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第一章 函数与极限 第一节 映射与函数选择题1.已知函数)(x f 的定义域是()+∞∞-,，满足)()()(y f x f y x f +=+则)(x f 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶 D.不能确定2.已知2x e x f =)(()[]x x φf -=1，且()0x ≥φ，()=x φ（ ）A.()x -1ln 1<xB.()x -1ln 0≤xC.()x -1ln 1-<xD.()x -1ln 0x <3.设2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()=x f （ ）A.22-xB.22+xC.2-xD.x xx 1122-+4.已知21x y --=直接函数的反函数是21x y --=，则直接函数的定义域是（ ）A.()01,-B.[]11,-C.[]01,-D.[]10, 5.()x e x x x f cos sin = ()+∞<<∞-x 是（ ）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数6.设()x f 与()x g 分别为定义在()+∞∞-,上的偶函数与奇函数，则()()x g f 与()()x f g 分别（ ）A.都是偶函数B.都是奇函数C.是奇函数与偶函数D.是偶函数与奇函数7.设()⎩⎨⎧>+≤=0022x x x x x x f ，则（ ）A.()()⎩⎨⎧>+-≤-=-0022x xx x x x f B.()()⎩⎨⎧>-≤+-=-022x xx x x x f C.()⎩⎨⎧>-≤=-0022x x x x x x f D.()⎩⎨⎧>≤-=-0022x xx x x x f8.()x f y =的定义域是[]11,-，则()()a x f a x f y -++=的定义域是（ ） 其中10≤≤aA.[]11+-,a aB.[]11+---a ,aC.[]11-+-,a aD.[]11+--a ,a9.函数()x f y =与其反函数()x f y 1-=的图形对称于直线（ ） A.0=y B.0=x C.x y = D.x y -= 答案ABACD ADDC 练习题1.设()x x f y +==11，求()[]x f f解：()[]x f f xxx++=++=21111121-≠-≠,x x 2.指出下列两个函数是否相同，并说明理由 (1)()1+=x x f ()()21x x g += (2)()x x f =，()()x x g arcsin sin =(3)()xx x f =，()xx x g 2=解：(1)不同，对应法则不同(2)不同，定义域不同()x f 的是()+∞<<∞-x ,()x g 的是[]11,- (3)相同，定义域和对应法则都相同3.若()⎩⎨⎧≥<=02x xx xx f ，求()[]x f f 解：()[]()()()[]()()()[]⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧≥<=00022x x f x x f x f x f x f x f x f f 4.（2001数学二考研题）()⎩⎨⎧>≤=1011x x x f ，则()[]x f f 解()[]()()()()∞+∞-∈≤⎩⎨⎧>≤=,x x f x f x f x f f 1111而5.()⎩⎨⎧<<-≤≤==012102x x x x x f y 求()1+x f解()()()()()⎩⎨⎧-<<-+≤≤-+=⎩⎨⎧<+<-+≤+≤+=+1212011011121101122x x x x x x x x x f6.设()x F 是定义在关于原点对称的某数集X 上的函数，证明()x F 必可表示成一个偶函数与一奇函数之和。
第一章 函数与极限本章重点1. 建立极限概念与理解N ε-方法, 函数极限的概念与εδ-、X ε-方法2. 无穷小的概念与性质3. 单调有界法则与两个重要极限及其应用4. 初等函数的连续性及其应用本章难点1. N ε-， εδ-极限定义证明法。
2. 理解无穷小，无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别。
3. 两个重要极限公式，分清各公式的特点及适用时机。
4. 闭区间上连续函数的几条性质及应用。
本章主要内容：1、数列极限的定义，函数极限的εδ-定义，函数的左右极限。
2. 极限的性质，函数的极限与其左右极限的关系，极限的唯一性，局部有界性，保号性。
3. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。
4．极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。
5．极限存在的两个准则与两个重要极限，（1）单调有限准则，重要极限（2）夹逼准则，重要极限6．函数的连续性概念和间断点的类型7．闭区间上连续函数的性质：最大（小）值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。
第一节函数本章大部分内容是学生在中学学过的，在本节课中我们只作简单复习，然后对学生没学过的内容进行补充。
教学目的：1、掌握邻域的概念及几何表示.2、了解反三角函数的概念及性质.3、掌握复合函数的概念及其分解.4、掌握初等函数的概念.教学重点:1、邻域的概念及几何表示.2、复合函数的概念及其分解.教学难点:1、反三角函数的概念及性质.2、复合函数的分解.教学内容：一、邻域的概念中学里我们学过集合，今天我们介绍一种特殊的集合表示法。
1、点x的δ邻域：将x xδ-<表示的集合，即（δδ+-,xx）称为点x0的δ邻域，记为),(0δxU,其中x称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径，于是有δδδ⇔+<<-⇔∈),(xxxxx2记为0(U0x.),0δ或0(,)U x例如: 31x-<是以3为中心,以1为半径的邻域.031x<-<是以3为中心,以1为半径的去心邻域.二、函数的概念1、函数的定义：设x和y是两个变量，D是一个非空实数集合.如果对于每一个x∈D，变量y按照一定的法则f，有确定的实数与之对应，则称y是x的函数，记作)(xfy=．数集D叫做这个函数的定义域，记作fD x称为自变量，y称为因变量．当x取数值0fx D∈，与x对应的y的数值称为函数在点x处的函数值，记为f)(x或0|x x y =．全体函数值的集合{|(),}f y y f x x D =∈，称为函数的值域，记作R 或f R ．函数)(x f 中的f 表示函数的对应法则． 2、几个重要的函数： 例1 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x其定义域是),(+∞-∞，值域是),0[+∞。
《高等数学》教案第一章：函数与极限（18课时）第一节：映射与函数教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。
一、集合 1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。
表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素。
1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系：A a ∉，A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。
如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ⊂且B A ≠则称A 是B 的真子集。
全集I ：A i ⊂I （I=1，2，3，……..）。
空集φ：A ⊂φ。
2、集合的运算并集B A ⋃：}A x |{x B A B x ∈∈=⋃或 交集B A ⋂：}A x |{x B A B x ∈∈=⋂且 差集B A \：}|{\B x A x x B A ∉∈=且补集（余集）CA ：I ＼A集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律：A B B A ⋃=⋃A B B A ⋂=⋂结合律：)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃，)()(C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂分配律：)()()(C B C A C B A ⋂⋃⋂=⋂⋃，)()()(C B C A C B A ⋃⋂⋃=⋃⋂对偶律： (c c c B A B A =⋃)cc c B A B A ⋃=⋂)(笛卡儿积： A ×B }|),{(B y A x y x ∈∈=且 3、区间和邻域1）有限区间：开区间),(b a ，闭区间[]b a ,，半开半闭区间]()[b a b a ,,。
高等数学练习题 第一章 函数与极限________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______第一节 映射与极限一．选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为 [ D ] （A ）（0，1） （B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3arcsin 2lgxx x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++=x x y 是 [ A ]（A ）奇函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ] （A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）||)21(x y = （D ）.||log 2x y = 二．填空题1. 已知),569(log )3(22+-=x x x f 则=)1(f 2 2. 已知,1)1(2++=+x x x f 则)(x f 12+-x x3. 已知xx f 1)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f x -114. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数 1102-+=x y5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=： x s s v v u u y ====,ln ,tan ,2(2) 32arcsin lg x y =：__ 32x t t s s v v u u y =====,arcsin ,lg ,, _三.计算题1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2x f x f 的定义域解：)(2x f 的定义域为[11,-] )(s i n xf 的定义域为)()(,[Z k k k ∈+ππ1222.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||111||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.解：01=)(ϕ 2321=-)(ϕ 2123=)(ϕ （ 图略 ）4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角 40=ϕ（图1-22）。
高等数学上册教材答案详解在高等数学这门学科中，上册教材的学习内容涵盖了多个重要的数学知识点和概念。
为了帮助同学们更好地理解和掌握这些知识，以下将对上册教材中的部分题目进行详细的答案解析。
第一章：函数与极限第一节：函数与映射1.（1）解：函数 f(x) = 2x - 3 是一个一次函数，其图象是一条直线。
2.（2）解：函数 f(x) = x² + 1 是一个二次函数，其图象是一个开口向上的抛物线。
第二节：极限的概念1.（1）解：当 x 趋近于 1 时，函数 f(x) = (x - 1) / (x² - 1) 的极限是1/2。
2.（2）解：当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) = sinx / x 的极限是 1。
第三节：极限的性质1.（1）解：若两个函数 f(x) 和 g(x) 在点 x = a 处的极限存在，那么它们的和函数 f(x) + g(x) 在同一点的极限也存在，并且等于两个函数极限的和。
2.（2）解：若函数 f(x) 在 x = a 处的极限存在且不为零，那么对于任意的常数 c，函数 c·f(x) 在该点的极限也存在，并且等于 c 乘以原函数在该点的极限值。
第四节：无穷小与无穷大1.（1）解：当 x 趋近于正无穷时，函数 f(x) = sin(1/x) 是一个无界函数。
2.（2）解：当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) = 1/x 是一个无穷大函数。
第五节：极限存在准则1.（1）解：若函数 f(x) 在点 x = a 的某个去心邻域内有定义，并且有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，其中 f(x) 和 h(x) 在点 x = a 处的极限都存在且相等于 L，那么函数 g(x) 的极限也存在且等于 L。
2.（2）解：若函数 f(x) 在点 x = a 的某个去心邻域内有定义，并且有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，其中 f(x) 在点 x = a 处的极限为 L，h(x) 在点 x = a 处的极限为 M，并且对于任意的 x，有f(x) ≥ g(x) ≥ h(x)，那么函数 g(x) 的极限也存在且等于 L。
第一章函数与极限第 1 页第一节映射与函数一、集合常用数集：自然数集：整数集：有理数集：实数集：开区间：闭区间：半开区间：；邻域：去心邻域：二、函数定义：都有唯一与之对应，记为。
三、函数性质讨论函数：，讨论区间：1、有界性有界：假设，使得，称在区间上有界无界：对，总，使得，那么称在区间上无界上界、下界：假设，使得，，称在区间上有上界；假设，使得，，称在区间上有下界定理：假设在区间上有界在区间上有上界也有下界。
2、单调性严格单调增〔减〕：假设，且，恒有广义单调增〔减〕：假设，恒有，3、奇偶性偶函数：奇函数：常见奇函数：等常见偶函数：等4、周期性周期函数：，对，有，且，那么称为周期为周期函数。
常见周期函数：等【例1】〔87二〕是〔〕（A）有界函数. 〔B〕单调函数.〔C〕周期函数. 〔D〕偶函数.四、复合函数与反函数1、复合函数设定义域为，定义域为，值域为，且，在定义域上有复合函数。
【例2】〔88一二〕，且，求并写出它定义域.2、反函数将函数称为直接函数，函数称为反函数。
与图形关于直线对称。
五、初等函数第二节数列与函数极限一、数列极限定义数列：，，称为整标函数。
其函数值：叫做数列〔序列〕。
数列每一个数称为项，第项称为数列一般项。
简记数列为数列极限：已给数列与常数，如果对于，都，使得对于，不等式恒成立，那么称当时，以为极限，或收敛于，记为或。
反之，假设无极限，说发散。
二、函数极限定义〔1〕：设函数在内有定义，为一常数，假设对于，都，使有，那么称当时，以为极限，记为或。
单侧极限：左极限：。
右极限：定理：〔2〕：设函数在充分大时有定义，为一常数，假设对于，都，使都有，那么称当时，以为极限，记为或。
单侧极限：；定理：【例1】设〔为常数〕，求值，使得存在。
三、极限性质性质1 〔极限唯一性〕数列——假设存在，那么极限值是唯一。
函数——假设存在，那么其极限值是唯一。
性质2 〔有界性〕数列——如果收敛，那么一定有界。
高等数学考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》〔上下册〕〔第六版〕第一章函数与极限(7天)〔考小题〕学习内容复习知识点与对应习题大纲要求第一节：映射与函数(一般章节)函数的概念，常见的函数〔有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数〕、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.〔集合、映射不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用看〕习题1－1：4，5，6，7，8，9，13，15，16〔重点〕1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等第二节：数列的极限(一般章节)数列定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性 )〔本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看，如P26例1，例2，例3，定理1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4不用看〕习题1－2：1第三节：函数的极限(一般章节)函数极限的基本性质〔不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等〕 P33(例4,例5)〔例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理4不用看〕习题1－3：1，2，3，4第四节：无穷大与无穷小〔重要〕无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系〔无穷小重要，无穷大了解〕〔例2不用看，定理2不用证明〕习题1－4：1，6第五节：极限的运算法则〔掌握〕极限的运算法则(6个定理以及一些推论)〔注意运算法则的前提条件是否各自极限存在〕〔定理1,2的证明理解，推论1,2,3，定理6的证明不用看〕P46(例3,例4),P47(例6)习题1－5：1，2，3，4,5〔重点〕第六节：极限存在准则〔理解〕两个重要极限〔重要〕两个重要极限〔要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式，要会证明两个重要极限〕,函数极限的存在问题〔夹逼定理、单调有界数列必有极限〕，利用函数极限求数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数列的极限〔准则1的证明理解，第一个重要极限的证明一定要会，另一个重要极限的证明不用看，柯西存在准则不用看〕P51(例1)习题1－6：1，2，4价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念〔含左连续与右连续〕，会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质〔有界性、最大值和最小值定理、介值定理〕，并会应用这些性质．第七节：无穷小的比较〔重要〕无穷小阶的概念〔同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小〕，重要的等价无穷小〔尤其重要，一定要烂熟于心〕以及它们的重要性质和确定方法〔定理1,2的证明理解〕P57(例1)P58(例5)习题1－7：全做第八节：函数的连续性与间断点〔重要，基本必考小题〕函数的连续性，间断点的定义与分类〔第一类间断点与第二类间断点〕，判断函数的连续性〔连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性〕和间断点的类型。
第一章
教学内容与基本要求：
1、理解函数的概念。
了解函数奇偶性、周期性、单调性和有界性。
理解复合函数的概念、了解反函数概念。
熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。
会建立简单实际问题中的函数关系式。
2、理解极限的概念（对极限ε─N ，ε─δ定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求），了解极限的性质。
3、掌握极限四则运算法则。
4、了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
5、了解无穷小、无穷大的概念，会讨论无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。
6、理解函数在一点连续的概念，了解函数在区间上连续的概念。
了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。
了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理）。
第一节 映射与函数
㈠．本课的基本要求
理解函数的概念。
了解函数的基本性态。
理解复合函数的概念、了解反函数概念。
熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。
会建立简单实际问题中的函数关系式。
㈡．本课的重点、难点
重点是复合函数的概念，难点是函数的基本性态。
㈢．教学内容
引言──微积分的主要内容和思想方法
微积分是现代数学的第一个伟大成就，不仅对于数学本身的发展具有十分巨大的影响，而且作为强有力的工具，在几乎所有的科学（自然科学、社会科学和人文科学）领域里得到了广泛的应用。
微积分诞生于17世纪下半叶，但其思想的萌芽可追溯到2500多年关的古希腊人，我国古代也有一些精妙的思想和做法。
在对由直线围成的图形面积计算的同时，人们一直试图计算由曲线围成的图形的面积，计算圆的周长、圆的面积等这样一些著名问题一直吸引着许许多多的智者。
在两千多年不屈不挠的努力过程中，人们对许多具体问题建立了一些富有创见的解法。
经过反复认识和不断积累，人类对运动、变化、弯曲、连续等客观世界模式终于有了比较清晰的认识。
随着生产的发展和科学的进步，到17世纪时，求运动物体的速度和位移、求曲线的切线和曲线的长度、求由曲线所围的平面图形的面积和由曲面所围的空间立体的体积、求物体之间的引力等问题成为当时迫切需要解决的一些主要科学问题。
伟大的物理学家Newton 和哲学家Leibniz 由于本身科学工作的需要（例如Newton 计算瞬时速度和万有引力，Leibniz 计算曲线的切线等），在前人思想方法和计算方法的基础上，分别独立地建立了用于解决一类广泛问题的普遍方法和计算法则──微积分，极大地影响了数学以及整个科学的发展。
微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一。
现今，微积分已成为现代科学技术必备的一块“敲门砖”，是大学数学基础教育最基本的组成部分之一。
微积分的学习，不应该仅仅局限于学会一些计算方法，其间的思想方法将更有益于我们去认识客观世界。
一．介绍函数、极限、连续在本课程的地位
集合与映射我们在中学已经学过，以后也不用，这里就不再介绍。
二．邻域
邻域是一个经常用到的概念。
以点0x 为中心的任何开区间称为点0x 的邻域，记为)(0x U 。
设δ是任一正数，则开区间),(00δδ+-x x 就是点0x 的一个邻域，这个邻域称为点0x 的δ邻域，记余),(0δx U 。
称0x 为邻域的中心，δ为邻域的半径。
由于δδ+<<-00x x x 相当于δ<-0x x ，因此}|{),(00δδ<-=x x x x U 。
因为
0x x -表示点x 与点0x 间的距离，所以),(0δx U 表示：与点0x 距离小于δ的点x 的集合。
有时用到的邻域需要把邻域中心去掉。
点0x 的δ邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心δ邻域，记作),(0δx U ，即}||0|{),(00δδ<-<=x x x x U。
这里||00x x -<就表示0x x ≠。
为了方便，有时把开区间),(00x x δ-称为0x 的左δ邻域，把开区间),(00δ+x x 称为0x 的右δ邻域。
两个闭区间的直积表示xoy 平面上的矩形区域。
例如 ]},[],,[|),{(],[],[d c y b a x y x d c b a ∈∈=⨯即为xoy 平面上的一个矩形区域，这个区域在x 轴与y 轴上的投影分别为闭区间],[b a 和闭区间],[d c 。
三．函数
略提函数、反函数的概念，几种特性：单调性、奇偶性、周期性
练习：判断)32(4<<-=x x y 是偶函数。
（非）
1.有界性：设函数)(x f 的定义域为D ，数集D X ⊂。
如果存在数1K ，使得1)(K x f ≤，对任一X x ∈都成立，则称函数)(x f 在X 上有上界，而1K 称为函数)(x f 在X 上的一个上界。
如果存在数2K ，使得2)(K x f ≥，对任一X x ∈都成立，则称函数)(x f 在X 上有下界，而2K 称为函数)(x f 在X 上的一个下界。
如果存在正数M ，使得M x f ≤)(，对任一X x ∈都成立，则称函数)(x f 在X 上有界，而M 称为函数)(x f 在X 上的一个界。
如果这样的M 不存在，就称函数)(x f 在X 上无界；这就是说，如果对于任何正数M ，总存在X x ∈1，使M x f >)(1，那么函数)(x f 在X 上无界。
举例说明。
容易证明，函数)(x f 在X 上有界的充要条件是它在X 上既有上界又有下界。
2.基本初等函数的概念
基本初等函数的图象，从图象上看函数的性质
3.复合函数定义 设有两个函数，E x x g u D u u f y ∈=∈=),(,),(及，如果对于某些x 值
所对应的u 值，函数)(u f y =有定义，则y 通过u 的联系，也是x 的函数，就称这个函数为由)(u f y =与)(x g u =复合而成的复合函数，记为*)),((E x x g f y ∈=，这时，x 是自变量，y 是因变量，u 称为中间变量，其中{}
E x D x g x E ∈∈=,)(*
函数g 与函数f 构成的复合函数通常记为g f ，即)]([))((x g f x g f = 。
例1．求21,x u u y -==复合而成的复合函数。
例2．设))(()),((,12)(,sin )(2x f x f x x x x f ϕϕϕ求+==.
例3．指出))ln(sin(tan ,)1arctan(,sin 32x x e y x +=是由哪些函数复合而成。
注：不是任意两个函数都能复合，如2arcsin 2+==x u u y 与。
强调构成复合函数g f 的条件。
4.函数的运算
函数的和、差、积、商称为函数的运算。
但是必须注意运算的条件：函数的定义域要有交集。
5.初等函数 由基本初等函数及常数经过有限次四则运算和有限次复合构成并且可以用一个数学式子表示的函数。
双曲函数：双曲正弦2x x e e shx --=，双曲余弦2
x
x e e chx -+=，双曲正切chx shx thx =，反双曲函数略。
注：分段函数不是初等函数
例 符号函数⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=0100
01sgn x x x x ， 例 函数⎩⎨⎧=x 是是无理x 是是有理
x D ,1,0)(。
该函数的图形是无法绘制的。
（这个函数称为Dirichlet(狄
利克雷)函数。
它的奇特性可以用于说明许多涉及微积分本质的问题。
）
书上也提到取整函数这里不再介绍。
介绍几个常用符号：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=∀∃0
100
01sgn x x x x ct st ，、、、 四．初等数学模型的例子
我们介绍一个比较简单的初等数学模型的例子。
问题1 美国1975年至1978年的能源进口金额（单位：10亿）如下表所示：
⑴假设y 与t 为线性关系，试写一通过点(0,96)及(3,172)的线性方程式。
⑵利用此方程式估计976年及1977年的进口量（线性内插），并与实际进口量比较。
⑶预测1980年之能源进口量（线性外插）。
⑷由⑴中的直线斜率可得何种信息？
解略
本例虽很简单，但从中可以看出数学工具在解决实际问题中的作用。
另外，本例中所用的线性内插与线性外插是计算数学中的一类重要方法──插值法的简单情形。
以后我们进一步介绍。
问题 2 煤油在作为喷气发动机燃料之前需通过粘土以去除其中的污染物。
假设粘土呈管状，且每米管道可去除进入其中的污染物的20%，则煤油通过每米管道后尚留80%的污染物。
若0P 是初始污染物量，则)(n f P =是通过n 米管道后污染物遗留量。
试建立)(x f P =的表达式，并求当x 为何值时02
1P P =
？答案的实际意义是什么？ 解略
小结：
作业：P.22.16(1)(3)(5),18。
