高中数学专题-函数的对称性

高中数学函数对称性的探究
作者：王杰
来源：《学校教育研究》2015年第20期
新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。

尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。

以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断，对称关系还充分体现了数学之美。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究
定理1：函数 y = f （x）的图像关于点A （a ，b）对称的充要条件是f （x） + f （2a-x）= 2b.
注：①上表中k∈Z；②y = tan x的所有对称中心坐标应该是（kπ/2 ，0 ），而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是（kπ，0 ），这明显是错的。

搞好高中数学的函数对称性教学函数是中学数学教学的主线,是中学数学的中心内容,也是整个高中数学的基础。

函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不只普遍存在于数学效果之中,而且应用对称性往往能更简捷地使效果失掉处置,对称关系还充沛表现了数学之美。

本文拟经过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来分析函数与对称有关的性质。

1.函数自身的对称性探求定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b 证实 :(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点, ∵点P(x,y)关于点A(a ,b)的对称点P(2a-x,2b-y)也在y = f(x)图像上, ∴ 2b-y=f(2a-x) 即y+f(2a-x)=2b故f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证。

(充沛性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a-x)=2b ∴f(x0)+f(2a-x0)=2b,即2b-y0=f(2a-x0) 。

故点P(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图像上,而点P与点P关于点A(a ,b)对称,充沛性得征。

推论:函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0 定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)(证实留给读者) 推论:函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x) 定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。

②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。

③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。

有关函数对称性的几个重要结论函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。

函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。

一函数自身的对称性［重要结论1］函数y＝f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）＋f（2a－x）＝2b。

证明：（必要性）设点 P（x，y）是 y＝f（x）图像上任一点，∵点 P（x，y）关于点 A（a，b）的对称点P’（2a－x，2b－y）也在 y＝f（x）图像上，∴ 2b－y＝f（2a－x）。

即 y＋f（2a－x）＝2b，故 f（x）＋f（2a－x）＝2b，必要性得证。

（充分性）设点 P（x0，y0）是 y＝f（x）图像上任一点，则 y0＝f（x0）。

∵f（x）＋f（2a－x）＝2b，∴f（x0）＋f（2a－x0）＝2b，即 2b－y0＝f（2a－x0）。

故点P’（2a－x0，2b－y0）也在 y＝f（x）图像上，而点 P与点P’关于点 A（a，b）对称，充分性得征。

推论 1：函数 y＝f（x）的图像关于原点 O对称的充要条件是 f（x）＋f（－x）＝0。

［重要结论 2］函数 y＝f（x）的图像关于直线 x＝a对称的充要条件是：f（a＋x）＝f（a－x），即 f（x）＝f（2a－x）（证明同上）推论 2：函数 y＝f（x）的图像关于 y轴对称的充要条件是 f（x）＝f（－x）［重要结论 3］（1）若函数 y＝f（x）图像同时关于点 A（a， c）和点 B（b，c）成中心对称（a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 2|a－b|是其一个周期。

（2）若函数 y＝f（x）图像同时关于直线 x＝a和直线 x＝b成轴对称（a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 2|a－b|是其一个周期。

函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是指函数在某种变换下保持不变的特性。

函数对称性广泛应用于各个数学分支，如代数、几何和微积分等。

本文将对常见的函数对称性公式进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些公式。

2. 对称轴对称轴是函数对称性的一个重要概念。

对称轴是指函数图像关于某一直线对称。

对称轴上的点与其对称点关于对称轴对称。

对称轴的方程可以通过观察函数的特性或运用特定的公式来确定。

2.1 y轴对称性若函数满足f(x) = f(-x)，则函数具有y轴对称性。

对于奇函数来说，其图像关于y轴对称；对于偶函数来说，其图像与y 轴重合。

常见的函数对称于y轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)2.2 x轴对称性若函数满足f(x) = -f(x)，则函数具有x轴对称性。

对于奇函数来说，其图像关于x轴对称；对于偶函数来说，其图像与x 轴重合。

常见的函数对称于x轴的公式有：•奇函数的定义：f(x) = -f(x)•偶函数的定义：f(x) = f(-x)3. 极限和导数对称性在微积分中，极限和导数也可以与函数的对称性相关联。

3.1 极限对称性若函数f(x)在某一点x=a的极限存在，并且与x=a的对称点x=-a的极限相等，即lim(x->a) f(x) = lim(x->-a) f(x)，则函数具有极限对称性。

常见的函数具有极限对称性的公式有：•正弦函数的极限对称性：lim(x->0) sin(x) = lim(x->0) sin(-x)•余弦函数的极限对称性：lim(x->0) cos(x) = lim(x->0) cos(-x)3.2 导数对称性若函数f(x)在某一点x=a可导，并且其导数与x=a的对称点x=-a的导数相等，即f’(a) = f’(-a)，则函数具有导数对称性。

常见的函数具有导数对称性的公式有：•正弦函数的导数对称性：(sin(x))’ = cos(-x)•余弦函数的导数对称性：(cos(x))’ = -sin(-x)4. 对称性的应用函数对称性是解决许多数学问题的重要工具。

第7节 三角函数的对称性与周期性【基础知识】 对称性：1.对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；k Z ∈对称中心为.tan y x =,02k π⎛⎫ ⎪⎝⎭k Z ∈2.对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它sin )y A x ωϕ=+（()2x k k Z πωϕπ+=+∈还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得x ()x k k Z ωϕπ+=∈，即其对称中心为． ()k x k Z πϕω-=∈(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭3.相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象T 2T 2的最高点或最低点． 奇偶性：1．函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，x 如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对y 称；3．为偶函数．()f x ()(||)f x f x ⇔=4．若奇函数的定义域包含，则．()f x 0(0)0f =5. 为奇函数，为偶函数，为奇函数. sin y x =cos y x =tan y x =周期性：1. 周期函数的定义一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都有()f x T x ，那么函数就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期．()()f x T f x +=()f x T 2.最小正周期对于一个周期函数，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正()f x 数 就叫做的最小正周期．()f x 2. ,周期为,周期为. sin y x =cos y x =2πtan y x =π【规律技巧】三角函数对称性先化成的形式再求解．其图象的对称轴是直线sin )y A x B ωϕ=++（)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．三角函数周期性1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数。

高中函数对称性精选习题高中数学的函数部分是整个数学学科中的重点部分，而其中的对称性更是数学家们一直以来所研究的基础问题，因为对称性不仅在数学中有很强的应用性，而且在生物、物理结构等很多领域中都具有相当的重要性。

这篇文章将介绍一些高中函数对称性的精选习题，以帮助学生加深对该知识点的理解和掌握。

对称性习题1：画出 f(x) = x^3 的图像，然后画出他的零点对称的图像、 y 轴对称的图像、 x 轴对称的图像。

对称性是函数图像基本特征之一，在本题中可以通过将函数图像平移，并通过数学方法进行计算，得出它的零点对称、y轴对称和x轴对称的特点。

对称性习题2：函数 f(x) = (x-a)^2+b 和 g(x) = -f(x) + c 都具有对称性，请问a,b,c分别代表哪些对称特征？本题需要考虑三种对称性，即顶点对称、水平对称和垂直对称。

其中，a和b分别是关于顶点对称的坐标，而c则表示关于水平对称以及垂直对称的中轴线位置。

对称性习题3：函数 f(x) = sin(x) 具有什么对称性？你能画出它的图形吗？本题便是考察对函数图像的理解能力。

由于sin(x)是周期性函数，因此它在范围为2π的极端取值点上具有水平对称性，即f(x)= f(2π-x)。

除此之外，该函数还具有原点对称性，即f(x) = -f(-x)，即可利用这两个特点绘制出它的详细图形。

对称性习题4：函数 f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) 具有哪些对称性？在该函数中，通过计算它的一阶、二阶和三阶导数，可以得出它分别关于y轴、x=2和x=1.5处的对称性，即关于Y轴对称，对于x=2，(2.5-(1.5))(1.5-1) = 2 和 (2.5-(2.5))(2.5-1) = 1.25，所以这个点具有对称特性。

除此之外，该函数还具有奇偶性，即f(-x) = -f(x)。

对称性习题5：函数 f(x) = ln(x) 具有哪些对称性？你能画出它的图形吗？对于该函数，本题需要考虑的对称性有两种，一是y轴对称，二是零点对称。

知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的根底。

函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个根本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分表达了数学之美。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来讨论函数与对称有关的性质。

一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：〔必要性〕设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'〔2a－x，2b－y〕也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

〔充分性〕设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，那么y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P'〔2a－x0，2b－y0〕也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 〔证明留给读者〕推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①假设函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称〔ab〕，那么y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

高中数学函数对称性和周期性小结高中数学中，函数对称性和周期性是重要的概念。

它们在数学理论和实际应用中都扮演着重要的角色。

本文将对函数的对称性和周期性进行详细的介绍和总结。

首先，我们来讨论函数的对称性。

对称性是指函数在某种变换下具有保持不变的性质。

在数学中，常见的函数对称性有对称、反对称和轴对称等。

对称函数是一种在镜像变换下保持不变的函数。

对称函数的概念可以延伸到两种情况：关于y轴对称和关于原点对称。

关于y轴对称的函数满足 f(x) = f(-x)，这意味着函数的图像在y轴上对称。

而关于原点对称的函数满足 f(x) = -f(-x)，这意味着函数的图像在原点上对称。

常见的对称函数有偶函数和奇函数。

偶函数是指关于y轴对称的函数，即满足 f(x) = f(-x) 的函数。

这种函数的图像关于y轴对称，例如 y = x^2 就是一个典型的偶函数。

偶函数的特点是在定义域的对称位置的函数值相等。

对偶函数来说，如果f(x)在定义域内有定义，则f(-x)也在定义域内有定义。

偶函数的性质还包括：偶函数相加仍为偶函数，偶函数与任意常数先乘后加仍为偶函数，偶函数乘以奇函数得到奇函数。

奇函数是指关于原点对称的函数，即满足f(x) = -f(-x) 的函数。

这种函数的图像关于原点对称，例如 y = x^3 就是一个典型的奇函数。

奇函数的特点是在定义域的对称位置的函数值互为相反数。

对奇函数来说，如果f(x)在定义域内有定义，则f(-x)也在定义域内有定义。

奇函数的性质还包括：奇函数相加仍为奇函数，奇函数与偶函数相加得到一个新的函数，既不是偶函数也不是奇函数。

反对称函数是指既不关于y轴对称也不关于原点对称的函数，而是在镜像变换下呈现一种特殊的关系。

即满足 f(x) = -f(-x)的函数。

这种函数的图像在关于y轴和原点的对称位置的函数值互为相反数。

例如 y = x 就是一个典型的反对称函数。

其次，我们来讨论函数的周期性。

周期性是指函数在某个特定的区间内，满足一个特定的周期性关系。

高三函数对称性知识点总结一、函数对称性的概念与重要性函数作为数学中描述变化规律的重要工具，其图像的对称性是解析几何中一个非常有趣且具有实际意义的课题。

在高中数学的学习中，掌握函数图像的对称性对于理解和运用函数知识至关重要。

对称性不仅能够帮助我们快速识别函数的性质，还能在解决实际问题时提供直观的解题思路。

本文将对高三数学中函数对称性的相关知识点进行总结和梳理。

二、函数图像的对称轴1. 轴对称性轴对称性是函数对称性中最基本也是最常见的一种形式。

对于一个函数图像来说，如果存在一条直线，使得图像上任意一点关于这条直线对称，那么这个函数就具有轴对称性。

对于二次函数，其对称轴通常为 x = -b/2a，这里的 a 和 b 分别是二次项和一次项的系数。

2. 中心对称性除了轴对称性，函数图像还可能具有中心对称性。

如果图像上任意一点 P(x, y) 关于某一点 (a, b) 对称，即存在点 P'(2a-x, 2b-y) 也在图像上，那么这个函数就具有中心对称性。

例如，反比例函数 y =k/x (k 为常数) 的图像就具有中心对称性，其对称中心为原点。

三、常见函数的对称性质1. 二次函数的对称性二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像是一个抛物线。

根据 a 的正负，抛物线的开口方向不同，但其对称轴始终为直线 x = -b/2a。

当 a >0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

此外，二次函数的图像可以通过平移、伸缩等变换保持其对称性质。

2. 一次函数的对称性一次函数 y = kx + b 的图像是一条直线。

直线的对称性较为简单，它关于垂直于其斜率 k 的直线具有轴对称性。

当 k 为正时，直线向右上方倾斜；当 k 为负时，直线向右下方倾斜。

一次函数的图像是对称的，但不是中心对称的。

3. 反比例函数的对称性反比例函数y = k/x (k ≠ 0) 的图像是一对双曲线。

高中数学函数图像的对称与周期性在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。

对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。

一、对称性1. 关于y轴对称当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。

这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

2. 关于x轴对称当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。

这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

3. 关于原点对称当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。

这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

二、周期性1. 周期函数周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。

周期函数的图像具有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。

我们可以通过绘制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。

2. 非周期函数非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。

非周期函数的图像通常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。

例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。

我们需要根据函数的性质和变化规律来绘制函数图像。

三、举一反三通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。

三角函数的对称性专项练习奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈， 对称轴是()2x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点。

正切函数 )tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）.一 选择题1 (2016·全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B. x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C.x ＝k π2－π12(k ∈Z )D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z )2 ．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 3 .(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是 A.π8B.π4C.3π8D.5π44. (2015·四川省统考)点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则 A. f (x )的最小正周期是π B. m 的值为1C. f (x )的初相φ为π3D. f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤43π，2π上单调递增6 . (2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象A. 关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称B. 关于直线x ＝5π12对称C. 关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称 D. 关于直线x ＝π12对称7． 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么Φ的最小值为 （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π8 ．已知函数()sin(2)3cos(2)(0)f x x x ψψψπ=+++<<是R 上的偶函数，则ψ的值为Ａ．6π Ｂ．3π Ｃ．23π Ｄ．56π9 .【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+二 填空题（1）函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是______；（2）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______（3）已知3f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。

高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性：1.fa+x = fa-x ==> fx 关于x=a对称2.fa+x = fb-x ==> fx 关于x=a+b/2 对称3.fa+x = -fa-x ==> fx 关于点a,0对称4.fa+x = -fa-x + 2b ==> fx 关于点a,b对称5.fa+x = -fb-x + c ==> fx 关于点a+b/2 ,c/2 对称6.y = fx 与y = f-x 关于x=0 对称7.y = fx 与y = -fx 关于y=0 对称8.y =fx 与y= -f-x 关于点0,0 对称例1：证明函数y = fa+x 与y = fb-x 关于x=b-a/2 对称;解析求两个不同函数的对称轴,用设点和对称原理作解;证明：假设任意一点Pm,n在函数y = fa+x 上,令关于x=t 的对称点Q2t – m,n, 那么n =fa+m = f b – 2t – m∴b – 2t =a , ==> t = b-a/2 ,即证得对称轴为x=b-a/2 .例2：证明函数y = fa - x 与y = fx – b 关于x=a + b/2 对称;证明：假设任意一点Pm,n在函数y = fa - x 上,令关于x=t 的对称点Q2t – m,n, 那么n =fa-m = f 2t – m – b∴2t - b =a , ==> t = a + b/2 ,即证得对称轴为x=a + b/2 .二、函数的周期性令a , b 均不为零,若：1.函数y = fx 存在fx=fx + a ==> 函数最小正周期T=|a|2.函数y = fx 存在fa + x = fb + x ==> 函数最小正周期T=|b-a|3.函数y = fx 存在fx = -fx + a ==> 函数最小正周期T=|2a|4.函数y = fx 存在fx + a =1/fx ==> 函数最小正周期T=|2a|5.函数y = fx 存在fx + a = fx + 1/1 – fx ==> 函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析;第2点解析：令X=x+a ,fa +x –a = fb +x – a∴fx = fx + b – a ==> T=b – a第3点解析：同理,fx + a = -fx + 2a ……①fx = -fx + a ……②∴由①和②解得fx = fx+2a∴函数最小正周期T=|2a|第4点解析:fx + 2a =1/fx + a ==> fx + a =1/fx + 2a又∵fx + a =1/fx∴fx = fx + 2a∴函数最小正周期T=|2a|第5点解析:∵fx + a = {2 – 1 – fx}/1 – fx = 2/1 – fx – 1∴1 – fx = 2/fx + 1移项得fx = 1 – 2/fx + a + 1那么fx - a = 1 – 2/fx +1,等式右边通分得fx - a = fx – 1/1 + fx ∴1/fx - a = 1 + fx/fx – 1 ,即- 1/fx - a = 1 + fx/1 - fx∴- 1/fx - a = fx + a ,- 1/fx – 2a = fx ==> - 1/fx = fx - 2a ①, 又∵- 1/fx = fx + 2a ②,由①②得fx + 2a = fx - 2a ==> fx = fx + 4a∴函数最小正周期T=|4a|。

高中数学教学中函数的对称性教学研究摘要：现阶段，随着我国新课标改革，提倡基于核心素养下对原有的教学模式进行改革。

因此，在高中数学教学中，需要教师对原有的教学模式进行改进，采取新的教学理念，并结合日常教学过程中存在的问题，采取针对性的教学策略，从而更好地提高数学教学质量。

高中数学知识较多，需要教师合理的规划各个章节讲课内容，基于核心素养培养要求下进行讲课，从而更好地提高学生掌握基础知识的能力和实践解题的能力。

基于此，本文以高中数学《函数的对称性》为分析案例，提出在高中数学教学中进行函数对称教学的设计策略，并提出相关教学策略，希望对于高中数学教师的教学提供一定的参考。

关键词：高中数学；教学研究；函数的对称性引言：数学作为一门逻辑性较强的学科，不仅仅关乎学生高考，更会影响到学生的逻辑思维能力和未来综合发展。

而且，随着新课标改革，对学生的发展要求越来越高，采取以往的教学策略已经不能满足当下培养学生学习的需要，因此，需要教师不断地探索新的教师实践策略，帮助学生更好地学习相关数学知识。

因此，本文将以函数为例，探讨教师运用整体教学的策略研讲授函数对称性问题。

一、高中数学函数的对称性设计策略（一）知识与技能的教学培养目标培养学生在解答函数时能够用函数的对称性的快速解答，同时也能灵活地使用函数的对称性相关知识。

并熟练掌握函数的对称性应用实践答题的技巧。

（二）学习过程与方法的教学目标在数学教师的教导下，学会如何观察题目，从而有条理地去推导、并在解题后进行交流总结等一系列过程，从而让学生掌握如何得出函数的对称性的过程，在这一过程中提高学生对问题的推理分析与归纳总结的能力（三）情感与态度的教学目标在采用整体设计教学的模式下，教师要在这样的教学过程中培养学生对数学的逻辑分析思维和独立思考意识，提高学生团队合作学习的能力。

二、高中数学函数的对称性整体教学设计的措施（一）采用分组合作营造课堂氛围，激发学生的创新思维教师在进行函数的对称性整体设计教学中合理地按照学生学习的实际情况进行分组，让学生自由讨论，并通过合作学习的方式提高学习效率，更好地在讨论中激发学生思维创新性。

高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1函数= f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,)是= f (x)图像上任一点，∵点P( x ,)关于点A (a ,b)的对称点P’（2a－x，2b－）也在= f (x)图像上，∴2b－= f (2a－x)即+ f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,0)是= f (x)图像上任一点，则0 = f (x0)∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－0 = f (2a－x0) 。

故点P’（2a－x0，2b－0）也在= f (x) 图像上，而点P与点P’关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数= f (x)的图像关于原点对称的充要条是f (x) + f (－x) = 0定理2 函数= f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数= f (x)的图像关于轴对称的充要条是f (x) = f (－x)定理3 ①若函数= f (x) 图像同时关于点A (a ,)和点B (b ,)成中心对称（a≠b），则= f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

②若函数= f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则= f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。

③若函数= f (x)图像既关于点A (a ,) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则= f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数= f (x)图像既关于点A (a ,) 成中心对称，∴f (x) + f (2a－x) =2，用2b－x代x得：f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2………………（*）又∵函数= f (x)图像直线x =b成轴对称，∴f (2b－x) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f [2 (a－b)+ x] = 2－f [4(a－b) + x]代入（**）得：f (x) = f [4(a－b) + x],故= f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。

第 12 题函数的周期性与对称性一．题源探究·黄金母题已知函数 y ＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题：（1） 求函数的周期；（2） 画出函数 y ＝f(x ＋1)的图象；（3） 你能写出函数 y ＝f(x)的解析式吗？【解析】（1）从图象得知，x 从 0 变 1化到 1，函数经历 个周期，即2T= 1 ，故函数的周期 T=2；2（2）函数 y=f （x+1）的图象可由函数 y=f （x ）的图象向左平移 1 个单位得到，因为函数 y=f （x ）的图象过点（0，0）、点 （1，1）所以 y=f （x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），再根据函数为周期函数画出图象：（3）当-1≤x ＜0 时，f （x ）=-x ，当 0≤x ＜1 时，f （x ）=x ；当 2n-1≤x ＜2n 时，f （x ）=f （x-2n ）=-（x-2n ）=2n-x ， 当 2n ≤x ＜2n+1 时，f （x ）=f （x-2n ）=x-2n ，∴ f (x ) = ⎧2n - x , 2n -1 ≤ x < 2n （n 为整数） ⎨x - 2n , 2n ≤ x < 2n +1⎩【试题来源】人教版 A 版必修四第 47 页 B组第 3 题【母题评析】本题以 y ＝f(x)的图象为载体， 考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）问题，此类问题是高考常考的题型之一． 【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”．二．考场精彩·真题回放9 9 C ．最大值为D ．最小值为44【答案】D【解析】因为要满足对任意的 x ∈ ⎡⎢0, 2π⎤⎥ ,总存在 x ∈ ⎡⎢0, 2π⎤⎥ 使得 1 ⎣3 ⎦2⎣3 ⎦f ( x 1 ) + f ( x 2 ) = 0 ，对于 f ( x ) = sin ωx (ω> 0) 则在 ⎡⎢0, 2π⎤⎥ 上的函数值有正值,即 f ( x ) 可以有正 ⎣3 ⎦1值，要存在 x 2 使得 f (x 1 ) + f ( x 2 ) = 0 ,则 f ( x 2 )需要有负值. 2π 可得一定是大于 f ( x ) = sin ωx (ω> 0) 在 x ∈[0, +∞) 上的第一个零点.3因此 f (x 1 ) 就可以取到最大值1 ,要存在 f ( x 2 ) 使得 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) = 0 ,则 f ( x 2 )要可以取到 -1, 说明 f ( x ) 在 x > 0 上取得第一个最小值的点应在2π的左侧或者恰好落在2π3 3处3 2π 3 2π 2π 9 所以 T ≤ ,即 ⋅ ≤ ,解得ω≥ 2 3 2 ω 3 4故选 D 项.考向 5 奇偶性、周期性与单调性B. 函数 y = g (x ) 的一条对称轴是 x =π8C. 函数 y = g (x ) 的一个零点是3π8D. 函数 y = g (x ) 在区间 ⎡⎢π , 5π⎤⎥ 上单调递减 ⎣12 8 ⎦【答案】Df ( x ) = 2sin2x - 2cos2x +1 = 2 s in ⎛2x - π⎫ +1【解析】由题意可知： 4 ⎪ ， ⎝ ⎭π图像向左平移 4 个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为：g ( x ) = 2 sin ⎡2 ⎛ x + π⎫ - π⎤ +1-1 = 2 sin ⎛2x + π⎫⎢ 4 ⎪ 4 ⎥ 4 ⎪ ⎣ ⎝⎭ ⎦ ⎝ ⎭ . 2π则函数 g ( x ) 的最小正周期为T = 2 = π，A 选项说法正确； x = π 2x + π = π y = g ( x ) x = π 当 8 时， 4 2 ，函数 的一条对称轴是8 ，B 选项说 法正确；x =3π2x + π = π y = g ( x ) 3π当 8 时， 4 ，函数 的一个零点是 8 ，C 选项说法正确；x ∈ ⎡⎢ π , 5π⎤⎥ 2x + π∈ ⎡⎢ 5π, 3π⎤⎥ ⎡⎢ π , 5π⎤⎥若 ⎣12 8 ⎦ ，则 4 ⎣ 12 2 ⎦ ，函数 y = g ( x ) 在区间⎣12 8 ⎦ 上不单调，D 选项说法错误；本题选择 D 选项.f (x)-t = 0 （0 <t <1）即f (x)=t （0 <t <1 ）在区间(-2, 7)上的易得2 ⨯(1+ 5)=12 ，D 正确.根分别关于1，5 对称，故零点之和为故选：BD.由于log 2 -1∈(-1, 0)，故f(log2-1)=-f(1-log2)=-31-log32=-3，3 3 3 2据此可得：f (log 2 +1)=- 1=2， f (log 54)=-3.3 f (log 2 -1) 3 3 23本题选择D 选项.4.（2020 四川省眉山市）已知函数f (x) 对定义域R 内的任意x 都有f (x) = f (4 -x) ，且当x ≠ 2 时其导函数f '( x) 满足xf '( x) > 2 f '( x), 若2 <a < 4 则（）A． f (2a ) <f (3) <f (log a) B． f (3) <f (log a) <f (2a )2 2C． f (log2 a) <f (3) <f (2 ) D． f (log a) <f (2 ) <f (3)a a2【答案】C【解析】根据题意，由于函数f (x) 对定义域R 内的任意x 都有f (x) = f (4 -x) ，可知函数关于x=2 对称，同时根据条件x ≠ 2 时，有xf '(x) > 2 f '(x), 那么说明了当( x - 2) f '( x) > 0 ，当x>2 时，递增，当x<2 时单调递减，则可知函数的单调性，同时结合2 <a < 4 ，1 < log2 a < 2,16 > 2 > 4 那么可知af (log2 a) <f (3) <f (2 ) ，故选C.a2 sin⎛3π-x ⎫-12 ⎪f (x )g (x)=⎝⎭f (x)5.（2020 山东省泰安市）函数与x 的图象关于y 轴对称，则函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D2 sin ⎛3π-x ⎫-1【解析】2 ⎪-2 cos x -1，因为f (x )与g (x)图象关于y 轴对称，g (x)=⎝⎭=x x-2 c os(-x)-1 2 cos x +1则f (x)=-x =x,x ≠ 0 ，2 cos π+1 2 cos⎛-π⎫+1f ⎛π⎫= 2 =2 > 0，排除C，f ⎛-π⎫=2⎪=-2< 0 ，排除B，2 ⎪ππ ⎪⎝π⎭⎝⎭⎝ 2 ⎭-π2 2f (π)=2 cos π+ 1=-1< 0 ，排除A，ππ 故选:D.6.已知函数f (x)=A sin(ωx +ϕ)⎛A > 0,ω> 0, ϕ<π⎫的最大值为 2 ，其图像相邻两条对称轴之间的2 ⎪⎝⎭π⎛π⎫距离为，且f (x)的图像关于点 -, 0 ⎪对称，则下列判断正确的是（）2 ⎝12 ⎭A.函数f(x)在⎡⎢π,π⎤⎥上单调递增⎣6 3 ⎦B.函数f (x )的图像关于直线x =5π对称12C.当x∈⎡⎢-π,π⎤⎥时，函数f(x)的最小值为- 2⎣ 6 6 ⎦D.要得到函数f (x)的图像，只需要y = 2 cos 2x 将的图像向右平移π个单位6【答案】D【解析】函数f（x）＝Asin（ωx+φ）中，A = 2 ，T=π，∴T＝π，ω=2π=2，2 2 T又f（x）的图象关于点（-π，0）对称，∴ωx+φ＝2×（-π）+φ＝kπ，12 12解得φ＝kπ+π，k∈Z，∴φ=π；6 6∴f（x）= 2 sin（2x+π）；6ππππ5π对于A，x∈[ ，]时，2x +∈[ ，]，f（x）是单调递减函数，错误．6 3 6 2 6对于B，x =5π时，f（5π）= 2 sin（2 ⨯5π+π）＝0，f（x）的图象不关于x =5π对称，错误；12 12 12 6 12对于C，x∈[ -π，π]时，2x +π∈[ -π，π]，sin（2x +π）∈[ -1，1]，f（x）的最小值为-2，6 6 6 6 2 6 2 2C 错误；对于D，y = 2 cos2x 向右平移π个单位，得y = 2 cos2（x -π）= 2 cos（2x -π）的图象，6 6 3且y= 2 cos（2x-π）= 2 cos（π-2x）= 2 sin（2x+π），∴正确；3 3 6故选D．7.（2020 黑龙江省大庆市）设函数f ( x) = ln(1 +x) - ln(1 -x) ，则f (x) 是( ) A．奇函数，且在（0,1）上是增函数B．奇函数，且在（0,1）上是减函数C．偶函数，且在（0,1）上是增函数D．偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A1+x > 0【解析】由题意得，函数的定义域为{ ，解得-1 <x <1，1-x > 0又f (-x) = ln(1-x) - ln(1+x) =-[ln(1+x) - ln(1-x)] =-f (x) ，所以函数f (x )的奇函数，由f (x) = ln(1+x) - ln(1-x) = ln 1+x，令g (x)=1+x，又由0 <x <x < 1 ，则1-x 1-x 1 2g (x)-g (x)=1+x2 -1+x1 =2(x2 -x1 ) > 0 ，即，所以函数g (x)=1+x 为单调2 1 1-x 1-x (1-x )(1-x) 1-x2 1 2 1递增函数，根据复合函数的单调性可知函数f ( x) = ln(1 +x) - ln(1 -x) 在(0,1) 上增函数，故选A.8【2018河南豫南九校之间】定义在R上的函数f x，满足f x=x 2+2h x C0h1，且f x+1=2t x2h x C t1h0 f x t1，若g x=2x t3，则方程g x=f x在区间t1h⺁上所有实根之和为（）x t2A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】∵f x=x2+2h x C0h1，∴y=f(x)关于点(0，2)中心对称，将函数向右平移2个单位再向2t x2h x C t1h0右平移2 个单位，得到函数y=f(x)在[−1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点(如图)，去掉端点后关于(2，2)中心对称．又∵g x=2x t3关于(2，2)中心对称，故方程f(x)=g(x)在区间[−1，5]上的根就是函数y=f(x)和y=g(x) x t2的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于(2，2)中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1 + x2+x3=5，故选C．9.【2015 高考天津卷文】已知函数f (x)= sinωx + cosωx (ω> 0)，x ∈R ，若函数f (x)在区间(-ω,ω)内单调递增，且函数f (x)的图像关于直线x =ω对称，则ω的值为．【解析】解法一：因为f (x)= sinωx + cosωx (ω> 0)的递增区间长度为半个周期，所以由f (x)在区间(-ω,ω)内单调递增，可得2ω≤π，所以0<ω≤π，又f (x)的图像关于直线x =ω对称，，且ω 2f(ω)=sinω2+cosω2=2⇒sin⎛ω2+π⎫=1⇒ω2+π=2kπ+π(k∈Z)，由0<ω≤π可得，4 ⎪ 4 2 2⎝⎭ω2+π=π⇒ω=π.4 2 2解法二：由 f (x)在区间(-ω,ω)内单调递增可得，当 x ∈(-ω,ω)时，f '(x)=ωcosωx -ωsinωx =2ωcos ⎛ωx +π⎫≥ 0 恒成立，由ωx +π∈⎛-ω2+π,ω2+π⎫，可得，ω2+π≤π且ω2+π≥-π，4 ⎪ 4 4 4 ⎪ 4 2 4 2 ⎝⎭⎝⎭解得0 <ω≤π，又函数f (x)在区间(-ω,ω)内单调递增，且函数f (x)的图像关于直线x =ω对称，2所以f (ω)是f (x)的最大值，f(ω)=sinω2+cosω2=2⇒sin⎛ω2+π⎫=1⇒ω2+π=2kπ+π(k∈Z)，由0<ω≤π可得，4 ⎪ 4 2 2⎝⎭ω2+π=π⇒ω=π.4 2 210.已知函数f (x)与g (x)的定义域为R ，有下列5 个命题：①若f (x- 2)=f (2 -x)，则f (x)的图象自身关于直线y 轴对称；②y =f (x- 2)与y =f (2 -x)的图象关于直线x = 2 对称；③函数y =f (x+ 2)与y =f (2 -x)的图象关于y 轴对称；④f (x)为奇函数，且f (x)图象关于直线x =1对称，则f (x)周期为2；2⑤f (x)为偶函数，g (x)为奇函数，且g (x)=f (x-1)，则f (x)周期为2．。