第四章 功和能

Wab = −(E pb−E pa)
p
a 讨论: 讨论 当质点在保守力的作用下 b q 沿闭合路径apbqa绕行一周时 ， 沿闭合路径 绕行一周时 v v v v v v v v v v ∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅dr = − ∫ F ⋅ d r ∫ F⋅ dr + ∫ F⋅ dr = 0
apb
dv mg cos α = ma τ = m L (1 ) dt 2
θ
α
α 乘方程（ ）的两边： 用 dS 乘方程（1）的两边： 解2：用动能定理 ： dS b g cos α ⋅ dS = dv 1 1 2 dt A = mv − mv 2
θ ∫0 g cos α ⋅ Ldα
v − mg sin α + T = ma n = m L ( 2 ) L
第一篇 力学
第 4章 功和能
第1节 功 功率 节 Work & Power 1. 功 ——力的空间积累效应 ——力的空间积累效应 r r 对质点所做的功为: 相应于元位移 dr , 力 F对质点所做的功为 r r 元功 dW = F ⋅ dr ——元功 r 总功: 总功 力 F 将质点由 a 移动到 b， b， b t+dt r
=
vb ∫0
vdv
合外力的功） ab ( 合外力的功）
2
b
2
a
v b = 2gL sin θ
代入(2)得 代入 得 T = 3mg sin θ
1 2 mgL sin θ = mv b 2
v b = 2gL sin θ
的球体， 例 地球可看作是半径 R= 6400 km 的球体，一颗人造地 的圆形轨道上， 球卫星在地面上空 h=800km 的圆形轨道上，以v1=7.5 km/s的速度绕地球运动。 的速度绕地球运动。 的速度绕地球运动 火箭， 突然点燃 一 火箭，其冲力使卫星附加一个 向外的径向分 使卫星的轨道变成椭圆形。 速度 v2=0.2 km/s使卫星的轨道变成椭圆形。 使卫星的轨道变成椭圆形 求此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高？ 求此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高？
−(EPb - EPa )
故 W +W 外 非保守内力 = ∆E
W外 +W = ∆Ek 内
机械能！ 机械能！
W +W 外 非保守内力 = ( Ek +Ep )b− ( Ek +Ep )a
功能原理：质点系机械能的增量等于外力的功 功能原理： 和非保守内力的功的总和。 和非保守内力的功的总和。
3. 机械能守恒定律 根据功能原理 若 则 即
Wab = ∫
= −(0 − Epa ) = Epa
br r F ⋅ dr = −(Epb − Epa ) a
设：Epb =0
原则上, 势能零点可任选。 原则上 势能零点可任选。 势能的大小只有相对的意义。 势能的大小只有相对的意义。 势能差有绝对意义， 势能差有绝对意义， （3）势能是属于物体系统的,不为单个物体所有。 ）势能是属于物体系统的,不为单个物体所有。
Wab = ∫
功是标量， 功是标量， 但有正负。 但有正负。
=∫
=∫
r b F ⋅ dr a r b F dr cosα a
b FcosαdS a
t
r drr α r′rrar Fo
一人从H＝ 深的水井中提水,开始时 例. 一人从 ＝10m深的水井中提水 开始时 桶中 深的水井中提水 开始时,桶中 装有M＝10kg的水 忽略桶的质量).由于水桶 装有 ＝ 的水(忽略桶的质量 由于水桶 的水 忽略桶的质量 漏水, 每升高1m要漏出 要漏出0.2kg的水 求将水桶匀 的水,求将水桶匀 漏水 每升高 要漏出 的水 速地从井中提到井口的过程中,人所做的功 速地从井中提到井口的过程中 人所做的功 。 解: 因水匀速上升 y v
r v
r v1
R
r v2
r r
解： 卫星所受万有引力、 火箭反冲力均通过力心， 火箭反冲力均通过力心，
h
故卫星在火箭点燃前 或后对地心的角动量 始终不变，是守恒的。 始终不变，是守恒的。
?
?
r v
r v1
r v2
根据角动量守恒定律： 根据角动量守恒定律：
r, r
r r
R
r r r r r r × m(v1 + v2 ) = r′ × mv′ r r r r r r Qr // v2 r ⊥ v1 r′ ⊥ v′
2. 保守力
W 力 = −(mgyb − mgya ) 重
2 2 W 力 = −( 1 kxb − 1 kxa ) 弹 2 2 m m W 力 = −[(− GM ) − (− GM )] 引 r r b a
做功的大小只与 始末位置有关， 始末位置有关， 而与路径无关。 而与路径无关。 路径无关
那非保守力？ 那非保守力？
∑Wi外 + ∑Wi内 = ∑∆Eki
i i i
W +W = ∆Ek 外 内
质点系的动能定理： 质点系的动能定理：外力的总功与内力的总功 之代数和等于质点系动能的增量。 之代数和等于质点系动能的增量。
2. 功能原理
W = W 守内力 +W 保守内力 内 保 非 ∴W外+ (W保守内力 +W非保守内力) = Ekb − Eka
重力的功: 力的功 60o Wg = ∫ 0 −mgsinθ ⋅Rdθ
= mgR∫ 0 d(cosθ )
60o
B
R
O
60o
= −mgR/ 2
摩擦力的功 摩擦力的功: 力的功
θ
R
A
Wf = ∫
S − f dS 0
60o µmgcosθ ⋅ Rdθ 0
= −∫
路面支持力 N的功为零。 的功为零。 的功为零
3 =− mgRµ 2
做功的快慢 2. 功率 ——做功的快慢
v v dr v v 瞬时功率(功率) P 瞬时功率(功率)： = lim ∆W = dW= F ⋅ = F⋅v dt dt ∆t →0 ∆t
速度大小为v 的风作用于面积为S=25m2 例. 速度大小为 0=20m/s的风作用于面积为 的风作用于面积为 的船帆上, 其中a为 的船帆上 作用力 F = aSρ(v0 − v)2/ 2 , 其中 为 无量纲常数, 为空气密度 为船速 为空气密度， 为船速。 无量纲常数 ρ为空气密度，v为船速。 求风的功率最大时的条件。 求风的功率最大时的条件。 r r 解: P = F ⋅ v = Fv= aSρ(v0 − v)2 v / 2 令 dP = 0 即 d [aSρ (v0 − v)2v /2] = 0 dv dv v0 最大。 最大 ∴(v − v0 )(3v - v0 ) = 0 则 v = 3 时, P最大。
y = 0, Ep = 0
x = 0, Ep = 0
r → ∞, Ep = 0
4. 势能与保守力的关系 dW = −dEP ( x, y, z)
∂EP ∂EP ∂EP dx + dy + dz) ∴dW = −( ∂x ∂y ∂z r r 又dW = F ⋅ dr = Fxdx + Fydy + F dz z
r r M = 0 → L= 恒量
(2)非惯性系 (2)非惯性系 惯性力
r r r M=r×F
角动量守恒
注意： 质点系 合外力(矩 注意： (1)质点系 合外力 矩)
i
v v v v v M = ∑ri ×F ≠ r × F i
冲量——力的空间积累效应 力的空间积累效应 冲量 功 ——力的空间积累效应 ——力的空间积累效应 r b r W = ∫a F ⋅ dr ab
W外 + W非保守内力 = ∆E
W外 + W =0 非保守内力
∆E=0
E= Ek +Ep＝恒量
当一个系统内只有保守内力做功， 当一个系统内只有保守内力做功，非保守 内力和一切外力都不做功 都不做功， 内力和一切外力都不做功，或者非保守内力和 一切外力的总功为零时， 一切外力的总功为零时，质点系的总机械能保 持恒定 。 —— 质点系的机械能守恒定律
W 平均功率： 平均功率： P = ∆
r r dW = F ⋅ dr
∆t
r r r 复习：L=r ×P
r r r t2 r 动量定理 Fdt = dP ∫t1 Fdt = ∆P r r r t2 r 角动量定理 Mdt = dL ∫t1 Mdt = ∆L r r F = 0 → P = 恒量 动量守恒
势能曲线:由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线 势能曲线 由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线. 由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线
E p = mgy
Ep
Ep
1 = kx 2
2
m'm E p = −G r
Ep
O
Ep
x
O
y
O
x
弹性势能曲线 弹性势能曲线 引力势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线 重力势能曲线
(瞬时)功率： 瞬时)功率：
r r ∆W = dW = F v P = lim dt ∆t →0 ∆t
第2节 节 保守力 势能 Conservative Force & Potential Energy 1. 几种力的功 重力的功: 重力的功:
弹力的功: 弹力的功:
万有引力的功: 万有引力的功:
F = mg = (M − ky)g v v H W = ∫ F ⋅ dr = ∫0 Fdy
v v
F
y
=∫
=∫
H (M − ky)gdy 0 10 (10 − 0.2 y) × 9.8dy 0
= 882J
r −mgj O