《应用一次函数图像解决实际问题》说课稿
老河口市第七中学陈薇
尊敬的各位评委，老师：
大家好！
今天，我说课的内容是人教版数学九年级下册《函数及其图像》专题复习之一-------《应用一次函数图像解决实际问题》，下面我将从教材分析，教法学法，教学过程，设计思路、教学反思五个方面来展开我对本节课的理解。
一、教材分析
1、地位和作用
一次函数是中学数学中一种最简单、最基本的函数，是中考考点之一，而利用一次函数图像解决实际问题，已成为中考的热点。它命题背景广泛，紧贴实际生活，构思新颖，题型多样，突出对学生识别图象,处理信息、获取知识以及解决问题的能力的考察，增强了学生应用数学的意识和能力。
很多学生对基础题有一定的认识和解决方法，但对中档题和综合题缺乏清晰的解题思路，往往导致对灵活程度高，综合能力强的试题得分不够理想。通过本节课的学习，有助于帮助学生解题思维的形成，掌握系统的解题方法。应用一次函数图像解决实际问题所涉及到的数学建模，待定系数法，分类讨论，数形结合，化归等思想方法也是解决表格式、文字类的实际问题常用的方法，对后续其它函数图像的应用学习以及高中函数学习都将积累宝贵的学习经验和经历，同时《义务教育数学课程标准》也要求“能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析”，因此本节课的重要性不言而喻。
2、教学目标
（1）经历实际问题的解决过程，掌握系统的解题思路和方法。
（2）通过知识的归纳学习过程，理解和掌握分类讨论，数形结合等思想方法。
（3）进一步体会数学知识与实际生活的的密切联系，丰富数学情感，建立自信心。
3、教学重点：会分析和应用一次函数图像解决实际问题
教学难点：数形结合思想方法的应用；
用一次函数与方程、不等式的联系解决实际问题
二、教法学法
本节课采用学案式，分类归纳，引导探究的教学方法，指导学生以独立思考、观察发现、合作交流，类比归纳的学习方法，得出清晰的解题思路和方法。
三、教学过程
首先通过错题分析，引入新课，其次将所学知识分为由“数”到“形”、由“形”到“数”、“数形”结合三种类型进行归纳，形成体系，然后总结反思，感悟方法提升能力，最后布置作业，达到巩固提高的目的。
1、错题分析，引入课题
通过选取具有代表性的错题进行分析，可以发现：
①审题缺乏细心，不能抓住关键字眼去区分图像的前后差异。
②图像和实际问题的结合能力不够，思维缺乏条理性，逆向性。
③不会用求交点坐标的方法解决实际问题。
④不能用好交点坐标，把图像信息转化为行程问题解决。
⑤条件较多的情况下，容易丢三落四，不能较好地将条件进行组合来解决问题。
综合以上问题，有必要对此进行系统复习。
根据题目思维方式的特点，分为三类进行归纳和学习。
2、分类归纳，形成体系
第一类【由“数”到“形”】以最常见、最基础的三道选择题为代表，要求学生会熟练运用正比例函数，一次函数，以及分段函数的图像来直观反映实际问题中两个变量之间的关系。学生先独立思考，之后口答校对。紧跟着对第1题进行基本变式：1、条件不变，问题改变 2、条件、问题同时改变。
[设计意图] 变式1提醒学生注意认真审题，看清问题，避免思维惯性带来的不必要的错误。变式2引导学生进行比较和归纳：为准确稳妥地得出函数图像，首先找出函数关系式，得出大致图像，然后结合实际情况和意义，确定自变量和函数值的取值范围，最后得出对应的图像。并强调这是解决此类问题最常用的基本思维方法。
第3题也对条件进行改变，若Ｖ１>Ｖ２呢？[设计意图] 弄清事情经过，注意比较图像的前后差异，如直线倾斜角的大小所表示的实际意义。
第二类【由“形”到“数”】先独立思考４、５两题，然后小组交流，教师负责巡视，倾听，及时评价，目的是在动静结合中调动学生的积极性，活跃课堂氛围。学生只对题目进行方法上的思考和分析，会正确表达意思即可。重心放在关注学生对图像的读取，理解及语言表达。
[设计意图] （１）、在理解横纵坐标所表示的实际意义下，要注意关键点（如与坐标轴的交点，线段的端点，折线的交点）所表示的具体意义，既对理解题意有一定的作用，而且在确定函数解析式时也是优先考虑的对象。
（２）、第５题中射线所表示的实际意义是关注的重点，能否准确地把图像信息转化为数学语言对解决问题起着十分重要的作用，它所涉及的识图方法和认识规律，也与生活中的话费，水费，电费，医保报销，工资纳税等相关联，起着融会贯通的作用。
（３)、会熟练运用待定系数法求解析式。第５题可进一步引导学生通过对图像的理解，用列代数式的方法来求解析式，既拓宽思路，又对刚才提到的阶梯式的缴费问题起到触类旁通的作用。
(４)、启发学生善于建立函数模型来解决实际问题。
第６题（１）（２）问依然由学生独立思考组内交流答案即可。
[设计意图] 及时检查和反馈识图用图方法的落实，同时为即将学习的第三种类型的难点突破做好铺垫。
随后引导学生对由“形”到“数”的问题进行总结：注意观察图像的形状特征，充分挖掘其中的已知条件确定函数解析式，再利用函数的图像性质解题。
第三类【“数形”结合】它是对前面两种类型的综合应用，设计的问题对学生的能力提出了更高的要求。加大图像的复杂程度，在于考查学生能否抓住图像的位置，数值和结构特征来对获取的信息进行分解，组合和转化。第７题是对第６题的深入学习，有了之前的分解练习，学生理解第（１）问就比较轻松，容易发现解题方法。把两个函数图像分开进行学习，主要目的在于减弱图像的复杂对学生造成的视觉干扰和思维障碍，以及产生的思维惰
性，让学生意识到今后类似问题也可采用局部和整体分析相结合，有利于降低分析难度。然后及时对学生的解题方法进行强调：通过计算交点坐标来解决求值问题是最常用的一种简单方法，也与之前的错题分析前后呼应。
在学生的自信心不断增强的情况下，进入第（２）问的学习。由于该问题对应的图像没有在坐标系中反映出来，对学生思维的敏捷性和数形结合思想方法的应用是一个考验。
放映视频１
通过合作交流，师生互动，学生展示的形式营造一种学生敢想，敢问，敢说的课堂气氛，让学生时刻不忘借助图像进行分析，再次深刻体会到数形结合带来的便利。
放映视频２
通过引导启发，一题多解，充分挖掘学生的思维深度，拓展解题思路，在类比归纳中优化解题方法。
第8题让学生注意比较两图像的高低；明确两图像的交点和图像上下位置的含义,进一步考察学生识图用图的能力。出现两个交点，[设计意图]在第（2）问选择方案时一定要注意全面分类讨论。其次通过用图像来解决方案比较问题，是让学生会将这类问题熟练地转化为方程、不等式来解决，因为有些题目本身就没有图像，更没有提供函数解析式，那怎么办？比如教材上的选择上网方式，选择通讯资费方式，到哪家商场购物，选哪种灯泡节省电费等，通过这些问题的复习，让学生明确：在选择方案时，要从数学的角度去分析题目中变量之间的关系，从而建立合适的函数关系式。除了借助图像直观分析外，也可直接转化为方程不等式知识来解决，不仅能形象思维，也能理性思维。最后一问意在考察学生的实际生活经验，会挖掘其中的数量关系和不等关系，让学生再次认识到数学知识来源于生活又服务于生活，树立学习数学，应用数学，发展数学的观念。
最后对“数形”结合问题进行归纳：善于运用“由数想形，以形助数”的解题策略，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题。
3、总结反思，感悟提升
在课堂临近尾声时，鼓励学生从知识，方法，情感等方面进行自我评价，充分体现了学生的主体地位。
放映视频３
4、布置作业，巩固提高
本节课的作业由必做题和选作题组成，体现分层教学，让不同的学生得到不同的发展。
四、教学设计思路
本节课以《课程标准》为指导，把握中考命题的特点及趋势，充分利用教材和《复习指南》，把分散的知识点按出现的先后顺序，由浅入深地进行梳理归纳，使之成为有规律的知识体系，把体现的思想方法和能力要求的学习内容总结好，以基础题，中档题为主，适当渗透综合练习，通过一题多问，一题多变，一题多用，一题多解，来达到覆盖知识点和提高能力的目的，运用错误由学生判断，疑惑让学生解决，规律让学生寻找的教学活动，充分调动学生的积极性和主动性，真正体现以学生为主体的原则，使不同层次的学生有一定的认识，理解和提高，为后面的连续复习和学习奠定坚实基础。
五、教学反思
本节课始终贯彻以学生为主体的原则，突出数形结合的思想方法，渗透应用数学的意识。不足之处是开展课堂活动时要多给学生时间和空间，引导上要更具有目的性和层次性，多让学生有表现自己的机会。
以上是我对本节课的初浅认识，不当之处，敬请指正！谢谢
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤： 1、基本思路：理解问题一分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系一用函数关系式表示它们的关系f用数学方法求解f检验结果的合理性； 2、基本步骤：审题一建模（建立二次两数模型）一解模（求解）一回答（用生活语言回答，即问什么答什么）。 二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题 解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点：①设未知数在“当某某为何值时，什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。 （1）利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕总利润二单件利润X销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y,而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。 例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%,现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y （件）与降价x （元）之间的函数关系式为y=20+4x（x > 0） ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。 （2）利用二次函数解决面积最值 例：已知正方形ABCD边长为8, E、F、P分别是AB、CD、AD ±的点（不与正方形顶点重合），且PE丄PF, PE=PF 问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？ 2、用二次函数解抛物线形问题
常见情形具体方法 抛物线形 建筑物问 题 几种常见的抛物线形建筑物有拱 形桥洞、涵洞、隧道洞口、拱形 门窗等 （1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的 图形放到坐标系之中； （2）从己知和图象中获得求二次函数表达式所需条 件； （3）利用待定系数法求出抛物线的表达式； （4）运用已求出抛物线的表达式去解决相关问题。运动路线 （轨迹）问 题 运动员空屮跳跃轨迹、球类飞行 轨迹、喷头喷出水的轨迹等 牢记（1）解决这类问题的关键首先在于建立一次函数模型，将实际问题转化为数学问题，其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把哪一点当作原点建立坐标系，将会直接关系到解题的难易程度或是否可解； （3）一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系，这样得出的二次函数的表 达式最为简单。 巧记实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点；抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最值出。 练习 1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1. 6m,涵洞顶点O到水面的距离为2. 4m,在 图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m。这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）.设每件商品的售价上涨x 元（X为正整数），每个月的销售利润为y元. （1）求y与兀的函数关系式并直接写出自变量兀的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围吋，每个月的利润不低于2200元？ 4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50%,设每件纪念品的成本为a 元。（1）试求a的值； （2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现试销量y （件）与每件售价x （元）满足关系式y= - 10x+800.设每天销售利润为W（元）,求每天销售利润W（元）与每件售价x （元）之间的函数关系式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
二次函数 一、解析式的求法 一般式2 y ax bx c =++?? ?已知没有规律的三个点的坐标 已知a:b:c,并且已知一个点的坐标 顶点式2 ()y a x m n =++????? 已知顶点及另一点的坐标已知对称轴和另外两点的坐标已知最值和另外两点的坐标 两点式（交点式）12()()y a x x x x =-- 二、二次函数的图像 1、二次函数的平移问题 （1）、平移的实质：a 相同。（a 决定二次函数的形状、开口和开口的大小，其中a 决定开口的大小，a 的正负决定开口方向。注意，两个二次函数的a 相等，则这两个二次函数的形状就是相同的） （2）、平移的规律：顶点坐标的平移。 2、二次函数的对称变换： 2222 ()(+)()(+)y a x m k y a x m k y y a x m k y a x m k x ?=-+=+?=-+=--?与关于轴对称 与关于轴对称 3、二次函数的图像与,,a b c 及其相关代数式(2 ,2,4a b c a b b ac ±+±-)之间的关系 0a a a ?>????L 对称轴在轴右侧对称轴在轴左侧0 00y y c c y y c ?>???? -?-=???-
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-
人教版九年级下册数学 二次函数知识点总结教案 主讲人：李霜霜
一、教学目标： (1)了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题． (2)通过练习及提问，复习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想． 二、教学重点、难点 教学重点：二次函数的图像，性质和应用 教学难点：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题． 三、教学过程 复习巩固 （一）二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． （二）二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： （三）二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律
函数图像应用题专题复习 一．一次函数应用题 1.“利民平价超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现,该商品每天的销 售量y （件）与售价x(元/件）之间的函数关系如右图：（20≤x ≤60）： (1)求每天销售量y （件）与售价x(元/件）之间的函数表达式； (2)若该商品每天的利润为w （元），试确定w （元）与售价x (元/件）的函数表达式，并求售价x 为多少时，每天的利润 w 最大？最大利润是多少？ 2.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发， 设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．． 为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象进行以下探究： 信息读取：（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； 图象理解： （3）求慢车和快车的速度； （4）求线段BC 所表示的y 与x 问题解决： （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车 相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 解：（1）900；（2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇． （3）由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，所以慢车的速度为90075(km /h)12 ； 当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶 y
的速度之和为 900225(km /h)4 =，所以快车的速度为150km/h ． （4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶9006(h)150=到达乙地，此时两车之间的距离为675450(km)?=，所以点C 的坐标为(6450)，． 设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，把(40)，，(6450)，代入得 044506. k b k b =+??=+?，解得225900.k b =??=-?， ∴线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-．（46x ≤≤）． （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ． 把 4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =． 此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km ，所以两列快车出 发的间隔时间是112.51500.75(h)÷=，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h ． 3. （2015年浙江）高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便. 五一期间，乐乐和颖 颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘高铁从衢州出 发，先到杭州火车东站，然后乘出租车去游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达 游乐园.他们离开衢州的距离（千米）与乘车时间（小时）的关系如下图所示. 请结合图象解决下面问题：（1）高铁的平均速度是每小时多少千米？ （2）当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？ （3）若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？ 解：（1）∵， ∴高铁的平均速度是每小时240千米. （2）设乐乐乘私家车路线的解析式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得 .∴乐乐乘私家车路线的解析式为．∴当时，. 设颖颖乘高铁路线的解析式为，∴，解得. y t 24024021 =-y kt b =+1t =0y =2t =240y =02240k b k b +=??+=?240240k b =??=-? 240240y t =- 1.5t =120y =1y k t =1120 1.5k =180k =
二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0