函数的对称性与周期性
一、基础知识
（一）函数的对称性
1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2、轴对称的等价描述：
（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）
（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2
a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2
a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便
（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：
若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦ ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以
()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：
（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）
（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭
轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2
a b x +=为所给对称中心即可。
例如：()f x 关于()1,0-中心对称()()2f x f x ⇒=---，或得到()()35f x f x -=--+均可，同样在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便
（3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 轴对称。
① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相反，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：
若()f x 是奇函数，则()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦：()f x 是奇函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦ ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是奇函数，则()f x a +关于()0,0中心对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于(),0a 对称。
4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：
（1）可利用对称性求得某些点的函数值
（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像
（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称
（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同
（二）函数的周期性
1、定义：设()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，存在一个非零常数T ，有()()f x T f x +=，则称函数()f x 是一个周期函数，称T 为()f x 的一个周期
2、周期性的理解：可理解为间隔为T 的自变量函数值相等
3、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么
()()()2f x T f x T f x +=+=，
即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期
4、最小正周期：正由第3条所说，()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。
然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数()f x C =
5、函数周期性的判定：
（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =-
（2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a =
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：()()2f x a f x a +=-+
所以有：()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=，即周期2T a =
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）()()
()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = 分析：()()()
()1121
f x a f x f x a f x +===+
（4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =
分析：()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=，两式相减可得：()()2f x a f x +=
（5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =
（6）双对称出周期：若一个函数()f x 存在两个对称关系，则()f x 是一个周期函数，具体情况如下：（假设b a >）
① 若()f x 的图像关于,x a x b ==轴对称，则()f x 是周期函数，周期()2T b a =- 分析：()f x 关于x a =轴对称()()2f x f a x ⇒-=+
()f x 关于x b =轴对称()()2f x f b x ⇒-=+
()()22f a x f b x ∴+=+ ()f x ∴的周期为()222T b a b a =-=-
② 若()f x 的图像关于()(),0,,0a b 中心对称，则()f x 是周期函数，周期()2T b a =-
③ 若()f x 的图像关于x a =轴对称，且关于(),0b 中心对称，则()f x 是周期函数，周期()4T b a =-
7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔()kT k Z ∈的函数图象相同，所以若()f x 在
()(),a b b a T -≤上单调增（减）
，则()f x 在()(),a kT b kT k Z ++∈上单调增（减） （4）对称性：如果一个周期为T 的函数()f x 存在一条对称轴x a = （或对称中心），则()f x 存在无数条对称轴，其通式为()2kT x a k Z =+
∈ 证明：
()f x 关于x a =轴对称 ()()2f x f a x ∴=-
函数()f x 的周期为T ()()f x kT f x ∴+=
()()2f x kT f a x ∴+=- ()f x ∴关于2
kT x a =+轴对称 注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法
典型例题
例1：设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________
思路：由(2)()f x f x +=-可得：()f x 的周期4T =，
∴考虑将(7.5)f 用01x ≤≤中的函数值进行表示：()()(7.5) 3.50.5f f f ==-，此时周期性已经无法再进行调
整，考虑利用奇偶性进行微调：()()10.50.52f f -=-=- ，所以1(7.5)2
f =- 答案：1(7.5)2
f =-
例2：定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，
()32
12x f x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
（ ） A. 14 B. 18 C. 12- D. 14
- 思路：由()()()()12222
f x f x f x f x +=⇒=+，可类比函数的周期性，所以考虑将52
x =-向[)0,2x ∈进行转化： 33225111311122242424f f f -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-==⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 答案：D
()f x 虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。
所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。
例3：定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()()112,214
f x f x f f x -+=
=+，则()2016f 等于（ ） A. 14 B. 12 C. 13 D. 35
思路：由()()
()
121f x f x f x -+=+及所求()2010f 可联想到周期性，所以考虑()()()()()()()()11121411211f
x f x f
x f x f x f
x f x f x ---+++===-++++，所以()f x 是周期为4的周期函数，
故()()20164f f =，而由已知可得()()
()1234125f f f -=
=+，所以()320165f = 答案：D
例4：定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2log 1,012,0
x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨--->⎪⎩，则()2009f 的值为（ ）
A. 1-
B. 0
C. 1
D. 2
思路：所给()f x 的特点为0x <才有解析式能够求值，而0x >只能通过()()()12f x f x f x =---减少自变量的取值，由所求()2009f 可联想到判断()f x 是否具有周期性，0x >时，()()()12f x f x f x =---，则有()()()123f x f x f x -=---，两式相加可得：()()3f x f x =--，则()()()36f x f x f x =--=-，即()f x 在0x >时周期是6，故
()()()200952f f f ==-，而
()()()()()()()21001011f f f f f f f =-=---=-=
答案：C
例5：函数()f x 是周期为4的偶函数，当[]0,2x ∈时，()()2log 11f x x =+-，则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集为___________
思路：从已知出发可知[]0,2x ∈时，()f x 为增函数，
且()21log 210f =-=，所以[)0,1x ∈时，()0f x <，
(]1,2x ∈时，()0f x >，由偶函数可得：(]
1,0x ∈-时，()0f x <，()[)2,1f x ∈--时，()0f x >。
从
而可作出草图。
由所解不等式()0xf x >可将[]1,3-分为[)[]1,00,3-两部分，当0x <时，()0f x <，所以()1,0x ∈-，当0x >时，()0f x >，所以()()1,3f x ∈，综上解集为：()
()1,01,3- 答案：()
()1,01,3-
例6：已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()()0,11f x f x f x f x +-=-=+，当()0,1x ∈时，()2f x x x =-+，则函数()f x 的最小值为（ ） A. 14 B. 14- C. 12- D. 12 思路：由()()11f x f x -=+可得()f x 是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。
由()()0f x f x +-=可得()f x 为奇函数，所以考虑区
间()1,1-，在()0,1x ∈时，()2
1124f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭，所以()max 1124f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，而由于()f x 为奇函数，所以在()1,0x ∈-时，()min 111224f x f f ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭
即为()f x 在()1,1-的最小值，从而也是()f x 在R 上的最小值 答案：B
例7：已知定义域为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间
()2,+∞上单调递增，
如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ） A. 可正可负 B. 恒大于0 C. 可能为0 D. 恒小于0 本题运用数形结合更便于求解。
先从()()4f x f x -=-+分析出()f x 关于()2,0中心对称，令2x =-代入到()()4f x f x -=-+可得
()20f =。
中心对称的函数对称区间单调性相同，从
而可作出草图。
而1212422
x x x x ++<⇒<，即12,x x 的中点位于2x =的左侧，所以1x 比2x 距离2x =更远，
结合图象便可分析出()()12f x f x +恒小于0
答案：D
例8：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ）
A. ()f x 是偶函数
B. ()f x 是奇函数
C. ()()2f x f x =+
D. ()3f x +是奇函数
思路：从已知条件入手可先看()f x 的性质，由()()1,1f x f x +-为奇函数分别可得到：
()()()()11,11f x f x f x f x +=--+-=---，所以()f x 关于()()1,0,1,0-中心对称，双对称出周期可求得()2114T =⋅--=⎡⎤⎣⎦，所以C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合,A B 。
对于D 选项，因为4T =，所以()()()511f x f x f x +=+=--+，进而可推出()f x 关于()3,0中心对称，所以()3f x +为()f x 图像向左平移3个单位，即关于()0,0对称，所以()3f x +为奇函数，D 正确
答案：D
例9：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ）
A. 404
B. 804
C. 806
D. 402 思路：已知区间仅是[]0,7，而所求区间为[]0,2013，跨度如此之大，需要函数性质。
从条件入手()()2,7f x f x ++为偶函数可得()f x 关于2,7x x ==轴对称，从而判断出()f x 是周期函数，且()27210T =⋅-=，故可以考虑将[]0,2013以10为周期分组，先判断出一个周期内零点的个数，再乘以组数，加上剩余部分的零点即可
解：()()2,7f x f x ++为偶函数
()()()()22,77f x f x f x f x ∴+=-++=-+ ()f x ∴关于2,7x x ==轴对称 ()f x ∴为周期函数，且()27210T =⋅-=
∴将[]0,2013划分为[)[)[)[]0,1010,202000,20102010,2013
()f x 关于2,7x x ==轴对称 ()()()()4,14f x f x f x f x ∴=-=-
()()160f f == ()()()814860f f f =-== ()()()34310f f f =-== ∴ 在[)0,10中只含有四个零点
而[)[)[)0,1010,202000,2010共201组
所以2014804N =⨯=
在[]2010,2013中，含有零点()()()()201110,201330f f f f ====共两个 所以一共有806个零点
答案：C。
