全等三角形的判定综合练习题

全等三角形判定SSS练习题
5、已知：如图，AB=DC，AD=BC， 求证：∠A=∠C
A
D
B
C
全等三角形判定SSS练习题
6、已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE．求证：∠BAC=∠DAE．
A
E
D
B
C
全等三角形判定SSS练习题
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4、 如图，已知AB=CD，AC=BD， 求证：∠A=∠D.
AD
O
B
C
全等三角形判定SSS练习题
5、如图，已知AB=AD，AC=AE， BC=DE,求证：∠1=∠2
A
12ELeabharlann CBD全等三角形判定SSS练习题
1、已知AD=BE，BC=EF， AC＝DF，求证EF//BC
D
A
E
F
B
C
全等三角形判定SSS练习题
1、已知AB=DE，BC=EF，D，C在 AF上，且AD＝CF，求证： AB//DE．
全等三角形判定SSS练习题
2、已知AB=DE，BC=EF，AF＝CD， 求证EF//BC：
E
F1
A
2
C
D
B
全等三角形判定SSS练习题
3、如图，已知AB＝AC，AD为 △ABC的中线，求证：AD⊥BC
A
BD C
全等三角形判定SSS练习题
2、如图，△ABC中，D是BC边的中 点，AB=AC，求证：∠B=∠C
A
B
D
C
全等三角形判定SSS练习题
3、已知：如图，B、E、C、F在一 条直线上，且BE=CF，AB=DE， AC=DF。 求证：△ABC≌△DEF

1.△ABC 和△C B A '''中，C B C B A A ''='∠=∠,'，C C '∠=∠则△ABC 与△C B A ''' . 2．如图，点C ，F 在BE 上，,,21EF BC =∠=∠请补充一个条件，使△ABC ≌DFE,补充的条件是 .3．在△ABC 和△C B A '''中，下列条件能判断△ABC 和△C B A '''全等的个数有（ ）①A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B BC ''= ②A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A C A ''=' ③A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B AC ''= ④A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A B A ''='A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．如图1，已知MB=ND ，NDC MBA ∠=∠，下列条件不能判定是△ABM ≌△CDN 的是（ ）A ． N M ∠=∠ B. AB=CD C ． AM=CN D. AM ∥CN5．如图2所示， ∠E =∠F =90°，∠B =∠C ，AE =AF ，给出下列结论：①∠1=∠2 ②BE=CF ③△ACN ≌△ABM ④CD=DN其中正确的结论是_________ _________。

(注：将你认为正确的结论填上)图1图26. 如图，已知∠A=∠C ，AF=CE ，DE ∥BF ，求证：△ABF ≌△CDE.BAE21F CD7．如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 交CD 于F ，且AD=DF ，求证：AC= BF 。

BA EFCDC1．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFC 的理由是（ ）.A ．SSSB. AASC. SASD. HL2．下列说法正确的个数有（ ）.①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等； ②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A ．1个B. 2个C. 3个D. 4个3．过等腰△ABC 的顶点A 作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 .4．如图，△ABC 中，∠C=︒90，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，那么M 到AB 的距离是（ ）cm.5．在△ABC 和△C B A '''中，如果AB=B A ''，∠B=∠B '，AC=C A ''，那么这两个三角形（ ）. A ．全等 B. 不一定全等 C. 不全等 D. 面积相等，但不全等6．如图，∠B=∠D=︒90，要证明△ABC 与△ADC 全等，还需要补充的条件是 .7．如图，在△ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.8.如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，M 是AB 的中点，点N 在BC 上，MN ⊥AB 。

1、如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．2、如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？3、如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF4、如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．5、如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l 于点C，BD⊥l交l于点D．求证：AC=OD．6、如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE=CF．7、如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．8、如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB9、如图，点D是△ABC的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE延长线于点F．求证：AD=CF10、如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．11、如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．12、已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．13、已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．14、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．15、在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：；结论：。

全等三角形的判定一、选择题1.小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①和②【答案】C ．【解析】解带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．故选C ．2.如图，已知：∠A=∠D ，∠1=∠2，下列条件中能使△ABC ≌△DEF 的是（）A ．∠E=∠B B ．ED=BC C ．AB=EFD ．AF=CD【答案】D ．【解析】添加AF=CD ，∵AF=CD ，∴AF+FC=CD+FC ，∴AC=FD ，在△ABC 和△DEF 中12A DAC DF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DEF （ASA ），故选D ．3.下列关于两个三角形全等的说法：①三个角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等．正确的说法个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ．【解析】①不正确，因为判定三角形全等必须有边的参与；②正确，符合判定方法SSS ；③正确，符合判定方法AAS ；④不正确，此角应该为两边的夹角才能符合SAS ．所以正确的说法有两个．故选B ．4.在△ABC 和△A ˊB ′C ′中，已知∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，在下面判断中错误的是（ ）A ．若添加条件AC=A ′C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′B ．若添加条件BC=B ′C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′C ．若添加条件∠B=∠B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′D ．若添加条件∠C=∠C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′【答案】B.【解析】A ，正确，符合SAS 判定；B ，不正确，因为边BC 与B ′C ′不是∠A 与∠A ′的一边，所以不能推出两三角形全等；C ，正确，符合AAS 判定；D ，正确，符合ASA 判定；故选B ．5.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°，AB 上一点D 使AD=BC ，过点D 作DE ∥BC 且DE=AB ，连接EC ，则∠DCE 的度数为（ ）A ．80°B ．70°C ．60°D ．45°【答案】B.【解析】如图所示，连接AE ．∵AE=DE，∴∠ADE=∠DAE，∵DE∥BC，∴∠DAE=∠ADE=∠B，∵AB=AC，∠BAC=20°，∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，在△ADE 与△CBA 中，DAE ACB AD BCADE B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，∵∠CAE=∠DAE﹣∠BAC=80°﹣20°=60°，∴△ACE 是等边三角形，∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE 是等腰三角形，∴∠CDE=∠DCE，∴∠DEC=∠AEC﹣∠AED=40°，∴∠DCE=∠CDE=（180﹣40°）÷2=70°．故选B ．6.如图：AB=AC ，∠B=∠C，且AB=5，AE=2，则EC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．2.5【答案】B.【解析】在△ABE 与△ACF 中，∵A AAB AC B C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△ACF（ASA ），∴AC=AB=5∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，故选B.二、填空题.7.如图，AB=AC ，要使△ABE≌△ACD，依据ASA ，应添加的一个条件是 ．【答案】∠C=∠B ．【解析】添加∠C=∠B，在△ACD 和△ABE 中，A AAB AC C B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，8.如图，AB∥CF，E 为DF 中点，AB=20，CF=15，则BD= 5 ．【答案】5.【解析】∵AB∥FC，∴∠ADE=∠EFC，∵E 是DF 的中点，∴DE=EF，在△ADE 与△CFE 中，ADE EFC DE EFAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF，∵AB=20，CF=15，∴BD=AB﹣AD=20﹣15=5．9.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，BC=5，则BD= ．【答案】5. 【解析】∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC在△ADB 和△ACB 中，1=2AB ABABD ABC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADB≌△ACB（ASA ），∴BD=BC=5．10.如图，要测量一条小河的宽度AB 的长，可以在小河的岸边作AB 的垂线 MN ，然后在MN 上取两点C ，D ，使BC=CD ，再画出MN 的垂线DE ，并使点E 与点A ，C 在一条直线上，这时测得DE 的长就是AB 的长，其中用到的数学原理是： .【答案】ASA ，全等三角形对应边相等 ．【解析】∵AB⊥MN，DE⊥MN，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC 和△EDC 中，ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC≌△EDC（ASA ），∴DE=AB．11.如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，对角线AC 、BD 相交于点O ，则图中的一对全等三角形为 ．（写出一对即可）【答案】△ABC ≌△ADC.【解析】△ABC≌△ADC，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，在△ABC 与△ADC 中，BAC DCA AC CADAC BCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC≌△ADC（ASA ），∴AB=DC，BC=DA ，在△ABO 与△CDO 中，BAO DCO AOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO≌△CDO（AAS ），同理可得：△BCO≌△DAO，三、解答题12.如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC ，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB．求证：BE=CD ．【答案】证明见解析．【解析】∵∠EBC=∠FCB，∠EBC+∠ABE=180°，∠FCB+∠FCD=180°，∴∠ABE=∠FCD，在△ABE 与△FCD 中，A F AB FCABE FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE≌△FCD（ASA ），∴BE=CD．13.如图，点D 在AB 上，DF 交AC 于点E ，CF∥AB，AE=EC ．求证：AD=CF ．【答案】答案见解析.【解析】∵CF∥AB，∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠CFE．在△ADE 和△CFE 中，A ACF ADE CFE AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△CFE（AAS ）．∴AD=CF．14. 如图，锐角△ABC 中，∠BAC=60°，O 是BC 边上的一点，连接AO ，以AO 为边向两侧作等边△AOD 和等边△AOE，分别与边AB ，AC 交于点F ，G ．求证：AF=AG ．【答案】答案见解析.【解析】∵△AOD 和△AOE 是等边三角形，∴∠E=∠AOF=60°，AE=AO ，∠OAE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠FAO=∠EAG=60°﹣∠CAO， 在△AFO 和△AGE 中， FAO EAG AO AEAOF E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFO≌△AGE（ASA ）， ∴AF=AG．。

【题型1】全等三角形判定的综合选择 下列数据能确定形状和大小是（ ）A.AB=4，BC=5，∠C=60°B.AB=6，∠C=60°，∠B=70°C.AB=4，BC=5，CA=10D.∠C=60°，∠B=70°，∠A=50° 【变式训练】1.下列各条件中，能使△ABC ≌△DEF 的条件是（ ）A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EFB.AB=BC,∠B=∠E,DE=EFC.AB=EF,∠A=∠D,AC=DFD.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF2.对于△ABC 与△DEF ，已知∠A=∠D ，∠B=∠E ，则下列条件①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ④AB=EF 中，判定它们全等的有（ ）A.①②B.①③C.②③D.③④3.在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是( )A.BC=B /C /B.∠A=∠A /C.AC=A /C /D.∠C=∠C /4.如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形， 则下列结论不一定成立的是（ ）A.△ACE ≌△BCDB.△BGC ≌△AFCC.△DCG ≌△ECFD.△ADB ≌△CEA5.如图1，已知△ABC 的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC 全等的图形是 .6.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠A /O /B /=∠AOB 的依据是 . 7.如图是打碎的玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去第4题第7题第6题【题型2】开放性问题1.如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）2.如图，点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．【变式训练】1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件，使△ADB≌△CEB．2.有下列四个判断：①AD=BF；②AE=BC；③∠EFA=∠CDB；④AE∥BC．请你以其中三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题并加以证明．已知：求证：证明：3.如图，AC交BD于点O，有如下三个关系式：①OA=OC，②OB=OD，③AB∥DC．(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．(用序号写出命题书写形式，如：如果⊗、⊗，那么⊗)(2)选择(1)中你写出的—个命题，说明它正确的理由．4.请从以下三个等式中，选出一个等式填在横线上，并加以证明．等式：AB=CD，∠A=∠C，∠AEB=∠CFD.已知：AB∥CD，BE=DF， .求证：△ABE≌△CDF．证明：【题型3】全等三角形判定的综合应用1.如图，AB⊥CD于点B，CF交AB于点E，CE＝AD，BE＝BD.求证：CF⊥AD.2.如图，AD⊥AB于点A，BE⊥AB于点B，点C在AB上，且CD⊥CE，CD＝CE.求证：AD＝CB.3.如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.求证：BE⊥AC4.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D.(1)求证：AC∥DE；(2)若BF＝13，EC＝5，求BC的长.5.如图,在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG求证：（1）AD=AG；（2）AD与AG的位置关系如何.BB6.如图，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.7.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE.（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE.（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.M图1AAAEBMCF。

全等三角形的判定练习题一、选择题1. 下列哪组条件可以判定两个三角形全等？A. 两边和其中一边的对角相等B. 两角和其中一角的对边相等C. 两边和它们的夹角相等D. 两角和其中一边相等A. ∠A=∠DB. ∠B=∠EC. ∠C=∠FA. SAS（边角边）B. ASA（角边角）C. AAS（角角边）D. SSS（三边）二、填空题1. 若两个三角形的______相等，且它们的夹角相等，则这两个三角形全等。

2. 在全等三角形中，对应边______相等，对应角______相等。

3. 要判定两个三角形全等，至少需要知道它们的______个元素相等。

三、判断题1. 若两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，则这两个三角形一定全等。

（）2. 两个等腰三角形的底角相等，则这两个三角形全等。

（）3. 两个等边三角形的边长相等，则这两个三角形全等。

（）四、解答题1. 在△ABC中，AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABC是等腰三角形。

2. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，求证：△ABC≌△DEF。

3. 在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠B=70°，求∠C的度数。

4. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF。

5. 在△ABC中，AB=8cm，AC=10cm，∠A=60°，求BC的长度。

五、作图题1. 请作出一个三角形，使其与给定三角形全等，已知条件是两边及其夹角。

2. 请作出一个三角形，使其与给定三角形全等，已知条件是两角及其夹边。

3. 请作出一个三角形，使其与给定三角形全等，已知条件是三边。

六、综合题1. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(6, 3)，点C和点D在x轴上，且△ABC≌△ABD，求点C和点D的坐标。

2. 在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，且∠ABC=∠CDA=90°，证明：△ABC≌△CDA。

三角形全等判定专题训练题1.给定三角形ABC，AD垂直于BC，垂足为D，且BD=CD。

证明△ABD≌△ACD。

2.给定平行四边形ABCD，AC=EF，AC平行于EF，且F在AD上。

证明△ABC≌△EDF。

3.给定三角形ABC和DEF，DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。

证明△AED≌△BFC，其中AE=BD。

4.给定等腰直角三角形ABC，AB=AC，AD=AE，AB垂直于AC，AD垂直于AE。

证明∠B=∠C且BD=CE。

6.给定四边形ABCDE，CG=CF，BC=DC，AB=ED，且A、B、C、D、E在同一直线上。

证明AF=EG且BF平行于DG。

7.给定三角形ABC，AC垂直于BC，___平分∠ABC，且交AC于点M，N是AB的中点，且BN=BC。

证明___平分∠AMB且∠A=∠___。

8.给定四边形ABCD，AC=DB，BE平行于CF，AE平行于DF。

证明△ABE≌△DCF。

9.给定三角形ABC，AE和BC相交于点M，F在AM上，BE平行于CF，且BE=CF。

证明AM是△ABC的中线。

10.给定四边形ABCD，且∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。

证明AB=AC。

11.给定三角形ABC和△DBC，且∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上的任意一点。

证明PA=PD。

12.给定四边形ABCD，AB平行于CD，OA=OD，且F、D、O、A、E在同一直线上，AE=DF。

证明EB平行于CF。

13.给定三角形ABC和△EDC，且△ABC≌△EDC。

证明BE=AD。

14.给定等腰直角三角形ABC，AC=BC，AE是BC的中线，CF⊥AE于F，BD⊥CB交CF的延长线于点D。

证明AB=BD。

15、证明：由图可知，∠BAC=90°，且AB=2AC，因此由勾股定理可得BC=√5AC，而DE=AC，BF=2AC，EF=BC-AC=√5AC-AC=(√5-1)AC，因此AE=AC+EF=2AC+(√5-1)AC=(1+√5)AC，所以△ABC≌△AED。

养习惯·树态度一．解答题（共17小题）1．如图1，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）请判断线段GF与GC的大小关系是_________．（2）若将图1中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图2，那么线段GF与GC之间的大小关系是否改变？并证明你的结论．（3）若将图1中的正方形改为平行四边形，其他条件不变，如图3，那么线段GF与GC之间的大小关系是否会改变？并证明你的结论．2．在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________（直接写出结论）②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．3．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．（1）如图①，当∠DAB=120°，∠B=∠D=90°时，求证：AB+AD=AC．（2）如图②，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．（3）如图③，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．4．（1）如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．求证：CD=CG；（2）如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，AD交BC于点E，连接CD，过点C作CG⊥CD，交AD于点G．若AD=CG，求证：AB=AC+BH．6．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）7．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下命题：如图①，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若CM=DN，则∠BON=108°．该小组提出了一个大胆的猜想：如图②，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若DM=EN，则∠BON=108°．请问他们的猜想是否正确？若正确，请写出解答过程；若不正确，请说明理由．8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：CF=EH．9．如图，在△ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）DF=CE．10．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ADC=120°．将一块足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形顶点B重合，当三角尺的30°角（∠MBN）绕着点B旋转时，它的两边分别交边AD，DC所在直线于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如题图1），请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图2），（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图3和题图4），请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系．11．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点（不重合），且∠BEC=∠CFA=∠a（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：①若∠BCA=90°，∠a=90°，请在图1中补全图形，并证明：BE=CF，EF=|BE﹣AF|；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件_________，使①中的两个结论仍然成立；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠a=∠BCA，请写出EF、BE、AF三条线段数量关系（不要求证明）．12．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是_________、_________．（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是_________、_________．（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．14．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE 于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为_________．15．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，求证：△ACE≌△DCB．（2）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=_________；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=_________；（3）如图3，若∠ACD=β，则∠AFB=_________（用含β的式子表示）并说明理由．16．如图1，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E．求证：AB=AD+BE；（2）如图2，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？请你给出结论并加以证明．2014年09月12日1054166241的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共17小题）1．（2014•潮安区模拟）如图1，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F 在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）请判断线段GF与GC的大小关系是FG=CG．（2）若将图1中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图2，那么线段GF与GC之间的大小关系是否改变？并证明你的结论．（3）若将图1中的正方形改为平行四边形，其他条件不变，如图3，那么线段GF与GC之间的大小关系是否会改变？并证明你的结论．考点：四边形综合题；直角三角形全等的判定．专题：证明题；分类讨论．分析：（1）判定直角三角形△ECG和△EFG全等，和全等三角形对应边相等的性质；（2）判定直角三角形△ECG和△EFG全等，和全等三角形对应边相等的性质；（3）判定△ECG和△EFG全等，根据全等三角形对应边相等性质即可证明．解答：解：（1）∵E是BC的中点∴BE=CE∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE∴BE=EF，∴EF=EC；同样，在折叠中，∠B=∠EFA=90°又∵∠C=∠B，∠EFG=∠EFA∴∠C=∠EFG=90°∵EG=EG，∴△ECG≌△EFG∴FG=CG；（2）不会改变．证明：连接EG∵E是BC的中点∴BE=CE∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE∴BE=EF，∴EF=EC；同样，在折叠中，∠B=∠EFA=90°又∵∠C=∠B，∠EFG=∠EFA∴∠C=∠EFG=90°∵EG=EG，∴△ECG≌△EFG∴FG=CG；（3）不会改变．证明：连接EG、FC∵E是BC的中点∴BE=CE∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE∴BE=EF，∠B=∠AFE∴EF=EC∴∠EFC=∠ECF∵矩形ABCD改为平行四边形∴∠B=∠D∵∠ECD=180°﹣∠D，∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D∴∠ECD=∠EFG∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF∴∠GFC=∠GCF∴△ECG≌△EFG∴FG=CG即（1）中的结论仍然成立．点评：本题考查了学生对直角三角形全等的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．3．（2010•海沧区质检）在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是CF=BD，CF⊥BD（直接写出结论）②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）①根据正方形和等边三角形的性质得出AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，求出∠BAD=∠CAF，证△BAD≌△CAF，推出BD=CF，∠B=∠ACF，求出∠FCB=90°即可；②求出∠BAD=∠CAF，证△BAD≌△CAF，推出BD=CF，∠B=∠ACF，求出∠FCB=90°即可；（2）在BD上截取AM=AC，连接AM，与（1）证明过程类似证MAD≌△CAF即可求出答案．解答：（1）①CF=BD CF⊥BD，解：结论还成立，CF=BD CF⊥BD，理由是：∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BCA=90°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴CF⊥BD，故答案为：CF=BD，CF⊥BD．②解：结论还成立，理由是由①知，∠BAC=FAD=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD，∴∠BAD=∠FAC，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BCA=90°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴CF⊥BD，即①的结论还成立．（2）解：当∠ACB=45°时，CF⊥BD理由是：如图1，当∠BAC＞90°，过点A作AM⊥CA交BC于M，则AM=AC，由（1）同理可证明△FAC≌△MAD，∴∠ACF=∠AMD=45°，∴∠FCB=90°，即CF⊥BD．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，主要培养学生的推理能力，本题具有一定的代表性，证明过程类似，透过做此题培养了学生的发散思维能力．4．（2008•宣武区二模）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．（1）如图①，当∠DAB=120°，∠B=∠D=90°时，求证：AB+AD=AC．（2）如图②，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．（3）如图③，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）由AC平分∠DAB，∠DAB=120°，可得∠CAB=∠CAD=60°，又由∠B=∠D=90°，即可得∠ACB=∠ACD=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得AB+AD=AC；（2）首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F，由AC平分∠DAB，可得CE=CF，又由∠B与∠D互补，可证得△CED≌△CFB，则可得AD+AB=AE+AF，又由AE+AF=AC，则可得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC；（3）首先过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F，与（2）同理可得△CEB≌△CFD，则可得∠G=∠DAC=∠CAB=45°，即可求得线段AB、AD、AC有怎样的数量关系为AB+AD=AC．解答：证明：（1）在四边形ABCD中，∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∴∠CAB=∠CAD=60°．又∵∠B=∠D=90°，∴∠ACB=∠ACD=30°．∴AB=AD=AC，即AB+AD=AC．（2）AB+AD=AC．证明如下：如图②，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．∵AC平分∠DAB，∴CE=CF．∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D．又∵∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB．∴ED=BF．∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF．∵AC为角平分线，∠DAB=120°，∴∠ECA=∠FCA=30°，∴AE=AF=AC，∴AE+AF=AC，∴AB+AD=AE+AF=AC．∴AB+AD=AC．（3）AB+AD=AC．证明如下：如图③，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F．∵AC平分∠DAB，∵CE⊥AD，CF⊥AF，∴CE=CF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，∴∠ABC=∠EDC．又∵∠CED=∠CFB=90°．∴△CFB≌△CED（AAS）．∴CB=CD．延长AB至G，使BG=AD，连接CG．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，∴∠CBG=∠ADC．∴△GBC≌△ADC（SAS）．∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°．∴∠ACG=90°．∴AG=AC．∴AB+AD=AC．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的性质，直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．5．（1）如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．求证：CD=CG；（2）如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，AD交BC于点E，连接CD，过点C作CG⊥CD，交AD于点G．若AD=CG，求证：AB=AC+BH．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由AD⊥BD得到∠ADB=90°，而∠ACB=90°，∠AED=∠BEC，根据三角形内角和得∠CAD=∠DBC，再根据等角的余角相等得到∠BCG=∠DCA，然后利用“ASA”可判断△ADC≌△BCG，则CD=CG；（2）延长EC到F使CF=CE，由△AGC≌△BCD得到AG=BD，由CG=BD可代换得到AG=CG，则∠GAC=∠GCA，而∠CGD=45°，所以∠GAC=22.5°，再利用AC⊥BC，CF=CE，得到△AEF为等腰三角形，于是∠FAC=∠EAC=22.5°，利用∠CAB=45°，∠ABC=45°可计算出∠FAB=67.5°，∠F=67.5°，得到∠F=∠FAB，所以AB=BF，而BF=BC+CF=AC+CE，即有AB=AC+CE，只要证出BH=CD即可．解答：（1）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵∠ACB=90°，∠AED=∠BEC，∴∠CAD=∠DBH，∵∠BCG=∠DCA，∵在△ACD和△BGC中∴△ACD≌△BGC（ASA），∴CD=CG；（2）证明：延长EC到F使CF=CE，如图，∵△AGC≌△BCD∴AG=BD，∵CG=BD，∴AG=CG，∴∠GAC=∠GCA，∵△CDG为等腰直角三角形，∴∠CGD=45°，∴∠GAC=22.5°，∵AC⊥BC，CF=CE，∴△AEF为等腰三角形，∴∠FAC=∠EAC=22.5°，∵△ABC为等腰直角三角形，∵∠CAB=45°，∠ABC=45°，∴∠FAB=22.5°+45°=67.5°，∴∠F=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠F=∠FAB，∴AB=BF，而BF=BC+CF=AC+CE，∴AB=AC+CE．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．6．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；几何综合题．分析：（1）延长CB到E，使BE=AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；（2）延长CB到E，使BE=AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；（3）在CB截取BE=AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，证△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可．解答：（1）AM+BN=MN，证明：延长CB到E，使BE=AM，∵∠A=∠CBD=90°，∴∠A=∠EBD=90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE=∠MDA，DM=DE，∵∠MDN=∠ADC=60°，∴∠ADM=∠NDC，∴∠BDE=∠NDC，∴∠MDN=∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN=NE，∵NE=BE+BN=AM+BN，∴AM+BN=MN．（2）AM+BN=MN，证明：延长CB到E，使BE=AM，连接DE，∵∠A=∠CBD=90°，∴∠A=∠DBE=90°，∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，∴∠MDN=∠CDA，∵∠MDN=∠BDC，∴∠MDA=∠CDN，∠CDM=∠NDB，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE=∠MDA=∠CDN，DM=DE，∵∠MDN+∠ACD=90°，∠ACD+∠ADC=90°，∴∠NDM=∠ADC=∠CDB，∴∠ADM=∠CDN=∠BDE，∵∠CDM=∠NDB∴∠MDN=∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN=NE，∵NE=BE+BN=AM+BN，∴AM+BN=MN．（3）BN﹣AM=MN，证明：在CB截取BE=AM，连接DE，∵∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD=90°，∴∠MDN=∠CDA，∵∠ADN=∠ADN，∴∠MDA=∠CDN，∵∠B=∠CAD=90°，∴∠B=∠DAM=90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE=∠ADM=∠CDN，DM=DE，∵∠ADC=∠BDC=∠MDN，∴∠MDN=∠EDN，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN=NE，∵NE=BN﹣BE=BN﹣AM，∴BN﹣AM=MN．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度．7．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下命题：如图①，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若CM=DN，则∠BON=108°．该小组提出了一个大胆的猜想：如图②，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若DM=EN，则∠BON=108°．请问他们的猜想是否正确？若正确，请写出解答过程；若不正确，请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质；多边形内角与外角．专题：证明题．分析：连接EC、BD，由正五边形推出∴∠CBD=∠CDB=∠ECD=∠DEC=36°，△BCD≌△CDE，证出△CEN≌△BDM推出∠ECN=∠DBM，根据∠BON=∠OBC+∠OCB即可求出答案．解答：结论：猜想正确证明：连接EC、BD，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠BCD=∠CDE=∠DEA=108°，BC=CD=DE，∴∠CBD=∠CDB=∠ECD=∠DEC=36°，△BCD≌△CDE，∴∠NEC=∠BDM=∠BCE=72°，BD=EC，又∵DM=EN，∴△CEN≌△BDM，∴∠ECN=∠DBM，∴∠BON=∠OBC+∠OCB=∠DBC+∠ECB=36°+72°=108°，∴∠BON=108°．点评：本题主要考查对全等三角形的性质，三角形的外角性质，多边形的内角和外角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：CF=EH．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）利用直角关系得出∠BAE=∠CAF，∠ABD=∠DCF，即可得出△ABE≌△ACF，（2）由△ABE≌△ACF，得出AE=AF，再由等腰直角三角形得出AH=EH，再证得△ADH≌△CDF即可得出CF=EH解答：证明：（1）∵AE⊥AF，∠CAB=90°，∴∠EAF=∠CAB=90°∴∠EAF﹣∠EAC=∠CAB﹣∠EAC即∠BAE=∠CAF，∵CF⊥BD，∴∠BFC=90°=∠CAB，∴∠BDA+∠ABD=90°，∠DCF+∠FDC=90°，∵∠ADB=∠FDC，∴∠ABD=∠DCF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），（2）∵由（1）知△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∵∠EAF=90°，∴∠AEF=∠AFE=45°，∵AH⊥BF，∴∠AHF=∠AHE=90°=∠CFH，∴∠EAH=180°﹣∠AHE﹣∠AEF=45°=∠AEF，∴AH=EH，∵D为AC中点，∴AD=CD，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH=CF，∴EH=CF．点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是能根据角和边的关键得出三角形全等．9．如图，在△ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，点E在BC上．过点D作DF∥BC，连接DB．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）DF=CE．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）求出∠BAD=∠BAC，根据SAS证出△BAD≌△CAE即可；（2）根据全等推出∠DBA=∠C，根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC，根据平行线性质得出∠ABC=∠DFB，推出∠DFB=∠DBF，根据等腰三角形的判定推出即可．解答：（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠EAC，在△BAD和△CAE中∵，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）证明：∵△BAD≌△CAE，∴∠DBA=∠C，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵DF∥BC，∴∠DFB=∠ABC=∠C=∠DBA，即∠DFB=∠DBF，∴DF=CE．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．10．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ADC=120°．将一块足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形顶点B重合，当三角尺的30°角（∠MBN）绕着点B旋转时，它的两边分别交边AD，DC所在直线于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如题图1），请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图2），（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图3和题图4），请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）AE+CF=EF，证法与（2）相同；（2）延长EA到G，使AG=FC，证△GAB≌△FCB，推出∠GBA=∠FBC，GB=FB，AG=CF，求出∠GBE=30°，证△GBE和△FBE全等即可；（3）在AE上取AM=CF，证△ABM和△BCF全等，证△BME和△BFE全等即可；图4与图3证法类似．解答：解：（1）AE+CF=EF；（2）成立．理由是：延长EA到G，使AG=FC，∵GA=FC，∠GAB=∠FCB=90°，AB=CB，∴△GAB≌△FCB（SAS），∴∠GBA=∠FBC，GB=FB，AG=CF，∵∠FBC+∠FBA=60°，∴∠GBA+∠FBA=60°，即：∠GBF=60°∵∠EBF=30°，∴∠GBE=30°，∵GB=FB，∠GBE=∠FBE，BE=BE，∴△GBE≌△FBE，∴GE=FE∵GE=AG+AE，∴EF=AE+CF；（3）图3：AE﹣CF=EF；图4：AE+EF=CF．点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．11．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点（不重合），且∠BEC=∠CFA=∠a（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：①若∠BCA=90°，∠a=90°，请在图1中补全图形，并证明：BE=CF，EF=|BE﹣AF|；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°，使①中的两个结论仍然成立；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠a=∠BCA，请写出EF、BE、AF三条线段数量关系（不要求证明）．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF 即可；②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．解答：（1）①如图，E点在F点的左侧，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，∴∠BEC=∠AFC=90°，∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠CBE=∠ACF，在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF=AF﹣BE，∴EF=|BE﹣AF|；②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；证明：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，∴∠CBE=∠ACF，在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF=AF﹣BE，∴EF=|BE﹣AF|；（2）EF=BE+AF．理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，∴∠EBC=∠ACF，在△BEC和△CFA中，，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF=CE，BE=CF，∵EF=CE+CF，∴EF=BE+AF．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，本题比较典型，证明过程类似．12．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是AB=AP、AB⊥AP．（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是BQ=AP、BQ⊥AP．（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）由于AC⊥BC，且AC=BC，边EF与边AC重合，且EF=FP，则△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠CAP=45°，AB=AP，则∠BAP=90°，于是AP⊥AB；（2）延长BO交AP于H点，可得到△OPC为等腰直角三角形，则有OC=PC，根据“SAS”可判断△ACP≌△BCO，则AP=BO，∠CAP=∠CBO，利用三角形内角和定理可得到∠AHO=∠BCO=90°，即AP⊥BO；（3）BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．证明方法与（2）一样．解答：解：（1）AB=AP，AB⊥AP；（2）BQ=AP，BQ⊥AP；（3）成立．证明：如图，∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°．∵AC⊥BC，∴∠CQP=∠CPQ，CQ=CP．在Rt△BCQ和Rt△ACP中，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）∴BQ=AP；延长QB交AP于点N，∴∠PBN=∠CBQ．∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC=∠APC．在Rt△BCQ中，∠BCQ+∠CBQ=90°，∴∠APC+∠PBN=90°．∴∠PNB=90°．∴QB⊥AP．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．14．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE 于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为5．考点：全等三角形的判定与性质．分析：图2，求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；图③根据已知和三角形外角性质求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可；图④求出△ABD的面积，根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即可得出答案．解答：证明：图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，∴∠BDA=∠AFC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，∴∠ABD=∠CAF，在△ABD和△CAF中，∵，∴△ABD≌△CAF（AAS）；图③，∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，∵，∴△ABE≌△CAF（ASA）；图④，解：∵△ABC的面积为15，CD=2BD，∴△ABD的面积是：×15=5，由图3中证出△ABE≌△CAF，∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5，故答案为：5．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，证明过程有类似之处．15．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，求证：△ACE≌△DCB．（2）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=120°；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=90°；（3）如图3，若∠ACD=β，则∠AFB=180°﹣β（用含β的式子表示）并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）求出∠ACE=∠DCB，根据SAS证出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，求出∠EAB+∠DBA=∠ACD，∠AFB=180°﹣（∠EAB+∠DBC），代入求出即可；（3）根据全等三角形性质得出∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，求出∠EAB+∠DBA=∠ACD，∠AFB=180°﹣（∠EAB+∠DBC），代入求出即可．解答：（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中∵，∴△ACE≌△DCB；（2）解：∵∠ACD=60°，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=60°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=60°，∴∠AFB=180°﹣60°=120°；当∠ACD=90°时，∵∠ACD=90°，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=90°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=90°，∴∠AFB=180°﹣90°=90°；故答案为：120°，90°；（3）解：当∠ACD=β时，∠AFB=180°﹣β，理由是：∵∠ACD=β，∴∠CDB+∠DBC=∠ACD=β，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∠CDB=∠CAE，∴∠CAE+∠DBC=β，∴∠AFB=180°﹣（∠CAE+∠DBC）=180°﹣β；故答案为：180°﹣β．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解此题的关键是找出已知量和未知量之间的关系．。

全等三角形证明练习
1．已知如图,AE＝AC,AB＝AD,∠EAB＝∠CAD,试说明:∠B＝∠D
2. 已知：如图，AB=DC ,AD=BC , O是BD中点 ,过O的直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．
求证：OE=OF
3.如图,线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,说明∠A=∠C.
4. 已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．
5. 已知：如图AB=CD，BC=DA，E、F是AC上两点，且AE=CF。

求证：BF=DE
D c
F
A B
6.已知：如图A 、D 、C 、B 在同一直线上，AC=BD ，AE=BF ，CE=DF
求证：（1）DF ∥CE （2）DE=CF
A
D F
E
C
E
c B
7.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，
EF 与AD 交于G ，AD 与EG 垂直吗？证明你的结论。

8.如图所示，已知在△AEC 中，∠E=90°，AD 平分∠EAC,DF ⊥AC,垂足为F,DB=DC. 求证：BE=CF.
9.如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE. 求证：AF=AD+CF 。

A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
D
E。

全等三角形判定-专题复习50题(含答案)全等三角形判定一、选择题：1.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA2.方格纸中,每个小格顶点叫做一个格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图,在4×4的方格纸中,有两个格点三角形△ABC、△DEF,下列说法中成立的是（）A．∠BCA=∠EDF B．∠BCA=∠EFDC.∠BAC=∠EFD D．这两个三角形中，没有相等的角3.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△A．∠EDB B．∠BEDC．∠AFB D．2∠ABF4.在△ABC和△A/B/C/中,已知∠A=∠A/,AB=A/B/,在下面判断中错误的是( )A．若添加条件AC=A/C/,则△ABC≌△△A/B/C/B.若添加条件BC=B/C/,则△ABC≌△△A/B/C/C.若添加条件∠B=∠B/,则△ABC≌△△A/B/C/D.若添加条件∠C=∠C/,则△ABC≌△△A/B/C/5.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF （）A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F6.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm7.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A． a2B． a2C． a2D． a29.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B 地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）A．B．C．D．二、填空题：10.如图所示，有一块三角形的镜子，小明不小心弄破裂成1、2两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上块，其理由是．11.如图示,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD, 还需添加一个条件是__________.（填上你认为适当的一个条件即可）12.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是．13.如图，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是（只添一个条件即可）．14.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，E、F 分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角形对．15.如图，△ABD≌△BAC，若AD=BC，则∠BAD的对应角是．16.如图，已知AB⊥BD，垂足为B，ED⊥BD，垂足为D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE= 度．17.如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．三、解答题：18.如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A．B．试说明AD+AB=BE．19.如图，E、A．C三点共线，AB∥CD，∠B=∠E,，AC=CD。

∴ △ABD≌ △A‘B’D’(SAS) ∴ AD=A’D’
B’
D’
C’
巩固练习
求证：角平分线上的点到角的两边距离相等。
挑战自己
如图，△ABC中，∠B=2∠A, AB=2BC 求证： ∠A=30° A
F E
C
B
证明：∵ △ABC≌ △A‘B’C‘ ∴AB=A’B’, ∠B=∠B’，BC=B’C’ ∵ AD,A’D’分别是△ABC和△A‘B’C的中线 ∴BD=
1 2 1 2
B
D
C
BC,B’D’=
B’C’ ∴BD=’D’中
BD=B’D’(已证)
{
∠B=∠B’(已证) AB=A’B’ ’(已证)
定义
HL
例题讲解
已知：如图，AB=CD,BC=DA,E、F是AC上 的两点，且AE=CF 求证：BF=DE
D
2
C F
1
E B
A
D
2
C F E B
1
A
分析： BF=DE
△BCF≌△DAE ∠1= ∠2
△ABC≌△CDA
巩固练习
1、已知:如图，E是AC上一点,∠1 =∠2, ∠3 =∠4. D 求证：ED=EB
全等三角形判定6 综合练习
全等三角形判定方法
对 应 相 等 的 元 素 判 定 依 据 两角一边 完 全 重 合 两角一边 三 边 两角 两角 对 及一 两角及其 及其 应 角的 夹边对应 夹边 相等 对边 相等 对应 对应 相等 相等 SSS ASA ASA AAS
一条 直角 边和 斜边 对应 相等
A
D C A’
在△ABD和△A‘B’D’中
∠B=∠B’(已证)
{

11.2三角形全等的判定（HL）◆随堂检测1. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，你能说明BC与BD相等吗？2．如图，两根长相等的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两根木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。

3. 如图，已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证：AB//DE.◆典例分析CDA B例:已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，如 AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高，且 AD=A′D′．问△ABC与△A′B′C′是否全等？如果全等，给出证明.如果不全等，请举出反例．错解：这两个三角形全等．证明如下：如图1，在Rt△ABD和 Rt△A′B′D′中，∵AB=A′B′，AD=A′D′∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′.∴BD=B′D′同理可证 DC=D′C′，∴BC=B′C′在△ABC和△A′B′C′中，∵AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.评析：这两个三角形不一定全等．当这两个三角形均为钝角(或锐角)三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等．如图2，虽有AB=A′B′，AC=A′C′，但BC≠B′C′，因此这两个三角形不全等．◆课下作业●拓展提高4.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.(1) _______,∠A=∠D ( ASA )(2) AC=DF,________ (SAS)(3) AB=DE,BC=EF ( )(4) AC=DF, ______ ( HL )(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )(6) ________,AC=DF ( AAS )5.小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角板，他是怎样画角平分线的呢？他的具体做法如下：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线交点为P,画射线OP.则OP平分∠AOB。

全等三角形判定练习题全等三角形判定练习题三角形是我们学习数学时经常遇到的一个基本图形。

在三角形中，全等三角形是一种特殊的形态，它们有着完全相同的形状和大小。

全等三角形的判定是数学中的一个重要内容，通过练习题的形式来巩固和提高我们的判定能力。

练习题一：已知三角形ABC和三角形DEF，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，且AB= DE，BC = EF，AC = DF，证明三角形ABC全等于三角形DEF。

解析：根据题目条件，我们已知三角形ABC和三角形DEF的对应角度相等，并且对应边长相等。

根据全等三角形的定义，我们可以得出结论，即三角形ABC全等于三角形DEF。

练习题二：已知三角形ABC和三角形DEF，若AB = DE，BC = EF，∠B = ∠E，证明三角形ABC与三角形DEF全等。

解析：根据题目条件，我们已知三角形ABC和三角形DEF的对应边长相等，并且∠B= ∠E。

根据全等三角形的定义，我们需要再找到一个对应关系。

根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠D + ∠E +∠F = 180°。

由于∠B = ∠E，我们可以得出∠A = ∠D，∠C = ∠F。

因此，三角形ABC与三角形DEF全等。

练习题三：已知三角形ABC和三角形DEF，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，AC = DF，证明三角形ABC与三角形DEF全等。

解析：根据题目条件，我们已知三角形ABC和三角形DEF的对应角度相等，并且AC = DF。

我们需要再找到一个对应关系。

根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠D + ∠E + ∠F = 180°。

由于∠A = ∠D，∠B = ∠E，我们可以得出∠C = ∠F。

因此，三角形ABC与三角形DEF全等。

练习题四：已知三角形ABC和三角形DEF，若AB = DE，AC = DF，BC = EF，证明三角形ABC与三角形DEF全等。

全等三角形的判定（SSS）1、如图 1， AB=AD ， CB=CD ，∠ B=30 °，∠ BAD=46 °，则∠ ACD 的度数是 ()A.120 °B.125 °C.127°D.104 °2、如图 2，线段 AD 与 BC 交于点 O，且 AC=BD ， AD=BC ， ? 则下面的结论中不正确的是()A. △ ABC ≌△ BADB. ∠ CAB= ∠ DBAC.OB=OCD.∠ C= ∠D3、在△ ABC 和△ A 1B 1C1中，已知 AB=A 1B 1， BC=B 1C1，则补充条件 ____________，可得到△ ABC ≌△A 1B1C1．4、如图 3，AB=CD ，BF=DE ，E、F 是 AC 上两点，且AE=CF ．欲证∠ B= ∠ D，可先运用等式的性质证明AF=________ ，再用“ SSS”证明 ______≌ _______得到结论．5、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠ A= ∠ D．6、如图， AC 与 BD 交于点 O， AD=CB ，E、F 是 BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF. 请推导下列结论：⑴∠ D=∠B ；⑵ AE ∥CF．7、已知如图，A 、 E、F、 C 四点共线， BF=DE ， AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△ DEC ≌△ BFA ；⑵在⑴的基础上，求证： DE∥ BF.全等三角形的判定(SAS)1、如图1， AB ∥ CD ， AB=CD， BE=DF ，则图中有多少对全等三角形()A.3B.4C.5D.62、如图2， AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ ACE ，可补充条件()A. ∠ 1= ∠23、如图 3， AD=BCA.AB ∥ CDB.∠ B= ∠ C，要得到△ ABDB.AD ∥ BCC.∠ D= ∠ ED. ∠BAE= ∠CAD 和△CDB 全等，可以添加的条件是 ( C.∠A=∠ C D. ∠ABC= ∠ CDA)4、如图 4， AB 与 CD 交于点 O， OA=OC ， OD=OB ，∠ AOD=________ ， ? 根据 _________可得到△ AOD≌△ COB，从而可以得到AD=_________ ．5、如图 5，已知△ ABC 中， AB=AC ， AD 平分∠ BAC ，请补充完整过程说明△∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ ________=∠ _________(角平分线的定义).在△ ABD 和△ ACD 中，∵ ____________________________ ，∴△ ABD≌△ ACD（ABD）≌△ ACD的理由．6、如图 6，已知 AB=AD ， AC=AE ，∠ 1= ∠ 2，求证∠ ADE= ∠ B.7、如图，已知AB=AD ，若 AC 平分∠ BAD ，问 AC 是否平分∠ BCD ？为什么？BA CD8、如图，在△ABC 和△ DEF 中， B 、 E、 F、 C，在同一直线上，下面有 4 个条件，请你在其中选 3 个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE ；② AC=DF ；③∠ ABC= ∠ DEF ；④ BE=CF.9、如图⑴， AB ⊥ BD ， DE⊥ BD ，点 C 是 BD 上一点，且BC=DE ， CD=AB ．⑴试判断AC 与 CE 的位置关系，并说明理由．⑵如图⑵，若把△CDE 沿直线 BD 向左平移，使△CDE 的顶点 C 与 B 重合，此时第⑴问中的位置关系还成立吗？(注意字母的变化)AC与BE全等三角形（三） AAS和 ASA【知识要点】1．角边角定理（ ASA）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.2 ．角角边定理（ AAS）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.【典型例题】例 1．如图， AB∥ CD， AE=CF，求证： AB=CDD FC O例 2．如图，已知： AD=AE，ACD ABE ，求证：BD=CE.AE BAD E例 3．如图，已知：CD . BAC ABD ，求证：OC=OD.B CD COA B例 4．如图已知： AB=CD，AD=BC，O是 BD中点，过 O点的直线分别交DA和 BC的延长线于E，F. 求证： AE=CF.FDCOAB例 5．如图，已知123 ，AB=AD.求证：BC=DE.EA2E1OB D 3C例6．如图，已知四边形 ABCD中， AB=DC，AD=BC，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC上， AF=CE， EF 的对角线 BD 交于 O，请问 O点有何特征？A F DOB EC【经典练习】1. △ ABC和△A B C中，A A' , BC B C ，C C 则△ABC与△ A B C.2．如图，点 C，F 在 BE上，12, BC EF ,请补充一个条件，使△ABC≌DFE,补充的条件是.A DB 12EC F3．在△ ABC和△A B C中，下列条件能判断△ABC和△A B C全等的个数有（）① A AB B ， BC B C② AA ， B B ， AC A C③ A AB B ， AC B C④ AA ， B B ， AB A CA ． 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个4．如图，已知 MB=ND，MBA NDC ，下列条件不能判定是△ABM≌△CDN的是（）A．M NB. AB=CD M NC． AM=CND. AM∥ CN5．如图 2 所示，∠E=∠ F=90°，∠ B=∠ C， AE=AF，给出下列结论：①∠ 1=∠2② BE=CF③△ ACN≌△ ABM④ CD=DN A C B D 其中正确的结论是_________ _________ 。

教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1 边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”. 注：必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在∆ABC和∆ABD中，∠A=∠A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等. 例1 如图，AC=AD,∠CAB=∠DAB,求证:∆ACB≌∆ADB.例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF求证：BF=CE.例3．(1)如图①，根据“SAS”,如果BD=CE， = ，那么即可判定△BDC≌△CEB；(2) 如图②，已知BC=EC，∠BCE=ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为例4.如图，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌，理由是；△ABE≌，理由是．例5．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要找出∠ =∠或∥，就可得到△ABC≌△DEF．例6．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．例7．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E例8．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是：．(不添加辅助线)例2.如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则由“AAS”可直接判定△≌△．例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，那么AE= cm．例4.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．例5．如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．例6．如图，在△ABC中，D是BC边上的点 (不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．(1) 你添加的条件是：；(2) 证明：例7．如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于 ( ) A．DC B．BCC．AB D．AE+AC【基础训练】1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则有△ABC≌_______，理由是_______；且有∠ACB＝_______，AC＝_______．2．如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌_______，理由是_______；△ABF≌_______，理由是_______．3．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_______＝_______，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．4．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，则还需条件( )．A．∠B＝∠D B∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠45．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于( )．A．60°B．50°C．45°D．30°6．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和ACBE全等吗？请说明理由．7．如图，已知AD与BC相交于点O，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：(1)∠C＝∠D；(2)△AOC≌△BOD．8．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．10．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．A BC DEF角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS ”. 例1、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，H 是高AD 和高BE 的交点，试说明BH ＝AC ．例2、如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ． 求BE 的长．例3、如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, CE ⊥AB 于E, AF 平分∠CAB 交CE 于点F, 过F 作FD ∥BC 交AB 于点D. 求证：AC ＝AD.例4、如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；(2)求证：BC＝2AB.边边边三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS”.例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．你能说明∠C=∠A吗? 试一试．例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中．BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．例3．如图，AB=CD ，AE=CF ，BO=DO ，EO=FO ．求证：OC=OA ．斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”。

BcDE1234图2A图1DcBA43FBcDE图3AODcAE FDB CA第8题三角形全等的判定专项练习题一、填空题：1、如图，已知∠3＝∠4，要说明△ABC≌△DCB，（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是；（2）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是；（3）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是。

2、如图，若∠1＝∠2，,3＝∠4，则图中共有全等三角形对，它们分别是3F在一条直线上，AB∥DE，AC DF，AC＝DE，若BE＝3cm，则CF＝4、若DEFABC∆≅∆，△DEF周长为28 cm，DE=9 cm，EF=12 cm，则AB= ，BC=5、已知DEFABC∆≅∆，∠A=52°，∠B=31°，ED=10，那么∠F= ，AB=6、如图，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，可以推出= ，然后加上条件AB=DE和可得到DEFABC∆≅∆，根据是7、如图，△ABD≌△ACD，AD、BC交于点D，则∠ABD= .84，则△≌△，根据是9、如图，∠xoy，分别在ox，oy上截取OA＝OB，OC＝OD。

连AD、BC相交于E点。

则射线OE与∠xoy的关系为。

10、如图，AB＝CD，AD＝CB，O为AC上一点，过O任作直线EF分别交AD、BC于E、F，要使BE＝FD,则应满足的条件是。

11、等边△ABC中，D、E为BC、AC上两点，且BD＝CE，连AD、BE交于O，则∠DOE＝ .二、选择题：12、已知△ABC≌△DEF，若∠A＝500，∠C＝300，则∠E的度数为（）A、300B、500C、600D、100013、如图，若AC＝BD，AB＝DC，则图中全等三角形的对数是（）A、1对B、2对C、3对D、4对14、如图，在△ABC中，AD是△BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F,下面给出四个结论：①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD⊥BC；④BD＝CD，其中正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个第6题CDE第7题AB CD第11题第10题第9题第1题第2题第3题15、下列说法正确的是（）⑴形状相同的两个图形是全等形⑵对应角相等的两个三角形是全等形⑶全等三角形的面积相等⑷若DEFABC∆≅∆，MNPDEF∆≅∆，则MNPABC∆≅∆A、0个B、1个C、2个D、3个16、若BCDABC∆≅∆，AB=6cm，BD=7cm，AD=4cm，那么BC的长为（）A、6 cmB、5 cmC、4cmD、不能确定17、若AD=BC，∠A=∠B，直接能利用“SAS”证得△ADF ≌△BCE的条件是（）A、AE=BFB、DF=CEC、AF=BED、∠CEB=∠DFA18、下列能够确定△ABC的形状和大小的是（）A、AB=4，BC=5，∠C=60°B、AB=6，∠C=60°，∠B=70°C、∠C=60°，∠B=70°，∠A=50°D、AB=4，BC=5，CA=1019、如图所示，已知OA=OB，则再加上下列哪个条件后，不能．．判断△AOC≌△BOD的是（）A、∠A=∠B B、∠C=∠DC、AC=BDD、OC=OD20、如图所示，已知AB=AC，BD=CE，则图中共有（）组全等三角形A、4B、5C、6D、721、以下能够判定两个直角三角形全等的情况有（）⑴两个锐角和一个锐角的对边对应相等⑵⑶一个锐角和它的对边对应相等⑷两条直角边对应相等⑸两边对应相等⑹斜边和一条直角边相等A、3B、4C、5D、622、如图，A在DE上，F在DC上，且∠1＝∠2＝∠3，AC＝CE，则DE的等于（）A.DCB.BCC.ABD.123、下列几个命题中正确的个数有（）①全等三角形对应边高线相等②两边和其中一边上的高线对应的两个三角形全等③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等④两边上的高对应相等的两个三角形全等A.1个B.2个C.3个D.4个24、△ABC中，AB＝AC，E在BC上，D在AE上。