圆周运动中绳模型和杆模型的一般解析

竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。

2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。

物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。

小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。

G ＝10 m/s 2。

求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。

这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。

以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。

1、轻绳或细杆作用下物体在竖直面内的圆周运动（1）轻杆作用下的运动如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点A时，若杆与小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力提供：得=，由此可得小球在最高点时有以下几种情况：当=0时，杆对球的支持力F N = mg，此为过最高点的临界条件。

②当=时，，=0③当0＜＜时，m g＞＞0且仍为支持力，越大越小④当＞时，＞0，且为指向圆心的拉力，越大越大（2）细绳约束或圆轨道约束下的运动：如图所示为没有支撑的小球（细绳约束、外侧轨道约束下）在竖直平面内做圆周运动过最高点时的情况。

①当，即当==时，为小球恰好过最高点的临界速度。

②当＜，即＞=时（绳、轨道对小球还需产生拉力和压力），小球能过最高点③当＞，即＜=时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道。

竖直面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，而是变速圆周运动，此时由物体受到的合力沿半径方向的分力来提供向心力，一般只研究最高点和最低点，此情况下，经常出现临界状态，应注意：（1）绳模型：临界条件为物体在最高点时拉力为零（2）杆模型：临界条件为物体在最高点时速度为零例1、一根绳子系着一个盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但杯中的水并不流出来，如图所示，为什么呢？解析：对杯中水，当=时，即=时，杯中水恰不流出，若转速增大，＜时，＞时，杯中水还有远离圆心的趋势，水当然不会流出，此时杯底对水有压力，即N+=，N=－；而如果＞，＜时，水会流出。

例2、如图所示，轻杆OA长l=0.5m，在A端固定一小球，小球质量m=0.5kg，以O点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时，小球的速度大小为=0.4m/s，求在此位置时杆对小球的作用力。

（g取10 m／s 2）解法一：先判断小球在最高位置时，杆对小球有无作用力，若有作用力，判断作用力方向如何小球所需向心力==0.5×=0.16 N小球受重力=0.5×10=5 N重力大于所需向心力，所以杆对小球有竖直向上的作用力F，为支持力以竖直向下为正方向，对小球有－F=解得：F= 4.84 N解法二：设杆对小球有作用力F，并设它的方向竖直向下，对小球则有－F=F=－=－4.84 N“－”表示F方向与假设的方向相反，支持力方向向上。

专题4.6 竖直面内的圆周运动问题1. 轻绳模型绳或光滑圆轨道的内侧，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。

下面讨论小球(质量为m )在竖直平面内做圆周运动(半径为R )通过最高点时的情况：(1) 临界条件小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力来提供。

根据牛顿第二定律得，mg ＝m v 2临界R，即v 临界＝Rg .这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度，也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度。

(2) 小球能通过最高点的条件：当v >Rg 时，小球能通过最高点，这时绳子对球有作用力，为拉力。

当v ＝Rg 时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。

(3) 小球不能通过最高点的条件：当v <Rg 时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道。

（如图）2. 轻杆模型杆和光滑管道，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时有物体支撑着小球。

下面讨论小球(质量为m )在竖直平面内做圆周运动(半径为R )通过最高点时的情况：(1) 临界条件由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度是：v 临界＝0。

此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。

(2) 如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：当v＝0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力F N，其大小等于小球的重力，即F N＝mg.当0<v<Rg时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0<F N<mg.当v＝Rg时，F N＝0.这时小球的重力恰好提供小球做圆周运动的向心力。

当v>Rg时，硬杆对小球有指向圆心(即方向向下)的拉力，其大小随速度的增大而增大。

3. 两种模型分析比较如下：轻杆模型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球4. 分析物体在竖直平面内做圆周运动时的易错易混点（1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑力，而杆可有支撑力。

真题模型(二)——竖直平面的圆周运动“绳、杆”模型来源图例考向模型核心归纳2014·新课标全国卷Ⅱ第17题受力分析、圆周运动、动能定理1.常考的模型(1)物体运动满足“绳”模型特征，竖直圆轨道光滑(2)物体运动满足“绳”模型特征，竖直圆轨道粗糙(3)物体运动满足“杆”模型特征，竖直圆轨道光滑(4)物体运动满足“杆”模型特征，竖直圆轨道粗糙(5)两个物体沿竖直圆轨道做圆周运动(6)同一物体在不同的竖直圆轨道做圆周运动(7)物体受弹簧弹力、电场力或洛伦兹力共同作用下的圆周运动2.模型解法2015·新课标全国卷Ⅰ第22题圆周运动、超重、失重2016·新课标全国卷Ⅱ第16题受力分析、牛顿第二定律、圆周运动、动能定理2016·课新标全国卷Ⅱ第25题受力分析、机械能守恒定律、圆周运动、牛顿第二定律2016·新课标全国卷Ⅲ第24题受力分析、圆周运动、机械能守恒定律、牛顿第二定律2017·全国卷Ⅱ第17题平抛运动、功能关系及极值的求解方法【预测1】 (多选)如图1所示，半径为R 的内壁光滑的圆轨道竖直固定在桌面上，一个可视为质点的质量为m 的小球静止在轨道底部A 点。

现用小锤沿水平方向快速击打小球，使小球在极短的时间内获得一个水平速度后沿轨道在竖直面内运动。

当小球回到A 点时，再次用小锤沿运动方向击打小球，通过两次击打，小球才能运动到圆轨道的最高点。

已知小球在运动过程中始终未脱离轨道，在第一次击打过程中小锤对小球做功W 1，第二次击打过程中小锤对小球做功W 2。

设先后两次击打过程中小锤对小球做功全部用来增加小球的动能，则W 1W 2的值可能是( )图1A.34B.13C.23D.1解析 第一次击打后球最多到达与球心O 等高位置，根据功能关系，有W 1≤mgR ，两次击打后球可以运动到轨道最高点，根据功能关系，有W 1＋W 2－2mgR ＝12mv 2，在最高点有mg ＋N ＝m v 2R ≥mg ，由以上各式可解得W 1≤mgR ，W 2≥32mgR ，因此W 1W 2≤23，B 、C 正确。

专题09 圆周运动七大常考模型(解析版)2020年高考物理一轮复热点题型归纳与变式演练专题09 圆周运动七大常考模型专题导航】目录题型一水平面内圆盘模型的临界问题在水平面内，圆盘绕自身的对称轴做匀速圆周运动时，当圆盘上一点的速度等于圆盘上任意一点的速度时，该点所在的半径为临界半径。

此时，圆盘上该点所受的向心力最大，达到极限值。

热点题型二竖直面内圆周运动的临界极值问题在竖直面内，圆周运动的临界问题与水平面内的类似，但由于竖直面内的向心力方向不再垂直于重力方向，因此需要通过分解向心力和重力的合力来求解临界速度和临界半径。

球-绳模型或单轨道模型球-绳模型指的是一个质量为m的小球通过一根质量忽略不计的细绳悬挂在竖直方向上，并绕着一个半径为R的竖直圆周做匀速圆周运动的模型。

单轨道模型则是一个质量为m 的小球沿着一个半径为R的水平圆周滑行的模型。

这两个模型的分析方法类似，都需要通过分解合力来求解运动的参数。

球-杆模型或双轨道模型球-杆模型指的是一个质量为m的小球沿着一个质量忽略不计的细杆滚动的模型。

双轨道模型则是一个质量为m的小球沿着两个半径分别为R1和R2的圆轨道滚动的模型。

这两个模型的分析方法也类似，都需要通过分解合力来求解运动的参数。

热点题型三斜面上圆周运动的临界问题在斜面上，圆周运动的临界问题与水平面内的类似，但由于斜面的存在，需要通过分解合力来求解临界速度和临界半径。

热点题型四圆周运动的动力学问题圆周运动的动力学问题主要涉及到角加速度、角速度和角位移等参数的计算。

在这类问题中，需要利用牛顿第二定律和角动量守恒定律等物理定律来分析运动状态。

圆锥摆模型圆锥摆模型指的是一个质量为m的小球通过一根质量忽略不计的细绳悬挂在竖直方向上，并绕着一个半径为R的圆锥面做匀速圆周运动的模型。

在分析这种模型时，需要考虑到向心力和重力的合力方向与竖直方向的夹角，以及圆锥面的倾角等因素。

车辆转弯模型车辆转弯模型主要涉及到车辆在转弯时所受的向心力和摩擦力等因素。

轻绳、轻杆、轻弹簧三种模型之比较一. 三种模型的主要特点1. 轻绳（1）轻绳模型的建立轻绳或称为细线，它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。

它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长。

（2）轻绳模型的特点①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子；②轻绳不能伸长；③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能有损失；④轻绳的弹力会发生突变。

2. 轻杆（l）轻杆模型的建立轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长或压缩。

（2）轻杆模型的特点①轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向；②轻杆不能伸长或压缩；③轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。

3. 轻弹簧（1）轻弹簧模型的建立轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹簧的伸长量或缩短量有关。

（2）轻弹簧的特点①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反；②弹力的大小为F=kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量；③弹簧的弹力不会发生突变。

二. 三种模型的主要区别1.静止或匀速直线运动时例1.如图1所示，有一质量为m的小球用轻绳悬挂于小车顶部，小车静止或匀速直线运动时，求绳子对小球作用力的大小和方向。

图1解析：小车静止或匀速直线运动时，小球也处于静止或匀速直线运动状态。

由平衡条件可知，绳子对小球的弹力为F mg=，方向是沿着绳子向上。

若将轻绳换成轻弹簧，其结果是一样的。

例2.如图2所示，小车上有一弯折轻杆，杆下端固定一质量为m的小球。

当小车处于静止或匀速直线运动状态时，求杆对球的作用力的大小和方向。

图2解析：以小球为研究对象，可知小球受到杆对它一个的弹力和重力作用，由平衡条件可知小球受力如图3所示。

则可知杆对小球的弹力为F mg=，方向与重力的方向相反即竖直向上。

图3注意：在这里杆对小球的作用力方向不是沿着杆的方向。