函数的对称性专题练习试卷及解析

函数的对称性真题答案解析在高中数学的学习中，函数的对称性是一个重要的概念。

了解和掌握函数的对称性对于解题和理解函数性质都有很大的帮助。

下面，我们将通过对几道函数对称性的真题进行解析，来深入了解函数对称性的应用和解题技巧。

1. 已知函数f(x)在R上满足f(1-x) = f(x) + 1，求f(0)的值。

首先，我们来分析题目中给出的函数对称性条件，即f(1-x) = f(x) + 1。

这个条件意味着函数关于直线x=1/2对称。

我们可以利用这个对称性进行解题。

假设f(x)的图像在平面直角坐标系上对称于直线x=1/2，那么对于任意x，x和1-x关于直线x=1/2的距离是相等的。

也就是说，对于任意实数x，有|x-1/2|=|1-x-1/2|。

当x=0时，左边的绝对值式子等于1/2，右边的绝对值式子也等于1/2。

所以，f(0)的值与f(1/2)的值是相等的。

进一步推导，我们可以得到f(0) = f(1/2) + 1。

再来看题目中给出的等式f(1-x) = f(x) + 1。

将x替换为1/2，得到f(1/2) = f(1/2) + 1。

这个等式显然是不成立的。

所以，我们可以得出结论，函数f(x)在R上不存在。

通过这道题目的解析，我们可以看到函数的对称性在解题中的应用。

通过观察题目中给出的条件，我们可以得到函数图像的对称轴，进而得到所求的函数值。

这种方法可以解决关于函数对称性的问题，尤其是对称于直线x=a的情况。

2. 已知函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，且满足f(x) = f(3x)，求f(0)的值。

对于这道题目，我们需要利用函数的对称性以及函数在给定区间上等式的性质来进行解答。

首先，我们来分析题目中给出的条件。

题目中指出函数f(x)在[-1,1]上是奇函数，说明函数关于原点(0,0)对称。

另外，已知f(x) = f(3x)，表明函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。

结合这两个条件，我们可以得到f(x)在[-1,1]上的对称轴是直线x=0，同时函数满足f(x) = f(3x)的等式关系。

专题2.10 函数的周期性与对称性-重难点题型精练【新高考地区专用】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2020秋•解放区校级月考）函数f （x ）=|x|+x 4x 2−1的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．（5分）（2021•眉县模拟）设f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1﹣x ），则f （−92）＝（ ） A ．−12B ．−14C ．14D ．123．（5分）（2020春•南阳期末）若定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+f （2a ﹣x ）＝2b ，则其图象关于点（a ，b ）成中心对称．已知：函数f （x ）=14x−1+1，则函数f （x ）图象的中心对称点是（ ）A ．（0，1）B ．（12，1）C ．（1，0）D ．（1，12）4．（5分）（2020秋•高新区校级月考）已知定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足条件f(x +32)=−f(x)，且函数y =f(x −34)为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．函数f （x ）是周期函数 B ．函数f （x ）为R 上的偶函数 C ．f （x ）的图象关于点(−34，0)对称函数 D ．f （x ）为R 上的单调函数5．（5分）（2020•白山模拟）已知函数f （x ）＝3|x﹣a |+2，且满足f （5+x ）＝f （3﹣x ），则f （6）＝（ ）A ．29B ．11C ．3D ．56．（5分）（2020•泰安一模）已知定义在R 上的函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，则f （﹣log 36）+f （log 354）＝（ ） A ．32B ．32−log 32C ．−12D ．23+log 327．（5分）（2021•中卫一模）已知符号函数sgnx ={1，x ＞00，x =0−1，x ＜0，偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，则（ ） A ．sgn （f （x ））＞0B ．f(40412)=1C ．sgn （f （2k ））＝0（k ∈Z ）D ．sgn （f （k ））＝|sgnk |（k ∈Z ）8．（5分）（2021•A 卷模拟）已知定义在R 的函数满足f （x ）＝f （4﹣x ），f （x +2）+f （﹣x ）＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）不是周期函数 B ．f （x ）是奇函数C ．对任意n ∈Z ，恒有f （4n +1）为定值D ．对任意n ∈N *，有f （l ）+f （3）+f （5）+…+f （2n ﹣1）＝n 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021•重庆模拟）定义在R 上的函数f （x ）满足f(x +52)+f(x)=0，且y =f(x −54)为奇函数，则下列关于函数f （x ）的说法中一定正确的是（ ） A ．周期为52B ．图象关于点(−54，0)对称 C ．是偶函数D ．图象关于直线x =54对称10．（5分）（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于直线x ＝﹣1对称，且对∀x ∈R 有f （x ）+f （﹣x ）＝4．当x ∈（0，2]时，f （x ）＝x +2．则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的周期T ＝8 B ．f （x ）的最大值为4 C ．f （2021）＝2D ．f （x +2）为偶函数11．（5分）（2021•河北模拟）已知函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +2）＝f （x +6），f （x ﹣2）＝f （6﹣x ），当0≤x ≤2时，f （x ）＝2x 2﹣x ，则下列说法正确的是（ ）A ．f （2 021）＝f （1）B ．函数f （x +2）是偶函数C ．当0≤x ≤6时，f （x ）的最大值为6D ．当6≤x ≤8时，f （x ）的最小值为−1412．（5分）（2020秋•市中区校级期末）设函数f （x ）的定义域为D ，∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f （y ）＝﹣f （x ）成立，则称f （x ）为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y =1x−1C ．y ＝ln （2x +3）D ．y ＝x 3三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021•湛江三模）写出一个以（1，0）为对称中心的偶函数 ，该函数的最小正周期是 ．14．（5分）（2021春•新余期末）已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）＝e x ﹣1，则f （2020）+f （﹣2021）＝ ．15．（5分）（2020秋•西安月考）已知函数f （x ）满足f （x +4）＝f （x ）（x ∈R ），且在区间（﹣2，2]上，f(x)={|x +1|，−2＜x ≤0cos πx2，0＜x ≤2，则f （f （2021））的值为 ．16．（5分）（2021春•黄浦区校级月考）已知函数f （x ）满足：f(1)=12，对任意实数x ，y 都有f （x +y ）+f （x ﹣y ）＝2f （x ）f （y ），则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2021）＝ ． 四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2020秋•昌江区校级期末）设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝1对称，对任意x 1，x 2∈[0，12]，都有f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2），且f （1）＝a ＞0．（1）求f （12）及f （14）；（2）证明f （x ）是周期函数．18．（12分）（2020秋•丰台区期中）已知函数f(x)=x+1x−5． （1）判断点（3，14）是否在f （x ）的图象上，并说明理由； （2）当f （x ）＝2时，求x 的值；（3）结合函数图象直接写出该函数的对称中心．19．（12分）（2020秋•金凤区校级月考）已知函数f （x ）对任意x ∈R 满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x ﹣1）＝f （x +1），若当x ∈[0，1）时，f （x ）＝a x +b （a ＞0且a ≠0），且f （32）=12（1）求a ，b 的值； （2）求函数f （x ）的值域．20．（12分）（2020秋•灵宝市校级月考）定义在R 上的函数f （x ）同时满足f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）＝f （4﹣x ），且当2≤x ≤6时，f(x)=(12)|x−m|+n （Ⅰ）求函数f （x ）的一个周期； （Ⅱ）若f （4）＝31，求m ，n 的值．21．（12分）（2020•镇江二模）若存在实数x0与正数a，使x0+a，x0﹣a均在函数f（x）的定义域内，且f（x0+a）＝f（x0﹣a）成立，则称“函数f（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”．（1）设f（x）＝x3﹣3x2+2x﹣1，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x＝1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．（2）设g（x）＝x+bx（x＞0），若对于任意x0∈（3，4），总存在正数a，使得“函数g（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．22．（12分）（2021春•宝山区校级期中）已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＝m⋅f（x）成立，则称函数f（x）是D上的周期为T的m级类周期函数．（1）已知y＝f（x）是[0，+∞）上的周期为1的m级类周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的严格增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数m的取值范围；（2）设函数f（x）是R上的周期为1的2级类周期图数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f(x)≥−89，求m的取值范围；（3）是否存在实数k，使函数f（x）＝cos kx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k 和T的值，若不存在，说明理由．专题2.10 函数的周期性与对称性-重难点题型精练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2020秋•解放区校级月考）函数f （x ）=|x|+x 4x 2−1的图象关于（ ）A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称【解题思路】根据条件判断函数的奇偶性即可判断函数的图象关系． 【解答过程】解：∵函数f （x ）=|x|+x 4x 2−1， 定义域为：{x |x ≠±1}关于原点对称，且f （﹣x ）=|−x|+(−x)4(−x)2−1=|x|+x 4x 2−1=f （x ）， ∴函数f （x ）=|x|+x 4x 2−1为偶函数，图象关于y 轴对称， 故选：A ．2．（5分）（2021•眉县模拟）设f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1﹣x ），则f （−92）＝（ ） A ．−12B ．−14C ．14D ．12【解题思路】由题意得 f （−92）＝﹣f （92）＝﹣f （4+12）＝﹣f （12），代入已知条件进行运算．【解答过程】解：∵f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1﹣x ）， f （−92）＝﹣f （92）＝﹣f （4+12）＝﹣f （12）＝﹣2×12（1−12）=−12．故选：A ．3．（5分）（2020春•南阳期末）若定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+f （2a ﹣x ）＝2b ，则其图象关于点（a ，b ）成中心对称．已知：函数f （x ）=14x−1+1，则函数f （x ）图象的中心对称点是（ ）A ．（0，1）B ．（12，1）C ．（1，0）D ．（1，12）【解题思路】由已知可得f （x ）+f （2﹣x ）＝1，结合已知即可求解． 【解答过程】解：∵f （x ）=14x−1+1，∴f （x ）+f （2﹣x ）=14x−1+1+141−x +1=44x +4+4x4+4x =1，则函数f （x ）图象的中心（1，12）．故选：D ．4．（5分）（2020秋•高新区校级月考）已知定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足条件f(x +32)=−f(x)，且函数y =f(x −34)为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．函数f （x ）是周期函数 B ．函数f （x ）为R 上的偶函数 C ．f （x ）的图象关于点(−34，0)对称函数 D ．f （x ）为R 上的单调函数【解题思路】由题意利用函数的周期性、奇偶性、单调性、图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答过程】解：定义在R 上的函数y ＝f （x ）满足条件f(x +32)=−f(x)，∴f （x +3）＝f （x ）， 故函数f （x ）是周期等于3的周期函数，故A 正确；由 f(x +32)=−f(x)，∴f （x −94+32）＝﹣f （x −94），即 f （x −34）＝﹣f （x −94）． 再根据f （x ）周期为3，可得 f （x −94）＝f （x −94+3）＝f （x +34）， ∴f （x −34）＝﹣f （x +34）．由函数y =f(x −34)为奇函数，∴f （x −34）＝﹣f （﹣x −34）， ∴f （x +34）＝f （﹣x −34）．令x +34=t ，则f （t ）＝f （﹣t ），故f （t ）为偶函数，故f （x ）为偶函数，故B 正确； ∵函数y =f(x −34)为奇函数，故它的图象关于原点对称，故把f （x −34） 向左平移34个单位，得到f （x ）的图象，∴f （x ）的图象关于点(−34，0)对称，故C 正确；由于f （x ）为偶函数，故函数f （x ）在（0，+∞）和（﹣∞，0）上单调性相反， 故f （x ）在R 上不单调，故D 错误， 故选：D ．5．（5分）（2020•白山模拟）已知函数f （x ）＝3|x﹣a |+2，且满足f （5+x ）＝f （3﹣x ），则f （6）＝（ ）A ．29B ．11C ．3D ．5【解题思路】根据题意得到f （x ）关于x ＝4对称，求出a ，再代入x ＝6，求出即可 【解答过程】解：因为f （5+x ）＝f （3﹣x ），所以f （x ）的图象关于x ＝4对称， 所以x ＝4时，3|4﹣a |＝1，a ＝4，f （6）＝3|6﹣4|+2＝9+2＝11，故选：B ．6．（5分）（2020•泰安一模）已知定义在R 上的函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，则f （﹣log 36）+f （log 354）＝（ ） A ．32B ．32−log 32C ．−12D ．23+log 32【解题思路】根据函数的周期性以及对数值的有关运算，把所求转化到所给区间，即可求解． 【解答过程】解：因为函数f （x ）的周期为4，当x ∈[﹣2，2）时，f(x)=(13)x −x −4，∴f （﹣log 36）＝f （log 316）=(13)log 316−log 316−4＝2+log 36； f （log 354）＝f （3+log 32）＝f （log 32﹣1）＝f （log 323）=(13)log 323−log 323−4=32−log 32+1﹣4=32−log 32﹣3；∴f （﹣log 36）+f （log 354）＝2+log 36+32−log 32﹣3=32； 故选：A ．7．（5分）（2021•中卫一模）已知符号函数sgnx ={1，x ＞00，x =0−1，x ＜0，偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，则（ ） A ．sgn （f （x ））＞0B ．f(40412)=1C ．sgn （f （2k ））＝0（k ∈Z ）D ．sgn （f （k ））＝|sgnk |（k ∈Z ）【解题思路】本题先根据函数的周期性和奇偶性画出函数f （x ）的图象，再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合法可对四个选项逐个判断，可得正确选项． 【解答过程】解：依题意，由f （x +2）＝f （x ）， 可知函数f （x ）是以2为周期的周期函数．∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，f（x）是偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x．函数f（x）图象如下：根据图可得，0≤f（x）≤1，故sgn（f（x））≥0，选项A不正确；很明显，当x＝2k，k∈Z时，f（x）＝0，sgn（f（x））＝0，选项C正确；f（40412）＝f（2×1010+12）＝f（12）=12，故选项B不正确；当k＝2时，sgn（f（2））＝sgn（0）＝0，|sgn2|＝1，故选项D不正确故选：C．8．（5分）（2021•A卷模拟）已知定义在R的函数满足f（x）＝f（4﹣x），f（x+2）+f（﹣x）＝4，则下列结论正确的是（）A．f（x）不是周期函数B．f（x）是奇函数C．对任意n∈Z，恒有f（4n+1）为定值D．对任意n∈N*，有f（l）+f（3）+f（5）+…+f（2n﹣1）＝n【解题思路】利用已知的等式进行变形，由此推出函数f（x）是周期为4的偶函数，从而可判断选项A，B，再利用周期性即可得到f（4n+1）的值，即可判断选项C，D．【解答过程】解：因为f（x）＝f（4﹣x），所以f（2+x）＝f（2﹣x），又f（x+2）+f（﹣x）＝4，则f（2﹣x）+f（﹣x）＝4，故f（2+x）+f（x）＝4，所以f（x+2）+f（x+4）＝4，则f（x+4）＝f（x），所以f（x）是周期为4的函数，故选项A错误；则f （x ）＝f （4﹣x ）＝f （﹣x ）， 故f （x ）为偶函数，故选项B 错误；所以f （4n +1）＝f （1）＝2为定值，故选项C 正确；因为f （1）+f （3）+f （5）+•••+f （2n ﹣1）＝f （1）+f （1）+•••+f （1）＝nf （1）＝2n ，故选项D 错误． 故选：C ．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021•重庆模拟）定义在R 上的函数f （x ）满足f(x +52)+f(x)=0，且y =f(x −54)为奇函数，则下列关于函数f （x ）的说法中一定正确的是（ ） A ．周期为52B ．图象关于点(−54，0)对称 C ．是偶函数D ．图象关于直线x =54对称【解题思路】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【解答过程】解：依次分析选项：对于A ，函数f （x ）满足f(x +52)+f(x)=0，即f （x +52）＝﹣f （x ），则有f （x +5）＝﹣f （x +52）＝f （x ），函数f （x ）是周期为5的周期函数，A 错误； 对于B ，y =f(x −54)为奇函数，即函数f （x ）的图象关于(−54，0)对称，B 正确；对于C ，y =f(x −54)为奇函数，即函数f （x ）的图象关于(−54，0)对称，则f(−52−x)=−f(x)， 又f(x +52)=−f(x)，∴f(−52−x)=f(x +52)，所以f （x ）为偶函数，C 正确；对于D ，y =f(x −54)为奇函数，函数f （x ）的图象关于(−54，0)对称，函数f （x ）是周期为5的周期函数，则f （x ）的图象关于点(54，0)对称，D 错误； 故选：BC ．10．（5分）（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于直线x ＝﹣1对称，且对∀x ∈R 有f （x ）+f （﹣x ）＝4．当x ∈（0，2]时，f （x ）＝x +2．则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的周期T ＝8B ．f （x ）的最大值为4C．f（2021）＝2D．f（x+2）为偶函数【解题思路】利用对称关系以及恒等式对等式进行变形，可以得到函数f（x）的周期，即可判断选项A，由上述过程中可得f（x+2）＝f（﹣x+2），即可判断选项D，求出函数f（x）在[﹣2，2]上的函数解析式，利用函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，研究一个周期中的最大值，即可判断选项B，利用函数的周期性以及对称性求解f（2021），即可判断选项C．【解答过程】解：因为函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝﹣1对称，故f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，因为对∀x∈R有f（x）+f（﹣x）＝4，所以函数y＝f（x）的图象关于点（0，2）中心对称，所以f（﹣2+x+2）＝f[﹣2﹣（x+2）]，即f（x）＝f（﹣4﹣x）＝4﹣f（﹣x），又f（﹣4﹣x）+f（x+4）＝4，即f（﹣4﹣x）＝4﹣f（x+4），所以f（x+4）＝f（﹣x），所以f[（x+4）+4]＝f[﹣（x+4）]＝f（x），所以f（x+8）＝f（x），所以f（x）的周期为8，故选项A正确；又f（x+2）＝f（﹣x+2），故函数f（x+2）为偶函数，故选项D正确；因为当x∈（0，2]时，f（x）＝x+2，且f（x）+f（﹣x）＝4，则当x∈[﹣2，0）时，﹣x∈（0，2]，所以f（﹣x）＝﹣x+2＝4﹣f（x），所以f（x）＝x+2，故当x∈[﹣2，2]时，f（x）＝x+2，又函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，所以在同一个周期[﹣6，2]上，f（x）的最大值为f（2）＝4，故f（x）在R上的最大值为4，故选项B正确；因为f（2021）＝f（252×8+5）＝f（5）＝f（1+4）＝f（﹣1）＝﹣1+2＝1，所以选项C错误．故选：ABD．11．（5分）（2021•河北模拟）已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝f（x+6），f（x﹣2）＝f（6﹣x），当0≤x≤2时，f（x）＝2x2﹣x，则下列说法正确的是（）A．f（2 021）＝f（1）B．函数f（x+2）是偶函数C．当0≤x≤6时，f（x）的最大值为6D．当6≤x≤8时，f（x）的最小值为−1 4【解题思路】根据对任意实数x 满足f （x +2）＝f （x +6），f （x ﹣2）＝f （6﹣x ），可以得出函数的奇偶性和周期性，再根据当0≤x ≤2时，f （x ）＝2x 2﹣x 可得函数的单调性．逐次判断各选项即可．【解答过程】解：∵对任意实数x 满足f （x +2）＝f （x +6），∴f （x +4）＝f （x ）即函数f （x ）是周期函数，周期为4．∵f （x ﹣2）＝f （6﹣x ）⇒f （x ﹣2）＝f （4+2﹣x ）＝f （2﹣x ），那么f （﹣x ）＝f （x ），∴函数f （x ）是偶函数，f （x ﹣2）＝f （6﹣x ），可得函数f （x ）关于x ＝2对称轴，又∵当0≤x ≤2时，f （x ）＝2x 2﹣x ，故函数对应图像大致如图，∴函数f （x ）在区间[14，2]上单调递增． ∴函数f （x ）在区间[0，14]上单调递减． ∴当0≤x ≤2时，函数f （x ）的最小值为f （14）=−18，最大值为f （2）＝6． 且f （2021）＝f （1）成立，函数f （x +2）是偶函数成立，当0≤x ≤6时，f （x ）的最大值为6，当6≤x ≤8时，f （x ）的最小值为−14不成立，故正确答案为ABC ．故选：ABC ．12．（5分）（2020秋•市中区校级期末）设函数f （x ）的定义域为D ，∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f （y ）＝﹣f （x ）成立，则称f （x ）为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ）A ．y ＝x 2B ．y =1x−1C ．y ＝ln （2x +3）D ．y ＝x 3【解题思路】根据题意，分析可得“美丽函数”的值域关于原点对称，据此分析选项可得答案．【解答过程】解：根据题意，若∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f （y ）＝﹣f （x ）成立，则f （x ）的值域关于原点对称，依次分析选项：对于A ，函数y ＝x 2的值域为[0，+∞），不关于原点对称；对于B ，函数y =1x−1的值域为{y |y ≠0}，关于原点对称；对于C ，函数f （x ）＝ln （2x +3）的值域为R ，关于原点对称；对于D ，函数y ＝x 3的值域为R ，关于原点对称．其中是“美丽函数”的是BCD ；故选：BCD ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2021•湛江三模）写出一个以（1，0）为对称中心的偶函数 f （x ）＝cos π2x ，该函数的最小正周期是 4 ．【解题思路】从具有对称性和周期性以及奇偶性的函数进行考虑，即可得到答案．【解答过程】解：选择一个具有对称性和周期性以及奇偶性的函数进行分析，故以（1，0）为对称中心的偶函数可以为f(x)=cos π2x ，该函数的最小正周期为2ππ2=4．故答案为：f(x)=cos π2x ；4．14．（5分）（2021春•新余期末）已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）＝e x ﹣1，则f （2020）+f （﹣2021）＝ e ﹣1 ．【解题思路】根据题意，分析可得f （x ）是偶函数且周期为2的周期函数，则有f （2020）＝f （0），f （﹣2021）＝f （2021）＝f （1），结合函数的解析式计算可得答案．【解答过程】解：根据题意，偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），则f （x ）是偶函数且周期为2的周期函数，则f （2020）＝f （0），f （﹣2021）＝f （2021）＝f （1），又由x ∈[0，1]时，f （x ）＝e x ﹣1，则f （0）＝e 0﹣1＝0，f （1）＝e 1﹣1＝e ﹣1，故f （2020）+f （﹣2021）＝f （0）+f （1）＝e ﹣1；故答案为：e ﹣1．15．（5分）（2020秋•西安月考）已知函数f （x ）满足f （x +4）＝f （x ）（x ∈R ），且在区间（﹣2，2]上，f(x)={|x +1|，−2＜x ≤0cos πx 2，0＜x ≤2，则f （f （2021））的值为 1 ．【解题思路】根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答过程】解：由f （x +4）＝f （x ）得函数是周期为4的周期函数，则f （2021）＝f （505×4+1）＝f （1）＝cos π2=0， f （0）＝|0+1|＝1，即f （f （2021））＝1．故答案为：1．16．（5分）（2021春•黄浦区校级月考）已知函数f （x ）满足：f(1)=12，对任意实数x ，y 都有f （x +y ）+f （x ﹣y ）＝2f （x ）f （y ），则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2021）＝ −12 ．【解题思路】对恒等式进行赋值，令y ＝1，结合f （1）=12，则有f （x +1）+f （x ﹣1）＝f （x ），再进行赋值化简，即可确定函数f （x ）的周期为6，进而运用周期进行计算，然后用赋值法求出相应函数值，即可得到答案．【解答过程】解：∵任意实数x ，y 都有f （x +y ）+f （x ﹣y ）＝2f （x ）f （y ），∴令y ＝1，则有f （x +1）+f （x ﹣1）＝2f （x ）f （1），又∵f （1）=12，则f （x +1）+f （x ﹣1）＝f （x ），①将x 代换为x +1，则有f （x +2）+f （x ）＝f （x +1），②①+②，可得f （x +2）＝﹣f （x ﹣1），将x 代换为x +1，则有f （x +3）＝﹣f （x ），再将x 代换为x +3，则有f （x +6）＝f （x ），∴f （x ）为周期函数，周期为6，∴f （x ）+f （x +1）+f （x +2）+f （x +3）+f （x +4）+f （x +5）＝0，∴f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2021）＝[f （1）+f （2）+…+f （6）]+[f （7）+f （8）+…+f （12）]+⋯+[f(2017)+f(2018)+⋯+f(2022)]−f(2022)=−f(2022)=−f(1)=−12．故答案为：−12．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2020秋•昌江区校级期末）设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝1对称，对任意x 1，x 2∈[0，12]，都有f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2），且f （1）＝a ＞0． （1）求f （12）及f （14）； （2）证明f （x ）是周期函数．【解题思路】（1）已知任意x 1，x 2∈[0，12]，都有f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2），令x 1＝x 2=12，求出f （12），根据12=14+14进行求解；（2）已知f （x ）为偶函数，再根据f （x ）关于x ＝1对称，进行证明；【解答过程】解；（1）∵f （1）＝f （12+12）＝f （12）•f （12）＝f 2（12）＝a ，∴f （12）＝±√a又∵f （12）＝f （14+14）＝f 2（14）＞0，∴f （12）=a 12同理可得f （14）=a 14（2）∵f （x ）是偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ）又∵f （x ）关于x ＝1对称，∴f （x ）＝f （2﹣x ）∴f （x ）＝f （﹣x ）＝f [2﹣（﹣x ）]＝f （2+x ） （x ∈R ）这表明f （x ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．18．（12分）（2020秋•丰台区期中）已知函数f(x)=x+1x−5．（1）判断点（3，14）是否在f （x ）的图象上，并说明理由；（2）当f （x ）＝2时，求x 的值；（3）结合函数图象直接写出该函数的对称中心．【解题思路】（1）把点的坐标代入函数解析式，可得结论．（2）令f （x ）＝2，解方程求得x 的值．（3）把f （x ）变形，可得出该函数的对称中心．【解答过程】解：（1）∵函数f(x)=x+1x−5，故 f(3)=3+13−5=−42=−2≠14， ∴点（3，14）不在f （x ）的图象上．（2）当f （x ）＝2时，即 f(x)=x+1x−5=2，解得x ＝11．（3）函数f(x)=x+1x−5=x−5+6x−5=1+6x−5， 故函数的对称中心为（5，1）．19．（12分）（2020秋•金凤区校级月考）已知函数f （x ）对任意x ∈R 满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x ﹣1）＝f （x +1），若当x ∈[0，1）时，f （x ）＝a x +b （a ＞0且a ≠0），且f （32）=12 （1）求a ，b 的值；（2）求函数f （x ）的值域．【解题思路】（1）由f （x ）+f （﹣x ）＝0可知函数为奇函数，由f （x ﹣1）＝f （x +1），可得函数为周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行求值；（2）利用指数函数的单调性及函数的奇偶性求f （x ）的值域．【解答过程】解：（1）∵f （x ）+f （﹣x ）＝0∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），即f （x ）是奇函数．∵f （x ﹣1）＝f （x +1），∴f （x +2）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为2的周期函数，∴f （0）＝0，即b ＝﹣1．又f （32）＝f （−12）＝﹣f （12）＝1−√a =12， 解得a =14．∴a =14，b ＝﹣1；（2）当x ∈[0，1）时，f （x ）＝a x +b ＝（14）x ﹣1∈（−34，0]， 由f （x ）为奇函数，知当x ∈（﹣1，0）时，f （x ）∈（0，34）， ∴当x ∈R 时，f （x ）∈（−34，34）． 20．（12分）（2020秋•灵宝市校级月考）定义在R 上的函数f （x ）同时满足f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）＝f （4﹣x ），且当2≤x ≤6时，f(x)=(12)|x−m|+n（Ⅰ）求函数f （x ）的一个周期；（Ⅱ）若f（4）＝31，求m，n的值．【解题思路】（Ⅰ）根据函数周期的定义即可求函数f（x）的一个周期；（Ⅱ）利用函数的奇偶性和周期性进行求值即可．【解答过程】解：（Ⅰ）∵f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），∴f（x）＝f（4﹣x）＝f（x﹣4），即f（4+x）＝f（x），即4是函数f（x）的一个周期；（Ⅱ）∵函数的周期是4，∴f（2）＝f（6），即(12)|2−m|+n=(12)|6−m|+n，∴|2﹣m|＝|6﹣m|，解得m＝4，又f（4）＝31，∴f（4）=(12)|4−4|+n=1+n＝31，解得n＝30．21．（12分）（2020•镇江二模）若存在实数x0与正数a，使x0+a，x0﹣a均在函数f（x）的定义域内，且f（x0+a）＝f（x0﹣a）成立，则称“函数f（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”．（1）设f（x）＝x3﹣3x2+2x﹣1，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x＝1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．（2）设g（x）＝x+bx（x＞0），若对于任意x0∈（3，4），总存在正数a，使得“函数g（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．【解题思路】（1）由f（1+a）＝f（1﹣a）得（1+a）3﹣3（1+a）2+2（1+a）﹣1＝（1﹣a）3﹣3（1﹣a）2+2（1﹣a）﹣1，化简即可求出正数a；（2）令g（x）＝c，则x+bx=c，即x2﹣cx+b＝0必须有两正根，且两根的算术平均数为x0，即可求b的取值范围．【解答过程】解：（1）∵f（1+a）＝f（1﹣a），∴（1+a）3﹣3（1+a）2+2（1+a）﹣1＝（1﹣a）3﹣3（1﹣a）2+2（1﹣a）﹣1，∴a（a+1）（a﹣1）＝0，∵a＞0，∴a＝1；（2）令g（x）＝c，则x+bx=c，即x2﹣cx+b＝0（*）．由题意，方程（*）必须有两正根，且两根的算术平均数为x0，∴c＞0，b＞0，c2﹣4b＞0，c2=x0，∴0＜b＜x02对一切意x0∈（3，4）均成立，∴b的取值范围为（0，9]．22．（12分）（2021春•宝山区校级期中）已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＝m⋅f（x）成立，则称函数f（x）是D上的周期为T的m级类周期函数．（1）已知y＝f（x）是[0，+∞）上的周期为1的m级类周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的严格增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数m的取值范围；（2）设函数f（x）是R上的周期为1的2级类周期图数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f(x)≥−89，求m的取值范围；（3）是否存在实数k，使函数f（x）＝cos kx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k 和T的值，若不存在，说明理由．【解题思路】本题是新定义的题型，读懂题目是关键．（1）借助题干中的新定义以及增函数性质解题；（2）借助题干中的新定义以及二次函数性质求解；（3）借助题干中的新定义以及三角函数性质求解．【解答过程】解：（1）∵y＝f（x）是[0，+∞）上的周期为1的m级类周期函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝2x﹣1，∴当x∈[m，m+1）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2f（x﹣2）＝）＝……＝m n f（x﹣n）＝m n2x﹣n，即当x∈[m，m+1）时，f（x）＝m n2x﹣n，n∈N+，∵y＝f（x）是[0，+∞）上的严格增函数，∴m＞0且m n2n﹣n，＞m n﹣12n﹣（n﹣1），∴m≥2．（2）由题意知f（x﹣1）＝2f（x），f（x）＝2f（x+1），x∈（﹣1，0]时，f（x）＝x（x+1）∈[−14，0]，x∈（﹣2，﹣1]时，x+1∈（﹣1，0]，f（x）＝2f（x+1）＝2（x+1）（x+2）＝2（x+32）2−12∈[−12，0]，x∈（﹣3，﹣2]时，x+1∈（﹣2，﹣1]，f（x）＝4f（x+1）＝4（x+2）（x+3）＝4（x+52）2﹣1∈[﹣1，0]，故存在x∈（﹣3，﹣2]，4（x+2）（x+3）=−89，解得x=−73或x=−83，∴若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f(x)≥−89，则m≥−73，（3）假设存在实数k，使函数f（x）＝cos kx是R上的周期为T的T级类周期函数，则cos k（x+T）＝T cos kx对一切实数恒成立，当k＝0时，T＝1，当k≠0时，∵x∈R，∴k（x+T）∈R，∴cos kx∈[﹣1，1]，cos k（x+T）∈[﹣1，1]，∴若cos k（x+T）＝T cos kx对一切实数恒成立，则T＝±1，当T＝1时，cos（kx+k）＝cos kx，∴k＝2nπ，n∈Z且n≠0，当T＝﹣1时，cos（kx﹣k）＝﹣cos kx，∴k＝（2n+1）π，n∈Z，综上所述，当T＝1时，k＝2nπ，n∈Z；当T＝﹣1时，k＝（2n+1）π，n∈Z．。

高中数学《函数的对称性与周期性》基础知识及专项练习题（含答案）一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x −=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x −=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=−，或得到()()31f x f x −=−+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=−+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=−+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=−+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x −=−+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x −=−+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x −=−+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。

1.2.8二次函数的图象和性质——对称性1．函数f(x)＝x3＋1的奇偶性为()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上()．A．递增B．递减C．先增后减D．先减后增3．函数f(x)＝x2＋2x＋2，x∈(1,4]的值域是()．A．(5,26] B．(4,26]C．(3,26] D．(2,26]4．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()．A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D．()1 ()f xf x=--5．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是递增函数，则()．A．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2)B．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2)C．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)D．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5)6．若函数y＝x(ax＋1)是奇函数，则实数a＝__________. 7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋1，f(1)＝3，则f(－1)＝__________.8．已知f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上是递增函数，则74f⎛⎫- ⎪⎝⎭与f(2)的大小关系为__________．9．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b为常数)满足f(0)＝f(1)，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的值域．10．求函数f(x)＝x2－2ax－1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值．参考答案1.答案：D解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x3＋1，∴f(x)≠f(－x)，且f(x)≠－f(－x)．因此，此函数既不是奇函数也不是偶函数．2.答案：A解析：由f(x)是偶函数知2m＝0，即m＝0.此时f(x)＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，所以在(－∞，0)上单调递增．选A．3.答案：A解析：由于f(x)＝(x＋1)2＋1，对称轴为直线x＝－1，因此f(x)在(1,4]上是单调递增的，所以当x∈(1,4]时，f(1)＜f(x)≤f(4)，即5＜f(x)≤26，故选A．4.答案：D解析：()1()f xf x=--当f(－x)＝0时不成立，故选D．5.答案：C解析：f(x)是偶函数，且在(－∞，－1]上是递增函数．而f(2)＝f(－2)，且－2＜－1.5＜－1，所以f(－2)＜f(－1.5)＜f(－1)．即f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)，故选C．6.答案：0解析：由于f(x)＝x(ax＋1)＝ax2＋x，又f(x)是奇函数，必有a＝0.7.答案：－1解析：由f(x)＝x3＋ax＋1得f(x)－1＝x3＋ax.∵f (x)－1为奇函数，∴f(1)－1＝－[f(－1)－1]，即f(－1)＝－f(1)＋2＝－3＋2＝－1.8.答案：74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)解析：∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则7744f f⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而724<，∴74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)．9.解：(1)∵f(x)＝x有两个相等的实数根．∴x2＋(a－1)x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(a－1)2－4b＝0.①又f(0)＝f(1)，∴a＋b＋1＝b.②由①，②知a＝－1，b＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)∵213()24f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，x∈[0,4]，∴12x=时，f(x)有最小值34.又f(0)＝1，f(4)＝13，∴f(x)的最大值为13.∴f(x)的值域为3,13 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.10.解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为x＝a的抛物线，如下图所示．当a＜0时〔如图(1)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(0)＝－1；当0≤a≤1时〔如图(2)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f (x)的最小值为f(a)＝－a2－1；当1＜a＜2时〔如图(3)〕，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(a)＝－a2－1；当a≥2时〔如图(4)〕，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(2)＝3－4a.。

函数的对称性（一）：高考数学一轮复习基础必刷题一、单选题1．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，(2)(4)1f f +=，则=a （）A ．1-B ．1C ．2D ．42．已知函数()y f x =是定义在R 上的函数，那么函数()4y f x =-+的图象与函数()6y f x =-的图象之间（）A ．关于点()10，对称B ．关于直线1x =对称C ．关于点()50，对称D ．关于直线5x =对称3．已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（）A ．[-1，+∞)B ．(-∞，-1]C ．[-2，+∞)D ．(-∞，-2]4．已知函数()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x =，则56f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π（）A ．2B ．C ．12D ．12-5．函数()22x xf x e e --=-的图象关于（）A ．点()2,0-对称B ．直线2x =-对称C ．点()2,0对称D ．直线2x =对称6．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +是偶函数，()42f =，()f x 在(),2-∞上单调递增，则不等式()412f x ->的解集为（）A ．15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),117,-∞-⋃+∞D ．()1,17-7．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①当10x -≤≤时，()12e ex x f x x =-+；②()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③R x ∀∈，都有()()22f x f x +=-.则23f ⎛⎫⎪⎝⎭、52f ⎛⎫⎪⎝⎭、113f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（）A ．2511323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．2115332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．5211233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．5112233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．已知定义在R 上的函数()1y f x =+是偶函数，且在[)1,+∞上单调递增，则满足()()22f x f x >+的x 的取值范围为（）A ．()2,+∞B ．()(),02,-∞+∞C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()2,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．已知,m n R ∈，函数||2y x n =-+是定义在2[4,5]m m -上的偶函数，则m n +的值是______________.10．已知函数()f x 满足：①()00f =；②()()4f x f x -=；③在()2,3上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数()f x =_________．11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()60f x f x ++=，且函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，则()2022f =___________.三、解答题12．已知函数2()21f x x ax =--，且(2)(2)f x f x +=-.(1)求函数()y f x =的解析式；(2)若()()g x f x mx =+在[1,1]-上时单调函数，求实数m 的取值范围.13．作出函数y =－x 2+｜x ｜+1的图象，并求出函数的值域.14．设,a b ∈R ，若函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称；反之，若函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称，则函数()f x 定义域内的任意一个x 都满足()(2)2f x f a x b +-=.已知函数41()1x g x x -=+.(1)证明：函数()g x 的图象关于点(1,4)-对称；(2)已知函数()h x 的图象关于点(1,2)对称，当[0,1]x ∈时，2()1h x x mx m =-++.若对任意的1[0,2]x ∈，总存在2[2,4]x ∈，使得()()12h x g x ≤成立，求实数m 的取值范围.参考答案：1．B 【解析】【分析】利用反函数的知识列方程，化简求得a 的值.【详解】依题意函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，221x a x a +=⇒=-，422x a x a +=⇒=-，由于(2)(4)1f f +=，所以1211a a a -+-=⇒=.故选：B 2．A 【解析】设(),P m n 是()4y f x =-+图象上的任意一点，则()4n f m =-+，由此能推出点()2,P m n '--在()6y f x =-的图象上，根据,P P '的对称性可得两函数的对称性.【详解】设(),P m n 是()4y f x =-+图象上的任意一点，则()4n f m =-+，作等量变换()62n f m =---⎡⎤⎣⎦，即()62n f m -=--⎡⎤⎣⎦，则点()2,P m n '--在()6y f x =-的图象上，(),P m n ，()2,P m n '--关于点()10，对称，∴函数()4y f x =-+的图象与函数()6y f x =-的图象之间关于点()10，对称，故选：A 3．D 【解析】函数()f x 与()g x 的图象关于y 轴对称,得到()=()g x f x x m -=+，再利用绝对值函数性质列出不等式求解.函数()f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称,()=()g x f x x m \-=+，()g x 在区间(12)，内单调递减，则22m m -³\£-，，故选：D ．【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.4．D 【解析】【分析】图象关于02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，求出直线56x π=关于2x π=的对称直线，纵坐标互为相反数.【详解】因为函数()f x 的图象关于02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则直线56x π=关于2x π=的对称直线为52266x πππ=⨯-=，所以51=sin 6662f f πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D 5．C 【解析】计算得出()()220f x f x ++-=，即可得出结论.【详解】()22x x f x e e --=-Q ，()()22222x x x x f x e e e e -++--∴+=-=-，()()22222x x x x f x e e e e ------=-=-，所以，()()220f x f x ++-=，因此，函数()f x 的图象关于点()2,0对称.故选：C.6．A 【解析】【分析】由题意判断出函数()f x 关于2x =对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式.【详解】∵()2f x +是偶函数，∴函数()f x 关于2x =对称，∴()()042f f ==，又∵()f x 在(),2-∞上单调递增，∴()f x 在()2,+∞单调递减，∴()412f x ->可化为0414x <-<，解得1544x <<，∴不等式()412f x ->解集为15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A7．A 【解析】推导出函数()f x 为偶函数，结合已知条件可得出5122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11133f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2233f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数可知函数()f x 在[]1,0-上为减函数，由此可得出23f ⎛⎫⎪⎝⎭、52f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、113f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系.【详解】因为函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，则()()11f x f x +=-，故()()()()()21111f x f x f x f x -=--=-+=，()()()()()()21111f x f x f x f x +=++=-+=-，又因为R x ∀∈，都有()()22f x f x +=-，所以，()()f x f x =-，所以，5331112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11551223333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2233f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为当10x -≤≤时，()12e e xx f x x =-+，()12e 20e x x f x ⎛⎫'=-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当0x =时，等号成立，且()f x '不恒为零，故函数()f x 在[]1,0-上为减函数，因为21110323-<-<-<-<，则112323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故2511323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.8．B 【解析】【分析】根据()1y f x =+的奇偶性和单调性可得()f x 的对称轴和单调性，结合函数值的大小关系可得到自变量满足的不等式，解不等式求得结果.【详解】()1y f x =+Q 为定义在R 上的偶函数，且在[)1,+∞上单调递增，()f x ∴关于1x =对称，()f x ∴在(],1-∞上单调递减，由()()22f x f x >+得：2121x x ->+-，解得：0x <或2x >，即满足()()22f x f x >+的x 的取值范围为()(),02,-∞+∞ .故选：B.9．5-【解析】根据偶函数及绝对值函数性质直接求解即可.【详解】由已知||2y x n =-+是定义在2[4,5]m m -上的偶函数，故2450m m +-=，即1m =，或5m =-，且函数图象关于y 轴对称，又245m m <-，故5m =-，因为||2y x n =-+关于直线x n =对称，故0n =，5m n +=-，故答案为：5-.10．24x x -+（答案不唯一）【解析】【分析】根据条件①②③结合二次函数的基本性质可得出一个满足条件的函数()f x 的解析式.【详解】由题意可知，()f x 的图象关于直线2x =对称，且在()2,3上单调递减，且()00f =，可取()24f x x x =-+满足条件.故答案为：24x x -+（答案不唯一）.11．0【解析】【分析】求出函数的周期为12，即可得到()()20220f f =-，又()00f =即可得解.【详解】()()60f x f x ++=Q ，()()6f x f x ∴+=-，()()()126f x f x f x ∴+=-+=，所以函数()f x 是以12为周期的函数，()()()()202212168660f f f f ∴=⨯+==-又函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，利用函数图像平移知，函数()y f x =的图象关于()0,0对称，即()00f =，所以()20220f =故答案为：012．(1)2()41y f x x x ==--.(2)[6,)(,2]+∞-∞ 【解析】【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.(1)解：因为(2)(2)f x f x +=-，所以函数()y f x =的对称轴为：2x =，函数2()21f x x ax =--的对称轴为：x a =，所以有2a =，即2()41y f x x x ==--.(2)解：2()()(4)1g x f x mx x m x =+=+--，该函数的对称轴为：42m x -=-，当412m -≤-时，函数在[1,1]-上单调递减，解得2m ≤；当412m --≤-时，函数在[1,1]-上单调递增，解得6m ≥，综上所述：实数m 的取值范围为[6,)(,2]+∞-∞ .13．作图见解析，值域为（－∞，5]4．【解析】【分析】可先判断函数的奇偶性，若函数具备奇偶性，则只需作出其一半的图象即可，另一半利用奇偶函数的对称性可作出,由图象可得结果．【详解】y =221,0,1,0.x x x x x x ⎧-++≥⎨--+<⎩因为函数为偶函数，先画出当x ≥0时的图象，然后再利用对称性作出当x ＜0时的图象．由图象可知：函数的值域为（－∞，5]4．【点睛】本题考查函数的图象和性质，利用偶函数性质根据对称画出函数图象是解题的关键，属于基础题.14．(1)证明见解析(2)[0,2]【解析】【分析】（1）根据题意可知对任意的(,1)(1,)x ∈-∞--+∞ ，()(2)8g x g x +--=，根据对称中心的定义即可证明结果；（2）由题意，对任意的1[0,2]x ∈，总存在2[2,4]x ∈，使得()()12h x g x ≤成立，则max max ()()h x g x ≤，根据函数()g x 的单调性可知max ()3g x =，再根据函数的对称性，结合二次函数的性质，采用分类讨论即可求出函数()h x 的最大值，进而求出结果.(1)解：41()1x g x x -=+ ，49(2)1x g x x +∴--=+.4149()(2)811x x g x g x x x -+∴+--=+=++.即对任意的(,1)(1,)x ∈-∞--+∞ ，都有()(2)8g x g x +--=成立.∴函数()g x 的图像关于点(1,4)-对称.(2)解：若对任意的1[0,2]x ∈，总存在2[2,4]x ∈，使得()()12h x g x ≤成立，则max max ()()h x g x ≤.415()411x g x x x -==-++ ，易知()g x 在[2,4]上单调递增.max ()(4)3g x g ∴==.[0,1]x ∈ 时，2()1h x x mx m =-++，(1)2h ∴=，即函数()h x 的图象过对称中心(1,2).当02m≤，即0m ≤时，函数()h x 在(0,1)上单调递增.由对称性知，()h x 在(1,2)上单调递增.∴函数()h x 在(0,2)上单调递增.max ()(2)4(0)33h x h h m ∴==-=-≤，0m ∴≥，即0m =.当012m <<，即02m <<时，函数()h x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,12m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.由对称性，知()h x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.∴函数()h x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,222m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.max ()(0)h x h ∴=或22m h ⎛⎫- ⎪⎝⎭.02m << ，(0)13h m ∴=+<，易知22433224m m mh h m ⎛⎫⎛⎫-=-=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即02m <<时符合条件.当12m≥，即2m ≥时，函数()h x 在(0,1)上单调递减.由对称性，知()h x 在(1,2)上单调递减.∴函数()h x 在(0,2)上单调递减.max ()(0)13h x h m ∴==+≤，2m ∴≤，即2m =.综上，实数m 的取值范围为[0,2].。

函数对称性：高考数学一轮复习基础必刷题一、单选题1．函数91()3x x f x +=的图像（）A ．关于直线1x =对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称2．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则3m n +=（）A ．7B ．2C ．2-D ．12-3．设函数()1=+xf x x ，则下列函数中为奇函数的是（）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++4．函数f (x )的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y =ex 关于x 轴对称，则f (x )=（）A ．-ex -1B ．-ex +1C ．-e -x -1D ．-e -x +15．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +是偶函数，()42f =，()f x 在(),2-∞上单调递增，则不等式()412f x ->的解集为（）A ．15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),117,-∞-⋃+∞D ．()1,17-6．我们知道，函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.据此，我们可以得到函数()323f x x x =+图象的对称中心为（）A ．()1,2-B ．()1,2--C ．()1,4D ．()1,4-7．已知函数2()e e x x f x -=-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 关于直线1x =-对称B ．()f x 关于点(1,0)对称C ．()f x 关于点(1,0)-对称D ．()f x 关于直线1x =对称8．函数()()3ln 33x f x x -=-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．已知偶函数()f x 在R 上有四个零点，则这四个零点之和为___________.10．已知()f x 是偶函数，且方程()30f x -=有五个解，则这五个解之和为______．11．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且满足()32f x fx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又()11f -=，()02f =-，则()()()()1232021f f f f +++⋅⋅⋅+=______．三、解答题12．已知指数函数()y f x =的图象经过点()2,9P ，(1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数()()1g x f x =，证明：函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称．13．已知函数()2()22f x x a x a =+--，a R ∈.(1)若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值；(2)求使()0f x >的自变量x 的取值范围.14．已知函数2()log (2)f x x =+，函数()y g x =的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称.（1）求()g x 的解析式；（2）解关于x 的不等式2()(23)f x g x x >-.参考答案：1．B 【解析】【分析】利用分离常数法化简函数式，可知函数()f x 为偶函数，进而判断对称性.【详解】解：因为()()231911333333x xx x x x xxf x -++===+=+，()()33x x f x f x --=+=易知()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称.故选：B.2．C 【解析】【分析】由已知结合函数对称性可求出()3f ，进而求得结果.【详解】解：因为定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则()()317f f =--=.故()23337f m n =++=，即32m n +=-.故选：C.3．A 【解析】【分析】求出函数()f x 图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.【详解】因为()1111111x x f x x x x +-===-+++，所以，()()112112121f x f x x x +--=-+-=+--+，所以，函数()f x 图象的对称中心为()1,1-，将函数()f x 的图象向右平移1个单位，再将所得图象向下平移1个单位长度，可得到奇函数的图象，即函数()11f x --为奇函数.故选：A.4．A 【解析】【分析】先求出与y =ex 的图象关于x 轴对称的图象所对函数解析式，再右移一个单位即可得解.【详解】与y =ex 的图象关于x 轴对称的图象所对函数解析式为y =-ex ，将所得图象右移一个单位后的图象所对函数解析式为y =-ex -1，而按上述变换所得图象对应的函数是f (x )，所以f (x )=-ex -1.故选：A 5．A 【解析】【分析】由题意判断出函数()f x 关于2x =对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式.【详解】∵()2f x +是偶函数，∴函数()f x 关于2x =对称，∴()()042f f ==，又∵()f x 在(),2-∞上单调递增，∴()f x 在()2,+∞单调递减，∴()412f x ->可化为0414x <-<，解得1544x <<，∴不等式()412f x ->解集为15,44⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A6．A 【解析】【分析】依题意设函数()323f x x x =+图象的对称中心为(),a b ，则()()y g x f x a b ==+-为奇函数，再根据奇函数的性质得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设函数()323f x x x =+图象的对称中心为(),a b ，由此可得()()()()()()3232232333363y g x f x a b x a x a b x a x a a x a a b ==+-=+++-=++++++-为奇函数，由奇函数的性质可得3233030a a a b +=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，则函数()323f x x x =+图象的对称中心为()1,2-；故选：A 7．B 【解析】【分析】由题可得2(2)e e x x f x --=-，24(2)e e x x f x --+--=-，然后逐项分析即得.【详解】∵2()e e x x f x -=-，∴2(2)e e x x f x --=-，24(2)e e x x f x --+--=-，∴242(2)e e ()e e x x x x f x f x --+-=≠--=--，故A 错误；()22(2)e e e e ()x x x x f x f x --=-=---=-，故B 正确；()242(2)e e ()e e x x x x f x f x --+---=-=--≠-，故C 错误；22(2)e e ()e e x x x x f x f x ---=-=-≠，故D 错误.故选：B.8．C 【解析】【分析】根据给定函数探讨其对称性可排除选项A ，B ；再由4x >时的函数值符号即可判断作答.【详解】函数()()3ln 33x f x x -=-定义域为(,3)(3,)-∞⋃+∞，其图象可由函数3ln ||()(0)x g x x x =≠的图象右移3个单位而得，而3ln ||()()()x g x g x x --==--，即函数3ln ||()x g x x=是奇函数，其图象关于原点对称，因此，函数()f x 图象关于点(3,0)对称，选项A ，B 不满足；又当4x >时，ln |3|0x ->，3(3)0x ->，即有()0f x >，则当4x >时，()f x 图象在x 轴上方，D 不满足，所以函数()()3ln 33x f x x -=-的部分图象大致为C.故选：C 9．0【解析】【分析】根据给定条件利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质计算作答.【详解】因函数()f x 是R 上的偶函数，则函数()f x 的图象关于y 对称，而x 轴垂直于y 轴，即x 轴也关于y 轴对称，又函数()f x 在R 上有四个零点，即函数()f x 的图象与x 轴有4个交点，从左到右依次设为：1234(,0),(,0),(,0),(,0)A x B x C x D x ，于是得点A 与D 关于y 轴对称，点B 与C 关于y 轴对称，即14230,0x x x x +=+=，则12340x x x x +++=，所以四个零点之和为0.故答案为：010．15【解析】【分析】根据函数的奇偶性和图象变换，得到函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，进而得出方程其中其中一个解为3x =，另外四个解满足14236x x x x +=+=，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是偶函数，可函数()f x 的图象关于0x =对称，根据函数图象的变换，可得函数()3=-y f x 的图象关于3x =对称，又由方程()30f x -=有五个解，则其中一个解为3x =，不妨设另外四个解分别为1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则满足2314322x x x x ++==，即14236x x x x +=+=，所以这五个解之和为66315++=.故答案为：15.11．2【解析】【分析】利用()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得函数周期3T =，再结合函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，即()32f x f x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，分析可得()()211f f ==，()32f =-，即()()()1230f f f ++=，结合函数周期性，即得解【详解】()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，()()3f x f x ∴=+，周期3T =，又()11f -=，()02f =-，()()121f f ∴-==，()()032f f ==-， 函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，()32f x f x ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，又()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()113111222f f f f ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()1231120f f f ∴++=+-=，202136732=⨯+ ，()()()()()()1232021122f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=+=．故答案为：2．12．(1)()3xf x =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）设指数函数()xy f x a ==(0a >且1)a ≠，由函数图象过点()2,9P 即可求解；（2）任取函数()y f x =的图象上一点()00,P x y ，证明()00,P x y 关于y 轴的对称点为()00,P x y '-在函数()y g x =的图象上即可.(1)解：由题意，设指数函数()xy f x a ==(0a >且1)a ≠，因为函数()y f x =的图象经过点()2,9P ，所以29a =，解得3a =，所以函数()3xf x =；(2)证明：由（1）知()()1133x x y g x f x -====，任取函数()y f x =的图象上一点()00,P x y ，则003xy =，因为()00,P x y 关于y 轴的对称点为()00,P x y '-，且()00033x x y --==，所以()00,P x y '-在函数()y g x =的图象上，所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称．13．(1)4(2)答案见解析【解析】【分析】（1）先求出函数的对称轴，得到212a x -==，解出即可；（2）分三种情况当2a =-时，当2a >-时，当2a <-时来解不等式.(1)解法一：因为()2()22f x x a x a =+--，所以，()f x 的图象的对称轴方程为22a x -=.由212a -=，得4a =.解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有()()02f f =成立，所以284a a -=-，得4a =.(2)不等式()0f x >，即为()2220x a x a +-->，()()20x x a +->，当2a =-时，不等式的解集为{}2,x x x R ≠-∈，当2a >-时，不等式的解集为{}2x x x a <-<或，当2a <-时，不等式的解集为{}2x x x a >-<或.14．(1)2()log (2)g x x =-+(x <2)；(2)1{|02x x -<<或12}x <<.【解析】【分析】(1)在函数()y g x =图象上任取点，该点关于y 轴对称点必在()y f x =的图像，代入即可得解；(2)由(1)及所给条件，列出对数不等式，由对数函数单调性等价转化成不等式组并求解即得.【详解】(1)设(,)P x y 为函数()y g x =的图像上任意一点，点P 关于y 轴的对称点为1(,)P x y -，则点1P 必在函数()y f x =的图像上，则2log (2)y x =-+，即2()log (2)g x x =-+，所以()g x 的解析式为2()log (2)g x x =-+(x <2)；(2)由2()(23)f x g x x >-及(1)可得222log (2)log (223)x x x +>-+，因为2log y x =是增函数，于是有222022302223x x x x x x +>⎧⎪-+>⎨⎪+>-+⎩，即22202320220x x x x x +>⎧⎪--<⎨⎪->⎩，解得102x -<<或12x <<，所以不等式2()(23)f x g x x >-的解集为1{|02x x -<<或12}x <<.。

函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。

【答案】5【分析】先根据①①可知函数的对称中心和对称轴，再分别画出()f x 和()g x 的部分图像，由图像观察交点的个数．【详解】根据题意，①(2)()0f x f x -+=，得函数()f x 的图像关于点()1,0对称，①(2)()0f x f x ---=，得函数()f x 的图像关于1x =-对称，则函数()f x 与()g x 在区间[3,3]-上的图像如图所示，由图可知()f x 与()g x 的图像在[]3,3-上有5个交点．由图知()f x 与()h x 的图象在区间()2,6-有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1422x x +=，2322x x +=，所以12348x x x x +++=，所以()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为8， 3．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【分析】若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ≥+，进而可得答案.【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[)1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =， 若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()221x x t -≥+，即()22110t x t ++-≤，()()()22211011321110t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩，故实数t 的最大值为13-. 4．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，(1)(1)f x f x +=-，当01x ≤≤时，()1xf x e =-，则23x ≤≤时，()f x 的解析式为（ ）6．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 【答案】7 【解析】设，则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，所以，,故答案为7.7．已知函数21()ln |2|45f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是___________.【答案】111(,)(,1)322⋃ 【分析】由函数解析式知函数()f x 的图象关于直线2x =对称，利用定义证得2x >时，函数()f x 是减函数，2x <时，函数为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可.【详解】∵f(x)=1x 2−4x+5−ln |x −2|=1(x−2)2+1−ln |x −2|，21(2)ln ||1f t t t ∴-=-+，。

函数的对称性专题练习试卷及解析1.2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学理科试题第8题已知抛物线214y x =和21516y x =-+所围成的封闭曲线如图所示，给定点(0,)A a ，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是 ( )A. (1,3)B. (2,4)C. 3(,3)2 D. 5(,4)22.2012年天津市河北区高三第一次模拟数学理科试题第8题下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：如图1，在区间(0,1)中数轴上的点M 对应实数m ；如图2，将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合；如图3，将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为(0,1)，射线AM 与x 轴交于点(,0)N n ．则n 就是m 的象，记作()f m n =．下列说法：① ()f x 的定义域为(0,1)，值域为R ； ②()f x 是奇函数；③ ()f x 在定义域上是单调函数； ④11()42f =； ⑤ ()f x 的图象关于点1(,0)2对称． 其中正确命题的序号是（ ）A. ②③⑤B. ①③⑤C. ①③④D. ③④⑤3.2015年皖北协作区高三年级联考数学文科试卷第9题 定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线32x =对称，且对任意实数x 都有3()(),(1)1,(0)22f x f x f f =-+-==-，则(2013)(2014)(2015)f f f ++=（ ）A. 0B. 2-C. 1D. 24.2015年北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试数学理科试题第14题 已知函数1sin ()()x xxf x x R πππ-=∈+，下列命题：①函数()f x 既有最大值又有最小值； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[,]ππ-上共有7个零点； ④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是______．（填写出所有真命题的序号）5.2013年湖北省武汉二中高二下学期期中考试理科数学试题第15题已知定义在R 上的函数满足：222,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩，且(2)()f x f x +=，25()2x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[8,3]-上的所有实根之和为________．6.2012年广东省肇庆市封开县南丰中学高三复习测试D 数学试题第15题已知函数()()5sin 2f x x φ=+，若对任意x R ∈，都有()()f x f x αα+=-，则4f a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____7.2015年广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题第21题已知函数32()1f x x ax =+-（a R ∈是常数）．(1)设3a =-，1x x =、2x x =是函数()y f x =的极值点，试证明曲线()y f x =关于点1212(,())22x x x xM f ++对称； (2)是否存在常数a ，使得[1,5]x ∀∈-，|()|33f x ≤恒成立？若存在，求常数的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：，对于曲线()y f x =上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q 在曲线()y f x =上．）8.2014年高中数学全国各省市理科导数精选22道大题练习题第19题 已知函数(),x f x e x R =∈的图象与()g x 的图象关于直线y x =对称.(1)若直线1y kx =+与()g x 的图像相切, 求实数k 的值；(2)判断曲线()y f x =与曲线2112y x x =++公共点的个数. (3)设a b <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小，并说明理由.9.2013年上海市虹口区高考一模数学试卷第23题如果函数()y f x =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得()()f x a f x +=-成立，则称此函数具有“()P a 性质”．(1)判断函数sin y x =是否具有“()P a 性质”，若具有“()P a 性质”求出所有的值；若不具有“()P a 性质”，请说明理由．(2)已知()y f x =具有“(0)P 性质”，且当0x ≤时2()()f x x m =+，求()y f x =在[0,;1]amp 上的最大值．(3)设函数()y g x =具有“(1)P ±性质”，且当1122x -≤≤时，()g x x =．若()y g x =与y mx =交点个数为2013个，求m 的值．答案和解析1.2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学理科试题第8题 答案：D分析：转化为方程有解问题求解，由选项可知实数a 的最大取值范围是(1,4)，则必有一对关于y 轴对称的点满足；联立214y x =和21516y x =-+，解得4x =或4-，则另外一对是抛物线214y x =，(4,0)x ∈-上的一点和21516y x =-+，(0,4)x ∈，再将这两点关于y轴对称，共3对，设 20001(,),(4,0)4P x x x ∈-，则点P 关于点A 的对称点2001(,2)4Q x a x --在21516y x =-+，(0,4)x ∈上，所以22200011325,25(5,8)41616a x x a x -=-+=+∈，则5(,4)2a ∈，故选D .2.2012年天津市河北区高三第一次模拟数学理科试题第8题 答案：B 分析：3.2015年皖北协作区高三年级联考数学文科试卷第9题 答案：A分析：由3()()2f x f x =-+得3()()2f x f x +=-，即3(3)()()2f x f x f x +=-+=， 即函数的周期是3， 则(2013)(2014)(2015)(6713)(67131)(67132)f f f f f f ++=⨯+⨯++⨯+(0)(1)(2)f f f =++，因为函数的图象关于直线32x =对称， 所以33()()22f x f x +=-， 则3131()()2222f f +=-， 则(2)(1)f f =，因为(2)(23)(1)1f f f =-=-=，所以(0)(1)(2)(0)2(2)220f f f f f ++=+=-+=， 故(2013)(2014)(2015)0f f f ++=， 故选A ．4.2015年北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试数学理科试题第14题 答案：①②③分析：设11()sin ,()g x x h x πππππ-==+，则()[1,1]g x ∈-且()g x 为周期函数，()h x ∈，当且仅当12x =时，()h x ，且当x →-∞或x →+∞时，()0h x →，则在平面直角坐标系内作出()()()f x g x h x =⋅的图像如图所示，由图易得()f x 既有最大值又有最小值，①正确；111(1)11sin sin (1)sin sin ()(1)0x x x xf x f x ππππππππππππππππππππ---------=-=-=++++，所以()f x 是以12x =为对称轴的周对称图形，②正确； 由①得11()x xh x ππ-=+不存在零点，则()sin g x x π=的零点即为()f x 的零点，因为()sin g x x π=在[,]ππ-内有7个零点，所以()f x 在[,]ππ-内有7个零点，③正确；由图象易得()f x 在(0,1)上不单调，④错误，综上所述，真命题的序号为①②③．5.2013年湖北省武汉二中高二下学期期中考试理科数学试题第15题 答案：11-分析：由(2)()f x f x +=可知函数()f x 周期为2，作出两函数图象如下，观察图像可知两函数有5个交点，其中一个为3-，另外4个关于点(2,2)-对称，所以所有交点横坐标之和为222(3)11-⨯⨯+-=-．6.2012年广东省肇庆市封开县南丰中学高三复习测试D 数学试题第15题 答案：0 分析：7.2015年广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题第21题 答案：见解析分析：(1)32()31f x x x =--，2()36f x x x '=-解()0f x '=得10x =，22x =，1212(,())22x x x xM f ++即(1,3)M - 曲线()y f x =上任意一点32000(,31)P x x x --关于M对称的点为32000(2,35)Q x x x --+-直接计算知，323200000(2)(2)3(2)135f x x x x x -=----=-+-，点Q 在曲线()y f x =上，所以，曲线()y f x =关于点M 对称(2)|()|33f x ≤即32|1|33x ax +-≤，3233133x ax -≤+-≤0x =时，不等式恒成立；0x ≠时，不等式等价于33223234x x a x x+--≤≤ 作31223232()x g x x x x +=-=--，32223434()x g x x x x -==-+，1364()1g x x '=-+，2368()1g x x'=--，解1()0g x '=、2()0g x '=得14x =、2x =1(1)31g -=-，1(4)6g =-，31232()x g x x +=-在[1,0)(0,5]-⋃的最大值为6-；2(1)35g -=，291(5)25g =-，32234()x g x x -=在[1,0)(0,5]-⋃的最小值为9125- 综上所述，a 的取值范围为91[6,]25--8.2014年高中数学全国各省市理科导数精选22道大题练习题第19题 答案：见解析分析：(1)由题意知()ln g x x =，设直线1y kx =+与()ln g x x =相切与点00(,)P x y ，则 00220001ln ,1()kx x x e k e k g x x-+=⎧⎪⇒==⎨'==⎪⎩.∴2k e -=(2)证明曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点，过程如下. 令2211()()11,22xh x f x x x e x x x R =---=---∈，则()1,()xh x e x h x ''=--的导数()1xh x e ''=-且(0)0,(0)0,(0)0h h h '''===当0x <时，()0()h x y h x '''<⇒=单调递减，当 0x >时，()0()h x y h x '''>⇒=单调递增.()(0)0y h x h ''⇒=≥=， 所以()y h x =在R 上单调递增，最多有一个零点0x = ∴曲线()y f x =与曲线2112y x x =++只有唯一公共点(0,1). (3) 解法一：∵()()()()(2)()(2)()22()f a f b f b f a b a f a b a f b b a b a +--+⋅+--⋅-=-⋅- (2)(2)(2)(2)2()2()a b b a ab a e b a e b a b a e e b a b a --+⋅+--⋅-++--⋅==⋅⋅-⋅-令()2(2),0x g x x x e x =++-⋅>，则()1(12)1(1)x x g x x e x e '=++-⋅=+-⋅.()g x '的导函数()(11)0x x g x x e x e ''=+-⋅=⋅>，且(0)0g '=，因此()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(0)0g =∴在(0,)+∞上()0g x >，∴(2)(2)02()b a ab a b a e e b a --++--⋅⋅>⋅-∴当a b <时，()()()()2f a f b f b f a b a+->-解法二： ()()()()()()2()22()a b b a f a f b f b f a b a e e e e b a b a +--⋅+-⋅--=-⋅- 以b 为主元，并将其视为x ，构造函数()()()2()()xaxah x x a e e e e x a =-⋅+-⋅->，则()(1)x a h x x a e e '=--⋅+，且()0h a '=∵()()xh x x a e ''=-⋅且0x a ->，∴()h x '在(,)a +∞上单调递增，∴当x a >时，∴()h x 在(,)a +∞上单调递增， ∴当x a >时，()()0h x h a >= ∴当a b <时，()()()()2f a f b f b f a b a+->-9.2013年上海市虹口区高考一模数学试卷第23题答案：见解析分析：(1)由sin()sin()x a x +=-得sin()sin x a x +=-，根据诱导公式得2()a k k Z ππ=+∈．∴sin y x =具有“()P a 性质”，其中2()a k k Z ππ=+∈．(2)∵()y f x =具有“(0)P 性质”，∴()()f x f x =- ．设0x ≥，则0x -≤，∴22()()()()f x f x x m x m =-=-+=-22()0()()0x m x f x x m x ⎧+≤=⎨-≥⎩，当0m ≤时，∵ ()y f x =在[0,1]递增，∴ 1x =时2max (1)y m =-， 当102m <<时，∵ ()y f x =在[0,]m 上递减，在[,1]m 上递增，且22(0)(1)(1)f m f m =<=-，∴1x =时2max (1)y m =-， 当12m ≥时，∵()y f x = 在[0,]m 上递减，在[,1m 上递增，且22(0)(1)(1)f m f m =≥=-，∴0x = 时2max y m =综上所述： 当12m <时， 2max (1)(1)y f m ==-；当12m ≥时，2max (0)y f m ==.(3)∵()y g x =具有“(1)P ±性质”，∴(1)(),(1)()g x g x g x g x +=--+=-，∴(2)(11)(1)()g x g x g x g x +=++=--=，从而得到()y g x =是以2为周期的函数．又设1322x ≤≤，则11122x -≤-≤， ()(2)(11)(1)11(1)g x g x g x g x x x g x =-=-+-=-+=-+=-=-． 再设11()22n x n n z -≤≤+∈， 当112(),2222n k k z k x k =∈-≤≤+则11222x k -≤-≤， ()(2)2g x g x k x k x n =-=-=-；当21()n k k z =+∈，11212122k x k +-≤≤++则13222x k ≤-≤， ()(2)21g x g x k x k x n =-=--=-； ∴对于，11()22n x n n z -≤≤+∈，都有()g x x n =-， 而11111,(1)(1)(1)()22n x n g x x n x n g x +-≤+≤++∴+=+-+=-=， ∴()y g x =是周期为1的函数．①0m >时，要使得y m x =与()y g x =有2013个交点，只要y mx =与()y g x =在[1006,;1007]amp 有一个交点．∴ y mx =过20131(,;)22amp ，从而得12013m = ②当0m <时，同理可得12013m =- ③当0m =时，不合题意． 综上所述12013m =±.。

高三数学周期性和对称性试题答案及解析1.设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 .【答案】1【解析】.【考点】周期函数及分段函数.2.设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真【答案】C【解析】由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题由此结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题考查四个选项，C选项正确，故选C3.定义在R上的函数满足．当时，，当时，．则（）A．335B．338C．1678D．2012【答案】B【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，所以在一个周期内有，所以4.设定义在上的函数满足，若，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴是一个周期为4的周期函数，∴．∵，∴＝＝．【考点】抽象函数．5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,f(x+2)=对任意x∈R恒成立,则f(2011)等于() A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由f(x+2)=,得f(-1+2)=,即f(1)f(-1)=1,而f(1)=1,故f(-1)=1,且f(x+4)==f(x),∴f(2011)=f(503×4-1)=f(-1)=1.故选A.6.已知奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x,则f()的值为.【答案】-【解析】∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期T=4,∴f()=f(-4)=f(-)=-f()=-=-.7.函数y=f(x)(x∈R)有下列命题:①在同一坐标系中,y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关于直线x=1对称;②若f(2-x)=f(x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;③若f(x-1)=f(x+1),则函数y=f(x)是周期函数,且2是一个周期;④若f(2-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于(1,0)对称,其中正确命题的序号是.【答案】②③④【解析】对于①,y=f(x+1)的图象由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到,y=f(-x+1)的图象,由y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到,而y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称,从而y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关于直线x=0对称,故①错;对于②,由f(2-x)=f(x)将x换为x+1可得f(1-x)=f(1+x),从而②正确;对于③,由f(x-1)=f(x+1)将x换为x+1可得,f(x+2)=f(x),从而③正确.对于④,由f(2-x)=-f(x)同上可得f(1-x)=-f(1+x),从而④正确.【误区警示】解答本题时,易误以为①正确,出错的原因是混淆了两个函数y=f(x+1)与y=f(-x+1)的图象关系与一个函数y=f(x)满足f(x+1)=f(-x+1)时图象的对称关系.8.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．【答案】－10【解析】因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f(－1)＝f(1)⇒－a＋1＝，又f＝f＝f ⇒＝－a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝2－12＝－10.9.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点成中心对称，对任意实数x都有f(x)＝－，且f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(0)＋f(1)＋…＋f(2013)＝________.【答案】－2【解析】由函数关于点对称可知，f(x)＋f＝0，所以f(1)＋f＝0，又f(x)＝－，所以＝＝－1，所以f(1)＝1，因为f(x)＝－，所以，所以f(1)＝1，因为f(x)＝－，所以f(x－3)＝－＝f(x)，即f(x)是以3为周期的函数，故f(3)＝f(0)＝－2，f(2)＝f(－1)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋(2013)＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)]×671＝f(0)＝－2.10.定义在上的函数满足，则 .【答案】.【解析】当时，，则当时，，故函数在上是周期为的周期函数，所以.【考点】1.分段函数；2.函数的周期性11.对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算+…++= .【答案】2013【解析】由题意可得.所以.所以.令可得.所以函数f(x)的拐点即对称中心为.即如果，则.所以+…++=.故填2013.【考点】1.新定义函数.2.函数的求导.3.函数的对称性.12.已知函数是定义在R上的函数，其最小正周期为3，且时，，则f(2014)=（）A．4B．2C．－2D．【答案】B.【解析】因为函数是定义在R上的函数，其最小正周期为3.所以f(x)=f(x+3).所以f(2014)=f(1).又因为且时，，所以f(1)=.即选B.【考点】1.周期函数.2.分段函数的思想.13.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是( )A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】由知，函数是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出和的图像，有图可知零点个数为4个.【考点】1、周期函数；2、函数的图像；3、函数的零点.14.函数是定义域为的函数，对任意实数都有成立．若当时，不等式成立，设，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由知，函数图象关于直线对称，由时，不等式成立，得时，函数减，时，函数增；因为，而，所以即，选A.【考点】函数的对称性、利用导数研究函数的单调性.15.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.【答案】16；【解析】依题意，为偶函数，展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.【考点】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.16.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】由已知为上奇函数且周期为2，对于任意的实数，都有，.【考点】函数的性质.17.设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则＋＝（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】,,所以＋＝.【考点】函数的周期性.18.已知是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数在区间上的图像与轴的交点个数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】当时，,与轴有两个交点，因为是上最小正周期为的周期函数，所以当和时分别有两个交点，另外当时也有一个交点，所以与轴的交点个数为7个.【考点】本小题主要考查函数的周期性的应用，考查函数图象与轴交点个数的判断，考查学生的推理判断能力.点评：函数的周期性也是常考的内容，要结合图象进行判断.19.已知是定义在R上的函数，且满足，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，那么说明函数f(x)的周期为4，同时当时，则，选B20.已知定义在R上的奇函数满足，且时，，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：；乙：函数在[-6，-2]上是增函数；丙：函数关于直线对称；丁：若，则关于x的方程在[-8,8]上所有根之和为-8，其中正确的是A．甲，乙,丁B．乙,丙C．甲,乙,丙D．甲,丁【答案】D【解析】解：因为定义在R上的奇函数满足，说明周期为8，且时，，那么利用抽象函数的性质可知正确的命题为甲和丁，选D21.已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（）A．15B．10C．9D．8【答案】B【解析】根据条件：③当x∈[0，2]时，f（x）=2-|2x-2|可以作出函数图象位于[0，2]的拆线，再由?x∈R，有f（x+2）=2f（x），可将图象向右伸长，每向右两个单位长度，纵坐标变为原两倍，由此可以作出f（x）的图象，找出其与g(x)= (x∈[-8，8])的交点，就可以得出φ（x）的零点，问题迎刃而解．解：根据题意，作出函数y=f（x）（-8≤x≤8）的图象：在同一坐标系里作出g(x)= (x∈[-8，8])的图象，可得两图象在x轴右侧有8个交点．所以φ(x)="f(x)-" (x∈[-8，8])有8个零点，∵任意的x，有f（x+2）=2f（x），∴当x=-1时，f（-1+2）=2f（-1）?f（-1）=f（1）=1，满足φ（x）="f(x)-" =0而x=0也是函数φ（x）的一个零点，并且当x＜-1时，函数φ（x）没有零点综上所述，函数φ（x）的零点一共10个故选B22.函数与的图象关于（▲ ）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y=x对称【答案】C【解析】本题考查函数图像的对称性.函数的图像关于y轴对称；函数的图像关于x轴对称；函数的图像关于原点轴对称；设是函数图像上任意一点，即则点关于原点的对称点为于是，即的坐标满足函数的解析式，所以点是函数的图像上的点；因此函数与的图象关于原点对称.故选C23.设g(x)是函数f(x)＝ln(x＋1)＋2x的导函数，若函数g(x)按向量a平移后得到函数y＝，则向量a等于A．(1，2)B．(－1，－2)C．(－2，－1)D．(2，1)【答案】A【解析】求出函数f（x）=ln（x+1）+2x的导函数，根据图象平移的原则，左加，右减，上加、下减的原则可得平移向量．解：∵f（x）=ln（x+1）+2x∴g（x）=f′（x）=+2而函数y==[+2]-2是由函数g（x）向右平移一个单位，再向下平移2个单位得到．∴a=(1，-2)故选A．24.函数的图像关于（）对称A．y轴B．直线y= —x C．坐标原点D．直线y=x【答案】C【解析】略25.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则A．B．tC．D．【解析】略26.函数对于任意实数满足条件，若则。

函数对称问题--新高考数学函数压轴小题专题突破1．已知函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,2)2【解析】解： 函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，而函数1y kx =-关于直线1y =-的对称图象为1y kx =--，22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪∴=⎨+⎪⎩的图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩的图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与2y xlnx x =-相切于点(,2)C x xlnx x -，1y lnx '=-，故211xlnx x lnx x-+-=，解得，1x =；故1AC k =-；设直线AB 与232y x x =+相切于点23(,)2B x x x +，322y x '=+，故2313222x x x x +++=，解得，1x =-；故31222AB k =-+=-；故112k -<-<-，故112k <<；故选：A ．2．已知函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(6,1)--【解析】解： 函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，而函数()21g x kx e =++关于直线y e =的对称图象为1y kx =--，∴函数24,0(),0x x x ff x xlnx x ⎧+=⎨>⎩图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩图象与1y kx =--的图象如下，，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与y xlnx =相切于点(,)C x xlnx ，1y lnx '=+，故11xlnx lnx x++=，解得，1x =；故1AC k =；设直线AB 与y xlnx =相切于点2(,4)C x x x +，24y x '=+，故24124x x x x+++=，解得，1x =-；故242AC k =-+=；故12k <-<，故21k -<<-；故选：C ．3．已知函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，则实数k 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(1,0)-C ．(2,1)--D ．(6,1)--【解析】解： 函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩图象上有且仅有四个不同的点关于直线y e =的对称点在函数()21g x kx e =++的图象上，而函数()21g x kx e =++关于直线y e =的对称图象为1y kx =--，∴函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数24,0(),0x x x f x xlnx x ⎧+=⎨>⎩图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与y xlnx =相切于点(,)C x xlnx ，1y lnx '=+，故11xlnx lnx x++=，解得，1x =；故1AC k =；设直线AB 与24y x x =+相切于点2(,4)B x x x +，24y x '=+，故24124x x x x+++=，解得，1x =-；故242AC k =-+=；故12k <-<，故21k -<<-；故选：C ．4．已知函数22,0()3,0x xlnx x f x x x x ->⎧=⎨--⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =+的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．(1,1)-C ．11(,)32-D ．11(,22-【解析】解：直线1y kx =+关于直线1y =的对称直线为1y kx =-+，则直线1y kx =-+与()y f x =的函数图象有4个交点，当0x >时，()1f x lnx '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，作出()y f x =与直线1kx y -+=的函数图象，如图所示：设直线1y kx =-+与2y x xlnx =-相切，切点为1(x ，1)y ，则11111121lnx k x x lnx kx -=-⎧⎨-=-+⎩，解得：11x =，1k =-，设直线1y kx =-+与23(0)y x x x =--<相切，切点为2(x ，2)y ，则222222331x k x x kx --=-⎧⎨--=-+⎩，解得21x =-，1k =． 直线1y kx =-+与()y f x =有4个交点，∴直线1y kx =+与()y f x =在(,0)-∞和(0,)+∞上各有2个交点，11k ∴-<<．故选：B ．5．已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)2B ．(0,1)C ．1(,0)2-D ．(1,0)-【解析】解： 已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，而函数1y kx =-关于直线1y =-的对称图象为1y kx =--，∴已知函数22,0()2,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数()f x 的图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与2y xlnx x =-相切于点(,2)C x xlnx x -，1y lnx '=-，故211xlnx x lnx x-+-=，解得，1x =；故1AC k =-；设直线AB 与22y x ax =+相切于点2(,2)B x x x +，22y x '=+，故22122x x x x+++=，解得，1x =-；故220AB k =-+=，故10k -<-<，故01k <<，故选：B ．6．已知函数21(),0()24,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪--⎩则此函数图象上关于原点对称的点有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：作出函数()y f x =图象如图所示：再作出()y f x -=-，即24y x x =-，恰好与函数图象位于y 轴左侧部分（对数函数的图象）关于原点对称，记为曲线C ，发现1(2x y =与曲线C 有且仅有一个交点，因此满足条件的对称点只有一对，图中的A 、B 就是符合题意的点．故选：B ．7．若直角坐标平面内的两个不同的点M 、N 满足条件：①M 、N 都在函数()y f x =的图象上；②M 、N 关于原点对称．则称点对[M ，]N 为函数()y f x =一对“友好点对”（注：点对[M ，]N 与[N ，]M 为同一“友好点对”)．已知函数42(0)()6(0)log x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，此函数的友好点对有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：令(M s ，)(0)t s >，(,)N s t --，函数42(0)()6(0)log x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，4log t s ∴=，26t s t -=-+，24log 6s s s∴=-画出4log y x =，26(0)y x x x =->的图象，由图象可得有两个交点．故该函数的友好点对有2对．故选：C ．8．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足：①P ，Q 都在函数()f x 的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”．（注：点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一对“友好点对”)．已知函数22log ,0()4,0x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，则该函数的“友好点对”有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：根据题意：当0x >时，0x -<，则22()()4()4f x x x x x -=----=-+，可知，若函数为奇函数，可有2()4f x x x =-，则函数24(0)y x x x =--的图象关于原点对称的函数是24y x x =-由题意知，作出函数24(0)y x x x =->的图象，看它与函数2()log (0)f x x x =>交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即()f x 的“友好点对”有：2个．故选：C ．9．若函数()y f x =图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，]B 是函数()y f x =的一对“黄金点对”（注：点对[A ，]B 与[B ，]A 可看作同一对“黄金点对”)．已知函数222,0()4,041232,4x x f x x x x x x x ⎧<⎪=-+⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对“有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：由题意知函数()2x f x =，0x <关于y 轴对称的函数为12()2x x y -==，0x >，作出函数()f x 和1()2x y =，0x >的图象，由图象知当0x >时，()f x 和1()2x y =，0x >的图象有3个交点．所以函数()f x 的““黄金点对“有3对．故选：D ．10．函数3log ,0()cos ,0x x f x x x π>⎧=⎨<⎩的图象上关于y 轴对称的点共有()A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【解析】解：函数图象关于y 轴对称点，就是把cos y x π=的图象在0x >的部分画出，与3log xy =的交点的个数，如图中的红色交点，共有3对．故选D11．已知函数21()2()f x lnx x e e=，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是()A ．2[,2]e e-B ．2[3e --，3]e C ．2[e --，3]e D ．32[2,3]e e --【解析】解：设(,)a b 是函数()f x 上的点，则21a e e，2b lna =，则点(,)a b 关于1y =对应的点为(,2)a b -在()g x 上，即21b am -=+有解，即12lna am -=，当0m =时，不满足条件．当0m ≠时，12lnam a-=，设h （a ）12lnaa-=，则h '（a ）2222(12)121232a lna lna lnaa a a a -⨯--⨯--+-+===，当21a e e时，12lna -，则，224lna -，即由h '（a ）0>，得320lna -+>，得32lna >，即322e a e <<，时，函数为增函数，由h '（a ）0<，得320lna -+<，得32lna <，即321a e e <<时，函数为减函数，即当32a e =时，函数h （a ）取得极小值同时也是最小值3332223212()2lne h e ee--==-，又2222123()lne h e e e --==，1121()31ln e h e e e-==，∴函数h （a ）的最大值为3e ，即h （a ）的取值范围是32[2,3]e e --，则m 的取值范围是32[2,3]e e --，故选：D ．12．已知函数21()(f x x ax x e e=-，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是()A ．[1，1]e e+B ．[1，1]e e-C ．1[e e -，1e e+D ．1[e e-，]e 【解析】解：若函数21()(f x x ax x e e=-，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则函数21()(f x x ax x e e=-，e 为自然对数的底数）与函数()h x lnx =的图象有交点，即2x ax lnx -=，1()x e e有解，即lnx a x x =-，1()x e e 有解，令lnx y x x =-，1()x e e，则221x lnxy x-+'=，当11x e<时，0y '<，函数为减函数，当1x e <时，0y '>，函数为增函数，故1x =时，函数取最小值1，当1x e =时，函数取最大值1e e+，故实数a 取值范围是[1，1]e e+，故选：A ．13．已知函数()1f x kx =+，()1(11)x g x e x =+-，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线1y =对称，则实数k 的取值范围是()A ．1[,)e+∞B ．1[,)e e-C ．[e -，)+∞D ．1(,][,)e e-∞-+∞ 【解析】解：由题意()f x ，()g x 图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线1y =对称，则112x kx e +++=，即x e kx =-，所以指数函数x y e =与一次函数y kx =-在11x -恒有交点，画出图形，①1x =-时，1k e =，即1k e=；②1x =时，k e =-，综上，解得(k ∈-∞，]e -⋃，1[e，)+∞故选：D ．14．已知函数2()f x x m =+与函数11()3([,2])2g x ln x x x =--∈的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是()A ．5[2,2]4ln +B ．5[22,2]4ln ln -+C ．5[2,22]4ln ln ++D ．[22ln -，2]【解析】解：由已知，得到方程22133x m ln x m lnx x x x +=+⇔=-+-在1[2，2]上有解．设2()3f x lnx x x =-+-，求导得：21231(21)(1)()32x x x x f x x x x x -+--'=-+-=-=-，122x ，令()0f x '=，解得12x =或1x =，当()0f x '>时，112x <<函数单调递增，当()0f x '<时，12x <<函数单调减，∴在1x =有唯一的极值点，15(224f ln =+ ，f （2）22ln =-+，()f x f =极大值（1）2=，且知f （2）1(2f <，故方程23m lnx x x =-+-在1[2，2]上有解等价于222ln m -．从而m 的取值范围为[22ln -，2]．故选：D ．15．已知函数41()(0)2x f x x e x =+-<与4()()g x x ln x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是()A．(-∞B．(-∞C．(D．(【解析】解：()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点，等价为()()f x g x -=在0x >时，有解即可，则441()2x x e x ln x a -+-=++，即1()2x e ln x a --=+，在(0,)+∞上有解即可，设12x y e -=-，()()h x ln x a =+，作出两个函数的图象如图：当0x =时，1111222x y e -=-=-=，当0a ，将lnx 的图象向右平移，此时()ln x a +一定与12x y e -=-有交点，满足条件，当0a >时，则1(0)2h lna =<，得120a e <<=，综上a <即实数a的取值范围是(-∞故选：A．16．已知函数22,0()5,04xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩的图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在30kx y --=的图象上，则实数k 的取值范围是34k <或1k >．【解析】解：函数3y kx =-关于直线2y =-的对称图象为1y kx =--，所以条件等价于函数()f x 与1y kx =--有且仅有2个不同的交点，当0x >，()2f x xlnx x =-，则令()10f x lnx '=-=，解得x e =，且当0x e <<，()f x 单调递减，当x e >，()f x 单调递增，作出函数()f x 与1y kx =--图象如图：当1y kx =--是2y xlnx x =-切线时，设切点0(x ，0)y ，则01lnx k -=-，且0000012y kx x lnx x =--=-，解得切点坐标为(1,2)-，1k -=-，根据图象可知1k -<-，则1k >；当1y kx =--是254y x x =+切线时，设切点0(x ，0)y ，则0524x k +=-，且20000514y x x kx =+=--，解得切点坐标为1(1,)4--，34k -=-，根据图象可知34k ->-，则34k <，综上，34k <或1k >，故答案为：34k <或1k >．17．已知函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是1(2，1)．【解析】解： 函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，而函数1y kx =-关于直线1y =-的对称图象为1y kx =--，22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪∴=⎨+⎪⎩的图象与1y kx =--的图象有且只有四个不同的交点，作函数22,0()3,02xlnx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩的图象与1y kx =--的图象如下，易知直线1y kx =--恒过点(0,1)A -，设直线AC 与2y xlnx x =-相切于点(,2)C x xlnx x -，1y lnx '=-，故211xlnx x lnx x-+-=，解得，1x =，故1AC k =-；设直线AB 与232y x x =+相切于点23(,)2B x x x +，322y x '=+，故2313222x x x x+++=，解得，1x =-；故31222AB k =-+=-，故112k -<-<-，即112k <<；故答案为1(2，1)．18．已知函数21()(f x x ax x e e=-，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是[1，1]e e+．【解析】解：若函数21()(f x x ax x e e=-，e 为自然对数的底数）与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则函数21()(f x x ax x e e=-，e 为自然对数的底数）与函数()h x lnx =的图象有交点，即2x ax lnx -=，1()x e e有解，即lnx a x x =-，1()x e e 有解，令lnx y x x =-，1()x e e，则221x lnxy x -+'=，当11x e<时，0y '<，函数为减函数，当1x e <时，0y '>，函数为增函数，故1x =时，函数取最小值1，由于当1x e =时，1y e e =+；当x e =时，1y e e=-；故当1x e =时，函数取最大值1e e+，故实数a 取值范围是[1，1]e e +，故答案为：[1，1]e e+．19．已知函数31()36f x x mx =-+，()54g x x lnx =-+，若函数()f x 的导函数()f x '与()([1g x x ∈，9])的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的最大值为9832ln -+．【解析】解：因为31()36f x x mx =-+，所以21()2f x x m '=-．由题意知方程21()()5402f xg x x m x lnx '+=--+=在[1x ∈，9]上有解，等价于21542m x x lnx =-+在[1x ∈，9]上有解，令21()54([1,9])2h x x x lnx x =-+∈，则2454(1)(4)()5x x x x h x x x x x -+--'=-+==，当14x <<时，()0h x '<，当49x <<时，()0h x '>．所以函数()h x 在[1，4)上单调递减，在(4，9]上单调递增，所以h （1）h >（4），因为1(4)165482128202h ln ln =⨯-⨯+=-+<，2199(9)959498380222h ln ln =⨯-⨯+=-+>-+>，所以()h x 的最大值为9832ln -+，所以m 的最大值为9832ln -+．故答案为：9832ln -+．20．已知函数5()22x f x =-，0x <与4()log ()g x x a =-的图象上存在关于点(1,1)对称的点，则实数a 的取值范围是(0,)+∞【解析】解：函数5()22x f x =-，0x <与4()log ()g x x a =-的图象上存在关于点(1,1)对称的点，即为函数5()22x f x =-关于(1,1)对称的函数21()22x h x -=-，2x >的图象与()y g x =的图象有交点，由3(0,)2关于(1,1)的对称点为1(2,)2，代入()y g x =，可得41log (2)2a -=，解得0a =，由图象平移可得()y g x =的图象向右平移，均有一个交点，则a 的范围是0a >，故答案为：(0,)+∞．。

函数的对称性及图象变换试卷5姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题（40分）1 ．已知函数y=f(x+3)是偶函数,则函数y=f(x)图像的对称轴为直线（ ）A ．x =-3B ．x=0C ．x=3D ．x=62 ．若定义在R 上的单调函数()f x ，()g x 满足：函数(1)y f x =-和(22)y g x =-的图象关于直线y x =对称，且(2)2008g =，则(1)f 的值为（ ）A ．2008B ．1005C ．1004D ．10033 ．若把函数y=f (x )的图像作平移，可以使图像上的点P (1，0)变换成点Q (2，2)，则函数y=f (x )的图像经此变换后所得图像对应的函数为 （ ） A ．y=f (x -1)+2 B ．y=f (x -1)-2 C ．y=f (x +1)+2 D ．y=f(x +1)-24 ．由方程||||1x x y y +=确定的函数()y f x =在R 上是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数5 ．函数()f x =133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ ，则(1)y f x =+的象大致是C (C 7 ．A ．向左平移6个单位B ．向右平移6个单位C ．向左平移3个单位D ．向右平移3个单位8 ．对于定义在R 上的函数()f x ，有下述四个命题，其中正确命题为①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点A （1，0）对称；②若对x ∈R ，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称； ③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数； ④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称。

（ ）A ．①②④B ．②④C ．①③D ．①③④9 ．将函数()y f x =图象沿x 轴向左平移一个单位,再沿y 轴翻折180︒,得到lg y x =的图象,则（ ）A ．()lg(1)f x x =+B ｡()lg[(1)]f x x =-+C ．()lg(1)f x x =-D ｡()lg(1)f x x =--1．若函数y =f (x ) (x ∈R )满足f (x +2)=f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )=|x |．则函数y =f (x )的图象与函数y =log 4|x |的图象的交点的个数为 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．81．若函数()cos 21f x x =+的图象按向量a 平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a 可以是 （ ）A ．(1,0)B ．(,1)2π- C ．(,1)4π- D ．(,1)4π2．函数1()()sin 2x f x x =-在区间[0,π2]上的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．设函数y=f(x)的定义域为Ｒ，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关系为Ａ、直线y=0对称 Ｂ、直线x=0对称 Ｃ、直线y=1对称 Ｄ、直线x=1对称4．若函数1(0,1)xy a b a a =+->≠的图象经过二、三、四象限,则（ ）A ．1,0a b <>B ．1,0a b <<C ．1,0a b >>D ．1,0a b >>5．已知可导函数()f x 的导函数)('x f 的部分图象如右图所示,则函数)1(+x f 的函数xx f x sin )21()(-=在区间[0,2]π上的零点个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4部分图象可能是6．)0(>+==a a x y x a y 和所确立的图像有两个交点，则a 的取值范围是A ．1>aB ．10<<aC ．∅D ．110><<a a 或7．如果函数1() ()2xf x x ⎛⎫=-∞<<+∞ ⎪⎝⎭,那么函数()f x 是（ ）A ．奇函数,且在(-∞,0)上是增函数B ．偶函数,且在(-∞,0)上是减函数C ．奇函数,且在(0,+∞)上是增函数D ．偶函数,且在(0,+∞)上是减函数（A ）B ．C ．D ．9．函数y=ax 2+ bx 与y= ||log b ax (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是8．已知函数x y 2log =的反函数是)(1x f y -=，那么函数1()1y fx -=+的图象是2Oxy12O xy12Oxy12Oxy110．已知图1是函数()y f x =的图象,则图2中的图象对应的函数可能是（ ）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--二、填空题（30分） 11．已知方程1x mx =+有一个正根没有负根,则实数m 的取值范围是_______12．若()y f x =是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点A(0 ,3)和B(3,-1)，则不等式|f (x +1)–1|<2的解集是____________________.13．已知函数()y f x =的图象与函数22()log (2)g x x x =++的图象关于直线2x =对称，则(3)f =__________.14．下列说法：①当2ln 1ln 10≥+≠>xx x x 时，有且； ②∆ABC 中，A B >是sin sin A B >成立的充要条件；③函数xy a =的图象可以由函数2xy a =（其中01a a >≠且）平移得到； ④已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >.；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称。

高中数学函数的对称性专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知函数f(x)=x2−2x+m，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则f(x1+x22)=()A.1B.2C.m−1D.m2. 在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=lg(x+1)的图象与函数g(x)=lg(−x+1)的图象关于( )A.原点对称B.x轴对称C.直线y=x对称D.y轴对称3. 下列给出函数y=f(x)的部分对应值,则f(f(8))等于()A.πB.4C.8D.04. 已知幂函数y=f(x)，f(8)=2，则y=f(x)一定经过的点是( )A.(2, 1)B.(2, 4)C.(4, 2)D.(0, 1)5. 已知函数f(x+1)＝3x+2，则f(x)的解析式是( )A.3x+2B.3x+1C.3x−1D.3x+46. 若函数f(x)＝x2+e x−12(x<0)与g(x)＝x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A.(−∞,√e)B.√e ) C.√e√e) D.(−√e,√e)7. 定义在上的偶函数，其图像关于点对称，且当时，，则( )A. B. C. D.8. 已知函数f (x )=ln (x −2)+ln (4−x )，则( ) A.f (x )的图象关于直线x =3对称 B.f (x )的图象关于点(3,0)对称 C.f (x )在(2,4)上单调递增 D.f (x )在(2,4)上单调递减9. 函数f (x )=x 3−2021x +1图象的对称中心为（ ） A.(0,0) B.(1,0) C.(0,1) D.(1,1)10. 已知函数f (x )=11+ex ，若正实数m ，n 满足f (m −1)=1−f (n )，则1m+4n的最小值为( ) A.7 B.9 C.3+2√2D.8911. 函数f (x )满足f (x )=f (2−x )，x ∈R ，且当x ≥1时，f (x )=lg x ，则有( ) A.f (13)<f (2)<f (12)B.f (12)<f (2)<f (13)C.f (12)<f (13)<f (2) D.f (2)<f (12)<f (13)12. 已知函数f (x )={log a x,x >0，|x +3|,−4≤x <0，（a >0且a ≠1）．若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则a 的取值范围是（ ） A.(0,14) B.(0,14)∪(1,+∞) C.(14,1)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,4)13. 设函数f(x)=(x −3)3+x −1，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a 7)=14，则a 1+a 2+⋯+a 7=（ ） A.0 B.7 C.14 D.2114. 已知定义域为R 的函数f (x )在[2,+∞)单调递减，且f (4−x )+f (x )=0，则使得不等式f (x 2+x )+f (x +1)<0成立的实数x 的取值范围是( )A.(−3,1)B.(−∞,−1)∪(3,+∞)C.(−∞,−3)∪(1,+∞)D.(−∞,−1)∪(−1,+∞)15. 已知函数f(x)=x2+e x−1(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A.(−∞,1]B.(−∞,√e)C.(−∞,1)D.(1,√e)16. 函数f(x)=x+1x图象的对称中心为________．17. 若偶函数y=f(x)(满足f(1+x)=f(1−x)，且当时，，则函数g(x)=f(x)−的零点个数为________个．18. 设y＝f(x)是定义域为R的偶函数，且它的图象关于点(2, 0)对称，若当x∈(0, 2)时，f(x)＝x2，则f(19)＝________19. 已知函数对于都有，且周期为2，当时，，则________________.20. 已知函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，g(x)=1x+1，y=f(x)与y=g(x)交于点(x1,y1)，(x2,y2)，则y1+y2=________．21. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=−f(2−x)，当x≥1时，f(x)=log2x，则不等式f(x)≤2的解集为________.22. 若函数f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=−2对称，则f′(x)=________.23. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)={2|x−1|−1,0<x≤2, 12f(x−2),x>2.有下列结论：①函数f(x)在(−6,−5)上单调递增；②函数f(x)的图象与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程[f(x)]2−(a+1)f(x)+a=0(a∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；④记函数f(x)在[2k−1,2k](k∈N∗)上的最大值为a k，则数列{a n}的前7项和为12764.其中所有正确结论的编号是________.24. 设函数的图象与的图象关于直线对称，且，求a的值.25. 已知幂函数f(x)=x3m−9(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且在(0, +∞)上是减函数，求满足(a+1)−m<(3−2a)−m的实数a的取值范围．26. 已知函数f(x)=2x+2−x.(1)求方程f(x)=52的根；(2)求证：f(x)在[0,+∞）上是增函数；(3)若对于任意x∈[0,+∞)，不等式f(2x)≥f(x)−m恒成立，求实数m的最小值．27. 已知函数f(x)=x2−2ax+1满足f(x)=f(2−x)．(1)求a的值；(2)若不等式f(2x)4x≥m对任意的x∈[1, +∞)恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数g(x)=f(|log2x|)−k(|log2x|−1)有4个零点，求实数k的取值范围．28. 已知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)−g(x)=1e x.(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(2)若f(2x)>ag(x)在x∈(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围；(3)记H(x)=g(x+1)+1，若a，b∈R，且a+b=1，求H(−4+a)+H(b+1)的值．f(x+1)参考答案与试题解析高中数学函数的对称性专题含答案一、选择题（本题共计 15 小题，每题 3 分，共计45分）1.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】先求出二次函数的对称轴方程，由条件可得x1+x2=2×1=2，然后代入求值即可. 【解答】解：对于二次函数f(x)=x2−2x+m，其对称轴方程是x=1，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则x1+x2=2×1=2，故f(x1+x22)=f(22)=m−1.故选C.2.【答案】D【考点】函数的对称性函数的图象变换【解析】易知g(x)=f(−x)，由f(−x)与f(x)的图象间的关系可得g(x)与f(x)的图象关系．【解答】解：f(−x)=lg(−x+1)=g(x)，因为f(−x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)与g(x)的图象关于y轴对称．故选D．3.【答案】A【考点】函数的求值函数的对称性函数的概念及其构成要素【解析】先求出f(8)=，从而f(8]=t(1)，由此能求出结果．【解答】f(θ)=1,f(1)=π,∴ Mf(8)=f(1)=π故选：A．4.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域抽象函数及其应用函数的对称性【解析】试题分析：由已知得8a=2√2，解得a的值，由此求出f(x)的表达式，得到结论．解：幂函数y=f(x)=x8的图象经过点(8,2√2)∵8a=2√2，解得a=12∴(x)=√x将(4,2)代入f(x)，满足方程，故选：c．【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性函数解析式的求解及常用方法函数的对称性【解析】试题分析：设t=x+1x=t−1f(t)=3(t−1)+2=3t−1【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】已知函数的单调性求参数问题函数的对称性【解析】由题意可得e x0−12−ln(−x0+a)＝0有负根，函数ℎ(x)＝e x−12−ln(−x+a)为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈(−∞, 0)，满足x02+e x0−12=(−x0)2+ln(−x0+a)，即e x0−12−ln(−x0+a)＝0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0−12−ln(−x0+a)也趋近于负无穷大，且函数ℎ(x)＝e x −12−ln (−x +a)为增函数，∴ ℎ(0)＝e 0−12−ln a >0， ∴ ln a <ln √e ， ∴ a <√e ，∴ a 的取值范围是(−∞, √e). 故选A . 7.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断 函数的周期性 函数的对称性 【解析】由偶函数y =f (x )，其图像关于点(12,0)对称，可得f (12+x)+f (12−x)=0，进而可推出f (x )最小正周期为2，所以f (π)=f (π−4)=f (4−π)，代入题中所给解析式即可求出结果． 【解答】因为y =f (x )图像关于点(12,0)对称，所以f (12+x)+f (12−x)=0，所以f (1+x )+f (−x )=0，又y =f (x )为偶函数，所以f (−x )=−f (x )，所以f (x +2)=−f (1+x )=f (x )，所以函数f (x )最小正周期为2，所以f (π)=f (π−4)=f (4−π)=π−4+12=π−728. 【答案】 A【考点】复合函数的单调性 函数的对称性【解析】求出函数的定义域，利用对称性进行判断即可． 【解答】解：要使函数有意义，则{x −2>0,4−x >0,解得2<x <4，则函数的定义域为(2,4)，f (x +3)=ln (x +1)+ln (1−x )， f (3−x )=ln (1−x )+ln (1+x )， 则f (x +3)=f (3−x )，即函数关于x =3对称，故A 正确，B 错误，∵函数关于x=3对称，∴函数在定义域(2,4)上不具备单调性，故CD错误．故选A．9.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】根据函数对称性的性质建立方程进行求解即可．【解答】解：设对称中心的坐标为(a,b)，则有2b=f(a+x)+f(a−x)对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=(a+x)3−2021(a+x)+1+(a−x)3−2021(a−x)+1对任意x均成立，解得a=0，b=1，即对称中为(0,1)．故选C．10.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用函数的对称性【解析】无【解答】解：因为f(x)=11+e x，所以f(−x)=11+e−x，所以f(x)+f(−x)=1．由于函数f(x)=11+e x在定义域上单调递减，正实数m，n满足f(m−1)+f(n)=1，故1−m=n，所以m+n=1，所以1m +4n=(m+n)(1m+4n)=5+nm +4mn≥5+2√4=9（当且仅当2m=n=23时，等号成立）．故选B．11.【答案】C【考点】对数函数的单调性与特殊点函数的对称性【解析】【解答】解：由f (x )=f (2−x )．得f (x )的图象关于直线x =1对称，又当x ≥1时，f (x )=lg x ． 故函数f (x )的大致图象如图所示．则有f (12)<f (13)<f (0)=f (2)．故选C ．12.【答案】 C【考点】分段函数的应用 函数的对称性【解析】由题意，a >1时，显然成立；0<a <1时，f (x )=log a x ,关于原点的对称函数为f (x )=−log a (−x )则log a 4<−1，即可得到结论． 【解答】解：由题意，a >1时，显然成立， 0<a <1时，f (x )=log a x 关于原点的对称函数为： f (x )=−log a (−x )，则log a 4<−1， 解得，14<a <1.综上所述，a 的取值范围是(14,1)∪(1,+∞) ． 故选C ． 13. 【答案】 D【考点】 函数的对称性 等差数列的性质 【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=(x−3)3+x−1，所以f(x)−2=(x−3)3+x−3，令g(x)=f(x)−2，所以g(x)关于(3,0)对称，因为f(a1)+f(a2)+⋯+f(a7)=14，所以f(a1)−2+f(a2)−2+⋯+f(a7)−2=0，所以g(a1)+g(a2)+⋯+g(a7)=0，所以g(4)为g(x)与x轴的交点，因为g(x)关于(3,0)对称，所以a4=3，所以a1+a2+⋯+a7=7a4=21．故选D．14.【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合函数的对称性【解析】由题意，f(x)关于(2,0)对称，f(2)=0，当x>2时，函数f(x)单调递减，则函数f(x)<0，x<2时，函数f(x)单调递减，函数f(x)>0，由题意设x1<x2，则由题意，x1−2<0且x2−2>0,|x1−2|>|x2−2|则f(x1)>0f(x2)<0，且|f(x1)|>|f(x2)|，可将f(x1)+f(x2)小于0等价转化解之可得结果.【解答】解：定义在R上的函数f(x)，满足f(−x)=−f(x+4)，则f(x)关于(2,0)对称，令x=−2，则f(2)=−f(2)，所以f(2)=0，当x>2时，函数f(x)单调递减，所以x>2时，函数f(x)<0，当x<2时，函数f(x)单调递减，所以x<2时，函数f(x)>0，所以函数f(x)在R上单调递减，根据f(x+1)=−f(3−x)，所以f(x2+x)<f(3−x)，所以x2+x>3−x，解得x>1或x<−3.故选C．15.【答案】C【考点】函数的图象变换函数的对称性【解析】函数g(x)关于y轴对称的函数为y=x2+ln(−x+a),因为函数f(x)=x2+e x−1,x<0与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点,函数f(x)=x2+e x−1,x<0与y=x2+ln(−x+a)有交点,化为函数y=e x−1与y=ln(−x+a)在x<0时图象有交点,数形结合法求解即可.【解答】解：设(x,y)是函数g(x)关于y轴对称的图象上的点，则(−x,y)在函数g(x)的图象上，将(−x,y)代入g(x)=x2+ln(x+a)，可得y=x2+ln(−x+a)，因为函数f(x)=x2+e x−1(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，所以函数f(x)=x2+e x−1(x<0)与y=x2+ln(−x+a)有交点，即x2+e x−1=x2+ln(−x+a)，x<0有解，即e x−1=ln(−x+a)，x<0有解，作函数y=e x−1与y=ln(−x+a)在x<0时的图象，临界值在x=0处取到（虚取），此时a=1，要使函数y=e x−1与y=ln(−x+a)在x<0时有交点，则a<1.故选C.二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）16.【答案】(0, 1)【考点】函数的对称性【解析】利用方式函数的性质进行求解即可．【解答】解：f(x)=x+1x =1+1x，则函数f(x)的对称中心为(0, 1)，故答案为：(0, 1)17.【答案】10【考点】函数的周期性函数的对称性【解析】运用函数的对称性和奇偶性，确定函数y=f(x)的周期，构造函数y=f(x),ℎ(x)= |lg x|，则函数lg(x)=f(x)−|lg x|的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论．偶函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1−x)即函数M(x)关于x=对称，即有f(x+2)=f(−x)=f(x)则函数y =f (x )的周期为2，构造函数y =f (x ),ℎ(x )=lg x则函数lg (x )=f (x )−lg x 的零点问题转化为图象的交点问题，画出函数图象，如图，由于f (x )的最大值1，所以x >10时，图象没有交点，在(0,1)上有一个交点，(1,3),(3,5),(5,7),(7,9)上各有两个交点，在(9,10)上有一个交点，故共有10个交点，即函数零点的个数为10．故答案为10．【解答】此题暂无解答18.【答案】∼1.【考点】函数的对称性复合函数的单调性【解析】根据题意，由函数的奇偶性与对称性分析可得f (x +8)=f (x )，即函数f (x )是周期为8的周期函数，据此可得f (19)=f (3+2×8)=f (3)=−f (−1)=−f (1)，再由函数的解析式计算即可．【解答】根据题意，y =f (x )是定义域为R 的偶函数，则f (−x )=f (x )又由y =f (x )得图象关于点(2,0)对称，则f (−x )+f (x +4)=0所以f (x +4)=−f (x )，即函数y =f (x )是周期为8的周期函数，所以f (19)=f (3+2×8)=f (3)=−f (−1)=−f (1)又当x ∈(0,2)时，f (x )=x 2，则f (1)=1所以f (19)=−f (1)=−1故答案为：—1．19.【答案】14【考点】函数的周期性函数的对称性【解析】利用f (4−x )=f (x )，且周期为2，可得f (−x )=f (x )，得f (52)=f (−52)【解答】f (4−x )=f (x )，且周期为2，f (−x )=f (x )，又当x ∈[−3,−2]时，f (x )=(x +2)2f (52)=f (−52)=(−52+2)2=14故答案为：1420.【答案】2【考点】函数的对称性【解析】无【解答】解：因为f(x)+f(−x)=2，所以y=f(x)关于点(0,1)对称，+1也关于点(0,1)对称，y=g(x)=1x则交点关于(0,1)对称，∴y1+y2=2．故答案为：2．21.【答案】(−∞，4]【考点】函数的对称性函数的图象【解析】利用函数的图象和函数的对称性解不等式即可. 【解答】解∵ f(x)=−f(2−x)，∴ f(x)+f(2−x)=0，∴ f(x+1)+f(1−x)=0，∴ f(x)关于点(1,0)对称，∵ x≥1时，y=logx，2由对称性作出f(x)在R上的图象，令f(x)=2，则log2x=2，解得x=4，故由图像可知f(x)≤2时，x≤4，故f(x)≤2解集为(−∞，4].故答案为：(−∞，4].22.【答案】−4x 3−24x 2−28x +8【考点】函数的对称性导数的运算【解析】【解答】解：∵ 函数f (x )=(1−x 2)(x 2+ax +b )的图象关于直线x =−2对称，∴ f (−1)=f (−3)=0，且f (1)=f (−5)=0，即[1−(−3)2][(−3)2+a ⋅(−3)+b ]=0，且[1−(−5)2][(−5)2+a ⋅(−5)+b ]=0，整理得{9−3a +b =0,25−5a +b =0,解得{a =8,b =15,因此，f (x )=(1−x 2)(x 2+8x +15)=−x 4−8x 3−14x 2+8x +15，求导得f ′(x )=−4x 3−24x 2−28x +8.故答案为：−4x 3−24x 2−28x +8.23.【答案】①④【考点】奇偶性与单调性的综合函数的对称性根的存在性及根的个数判断等比数列的前n 项和【解析】此题暂无解析【解答】解：①由题得，当x >0时，f(x)在(2k −1,2k](k ∈N ∗)上单调递增，又f(x)是定义在R 上的奇函数，当k =3时，f(x)在(5,6)上单调递增，所以f(x)在(−6,−5)上单调递增，故①正确；②作出函数f(x)的图象，如图，由图知f(x)的图象与y =x 有三个不同的交点，故②错误；③[f (x )]2−(a +1)f (x )+a =0(a ∈R )，整理得[f(x)−a][f(x)−1]=0，设方程的四个跟为x1，x2，x3，x4.当f(x)=1时，有唯一解x1=2，所以f(x)=a(a≠1)有三个不相等的实数根，由图象可知，当a=±12时，方程f(x)=a有三个不相等的实数根，当a=12时，x2+x3=2×1=2，x4=4，此时x1+x2+x3+x4=8当a=−12时，x2+x3=2×(−1)=−2，，x4=−4，此时x1+x2+x3+x4=−4，故③错误；④由函数的单调性可知，f(x)在[2k−1,2k](k∈N∗)上的最大值a k=f(2k)(k∈N∗)，所以数列{a n}的通项公式为a n=12n−1，则数列{a n}的前7项和为1−1 271−12=2−126=12764，故④正确.故答案为：①④.三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）24.【答案】2【考点】函数的对称性【解析】设点(x,y)是y=f(x)的图像上任一点，则点(−y,−x)必在y=2x+1的图象上，根据对称性先求出f(x)的解析式，再代入解析式即可求出答案．【解答】解：设点(x,y)是y=f(x)的图像上任一点，则点(−y,−x)必在y=2x+1的图象上，−x=2−1++y=a−log2(−x)，即f(x)=a−log2(−x)f(−2)+f(−4)=(a−log22)+(a−log24)=a−1+a−2=2a−3=1a=225.【答案】解：∵幂函数f(x)=x3m−9(m∈N∗)在(0, +∞)上是减函数，∴3m−9<0，解得m<3，∵m∈N∗，∴m=1或m=2，∵函数的图象关于y轴对称，∴3m−9是偶数，∴m=1，∵(a+1)−m<(3−2a)−m，∴(a+1)−1<(3−2a)−1，∴a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得23<a<32．∴实数a的取值范围是(23, 32 )．【考点】函数的对称性其他不等式的解法幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质【解析】由幂函数的单调性和奇偶性结合已知条件求出m=1，从而得到(a+1)−1<(3−2a)−1，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵幂函数f(x)=x3m−9(m∈N∗)在(0, +∞)上是减函数，∴3m−9<0，解得m<3，∵m∈N∗，∴m=1或m=2，∵函数的图象关于y轴对称，∴3m−9是偶数，∴m=1，∵(a+1)−m<(3−2a)−m，∴(a+1)−1<(3−2a)−1，∴a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得23<a<32．∴实数a的取值范围是(23, 32 )．26.【答案】解：(1)∵f(x)=2x+12x，∴当2x+12x =52时，解得x=1或x=−1，∴f(x)=52的根为x=1或x=−1.(2)证明：任取x1,x2∈[0,+∞），且x1>x2，则f(x1)−f(x2)=22x1+12x1−22x2+12x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2.∵x1>x2>0，则2x1>2x2，则2x1+x2>1，∴ f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴ 证得f(x)在[0,+∞)上是增函数.(3)由题意得f(2x)−f(x)=122x +22x−2x−12x，令2x+12x=t(t≥2)，则ℎ(t)=t2−2−t，∴对称轴为t=12，∴ℎ(t)min=ℎ(2)=0，则−m≤0，∴m≥0，综上所述，m的最小值为0. 【考点】函数的求值函数单调性的判断与证明函数恒成立问题函数的对称性【解析】直接求解方程即可.利用函数单调性的定义证明即可.通过构造二次函数，结合函数最值求解即可.【解答】解：(1)∵ f (x )=2x +12x ， ∴ 当 2x +12x =52 时，解得 x =1 或x =−1，∴ f (x )=52的根为 x =1 或x =−1. (2)证明：任取x 1,x 2∈[0,+∞） ，且 x 1>x 2，则f (x 1)−f (x 2)=22x 1+12x 1−22x 2+12x 2 =(2x 1−2x 2)(2x 1+x 2−1)2x 1+x 2.∵ x 1>x 2>0，则 2x 1>2x 2 ，则 2x 1+x 2>1，∴ f (x 1)−f (x 2)>0 ，即 f (x 1)>f (x 2)，∴ 证得 f (x ) 在[0,+∞)上是增函数.(3)由题意得 f (2x )−f (x )=122x +22x −2x −12x ，令 2x +12x =t (t ≥2)，则ℎ(t )=t 2−2−t ，∴ 对称轴为 t =12 ，∴ ℎ(t )min =ℎ(2)=0，则 −m ≤0 ，∴ m ≥0，综上所述 ，m 的最小值为0.27.【答案】解：(1)∵ f(x)=f(2−x)，∴ f(x)的图象关于x =1对称，∴ a =1．(2)令2x =t ，则原不等式可化为m ≤(1−1t )2(t ≥2)恒成立，∴ m ≤(1−1t )min 2=14，∴ m 的取值范围是(−∞,14]． (3)令b =|log 2x|，则y =g(x)可化为y =b 2−(k +2)b +k +1=(b −1)(b −k −1)，由(b −1)(b −k −1)=0可得b 1=1或b 2=k +1，∵ y =g(x)有4个零点，b 1=|log 2x|有2个零点，∴ b 2=|log 2x|有2个零点，∴ b 2=k +1>0，∴ k >−1．【考点】函数的对称性函数恒成立问题函数的零点与方程根的关系【解析】(1)由题意可得对称轴为x ＝1，计算可得a 的值；(2)原不等式可化为m ≤(1−1t )2(t ≥2)恒成立，由函数的性质可得最小值，即可得到所求范围；(3)令t ＝|log 2x|，则y ＝g(x)可化为y ＝t 2−(k +2)t +k +1＝(t −1)(t −k −1)，令y ＝0，解方程，再令其根大于0，可得所求范围．【解答】解：(1)∵ f(x)=f(2−x)，∴ f(x)的图象关于x =1对称，∴ a =1．(2)令2x =t ，则原不等式可化为m ≤(1−1t )2(t ≥2)恒成立，∴ m ≤(1−1t )min 2=14，∴ m 的取值范围是(−∞,14]． (3)令b =|log 2x|，则y =g(x)可化为y =b 2−(k +2)b +k +1=(b −1)(b −k −1)，由(b −1)(b −k −1)=0可得b 1=1或b 2=k +1，∵ y =g(x)有4个零点，b 1=|log 2x|有2个零点，∴ b 2=|log 2x|有2个零点，∴ b 2=k +1>0，∴ k >−1．28.【答案】解：(1)由题知：函数f (x )为偶函数，函数g (x )为奇函数，且f (x )−g (x )=e −x ①，则f(−x)−g(−x)=e −(−x)=e x ，又由f (−x )=f (x )，g (−x )=−g (x )，故f (x )+g (x )=e x ②，则由①②式，解得f (x )=e x +e −x 2，g (x )=e x −e −x 2．(2)由f (2x )>ag (x )在(1,+∞)上恒成立，即e 2x +e −2x 2>a ⋅e x −e −x 2在(1,+∞)上恒成立，即e 2x −2⋅e x ⋅e −x +e −2x +2>a (e x −e −x )在(1,+∞)上恒成立，则(e x −e −x )2−a (e x −e −x )+2>0在(1,+∞)上恒成立.令t =e x −e −x ，易知t =e x −e −x 在x ∈(1,+∞)上单调递增，故t ∈(e −1e ,+∞)， 即t 2−at +2>0在(e −1e ,+∞)上恒成立．由at <t 2+2，即a <t +2t ，且y =t +2t 在[√2,+∞）上单调递增，e −1e >√2， 得y =t +2t 在(e −1e ,+∞)上的最小值为e 2−1e +2e e 2−1=e 4+1e (e 2−1)， 故a ≤e 4+1e (e 2−1)． (3)由H (x )=g (x+1)f (x+1)+1=e x+1−e −(x+1)e x+1+e −(x+1)+1 =2e x+1e x+1+e −(x+1).令G (x )=2e x e x +e −x ，则G (−x )=2e −x e −x +e x ，故G (x )+G (−x )=2(e x +e −x )e x +e −x =2，又由G (x +1)=H (x )，a +b =1，故H (−4+a )+H (b +1)=G (−3+a )+G (b +2)=G(−3+a)+G[(1−a)+2]=G (−3+a )+G (3−a )=2．【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法函数恒成立问题二次函数在闭区间上的最值函数的求值函数的对称性【解析】由题知：函数f (x )为偶函数，函数g (x )为奇函数，且f (x )−g (x )=e −x ①，则f(−x)−g(−x)=e −(−x)=e x ，又由f (−x )=f (x )，g (−x )=−g (x )，故f (x )+g (x )=e x ②，则由①②式，解得f (x )=e x +e −x 2，g (x )=e x −e −x 2． (2)由f (2x )>ag (x )在(1,+∞)上恒成立，即e 2x +e −2x 2>a e x −e −x 2在(1,+∞)上恒成立，即e 2x −2⋅e x ⋅e −x +e −2x +2>a (e x −e −x )在(1,+∞)上恒成立，则(e x −e −x )2−a (e x −e −x )+2>0在(1,+∞)上恒成立，令t =e x −e −x ，易知t =e x −e −x 在x ∈(1,+∞)上单调递增；解关于t 的二次函数求出a 的范围．(３)由H (x )=g (x+1)f (x+1)+1=e x+1−e −(x+1)e x+1+e −(x+1)=2e n+1e x+1+e −(x+1)，令G (x )=2e x e x +e −x ，又由G (−x )=2e −xe −x +e x ，且G (−x )+G (x )=2(e x +e −x )e x +e −x =2，故G (x +1)=H (x )，a +b =1，故H (−4+a )+H (b +1)=G (−3+a )+G (b +2)=2．【解答】解：(1)由题知：函数f (x )为偶函数，函数g (x )为奇函数，且f (x )−g (x )=e −x ①， 则f(−x)−g(−x)=e −(−x)=e x ，又由f (−x )=f (x )，g (−x )=−g (x )，故f (x )+g (x )=e x ②，则由①②式，解得f (x )=e x +e −x 2，g (x )=e x −e −x 2．(2)由f (2x )>ag (x )在(1,+∞)上恒成立，即e 2x +e −2x 2>a ⋅e x −e −x 2在(1,+∞)上恒成立，即e 2x −2⋅e x ⋅e −x +e −2x +2>a (e x −e −x )在(1,+∞)上恒成立，则(e x −e −x )2−a (e x −e −x )+2>0在(1,+∞)上恒成立.令t =e x −e −x ，易知t =e x −e −x 在x ∈(1,+∞)上单调递增，故t ∈(e −1e ,+∞)， 即t 2−at +2>0在(e −1e ,+∞)上恒成立． 由at <t 2+2，即a <t +2t ，且y =t +2t 在[√2,+∞）上单调递增，e −1e >√2， 得y =t +2t 在(e −1e ,+∞)上的最小值为e 2−1e +2e e 2−1=e 4+1e (e 2−1)， 故a ≤e 4+1e (e 2−1)． (3)由H (x )=g (x+1)f (x+1)+1=e x+1−e −(x+1)e x+1+e −(x+1)+1=2e x+1e x+1+e −(x+1).令G (x )=2e x e x +e −x ，则G (−x )=2e −x e −x +e x ，故G (x )+G (−x )=2(e x +e −x )e x +e −x =2，又由G (x +1)=H (x )，a +b =1，故H(−4+a)+H(b+1)=G(−3+a)+G(b+2) =G(−3+a)+G[(1−a)+2]=G(−3+a)+G(3−a)=2．。

1．已知定义为R 的函数()x f 满足()()4+-=-x f x f ，且函数()x f 在区间()+∞,2上单调递增.如果212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（A ）.A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负. 分析：()()4+-=-x f x f 形似周期函数()()4+=x f x f ，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用2-x 代替x ，使()()4+-=-x f x f 变形为()()22+-=-x f x f .它的特征就是推论3.因此图象关于点()0,2对称.()x f 在区间()+∞,2上单调递增，在区间()2,∞-上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.1242x x -<< ，且函数在()+∞,2上单调递增，所以()()124x f x f -<，又由()()4+-=-x f x f ，有()[]()()1111444)4(x f x f x f x f -=+-=--=-，∴()()<+21x f x f ()()114x f x f -+()()011=-=x f x f .选A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A. 2：在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( B )A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数分析：由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称，即推论1的应用.又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称，可得到()f x 为周期函数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上是减函数，可得如右()f x 草图.故选B3.定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ D ）A.0B.1C.3D.5 分析：()()0f T f T =-=，()()()()2222T T T Tf f f T f -=-=-+=， ∴()()022T Tf f -==，则n 可能为5，选D.4．已知函数()x f 的图象关于直线2=x 和4=x 都对称，且当10≤≤x 时，()x x f =.求()5.19f 的值.分析：由推论1可知，()x f 的图象关于直线2=x 对称，即()()x f x f -=+22，同样，()x f 满足()()x f x f -=+44，现由上述的定理3知()x f 是以4为周期的函数.()()5.3445.19+⨯=∴f f ()5.3f =()[]()5.05.04-=-+=f f ，同时还知()x f 是偶函数，所以()()5.05.05.0==-f f .5．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ c ） A ．0B ．1C ．25 D ．5分析：答案为B 。

三角函数的对称性专项练习奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈， 对称轴是()2x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点。

正切函数 )tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）.一 选择题1 (2016·全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B. x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C.x ＝k π2－π12(k ∈Z )D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z )2 ．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 3 .(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是 A.π8B.π4C.3π8D.5π44. (2015·四川省统考)点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则 A. f (x )的最小正周期是π B. m 的值为1C. f (x )的初相φ为π3D. f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤43π，2π上单调递增6 . (2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象A. 关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称B. 关于直线x ＝5π12对称C. 关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称 D. 关于直线x ＝π12对称7． 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么Φ的最小值为 （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2π8 ．已知函数()sin(2)3cos(2)(0)f x x x ψψψπ=+++<<是R 上的偶函数，则ψ的值为Ａ．6π Ｂ．3π Ｃ．23π Ｄ．56π9 .【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+二 填空题（1）函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是______；（2）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______（3）已知3f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。

函数的对称性及图象变换试卷1姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题（36分）1 ．下列函数中，图象与函数y =4x 的图象关于y 轴对称的是（ ）A ．y =－4xB ．y =4–xC ．y =－4–xD ．y =4x+4–x2 ．设函数1)1(log )(2=-==x x y x f y的图像关于直线的图像与对称，则)(x f y =为（ ）A ．)1(log 2x y +=B ．)1(log 2-=x yC ．)2(log 2-=x yD ．)2(log 2x y -=3 ．函数y=-e x的图象（ ）A ．与y=e x的图象关于y 轴对称.B ．与y=e x的图象关于坐标原点对称.C ．与y=e -x的图象关于y 轴对称.D ．与y=e -x的图象关于坐标原点对称.4 ．已知函数)(x f y =的图像与函数)0(2≥=x x y 的图像关于直线x y =对称,那么下列情形不可能出现的是（ ）A ．函数)(x f y =有最小值B ．函数)(x f y =过点(4,2)C ．函数)(x f y =是偶函数D ．函数)(x f y =在其定义域上是增函数5 ．已知函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ，且]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，则函数)(x f y =与x y 5log =的图象的交点个数为 （ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个6 ．函数()ln 1f x x =-的图像大致是7 ．直线3y x =绕原点逆时针旋转090,再向右平移1个单位,所得到的直线为 （ ）A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =-D ．113y x =+ 8 ．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤－1B ．－1≤m<0C ．m ≥1D ．0<m ≤19 ．函数)(x f 的图象无论经过平移还是沿直线翻折后仍不能与x y 21log=的图象重合，则)(x f 是（ ） （ ）A ．x -2B ．x 4log 2C ．)1(log 2+xD ．x 421⋅10．若)(x f 是偶函数,且当[)+∞∈,0x 时,1)(-=x x f ,则不等式0)1(<-x f 的解集是（ ）A ．{}01<<-x xB ．{}210<<<x x x 或C ．{}20<<x xD {}21.<<x x11．设偶函数y ＝f （x ）的图像关于直线x =1对称，在0≤x ≤1时f （x ）=x 2,则f(2008)=（ ）A ．0B ．1C ．2008D ．200612．函数||2x y -=的大致图像是13．已知2()-=x f x a ，()log ||=a g x x (a 0,>且a 1)≠，且f (4)g(4)0-<；则)(),(x g y x f y ==在同一坐标系内的图象大致是211Aoyx211Boyx211C ox211Dox14．设方程x xlg 2=-的两个根为21,x x ，则（ ）A ．21x x <0B ．21x x =1C ．21x x >1D ．0<21x x <115．函数12()log 1f x x =-的图像大致是xy 0 1 2 A xy1 2-1 -2Bxy1 2 xy12 -1 -2D16．已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集的补集 （ ）A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞)D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞)17．定义在R 上的函数)2,()(-∞=在x f y上是增函数，且函数)2(+=x f y 的图象的对称轴是直线x =0，则（ ）A ．)3()1(f f <-B ．)3()0(f f >C ．)3()1(f f =-D ．)3()2(f f <18．若1x 满足2x+2x=5, 2x 满足2x+22log (x-1)=5, 1x +2x =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4二、填空题（30分）19．已知下图（1）中的图像对应的函数为()y f x =，则下图（2）中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是_________.（请填上你认为正确的答案的序号）①|()|y f x = ②(||)y f x = ③(||)y f x =- ④(||)y f x =-20．已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x ＝1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a -．其中正确的序号是________．21．函数y =log 3(3-x )的图象是由y = log 3(x+3)的图象经怎样的变换而得到___________22．函数1)(+++-=a x ax x f 图象的对称中心为（3，-1）则a =__________。