费米分布及玻耳兹曼分布

第四章1. 当E-E F 分别为kT 、4kT 、7kT ，用费米分布和玻尔兹曼分布分别计算分布概率，并对结果进行讨论。

解：电子的费米分布 ()011F F D E E k Tf E e--=+，玻尔兹曼近似为()0F E E k TM B f E e---=（1）E-E F =kT 时 ()10.268941F D f E e-==+ ，()1=0.36788M B f E e --= （2）E-E F =4kT 时 ()410.018321F D f E e-=≈+ ，()40.01799M B f E e --=≈ （3）E-E F =7kT 时 ()710.000911F D f E e-=≈+ ，()70.00091M B f E e --=≈ 当0F E E k Te-远大于1时，就可以用较为简单的玻尔兹曼分布近似代替费米狄拉克分布来计算电子或空穴对能态的占据概率，从本题看出E-E F =4kT 时，两者差别已经很小。

2. 设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近的能量Ec(k)和价带极大值附近的能量En(k)分别为()()m k k m k k E c 212223-+= ，()m k m k k E v 2221236 -= 式中m 为电子惯性质量，14.3,/1==a a k πÅ,试求出：（1）禁带宽度（2）导带底电子的有效质量； （3）价带顶电子的有效质量；（4）导带底的电子跃迁到价带顶时准动量的改变量。

解： （1） 令 0)(=∂∂k k E c 即 ()023201202=-+m k k h m k h 得到导带底相应的 143k k =令 0)(=∂∂k k E v 即 0602=m kh 得到价带顶相应的 0=k故禁带宽度()0212210221021641433043m k h k m h k m hk E k k E E v c g -⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛==-⎪⎭⎫ ⎝⎛==将k 1=a/2代入，得到022481m a h E g =（2）导带底电子有效质量02C 22nm 83dk E d /h m ==*（3）价带顶空穴有效质量02V 22p m 61dk E d /h m -==* （4）动量变化为a 8h30k 43p 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆3. 一块补偿硅材料，已知掺入受主杂质浓度N A =1⨯1015cm -3, 室温下测得其费米能级位置恰好与施主能级重合，并测得热平衡时电子浓度n 0=5⨯1015cm -3。

玻尔兹曼系统、玻色子系统、费米子系统的区别及统计规律当描述粒子行为时，玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统有着不同的特点和统计规律。

下面对它们进行详细说明：玻尔兹曼系统：描述：玻尔兹曼系统适用于经典粒子，如分子和原子等。

这些粒子之间可以相互交换位置和能量，且粒子可以具有任意能量。

玻尔兹曼系统假设粒子之间是无差别可区分的。

统计规律：玻尔兹曼系统中的粒子遵循玻尔兹曼分布。

玻尔兹曼分布描述了粒子在可分辨的能级上的分布情况，其表达式为：P(E) ∝exp(-E/kT)，其中P(E)表示具有能量E的粒子的概率，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。

玻色子系统：描述：玻色子是具有整数自旋的粒子，如光子和声子等。

玻色子系统中的粒子可以占据相同的量子态，即多个粒子可以处于同一个量子态。

这种行为被称为玻色统计。

统计规律：玻色子系统中的粒子遵循玻色-爱因斯坦统计。

根据玻色-爱因斯坦分布，粒子的分布可以是任意整数，不受限制。

这意味着在低温条件下，大量玻色子可以集中在系统的最低能级，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚。

费米子系统：描述：费米子是具有半整数自旋的粒子，如电子和中子等。

费米子系统中的粒子由于遵循泡利不相容原理，每个量子态只能被一个粒子占据。

这意味着费米子之间无法处于同一个量子态，也无法彼此交换位置。

统计规律：费米子系统中的粒子遵循费米-狄拉克统计。

根据费米-狄拉克分布，每个量子态最多只能被一个粒子占据。

在多粒子费米子系统中，由于每个量子态只能占据一个粒子，系统的能级填充依次递增，满足所谓的泡利不相容原理。

总结：玻尔兹曼系统适用于经典粒子，粒子之间无限制；玻色子系统适用于具有整数自旋的粒子，允许多个粒子占据同一个量子态；费米子系统适用于具有半整数自旋的粒子，每个量子态最多只能有一个粒子占据。

玻尔兹曼系统服从玻尔兹曼分布，玻色子系统服从玻色-爱因斯坦统计，费米子系统服从费米-狄拉克统计。

这些统计规律决定了粒子在不同系统中的分布特征和行为方式。

说明玻尔兹曼系统玻色子系统费米子系统的区别玻尔兹曼系统和玻色子系统以及费米子系统是统计力学中的三种重要模型。

它们描述了微观粒子在宏观尺度上的行为。

本文将逐步阐述玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统的区别。

1.玻尔兹曼系统：玻尔兹曼系统是一种描述粒子统计行为的模型。

在玻尔兹曼系统中，粒子可以以任意数量存在于相同的量子态。

这意味着多个粒子可以处于相同的能量状态，也就是说，它们之间没有排斥效应。

玻尔兹曼系统中的粒子是无标识的，它们之间是可以交换的。

2.玻色子系统：玻色子系统描述了玻色子的统计行为。

玻色子是一类具有整数自旋的粒子，例如光子、声子等。

玻色子系统中，多个粒子可以同时处于相同的能量状态，它们之间没有排斥效应。

这种行为被称为玻色-爱因斯坦统计。

玻色子系统的一个重要特点是它们会聚集到基态，即粒子会尽可能地集中在能量最低的状态。

3.费米子系统：费米子系统描述了费米子的统计行为。

费米子是一类具有半整数自旋的粒子，例如电子、质子等。

费米子系统中，根据泡利不相容原理，每个能级只能有一个粒子占据，它们之间存在排斥效应。

这种行为被称为费米-狄拉克统计。

费米子系统的一个重要特点是它们填充能级从低到高，直到达到所谓的费米能级。

根据以上的描述，可以总结出玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统的区别：1.统计行为：玻尔兹曼系统中粒子之间无排斥效应，玻色子系统中多个粒子可以处于相同的能级，费米子系统中每个能级只能有一个粒子占据。

2.粒子类型：玻尔兹曼系统中的粒子是无标识的，玻色子系统中的粒子具有整数自旋，费米子系统中的粒子具有半整数自旋。

3.基态分布：玻色子系统会聚集到能量最低的状态，费米子系统填充能级从低到高。

4.波尔茨曼系统、玻色子系统和费米子系统在实际应用中有着不同的物理特性和行为模式。

综上所述，玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统在统计行为、粒子类型、基态分布等方面存在着明显的区别。

这些模型在研究微观粒子的统计性质和宏观行为时提供了重要的理论基础和工具，对于理解物质的性质和行为具有重要意义。

1、当F E E −为00015410.k T ,k T ,k T 时，分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据各该能级的几率。

2、利用表3-2中的n p m ,m ∗∗数值，计算Si ，Ge ，GaAs 在室温下的C V N ,N 以及本征载流子浓度。

3、①室温下，Ge 的有效态密度19310510C N .cm −=×；1835710v N .cm −=×，求Ge 的载流子有效质量n pm ,m ∗∗。

计算77k 时的C N 、V N 。

已知300K 时，067g E .eV =，77K 时076g E .eV =。

求这两个温度下Ge 的本征载流子浓度。

②77K 时，Ge 的电子浓度为17310cm −，假定受主浓度为零，而001C D E E .eV −=，求Ge 中施主浓度D N 为多少？4、计算施主杂质浓度分别为163183193101010cm ,cm ,cm −−−的Si 在室温下的费米能级，并假定杂质是全部电离。

再用算出的费米能级核对一下上述假定是否在每一种情况下都成立。

计算时，取施主能级在导带底下面0.05eV 处。

5、计算含有施主杂质浓度153910D N cm −=×及受主浓度为1631110A N .cm −=×的Si 在300T K =时的电子和空穴浓度以及费米能级的位置。

6、施主浓度为13310D N cm −=的n 型硅，计算400K 时本征载流子浓度，多子浓度、少子浓度和费米能级的位置。

7、制造晶体管一般是在高杂质浓度的n 型衬底上外延一层n 型外延层，再在外延层中扩散硼、磷而成。

①设n 形硅单晶衬底是掺锑的，锑的电离能为0.039eV ，300K 时的F E 位于导带底下面0026.eV 处，计算锑的浓度和导带中电子浓度；（衬底）②设n 型外延层杂质均匀分布，杂质浓度为1534610.cm −×，计算300K 时F E 的位置及电子和空穴浓度；（外延层）③在外延层中扩散硼后，硼的浓度分布随样品深度变化。

玻尔兹曼分布,玻色分布,和费米分布的关系
玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布是统计物理中描述粒子分布的三种基本分布。

玻尔兹曼分布是描述经典粒子在能量状态间的分布情况的分布函数。

根据玻尔兹曼分布，粒子在不同能级上的分布概率与能级的能量成反比。

玻色分布是描述玻色子（具有整数自旋）的分布情况的分布函数。

根据玻色分布，玻色子能够在同一能级上具有任意多个粒子，并且各个粒子之间没有排斥作用。

费米分布是描述费米子（具有半整数自旋）的分布情况的分布函数。

根据费米分布，费米子不能在同一个能级上具有多个粒子，并且各个粒子之间存在排斥作用。

三种分布函数在经典极限情况下可以相互转化。

当粒子间的相互作用很弱或忽略不计时，玻色分布和费米分布在高温极限下会趋向于玻尔兹曼分布。

而在低温极限下，玻尔兹曼分布则趋向于费米分布（保守统计中的玻尔兹曼-玻色平衡）。

综上所述，玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布是三种不同情况下的统计分布，它们在特定条件下可以相互转化或者趋于相似的分布模式。

费米分布函数和玻尔兹曼函数的区别费米分布函数和玻尔兹曼函数是描述粒子统计行为的两个重要数学工具。

它们在统计物理学和量子力学中扮演着不可或缺的角色。

费米分布函数描述了处于热平衡态下的费米子（如电子、中子）的能级分布情况，而玻尔兹曼函数则描述了玻色子（如光子、声子）的能级分布情况。

虽然两者都涉及能级分布，但它们有明显的区别。

首先，费米分布函数和玻尔兹曼函数的推导基于不同的统计假设。

费米-狄拉克统计假设认为费米子具有自旋1/2，并遵循泡利不相容原理，即每个量子态最多只能有一个粒子占据。

根据这一假设，可以推导出费米分布函数的表达式。

而玻色-爱因斯坦统计假设认为玻色子具有整数自旋，并允许多个粒子占据同一个量子态。

根据这一假设，可以推导出玻尔兹曼函数的表达式。

其次，费米分布函数和玻尔兹曼函数的表达式具有不同的形式。

费米分布函数表示了处于热平衡态下的费米子能级的占有概率，其表达式为：f(E) = 1 / (exp((E - μ) / kT) + 1)其中，E为能级，μ为化学势，k为玻尔兹曼常数，T为温度。

费米分布函数的特点是在低温下，占据概率逐渐趋于1，近乎于全满，并且在化学势附近有一个陡峭的跃迁区域。

而在高温下，概率逐渐趋于0，近乎于全空。

玻尔兹曼函数表示了处于热平衡态下的玻色子能级的占有概率，其表达式为：f(E) = 1 / (exp((E - μ) / kT) - 1)玻尔兹曼函数的特点是在低温下，占据概率趋近于0，近乎于全空，并且在化学势附近有一个陡峭的跃迁区域。

而在高温下，概率逐渐趋近于1，近乎于全满。

此外，费米分布函数和玻尔兹曼函数的物理意义也有所不同。

费米分布函数描述了费米子在系统中的分布情况，它决定了费米子填充能级的方式，从而影响了材料的导电性、磁性和热疏导性等性质。

费米分布函数还能够解释费米面、费米能级和众多金属、半导体、绝缘体材料的电子性质。

而玻尔兹曼函数描述了玻色子的分布情况，它决定了玻色子在系统中的占据概率，从而影响了光子的发射和吸收过程、声子的传播和散射过程。

半导体物理名词解释金刚石型结构：金刚石结构是一种由相同原子构成的复式晶体，它是由两个面心立方晶胞沿立方体的空间对角线彼此位移四分之一空间对角线长度套构而成。

每个原子周围都有4个最近邻的原子，组成一个正四面体结构。

闪锌矿型结构：闪锌矿型结构的晶胞，它是由两类原子各自组成的面心立方晶格，沿空间对角线彼此位移四分之一空间对角线长度套构而成。

有效质量：粒子在晶体中运动时具有的等效质量，它概括了半导体内部势场的作用。

有效质量表达式为：费米能级: 费米能级是T=0 K 时电子系统中电子占据态和未占据态的分界线，是T=0 K 时系统中电子所能具有的最高能量。

准费米能级:统一的费米能级是热平衡状态的标志。

当外界的影响破坏了热平衡，使半导体处于非平衡状态时，就不再存在统一的费米能级。

但是可以认为，分别就导带和价带中的电子讲，他们各自基本上处于平衡状态，导带与价带之间处于不平衡状态。

因为费米能级和统计分布函数对导带和价带各自仍是适用的，可以引入导带费米能级和价带费米能级，它们都是局部的费米能级。

称为“准费米能级”费米面：将自由电子的能量E 等于费米能级Ef 的等能面称为费米面。

费米分布：大量电子在不同能量量子态上的统计分布。

费米分布函数为：施主能级：通过施主掺杂在半导体的禁带中形成缺陷能级，被子施主杂质束缚的电子能量状态称为施主能级。

受主能级：通过受主掺杂在半导体的禁带中形成缺陷能级，被受主杂质束缚的空穴的能量状态称为受主能级。

禁带：能带结构中能态密度为零的能量区间。

价带：半导体或绝缘体中，在绝对零度下能被电子沾满的最高能带。

导带：导带是自由电子形成的能量空间，即固体结构内自由运动的电子所具有的能量范围。

222*dk Ed h m n T k E E FeE f 011)(N型半导体: 在纯净的硅晶体中掺入五价元素（如磷），使之取代晶格中硅原子的位置，就形成了N型半导体。

P型半导体: 在纯净的硅晶体中掺入三价元素（如硼），使之取代晶格中硅原子的位置，形成P 型半导体。

第一章1.电子的共有化运动原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完全局限在某一个原子上，可以由一个原子转移到相邻的原子上去，因而，电子可以在整个晶体上运动。

这种运动称为电子的共有化运动。

2.准动量（hk）m*v = hk3.有效质量的表达式*nm= h2(d2E/dk2)-1引进有效质量的意义在于它概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及半导体内部势场的作用。

4.本征激发价键上的电子激发成为准自由电子，亦即价带电子激发成为导带电子的过程，称为本征激发。

5.硅的能带结构（导带、价带）Si的导带极小值在【100】方向及其对称方向上，共有六个等价能谷。

Si的价带顶位于K=0处，在价带极值处有两个简并化的能谷，产生重空穴、轻空穴两类空穴。

还有一个能带是由于自旋-轨道耦合分裂出来的。

6.导体、半导体、绝缘体的导电性能差别原因（从能带）金属中，由于组成金属的原子中的价电子占据的的能带是部分占满的，所以金属是良好的导体。

绝缘体的禁带宽度很大，激发电子需要很大的能量，在通常温度下，能激发到导带去的电子很少，所以导电性很差。

半导体禁带宽度比较小，数量级在1eV 左右，在通常温度下已有不少电子被激发到导带中去，所以具有一定的导电能力。

P16图 1-12第二章1.杂质的补偿作用当半导体中既掺入施主杂质，又掺入受主杂质时，施主与受主杂质之间有互相抵消的作用，称为杂质的补偿作用。

2.深能级、浅能级的定义及对材料的影响杂质的施主能级Ed距导带底很近，受主能级EA距价带顶很近,通常称这样的杂质能级为浅能级。

浅能级杂质能够提供载流子，提高导电性能，改变导电类型。

非Ⅲ、Ⅴ族杂质在硅、锗的禁带中产生的施主能级距离导带底较远，它们产生的受主能级距价带顶也较远。

通常称这样的能级为深能级。

深能级杂质，一般情况下含量极少，而且能级较深，对于载流子的复合作用比浅能级杂质强，故这些杂质也称为复合中心（减少非平衡载流子寿命）。