB，∠PDA=∠CBD∴△PDA≌△DBC（ASA）；（2）解：如图②，∵PD⊥AB，∴∠AFD＝∠AFP＝90°，∴∠PAF+∠APF＝90°，又∵AE⊥AC，∴∠PAF+∠CAB＝90°，∴∠APF＝∠CAB，在△APD和△CAB中，∠APD=∠CAB∠PAD=∠C，AD=CB∴△APD≌△CAB（AAS），∴AP＝AC，∵AC＝8cm，∴AP＝8cm，∴t＝8．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA判定△PDA≌△DBC、根据AAS判定△APD≌△CAB是解题的关键．22．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB＝10，如图作∠DBO＝∠ABO，∠CAy＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．（1）①求证：△ACO≌△EDO；②求出线段AC、BD的位置关系和数量关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PG⊥CD于点G，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPG与△OQF全等？【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理ASA证得结论；②利用①中全等三角形的性质得到：AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时（ii）当点P、Q都在y轴上时，（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）①如图，∵∠DBO＝∠ABO，OB⊥AE，∴∠BAO＝∠BEO，∴AB＝BE，∴AO＝OE，∵∠CAy＝∠BAO，∴∠CAy＝∠BEO，∴∠DEO＝∠CAO在△ACO与△EDO中，∠CAO=∠DEO OA=OE∠AOC=∠DOE，∴△ACO≌△EDO（ASA）；②由①知，△ACO≌△EDO，∴∠C＝∠D，AC＝DE，∴AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：6﹣t＝8﹣2t，解得t＝2（秒），（ii）当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：6﹣t＝2t﹣8，解得t=143（秒），（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣6＝2t﹣8，解得t＝2（秒）不合题意；当点Q提前停止时，有t﹣6＝6，解得t＝12（秒），综上所述：当两动点运动时间为2、143、12秒时，△OPE与△OQF全等【点评】本题考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质，正确的理解题意是解题的关键．23．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P 在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=92cm，此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+92=332，移动的时间为：332÷3=112秒，②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=12AB，即点P为BA中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+152=572cm，移动的时间为：572÷3=192秒，故答案为：112或192；（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=154cm/s，②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm/s，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为154cm/s或9332cm/s．。

全等三角形动点问题解题技巧在解决全等三角形动点问题时，需要灵活运用几何知识、函数图象性质、特殊位置规律、分类讨论思想、数形结合思想和整体思想等技巧，以便快速找到问题的突破口。

一、把握动点轨迹，运用几何知识求解最值动点轨迹是求解全等三角形动点问题的基础。

在解决此类问题时，需要先确定动点的运动轨迹，然后运用几何知识求解最值。

例如，在求解动点A在直线l上移动，求A点到定点B的距离最短值时，可以运用抛物线的定义，将AB沿直线l的投影作为A点的轨迹，然后根据抛物线的性质求解最值。

二、利用函数的图象性质求最值利用函数的图象性质求解全等三角形动点问题，主要是通过建立坐标系，确定动点的坐标，然后利用函数的图象性质求解最值。

例如，在求解一个直角三角形中的动点C，使得AC和BC的长度之和最小值时，可以建立直角坐标系，设A、B两点的坐标分别为(0,0)和(1,0)，然后设C点的坐标为(x,y)，最后利用函数的图象性质求出AC和BC 的长度之和的最小值。

三、借助特殊位置，寻找动点规律全等三角形动点问题中，常常涉及到动点的特殊位置。

借助这些特殊位置，可以寻找动点的规律，从而快速解决问题。

例如，在求解一个等边三角形中的动点D，使得AD和BD的长度之和最小值时，可以借助等边三角形的三条边的中垂线交点为D的特殊位置，然后根据中位线的性质求出AD和BD的长度之和的最小值。

四、运用分类讨论思想求解动点问题分类讨论思想是求解全等三角形动点问题的重要技巧之一。

在解决此类问题时，需要根据题目中给出的条件，将问题分成不同的情况进行讨论，然后分别求解。

例如，在求解一个矩形中的动点E，使得AE和BE的长度之和最小值时，需要考虑E点在矩形的边和角上两种情况分别进行讨论，然后分别求出最小值。

五、运用数形结合思想求解动点问题数形结合思想是求解全等三角形动点问题的常用技巧之一。

在解决此类问题时，需要根据题目中给出的条件，将问题转换成图形问题进行分析和求解。

全等三角形动点问题解题技巧摘要：一、引言二、全等三角形判定方法回顾1.边边边（SSS）2.边角边（SAS）3.角边角（ASA）4.角角边（AAS）5.直角三角形全等判定（HL）三、动点问题解题策略1.利用已知条件构建全等三角形2.添加辅助线，构建三角形全等条件3.利用图形的几何性质简化问题四、动点问题实例分析1.实例一：直角三角形动点问题2.实例二：锐角三角形动点问题3.实例三：钝角三角形动点问题五、总结与展望正文：一、引言在数学竞赛和中学几何学习中，全等三角形动点问题常常出现。

这类问题既考验了学生对全等三角形判定方法的掌握，又考验了学生的解题技巧和思维能力。

为了解决这类问题，我们需要对全等三角形的判定方法进行回顾，并掌握一些解题策略。

二、全等三角形判定方法回顾1.边边边（SSS）：当两个三角形的三条边分别相等时，两个三角形全等。

2.边角边（SAS）：当两个三角形的两边和夹角分别相等时，两个三角形全等。

3.角边角（ASA）：当两个三角形的两角和一边分别相等时，两个三角形全等。

4.角角边（AAS）：当两个三角形的两角和一边分别相等时，两个三角形全等。

5.直角三角形全等判定（HL）：当两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等时，两个三角形全等。

三、动点问题解题策略1.利用已知条件构建全等三角形：在动点问题中，通常会给出一组或多组已知条件。

我们可以根据这些条件，尝试构建全等三角形。

2.添加辅助线，构建三角形全等条件：在动点问题中，有时需要添加辅助线来构建全等三角形。

辅助线的作用是将复杂的图形简化，形成易于判断全等条件的情况。

3.利用图形的几何性质简化问题：在动点问题中，可以利用图形的几何性质，如垂直、平行、角平分线等，来简化问题。

这些性质有时能帮助我们快速判断全等条件。

四、动点问题实例分析1.实例一：直角三角形动点问题题目：如图，点A、B分别在边AC、BC上，且AB=AC，求∠B的度数。

解：作AD⊥BC，BD⊥AC，垂足分别为D、E。

全等三角形的性质与判定综合应用
1.如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若∠D=50°，求∠B的度数．
2.
如图，∠BAC=
∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE，试判断AB与AC的大小关系，并说明理由．
3.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，且B、D、E三点共线，求证：∠3=∠1+∠2.
4.如图，已知AB⊥DC于点B，AB=DB，点E在AB上，BE=BC，延长DE，交AC于点F，求证：DE=AC，DE⊥AC．
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE 于点D．
求证：DE=AD-BE ．
6.如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE的延长线交AD的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△A FE；（2）求证：AD+BC=AB．
7.如图所示，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，且AE平分∠BAC，AF=AB，求证：EF∥BC。

8.如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM =CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN
的度数．
9.如图，已知AB=AE，BC=ED，CF=FD，AC=AD．求证：∠BAF=∠EAF.
10.如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．
求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）∠CBF=∠FEC。

全等三角形性质与判定的综合运用及动点问题全等三角形性质与判定的综合运用能力提升训练欧阳学文一.选择题1、△ABC中，AC=5，中线AD=7，,则AB边的取值范围是（）A.1<ab<29< p="">B.4<ab<24< p="">C.5<ab<19< p="">D.9<ab<19< p="">2、在△ABC 和中，∠C＝，且ba=,b+a=,则这两个三角形（）A.不一定全等B.不全等C.全等，根据“ASA” D. 全等，根据“SAS”3、如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4、如图所示，，，，结DAC EAEFBCMN论：①；②；③；④．其中正确的有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5、如图2所示，在△ABC 中，∠C=90°，DE⊥AB 于D ，BC=BD ，结果AC=3cm ，那么AE+DE=（） A.2cm B.3cm C.4cmD.5cm6、如图，点E 是ABCD 的边CD 的中点，AD 、BE 的延长线相交于点F ，DF=3，DE=2，则ABCD 的周长为（）A ．5B ．7C ．10D ．14二、证明题1、已知：如图,E 是AD 上的一点,AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE ．求证：∠B=∠CAE．2、已知∠1=∠2，AC=BD ，E ，F ，A ，B 在同一直线上，问∠3=∠4吗？3、如图，D ，E ，F ，B 在一条直线上，AB=CD ，∠B=∠D，BF=DE ，问(1)AE=CF(2)AE∥CF。

C DA E FB 21 3 4 C D EFA4、如图，已知等边△ABC，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：（1）BP=CE ；（2）试证明：EMPM=AM.5、如图所示,已知AB=DC,AE=DF,CE=FB,求证:AF=DE.6、如图所示，已知AE⊥AB ，AF⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

全等三角形动点问题咱来说说全等三角形的动点问题哈。

你可以想象有两个三角形，它们一开始可能是分开的，但是呢，有一些点是可以动的，就像小虫子在三角形的边上或者内部爬来爬去。

这些动点的运动就会带来各种好玩的情况。

比如说，一个三角形的某个顶点沿着一条直线慢慢移动，然后我们就得看看在这个移动过程中，这两个三角形啥时候能全等。

二、解题的关键思路1. 找对应关系- 这就像是给三角形的边和角找对象一样。

全等三角形嘛，得有对应的边相等，对应的角相等。

当有动点的时候，我们得时刻盯着哪些边和角是对应的。

比如说，有个动点在一条边上移动，我们得看这个动点所在的边和另一个三角形的哪条边可能是对应边呢。

有时候题目会直接告诉你一些对应关系，那还好，如果没说，我们就得根据已知条件去推理。

- 例如，已知两个三角形有一个角相等，然后有一条边相等，那我们就得看这个相等的边是不是对应边。

如果是，再看看其他的边和角能不能也对应相等。

2. 用方程思想- 动点在动的过程中，会产生一些数量关系。

我们可以设动点移动的距离为一个未知数，比如设为x。

然后根据三角形全等的条件列出方程。

- 比如说，一个三角形的一条边长是5，另一个三角形对应的边长是 3 + x，如果这两个三角形全等，那这条边就相等啊，我们就可以列出方程 3 + x=5，然后解出x = 2。

这时候就知道动点移动到什么位置的时候这两个三角形全等啦。

3. 考虑运动范围- 动点可不是能无限制地跑，它有自己的活动范围。

这个范围可能是一条线段，也可能是一个区域。

我们得考虑在这个范围内，有多少种情况能让三角形全等。

- 就像一个动点在一条线段AB上移动，线段AB的长度是10，那这个动点P的位置AP的长度就只能在0到10之间。

如果根据全等条件列出方程得到AP的值不在这个范围里，那这个解就不合理，得舍去。

4. 分类讨论- 比如说，一个动点在三角形的一条边上移动，可能会出现这个动点靠近这条边的一个端点的时候，三角形和另一个三角形全等是一种情况；当动点靠近这条边的另一个端点的时候，又可能是另一种全等情况。