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第10章周期性非正弦稳态电路的分析
普通的正弦波变化的电路，可以使用简单的数学方法进行分析，但是，对于周期性非正弦稳态电路，就不是那么容易了。
下面，我们就来讨论一
下周期性非正弦稳态电路的分析。
一、用波形独立变换进行分析
首先，我们可以使用波形独立变换（WIT）方法来分析周期性非正弦
稳态电路。
WIT是一种自动模拟方法，可以解决各种复杂的、非线性的、
时变的、非周期的、非正弦的电路分析问题。
它比传统的基于时域的分析
更具有普适性和准确性。
在WIT中，电路状态会以一系列张量的形式表示，并且只需采用基本
的数值技术就可以进行计算。
它也可以用来解决无处不在的电磁干扰（EMI）和相关的系统性能问题。
二、使用小波变换分析
此外，我们还可以使用小波变换（WT）方法来分析周期性非正弦稳态
电路。
WT是一种基于时域的分析方法，可以用来解决各种复杂的时变电
路的分析问题。
WT可以有效的把时变的连续的电路信号转换成离散的域中的信号，
并可以使用这些信号，来进行多趟的变换，从而实现分析周期性非正弦稳
态电路的分析，从而对电路的性能进行调整。
三、使用过零点估计进行分析
除了上面提到的两种方法外。
非正弦周期电流电路分析简介非正弦周期电流电路是一种电路，其中电流的波形不是正弦曲线。
这种电路通常由非线性元件或者非理想元件构成，导致电流波形发生变化。
本文将对非正弦周期电流电路进行分析，探讨其中的特点和应用。
非正弦周期电流的产生非正弦周期电流可以由多种方式产生，包括以下几种常见情况：1.非线性元件的非线性特性导致电流波形变化。
例如，二极管在反向偏置时会产生非线性特性，导致电流波形不是正弦曲线。
2.非理想元件的特性导致电流波形变化。
例如，电感元件的饱和和饱和恢复会导致电流波形非正弦。
3.控制信号或输入信号的特性导致电流波形变化。
例如，方波、脉冲或其他非正弦的控制信号输入到电路中时，会引起电流波形的变化。
非正弦周期电流的特点非正弦周期电流具有以下几个特点：1.波形失真：由于非线性元件或非理想元件的特性，非正弦周期电流的波形会失真。
这种失真包括高次谐波的增加或者波形畸变。
2.频谱分布：非正弦周期电流的频谱分布比正弦电流更加复杂。
由于波形的非线性和不规则，频谱中会包含多个谐波成分。
3.能量损耗：非正弦周期电流的能量损耗比正弦电流更大。
由于电流波形的非正弦特性，导致电路中存在额外的损耗。
4.信号干扰：非正弦周期电流会产生更多的信号干扰。
由于频谱中存在多个谐波成分，这些谐波会干扰其他电路或设备的正常运行。
非正弦周期电流电路分析方法对于非正弦周期电流电路的分析，可以采用以下方法：1.线性电路分析：首先将非正弦周期电流分解为多个谐波成分，然后对每个谐波成分进行线性电路分析。
通过将各个谐波成分的响应叠加，可以得到整个非正弦周期电流电路的响应。
2.时域分析：使用时域分析方法，通过观察电流波形的变化来理解非正弦周期电流电路的工作情况。
这种方法适用于简单的电路，可以直接观察电流波形的特点。
3.频域分析：使用频域分析方法，对非正弦周期电流的频谱进行分析。
通过观察频谱中的谐波成分，可以了解电流波形的非正弦特性。
4.仿真分析：使用电路仿真软件，对非正弦周期电流电路进行仿真分析。
第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱
重点：
1. 非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值；
2. 非正弦周期电流电路的平均功率
3. 非正弦周期电流电路的计算方法
难点：
1. 叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用
2. 非正弦周期电流电路功率的计算
章与其它章节的联系：
三相电路可以看成是三个同频率正弦电源作用下的正弦电流电路，对它的计算，第九章正弦电流电路中所阐述的方法完全适用。
§13.1 非正弦周期信号
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。
在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点：
1) 不是正弦波
2) 按周期规律变化，满足：（k=0，1，2…..）
式中T 为周期。
图 13.1 为一些典型的非正弦周期信号。
图13.1（a）半波整流波形（b）锯齿波（c）方波
本章主要讨论非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。
采用谐波分析法，实质上就是通过应用数学中傅里叶级数展开方法，将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量
单独作用下电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量，最后，把所得分量按时域形式叠加得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。
§13.2 周期函数分解为付里叶级数
电工技术中所遇到的非正弦周期电流、电压信号多能满足展开成傅里叶级数的条件，因而能分解成如下傅里叶级数形式：
也可表示成：
以上两种表示式中系数之间关系为：
上述系数可按下列公式计算：
（k=1，2，3……）求出a0、a k、b k便可得到原函数f(t) 的展开式。
注意：非正弦周期电流、电压信号分解成傅里叶级数
的关键在于求出系数a0、ak、bk ，可以利用函数的某种
对称性判断它包含哪些谐波分量及不包含哪些谐波分量，
可使系数的确定简化，给计算和分析将带来很大的方便。
图 13.2
如以下几种周期函数值得注意：(1) 偶函数
波形对称与纵轴如图13.2 所示，
满足：
(2) 奇函数
波形对称与原点如图 13.3 所示，
满足：
(3) 奇谐波函数
波形镜对称如图 13.4
所示，满足：
(4) 若函数是偶函数又是镜对称时，则只含有奇次的余弦相，即
(5) 若函数是奇函数又是镜对称时，则只含有奇次的正弦相，即图 13.3 图 13.4
实际中所遇到的周期函数可能较复杂，不易看出对称性，但是如果将波形作一定的平移，或视为几个典型波形的合成，则也能使计算各次谐波的系数简化。
例13-1 把图示周期性方波电流分解成傅里叶级数。
例 13-1 图
解：周期性方波电流在一个周期内的函数表示式为：
各次谐波分量的系数为：
（ K 为奇数）
因此，的傅里叶级数展开式为：
即，周期性方波可以看成是直流分量与一次谐波、三次谐波、五次谐波等的叠加，如下图所示。
例13-2给定函数f(t)的部分波形如图所示。
为使
f(t)的傅里叶级数中只包含如下的分量：(1)正弦分
量；(2)余弦分量；(3)正弦偶次分量；(4)余弦奇次分
量。
试画出f(t)的波形。
例 13－1 图
解：(1)f
(t)的傅里叶级数中只包含正弦分量，说明f(t)为奇函数，对原点对称，可用下
图波形表示。
(2) f(t)的傅里叶级数中只包含余弦分量，说明f(t)为偶函数，对坐标纵轴对称，可用下图波形表示。
(3) f(t)的傅里叶级数中只包含正弦偶次分
量，可用下图波形表示。
(4) f(t)的傅里叶级数中只包含余弦奇次分
量，可用下图波形表示。
§13.3有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
1）正弦、余弦函数在一个周期内的积分为0 ，即：
2）sin2、cos2在一个周期内的积分为π ，即：
3）三角函数的正交性如下式所示：
2. 非正弦周期函数的有效值
设非正弦周期电流可以分解为傅里叶级数：
代入有效值的定义式中有:
利用上述三角函数的性质，上式中i 的展开式平方后将含有下列各项：
这样可以求得i 的有效值为：
由此得到结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
此结论可以推广用于其他非正弦周期量。
3. 非正弦周期函数的平均值
设非正弦周期电流可以分解为傅里叶级数：
则其平均值定义为：
即：非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。
按上式可求得正弦电流的平均值为：
注意：
1）测量非正弦周期电流或电压的有效值要用电磁系或电动系仪表，测量非正弦周期量的平均值要用磁电系仪表。
2）非正弦周期量的有效值和平均值没有固定的比例关系，它们随着波形不同而不同。
4. 非正弦周期交流电路的平均功率
设任意一端口电路的非正弦周期电流和电压可以分解为傅里叶级数：
则一端口的平均功率为：
代入电压、电流表示式并利用三角函数的性质，得：
式中
由此得出结论：非正弦周期电流电路的平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
§13.4非正弦周期交流电路的计算
根据以上讨论可得非正弦周期电流电路的计算步骤如下：
（1）把给定电源的非正弦周期电流或电压作傅里叶级数分解，将非正弦周期量展开成若干频率的谐波信号；
（2）利用直流和正弦交流电路的计算方法，对直流和各次谐波激励分别计算其响应；
（3）将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
注意:
1）交流各次谐波电路计算可应用相量法，
2）对不同的频率，感抗与容抗是不同的。
对直流 C 相当于开路、L 相于短路。
对k 次谐波有：
例13-3 电路如图（a）所示，电流源为图（b）所示的方波信号。
求输出电压u0,
已知：
例13-3图（a）例13-3图（b）
解：计算步骤如下：
（1）由例13-1知方波信号的展开式为：
代入已知数据
得直流分量基波最大值
三次谐波最大值五次谐波最大值
角频率为：
因此，电流源各频率的谐波分量表示式为：
（2）对各次频率的谐波分量单独计算
（a)直流分量I S0
单独作用时：
把电容断路，电感短路，电路如图(c)所示，计算得：
（b)基波单独作用时，
电路如图(a)所示。
算得容抗和感抗为
例13-3图（c）
所以阻抗为：
因此
(c) 三次谐波单独作用时，，计算得容抗和感抗为：
阻抗为：
则
(d) 五次谐波单独作用时，，计算得容抗和感抗为：
阻抗为：
则
(3) 把各次谐波分量计算结果的瞬时值迭加：
例13-4 图（a）所示电路中各表读数 (有效值) 及电路吸收的功率。
例 13-4 图（a）
解：(1)当直流分量u0=30V作用于电路时，L1、L2短路，C1、C2开路，电路如图(b)所示
例 13-4 图（b）
所以
(2) 基波?u1=120cos1000t V
L1、C1对基波发生并联谐振。
所以，基波电压加于L1、C1并联电路两端，故
，
，
(3) 二次谐波u2=60cos(2000t+π/4)V 作用于电路，有
L2、C2对二次谐波发生并联谐振。
所以，电压加于L2、C2并联电路两端，故
所以电流表A1=1A A2=
A3=
电压表 V1=
V2=
例13-5 图（a）所示电路中，已知电源
u(t) 是周期函数，波形如图（b）所示，
L=1/2πH ，
C=125/πμF。
求：理想变压器原边电流i1
(t)及输出电压u2的有效值。
例 13-5 图（a）例 13-5 图（b）解：由图（b）知
当直流分量u0 =12V 作用于电路时，电容开路、电感短路，有：
当作用于电路时，有：
图(a)的原边等效电路如图(c)所示。
电容和电感发生并联谐振，电源电流为零，因此：
例 13-5 图（c）
则
例13-6 求图示电路中 a、b 两端电压有效值U ab、电流i 及功率表的读数。
已知：
例13－6图
解：电压有效值
一次谐波作用时：
三次谐波作用时：
所以
功率表读数为
注意：同频率的电压电流构成有功功率。
例13-7 已知图（a）电路中
，
L=0.1H，C3＝1μF，电容C1中只有基波电流，电
容C3中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路
电流。
例 13-7 图
解：C1中只有基波电流，说明L 和C2对三次谐波发生并联谐振。
所以：
C3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一次谐波发生串联谐振。
所以：
个次谐波分量单独作用时的电路如图（b）、（c）、（d）所示。
由图可计算得：
（b）直流作用（c）一次谐波作用（d）三次谐波作用。
