《17.2.2一元二次方程的解法-公式法》教案4

17.2一元二次方程的解法(公式法)一、教学目标1.知识与能力理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2 能力训练要求1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．3. 情感感与态度体会从一般到特殊的思维方式，养成严谨、认真的科学态度和学风二、教学重点与难点1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．三、教学过程1、复习引入。

用配方法解下列方程 （1）03832=-+x x总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；（2）二次项系数为1；（3）程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为()n m x =+2的形式；（5）右边是非负数，就可以直接开平方求出方程 解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程02=++c bx ax()0≠a ，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式2、探索新知问题：刚才我们已经利用配方法求解了一个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程02=++c bx ax ()0≠a 呢?解： 二次项系数化为1得：;02=++acx a b x移项，得： ;2acx a b x -=+配方得：222)2()2(aba c ab x a b x +-=++222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+能直接开平方吗？当b 2-4ac ≥0时 ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2ba=±2a即aacb b x 242-±-=∴x 1x 2由上可知，一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a-就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式．上面的式子称为一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

公式法解一元二次方程教学设计1. 引言大家好，今天我们要聊聊如何用公式法解一元二次方程。

可能有人会觉得，这个公式看起来复杂得让人头疼，不过别担心，我们一起来慢慢搞清楚。

掌握了这个方法，解题就像吃饭一样简单了！2. 什么是公式法2.1 公式法的介绍公式法就是一种解一元二次方程的固定方法。

用公式来解题，就像是用标准化的工具来做手工，一下子问题就迎刃而解了。

公式法的核心就是这个公式：[ x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a} ]。

这个公式听起来是不是有点“高大上”？但别急，我们一步步来，慢慢了解它的秘密。

2.2 公式法的背景为什么要用公式法呢？这就得从一元二次方程的基本形式说起了。

任何一元二次方程都可以写成 ( ax^2 + bx + c = 0 )。

通过公式法，我们能直接找到方程的解，省时省力，非常实用。

3. 公式法的步骤3.1 步骤一：识别方程的系数首先，确定方程中的系数 (a), (b), 和 (c)。

这些系数分别是二次项、一次项和常数项的系数。

比如，方程 (2x^2 + 3x 2 = 0) 中， (a = 2)，(b = 3)，(c = 2)。

这一步就像是准备材料，材料准备齐全了，接下来的操作才能顺利进行。

3.2 步骤二：计算判别式接着，我们需要计算判别式 (b^2 4ac)。

这个判别式是公式法的核心，它帮助我们判断方程有多少个实数解。

比如，判别式的值是正数，说明方程有两个不同的实数解；如果是零，那方程有一个重复解；如果是负数，则方程没有实数解。

就像是看天气预报，判别式告诉我们“天”是否晴朗。

3.3 步骤三：代入公式求解最后，把计算出来的判别式代入公式：[ x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a} ]。

在这一步，我们要分两种情况来计算“(pm)”，就是“加”和“减”两种情况。

计算完之后，就能得到方程的两个解了。

这一步就像是用具体的工具完成了最后的作品展示。

一元二次方程的解法（公式法）一、教学目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。

二、教学重难点：1、重点：求根公式的推导和公式法的应用2、难点：一元二次方程求根公式的推导三、教学过程（一） 创设情境，导入新课：前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来研究。

下面我们先用配方法解下列一元二次方程1．01422=--x x 2.x x 35.12-=+完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。

引导学生总结用配方法解一元二次方程的步骤教师板书：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为()n m x =+2的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．问题：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗？学生独立思考（二）新知探索作进一步引导，如果每一个一元二次方程都通过配方法解，那么计算就较繁杂，针对于一般的一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ） 能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试。

学生动手亲自解方程02=++c bx ax （0≠a ） 找一名同学板演。

现在我们大家共同观察黑板上的探索过程02=++c bx ax （0≠a ）c bx ax -=+2移项ac x a b x -=+2 将二次项的系数化为1 22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 即 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 配方 a ac b a b x 2422-±=+ 开平方运算思考：有条件限制吗？当04422≥-aac b 时,才可以开平方 问题1：在什么2244b aca -才能大于或等于0？学生（思考、回答）因为0≠a 所以042>a ，如果使 04422≥-a ac b ，那么只有 042≥-ac b问题2:如果 042<-ac b 时，可以进行开平方运算吗？不可以，因为负数没有平方根那么我们来总结一下，在用配方法解02=++c bx ax （0≠a ）时，需注意什么？归纳总结：对于02=++c bx ax （0≠a ），当042≥-ac b 时，在这里我们把称 为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。

第五课：一元二次方程的解法（4）教学目的：1、掌握一元二次方程求根公式的推导过程；2、熟练掌握用公式法解一元二次方程；重点：一元二次方程求根公式解法；难点：用配方法推导求根公式。

教学过程：一、复习：用配方法解方程：1）0542=+-x x 2）05422=--x x二、新课：1、探索：用配方法来解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).解：因为a ≠0，方程两边都除以a ，得移项配方2、一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：)(042422≥--±-=ac b aac b b x 3、用公式法解一元二次方程的一般步骤是：（1） 一化：将方程化为一元二次方程的一般形式；（2） 二定：确定ac b c b a 42-的值及,,的值；（3） 三代：代入求根公式；（4） 四写：写出原方程的解。

4、例题：用公式法解下列方程:(1) x 2＋4x ＝2； (2) 2 x 2＋x －6＝0；解：移项，得：=a ，=b ，=c=-ac b 42 ∴=-±-=aac b b x 242 ∴原方程的解是=1x ，=2x(3)5x 2－4x －12＝0； (4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x.5、巩固练习：应用求根公式解方程：(1) x 2－6x ＋1＝0； (2)2x 2－x ＝6；(3)4x 2－3x －1＝x －2； (4)3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).（5）0132=++x x （6）x x x 2222=+6、根据一元二次方程求根公式的推导过程，说明代数式ac b 42-与方程根的情况关系。

ac b 42-＞0，方程有 实数根；ac b 42-=0，方程有 实数根；ac b 42-＜0，方程 实数根；三、堂上练习：1、用公式法解下列方程：（1）0232=-+x x（2）0762=+-x x（3）08692=-+x x（4）y y 4010202...=-（5）121=+)(x x（6）22322x x x =-+)(（7）24422=-x x（8）是常数）、b a a b ax x (2222-=-2、不解方程，判别下列方程的根的情况；（1）04322=-+x x ； （2）y y 249162=+解：∵ac b 42-=∴（3）07152=-+x x )( （4）026232=+-t t3、链接中考；1、（99）下列方程中，无实数根的方程是（ ）A ）012=+xB ）02=+x xC ）012=-+x xD ）02=-x x2、（03）关于x 的一元二次方程012=-+-)(a a x x 有两个不相等的正根。

17.2.2一元二次方程的解法-公式法一. 选择题1. 用公式法解一元二次方程2x 2+3x=1时，化方程为一般式当中的a 、b 、c ，依次为( )A.2,-3,1B.2,3,-1C.-2,-3,-1D. -2,3,12. 利用求根公式求方程5x 2+0.5=6x 的根时，其中a=5，则b 、c 的值分别是（ ）A.0.5,6B. 6,0.5C. -6,0.5D.-6,-0.53. 以x = ） A.x 2+bc+c=0 B.x 2+bx-c=0C.x 2-bx+c=0D.x 2-bx-c=04. 用公式法解方程x 2-4x-1=0，其中b 2-4ac 的值是( )A.16B.24C.8D.45. 用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值，对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是( )A.a=-4,b=5,c=3B. a=-4,b=-5,c=3C a=4,b=5,c=3 D. a=4,b=-5,c=-3二.填空题1. 写出方程x 2+x-1=0的一个正根 .2. 方程x 2-5x+2=0的解是 .3. 一元二次方程3x 2-4x-2=0的解是 .4. 一元二次方程260x +-=的解是 .5. 210-=-的解是 .三.解答题1. 用公式法解方程：2x(x-3)=x 2-12. 用公式法解方程：220x -+=3. 用公式法解方程2x2-6x+3=0，并求根的近似值.4. 已知实数a、b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0,求ab的值？参考答案一.1.B 2C .3.D 4.B 5.B 二.11,2-.2. 12x x ==3.4. 12x ==5. 12x x == 三 1.解：方程整理为x 2-6x+1=0，a=1,b=-6,c=1,212641132x x x ∆--⨯⨯∴=±∴=+=-＝（）＝，333 2.解：1,2,a b c ==-=21241210,2x x x ∆--⨯⨯∴=∴==＝（＝18-8=10，3.解：2x 2-6x+3=0,a=2,b=-6,c=3, 221212464234.940.44.b ac x x x x x ---⨯⨯∴=∴==∴≈≈-＝（）＝60，，。

《一元二次方程的解法》教案一、教学目标（一）知识教学点：认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．（二）能力训练点：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．（三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．二、教学重点、难点和疑点1．教学重点：用直接开平方法解一元二次方程．2．教学难点：认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．3．教学疑点：一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．三、教学步骤（一）明确目标在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a ≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．（二）整体感知通过本节课的学习，使学生充分认识到：数学的新知识是建立在旧知识的基础上，化未知为已知是研究数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了承上启下的作用．而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛砖引玉的作用．学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的基础上开发学生的创新意识．一元二次方程的解法：开平方法1．复习提问（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？（2）平方根的概念及开平方运算？2．引例：解方程x2-4=0．解：移项，得x2＝4．两边开平方，得x＝±2．∴ x1＝2，x2＝-2．分析 x2＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2．求一个数平方根的运算叫做开平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．练习：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．3．例1 解方程9x2-16＝0．解：移项，得：9x2=16，此例题是在引例的基础上将二次项系数由1变为9，由此增加将二次项系数变为1的步骤．此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题负根．例2 解方程（x＋3）2＝2．分析：把x＋3看成一个整体y．例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体，两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解．可以说：利用平方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想．练习：教材P．8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方法便可以求解．例3 解方程（2-x）2-81＝0．解法（一）移项，得：（2-x）2＝81．两边开平方，得：2-x=±9∴ 2-x＝9或2-x＝-9．∴ x1=-7，x2＝11．练习：解下列方程：（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；（四）总结、扩展1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）．2．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．例1 解一元二次方程x 2-64x+768=0移项→x 2-64x= -768 两边加（642-）2使左边配成x 2+2bx+b 2的形式 → x 2-64x+322=-768+1024 左边写成平方形式 → （x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x 1=48，x 2=16。

17.2（4）用公式法解一元二次方程二中初中 李朝菊教材分析：“公式法解一元二次方程”是初中代数的“方程”中的一个重要内容之一，是在学完一元一次方程、数的开方和开平方法、因式分解法、配方法解一元二次方程的基础上推导求根公式，掌握用公式法解一元二次方程，进一步熟练解一元二次方程的方法。

教学目标：（1）熟记一元二次方程的求根公式，会用公式法解一元二次方程。

（2）经历求根公式的发现和探究过程，进一步发展逻辑思维能力，渗透化归思想。

（3）通过对求根公式的分析，感受数学的内在美。

教学重点：（1） 一元二次方程求根公式的导出过程。

（2）用公式法解一元二次方程。

教学难点: 利用配方法推导一元二次方程的求根公式。

环节(一)温故而知新：（师）提问：我们已学习了一元二次方程的哪几种解法？（生）齐答：开平方法、因式分解法、配方法三种解法。

（师）下面一起来看以下问题；（口答）1.请选用适当方法解下列一元二次方程:(1)x 2-9=0（生1口答：开平方法，1x =3, 2x =-3）（师）提问：有没有其它较简便的方法？（生2口答：因式分解法）(2)x 2-3x+2=0（生3口答：因式分解法， 1x =1, 2x =2）(3) x 2-2x-1=0（生4口答：配方法，叙述过程），师板书： x 2-2x=1（移项）x 2-2x+1=1+1（两边同加上1）(x-1) 2=2（左边配成完全平方式） ∴21±=-x （利用开平方法）12,1221+-=+=∴x x2.请选用适当方法解下列关于x 的一元二次方程:将上面的（1）题改为(1)x 2-9 m 2=0（生5口答）;将上面的（2）题改为 (2)x 2-3ax+2a=0（生6口答）;将上面的（3）题改为(3)2x 2-4x-m=0 （m ≥-2）（生7口答），师板书如下：2x 2-4x=m （移项）x 2-2x=2m （两边同除以2） x 2-2x+1=2m +1（两边同加上1） (x-1) 2=2m 2+（左边配成完全平方式） ∴221m x +±=- （利用开平方法）（续略） （师）思考：m ≥-2有何作用？（生8）因为方程左边是完全平方式，根据平方根的意义，为了保证此方程有实根，所以方程右边必须是非负数，即必须m ≥-2。