利用一次函数的图像解决实际问题

第18讲 一次函数专题（一）－－－利用图像解决实际问题一、一次函数与行程问题1．如图，折线ABC 是在某市乘出租车所付车费y （元）与行车里程x （km ）之间的函数关系图像.（1）根据图像，写出当3 x 时该图像的函数关系式； （2）某人乘坐2.5km ，应付多少钱？（3）某人乘坐13km ，应付多少钱？ （4）若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？2．甲、乙二人骑自行车同时从张庄出发，沿同一路线去李庄．甲行驶20分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶．如图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题：（1）乙比甲晚多长时间到达李庄？ （2）甲因事耽误了多长时间？（3）x 为何值时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多1千米？3．甲、乙两人沿相同的路线同时有A 地B 地匀速前进，他们距离B 地的路程S （千米）与前进的时间x （小时）的函数图像如图所示，则乙追上甲是距离B 地______千米.4．甲、乙两人从A 地出发前往B 地，甲、乙（实线为甲，虚线为乙）两人距离A 地的路程S （百米）与行走时间t （分）的函数关系图像如图所示，则甲与乙相遇的时间为乙出发后第_______分.第3题图 第4题图二、行程中的往返5．甲、乙两车要从A 地沿同一公路到B 地，乙车比甲车先行1小时，设甲车与乙车之间的路程为y （km ），甲车行驶时间为t （h ），y （km ）与t （h ）之间函数关系的图象如图所示（假设甲、乙两车的速度始终保持不变）．则a 的值是____________6．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x （时），两车之间的距离为y （千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系，已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地达到乙地所需时间为t 时，则t ＝__________。

几何直观在解决一次函数实际问题中的应用分析一次函数是数学中的基础概念，也是我们日常生活中经常会遇到的数学概念。

它在解决实际问题中有着重要的应用价值，而几何直观则是一种直观的解决问题的思维方式。

本文将从几何直观的角度出发，分析一次函数在解决实际问题中的应用。

一、什么是一次函数一次函数是指函数y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。

一次函数的图像通常是一条直线，因此也被称为线性函数。

一次函数在数学中有着广泛的应用，从代数求解到几何问题都离不开一次函数的概念。

二、一次函数在实际问题中的应用1.物体运动的描述一次函数可以用来描述物体的运动情况。

假设一个物体以匀速直线运动，我们可以用一次函数来描述其位置随时间的变化。

设物体在t时刻的位置为S(t)，速度为v，则S(t) = vt + S0，其中S0为物体在t=0时刻的位置。

这就是一个典型的一次函数应用，通过一次函数来描述物体的运动情况，这种描述方法在物理学和工程学中有着广泛的应用。

2.成本与产量的关系在经济学中，我们通常会用一次函数来描述成本与产量之间的关系。

假设生产某种产品的成本与产量之间存在线性关系，我们可以用一次函数来描述这种关系。

设产量为x，成本为C，则C(x) = kx + b，其中k为单位产量成本，b为固定成本。

通过分析这个一次函数，我们可以得到成本与产量之间的关系，从而帮助企业决策。

3.直线的建模在工程学和物理学中，我们常常需要对各种物理现象进行建模，而直线是一种简单而常见的模型。

通过建立一次函数的数学模型，我们可以对各种物理现象进行数学分析和预测。

用一次函数来描述线性传感器的输出与输入之间的关系，用一次函数来描述材料的应力与应变之间的关系等等。

几何直观是一种直观的解决问题的思维方式，通过观察、图形和几何关系来理解和解决问题。

在解决一次函数实际问题中，几何直观可以帮助我们更直观地理解和解决问题，从而更好地应用一次函数。

一次函数的函数图像与方程解析解的实际应用一次函数是数学中常见的一种函数类型，它可以表示为y = ax + b的形式，其中a和b为已知值，x和y为自变量和因变量。

在这篇文章中，我们将讨论一次函数的函数图像以及如何使用方程解析解来解决实际应用问题。

一、一次函数的函数图像一次函数的函数图像是一条直线，其斜率确定了直线的倾斜程度，截距则决定了直线与y轴的交点。

根据斜率的正负，可以判断直线是上升还是下降。

下面我们来看几个具体的例子。

1. 实例一：y = 2x + 1这个函数表示了一个斜率为2，截距为1的直线。

根据斜率的正值，我们知道这条直线上升。

当x增加1个单位时，y增加2个单位。

当x减小1个单位时，y减小2个单位。

通过这些关系，我们可以画出该函数的函数图像。

2. 实例二：y = -3x + 2这个函数表示了一个斜率为-3，截距为2的直线。

根据斜率的负值，我们知道这条直线下降。

当x增加1个单位时，y减小3个单位。

当x减小1个单位时，y增加3个单位。

同样地，我们可以通过这些关系画出该函数的函数图像。

通过观察这些例子，我们可以发现直线的倾斜程度（斜率）以及它与y轴的交点（截距）等信息可以从一次函数的解析解中推导出来。

这样，我们可以在解析解的基础上直观地了解一次函数的函数图像。

二、一次函数方程解析解的实际应用一次函数的解析解除了可以用来绘制函数图像之外，还可以应用于解决实际问题。

我们将通过以下两个实际应用问题来说明。

1. 实例一：销售收入问题假设一个公司以每件产品x销售价y的方式进行销售。

已知该公司每个月的固定成本是1000元，每件产品的可变成本是30元。

我们希望找到销售多少件产品时，公司能够实现盈亏平衡。

根据以上信息，我们可以写出一次函数的方程：总收入 = 总成本根据题意，总收入为yx，总成本为1000 + 30x。

将它们相等并整理方程，可得：yx = 1000 + 30x解这个一次方程，我们可以求得x的解析解。

本次课课堂教学内容 一次函数解决实际问题一、学习目标1、掌握一次函数的图像与性质2、能够运用一次函数的性质解决生活中实际问题二、知识梳理1.正比例函数性质：一般地，形如y=kx(k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） 必过点：（0，0）、（1，k ） (2) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (3) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (4) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 2.一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数k(称为斜率)表示直线y=kx+b （k ≠0）的倾斜程度，b 称为截距 一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) 必过点：（0，b ）和（kb-，0） （2）走向： 依据k 、b 的值分类判断，见下图（3）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （5）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.（6）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数3.一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.k>0k<04.正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移,）.上加下减，左加右减5.直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两直线平行：k1=k2且b1≠b2 （2）两直线相交：k1≠k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2 （4）两直线垂直：即k1﹒k2=-1（5）两直线交于y轴上同一点: b1=b26.待定系数法一般步骤(一设二代三解四还原)：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.7.一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.8.一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.9.一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcx b a +-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点. 10.关于点的距离的问题方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示；任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y ；三、例题讲解【考点1 一次函数的应用—方案最优化问题】【例1】为促进青少年体育运动的发展，某教育集团需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元． （1）求篮球和足球的单价；（2）根据实际需要，集团决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于40个，若购买篮球x 个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y （元），求y 与x 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，由于集团可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元，求购买篮球和足球各多少个时，能使总费用y 最小，并求出y 的最小值．【变式1】学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．（1）求篮球和足球的单价分别为多少元？（2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？（3）若学校购买这批篮球和足球的总费用为W（元），在（2）的条件下，求哪种方案能使总费用W最小，并求出W的最小值．【例2】湖南洞庭湖区盛产稻谷和棉花，销往全国各地，湖边某货运码头，有稻谷和棉花共3000吨，其中稻谷比棉花多500吨．（1）求稻谷和棉花各是多少吨；（2）现有甲、乙两种不同型号的集装箱共58个，将这批稻谷和棉花运往外地，已知稻谷35吨和棉花15吨可装满一个甲型集装箱；稻谷25吨和棉花35吨可装满一个乙型集装箱．在58个集装箱全部使用的情况下，共有几种方案安排使用甲、乙两种集装箱？（3）在（2）的情况下，甲种集装箱每箱收费1000元，乙种集装箱每箱收费1200元，乙种集装箱老板想扩大市场，提出惠民措施：每箱可优惠m元（m＜250）．问怎么安排集装箱这批货物总运输费最少？【考点2 一次函数的应用—行程问题】【例3】甲车从A地出发匀速驶向B地，到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙车从B 地出发沿相同路线匀速驶向A地，出发1小时后，乙车因故障在途中停车1小时，然后继续按原速驶向A地，乙车在行驶过程中的速度是80千米/时，甲车比乙车早1小时到达A地，两车距各自出发地的路程y千米与甲车行驶时间x小时之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）写出甲车行驶的速度，并直接写出图中括号内正确的数．（2）求甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）．（3）直接写出乙车出发多少小时，两车恰好相距80千米．【变式2】一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：（1）根据图象，分别写出y1、y2关于x的关系式（需要写出自变量取值范围）；（2）当两车相遇时，求x的值；（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．【例4】甲、乙两车同时从A地出发驶向B地．甲车到达B地后立即返回，设甲车离A地的距离为y1（千米），乙车离A地的距离为y2（千米），行驶时间为x（小时），y1，y2与x 的函数关系如图所示．（1）填空：A、B两地相距千米，甲车从B地返回A地的行驶速度是千米/时；（2）当两车行驶7小时后在途中相遇，求点E的坐标；（3）甲车从B地返回A地途中，与乙车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【例5】杭州市水厂的水价调整与阶梯式水价改革方案已出台，自2010年9月1日（用水时间）起执行，为鼓励居民节约用水，对居民生活用水实行水费阶梯制（见表）．…“一户一表”用水量不超过17立方米超过17立方米且不超过30立方米的部分单价（元/立方米） 2.40 3.35 …小芳家十月份用水x立方米．（1）当x≤17时，小芳家这月付水费多少元？（2）若小芳家这月用水20立方米，应付水费多少元？（3）若小芳家这月付了水费60.9元，她家该月用水多少立方米？【例6】某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如下表：到超市的路程（千米）运费（元/斤•千米）甲养殖场200 0.012乙养殖场140 0.015设超市每天从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元．（1）超市每天从乙养殖场调运鸡蛋（1200﹣x）斤（用含x的代数式表示）．（2）求W与x的函数关系式．（3）如果合理安排调运，可以节省运费，每天最少需总运费2610 元（直接填空）．【例7】如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≥﹣1【变式】如图，直线y=kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b13＜x时，x的取值范围为．四、课堂检测1.小涵与阿嘉一起去咖啡店购买同款咖啡豆，咖啡豆每公克的价钱固定，购买时自备容器则结帐金额再减5元．若小涵购买咖啡豆250公克且自备容器，需支付295元；阿嘉购买咖啡豆x公克但没有自备容器，需支付y元，则y与x的关系式为下列何者？（）A．y295250=x B．y300250=x C．y295250=x+5 D．y300250=x+52.甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（）A．乙队率先到达终点 B．甲队比乙队多走了126米C．在47.8秒时，两队所走路程相等 D．从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢3.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（）A．y=﹣x+4 B．y=x+4 C．y=x+8 D．y=﹣x+84.某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（）A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：305.若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）A．﹣1 B．0 C．3 D．46.当直线y=（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是．7．如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为．8.某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调，彩电共30台，根据市场需要，这些空调，彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价如下表所示：项目空调彩电进价（月/台）5400 3500售价（月/台）6100 3900设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．（1）试出y与x之间的函数关系式；（2）商场有哪几种进货方案可以选择？（3）根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？9.快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，快车到达乙地后，慢车继续前行，设出发x小时后，两车相距y千米，图中折线表示从两车出发至慢车到达甲地的过程中y 与x之间的函数关系式，根据图中信息，解答下列问题．（1）甲、乙两地相距千米，快车从甲地到乙地所用的时间是小时；（2）求线段PQ的函数解析式（写出自变量取值范围），并说明点Q的实际意义．（3）求快车和慢车的速度．本次课课后练习1.一次函数y 1=k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2．下列说法中错误的是（）A．k1=k2B．b1＜b2 C．b1＞b2D．当x=5时，y1＞y22．如图所示，直线l1：y32=x+6与直线l2：y52=-x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式32x+6 52-＞x﹣2的解集是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣23.等腰三角形周长为20cm，底边长y cm与腰长x cm之间的函数关系是（）A．y＝20﹣2x B．y＝20﹣2x（5＜x＜10）C．y＝10﹣0.5x D．y＝10﹣0.5x（10＜x＜20）4.在平面直角坐标系内，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组1122y k x by k x b-=⎧⎨-=⎩的解是．5.如图所示，一次函数y=ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为．6.据测试，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05 mL．若小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开xh后水龙头滴了ymL水，则y与x之间的函数关系式为_______．7.如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P（﹣1，a）．（1）求直线l1的解析式；（2）求四边形PAOC的面积．8.某农产品店利用网络将优质土特产销往全国，其中销售的核桃和花生这两种商品的相关信息如下表．根据下表提供的信息，解答下列问题：商品核桃花生规格1kg/袋2kg/袋利润10元/袋8元/袋（1）已知今年上半年，该店销售上表规格的核桃和花生共3000kg，获得利润21000元，求上半年该店销售这种规格的核桃和花生各多少袋？（2）根据之前的销售情况，估计今年下半年，该店还能销售上表规格的核桃和花生共2000kg，其中，核桃的销售量不低于600kg．假设今年下半年，销售上表规格的核桃为x（kg），销售上表规格的核桃和花生获得的总利润为W（元），写出W与x之的函数关系式，并求下半年该店销售这种规格的核桃和花生至少获得的总利润．9.2019年元旦期间，某商场打出促销广告，如表所示：优惠条件一次性购物不超过200元一次性购物超过200元优惠办法一律按九折优惠其中200元仍按九折优惠超过200元部分按八折优惠小颖一次性购物x元，实际付款y元（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）这次购物小颖实际付款196元，问：所购物品的原价是多少元？10.学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．（1）求A，B两型桌椅的单价；（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）求出总费用最少的购置方案．。

利用一次函数图像解决实际问题从近几年黑龙江省的中考试卷可以看出，中考命题增大了对一次函数图像的应用考查的力度和强度，题型由选择题、填空题攀升到分值比重较大的解答题，直至难度较大的实际应用题.特别是利用一次函数图像解决实际问题这类题目，正逐步成为中考命题的热点.因此，列举几道近年来黑龙江省各地区的中考题进行考点解析、考题精讲、中考预测等几方面的诠释，供广大考生在复习时参考.一、考点解析1. 考点应用（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；（2）会利用待定系数法确定一次函数的表达式；（3）能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式y＝kx＋b（k≠0），探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况；（4）体会一次函数与二元一次方程（组）的关系；（5）能用一次函数（图像）解决简单的实际问题.2. 考点指明（1）利用一次函数图像的应用题考查的考点集中在以下几方面：①对数形结合的认识和理解情况；②将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；③对分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的掌握；④对一次函数与方程（组）、不等式（组）关系的理解与转化能力.（2）利用一次函数图像解决实际问题这类的题目，通常表现为图像信息题，是中考的热点考题.解答这类问题的重点是要抓住以下几点：①读懂图像，结合分析找出有用信息；②利用信息抽象出数学模型（如一次函数）；③带着实际问题的限制条件解数学模型.（3）利用一次函数图像解决实际问题时，深刻理解一次函数的图像要注重以下几点：①分清一次函数中的分段函数，要特别注意相应的自变量变化区间，在解析式和图像上都要反映出自变量的相应取值范围.由几条线段（或射线）组成的折线将函数图像分段，其中每条线段（或射线）代表每一段函数图像，代表某一个阶段的情况.②弄清两个坐标轴代表的实际意义，分析分段函数的图像要结合实际问题背景.二、考题精讲例1：（2014年黑龙江省齐齐哈尔市）已知，A、B两市相距260千米.甲车从A市前往B市运送物资，行驶2小时在M地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从A市赶来维修（通知时间忽略不计）.乙车到达M地后又经过20分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速1.5倍的速度前往B市.如图是两车距A市的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数图像，结合图像回答下列问题：（1）甲车提速后的速度是千米/时，乙车的速度是千米/时，点C的坐标为；（2）求乙车返回时y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）求甲车到达B市时乙车已返回A市多长时间.【考点应用】一次函数图像的应用.【详解详析】（1）由甲车行驶2小时到M地可知M地距A市80千米，由此求得甲车原来的速度为40千米/时，进而求得甲车提速后的速度；根据乙车从出发到返回的时间以及速度，求得点C的坐标；（2）设乙车返回时y与x的函数关系式y＝kx＋b，代入点C和（4，0）求得答案即可；（3）求出甲车提速后到达B市时间减去乙车已返回A市的时间即可.【解答过程】【总结点评】此题考查一次函数的实际运用，结合图像，理解题意，正确列出函数解析式解决问题.例2：（2015年黑龙江省齐齐哈尔市）甲、乙两车分别从相距480千米的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地.乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y （千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图像解答下列问题：（1）乙车的速度是千米/时，t= 小时；（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．【考点应用】一次函数图像的应用．【详解详析】（1）首先求得乙车的速度，然后求出乙车到达A地用的时间是多少；最后求出甲车的速度，求出t的值是多少即可；（2）根据题意分三种情况求出甲车距它出发地的路程y 与它出发的时间x的函数关系式，写出自变量的取值范围；（3）根据题意分三种情况求出乙车出发多长时间两车相距120千米即可．【解答过程】4小时、6小时后两车相距120千米．【总结点评】（1）此题主要考查了一次函数的应用问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．（2）此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系．。

用一次函数图象解决实际问题的教案]教案名称：用一次函数图像解决实际问题教案主题：数学教学目标：1.能够明白使用一次函数图像解决实际问题的意义和应用范围。

2.能够解决一些实际问题，如解析坐标点和斜率；在一张坐标纸上绘制函数图像；使用图像解决一些实际问题。

3.培养学生的思维能力，如观察、分析和解决问题的能力。

4.激发学生学习数学的兴趣，增加把数学知识与现实生活联系起来的积极性。

教学重难点：1.使用一次函数图像解决实际问题的应用。

2.使用函数图像求解问题时，特别是建立方程和制作图像，需要学生经常练习。

教学步骤：老师首先为学生介绍本课的主题，即使用一次函数图像解决实际问题。

为什么要学习这个？这与他们日常生活有什么关联呢？Step 2：预习老师为学生分发学习材料，让他们阅读有关材料和视频的内容。

同时，老师还设定了小组任务：每组从学习材料中选出一段内容进行理解和总结，并向全班展示学习成果。

这样做可以让学生更好地理解学习内容，并培养他们的思维和沟通能力。

Step 3：讲解老师开始讲解本课的主要内容。

老师首先介绍了一次函数图像的概念和一些重要的性质，如斜率和截距。

老师解释了函数图像的意义和用途，以及在实际问题中的应用。

老师使用数学公式和实际问题来解释一些具体的概念和应用，如解析坐标点和斜率等。

Step 4：示范老师向学生展示如何在坐标纸上绘制一次函数图像并解决实际问题。

老师以一个具体的例子为例，让学生跟着操作，并吸收相关知识。

老师渐进式地解释过程并指出一些常见的错误。

学生们也可以跟着老师完成这个例子，以加深理解。

老师将一些相关问题分发给学生，让他们在课堂上或自学时间里完成。

老师还将一些问题转化为实践任务，让学生们在学校里寻找并解决实际问题。

这样做可以帮助学生掌握图像和实际问题的应用。

Step 6：总结老师要求学生对本节课的知识点和应用进行总结，并将学习成果向全班展示。

老师鼓励学生互相交流和分享自己的答案，以促进知识的交流和深入理解。

利用一次函数解决问题一次函数（也称为线性函数）是数学中常见且重要的函数类型之一。

它的表达式为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，且a ≠ 0。

一次函数的图像是一条直线，具有许多应用领域。

本文将介绍如何利用一次函数解决问题。

一、利用一次函数解决实际问题一次函数在实际问题中的应用非常广泛。

它可以描述物体的直线运动、收入与支出的关系、成本与产量的关系等。

下面举例说明：例1：小明每天骑自行车上学，他发现骑行的时间与距离之间存在一定的关系。

他测量了两天的数据，如下所示：时间（分钟）：10 20 30 40距离（千米）：1 2 3 4小明想要知道骑行 50 分钟可以骑多远，他可以利用一次函数解决这个问题。

解：我们可以先通过已知数据构建一个一次函数。

选择时间作为自变量 x，距离作为因变量 y。

现在我们来求解 a 和 b 的值。

已知点 A (10, 1) 和点 B (20, 2)，可以利用两点间的斜率公式计算 a的值：a = (yB - yA) / (xB - xA) = (2 - 1) / (20 - 10) = 1 / 10 = 0.1接下来，我们可以代入其中一点的坐标和已知的 a 值，求解 b 的值：1 = 0.1 * 10 + bb = 1 - 1 = 0所以，一次函数为 y = 0.1x + 0。

现在可以利用求得的一次函数来解决问题。

当 x = 50 时，我们可以通过函数表达式求得对应的 y 值：y = 0.1 * 50 + 0 = 5因此，小明骑行 50 分钟可以骑行 5 千米。

二、利用一次函数解决图像问题一次函数的图像是一条直线，通过直线的性质，我们可以解决一些与图像相关的问题。

下面举例说明：例2：某公司生产零件，每天生产数量与花费的时间之间呈一次函数的关系。

已知当生产数量为 1000 时，需要 4 小时。

而当生产数量为2000 时，需要 8 小时。

现在需要求解该函数的表达式并计算生产 3000 个零件所需的时间。

一次函数解决实际问题我们知道，在一般情况下，一次函数y＝k＋b（k、b为实数，且k≠0）的自变量取值范围是全体实数，函数在平面直角坐标系中的图像是一条直线．但是，在实际问题中，自变量的取值常常受到一定的限制，导致函数的图像发生变化，由直线变为其它图形．一、图像变成射线例1甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地出发到乙地去，到达乙地后继续以每小时60千米的速度向前行驶，求汽车行驶t小时后与甲地距离S（千米）之间的函数关系式，并画出函数的图像．解由题意得，S＝60t＋20，其中t≥0．当t＝0时，S＝20；当t＝1时，S＝80．以A（0，20）为端点，作射线AB，使它经过点B（1，80）（如图1），则射线AB为所求函数的图像．【评注】当自变量≥a（或≤a，a为实数）时，函数y＝k＋b的图像是一条射线．特别地，当自变量＞a（或＜a）时，函数y＝k＋b的图像不包括射线的端点，此时，射线的端点画成空心圆圈．二、图像变成线段例2柴油机开始工作时，油箱中有油60升，工作时每小时耗油5升，求油箱的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，并画出该函数的图像．解由题意得，Q＝－5t＋60，其中0≤t≤12．当t＝0时，Q＝60；当t＝12时，Q＝0．以点A（0，60）、B（12，0）为端点作线段AB（如图2），则线段AB为所求函数的图像．【评注】当自变量取值满足1≤≤2（1＜2）时，函数y＝k＋b的图像是一条线段．特别地，当1＜＜2时，函数y＝k＋b的图像不包括线段的端点，此时，线段的端点画成空心圆圈．三、图像变成离散的点例3小敏带3元钱去文具店买圆珠笔，已知每支圆珠笔的售价为0。

25元，试写出所剩钱数y（元）与购买的圆珠笔的支数（支）之间的函数关系式，并作出函数图像．解由题意得，y＝3－0。

25，其中0≤t≤12，且为整数．显然，y与之间的对应关系可用下表表示：在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值所对应的点（如图3），则这些离散的点组成的图形就是所求作的函数图像。

利用一次函数解决实际问题在利用一次函数解决实际问题时，会经常遇到这样的问题，在有的题目中，不论自变量x怎样变化，y和x的关系始终保持一次函数关系，而有的题目中，当自变量x发生变化时，随着x的取值范围不同，y和x的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了变化.这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数.请同学们注意，这类函数在自变量的整个取值范围内不是一次函数，但把它适当分为几段后，每段内一般来说还仍然是一次函数。

因此，解这类分段函数的基本思路是：首先按照实际问题的意义，把x 的取值范围适当分为几段，然后，根据每段中的函数关系分别求解.请同学们完成下面的习题：1.商店在经营某种海产品中发现，其日销量y(kg)和销售单价x（元）/千克之间的函数关系如图所示.①写出y与之间的函数关系式并注明x的取值范围；②当单价为32元/千克时，日销售量是多少千克？③当日销售量为80千克时，单价是多少？第1题第2题2.(南京)某城市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20cm3时，按2元/立方米计费；月用水量超过20cm3时，超过的部分按2.6元/立方米计费.设每户家庭的月用水量为x cm3时，应交水费y元，①试求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数关系式.②小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月五月六月交纳金额（元）30 34 42.6小明家这个季度共用水多少立方米？3.自2008年3月1日起，我国征收个人所得税的起点由1600元提高到2000元，即月收入超过2000元的部分为全月应纳税所得额.全月应纳税所得额的划分和相应的税率如下表所示.设某人的月工资收入为x（元），月缴纳个人所得税为y（元），①试求出y与x间的函数关系式并注明x的取值范围.②如果某人月工资为3000元，问此人依法缴纳个人所得税后，他的实际收入是多少元？4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6 cm AD=10cm,动点M从点B出发，以每秒1cm 的速度沿BA-AD-DC运动，当M运动到点C时，点M停止运动.设点M的运动时间为t(s)，△BMC的面积为S（cm2）.①点M分别到达点A、点D、点C时，点M的运动时间；②求S与t之间的函数关系式，并注明t的取值范围；③当t=6s时，求△BMC的面积；④当△BMC的面积是20cm2时，求点M的运动时间.B C M第4题5.甲乙两位同学骑自行车同时从A 地出发行驶到B 地，他们离出发点的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数图像如图所示.根据图中提供的信息，①分别求出甲在停留前后s 与t 的函数关系式； ②求出乙的行驶过程中s 与t 的函数关系式；③比较甲在停留前后的速度和乙的速度，三个速度中 的速度最大， 的速度最小；④甲在停留之前超过乙的最大距离；⑤经过多长时间乙追上甲？乙追上甲时，他们距离出发地点多少千米？⑥甲停留以后又出发时，乙超过甲多少千米？ ⑦乙在到达目的地后，甲距目的地还有多少千米？⑧假设甲乙到达目的地后均不停留，分别按原来的速度继续前进，问甲能否追上乙？若能追上，从两人开始出发时计时，经过几小时甲追上乙；若不能追上，请说明理由.6.(2008·济南)济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出 物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）.储运部库存物资s(吨)与时间（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（ ）小时.A.4B.4.4C.4.8D.5（小时）第5题第6题参考答案1.①20≤x≤30时，y=-5x+200;30≤x≤35时y=-10x+350;，②30；③24.2. ①0≤x≤20时，y=-2x;x＞20时，y=2.6x+-1.2②15+17+21=533. 2000≤x＜2500时，y=0.05x-100，y=0.1x-225 4500≤x＜7500时，y=0.15x-4504. ①6s;16s;22;②0≤t＜6时，s=5t;6≤t＜16时，s=30;16≤t＜22时，s=110-5t③20;④4s或18s5.①0≤t≤0.25时,s=18t; 1≤t≤2时,s=13.5t-9②s=12t.③甲在停留前的速度最大；乙的速度最小.④1.5千米.⑤0.375小时，4.5千米.⑥7.5千米.⑦6.75千米.⑧能追上，6小时.6. B。

一次函数图像教案教案标题：一次函数图像教案教案目标：1. 了解一次函数的定义和特征；2. 掌握一次函数的图像绘制方法；3. 能够通过一次函数的图像解决实际问题。

教案步骤：一、引入（5分钟）1. 利用一个简单的实际问题引入一次函数的概念，例如：小明每天花费10元骑自行车去上学，写出与天数的关系式。

2. 引导学生思考这个关系式是否可以用一次函数来表示。

二、概念讲解（10分钟）1. 介绍一次函数的定义：f(x) = ax + b，其中a和b是常数，a ≠ 0。

2. 解释a和b的含义：a表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。

3. 强调一次函数的图像是一条直线。

三、图像绘制方法（15分钟）1. 指导学生绘制一次函数的图像：a) 选择合适的x值，计算对应的y值；b) 根据得到的点，绘制直线。

四、实例演练（15分钟）1. 给出几个实际问题，要求学生利用一次函数的图像解决问题，例如：a) 小明每天花费10元骑自行车去上学，那么15天后他花费了多少钱？b) 一家餐馆每天固定的开销是100元，每卖出一份饭菜可以获利5元，那么卖出30份饭菜后的总收入是多少？2. 引导学生分析问题，建立相应的一次函数模型，然后通过图像找到答案。

五、拓展练习（15分钟）1. 提供更多的实际问题，要求学生利用一次函数的图像解决问题，例如：a) 一辆汽车每小时行驶60公里，那么2小时后行驶了多远？b) 一个公司每月的固定开销是5000元，每卖出一件产品可以获利200元，那么卖出25件产品后的总收入是多少？2. 鼓励学生自主解决问题，并分享解决思路和答案。

六、总结与评价（5分钟）1. 总结一次函数的定义和特征；2. 检查学生对一次函数图像绘制和应用的掌握情况；3. 对学生的表现进行评价和反馈。

教案扩展：教师可以引导学生进一步探究一次函数的性质和应用，例如：1. 一次函数的斜率和截距对图像有什么影响？2. 如何通过一次函数的图像确定函数的解析式？3. 一次函数在经济学、物理学等领域的应用。

1.2017四川省南充市小明从家到图书馆看报然后返回;他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示;如果小明在图书馆看报30分钟;那么他离家50分钟时离家的距离为km．答案：0.3考点FH：一次函数的应用．分析根据题意和函数图象可以求得小明从图书馆回家的速度以及对应的时间;从而可以求得他离家50分钟时离家的距离或者根据题意求出相应的函数解析式;求出当x=50时;对应的y的值即可解答本题．解答解：方法一：由题意可得;小明从图书馆回家用的时间是：55﹣10+30=15分钟;则小明回家的速度为：0.9÷15=0.06km/min;故他离家50分钟时离家的距离为：0.9﹣0.06×50﹣10+30=0.3km;故答案为：0.3；方法二：设小明从图书馆回家对应的函数解析式为y=kx+b;则该函数过点40;0.9;55;0;;解得;;即小明从图书馆回家对应的函数解析式为y=﹣0.06x+3.3;当x=50时;y=﹣0.06×50+3.3=0.3;故答案为：0.3．2.4利用一次函数解决实际问题填空题基础知识2017-10-122.2017浙江省绍兴市某市规定了每月用水18立方米以内含18立方米和用水18立方米以上两种不同的收费标准.该市的用户每月应交水费y元是用水量x立方米的函数;其图象如图所示.1若某月用水量为18立方米;则应交水费多少元2求当x>18时;y关于x的函数表达式.若小敏家某月交水费81元;则这个月用水量为多少立方米答案：答案1解：观察折线图可得当横坐标为18时的点的纵坐标为45;即应交水费为45元. 2解：设当x>18时;y关于x的函数表达式为y=kx+b;将18;45和28;75代入可得解得;则当x>18时;y关于x的函数表达式为y=3x-9;当y=81时;3x-9=81;解得x=30.答：这个月用水量为30立方米.考点一次函数的应用解析分析1从图中即可得到横坐标为18时的点的纵坐标；2运用待定系数法;设y=kx+b;代入两个点的坐标求出k和b;并将y=81时代入求出x的值即可.2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-10-123.2017青海省西宁市．10分2017 西宁;27;10分首条贯通丝绸之路经济带的高铁线﹣﹣宝兰客专进入全线拉通试验阶段;宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义;试运行期间;一列动车从西安开往西宁;一列普通列车从西宁开往西安;两车同时出发;设普通列车行驶的时间为x小时;两车之间的距离为y千米;图中的折线表示y与x之间的函数关系;根据图象进行一下探究：信息读取1西宁到西安两地相距1000 千米;两车出发后 3 小时相遇；2普通列车到达终点共需12 小时;普通列车的速度是千米/小时．答案：．考点FH：一次函数的应用．分析1由x=0时y=1000及x=3时y=0的实际意义可得答案；2根据x=12时的实际意义可得;由速度=可得答案；3设动车的速度为x千米/小时;根据“动车3小时行驶的路程+普通列出3小时行驶的路程=1000”列方程求解可得；4先求出t小时普通列车行驶的路程;继而可得答案．解答解：1由x=0时;y=1000知;西宁到西安两地相距1000千米;由x=3时;y=0知;两车出发后3小时相遇;故答案为：1000;3；2由图象知x=t时;动车到达西宁;∴x=12时;普通列车到达西安;即普通列车到达终点共需12小时;普通列车的速度是=千米/小时;故答案为：12;；3设动车的速度为x 千米/小时;根据题意;得：3x+3×=1000; 解得：x=250;答：动车的速度为250千米/小时；4∵t==4小时; ∴4×=千米; ∴1000﹣=千米; ∴此时普通列车还需行驶千米到达西安． 点评本题主要考查一次函数的应用;根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键．2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-10-124.2017河北省如图;直角坐标系xOy 中;(0,5)A ;直线5x =-与x 轴交于点D ;直线33988y x =--与x 轴及直线5x =-分别交于点C ;E ．点B ;E 关于x 轴对称;连接AB ． 1求点C ;E 的坐标及直线AB 的解析式；2设面积的和CDE ABDO S S S ∆=+;求S 的值；3在求2中S 时;嘉琪有个想法：“将CDE ∆沿x 轴翻折到CDB ∆的位置;而CDB ∆与四边形ABDO 拼接后可看成AOC ∆;这样求S 便转化为直接求AOC ∆的面积不更快捷吗 ”但大家经反复验算;发现AOC S S ∆≠;请通过计算解释他的想法错在哪里．答案：答案1C -13;0;E -5;-3;255y x =+；232；3见解析. 解析2∵CD=8;DE=DB=3;OA=OD=5;∴183122CDES=⨯⨯=;()1355202ABDOS=⨯+⨯=四边形;即S=32.3当x=-13时;255y x=+=-0.2≠0.∴点C不在直线AB上;即A;B;C三点不共线.∴他的想法错在将△CDB与四边形ABDO拼接后看成了△AOC.考点：待定系数法;多边形的面积;一次函数的性质.2.4利用一次函数解决实际问题复合题基础知识2017-10-115.2017新疆建设兵团10分某周日上午8：00小宇从家出发;乘车1小时到达某活动中心参加实践活动．11：00时他在活动中心接到爸爸的电话;因急事要求他在12：00前回到家;他即刻按照来活动中心时的路线;以5千米/小时的平均速度快步返回．同时;爸爸从家沿同一路线开车接他;在距家20千米处接上了小宇;立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x小时后;到达离家y千米的地方;图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系．1活动中心与小宇家相距千米;小宇在活动中心活动时间为小时;他从活动中心返家时;步行用了小时；2求线段BC所表示的y千米与x小时之间的函数关系式不必写出x所表示的范围；3根据上述情况不考虑其他因素;请判断小宇是否能在12：00前回到家;并说明理由．答案：考点FH：一次函数的应用．分析1根据点A、B坐标结合时间=路程÷速度;即可得出结论；2根据离家距离=22﹣速度×时间;即可得出y与x之间的函数关系式；3由小宇步行的时间等于爸爸开车接到小宇的时间结合往返时间相同;即可求出小宇从活动中心返家所用时间;将其与1比较后即可得出结论．解答解：1∵点A 的坐标为1;22;点B 的坐标为3;22;∴活动中心与小宇家相距22千米;小宇在活动中心活动时间为3﹣1=2小时．22﹣20÷5=0.4小时．故答案为：22；2；0.4．2根据题意得：y=22﹣5x ﹣3=﹣5x+37．3小宇从活动中心返家所用时间为：0.4+0.4=0.8小时;∵0.8＜1;∴所用小宇12：00前能到家．2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-196.2017天津市用4A 纸复印文件;在甲复印店不管一次复印多少页;每页收费0.1元.在乙复印店复印同样的文件;一次复印页数不超过20时;每页收费0.12元；一次复印页数超过20时;超过部分每页收费0.09元.设在同一家复印店一次复印文件的页数为x x 为非负整数.1根据题意;填写下表：2设在甲复印店复印收费1y 元;在乙复印店复印收费2y 元;分别写出21y y ，关于x 的函数关系式；3当70 x 时;顾客在哪家复印店复印花费少 请说明理由.答案：答案11;3;1.2;3.3.21y =0.1xx ≥0；当0≤x ≤20时;2y =0.12x;当x>20时;2y =0.12×20+0.09x-20;即2y =0.09x+0.6.3当x>70时;顾客在乙复印店复印花费少;理由见解析. 解析试题分析：1根据在甲复印店不管一次复印多少页;每页收费0.1元和在乙复印店复印同样的文件;一次复印页数不超过20时;每页收费0.12元；一次复印页数超过20时;超过部分每页收费0.09元计算填空即可；2根据在甲复印店不管一次复印多少页;每页收费0.1元和在乙复印店复印同样的文件;一次复印页数不超过20时;每页收费0.12元；一次复印页数超过20时;超过部分每页收费0.09元;直接写出函数关系式即可；3当x>70时;有1y =0.1x;2y =0.09x+0.6;计算出1y -2y 的结果;利用一次函数的性质解决即可.3顾客在乙复印店复印花费少.当x>70时;有1y =0.1x;2y =0.09x+0.6∴1y -2y ==0.1x-0.09x+0.6=0.01x-0.6记y==0.01x-0.6由0.01>0;y 随x 的增大而增大;又x=70时;有y=0.1.∴x>70时;有y>0.1;即y>0∴1y >2y∴当x>70时;顾客在乙复印店复印花费少.2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-197.2017四川省达州市甲、乙两动点分别从线段AB 的两端点同时出发;甲从点A 出发;向终点B 运动;乙从点B 出发;向终点A 运动．已知线段AB 长为90cm;甲的速度为2.5cm/s ．设运动时间为xs;甲、乙两点之间的距离为ycm;y 与x 的函数图象如图所示;则图中线段DE 所表示的函数关系式为 y=4.5x ﹣9020≤x ≤36 ．并写出自变量取值范围答案：y=4.5x ﹣9020≤x ≤36 ．分析图中线段DE 所表示的函数关系式;实际上表示甲乙两人相遇后的路程之和与时间的关系． 解答解：观察图象可知;乙的速度==2cm/s;相遇时间==20; ∴图中线段DE 所表示的函数关系式：y=2.5+2x ﹣20=4.5x ﹣9020≤x ≤36．故答案为y=4.5x ﹣9020≤x ≤36．点评本题考查一次函数的应用、路程、速度、时间的关系等知识;解题的关键是读懂图象信息;灵活运用所学知识解决问题;属于中考填空题中的压轴题．2.4利用一次函数解决实际问题填空题基础知识2017-9-198.2017上海市．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案． 甲公司方案：每月的养护费用y 元与绿化面积x 平方米是一次函数关系;如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时;每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时;每月在收取5500元的基础上;超过部分每平方米收取4元．1求如图所示的y 与x 的函数解析式：不要求写出定义域；2如果某学校目前的绿化面积是1200平方米;试通过计算说明：选择哪家公司的服务;每月的绿化养护费用较少．答案：．分析1利用待定系数法即可解决问题；2绿化面积是1200平方米时;求出两家的费用即可判断；解答解：1设y=kx+b;则有; 解得; ∴y=5x+400．2绿化面积是1200平方米时;甲公司的费用为6400元;乙公司的费用为5500+4×200=6300元; ∵6300＜6400∴选择乙公司的服务;每月的绿化养护费用较少．点评本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键．2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-199.2017山东省烟台市数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况;发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度C 020-时;制冷停止;此后冷柜中的温度开始逐渐上升;当上升到C 04-时;制冷开始;温度开始逐渐下降;当冷柜自动制冷至C 020-时;制冷再次停止;……;按照以上方式循环进行.同学们记录了44min 内15个时间点冷柜中的温度)(0C y 随时间(min)x 的变化情况;制成下表：1通过分析发现;冷柜中的温度y 是时间x 的函数.①当204<≤x 时;写出一个符合表中数据的函数解析式；②当2420<≤x 时;写出一个符合表中数据的函数解析式；2a 的值为；3如图;在直角坐标系中;已描出了上表中部分数据对应的点;请描出剩余对应的点;并画出444≤≤x 时温度y 随时间x 变化的函数图象.答案：答案1①y=﹣80x ．②y=﹣4x+76．2-12；3作图见解析.3描点、连线;画出函数图象即可．试题解析：1①∵4×﹣20=﹣80;8×﹣10=﹣80;10×﹣8=﹣80;16×﹣5=﹣80;20×﹣4=﹣80; ∴当4≤x ＜20时;y=﹣80x ．2观察表格;可知该冷柜的工作周期为20分钟;∴当x=42时;与x=22时;y 值相同;∴a=﹣12．3描点、连线;画出函数图象;如图所示．考点：一次函数的应用．2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-1910.2017山东省德州市公式KP L L +=0表示当重力为P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度.0L 表示弹簧的初始长度;用厘米cm 表示;K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度;用厘米cm 表示..下面给出的四个公式中;表明这是一个短而硬的弹簧的是A ．L=10+0.5PB ．L=10+5PC ．L=80+0.5PD ．L=80+5P答案：答案A解析试题分析：A 和B 中;0L =10;表示弹簧短；A 和C 中;K =0.5;表示弹簧硬；故选A考点:一次函数的应用2.4利用一次函数解决实际问题选择题基础知识2017-9-1911.2017山东省青岛市本小题满分8分A 、B 两地相距60km;甲、乙两人从两地出发相向而行;甲先出发．图中21,l l 表示两人离A 地的距离Skm 与时间th 的关系;结合图像回答下列问题：1表示乙离开A 地的距离与时间关系的图像是________填21l l 或；甲的速度是__________km/h ；乙的速度是________km/h..2甲出发后多少时间两人恰好相距5km答案：答案解析试题分析：1乙离开A 地的距离越来越远;图像是2l ；甲的速度60÷2=30；乙的速度60÷3.5-0.5=20；2分类讨论：①相遇前：521=-y y 得h x 3.1=；②相遇后：由512=-y y 得h x 5.1=.考点：一次函数的应用 2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-1912.2017山东省临沂市某市为节约水资源;制定了新的居民用水收费标准.按照新标准;用户每月缴纳的水费y 元与每月用水量x 3m 之间的关系如图所示.1求y 关于x 的函数解析式；2若某用户二、三月份共用水340m 二月份用水量不超过325m ;缴纳水费79.8元;则该用户二、三月份的用水量各是多少3m 答案：答案1 1.8,0152.49,15x x y x x <<⎧=⎨-≥⎩2二、三月份用水量分别是312m 和328m 解析试题分析：1根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式;然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式；2根据题意对x 进行取值进行讨论;从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少m 3． 试题解析：1当015x <<时;设y mx =;则1527m =;所以 1.8m =; 1.8y x = 当15x ≥时;设y kx b =+;则15272039k b k b +=⎧⎨+=⎩;解得 2.49k b =⎧⎨=-⎩;所以y 与x 的关系式是 1.8,0152.49,15x x y x x <<⎧=⎨-≥⎩. 考点：一次函数的应用2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-1913.2017江苏省扬州市同一温度的华氏度数y F 与摄氏度数x C 之间的函数表达式是9325y x =+．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等;则此温度的摄氏度数为C ． 答案：40；2.4利用一次函数解决实际问题填空题基础知识2017-9-1814.2017江苏省淮安市某公司组织员工到附近的景点旅游;根据旅行社提供的收费方案;绘制了如图所示的图象;图中折线ABCD 表示人均收费y 元与参加旅游的人数x 人之间的函数关系． 1当参加旅游的人数不超过10人时;人均收费为 元；2如果该公司支付给旅行社3600元;那么参加这次旅游的人数是多少答案：答案1240；220．试题解析：1观察图象可知：当参加旅游的人数不超过10人时;人均收费为240元．故答案为240．2∵3600÷240=15;3600÷150=24;∴收费标准在BC 段;设直线BC 的解析式为y=kx+b;则有1024025150k b k b +=⎧⎨+=⎩; 解得6300k b =-⎧⎨=⎩; ∴y=﹣6x+300;由题意﹣6x+300x=3600;解得x=20或30舍弃答：参加这次旅游的人数是20人．考点：一次函数的应用．2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-1815.2017吉林省长春市如图①;一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内;现以一定的速度往水槽中注水;28s 时注满水槽．水槽内水面的高度ycm 与注水时间xs 之间的函数图象如图②所示． 1正方体的棱长为 cm ；2求线段AB 对应的函数解析式;并写出自变量x 的取值范围；3如果将正方体铁块取出;又经过ts 恰好将此水槽注满;直接写出t 的值．答案：答案110；2y=58x+5212≤x≤28；34秒解析2设线段AB对应的函数解析式为：y=kx+b; ∵图象过A12;0;B28;20;∴120 2820k bk b⎧+=⎨+=⎩;解得：5852kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩;∴线段AB对应的解析式为：y=58x+5212≤x≤28；3∵28﹣12=16cm;∴没有立方体时;水面上升10cm;所用时间为：16秒;∵前12秒由立方体的存在;导致水面上升速度加快了4秒;∴将正方体铁块取出;经过4秒恰好将此水槽注满．考点：一次函数的应用．学科&网2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-1816.2017湖南省永州市永州市是一个降水丰富的地区;今年4月初;某地连续降雨导致该地某水库水位持续上涨;下表是该水库4月1日~4月4日的水位变化情况：1请建立该水库水位y与日期x之间的函数模型；2请用求出的函数表达式预测该水库今年4月6日的水位；3你能用求出的函数表达式预测该水库今年12月1日的水位吗答案：答案1y=0．5x+19．5．222．50．3不能解析试题分析：1先判断是一次函数;再用待定系数法求得解析式；2把x=6代入1中求得的解析计算即可；3不能;因为用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的．试题解析：1水库水位y 随日期x 的变化是均匀的;因此水库水位y 与日期x 之间是一次函数关系．设y =kx +b ;把x =1;y =20．00和x =2;y =20．50代入得：⎩⎨⎧=+=+50.20200.20b k b k 解得⎩⎨⎧==5.195.0b k 所以水位y 与日期x 之间的函数关系是y =0．5x +19．5．2当x =6时;y =0．5×6+19．5=22．50．3不能;因为用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的．考点：一次函数的应用. 2.4利用一次函数解决实际问题应用题数学思考2017-9-1817.2017湖北省咸宁市某公司开发出一款新的节能产品;该产品的成本价位6元/件;该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月30天的试销售;售价为8元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录;并将记录情况绘制成图象;图中的折线ODE 表示日销售量y 件与销售时间x 天之间的函数关系;已知线段DE 表示的函数关系中;时间每增加1天;日销售量减少5件.⑴第24天的日销售量是件;日销售利润是元；⑵求y 与x 之间的函数关系式;并写出x 的取值范围；⑶日销售利润不低于640元的天数共有多少天 试销售期间;日销售最大利润是多少元答案：答案1330;660；2y=20(018)5450(1830)y x x y x x =≤≤⎧⎨=-+≤⎩；3720元． 试题分析：1根据第22天销售了340件;结合时间每增加1天日销售量减少5件;即可求出第24天的日销售量;再根据日销售利润=单件利润×日销售量即可求出日销售利润；2根据点D 的坐标利用待定系数法即可求出线段OD 的函数关系式;根据第22天销售了340件;结合时间每增加1天日销售量减少5件;即可求出线段DE 的函数关系式;联立两函数关系式求出交点D 的坐标;此题得解；3分0≤x ≤18和18＜x ≤30;找出关于x 的一元一次不等式;解之即可得出x 的取值范围;有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于640元的天数;再根据点D 的坐标结合日销售利润=单件利润×日销售数;即可求出日销售最大利润．试题解析：根据题意得：线段DE 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=340﹣5x ﹣22=﹣5x+450． 联立两线段所表示的函数关系式成方程组;得205450y x y x =⎧⎨=-+⎩;解得18360x y =⎧⎨=⎩;∴交点D的坐标为18;360;∴y与x之间的函数关系式为y=20(018)5450(1830) y x xy x x=≤≤⎧⎨=-+≤⎩．3当0≤x≤18时;根据题意得：8﹣6×20x≥640;解得：x≥16；考点：一次函数的应用．2.4利用一次函数解决实际问题应用题解决问题2017-9-1518.2017湖北省随州市3分在一条笔直的公路上有A、B、C三地;C地位于A、B两地之间;甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地;乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地;在甲车出发至甲车到达C地的过程中;甲、乙两车各自与C地的距离ykm与甲车行驶时间th之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时;两车相遇；②乙车出发1.5h时;两车相距170km；③乙车出发2h 时;两车相遇；④甲车到达C地时;两车相距40km．其中正确的是填写所有正确结论的序号．答案：答案②③④.解析∴甲车到达C地时;两车相距40km;结论④正确．综上所述;正确的结论有：②③④．故答案为：②③④．考点：一次函数的应用.解答题2.4利用一次函数解决实际问题填空题双基简单应用2017-9-1519.2017黑龙江省佳木斯市在甲、乙两城市之间有一服务区;一辆客车从甲地驶往乙地;一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发;匀速行驶;客车、货车离服务区的距离y1千米;y2千米与行驶的时间x小时的函数关系图象如图1所示．1甲、乙两地相距千米．2求出发3小时后;货车离服务区的路程y2千米与行驶时间x小时之间的函数关系式．3在客车和货车出发的同时;有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地取货的时间忽略不计;邮政车离服务区的距离y3千米与行驶时间x小时之间的函数关系图线如图2中的虚线所示;直接写出在行驶的过程中;经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等答案：考点FH：一次函数的应用．分析1根据图1;根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离；2根据图象中的数据可以求得3小时后;货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；3分两种情况讨论;当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等；当邮政车从甲地返回乙地时;货车与客车相遇时;邮政车与客车和货车的距离相等．解答解：1360+120=480千米故答案为：480；2设3小时后;货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=kx+b;由图象可得;货车的速度为：120÷3=40千米/时;则点B的横坐标为：3+360÷40=12;∴点P的坐标为12;360;;得;即3小时后;货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=40x﹣120；3v客=360÷6=60千米/时;v邮=360×2÷8=90千米/时;设当邮政车去甲地的途中时;经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等;120+90﹣40t=360﹣60+90tt=1.2小时；设当邮政车从甲地返回乙地时;经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等;40t+60t=480解得t=4.8;综上所述;经过1.2或4.8小时邮政车与客车和货车的距离相等．2.4利用一次函数解决实际问题应用题解决问题2017-9-1420.2017黑龙江省黑河市为营造书香家庭;周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书;走了6分钟忘带借书证;小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证;姐姐以原来的速度继续向前行走;小亮取到借书证后骑单车原路原速前往图书馆;小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书馆．已知单车的速度是步行速度的3倍;如图是小亮和姐姐距家的路程y米与出发的时间x分钟的函数图象;根据图象解答下列问题：1小亮在家停留了分钟．2求小亮骑单车从家出发去图书馆时距家的路程y米与出发时间x分钟之间的函数关系式．3若小亮和姐姐到图书馆的实际时间为m分钟;原计划步行到达图书馆的时间为n分钟;则n﹣m= 分钟．答案：考点FH：一次函数的应用．分析1根据路程与速度、时间的关系;首先求出C、B两点的坐标;即可解决问题；2根据C、D两点坐标;利用待定系数法即可解决问题；3求出原计划步行到达图书馆的时间为n;即可解决问题．解答解：1步行速度：300÷6=50m/min;单车速度：3×50=150m/min;单车时间：3000÷150=20min;30﹣20=10;∴C10;0;∴A到B是时间==2min;∴B8;0;∴BC=2;∴小亮在家停留了2分钟．故答案为2．2设y=kx+b;过C、D30;3000;∴;解得;∴y=150x﹣150010≤x≤303原计划步行到达图书馆的时间为n分钟;n==60n﹣m=60﹣30=30分钟;故答案为30．2.4利用一次函数解决实际问题应用题数学思考2017-9-1421.2017安徽省芜湖市九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题;原文如下：今有人共买物;人出八;盈三；人出七;不足四.问人数;物价各几何译文为：现有一些人共同买一个物品;每人出8元;还盈余3元；每人出7元;则还差4元.问共有多少人这个物品的价格是多少请解答上述问题.答案：解：设共有x人;根据题意;得8374x x;x;所以物品价格为87353元.解得7答：共有7人;物品的价格为53元.12.4利用一次函数解决实际问题应用题双基简单应用2017-8-21。