全等三角形的性质和判定的综合PPT精选文档
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三角形全等的判定ppt
边角边定理
两边对应相等，且夹角也相等的两 个三角形全等。
角边角定理
两角对应相等，且夹边也相等的两 个三角形全等。
角角边定理
两角对应相等，且另一组对应角也 相等的两个三角形全等。
运用全等解决实际问题
利用全等解决测量问题
通过测量三角形各边的长度和角度，可以计算出未知量，如 高度、角度等。
利用全等解决设计问题
角边角定理（ASA）
总结词
两角对应相等且夹边相等的两个三角形全等。
详细描述
角边角定理也是三角形全等的判定方法之一。它表明只要两个三角形的两个角对 应相等，并且这两个角所夹的边也相等，那么这两个三角形就全等。
角角边定理（AAS）
总结词
两角对应相等且一边相等的两个三角形全等。
详细描述
角角边定理是三角形全等的重要判定方法之一。它表明只要两个三角形的两 个角对应相等，并且其中一个角所对应的一条边也相等，那么这两个三角形 就全等。
随着科学技术的发展，全等三角形的判定方法将 会在更多的领域得到应用和发展。
THANKS
谢谢您的观看
结论
全文总结
01
本文介绍了三角形全等的概念和重要性，并详细阐述了三角形 全等的判定方法。
02
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过对比不同判定方法的优缺点，总结了不同情况下应选择的
判定方法。
重点强调了全等三角形的性质和应用，为解决实际问题提供了
03
基础和保障。
对未来学习的建议
建议学习者在学习本部分内容之前，先了解全 等图形的概念及作用，以便更好地理解全等三 角形的判定方法。
04
与三角形全等相关的定理和推论
重要的定理和推论
SAS定理
全等三角形的性质和判定的综合PPT精选文档
6．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC＞2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 解 ： (1) 延 长 AD 至 点 E ， 使 DE ＝ AD ， 连 接 BE ， 在 △ ACD 和 △ EBD 中 ， AD ＝ ED ， ∠ ADC ＝ ∠ BDE ， CD ＝ BD ， ∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴BE＝AC，∵AB＋BE＞AE，∴AB＋ AC＞2AD (2)由三角形三边关系得AB－BE＜2AD＜AB＋BE， ∴5－3＜2AD＜5＋3，∴1＜AD＜4
∠FGD，即DG平分∠AGF
三、动态中的全等三角形
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
数量关系．(只写结论)
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
全等三角形判定ppt课件
若两个三角形全等，则它们的周长也 相等。
对应角相等
在全等三角形中，任意两个对应 的角都相等。
若两个三角形全等，则它们的内 角和也相等，且均为180度。
可以通过测量两个三角形的三个 内角来判断它们是否全等。
面积相等
若两个三角形全等，则它们的面积也相等。 可以通过计算两个三角形的面积来判断它们是否全等。
1 2
定义
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
图形语言
若a=a'，∠B=∠B'，b=b'，则⊿ABC≌⊿A'B'C'。
3
符号语言
∵a=a'，∠B=∠B'，b=b'，∴⊿ABC≌⊿A'B'C'（ SAS）。
角边角判定法（ASA）
01
02
03
定义
两角和它们的夹边分别相 等的两个三角形全等。
图形语言
实例1
证明两个三角形全等并求出未知 边长
实例2
利用全等三角形判定方法证明两个 四边形面积相等
实例3
利用全等三角形判定方法解决一个 实际问题，如测量一个不可直接测 量的距离
06
总结与展望
判定全等三角形的方法总结
三边分别相等的两个三角形全等。这是最基本的判定 方法，通过比较三角形的三边长度来确定两个三角形
证明过程
可以通过AAS（角角边）全等条件进行证明，即 如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分 别相等，则这两个三角形全等。这也是一种常用 的全等三角形判定方法。
实际应用举例
在实际应用中，角角边判定法常用于解决与角度 和边长有关的问题。例如，在建筑设计中，如果 需要确保两个建筑结构的角度和边长完全相等， 就可以利用角角边判定法来进行验证。
三角形全等的判定ppt课件
尺
作图区
规
例题解析
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB。
求证：∠A=∠C
D
要证明∠A=∠C,需先证明△ABD和△CDB
全等, 然后由全等三角形的性质定理得到结论.A
证明:
在△ABD和△CDB中, AB=CD (已知) AD=CB (已知) BD=DB (公共边)
∴△ABD≌△CDB (SSS)
B E CF
＿＿AC＿=DF ( 已知 )
BC=＿E＿F (已证 ) ∴△ABC≌△DEFS(SS )
新知探究
如图,在∠CAB中，AF=DE, DF=DE. 求证:AD是∠CAB的角平分线.
C
1 2
A
D B
例题解析
已知∠BAC，用直尺和圆规∠BAC的角平分线AD
C
C
作法:
A
D
B
A
B
1、以点A为圆心，适当的长为半径，与角的两边分别交于E、F两点;
注意几何语言规范
2.三角形具有稳定性。房屋的人字架、大桥的钢梁、 起重机的支架、自行车的车座等，采用三角形结构， 起到稳固的作用。
课堂小结
内容
有三边对应相等的 两个三角形全等
边 边边
应用
思路分析
结合图形找隐含条件和 现有条件，证准备条件
书写步骤 四个步骤
注意
1. 说明两三角形全等所需的条 件应按对应边的顺序书写. 2. 结论中所出现的边必须在所 证明的两个三角形中.
A
D
C
B
E
图1
图2
新知探究
如图 ,把两根木条的一端用螺栓固定在一起,木条可以自由转动.在转 动过程中,连结另两个端点所成的三角形的形状、大小随之改变.如 果把另两个端点用螺栓固定在第三根木条上,那么构成的三角形的形 状、大小就完全确定.
人教版《三角形全等的判定》PPT全文课件
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
0
探究一：探索三角形全等的条件
建立模型，探索发现
只给定一条边相等：
只给定一个角相等：
3cm
3cm
3cm
30°
30°
30°
满足一个条件相等时，两个三角形不一定全等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
0
探究一：探索三角形全等的条件
问题：两个三角形满足六个条件中的两个条件，两个三角形全等吗？两个条件有几种情况?
证明：连接AC，
【解题过程】
如图, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, 求证:∠B=∠D.
∴∠B=∠D．(全等三角形对应角相等)
【思路点拨】先连接AC, 由于AB=AD, CB=CD, AC=AC, 利用SSS可证△ABC≌△ADC, 于是∠B=∠D. 要求学生从“形”思维到“质”的思维飞跃, 实现将“文字语言”, “图形语言”转化为“符号语言”.
∥
∵BC=DE, ∴BC+CD=DE+CD. 即BD=CE.
【数学思想】 数形结合思想，分类讨论思想.
∴ ∠ADB＝∠FEC，AD=EF (全等三角形对应角相等) ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)
在△ABD和△FCE中
∴△ABD≌△FCE (SSS).
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例4
0
探究三：利用三角形全等的判定“SSS”解决问题
△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，请问AD⊥BC吗？请说明理由．
在△ABD和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
0
探究一：探索三角形全等的条件
建立模型，探索发现
只给定一条边相等：
只给定一个角相等：
3cm
3cm
3cm
30°
30°
30°
满足一个条件相等时，两个三角形不一定全等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
0
探究一：探索三角形全等的条件
问题：两个三角形满足六个条件中的两个条件，两个三角形全等吗？两个条件有几种情况?
证明：连接AC，
【解题过程】
如图, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, 求证:∠B=∠D.
∴∠B=∠D．(全等三角形对应角相等)
【思路点拨】先连接AC, 由于AB=AD, CB=CD, AC=AC, 利用SSS可证△ABC≌△ADC, 于是∠B=∠D. 要求学生从“形”思维到“质”的思维飞跃, 实现将“文字语言”, “图形语言”转化为“符号语言”.
∥
∵BC=DE, ∴BC+CD=DE+CD. 即BD=CE.
【数学思想】 数形结合思想，分类讨论思想.
∴ ∠ADB＝∠FEC，AD=EF (全等三角形对应角相等) ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)
在△ABD和△FCE中
∴△ABD≌△FCE (SSS).
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例4
0
探究三：利用三角形全等的判定“SSS”解决问题
△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，请问AD⊥BC吗？请说明理由．
在△ABD和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
《全等三角形》PPT优秀课件
全等三角形
-.
学习目标
1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.（重点） 2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等.（难点） 3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.（难点）
情境导入
观察下列图形，你有什么发现？
这每些个形图状Байду номын сангаас、中大都小存相在同形的 图状形、放大在小一相起同能的够图完形全。
角形全等吗？
A
M
E
D
A
B
FC
N
AB
C
B
C
全等
D
合作探究
归纳总结： 全等变化：
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置 变化了,但形状和 大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的两个图形 _全＿等.
全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
合作探究
全等的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
重合吗？
ppt模板： . /moban/
ppt素材： . /sucai/
ppt背景： . /beijing/
ppt图表： . /tubiao/
ppt下载： . /xiazai/
ppt教程： . /powerpoint/
资料下载： . /ziliao/
范文下载： . /fanwen/
试卷下载： . /shiti/
小试牛刀
4、图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， 求∠E的度数和CF的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°， ∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， ∴∠E＝∠B＝50°，BC＝EF＝7， ∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
-.
学习目标
1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质.（重点） 2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等.（难点） 3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.（难点）
情境导入
观察下列图形，你有什么发现？
这每些个形图状Байду номын сангаас、中大都小存相在同形的 图状形、放大在小一相起同能的够图完形全。
角形全等吗？
A
M
E
D
A
B
FC
N
AB
C
B
C
全等
D
合作探究
归纳总结： 全等变化：
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置 变化了,但形状和 大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的两个图形 _全＿等.
全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
合作探究
全等的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
重合吗？
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试卷下载： . /shiti/
小试牛刀
4、图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， 求∠E的度数和CF的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°， ∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， ∴∠E＝∠B＝50°，BC＝EF＝7， ∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
全等三角形ppt
全等三角形是几何 证明中的重要工具 。
两个三角形全等时 ，它们的对应边和 对应角都相等。
在代数中的应用
全等三角形可以用来证明代数 恒等式。
可以利用全等三角形的性质来 解方程。
全等三角形的证明方法在代数 中也有着广泛的应用。
在生活中的应用
1
全等三角形的证明方法在生活中的应用非常广 泛。
2
例如，在建筑、工程和设计中需要使用全等三 角形的证明方法。
证明方法
SSS（边边边定理）和AAA（角角角定理）。
THANK YOU.
3
全等三角形的证明方法也可以用于解决日常生 活中的问题。
05
全等三角形的拓展
黄金三角形
特点
两条腰的长度相等，两个底角分别为36度和36度。
证明方法
SSS（边边边定理）。
等腰直角三角形
特点
有一个角是直角，两条腰的长度相等。
证明方法
ASA（角边角定理）。
等边三角形
特点
三个角都相等，三条边都相等。
2023
全等三角形ppt
目录
• 全等三角形的定义和性质 • 全等三角形的证明方法 • 全等三角形的练习题 • 全等三角形的应用 • 全等三角形的拓展
01
全等三角形的定义和性质
定义
两个三角形全等是指它们能够完全重合，即三个内角相等且三条边相等。 全等三角形的对应边相等，对应角也相等。
性质
全等三角形的对应边上的高、中线、角平分线也分别相等。 全等三角形的周长、面积分别相等。
题目2
两个三角形全等，其中一个三角形三个角分别为30度、60度和90度，另一个三角形两个角相等，另一个角是多少度？
证明题
总结词
完整版三角形全等的判定ppt课件
12.5 三角形全等的判定
初二（5、6）班
1
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
B
CE
F
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
40
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
A
B
1
C
2
E
D
41
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC（已知），
(4) 两角一边 ?
27
3.角边角公理(ASA)：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简 写成“角边角”或“ASA ”
A
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
B
∠A =∠A′
AB = A′B′
∠B =∠B′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）． B′
C A′
C′
28
4.角角边公理(AAS)：
AB =AC ，
∵ BD =CD ， B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
32
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：
初二（5、6）班
1
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
B
CE
F
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
40
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
A
B
1
C
2
E
D
41
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC（已知），
(4) 两角一边 ?
27
3.角边角公理(ASA)：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简 写成“角边角”或“ASA ”
A
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
B
∠A =∠A′
AB = A′B′
∠B =∠B′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）． B′
C A′
C′
28
4.角角边公理(AAS)：
AB =AC ，
∵ BD =CD ， B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
32
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：
《全等三角形》_PPT
《全等三角形》_PPT《全等三角形》＿PPT全等三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它不仅是几何学习的基础，也是解决许多实际问题的有力工具。
在这个 PPT 中，我们将深入探讨全等三角形的定义、性质、判定方法以及应用。
一、全等三角形的定义全等三角形是指能够完全重合的两个三角形。
如果两个三角形的三条边及三个角都对应相等，那么这两个三角形就是全等三角形。
为了更直观地理解全等三角形的定义，我们可以通过实际操作来感受。
比如，用硬纸板剪出两个完全相同的三角形，将它们叠放在一起，可以发现它们能够完全重合。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果两个三角形全等，那么它们对应的边长度是相等的。
例如，若△ABC 与△DEF 全等，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝DF。
2、全等三角形的对应角相等同样，如果两个三角形全等，它们对应的角大小也是相等的。
比如，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的周长相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也必然相等。
4、全等三角形的面积相等由于全等三角形的形状和大小完全相同，所以它们所占据的空间大小（即面积）也是相等的。
三、全等三角形的判定方法1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
5、 RHS（直角、斜边、边）对于两个直角三角形，如果它们的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
四、全等三角形的应用1、测量在实际生活中，当我们无法直接测量某些长度或角度时，可以通过构造全等三角形来间接测量。
例如，要测量池塘两端 A、B 的距离，可以在池塘外找一个能够直接到达 A 和 B 点的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD ＝ AC；连接BC 并延长到 E，使 CE ＝ BC，然后测量 DE 的长度，就等于 AB 的长度。
《全等三角形》ppt课件
《全等三角形》ppt课件•全等三角形基本概念与性质•判定全等三角形方法探讨•辅助线在证明全等过程中作用•相似三角形与全等三角形关系探讨目录•生活中全等三角形应用举例•总结回顾与拓展延伸全等三角形基本概念与性质全等三角形定义及判定方法定义SSS（边边边）SAS（边角边）HL（斜边、直角边）ASA（角边角）AAS（角角边）对应边相等对应角相等对应关系确定030201对应边、对应角关系全等三角形性质总结判定全等三角形方法探讨SSS判定法定义应用举例注意事项应用举例SAS判定法定义在证明两个三角形全等时，若已知两边及夹角相等，则可直接应用SAS判定法。
注意事项ASA判定法定义AAS判定法定义比较分析案例分析01020304ASA和AAS判定法比较与案例分析辅助线在证明全等过程中作用构造辅助线策略与技巧分享观察图形特征在证明全等三角形时，首先要仔细观察图形，分析已知条件和目标结论，从而确定需要构造的辅助线类型。
利用基本图形熟悉并掌握一些基本图形（如角平分线、中线、高线等）的性质，可以帮助我们更快地构造出合适的辅助线。
构造平行线或垂直线根据题目条件，有时需要构造平行线或垂直线来利用相关性质进行证明。
典型辅助线构造方法剖析角平分线法01中线法02高线法03复杂图形中辅助线应用实例在复杂图形中，有时需要综合运用多种辅助线构造方法才能解决问题。
例如，可以先构造角平分线，再利用中线或高线的性质进行证明。
在一些特殊情况下，可能需要构造多条辅助线才能找到解决问题的突破口。
这时需要仔细分析图形特点，灵活运用所学知识进行构造和证明。
通过学习和掌握典型辅助线的构造方法和应用实例，可以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
相似三角形与全等三角形关系探讨性质面积比等于相似比的平方。
定义：两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
周长比等于相似比；010203040506相似三角形定义及性质回顾相似三角形判定方法简介预备定理判定定理1判定定理2判定定理3相似三角形与全等三角形联系和区别联系区别全等三角形的性质在相似三角形中同全等三角形的性质更为严格和具体，而相似三角形的性质相对较为宽松和生活中全等三角形应用举例建筑设计中全等三角形应用稳定性美学效果美术创作中全等三角形构图技巧平衡感动态感其他领域（如工程、测量）中全等三角形应用工程测量机械设计地图制作总结回顾与拓展延伸全等三角形的判定方法熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL等全等三角形的判定方法。
《三角形全等的判定》全等三角形PPT课件
好的△ ′′′剪下来，放到△ 上，它们全等吗？
画一个△ ′′′，使′′ = ，′’ =
，∠′ = ∠：
（1）画∠′ = ∠；
（2）在射线′上截取′′ = ，在
射线′上截取′′ = ；
（3）连接′′.
【结论】两边和它们的夹角分别相等的三角形全等。也就是说，三角形的两
⫽ .
∠4. 求证：∠5 = ∠6.
∵ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， = ，
根据易证△ ≌△ ，
∴有 = ，
又∵ ∠3 = ∠4， = ，
则可根据判定△ ≌△ ，
故∠5 = ∠6.
知识梳理
例4：如图，、交于点，、为上两点， = ， =
就全等了.如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直
角三角形全等吗？
教学新知
探索5：任意画出一个△，使∠=90°.再画一个 △ ′’’，使
∠′=90°，′′=，′′=.把画好的△′′′剪下来，放
到△上，它们全等吗？
画 一 个 △ ′′′ ， 使 ∠′ = 90° ， ′′ =
求证 = .
∵⊥，⊥
∴∠与∠都是直角
在R △ 和Rt △ 中，
=
=
∴ △ ≌ △ （）
∴ = .
知识梳理
知识点1：“边边边”（或“SSS”）
1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”
两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的.
能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角
形全等呢？
探索1：先任意画出一个△ ABC.再画一个△ A′B′C′，使△ ABC与
△ A′B′C′满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别
相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你
画一个△ ′′′，使′′ = ，′’ =
，∠′ = ∠：
（1）画∠′ = ∠；
（2）在射线′上截取′′ = ，在
射线′上截取′′ = ；
（3）连接′′.
【结论】两边和它们的夹角分别相等的三角形全等。也就是说，三角形的两
⫽ .
∠4. 求证：∠5 = ∠6.
∵ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， = ，
根据易证△ ≌△ ，
∴有 = ，
又∵ ∠3 = ∠4， = ，
则可根据判定△ ≌△ ，
故∠5 = ∠6.
知识梳理
例4：如图，、交于点，、为上两点， = ， =
就全等了.如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直
角三角形全等吗？
教学新知
探索5：任意画出一个△，使∠=90°.再画一个 △ ′’’，使
∠′=90°，′′=，′′=.把画好的△′′′剪下来，放
到△上，它们全等吗？
画 一 个 △ ′′′ ， 使 ∠′ = 90° ， ′′ =
求证 = .
∵⊥，⊥
∴∠与∠都是直角
在R △ 和Rt △ 中，
=
=
∴ △ ≌ △ （）
∴ = .
知识梳理
知识点1：“边边边”（或“SSS”）
1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”
两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的.
能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角
形全等呢？
探索1：先任意画出一个△ ABC.再画一个△ A′B′C′，使△ ABC与
△ A′B′C′满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别
相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你
全等三角形的概念与性质PPT课件
结合2,3两题，说说你是怎样寻找这些对应元素的。 ⑴写出图中相等的线段，相等的角；
相等
全等三角形的对应角有什么关系？ 记作: ∆ABC≌∆A1B1C1
相等
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
∵△ABC≌ △DFE（已知） ∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE （ 全等三角形的对应边相等 ） ∴ ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ F , ∠ C= ∠ E
（1） △ ABE ≌ △ ACF
（2）△ BCE ≌ △ CBF （3）△ BOF ≌ △ COE
5. △ABC≌△FED
⑴写出图中相等的线段，相等的角；
⑵图中线段除相等外，还有什么关系吗？ 请与同伴交流并写出来.
A
D
B
C E
F
感谢观看
O B
③ D
结合2,3两题，说说你是怎样寻找这些对 应元素的。 (1)对应角所对的边是对应边；对应边 所对的角是对应角。
(2)有公共边的，公共边是对应边；有 公共角的，公共角是对应角。
(3)相等的边是
1、如图△ ABD ≌ △CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC=
全等三角形的对应边有什么关系？ 图对指结即 A●(∴写对CA中应出合∠重出应=BAB三 角 下 2合 全 角=,EA3D角所列的等所D两F形对全顶三对=,题B∠的的等点角的C，C位边三叫形边=说AF置是角对的是EE说),是对形应符对A你怎应的顶号应C是=样边对点表边D怎变应示..E样化边,并寻的和指找？对出这应它些角们对的应对元应素顶的点。、对应边、对应角。
其它的对应边有：______ A
E
对应角有：__________
∠BAD=∠CAE吗?为什么?
全等三角形的判定PPT课件共34张
24
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
全等三角形及性质PPT课件
角角边定理
两角和一边对应相等的两个三角 形全等，简称AAS。
若两个三角形有两个角相等，且 其中一个角的对边也相等，则这
两个三角形全等。
举例：若△ABC和△DEF中， ∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则
△ABC≌△DEF。
04
全等三角形与相似三角形关系
相似三角形定义及性质
定义：两个三角形如果它们 的对应角相等，则称这两个
行推导。
全等三角形在几何证明中作用
01
02
03
04
证明线段相等
通过全等三角形的对应边相等 来证明两条线段相等。
证明角相等
通过全等三角形的对应角相等 来证明两个角相等。
证明垂直关系
通过全等三角形的性质来证明 两条直线垂直。
证明平行关系
通过全等三角形的性质来证明 两条直线平行。
典型例题解析
例题1
已知△ABC和△DEF全等，且AB=DE，BC=EF，∠B=∠E。 求证：AC=DF。
HL全等（直角三角形）
在直角三角形中，斜边和一条直 角边分别相等的两个三角形全等 。
典型例题解析
解析
根据SAS全等的判定方法，已知两边和夹角分别相等，因 此可以判定△ABC和△DEF全等。
例2
已知△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD平分∠CAB交BC 于D，DE⊥AB于E，且AB = 6cm，求△DEB的周长。
边角边判定
如果两个多边形的一组对 应边和它们之间的对应角 都相等，则它们是全等的 。
角边角判定
如果两个多边形的一组对 应角和它们之间的夹边都 相等，则它们是全等的。
典型例题解析
1. 例题一
已知两个四边形ABCD和EFGH，其中AB=EF, BC=FG, CD=GH, DA=HE，且∠A=∠E, ∠B=∠F, ∠C=∠G, ∠D=∠H。求证：四边形ABCD与四边形EFGH全等。
14.2三角形全等的判定第6课时灵活运用全等三角形的性质和判定定理 课件(共21张PPT)
在△ABD和△A′B′D′中 ∠B=∠B′(已证) ∠ADB=∠A′D′B′（已证） AB=A′B′（已证） ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS) ∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等）
本题还有更简 便的证法吗？
思考
全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你 能说明其中的道理吗？
∴AE＝AF.
2. 如图，已知 CA = CB，AD = BD， M，N 分别是 CA，CB 的中点.
求证：DM = DN.
C
证明：连接 CD，如图所示.
在△CAD 与△CBD 中， CA = CB ， AD = BD ， CD = CD ，
M
N
D
A
B
∴△CAD≌△CBD (SSS).
∴∠A =∠B. 又 ∵ M，N 分别是 CA，CB 的中点， ∴ AM = BN. 在△AMD 与△BND 中，
2.我们学习了几种证明两个三角形全等的方法？
边角边（SAS）
角边角（ASA）
边边边（SSS）
角角边（AAS）
斜边、直角边（HL）（仅适用于直角三角形）
新知学习 全等三角形的性质和判定定理的综合运用
例1 已知:如图，AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF. 求证：BF=DE.
分析：本题需要两次证明三角形全等，首先证 明△ABC≌△CDA(SSS)，得出∠1=∠2，再由 “边角边”定理证明△DAE≌△BCF，最后证 出BF=DE.
灵活运用全等 三角形的性质和判定定理
八年级上
沪科版
1 学习目标
目
2 新课引入
录
3 新知学习
4 课堂小结
学习目标
1.掌握全等三角形的性质和判定定理． 重点 2.灵活运用全等三角形的性质和判定定理解决相关问题．
三角形全等的判定ppt课件
∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）
5.HL（H.L.） 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知）
BC=B1C1（已证） ∴△ABC≌△A1B1C1（HL）
例题精讲
例：已知:如图，点A，C，B，D在同一条直线上，
AC=BD，AM=CN，BM=DN 求证:AM∥CN，BM∥DN.
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
为BC边的中点，那么图中的全等三角形有哪几对?并选
择一对进行证明
△ABD≌△ACD
证明：∵D为BC边的中点
A
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
E
AB=AC
BD=CD
AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
证明：∵AC=BD ∴AC+CB=BD+BC 即AB=CD
M
N
在△AMB和△CND中 AM=CN
BM=DN
A
C
B
D
AB=CD
∴ △AMB≌△CND（SSS)
∴∠A=∠NCD,∠MBA=∠D ∴AM∥CN，BM∥DN
例：如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，
AE=FC
求证:△ABC≌△FDE.
（2）全等三角形对应角相等
PART II 全等三角形的判定 1.SSS（S.S.S.） 在△ABC与△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知） BC=B1C1（已知） AC=A1C1（已证）
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）
5.HL（H.L.） 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知）
BC=B1C1（已证） ∴△ABC≌△A1B1C1（HL）
例题精讲
例：已知:如图，点A，C，B，D在同一条直线上，
AC=BD，AM=CN，BM=DN 求证:AM∥CN，BM∥DN.
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
为BC边的中点，那么图中的全等三角形有哪几对?并选
择一对进行证明
△ABD≌△ACD
证明：∵D为BC边的中点
A
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
E
AB=AC
BD=CD
AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
证明：∵AC=BD ∴AC+CB=BD+BC 即AB=CD
M
N
在△AMB和△CND中 AM=CN
BM=DN
A
C
B
D
AB=CD
∴ △AMB≌△CND（SSS)
∴∠A=∠NCD,∠MBA=∠D ∴AM∥CN，BM∥DN
例：如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，
AE=FC
求证:△ABC≌△FDE.
（2）全等三角形对应角相等
PART II 全等三角形的判定 1.SSS（S.S.S.） 在△ABC与△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知） BC=B1C1（已知） AC=A1C1（已证）
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）
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八年级上册数学（人教版）
专题训练(一) 全等三角形的性质和判定的综合
一、利用全等三角形解决与线段有关的证明与计算问题 1．如图，AB＝CD，BD＝AC，AB∥CD，求证：AB⊥BC. 解：∵AB＝CD，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)， ∴∠ABC＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB⊥BC
2 ． 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ ABC ＝ 90° ， BD⊥AC ， 且 AE 平 分
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解 ： (1)∵AE 平 分 ∠ DAB ， ∴ ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， ∵ BE 平 分 ∠ CBA ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ CBE ， ∵ AD∥BC ， ∴ ∠ F ＝ ∠ CBE ， ∴∠ABE＝∠F，在△ABE和△AFE中，∵∠ABE＝∠F，∠BAE ＝ ∠ FAE ， AE ＝ AE ， ∴ △ ABE≌△AFE(AAS) (2)∵△ABE≌△AFE，∴BE＝FE，AB＝AF，在△BCE和△FDE 中 ， ∵ ∠ CBE ＝ ∠ F ， BE ＝ FE ， ∠ BEC ＝ ∠ FED ， ∴ △ BCE≌△FDE(ASA) ， ∴ BC ＝ FD ， ∵ AD ＋ DF ＝ AF ， AB ＝ AF，∴AD＋BC＝AB
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
4．如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分 ∠DAB，∠CBA，BE的延长线交AD的：AD＋BC＝AB.
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
∠AFE，∴EF∥BC
3．如图，AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果 AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
解 ： ∵ AD ， AF 分 别 是 两 个 钝 角 △ ABC 和 △ ABE 的 高 ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠ AFB ＝ 90° ， ∵ AD ＝ AF ， AB ＝ AB ， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴DB＝FB，∵AC＝AE，AD＝AF， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴DC＝FE，∴DB－DC＝FB－FE， 即BC＝BE
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是 AC的中点，将一块锐角是45°的直角三角板如图放置，使三角板 斜边的两个端点分别与点A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段 BE和EC的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
6．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC＞2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 解 ： (1) 延 长 AD 至 点 E ， 使 DE ＝ AD ， 连 接 BE ， 在 △ ACD 和 △ EBD 中 ， AD ＝ ED ， ∠ ADC ＝ ∠ BDE ， CD ＝ BD ， ∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴BE＝AC，∵AB＋BE＞AE，∴AB＋ AC＞2AD (2)由三角形三边关系得AB－BE＜2AD＜AB＋BE， ∴5－3＜2AD＜5＋3，∴1＜AD＜4
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
∠BAC，AF＝AB，求证：EF∥BC.
解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，
AE ＝ AE ， ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， AB ＝ AF ， ∴ △ ABE≌△AFE(SAS) ，
∴∠ABE＝∠AFE，又∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°，又
∵BD⊥AC，∴∠BAC＋∠ABE＝90°，∴∠C＝∠ABE，∴∠C＝
专题训练(一) 全等三角形的性质和判定的综合
一、利用全等三角形解决与线段有关的证明与计算问题 1．如图，AB＝CD，BD＝AC，AB∥CD，求证：AB⊥BC. 解：∵AB＝CD，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)， ∴∠ABC＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB⊥BC
2 ． 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ ABC ＝ 90° ， BD⊥AC ， 且 AE 平 分
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
解 ： (1)∵AE 平 分 ∠ DAB ， ∴ ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， ∵ BE 平 分 ∠ CBA ， ∴ ∠ ABE ＝ ∠ CBE ， ∵ AD∥BC ， ∴ ∠ F ＝ ∠ CBE ， ∴∠ABE＝∠F，在△ABE和△AFE中，∵∠ABE＝∠F，∠BAE ＝ ∠ FAE ， AE ＝ AE ， ∴ △ ABE≌△AFE(AAS) (2)∵△ABE≌△AFE，∴BE＝FE，AB＝AF，在△BCE和△FDE 中 ， ∵ ∠ CBE ＝ ∠ F ， BE ＝ FE ， ∠ BEC ＝ ∠ FED ， ∴ △ BCE≌△FDE(ASA) ， ∴ BC ＝ FD ， ∵ AD ＋ DF ＝ AF ， AB ＝ AF，∴AD＋BC＝AB
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
4．如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分 ∠DAB，∠CBA，BE的延长线交AD的：AD＋BC＝AB.
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
∠AFE，∴EF∥BC
3．如图，AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果 AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
解 ： ∵ AD ， AF 分 别 是 两 个 钝 角 △ ABC 和 △ ABE 的 高 ， ∴ ∠ ADB ＝ ∠ AFB ＝ 90° ， ∵ AD ＝ AF ， AB ＝ AB ， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴DB＝FB，∵AC＝AE，AD＝AF， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴DC＝FE，∴DB－DC＝FB－FE， 即BC＝BE
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是 AC的中点，将一块锐角是45°的直角三角板如图放置，使三角板 斜边的两个端点分别与点A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段 BE和EC的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
6．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC＞2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 解 ： (1) 延 长 AD 至 点 E ， 使 DE ＝ AD ， 连 接 BE ， 在 △ ACD 和 △ EBD 中 ， AD ＝ ED ， ∠ ADC ＝ ∠ BDE ， CD ＝ BD ， ∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴BE＝AC，∵AB＋BE＞AE，∴AB＋ AC＞2AD (2)由三角形三边关系得AB－BE＜2AD＜AB＋BE， ∴5－3＜2AD＜5＋3，∴1＜AD＜4
解：(1)∵正五边形 ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM ＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS) (2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN ＝∠ABC＝（5－2）5×180°＝108°，即∠APN 的度数为 108°
∠BAC，AF＝AB，求证：EF∥BC.
解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，
AE ＝ AE ， ∠ BAE ＝ ∠ FAE ， AB ＝ AF ， ∴ △ ABE≌△AFE(SAS) ，
∴∠ABE＝∠AFE，又∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°，又
∵BD⊥AC，∴∠BAC＋∠ABE＝90°，∴∠C＝∠ABE，∴∠C＝