有限宽中心圆孔板应力集中系数数值实验

平板孔口应力集中的ANSYS 有限元分析一、开孔的应力集中和应力集中系数容器开孔后使承载截面减小，破坏了原有的应力分布，并产生应力集中，而且接管处容器壳体与接管形成不连续结构而产生边缘应力，这两种因素均使开孔或开孔接管部位的局部应力比壳体的薄膜应力大，这种现象称为开孔的应力集中。

常用应力集中系数t K 来描述接管处的应力集中特性。

未开孔时的名义应力为σ，开孔后按弹性方法计算出最大应力若为max σ，则弹性应力集中系数的定义为σσ/max t =K 。

下面以两向拉伸应力作用下的平板为例，利用ansys 有限元分析得出平板的受力情况，求出t K 的值，并与理论解作分析比较。

二、两向拉伸应力作用下平板的理论分析。

如图所示为无限平板受21σσ≥两向拉伸应力作用，由弹性力学的知识可得A 、B 两点的应力为213σσσ-=A ,12-3σσσ=B比较可得 1211max t -3σσσσσ==K 当σσσ==21时 2-31211max t ===σσσσσK 当σσ=1，σσ212=时 5.20.5-31max t ===σσσσσK三、建立模型。

设有中心带圆孔的长方形平板，板的厚度为0.05m ，圆孔的孔半径r=0.05m,材料的弹性模量E 为2e11，泊松比为0.3，板长度为30m ，宽度为230m ，m N /401=σ，m /202N =σ2σ 平板开小圆孔的应力集中取四分之一薄板，模型如下：对模型进行网格划分并施加荷载，并对圆孔周围的区域进行局部网格划分，划分后的模型。

，Ansys计算后的应力云图如下：由应力云图可知，圆孔处最大应力m N /27.100max =σ 验证公式当m /401N ==σσ，m N /20212==σσ时 50675.24027.1001max t ≈==σσK ，基本符合理论解2.5。

有限大含孔板的应力集中分析作者姓名：李姝指导教师：李英梅副教授、王建祥教授单位名称：理学院专业名称：工程力学东北大学2013年6月Theoretical Analysis of the Stress Concentration in Finite-size Plates with HolesBy Li ShuSupervisor: Associate Professor Li YingmeiProfessor Wang JianxiangNortheastern UniversityJune 2013毕业设计（论文）任务书- i -东北大学毕业设计（论文）摘要有限大含孔板的应力集中分析摘要开孔板被广泛应用于机械制造、土木工程等领域中，由于开孔而产生的应力集中现象会降低结构的承载能力，并导致工程结构在开孔附近区域发生破坏。

目前，对无限大含孔板的理论研究已经比较成熟。

但是，工程结构多为有限尺寸板。

为有效预防开孔有限尺寸板由应力集中导致破坏的现象，本文研究含圆孔或椭圆孔有限板的应力分布等问题，进行了相应的理论分析和数值模拟。

本文采用复变函数法，设定待定复函数，使其预先满足所有的基本方程，运用最小二乘法使其满足物体的边界条件，最终求解应力集中系数。

该方法的收敛性很好，且随着Laurent级数展开项数的增多，本文解的精度会增高。

此外，本文给出了含中心圆孔的细长板在面内剪切载荷作用下，计算应力集中系数的经验公式；含中心椭圆孔（长短轴比为1.2）的细长板在拉伸载荷作用下，计算应力集中系数的经验公式。

本文采用最小二乘法分析含非圆形孔口边沿的应力集中问题，该方法比常用的保角映射法简单，而且也满足工程实际的精度要求。

关键词：含孔有限大板，应力集中系数，最小二乘法- ii -东北大学毕业设计（论文）AbstractTheoretical Analysis of the Stress Concentration in Finite-size Plates with HolesAbstractPlates with holes are widely used in machinery manufacturing, civil engineering and other fields. Stress concentration resulting from holes can reduce the carrying capacity of the structure and lead engineering structures’failure occurring in the vicinity of holes. Currently, there is abundant research about the theoretical analysis of the stress concentration in infinite plates with holes. However, in the application of real engineering cases, most plates are finite. To effectively prevent the destruction of finite-size plates with holes, we study the stress field in finite plates with circular holes or elliptical holes and study the theoretical analysis and numerical simulation analysis.This paper uses the complex expansion method together with least-square method. Set the pending complex function that meets all of the basic equations in advance, use the least-square method so as to satisfy the boundary conditions of the object, and ultimately compute the stress concentration factor. When the number of terms of Laurent-expansion increases, the accuracy of the results is more satisfying. In addition, this paper presents empirical formulas of stress concentration of plates with a central circular hole in the condition of in-plane shear. Simultaneously, this paper also presents empirical formulas of stress concentration of plates with a central elliptical circular hole (the ratio is 1.2) in the condition of simple tension.This paper uses the complex expansion method together with least-square fitting to compute the stress concentration factor in the plates with a central non-circular hole. Compared with conformal mapping method, this method is more simple. This method also meets the accuracy requirements of engineering practice.Keywords: finite plates with holes, stress concentration factor, least-square method- iii -目录任务书 (i)摘要 (ii)Abstract (iii)第1章绪论 (1)1.1 应力集中问题概述 (1)1.2 开口有限板的研究背景和意义 (1)1.3 开口有限板的研究方法 (2)1.3.1 有限元法 (2)1.3.2 实验方法测试 (3)1.3.3 弹性力学分析方法 (3)1.4 论文研究内容 (4)第2章开口有限板应力集中理论分析方法 (5)2.1 应力函数的复变函数表示 (5)2.2 应力的复变函数表示 (6)2.3 合力表达式 (7)2.4 多连通区域里的ϕ和ψ (8)2.5 含孔各向同性有限板应力表达式的确定 (10)2.6 最小二乘法求解待定系数 (12)2.6.1 含圆孔、椭圆孔有限板在面内拉伸载荷作用下 (12)2.6.2 含圆孔、椭圆孔有限板在面内剪切载荷作用下 (12)2.7 本章小结 (13)第3章开口有限板应力集中结果分析 (15)3.1 含圆孔有限板在面内拉伸载荷作用下 (15)3.1.1 级数收敛性分析 (15)3.1.2 计算结果 (16)3.1.3 Heywood经验公式 (17)3.1.4 算例分析 (18)3.1.5 小结 (21)3.2 含圆孔有限板在面内剪切载荷作用下 (21)3.2.1 级数收敛性分析 (21)3.3.2 计算结果 (22)3.2.3 本文所提经验公式 (24)3.2.4 算例分析 (25)3.2.5 小结 (29)3.3 含椭圆孔有限板在面内拉伸载荷作用下 (29)3.3.1 级数收敛性分析 (29)3.3.2 计算结果 (30)3.3.3 本文所提经验公式 (31)3.3.4 算例分析 (33)3.3.5 小结 (35)3.4 含椭圆孔有限板在面内剪切载荷作用下 (35)3.4.1 级数收敛性分析 (36)3.4.2 计算结果 (37)3.4.3 算例分析 (38)3.4.4 小结 (42)第4章总结与展望 (43)4.1 论文总结 (43)4.2 工作展望 (44)参考文献 (45)结束语 (47)附录A：中文译文 (49)附录B：英文原文 (63)第1章 绪论1.1 应力集中问题概述在构件强度设计中所用的基本公式，一般只适用于等截面的情况。

实验四 静态多点应变测量——孔边应力分布及应力集中系数的测定一.实验目的1. 掌握静态多点应变测量的方法；2. 学习拟订实验加载方案；3. 学习数据处理及回归分析方法；4. 测定孔边应力分布及应力集中系数。

二.实验设备和器材1. 已贴片的带孔板状拉伸试件；2. DH3818静态电阻应变仪及电脑；3. 万能材料试验机；4. 游标卡尺；三.实验方法和步骤1. 加载方案的制订（a ） 测量试件圆孔处的试件宽度、厚度及圆孔的直径；（b ） 测量每片应变计的贴片位置到试件边缘的距离；（c ） 实验时分四级加载，所加最大载荷不能超过材料的屈服强度，最大载荷P max =A ×σs ×80%/K ，其中A=(b-d)t ，σs =235MPa 为材料的屈服强度，K 为估计的孔边应力集中系数，可以按2.4选取。

初载荷P 0=选用量程×10%。

每级载荷的增量为： 40max P P P -=∆ 以计算结果取整为准。

例：b=60.00mm ，d=20.00mm ，t=6.00mm,σs =235MPa,则A=(b-d)t=(60-20)×6.00=240.00mm 2，P max =A ×σs ×80%/K=240.00×235×0.8/2.4=18.8kN,试验机的选用量程为60kN ，初载荷P 0=选用量程×10%=6kN, 每级载荷的大小为： kN P P P 2.3468.1840max =-=-=∆ 则每级载荷的增量为3kN 。

2. 依次将每片电阻应变计接入DH3818应变仪的AB 桥臂，在公共补偿桥路的BC桥臂中接入1片温度补偿应变计（可在另一已贴片的试件中选择1片）。

3. 按实验三操作DH3818应变仪的方法将应变仪调平衡。

4. 按拟订的加载方案逐级加载，在载荷状态栏中输入载荷值并采集数据，将数据转换为EXCEL 文本形式并保存，然后卸载到零。

学号：S2*******程序版本：ANSYS 10作业一：带孔平板圆孔应力集中分析问题描述：如右图所示，一个承受单向拉伸的无限大板，在中心位置有一个小圆孔。

材料属性为弹性模量a P E 6101⨯=，泊松比为0，拉伸的均布载荷Pa p 7101⨯=，平板厚度mm t 1=。

ANSYS 10 分析步骤：1. 定义工作文件名：Utility Menu>File>Change Jobname>输入Plate>OK2. 定义工作标题：Utility Menu>File>Change Title>输入The Ansysis of Plate withsmall Circle>OK3. 重新显示：Utility Menu>Plot>Replot4. 设置系统单位制：命令输入窗口，输入命令/UNITS,SI 并回车5. 设置计算类型：ANSYS Main Menu>Preferences>选Structural>OK6. 选择单元类型：ANSYS Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delte>Add>选Solid Quad 4node 42>OK>Options>K3:Plate Strs w/thk>OK>Close7. 定义实常数：ANSYS Main Menu>Preprocessor>Real Constants> Add/Edit/Delte>Add>OK>在THK 输入1 >OK>Close8. 定义材料特性：ANSYS Main Menu>Preprocessor>Material Props> Material Models>双击选Structural>双击Linear>双击Elastic>双击Isotropic>在EX 输入1e6，PRXY 输入0>OK>点击“X”关闭9. 生成平面方板：ANSYS Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By2 Corners>输入WP X:0 WP Y:0 Width:10 Height:10 >OK10. 生成圆孔平面：ANSYS Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Circle>SolidCircle>输入WP X:5 WP Y:5 Radius:1 >OK11. 布尔运算生成孔：ANSYS Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Booleans>Subtract>Areas>选方板>点OK(Multi Entities 窗)>OK(Subtract Areas 窗) 选方板>点NEXT>OK(Multi Entities 窗)>OK(Subtract Areas 窗)12. 网格划分：ANSYS Main Menu>Preprocessor>Meshing>MeshTool>Size Control:Global>set>在NDIV 输入6>OK> MeshTool> Mesh>Pick All>Close(Warning)> Close(MeshTool)13. 施加约束：(1): ANSYS Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Displacement>OnNodes>点选结构左侧所有节点>OK>Lab2 DOFs:UX,VALUE:0>OK (2):ANSYS Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Displacement>On Nodes>点选结构左下侧（0,0）节点>OK>Lab2 DOFs:UX,UY,VALUE:0>OK14. 施加均布载荷：ANSYS Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>OnLines>点选结构右侧所有节点>OK>VALUE:-1E7> OK>Close15. 分析计算：ANSYS Main Menu>Solution>Solve>Current LS>OK>Yes>Close>关闭文字窗16. 结果显示：ANSYS Main Menu>General Postpro>Plot Results>Deformed Shape>点选Def+undeformed>OK> Plot Results>Contour Plot>Nodal Solu>选Stress 选von Mises stress>Def+undeformed Model>OK17. 退出系统图1 带孔平板变形形状的结果图2带孔平板应力分布的结果作业二：内六角扳手静力分析如右图所示，截面宽度为10mm的内六角扳手，在手柄端部施加扭转力100N，以及垂直向下的力20N，分析在两种载荷的作用下扳手的应力分布。

不同板宽的孔边的应力集中问题1 选题目的：对于如图所示的平面圆孔的孔边问题，通过数值实验的方法研究不同板宽的孔边应力集中问题，与弹性力学的解析解进行比较。

给出应力集中系数与相对孔径尺度的关系。

图一 不同板宽的孔边的应力集中问题2 背景：就无限大板宽的孔边应力集中问题，有以下弹性力学的解析解：004020002020040020020200200390)2321(90y )31)(1(2sin 2)31(2cos 2)1(2)31)(1(2cos 2)1(2422242222q R r rR rR q rR rR q rR q rR q rR rR q rR q r r r ===++==+--==+-+=--+-=），（）（分布：轴上有在孔边的θσθσσθττθσθσθθθθθθ3 数值分析我们定义板宽和孔径的相对尺度的特征参数： 0R B=ξ进行研究，具体取值如表：结果如图：图2 30=ξ时的应力分布R B =ξ30 24 20 10 6图3 24=ξ时的应力分布图4 20=ξ时的应力分布图5 10=ξ时的应力分布图6 6=ξ时的应力分布4 应力集中系数如表：5 在matlab 中划出曲线：0R B =ξ30 24 20 10 6 0maxq k σ=3.0143.0323.0783.2134.0806 结论 随着0R B =ξ增大，k 值减小。

孔的应力集中问题的数值模拟（陶钧21028039）问题描述：工程结构中，常根据需要设置一些孔口，孔口附近的的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距离孔口较远处的应力，这种现象称为孔口应力集中。

孔口的尺寸远小于弹性体尺寸。

此问题属于平面应力问题。

针对本问题，先分别建立了具有圆孔、方孔、椭圆孔的板模型，分别施加了相同的载荷，用ansys软件对其进行了模拟。

模拟过程：一、圆孔1.建立有限元模型1.1工作文件名：jisuanji；修改标题：yuankongyingli1.2单元类型：strctural solid ，quad 8node 82；材料属性：ex为2e11，prxy为0.31.3创建有限元模型，长为100，宽50，孔直径为10。

1.4生成有限元网格设定网格大小为0.5，自由划分2．加载和求解2.1施加均布载荷1000帕3.结果后处理及查看结果显示，在r=5，90=ϕ时，应力最大，最大值为3143帕，约为施加载荷的3倍。

与实际结果相符。

二、方孔1.建立有限元模型1.1工作文件名：jisuanji2；修改标题：圆孔应力1.2单元类型：strctural solid ，quad 8node 82；材料属性：ex为2e11，prxy为0.31.3创建有限元模型，长为100，宽50，正方形孔，孔边长为5。

1.4生成有限元网格设定网格大小为0.5，自由划分2．加载和求解2.1施加均布载荷1000帕3.结果后处理及查看结果显示，最大应力在方孔四角处，应力最大值为2696帕，对比圆孔处的应力集中，此应力应该大于上例中的3143。

此计算结果与实际不相符。

因此我们重新划分网格，进行计算。

设定网格大小为0.2，自由划分。

设置相同的载荷，经计算得到下列结果：结果表明，最大应力为3961帕，高于3143帕，结果与实际相符。

我们同样可以预测，如果对网格进行进一步细化，会得到更加精确的结果。

在一定的计算机能力下，分区划分网格就显得尤其重要。

第五章 应力集中一、概述1. 应力集中现象：小范围、高应力（多发生于结构不连续或构件截面突变处）2. 应力集中系数—表示应力(k στ,)集中的程度 k =σσmax 0（σ0表示与应力集中现象无关的名义应力，其取法并不是唯一的）3. 确定值的方法k理论解析方法——弹性力学数值方法——有限元分析试验——光弹、实测⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪二、几种常见结构的应力集中1. 带有圆孔的受拉(压)板(1)无限大板设圆孔半径为，板宽a 2B →∞，均匀受拉，无限远应力为σ0，如图示。

根据弹性理论可知，板内任一点(,)r θ处的应力状态：σσρρρσσρρθτσρρθθθr r =−+−+=+−+=−+−⎧⎨⎪⎩⎪120224120241024114311321232[()()cos ][()()cos ]()sin θ2（其中ρ≡≤a r 1） 高应力区{}5013016o o r a ≤≤≤θ，.，最大应力σmax 发生在与σ0方向相垂直的直径的两端，应力集中系数k ==σmax 03(2)有限板宽的影响 随着B a ↓，，应力集中系数k =↑σmax0（当B a ≥5时，可认为k =3） 2. 椭圆孔的受拉(压)板 [与圆孔对照]设椭圆孔的两半轴长为和b （前者与a σ0方向相垂直），则最大应力σmax 发生的位置与圆孔类似，应力集中系数k a b ==+σσmax 012 ·若a b →∞，则应尽量避免甲板开口长边沿船长方向k →∞⇒3. 矩形开口的受拉(压)板(1)实验表明最大应力发生在矩形角隅圆弧A 点 (2)应力集中系数k f b B r b a r =′=σσmax (,,)0，见书图7-64. 梯形板的弯曲(1)最大应力发生在梯形板的转角处 (2)应力集中系数k =σσmax 0，见书图7-8·若r ↑，则船楼上建端部与主体连接处应以适当的圆弧过渡以减小)应力集中k ↓⇒5. 上建端部主体上的应力集中现象分析参阅书p.225图7-12和7-13船楼：半无限平面边缘甲板室：无限大平面上σσπμπx t T x t T x x T T =⋅=⋅=⋅=⋅⎧⎨⎩+20643026..（σx x ∝1，两侧应力反号） 三、降低应力集中的方法1. 减小应力集中系数或应力集中范围k 圆孔——尽量减小其直径（）椭圆孔——使其长轴∥受力方向（）矩形孔——采用较大的圆弧（）不影响值，但可缩小范围，若则可不必加强使值下降使值下降k d t k k <⎧⎨⎪⎩⎪20 2. 采用加厚板或增设覆板，以覆盖高应力区3. 结构突变处采用过渡结构。