高中数学《映射与函数》

第二章 函数函数八字图方程不等式函数性质图像本章以函数为核心,其内容包括函数的图像与性质.函数的性质主要包括函数的定义域、解析式、值域、奇偶性、单调性、周期性及对称性函数.的图像包括基本初等函数的图像及图像变换.函数知识的外延主要结合于函数方程（函数零点）及函数与不等式的综合.函数方程（函数零点）问题常借助函数图像求解．函数与不等式的综合可通过函数的性质及函数图像转化求解.第一节映射与函数考纲解读1、了解函数的构成要素，了解映射的概念.2、在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.3、了解简单的分段函数，并能简单应用.命题趋势探究有关映射与函数基本概念的高考试题，考查重点是函数的定义、分段函数的解析式和函数值的求解，主要以考查学生的基本技能为主，预测2019年试题将加强对分段函数的考查，考试形式多以选择题或填空题为主.知识点精讲1、映射设A，B是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则f，对A中的任何―个元素x，在B中有且仅有一个元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射.注由映射的定义可知，集合A到集合B的映射，元多个元素对应一个元素，但不允许―个元素对应多个元素，即可以一对一，也可多对一，但不可一对多.注象与原象如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么与A中的元素a对应的B中的元素b叫a的象．记作b＝f(a),a叫b的原象．A的象记为f(A)2、一一映射设A，B是两个集合，f是A到B的映射，在这个映射下，对应集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，且集合B中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射f为A→B 的一一映射.注由一一映射的定义可知，当A，B都为有限集合时，集合A到集合B的一一映射要求一个元素只能对应―个元素，不可以多对一更不能一对多；同时还可知道，集合A与集合B中的元素个数相等. 3、函数设集合A ，B 是非空的数集，对集合A 中任意实数x 按照确定的法则f 集合B 中都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 到集合B 上的一个函数记作y ＝f (x ) x ∈A ·其中x 叫做自变量，其取值范围（数集A ）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f （a ）或y |x =2，所有函数值构成的集合{|(),}C y y f x x A ==∈叫做该函数的值域，可见集合C 是集合B 的子集 . 注 函数即非空数集之间的映射 注 构成函数的三要素构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.题型归纳及思路提示 题型10 映射与函数的概念思路提示 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f 下对应集合A 中的任一元素在B 中都有唯―的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合A 与是否为非空数集；（2）f ：A →B 是否为一个映射. 例2.1 若f ：A →B 构成映射下列说法中正确的有（ ） ①A 中任―元素在B 中必须有象且唯一； ②B 中的多个元素可以在A 中有相同的原象； ③B 中的元素可以在A 中无原象； ④象的集合就是集合BA ①②B .③④C .①③D .②③④变式1 在对应法则f 下，给出下列从集合A 到集合B 的对应[]2(1):1,2,0;p x x a ∀∈-≥(2) x y x f Z B N A )1(:,,-=→==；（3）A ＝{x |是平面内的三角形}，B ＝｛y |y 是平面内的圆｝，f ：:x →y 是x 的外接圆； （4）设集合A ＝｛x |是平面内的圆｝，B ＝｛y |y 是平面内的矩形｝，f :：x →y 是x 的内接矩形 其中能构成映射的是_______变式2 已知函数y ＝f (x ),定义域为A ＝｛1,2,3,4｝值域为C ＝｛5,6,7},则满足该条件的函数共有多少个？例2.2 有以下判断： ①||f(x)=x x 与1,0()1,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数； ②函数()y f x ＝的图象与直线1x =的交点最多有1个； ③2(1)2f x x x ＝－＋与2(1)2g t t t ＝－＋是同一函数； ④若1()||f x x x ＝－－，则1(())02f f =. 其中正确判断的序号是________． .变式1 下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4思路提示 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数例2.3 在下列各组函数中，找出是同一函数的一组 （1）0x y =与y =1 （2）()2x y =与2x y =（3）x x y 31-=与331tt y -=评注 由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什么字母表示变量无关这被称为函数表示法的无关特性 变式1下列函数中与y ＝x 是同一函数的是( ) (1)2x y = (2)x a a y log =(3)xa ay log = (4)33x y =(5))(*N n x y n n ∈=A (1)(2)B (2)(3)C (2)(4)D (3)(5)思路提示 求函数解析式的常用方法如下： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.(2)当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法.若易换元后求出x ，用换元法. (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法. (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求. 一、待定系数法（函数类型确定）例2.4已知二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像上任意一点都不在直线y =x 的下方.（1）求证:a +b +c ≥1;（2）设()())()(,32x g x f x F x x x g +=++=，若F (0)＝5，且F （x ）的最小值等于2，求)(x f 的解析式.变式1已知)(x f 是一次函数，若()()14-=x x f f ，求)(x f .二、换元法或配凑法（适用于了()[]x g f 型）例2.5已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式.评注 利用换元法求函数解析式时，应注意对新元t 范围的限制变式1 已知221111xxx x f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,求()x f 的解析式.变式2设()x f =xx-+11，又记()=x f 1()x f ()()()x f f x f k k =+1,(k =1,2,…),则()x f 2015=( ). A.x 1- B . x C .11+-x x D .xx -+11例2.6 已知函数()x f 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f 1221xx +=,则()x f 的表达式为________.评注 求函数解析式要注意定义域变式1 已知x x x x x f 11122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的解析式三、方程组法例2.7 已知函数()x f 满足：()x x f x f 312=⎪⎭⎫⎝⎛+()0≠x ,求函数()x f 的解析式.评注 若一个方程中同时出现()f x 与其他形式()f x ϕ⎡⎤⎣⎦ （如()0a f a x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ 或()f a x -等）时，可用()x ϕ 代替两边所有的x ,得到关于()f x 与()f x ϕ⎡⎤⎣⎦的另一个方程组,解方程程组即可求出()f x 的解析式，常称这种方法为方程组法.变式1函数()f x 满足方程()()af x f x ax +-= ,其中x R ∈,a 为常数，且a ≠1± ·求()f x 的解析式.四、求分段函数的解析式例2.8已知函()()()()2021,,10x x f x x g x x ⎧≥⎪=-=⎨-≤⎪⎩求()(),f g x g f x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 的表达式.评注 对于分段函数的形式，不论是求值还是求分段函数表达式，一定要注意复合变量的要求.变式1 已知函数()()()()2212.2212x x x f x x x x +≤-⎧⎪⎪=≥⎨⎪-<<⎪⎩(1)求7;4f f f ⎧⎫⎡⎤⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭ (2)若()3,f a = 求a 的值.例2.9已知实数a ≠0函数(),1,2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩ 若()()11,f a f a -=+ 则a 的值为______.变式1 已知实数a ≠0,函数()2,1,2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()12,f a f a -=+则a 的值为_______变式2 (2017·武汉调研)函数21,10f(x)=,0x sin x x e x π-⎧<<⎨≥⎩满足()(12)f f a ＋＝，则a 所有可能的值为( )A ．1或－22 B ．－22 C ．1 D ．1或22最有效训练题4（限时45分钟）1.下列对应法则f 中，构成从集合A 到集合B 的映射的是( )A . {}20,B ,:A x x R f x y x =>=→=·B .{}{}22,0,2,4,:A B f x y x =-=→=C .{}21,0,:A R B y y f x y x==>→= D .{}{}0,2,0,1,:2x A B f x y ==→= 2.如图2-2所示，（a ），（b ），（c ）三个图像各表示两个变量x ，y 的对应关系则有A 都表示映射，且（a ），（b ），（c ）表示y 为x 的函数B 都表示y 是x 的函数C 仅（b ）（c ）表示y 是x 的函数D 都不能表示y 是x 的函数3.下列各组函数中是同一函数的是（ ）A .x Y x = 与1y =B .1y x =- 与1,11,1x x y x x ->⎧=⎨-<⎩ C .1y x x =+- 与21y x =- D .321x x y x +=+ 与y x = 4.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){},,x y x R y R ∈∈，映射f ：A →B 使集合A 中的元素（x ，y ）映射成集合B 中的元素（x ＋y ，x -y ），则在映射f 下，象（2，1）的原象是（ ）．A .(3，1)B .31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C .31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D . ()1,3 5．(2016·安徽六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( )A ．－2B ．2C ．－2或2 D. 26.(2016·唐山期末)已知123,1f(x)=,1ax a x lnx x -+<⎧⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12) 7.定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2,,12f x y f x f y xy x y R f +=++∈=，则f (-3)=_______.8.设函数()()()221121x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩ ,则()12f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的值为_______.9.设函数()()()2020x bx c x f x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩,若()()()30,12,f f f -=-=- 则关于x 的方程()f x x =的解的个数为_______.10．若:31f y x =+ 是从集合{}1,2,3,A k = 到集合{}42*4,7,,3,B a a a a N =+∈ 的一个映射,则A ＝_____，B =_______.11.求下列函数的解析式：(1)已知21lg ,f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求()f x ; (2已知()f x 是一次函数,且满足()()3121217,f x f x x +--=+求()f x ;(3)已知()21cos sin f x x -=,求()f x ; (4)()f x 为二次函数且f (0)=3,()()242f x f x x +-=+,求()f x ;(5)已知定义域为（0,＋∞）的单调函数(),f x 若对任意的()0,x ∈+∞都有()12log 3,f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦求()f x 的解析式. 12.已知()()()()2101,.20x x f x x g x x x ->⎧⎪=-=⎨-<⎪⎩ (1)求()2f g ⎡⎤⎣⎦和()2g f ⎡⎤⎣⎦的值（2）求()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦的表达式.。