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第四章1. 当E-E F 分别为kT 、4kT 、7kT ，用费米分布和玻尔兹曼分布分别计算分布概率，并对结果进行讨论。
解：电子的费米分布 ()011F F D E E k Tf E e--=+，玻尔兹曼近似为()0F E E k TM B f E e---=（1）E-E F =kT 时 ()10.268941F D f E e-==+ ，()1=0.36788M B f E e --= （2）E-E F =4kT 时 ()410.018321F D f E e-=≈+ ，()40.01799M B f E e --=≈ （3）E-E F =7kT 时 ()710.000911F D f E e-=≈+ ，()70.00091M B f E e --=≈ 当0F E E k Te-远大于1时，就可以用较为简单的玻尔兹曼分布近似代替费米狄拉克分布来计算电子或空穴对能态的占据概率，从本题看出E-E F =4kT 时，两者差别已经很小。
2. 设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近的能量Ec(k)和价带极大值附近的能量En(k)分别为()()m k k m k k E c 212223-+= ，()m k m k k E v 2221236 -= 式中m 为电子惯性质量，14.3,/1==a a k πÅ,试求出：（1）禁带宽度（2）导带底电子的有效质量； （3）价带顶电子的有效质量；（4）导带底的电子跃迁到价带顶时准动量的改变量。
解： （1） 令 0)(=∂∂k k E c 即 ()023201202=-+m k k h m k h 得到导带底相应的 143k k =令 0)(=∂∂k k E v 即 0602=m kh 得到价带顶相应的 0=k故禁带宽度()0212210221021641433043m k h k m h k m hk E k k E E v c g -⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛==-⎪⎭⎫ ⎝⎛==将k 1=a/2代入，得到022481m a h E g =（2）导带底电子有效质量02C 22nm 83dk E d /h m ==*（3）价带顶空穴有效质量02V 22p m 61dk E d /h m -==* （4）动量变化为a 8h30k 43p 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆3. 一块补偿硅材料，已知掺入受主杂质浓度N A =1⨯1015cm -3, 室温下测得其费米能级位置恰好与施主能级重合，并测得热平衡时电子浓度n 0=5⨯1015cm -3。
玻尔兹曼系统、玻色子系统、费米子系统的区别及统计规律当描述粒子行为时，玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统有着不同的特点和统计规律。
下面对它们进行详细说明：玻尔兹曼系统：描述：玻尔兹曼系统适用于经典粒子，如分子和原子等。
这些粒子之间可以相互交换位置和能量，且粒子可以具有任意能量。
玻尔兹曼系统假设粒子之间是无差别可区分的。
统计规律：玻尔兹曼系统中的粒子遵循玻尔兹曼分布。
玻尔兹曼分布描述了粒子在可分辨的能级上的分布情况，其表达式为：P(E) ∝exp(-E/kT)，其中P(E)表示具有能量E的粒子的概率，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。
玻色子系统：描述：玻色子是具有整数自旋的粒子，如光子和声子等。
玻色子系统中的粒子可以占据相同的量子态，即多个粒子可以处于同一个量子态。
这种行为被称为玻色统计。
统计规律：玻色子系统中的粒子遵循玻色-爱因斯坦统计。
根据玻色-爱因斯坦分布，粒子的分布可以是任意整数，不受限制。
这意味着在低温条件下，大量玻色子可以集中在系统的最低能级，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚。
费米子系统：描述：费米子是具有半整数自旋的粒子，如电子和中子等。
费米子系统中的粒子由于遵循泡利不相容原理，每个量子态只能被一个粒子占据。
这意味着费米子之间无法处于同一个量子态，也无法彼此交换位置。
统计规律：费米子系统中的粒子遵循费米-狄拉克统计。
根据费米-狄拉克分布，每个量子态最多只能被一个粒子占据。
在多粒子费米子系统中，由于每个量子态只能占据一个粒子，系统的能级填充依次递增，满足所谓的泡利不相容原理。
总结：玻尔兹曼系统适用于经典粒子，粒子之间无限制；玻色子系统适用于具有整数自旋的粒子，允许多个粒子占据同一个量子态；费米子系统适用于具有半整数自旋的粒子，每个量子态最多只能有一个粒子占据。
玻尔兹曼系统服从玻尔兹曼分布，玻色子系统服从玻色-爱因斯坦统计，费米子系统服从费米-狄拉克统计。
这些统计规律决定了粒子在不同系统中的分布特征和行为方式。
说明玻尔兹曼系统玻色子系统费米子系统的区别玻尔兹曼系统和玻色子系统以及费米子系统是统计力学中的三种重要模型。
它们描述了微观粒子在宏观尺度上的行为。
本文将逐步阐述玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统的区别。
1.玻尔兹曼系统：玻尔兹曼系统是一种描述粒子统计行为的模型。
在玻尔兹曼系统中，粒子可以以任意数量存在于相同的量子态。
这意味着多个粒子可以处于相同的能量状态，也就是说，它们之间没有排斥效应。
玻尔兹曼系统中的粒子是无标识的，它们之间是可以交换的。
2.玻色子系统：玻色子系统描述了玻色子的统计行为。
玻色子是一类具有整数自旋的粒子，例如光子、声子等。
玻色子系统中，多个粒子可以同时处于相同的能量状态，它们之间没有排斥效应。
这种行为被称为玻色-爱因斯坦统计。
玻色子系统的一个重要特点是它们会聚集到基态，即粒子会尽可能地集中在能量最低的状态。
3.费米子系统：费米子系统描述了费米子的统计行为。
费米子是一类具有半整数自旋的粒子，例如电子、质子等。
费米子系统中，根据泡利不相容原理，每个能级只能有一个粒子占据，它们之间存在排斥效应。
这种行为被称为费米-狄拉克统计。
费米子系统的一个重要特点是它们填充能级从低到高，直到达到所谓的费米能级。
根据以上的描述，可以总结出玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统的区别：1.统计行为：玻尔兹曼系统中粒子之间无排斥效应，玻色子系统中多个粒子可以处于相同的能级，费米子系统中每个能级只能有一个粒子占据。
2.粒子类型：玻尔兹曼系统中的粒子是无标识的，玻色子系统中的粒子具有整数自旋，费米子系统中的粒子具有半整数自旋。
3.基态分布：玻色子系统会聚集到能量最低的状态，费米子系统填充能级从低到高。
4.波尔茨曼系统、玻色子系统和费米子系统在实际应用中有着不同的物理特性和行为模式。
综上所述，玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统在统计行为、粒子类型、基态分布等方面存在着明显的区别。
这些模型在研究微观粒子的统计性质和宏观行为时提供了重要的理论基础和工具，对于理解物质的性质和行为具有重要意义。
1、当F E E −为00015410.k T ,k T ,k T 时，分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据各该能级的几率。
2、利用表3-2中的n p m ,m ∗∗数值，计算Si ，Ge ，GaAs 在室温下的C V N ,N 以及本征载流子浓度。
3、①室温下，Ge 的有效态密度19310510C N .cm −=×；1835710v N .cm −=×，求Ge 的载流子有效质量n pm ,m ∗∗。
计算77k 时的C N 、V N 。
已知300K 时，067g E .eV =，77K 时076g E .eV =。
求这两个温度下Ge 的本征载流子浓度。
②77K 时，Ge 的电子浓度为17310cm −，假定受主浓度为零，而001C D E E .eV −=，求Ge 中施主浓度D N 为多少？4、计算施主杂质浓度分别为163183193101010cm ,cm ,cm −−−的Si 在室温下的费米能级，并假定杂质是全部电离。
再用算出的费米能级核对一下上述假定是否在每一种情况下都成立。
计算时，取施主能级在导带底下面0.05eV 处。
5、计算含有施主杂质浓度153910D N cm −=×及受主浓度为1631110A N .cm −=×的Si 在300T K =时的电子和空穴浓度以及费米能级的位置。
6、施主浓度为13310D N cm −=的n 型硅，计算400K 时本征载流子浓度，多子浓度、少子浓度和费米能级的位置。
7、制造晶体管一般是在高杂质浓度的n 型衬底上外延一层n 型外延层，再在外延层中扩散硼、磷而成。
①设n 形硅单晶衬底是掺锑的，锑的电离能为0.039eV ，300K 时的F E 位于导带底下面0026.eV 处，计算锑的浓度和导带中电子浓度；（衬底）②设n 型外延层杂质均匀分布，杂质浓度为1534610.cm −×，计算300K 时F E 的位置及电子和空穴浓度；（外延层）③在外延层中扩散硼后，硼的浓度分布随样品深度变化。
