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高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标课件2北师大版必修

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北师大版数学必修四课件：2.4平面向量的坐标

北师大版数学必修四课件：2.4平面向量的坐标

r r r 【例1】在直角坐标系xOy中，向， c 4，分别计算出它们的坐标.
r
r
r
【审题指导】已知三向量的模以及与坐标轴的夹角,要求向 量的坐标,先将向量正交分解,把它们分解成横、纵坐标的
形式.
r r r 【规范解答】设 a a1 ,a 2 ,b b1 ,b 2 ,c c1 ,c 2 , r 则 a1 a cos45 2 2 2. 2 r 2 a 2 a sin45 2 2, 2 r 1 3 b1 b cos120 3 （ ） ， 2 2 r 3 3 3 b 2 b sin120 3 , 2 2 r 3 c1 c cos 30 4 2 3， 2 r 1 c 2 c sin 30 4 （ ） 2. 2 r r r 3 3 3 因此 a 2，2 ， b （ ， ）， c 2 3， 2 . 2 2
r
r
得6(x+1)-3(4x-2)=0，解得x=2.
r r r r 方法二：因为 a 与 4b 2a 平行，则存在常数λ，使 b
r r r r r r 即 2 1 a 4 1 b， 根据向量共线的条 a b 4b 2a ， r r 件知，向量 a 与 b 共线，故x=2.
坐
标.
uuu r uuu r 【审题指导】A、B、 C 点的坐标已知，求解本题可先利用向 CA， CB CM 3CA， uuu r uur
种形式，求解时注意向量运算的平行四边形法则及三角形
法则在解题中的灵活应用.
【例2】已知 a 2,1 , b 3, 4 ，求 a b,a b,3a 4b
r
r
r

北师大必修四第二章：平面向量的概念

北师大必修四第二章：平面向量的概念

四.当堂训练
1.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a =b a ∥b （5）向量AB∥CD ，则A、B、C、D四点必在一直线上； 其中正确的个数是( A．0 B. 1 C. 2 ) D. 3
零向量:长度为零的向量(方向任意). 表示为： 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
, | 0 |= 0 （注意 0与0的区别）
单位向量:长度为1个单位长度的向量。
问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量。
a b A4
3. 向量间的关系：
A1
A3A2
亚里士多德
引入:老鼠由A向东北方向一每
秒6米的速度逃窜，如果猫由B 向正东方向以每秒10米速度追 赶，那么猫能否抓到老鼠吗？ 为什么？
嘻嘻!方向错了!
人生方向也一样！你 规划好了吗？
A B
唉, 哪儿去了?
在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄， 身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力， 质量等，大家一起分析一下，这些“量”有什么不同？
ABCD的形状： （1）AD = BC
D
AB ； （2） = DC 且 AB = AD
C
（1）四边形ABCD是平行四边形。
A
B
D
C
（2）四边形ABCD是菱形。
A
B
例3演变问题：判断正误
• 若平行四边形ABCD，则 AB = CD ； • 若 AB = CD ， 则ABCD是平行四边形。

高中数学 必修2(北师大)2.4.1平面向量基本定理

高中数学 必修2(北师大)2.4.1平面向量基本定理

而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得λ2＋λ＋2μμ＝ ＝22， ， 解
得λμ＝＝2323，.
∴A→P＝23A→M，B→P＝23B→N， ∴AP PM＝2，BP PN＝2. ∴AP PM＝BP PN.
方法归纳
用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量作为基． (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题． (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解． (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
4.1 平面向量基本定理
[教材要点]
要点 平面向量基本定理 1．定理：如果 e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量 e1，e2 叫作表示这一平 面内所有向量的一组____基__________，记为____{_e_1_，__e2_}____．
1－λ＝0， 则1＋λ＝0， 无解，∴e1＋e2 与 e1－e2 不共线，即 e1＋e2 与 e1－e2 能作为一组基．
方法归纳
对基的理解 (1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若 共线，则不能作基，反之，则可作基． (2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这 组基唯一线性表示出来．设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量， 若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2， y1＝y2. 提醒：一个平面的基不是唯一的，同一个向量用不同的基表示， 表达式不一样．
A.12(a－b) B．2b－a C.12(b－a) D．2b＋a 解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段 BC 的中点，从而A→D ＝21(A→B＋A→C)，则A→C＝2A→D－A→B＝2b－a.

二、平面的法向量及其应用+课件-高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

二、平面的法向量及其应用+课件-高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

5
8
是平面 α 内的三点，设平面 α 的法向量 =
2: 3: −4
x, y, z ，则 x: y: z = ___________.
>
m
<
[解析] 因为 AB = 1, −3, −
>
m
<
所以
x − 3y
>
m
<
7
− z=
4
7
7
4
0，
−2x − y − z = 0，
4
2
3
>
/m
<
4
3
>
/m
<
>
/m
<
m
<
>
/m
<
是 AB ， BA ， A1 B1 ， DC ， C1 D1 等.每一个表面的法向量也有多个,例如平面 ABB1 A1 的法
>
m
<
>
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<
>
/m
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<
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/m
<
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<
>
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<
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<
向量可以是 AD ， CB ， D1 A1 ， B1 C1 等.
>
m
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m
<
>

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4
第六页，共3式是数量积的坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 的一种特例，当 a＝b 时， 则可得|a|2＝x2＋y2；
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．

第二章平面向量在几何物理中的应用举例【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件

第二章平面向量在几何物理中的应用举例【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件

当堂检测
角度2 垂直问题
例2如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是
矩形,用向量证明:PA⊥EF.
探究一
探究二
当堂检测
证明设正方形边长为 a,由于 P 是对角线 BD 上的一点,可设
=λ(0≤λ≤1).
则 = − = -λ = -λ( + )=(1-λ)-λ.
激趣诱思
知识点拨
(3)要证 A,B,C 三点共线,只要证明存在唯一一个实数 λ≠0,使=λ,
或若=a,=b,=c,存在一个实数 t,使 c=ta+(1-t)b.
(4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线
(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a·
b=0
| || |
π
=
2
2×
=
3
2
3
3
2
.
π
因为 0<∠EAC<2 ,所以∠EAC=6 .
反思感悟 利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图
形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.这类问题
也有两种方向,一是利用向量的基求解,二是利用坐标运算.在求解
过程中,务必注意向量的方向.
探究一
因为实际速度=游速+水速,所以游速为
− = ,
在 Rt△AOB 中,由已知||=4 3,||=4,
因此 ∥ ,
又因为 , 有公共点 F,所以 A,E,F 三点共线.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟 证明A,B,C三点共线的步骤
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.
(2)说明两向量有公共点.

高中数学(第二辑)平面向量共线的坐标表示课件

高中数学(第二辑)平面向量共线的坐标表示课件
不存在 延长线上
λ＝0 与 P1 重合
外分点
外分点
始点
λ
0<λ<1
λ＝1
λ>1
P 点位置 在 P1 与中点之间 P 为 中点 在中点与 P2 之间
P 点名称
内分点
问题 2 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用 λ 及 P1，P2 点的坐标
表示 P(x，y)点的坐标． 答 ∵O→P＝O→P1＋P→1P＝O→P1＋λP→P2 ＝O→P1＋λ(O→P2－O→P)＝O→P1＋λO→P2－λO→P， ∴O→P＝O→P11＋＋λλO→P2＝1＋1 λ(x1，y1)＋1＋λ λ(x2，y2)
问题 2 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，如果 x1y2－x2y1 ＝0，那么 a∥b.请你写出证明过程． 答 ∵b≠0，∴x2，y2 不全为 0，不妨假设 x2≠0，则由 x1y2 －x2y1＝0 得 y1＝xx12y2.
∴(x1，y1)＝x1，xx12y2＝xx12(x2，y2) 令 λ＝xx12，则 a＝λb.所以 a∥b.
问题 2 设 P1、P2 的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)．点 P 是线 段 P1P2 的一个三等分点，求 P 点的坐标． 答 点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点，分两种情况：
①当P→1P＝13P→1P2时，O→P＝O→P1＋P→1P＝O→P1＋13P→1P2 ＝O→P1＋13(O→P2－O→P1)＝23O→P1＋13O→P2 ＝2x13＋x2，2y13＋y2；
1．两向量共线的坐标表示
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当 a∥b 时，有 x1y2－x2y1＝0 . (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时，有 xx12＝yy12 .即两向量的相应坐标成

北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量的坐标运算

北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量的坐标运算

( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 ),
x1 x2 , y1 y2 . 消去 得： x1 y2 x2 y1 0,
a // b x1 y2 x2 y1 0.(b 0)
例2
已知 a (2,1), b (3, 4),
a 1e1 2e2

我们把不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向 量的 一组基底。
二、新课探析
1、平面向量的坐标表示 Y
4
j
-5
2
a
0
-2
i
5
X
（2） a ( x, y) 其中x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标
北 第师 二大 章版 《高 平中 面数 向学 量必 》修 4
平面向量的坐标运算
X
一、教学目标： 1.知识与技能：（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（2）会用 坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（3）理解用坐标表示的平面向量 共线的条件. 2.过程与方法：教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平 面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题， 巩固知识结论，培养学生应用能力. 3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有 序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向 量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想； 培养学生勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练 习来检验知识的应用情况。找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程

高中数学必修4第二章第六节《平面向量数量积的坐标表示》

高中数学必修4第二章第六节《平面向量数量积的坐标表示》

2b
2
2 2 x2 y2 , 3a b x1 x2 y1 y2 , 4a b x1 x2 y1 y2 0
其中假命题序号是:
(2)
4.若a 0,1, b 1,1且 a b a, 则实数的值是
A．-1 B.0 C.1 D.2


3、 cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
4、 a // b x1y2 x2 y1 0 5、 a b x1 x2 y1 y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
学习目标：
1、理解掌握平面向量数量积的坐标表示、 向量的 夹角、模的 公式. 2、掌握两个向量垂直的坐标表示 3、能初步运用向量数量积的坐标表示 解决处理有关长度、垂直及夹角 的几 个问题.
基础训练题
1.有四个式子: 10 a 0, 20 a 0, 3a b a c b c,
a // b x1y2 x2 y1 0
a b x1 x2 y1 y2 0
例３:已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少? 解：由题意可知： -1＜ cos
a b ab
＜0
∴λ∈（—
1 ，2）∪（2，+∞） 2
例４：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（－2,5）试判 定△ABC的形状，并给出证明。
cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
例2:设a=(2,１),b=(１,３),求a· b及a 与b的夹角

第二章平面向量及其应用章末总结提升课件高一下学期数学北师大版

第二章平面向量及其应用章末总结提升课件高一下学期数学北师大版
去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积
中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系
数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方
程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运
算.
变式训练 1(1)如图所示,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,若
的侵袭.
规律方法
用向量观点解题,关键在于找到好的切入点,如果题中的速度
(既有大小,又有方向)、距离都可以用向量表达.本题可根据台风中心与城
市间的距离不超过台风侵袭的半径来建立向量不等式,再根据模长公式,求
出时间.
变式训练4一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,该船实际航行
方向与水流方向成30°角.求水流速度与船的实际速度.
和抽象思维的协调发展,沟通数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸
显最本质的特征,它是解决问题时常用的方法.在解决平面向量的实际问题
时,结合题目情景,可将问题抽象出一个几何图形(一般利用三角形、平行
四边形、矩形为主),可以直观形象地反映问题中的元素和量的关系,有助
于提升学生的直观想象的思维能力.
【例3】 已知向量a与b不共线,且|a|=|b|≠0,则下列结论一定正确的是( A)


所以 − =λ( − ),又 2 = ,
所以 =(1-λ)+λ=3(1-λ)+λμ =3(1-λ)a+λμb,由于 =
所以
3
1
3(1-λ)=4,λμ=4,解得
3
1
λ=4,μ=3.
3
1
a+4b,

高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示课件16

高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示课件16

【典例】已知A(1,-3),B (8, 1) ,且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是 ( )
2
A.(-9,1)
B.(9,-1)
C.(9,1)
D.(-9,-1)
【思路导引】设出点C的坐标,因为A,B,C三点共线,写出向量 AB,AC(或BC)， 由向量共线的条件结合选项求解.
【解题策略】 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题,其解题思路是:先利用三点构造出两 个向量,求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线,由于两向量过同一点,所以 两向量所在的直线必重合,即三点共线. (2)求解直线或线段的交点问题,常规方法为写出直线或线段对应的直线方程, 建立方程组求解,而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量,且思 路简单明快.
()
(2)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向.
()
(3)如果x1y2-x2y1=0,那么向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)共线. ( )
2.下列向量组中,不共线的向量组是 ( )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2= (1 , 3)
22
3
5.已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M为圆C上的任意一点,点N在线段MA的 延长线上,且MA＝2养达标
1.下列满足平行的一组向量是 ( ) A.a=(1,-4),b=(504,-2 016) B.a=(2,3),b=(4,-6) C.a=(1,2),b=(-1 008,2 016) D.a=(-1,4),b=(3,12) 【解析】选A.a,b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb(b≠0),经验证,只有A选项 满足条件.

必修4-2.4 平面向量的坐标

必修4-2.4 平面向量的坐标
(2) 因为QOQ 60， | OQ | 3，所以 3 3 3 3 b OQ OQ QP i 3 ， 所以a ( ， 3 ) . 2 2 2 2 y (3) 因为ROR 30， | OR | 2，所以
Q
c OR OR RP 2 3i 2 j 所以c (2 3， 2) .
b
60°
j a
45°
P x c R
O
i
30°
平面向量线性运算可以用坐标表示，那么一个向量 的坐标与其起点坐标和终点坐标有什么关系？
y
如图，已知A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，则有 AB OB OA ( x2，y2 ) ( x1，y1 ) ( x2 x1，y2 y1 ) .
解 依题意，得 AB (4， 5) (k， 12) (4 k， 7) ， BC (10，k ) (4， 5) (6，k 5) .
要使A，B，C三点共线，只需AB ， BC共线， 根据向量平行的坐标表 示，有(4 k )(k 5) 6 (7) 0 .
北师版必修4第二章 平面向量
4 平面向量的坐标
1．知识与技能 （1）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； （2）会用坐标表示平面向量的加法、减法以及数乘向量运算； （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 2．过程与方法 通过将基底特殊化，使向量的表示形式统一的学习过程，学 习研究和处理问题的方法． 3．情感、态度与价值观 体会由一般到特殊的知识建构，数形结合的运用．
b
60°
j a
45°
P x c R
O
i
30°
解 设OP a， OQ b， OR c，并设P( x1，y1 )，Q( x2，y2 )，R( x3，y3 ).

北师大版高中数学必修四课件§4平面向量的坐标

北师大版高中数学必修四课件§4平面向量的坐标
x -4-3-2-11234
-1 -2
例2在平面内以O的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴的 正向建立直角坐标系，质点在平面内做直线运动，分别求 下列位移向量的坐标.
解：设并OP设Pa（, OQx1，b,yO1R），c,Q（x2， y2），R（x3，y3）. （1）由已知可知，∠POP′=45°，||O=P2.所以
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
§4平面向量的坐标
（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示； （2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算； （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理:
存在唯一
2、什么叫平面的一组基底? 作
（1）平面的基底有多少组? （2）基底的要求是什么？
探究七平面向量的坐标运算：
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐 标的和与差.
结论3：实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标.
回顾:
结论1:一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点
的相应坐标.
从向量运算的角度
A(x1,y1) y O
B(x2,y2) x
得（0,2）-（1,0）=（-1,-2）-（x,y）
A(x1,y1) A1
1
x
结论: (1)任一平面向量都有唯一的坐标. (2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点 在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
探究六全体有序实数对于坐标平面内的所有向量是否一 一对应？
因此,在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的 直观形象.
y
即（-1，2）=（-1-x，-2-y），
B
即点D的坐标为（0，-4）.

高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.3.4 平面向量共线的坐标表示

高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.3.4 平面向量共线的坐标表示

类型二 利用向量共线求参数 【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路探索] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再由向量共线的充要条件 列方程组求k. 解 法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)， 即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3,3)． [规律方法] 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线 或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助 共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．
【活学活用3】 平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，
新知导学 平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量a，b(b≠0)共线
温馨提示：平面向量共线的坐标表示的记忆策略
互动探究 探究点1 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ 提示 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向 量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1， －2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向 量(－1,0)与(3,0)反向等． 探究点2 若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有yx11＝xy22吗？ 提示 不一定，两个向量中，若有与坐标轴(x轴)平行的向量或 零向量，则不能写成比例式.

2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件

2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件

[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自 自 自求主主 主 主∠解O解 解 解A答答 答 答B.]]]] ((((1111))))由由 由 由OOOOAAAA＝＝ ＝ ＝((((11116666,,,,11112222))))，， ， ， AAAABBBB＝＝ ＝ ＝((((－－ － －5555－－ － －11116666,,,,11115555－－ － －11112222))))＝＝ ＝ ＝((((－－ － －22221111,,,,3333))))，， ， ，得得 得 得 ||||OOOOAAAA||||＝＝ ＝ ＝ 111166662222＋＋ ＋ ＋111122222222＝＝ ＝ ＝22220000，， ， ， ||||AAAABBBB||||＝＝ ＝ ＝ －－ － －222211112222＋＋ ＋ ＋33332222＝＝ ＝ ＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222

新教材高中数学第2章平面向量及其应用3从速度的倍数到向量的数乘课件北师大版必修第二册

新教材高中数学第2章平面向量及其应用3从速度的倍数到向量的数乘课件北师大版必修第二册

[归纳提升] 向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中 去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中 也可以使用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向 量的系数．
【对点练习】❶ (1)下列各式计算正确的有
( C)
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
A→P＝tA→B表示过点 A，B 的直线 l，其中A→B称为直线 l 的方向向量． 思考 3：已知△ABC 的三个顶点 A，B，C 及平面内一点 P，且P→A＋P→B ＋P→C＝A→B，则 P 在△ABC 内部，外部，还是哪条边上？ 提示：将条件变形为P→A＋P→B＋P→C＝P→B－P→A，所以P→C＝－2P→A，所以 P 在边 AC 上．
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8
D．4 个
(2)若 a＝b＋c，化简 3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为 ( A )
A．－a
B．－4b
C．c
D．a－b
[解析] (1)①③④正确,②错,7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b. (2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b ＋c)＝a－2a＝－a.
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若 λa＝0，则 λ＝0.
(×)
(2)3a 的方向与 a 的方向相同，且 3a 的模是 a 的模的 3 倍．( √ )
(3)－2a 的方向与 3a 的方向相反，且－2a 的模是 3a 的模的23倍．
(√ )
(4)－5a 与 5a 是一对相反向量．
(3)234a－3b＋13b－146a－7b.
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=(-8,4),
1 所以 1 AC－ 1 BC 1 （－ 10,14） （ 8, 4） =(-5,7)-(-2,1)=(-3,6). 2 4 2 4
答案:(-3,6)
5.已知A(-1,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),且 AC ＝2BD ，则x+y
2.4 平面向量的坐标
【知识提炼】 1.平面向量的坐标表示 a=(x,y) (1)向量a的坐标：________. (2)全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是 一一对应 的. _________
2.平面向量线性运算的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 类别 坐标运算 语言表述 向量和与差的坐标分别等于 和与差 各向量相应坐标的________
) D.(4,3)
【解析】选B.向量的减法是横坐标的差作为横坐标,纵坐标的差作为 纵坐标.故b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).
1 1 4.已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则 AC－ BC 的坐标 2 4
是_ห้องสมุดไป่ตู้______.
=(-8,10)-(0,6) 【解析】因为AC =(-8,10)-(2,-4)=(-10,14), BC
向量的加法坐标 表示
向量的减法坐标 表示 实数与向量积的 坐标表示
a + b= (x1+x2,y1+y2) ____________
a - b= (x1-x2,y1-y2) ____________
实数与向量积的坐标分别等 (λ x1,λ y1) 于实数与向量的相应坐标的 λ a=___________ 乘积 _____
一个向量的坐标 其终点的相 等于__________
3.向量平行的坐标表示 (1)公式：设a,b是非零向量，且a=(x1,y1),b=(x2,y2), x1y2-x2y1=0 a∥b⇔__________. 若y1≠0且y2≠0，则上式可表示为a∥b ⇔ (2)文字语言： 定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的 成比例 坐标_______.



【知识探究】 知识点1 向量的坐标及其线性运算
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:点的坐标与向量坐标有区别吗?
问题2:相等向量的坐标相同吗?相等向量的起点、终点一定相同吗?
【总结提升】 1.对平面向量坐标表示的三点说明 (1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关,而与它们的具体位置 无关. (2)向量确定后,向量的坐标就被确定了. (3)引入向量的坐标表示以后,向量就有两种表示方法:一种是几何法, 即用向量的长度和方向表示;另一种是坐标法,即用一对有序实数表示. 有了向量的坐标表示,就可以将几何问题转化为代数问题来解决 .
2.点的坐标与向量坐标的区别与联系 (1)区别 ①表示形式不同,向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中 间没有等号. ②意义不同,点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位 置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向,另外 (x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量 a=(x,y).
2.已知A(1,3),B(2,1),则 BA 的坐标是
(
)
A.(-1,2)
B.(2,-1)
C.(1,-2)
D.(-2,1)

【解析】选A.向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标 ,故 BA =(1,3) -(2,1)=(-1,2).
3.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a= ( A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0)
类别
坐标运算 设A(x1,y1)，
语言表述
有向线段的坐标 表示
B(x2,y2), 则 AB OB OA 应坐标减去起点 _______________ (x2,y2) (x1,y1) =_______-_______ 的相应坐标 ___________ (x2-x1,y2-y1) =____________
=________. 【解析】因为AC =(-2,0)-(-1,-2)=(-1,2), BD =(x,y)-(2,3)= (x-2,y-3), 又 2BD ＝AC ， 即(2x-4,2y-6)=(-1,2),
3 2x － 4 ＝－ 1 ， 11 x＝ ， 所以 解得 2 故x＋y＝ . 2 2y－6＝2， y ＝ 4 ， 11 答案: 2
(2)联系 当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 3.向量的三种运算体系 (1)图形表示下的几何运算:此运算体系下要注意三角形法则、平行四 边形法则的应用.
(2)字母表示下的几何运算:此运算体系下一方面要注意运算律的应用 , 另一方面要注意 OA ＋AB OB ， OA －OB BA 等运算法则的应用. (3)坐标表示下的代数运算:此运算体系下要牢记公式,且细心运算.若 已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行坐标运 算.
x1 x 2 . y1 y 2
成比例 ，则它们平行. 定理2：若两个向量相对应的坐标_______
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)如果向量的坐标已知,能确定向量的位置吗? 提示:不能.向量的坐标只能确定其方向及模长 ,平面向量不受位置约 束. (2)对于平行向量,如何根据其坐标判断两个向量同向还是反向? 提示:由(x1,y1)=λ (x2,y2),当λ >0时,两向量同向;当λ <0时,两向量 反向.

知识点2
向量平行的坐标表示
观察如图所示内容,回答下列问题:
x1 y1 问题1:两向量平行的条件 x 2 y2
与x1y2-x2y1=0有何区别?
问题2:向量平行的坐标表示有何作用?