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非正弦周期信号

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非正弦周期信号及其分解

非正弦周期信号及其分解

k =1 ∞
∑ = a0 + (ak cos kωt + bk sin kωt)
∫ bk
=
2 T
T
u(t) sin kωtdt
0
k =1
当k为奇数时： bk
=
4
kπ
∫ ∫ =
2(
1
sin kπtdt +
2
− sin kπtdt)
20
1
当k为偶数时： bk = 0
= − cos kπt 1 + cos kπt 2 = 2(1− cos kπ )
k =1
当k为奇数时： bk
=
4
kπ
当k为偶数时： bk = 0
u(t) = 4 (sin πt + 1 sin 3πt + 1 sin 5πt + ⋅⋅⋅ + 1 sin kπt + ⋅⋅⋅)
π
3
5
k
k为奇数
图示为周期电压u(t) 的一段波形，求u(t)的傅里叶级数。
u(V ) 1
基波+三次+ 五次谐波分量
∑ ∑ f (t) = A0 + Akm sin(kωt +θk ) = a0 + (ak cos kωt + bk sin kωt)
k =1
k =1
a0 = A0
ak = Akm sinθk bk = Akm cosθk


A0 Akm
= a0 =
ak2
+
bk2

θ

k
=
arctan
k =1
k =1
T
∫0 f (t) sin kωtdt

第十二章 非正弦周期电流电路

第十二章 非正弦周期电流电路
IS 0
is1
is3
华东理工大学 上 页 下
页
§12-3 有效值、平均值和平均功率
一. 有效值
根据周期量有效值的定义, 为其方均根值:
I
1 T
0
T
[it ] dt U
2
1 T
0
T
[u t ]2 dt
it I 0 I km cos(k1t k )
k 1
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1

（三角函数的正交性）
U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
Um Im 式中 : U k , Ik , k uk ik , k 1,2, 华东理工大学 2 2
0
ui
t
+ uo
③非正弦激励下的线性电路
0
－
+
0
t
ui
t
uo
0
t
页
－ 华东理工大学 上 页 下
§12-2 周期函数分解为傅里叶级数 (谐波分析) 一. 数学分析
设非正弦周期电流i(t)=i(t+T) ,当满足狄里赫利条件 ( ① i(t)在一周期内连续or有有限多个第一类间断点; ② i(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值 )时, 可展成收敛的傅里叶级数：
I av
1 T i dt 0 T
例：正弦电流的平均值 为 1 T 2 I av 0 I m cost dt I M 0.898 I M 0.637 I T 恒定分量（直流分量） 磁电系仪表：
电磁系仪表： 全波整流仪表：

非正弦周期信号电路

非正弦周期信号电路
瞬态分析主要采用时域分析方法，通过建立电路的微分方程或差分方程来求解。
瞬态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下的动态响应过程，包括电压、 电流的峰值、相位、波形等参数。
稳态分析
稳态分析是研究非正弦周期信号作用于电路时，电路 达到稳态后电压和电流的平均值或有效值。
稳态分析主要采用频域分析方法，通过将非正弦周期 信号进行傅里叶级数展开，转化为多个正弦波成分，
非正弦周期信号电路可以用于设计音频功率 放大器，将微弱的音频信号放大到足够的功 率以驱动扬声器或其他音频输出设备。
电力电子系统
逆变器
01
非正弦周期信号电路可以用于设计逆变器，将直流电转换为交
流电，以驱动电机、照明和加热等设备。
整流器
02
非正弦周期信号电路也可以用于设计整流器，将交流电转换为
直流电，以提供稳定的直流电源。
再对每个正弦波成分进行单独分析。
稳态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下 的稳态工作状态，包括平均功率、效率等参数。
频率响应分析
1
频率响应分析是研究非正弦周期信号作用于电路 时，电路在不同频率下的响应特性。
2
频率响应分析主要采用频域分析方法，通过测量 电路在不同频率下的输入输出特性，绘制频率响 应曲线。
生物医学工程
在生物医学工程中，非正 弦周期信号用于刺激或记 录生物体的电生理信号。
02
非正弦周期信号电路的基本 元件
电感元件
电感元件是利用电磁感应原理制 成的元件，其基本特性是阻碍电
流的变化。
当电感元件的电流发生变化时， 会在其周围产生磁场，储存磁场
能量。
电感元件的感抗与频率成正比， 因此对于非正弦周期信号，电感 元件会对其产生较大的阻碍作用。

非正弦周期信号汇总

非正弦周期信号汇总

第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱重点：1. 非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值；2. 非正弦周期电流电路的平均功率3. 非正弦周期电流电路的计算方法难点：1. 叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用2. 非正弦周期电流电路功率的计算章与其它章节的联系：三相电路可以看成是三个同频率正弦电源作用下的正弦电流电路，对它的计算，第九章正弦电流电路中所阐述的方法完全适用。

§13.1 非正弦周期信号生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。

在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。

非正弦周期交流信号的特点：1) 不是正弦波2) 按周期规律变化，满足：（k=0，1，2…..）式中T 为周期。

图 13.1 为一些典型的非正弦周期信号。

图13.1（a）半波整流波形（b）锯齿波（c）方波本章主要讨论非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。

采用谐波分析法，实质上就是通过应用数学中傅里叶级数展开方法，将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量，最后，把所得分量按时域形式叠加得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。

§13.2 周期函数分解为付里叶级数电工技术中所遇到的非正弦周期电流、电压信号多能满足展开成傅里叶级数的条件，因而能分解成如下傅里叶级数形式：也可表示成：以上两种表示式中系数之间关系为：上述系数可按下列公式计算：（k=1，2，3……）求出a0、a k、b k便可得到原函数f(t) 的展开式。

注意：非正弦周期电流、电压信号分解成傅里叶级数的关键在于求出系数a0、ak、bk ，可以利用函数的某种对称性判断它包含哪些谐波分量及不包含哪些谐波分量，可使系数的确定简化，给计算和分析将带来很大的方便。

13.1 非正弦周期信号

13.1 非正弦周期信号

不是按正弦规律变化的信号
i
O
π
2π
ωt
图中电流是正弦信号还是非正弦信号？
非正弦信号
模拟ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ子中常用的放大电路
+EC uC
UC0
uC
uC波形可以分解
UC0
uC
’
uC’’ +
二、常见的非正弦信号
1、实验室常用的信号发生器 可以产生正弦波，方波，三角波和锯齿波；
i i
O
t
O
t
方波电流
锯齿波
2、整流分半波整流和全波整流 激励是正弦电压， 电路元件是非线性元件二极管 整流电压是非正弦量。
三、非正弦信号的分类
1、非正弦周期信号 f(t)=f(t+kT) k=0 , ±1 , ±2,… 2、非正弦非周期信号 不是按正弦规律变化的非周期信号
四、谐波分析法
1. 应用傅里叶级数展开方法，将非正弦周期激励 电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正 弦量之和； 2. 根据叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作 用下在电路中产生的同频率正弦电流分量和电 压分量； 3. 把所得分量按时域形式叠加。
u u
O
T/2
T
t
O
T/2
T
t
半波整流
全波整流
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
3、无线电工程和其他电子工程中 由语言、音乐、图象等转换过来的电信号，都 不是正弦信号； 4、非电量测量技术中 由非电量的变化变换而得的电信号随时间而变 化的规律，也是非正弦的； 5、自动控制和电子计算机中 使用的脉冲信号都不是正弦信号。
3无线电工程和其他电子工程中1非正弦周期信号ftftkt2非正弦非周期信号不是按正弦规律变化的非周期信号三非正弦信号的分类四谐波分析法应用傅里叶级数展开方法将非正弦周期激励电压电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和

非正弦周期信号的电路

非正弦周期信号的电路

R=200
u1
u1
C
50f
u2
240V
t
解： （1）计算直流分量作用的结果（C开路）
U20=240V
（2）计算100HZ，100V交流分量作用的结果；
10
u11 100 2 sin2 100tV
XC
1
2fC
1
2 100 50106
32
Z1
R
1
jC
200
j32 202.5 9o
•
U 21
•
U11•
jXC
Z1
1000o ( j32) 202.5 9o
16 81o
11
u21 16 2 sin(2 100t 81o )
（3）将两结果叠加（瞬时值叠加）
u2 U20 u21
24016 2 sin(2 100t 81o )V
12
非正弦周期信号的电路
非正弦周期信号 不是正弦波 按周期规律变化
T
t
t
T
T
t
矩形波
全波整流波形
锯齿波
2
1.1 非正弦周期量的分解
设频率为 的非正弦周期电压u( t ) (满足狄里赫利
条件) ，可分解为傅立叶级数（可查手册）。
u(t ) U0 U1m sin(t 1 )
直流分量
U2m sin( 2t 2 )
基波（和原 函数同频）
二次谐波
U3m sin( 3t 3 ) （2倍频）
高次谐波
u(t ) U0 Ukm sin(kt k )
K 1
i(t ) I0 Ikm sin( kt k )
K 1
3
例12 周期性方波的分解

第十三章_非正弦周期信号(课件)


T /2
0 Imdt

Im 2
谐波分量： bK
1

2
0 iS (
t ) sin k
td (
t)

Im

(
1 k
cos
k
t)

0


0 2Im
k
K为偶数 K为奇数
ak

2

2
0 iS (t) cos ktd (t)

2Im


1 k
sin
kt

0

0
is 的展开式为：

(sint

1 sin3t
3

1 sin5
5
t
)
IS0
is1
is3
is5
二、 波形的对称性与谐波成分的关系 谐波分析一般都是根据已知波形来进行的，而非正弦周期
信号的波形本身就已经决定了该非正弦波所含有的谐波。
奇函数：其特点是波形对原点对称。奇函数的傅里叶级数中只含 有sin项，不存在直流和偶次谐波。
偶函数：特点是波形对纵轴对称。偶函数的傅里叶级数表达式中 只含有cos项，一般还包含直流成分。
奇谐波函数：特点是波形的后半周与前半周具有镜像对称性，也 称为奇次对称性，奇谐波函数的傅里叶级数表达式 中只含有奇次谐波。
偶谐波函数：特点是波形的前、后半周变化相同。也称为偶次对 称性，偶谐波函数的傅里叶级数表达式中一般只包 含偶次谐波。
t
T
二、非正弦周期信号
定义 随时间按非正弦规律变化的周期性电压和电流。
u(t)
0
t
上图所示的周期性方波电压，是一个典型的非正弦周期信号 波，它实际上可以看作是一系列大小不同的、频率成整数倍 的正弦波的合成波。

非正弦周期信号有效值、平均值、功率

非正弦周期信号有效值、平均值、功率
1 ．有效值：
（1 ）周期量有效值的定义：
留意：对于非正弦周期信号，其最大值与有效值之间并无关系。

（2 ）非正弦周期量：
函数
则有效值为：
利用三角函数的正交性得：
同理非正弦周期电流的有效值为：
结论：周期函数的有效值为直流重量及各次谐波重量有效值平方和的方根。

2 ．平均值：
非正弦周期性函数的平均值为直流重量：
明显正弦周期性函数的平均值为0
3 ．功率：
如图所示，所示一端口N 的端口电压u ( t ) 和电流i ( t ) 的关联参考方向下，一端口电路汲取的瞬时功率和平均功率为
一端口电路的端口电压u ( t ) 和电流i ( t ) 均为非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为
在图示关联参考方向下，一端口电路汲取的平均功率
将上式进行积分，并利用三角函数的正交性，得
上式表明，不同频率的电压与电流只构成瞬时功率，不能构成平均功率，只有同频率的电压与电流才能构成平均功率；电路的平均功率等于直流重量和各次谐波重量各自产生的平均功率之和，即平均功率守恒。

即：平均功率＝直流重量的功率＋各次谐波的平均功率。

10.1 非正弦周期信号

第十单元非正弦周期电流电路
10.1非正弦周期信号
10.2傅立叶级数
10.3有效值和平均值
10.4平均功率
10.5非正弦周期电流电路的计算
第 1 页
10.1非正弦周期信号
在实际工程中除了正弦交流信号，在电气工程、电子技术、自动
控制等领域，还会出现周期性的非正弦波形的信号。

例如：半波整流电路的输出信号
第 2 页
脉冲信号
t
T
第 3 页
第
4 页
脉冲宽度调制（PWM)技术
通过调整脉冲宽度改变输出电压或输出频率等等，从而得到各种输出波形。

带很多“毛刺”的电流波形
第 5 页有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
在电力系统中当含有非线性负载时，导致电压与电流不是线性关系，若施加正弦交流电压产生的是非正弦周期电流。

第 6 页
第7 页。

13非正弦周期信号


1、发电机(generator)发出的电压波形，不可能是完全正弦的。 u(t)
t
2、大量脉冲信号均为周期性非正弦信号 f(t) f(t)
f(t)
…
0 尖脉冲

t
0

t
锯齿波
t
0
方波
2、 当电路中存在非线性元件时也会产生非正弦电压、电流。
二极管整流电路 u2uS + _
uS
D
+
R
_
u2
t 0

T
0
f (t ) dt
2、周期函数傅里叶级数展开式为
a0 f (t ) (a1 cos t b1 sin t ) (a2 cos 2 t b2 sin 2 t ) 2 a0 [ak cos k t bk sin k t ] 2 k 1
1 T 2. I 0 dt I 02 T 0
（2）
2 Imk cos2 (kt k ) (k 1, 2,3,)各次谐波分量平方
2 I mk 1 T 2 I mk cos 2 (k t k )dt I k2 T 0 2
（3）
2I0 Imk cos(kt k ) (k 1, 2,3,) 直流分量与各
T T E ( 2 0) ( E )(T 2 ) 0
ak

1
2
0
f ( t ) cos kt d(t )
2 1 E cos kt d(t ) ( E ) cos kt d(t ) 0
1 E E 2 si nkt 0 si nkt k k E si nk si n0 (si n2k si nk ) k 0
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12.3.2 非正弦周期量的平均功率
非正弦周期量通过负载时也要消耗功率，此功率 与非正弦量的各次谐波有关。即：
P U 0 I 0 U1I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 P0 P1 P2
显然，只有同频率的正弦谐波电压和电流才能构 成平均功率。
已知有源二端网络的端口电压和电流分别为：
参看课本上P132页中的表9.1，表中所示的一些典 型非正弦周期信号的的傅里叶级数表达式表明，它们 也都是由一系列正弦谐波合成而得。所不同的是，不 同的非正弦周期信号波，它们各自所包含的谐波成分 各不相同。
寻找一个已知非正弦周期波所包含的谐波，并把 它们用傅里叶级数进行表达的过程，我们称为谐波分 析。
u(t
)

U1mCost

1 3
U1mCos3t

1 5
U1mCos5t

L
谐波展开式从数学的概念上可称为非正弦周期信 号的傅里叶级数表达式。
u(t) 4A (Cost 1 Cos3t 1 Cos5t 1 Cos7t L )

3
5
7
傅里叶级数表达式中的A是方波的最大值。
严重，取决于它们波形的平滑性。即愈不平滑的波形 所含有的高次谐波愈严重。
12.3 非正弦周期信号的有效值、
平均值和平均功率
学习目标：熟悉非正弦波有效值的计算式，了解它与
正弦量有效值的区别和联系；掌握非正弦
量平均值的含义及平均功率的计算。
12.3.1 非正弦周期量的有效值和平均值
非正弦周期量的有效值定义与正弦交流电有效值
该谐波的振幅大小。显
U1m
然，频谱图可以非常直
5
观地表示出非正弦周期 信号所包含的谐波以及
各次谐波所占的“比重”
5
如果把振幅频谱的顶端用虚线连接起来，则该虚 线就称为振幅频谱的包络线。
12.2.3 波形的对称性与谐波成分的关系
观察表9.1中各波形可发现：方波、等腰三角波只 含有sin项的奇次谐波；锯齿波和全波整流都含有直流 成分，且锯齿波还包含sin项的各偶次谐波，全波整流 则包含cos项的各偶次谐波……。
12.2.2 非正弦周期信号的频谱
非正弦周期信号各次谐波振幅分别用线段表示在座 标系中，所构成的图形称为振幅频谱图。
非正弦周期信号用傅里叶级数表达式表示还不够
直观，而用频谱图进行表示时，各次谐波分量的相对
大小就会一目了然。
4A


U1m
U1m
3
0 3
图中每一条谱线代
表一个相应频率的谐波
分量，谱线的高度表示
2
2
P0 P1 P2 50 19.3 9.2 78.5W
12.4 非正弦周期信号作用下 的线性电路分析
学习目标：了解在一定条件下，非正弦周期信号作用
下的线性电路的分析方法，掌握较为简单 的非正弦周期电流电路的计算。
非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤
1.将电路中的激励展开成傅里叶级数表达式；
试用叠加定理求稳态电压u(t)。
解：1.计算 uS(t) 20 cos(100 t 10)V 单独作用时产生
的电压 u' (t)
将电流源iS(t)以开路代替，得到图(b)所示相量模型，
由此求得
U'

5
j5 j5
US

5
j5 j5
10
210 1055V
由相量写出相应的瞬时值表达式
u [50 85 sin(t 30) 56.6 sin(2t 10)V
i [1 0.707 sin(t 20) 0.424 sin(2t 50)A
求电路所消耗的平均功率。
P 50 1 85 0.707 cos[30 (20)] 56.6 0.404 cos(10 50)
奇谐波函数：特点是波形的后半周与前半周具有镜像 对称性，也称为奇次对称性，奇谐波函 数的傅里叶级数表达式中只含有奇次谐 波。
偶谐波函数：特点是波形的前、后半周变化相同。也 称为偶次对称性，偶谐波函数的傅里叶 级数表达式中一般只包含偶次谐波。
零次谐波： 非正弦周期波中的直流分量称为零次谐 波。偶次谐波中一般包含零次谐波。
第十二章 非正弦周期电流电路
12.1非正 弦
周期信号
12.4 非正弦周期 信号作用下的 线性电路分析
12.2 谐波 分析和 频谱
12.3 非正弦 周期信号的 有效值、平均值 和平均功率
本章学习目的与要求
了解非正弦周期量与正弦周期量 之间存在的特定关系；理解和掌握非 正弦周期信号的谐波分析法；明确非 正弦周期量的有效值与各次谐波有效 值的关系及其平均功率计算式；掌握 简单线性非正弦周期电流电路的分析 与计算方法。

4.47
76.6V
由相量写出相应的瞬时值表达式
u"(t) 4.47 2 cos(200 t 76.6)V
3.根据叠加定理求稳态电压u(t)
将每个正弦电源单独作用时产生的电压瞬时值相加， 得到非正弦稳态电压u(t)
u(t) u'(t) u"(t) 10 2 cos(100 t 55)V 4.47 2 cos(200 t 76.6)V
非正弦周期量的波形特点，还常常用波形因数和 波顶因数来描述。 波形因数等于非正弦周期量的有效值与平均值之比：
有效值 Ki 平均值
波顶因数等于非正弦周期量的最大值与有效值之比： 最大值
K A 有效值
波顶因波数形大因于数波Ki和形波因顶数因。数即K非A正均弦大量于的1，波一形般顶情部况越下尖 时，这两个因数越大，而非正弦周期量波形顶部越趋 于平坦时，这两个因数越小。
12.2 谐波分析和频谱
学习目标：理解谐波和频谱的概念，熟悉非正弦波的
谐波表达式，掌握波形对称性与谐波成分
的关系，理解波形“平滑性”的概念。
12.2.1 非正弦周期信号的傅里叶级数表达式
由上节内容可得：方波信号实际上是由振幅按1，
1/3，1/5，…规律递减、频率按基波频率的1、3、5
…奇数倍递增的u1、u3、u5等正弦波的合成波。因此 方波电压的谐波展开式可表示为：
u(t)
0
t
观察方波波形，它不但具有对原点对称的特点， 还具有奇次对称性，因此在它的傅里叶级数展开式中 只含有sin项中的各奇次谐波。
u(t)
0
t
观察全波整流波的波形，它不但具有对纵轴对称 的特点，还具有偶次对称性，因此在它的傅里叶级数 展开式中只含有cos项中的各偶次谐波，且包含零次 谐波成分。
显然，非正弦周期信号的谐波成分与其波形有关！
谐波分析一般都是根据已知波形来进行的，而非 正弦周期信号的波形本身就已经决定了该非正弦波所 含有的谐波。根据波形的特点我们解释几个名词：
奇函数：其特点是波形对原点对称。奇函数的傅里叶 级数中只含有sin项，不存在直流和偶次谐 波。
偶函数：特点是波形对纵轴对称。偶函数的傅里叶级 数表达式中只含有cos项，一般还包含直流 成分。
2.将激励分解为直流和一系列正弦谐波(一般计算至 3~5次谐波即可)；
3.对各次谐波单独作用时的响应分别进行求解；
4.求解出的响应均用解析式进行表示；
5.将电路响应中的各次谐波分量进行叠加后即为待求 响应。
讨论几个不同频率的正弦激励在线性时不变电路中引起 的非正弦稳态响应。
几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生 的稳态电压和电流，可以利用叠加定理，分别计算每个 正弦激励单独作用时产生的正弦电压uk(t)和电流ik(t)，然 后相加求得非正弦稳态电压u(t)和电流i(t)。

u(t)
U1m
u1与方波同频率, 称为方波的基波
u1
u3的频率是方波的3倍,
称为方波的三次谐波。
1/3U1m
0
u3
t
u1和u3的合成波, 显然较接近方波
u(t)
1/5U1m
0
u5的频率是方波 的5倍,称为方波 的五次谐波。
u5
t
u135
u13和u5的合成波, 显然更接近方波
由上述分析可得，如果再叠加上一个7次谐波、 9次谐波……直到叠加无穷多个，其最后结果肯定与 周期性方波电压的波形相重合。
u(t) u'(t) u"(t) 10 2 cos(100 t 55)V 4.47 2 cos(200 t 76.6)V
u ' (t) 和 u" (t) 的波形如图(a)所示。 u(t) u ' (t) u" (t) 的 波形如图(b)所示，它是一个非正弦周期波形。
12.1 非正弦周期信号 学习目标：掌握谐波的概念，理解非正弦周期信号与
各次谐波之间的关系。
12.1.1 非正弦周期信号的产生 1.电路中含有非线性元件（如二极管半波整流电路）
输入正弦波
D R
输出半波整流
2.实验室中的信号发生器或示波器中的水平扫描电压
示波器
输入正弦波
输出周期性锯齿波
3.一个电路中同时有几个不同频率的激励共同作用时
u' (t) 10 2 cos(100 t 55)V
2.计算 iS (t) 2 cos(200t 50)A 单独作用时产生的 电压 u" (t) 。
将电压源uS(t)用短路代替，得到图(c)所示相量模型，
由此求得
U“

j10 5
5 j10
IS

5
j50 j10
150
掌握了波形与谐波成分之间的上述关系，无疑给 谐波分析的步骤带来简化，根据波形的对称性会很快 找出相应的谐波。