2019-2020年高三滚动测试(一)数学试题

阶段滚动检测(一)检测范围：第一单元至第四单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U 是实数集R ，Venn 图表示集合M ＝{x |x >2}与N ＝{x |1<x <3}的关系，那么阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >3}D ．{x |x ≤1}解析：选D 由Venn 图可知，阴影部分表示(∁U M )∩(∁U N )，因为M ＝{x |x >2}，N ＝{x |1<x <3}，所以∁U M ＝{x |x ≤2}，∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，则阴影部分表示的集合为(∁U M )∩(∁U N )＝{x |x ≤1}．2．函数f (x )＝x lg(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(0,2]D ．[0,2)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2－x >0，解得0≤x <2.3．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪ 14≤⎝⎛⎭⎫12m ≤4，m ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x －1≥1，则M ∩N ＝( ) A ．∅B ．{2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：选B 由题意知，M ＝{m |－2≤m ≤2，m ∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，N ＝{x |1<x ≤3}，故M ∩N ＝{2}．4．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－lg |x |D ．y ＝－2x解析：选C y ＝x 2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，排除A ；y ＝x ＋1，y ＝－2x为非奇非偶函数，故排除B 、D ，只有选项C 符合．5．设m ∈R 且m ≠0，“不等式m ＋4m >4”成立的一个充分不必要条件是( )A ．m >0B ．m >1C ．m >2D ．m ≥2解析：选C 当m >0时，m ＋4m ≥4，当且仅当m ＝2时，等号成立，所以m >0且m ≠2是“不等式m ＋4m >4”成立的充要条件，因此，“不等式m ＋4m >4”成立的一个充分不必要条件是m >2，故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，而－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，而－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.7．(2018·重庆一测)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析：选C 依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点是点(－y 0，－x 0))，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C.8．函数y ＝x 3x 2－1的图象大致是( )解析：选A 由x 2－1≠0，得x ≠±1，当x >1时，y ＝x 3x 2－1>0，排除D ；当x <－1时，y ＝x 3x 2－1<0，排除C ；当0<x <1时，y ＝x 3x 2－1<0，排除B ，故选A.9．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 设g (x )＝e x f (x )－e x ＋1，因为f (x )>1－f ′(x )，所以g ′(x )＝e x (f (x )＋f ′(x )－1)>0，所以函数g (x )是R 上的增函数，又因为f (0)＝0，g (0)＝e 0f (0)－e 0＋1＝0，所以不等式e x f (x )>e x －1的解集为(0，＋∞)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34解析：选C 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0＜a ＜1. 又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎨⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥1，3－4a 2≥0⇒13≤a ≤34.如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象． 由图象可知，在[0，＋∞)上|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a ＞2，即a ＞23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x ＜0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x ＜0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.11．已知奇函数f (x )是定义在R 上的连续函数，满足f (2)＝53，且f (x )在(0，＋∞)上的导函数f ′(x )<x 2，则不等式f (x )>x 3－33的解集为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，2) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B 令g (x )＝f (x )－x 3－33，因为奇函数f (x )是定义在R 上的连续函数，所以函数g (x )是定义在R 上的连续函数，则g ′(x )＝f ′(x )－x 2<0，所以函数g (x )＝f (x )－x 3－33在R 上是减函数，又g (2)＝f (2)－23－33＝0，所以不等式f (x )>x 3－33的解集为(－∞，2)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数g (x )＝f (f (x ))－12的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，所以g (x )＝f (f (x ))－12＝0等价于f (x )＋1＝12或log 2f (x )＝12，则f (x )＝－12或f (x )＝2，当f (x )＝－12时，x ＝－32或x ＝22；当f (x )＝2时，x ＝22，故函数g (x )＝f (f (x ))－12的零点个数是3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知a ＝log 2.10.6，b ＝2.10.6，c ＝log 0.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：由指数函数与对数函数的性质可知，a ＝log 2.10.6<0，b ＝2.10.6>1，c ＝log 0.50.6∈(0,1)，所以b >c >a .答案：b >c >a14．函数y ＝log 12(－x 2＋4x －3)的单调增区间为________．解析：设t ＝－x 2＋4x －3，则函数可化为y ＝log 12t 是减函数．由－x 2＋4x －3>0，得1<x <3.因为函数t ＝－x 2＋4x －3在(2,3)上是减函数，所以由复合函数的单调性可得函数y ＝log 12(－x 2＋4x －3)的单调增区间为(2,3)．答案：(2,3)15．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. 答案：(－1,2)16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f (x ＋1)＝f (x －1)，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)可知函数f (x )是周期为2的周期函数，又因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0<x <1时，f (x )＝4x ，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2，令x ＝0，则f (x ＋1)＝f (x －1)可化为f (1)＝f (－1)＝－f (1)，所以f (1)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，C ⊆B ，求实数m 的取值范围． 解：(1)要使函数f (x )有意义，则x 2－x －2>0， 解得x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}． 要使函数g (x )有意义，则3－|x |≥0， 解得－3≤x ≤3，即B ＝{x |－3≤x ≤3}． 故A ∩B ＝{x |－3≤x <－1或2<x ≤3}． (2)若C ＝∅，则m ≤－2，C ⊆B 恒成立；若C ≠∅，则m >－2，要使C ⊆B 成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧m >－2，m －1≥－3，2m ＋1≤3，解得－2<m ≤1.综上，m ≤1，即实数m 的取值范围为(－∞，1]． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值； (2)当a <0时，求函数f (x )的单调增区间．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝2时，f (x )＝1x ＋4x ，则f ′(x )＝－1x 2＋4.令f ′(x )＝－1x 2＋4＝0，得x ＝12或x ＝－12(舍去)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝4，无极大值． (2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1a .当－2<a <0时，由f ′(x )>0，得12<x <－1a ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12，－1a 上单调递增； 当a ＝－2时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )无单调递增区间；当a <－2时，由f ′(x )>0，得－1a <x <12，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，12上单调递增． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 图象上的点P (1，－2)处的切线方程为y ＝－3x ＋1.(1)若函数f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式；(2)若函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .因为函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－3， 所以f ′(1)＝－3＋2a ＋b ＝－3， 即2a ＋b ＝0.①又f (1)＝－1＋a ＋b ＋c ＝－2， 即a ＋b ＋c ＝－1.②因为函数f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝－12－4a ＋b ＝0，即4a －b ＝－12.③ 由①②③解得a ＝－2，b ＝4，c ＝－3， 所以f (x )＝－x 3－2x 2＋4x －3.(2)由(1)知a ＝－b2，所以f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b ，因为函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，所以f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b 在区间[－2,0]上的值恒大于等于零，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－2)＝－12＋2b ＋b ≥0，f ′(0)＝b ≥0，解得b ≥4，所以实数b 的取值范围为[4，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知函数g (x )＝a ln x ＋12x 2＋(1－b )x .(1)若g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为8x －2y －3＝0，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，试比较－4与g (x 1)＋g (x 2)的大小． 解：(1)由题意可得，g ′(x )＝ax ＋x ＋(1－b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝52，g ′(1)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－b ＝52，a ＋1＋1－b ＝4，解得a ＝1，b ＝－1. (2)∵b ＝a ＋1，∴g (x )＝a ln x ＋12x 2－ax ，则g ′(x )＝ax ＋x －a ＝x 2－ax ＋a x. 根据题意可得x 2－ax ＋a ＝0在(0，＋∞)上有两个不同的根x 1，x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧a2>0，a 2－4a >0，a >0，解得a >4，且x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝a .∴g (x 1)＋g (x 2)＝a ln(x 1x 2)＋12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＝a ln a －12a 2－a . 令f (x )＝x ln x －12x 2－x (x >4)，则f ′(x )＝ln x ＋1－x －1＝ln x －x .令h (x )＝ln x －x ，则当x >4时，h ′(x )＝1x －1<0， ∴h (x )在(4，＋∞)上为减函数， 即h (x )<h (4)＝ln 4－4<0，f ′(x )<0， ∴f (x )在(4，＋∞)上为减函数， 即f (x )<f (4)＝8ln 2－12， ∴g (x 1)＋g (x 2)<8ln 2－12.又∵8ln 2－12－(－4)＝8ln 2－8＝8(ln 2－1)<0， ∴8ln 2－12<－4， ∴g (x 1)＋g (x 2)<－4.21．(本小题满分12分)(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝13x 3－12(a ＋2)x 2＋x (a ∈R)．(1)当a ＝0时，记f (x )图象上动点P 处的切线斜率为k ，求k 的最小值；(2)设函数g (x )＝e －e xx (e 为自然对数的底数)，若对于∀x ＞0，f ′(x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－(a ＋2)x ＋1.设P (x ，y )，由于a ＝0，∴k ＝x 2－2x ＋1≥0，即k min ＝0.(2)由g (x )＝e －e xx ，得g ′(x )＝e x (1－x )x 2，易知g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，由条件知f ′(1)≥g (1)，可得a ≤0.当a≤0时，f′(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－1)2－ax≥(x－1)2≥0.∴f′(x)≥g(x)对∀x∈(0，＋∞)成立．综上，实数a的取值范围为(－∞，0]．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2e x＋2ax－a2，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x≥0时，f(x)≥x2－3恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝2e x＋2a，①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增．②当a<0时，由f′(x)>0，得x>ln(－a)；由f′(x)<0，得x<ln(－a)，∴函数f(x)在(－∞，ln(－a))上单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上单调递增．综合①②知，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(ln(－a)，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln(－a))．(2)令g(x)＝f(x)－x2＋3＝2e x－(x－a)2＋3，x≥0，则g′(x)＝2(e x－x＋a)．又令h(x)＝2(e x－x＋a)，则h′(x)＝2(e x－1)≥0，∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝2(a＋1)．①当a≥－1时，h(x)≥0，即g′(x)≥0恒成立，∴函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而需满足g(0)＝5－a2≥0，解得－5≤a≤5，又a≥－1，∴－1≤a≤5；②当a<－1时，则∃x0>0，使h(x0)＝0，且x∈(0，x0)时，h(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0，x0)上单调递减，x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(x0，＋∞)上单调递增．∴g(x)min＝g(x0)＝2e x0－(x0－a)2＋3≥0，又h(x0)＝2(e x0－x0＋a)＝0，从而2e x0－(e x0)2＋3≥0，解得0<x0≤ln 3，又由h (x 0)＝0，得a ＝x 0－e x 0. 令M (x )＝x －e x,0<x ≤ln 3，则M ′(x )＝1－e x <0，∴M (x )在(0，ln 3]上单调递减， ∴M (x )≥M (ln 3)＝ln 3－3，又M (x )<M (0)＝－1， 故ln 3－3≤a <－1，综上，实数a 的取值范围为[]ln 3－3，5.阶段滚动检测(二)检测范围：第一单元至第八单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－11x －12<0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{2,8} C ．{4,10}D ．{2,4,8,10}解析：选B A ＝{x |－1<x <12}，B ＝{x |x ＝6n ＋2，n ∈Z}，则A ∩B ＝{2,8}． 2．下列说法正确的是( )A ．a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p 且q 为真命题”是“p 或q 为真命题”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”D ．若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋c os x ≤2”，则綈p 是真命题解析：选A 若1a <1，则a >1或a <0，所以“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件，故A 正确．3．(2018·广州模拟)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．c <b <aD ．c <a <b解析：选D 1＝log 33<a ＝log 37<log 39＝2，b ＝21.1>21＝2，c ＝0.83.1<0.80＝1，所以c <a <b . 4．已知曲线f (x )＝ax 2x ＋1在点(1，f (1))处切线的斜率为1，则实数a 的值为( )A.32B ．－32C ．－34D.43解析：选D f ′(x )＝ax 2＋2ax(x ＋1)2，由题意可得f ′(1)＝a ＋2a 4＝1，则a ＝43.5．若cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值为( ) A .78 B ．－78C .716D ．－716解析：选A 因为sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝78. 6．(2018·重庆模拟)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A ．e-12B ．2e-12C ．e 12D ．2e 12解析：选B 依题意，设直线y ＝a x 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12，选B .7．函数f(x)＝xx 2＋a的图象可能是( )A ．①③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④解析：选C 因为f(－x )＝－xx 2＋a ＝－f(x)，所以函数f(x)＝xx 2＋a 是奇函数，图象关于原点对称，若a ＝0，则f(x)＝1x ，④符合题意；若a >0，且x>0时，f(x)＝1x ＋a x ≤12a，故－12a ≤f(x)≤12a，②符合题意；当a <0时，取a ＝－1，f(x)＝xx 2－1是奇函数且定义域为{x|x ≠±1}，故③符合题意，故选C .8．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n ＋3，且∀n ∈N *，a n ＋2n 2≥0，则a 3的取值范围是( )A ．[－2,15]B ．[－18,7]C ．[－18,19]D ．[2,19]解析：选D 因为a n ＋2n 2≥0，所以a 1≥－2，a 2≥－8，由a n ＋1＋a n ＝4n ＋3，得a 1＋a 2＝7，a 2＋a 3＝11，所以a 3＝a 1＋4≥－2＋4＝2，a 2＝11－a 3≥－8，即a 3≤19，综上可得，a 3的取值范围为[2,19]．9．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎡⎦⎤15，5D.⎝⎛⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：选C ∵f (x )＝(e x －e －x )x ， ∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.10．若函数y ＝k sin(kx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2与函数y ＝kx －k 2＋6的部分图象如图所示，则函数f (x )＝sin(kx －φ)＋c os(kx －φ)图象的一条对称轴的方程可以为( )A ．x ＝－π24B ．x ＝37π24C ．x ＝17π24D ．x ＝－13π24解析：选B 由图象可知－k 2＋6＝k (k >0)，则k ＝2，又2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0，|φ|<π2，则φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋c os ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12，令2x ＋5π12＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π24＋k π2，k ∈Z ，令k ＝3，得x ＝37π24，故选B. 11．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法一定正确的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 017<0 B ．若a 4>0，则a 2 018<0 C ．若a 3>0，则S 2 017>0 D ．若a 4>0，则S 2 018>0解析：选C 设首项为a 1，公比为q ，若a 3＝a 1q 2>0，则a 1>0，所以a 2 017＝a 1q 2 016>0，S 2 017＝a 1(1－q 2 017)1－q>0，若a 4＝a 1q 3>0，则a 2 018＝a 1q 2 017＝a 4q 2 014>0. S 2 018＝a 1(1－q 2 018)1－q ＝a 4(1－q 2 018)(1－q )q 3，因为q 值不确定，所以S 2 018的值不一定大于0，如q ＝－1时，S 2 018＝0，故选C. 12．已知函数g (x )＝a －x 21e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2－2] B.⎣⎡⎦⎤1，1e 2＋2 C.⎣⎡⎦⎤1e 2＋2，e 2－2 D ．[e 2－2，＋∞)解析：选A 令f (x )＝h (x )＋g (x )＝2ln x ＋a －x 2，因为函数g (x )＝a －x 2⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，所以函数f (x )有零点，f ′(x )＝2x －2x ＝2－2x 2x ，当1e ≤x <1时，f ′(x )>0；当1<x ≤e 时，f ′(x )<0，又f (e )－f ⎝⎛⎭⎫1e ＝2－e 2＋2＋1e 2<0，即f (e )<f ⎝⎛⎭⎫1e ，所以f (e )≤0且f (1)≥0，解得1≤a ≤e 2－2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．向量AB ―→，AC ―→的夹角为60°，且AB ―→·AC ―→＝2，点D 是线段BC 的中点，则|AD ―→|的最小值为________．解析：由题意可得AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，因为AB ―→·AC ―→＝2，所以|AB ―→|·|AC ―→|＝4， 所以|AD ―→|＝12AB ―→2＋2AB ―→·AC ―→＋AC ―→2＝12|AB ―→|2＋4＋|AC ―→|2≥124＋2|AB ―→|·|AC ―→|＝3，当且仅当|AB ―→|＝|AC ―→|＝2时，等号成立，故|AD ―→|的最小值为 3. 答案： 314．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数f (x )的单调递增区间为________________．解析：因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，且f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝3π，所以ω＝23，由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，则函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z 15．数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为________．解析：因为a 1＝1且a n ＋1－a n ＝n ＋1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 答案：201116．已知函数f (x )＝e 2x ，g (x )＝ln x ＋12，对∀a ∈R ，∃b ∈(0，＋∞)，使得f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为________．解析：因为f (x )＝e 2x，g (x )＝ln x ＋12，所以f －1(x )＝12ln x ，g －1(x )＝e 1-2x ，令h (x )＝g －1(x )－f －1(x )＝e1-2x －12ln x ，则b －a 的最小值即为h (x )的最小值，h ′(x )＝e 1-2x －12x，令h ′(x )＝ex －12－12x ＝0，得x ＝12，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )>0，故当x ＝12时，h (x )取得最小值1＋ln 22. 答案：1＋ln 22三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2c os 2x ＋23sin x ·c os x ＋a ，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为2.(1)求a 的值，并求f (x )的单调区间；(2)先将函数y ＝f (x )的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得到的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上所有根之和．解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 所以f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝2， 解得a ＝2.由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ， 同理可得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z. (2)由题意，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＋3， 当g (x )＝4时，sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝12， 所以4x －π6＝2k π＋π6或4x －π6＝2k π＋5π6，k ∈Z.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以解得x 1＝π12，x 2＝π4， 所以g (x )＝4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上所有根之和为x 1＋x 2＝π3. 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝n 2a n －n 2(n －1)，且a 1＝12. (1)令b n ＝n ＋1n S n，证明：b n －b n －1＝n (n ≥2)； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为S n ＝n 2(S n －S n －1)－n 2(n －1)， 所以nn －1S n －1＝n ＋1n S n －n ，即b n －b n －1＝n (n ≥2)．(2)由已知及(1)得，b 1＝1，b n －b n －1＝n ，b n －1－b n －2＝n －1，…，b 2－b 1＝2， 累加得b n ＝n 2＋n2，∴S n ＝n 22，a n ＝S n －S n －1＝2n －12(n ≥2)，经检验a 1＝12符合a n ＝2n －12，∴a n ＝2n －12.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，且3cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋A ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋2sin 2A . (1)求角B 的值；(2)若b ＝23，求三角形ABC 的周长l 的最大值．解：(1)因为3cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋A ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋2sin 2A ＝2⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ⎝⎛⎭⎫32cos A －12sin A ＋2sin 2A ＝32c os 2A ＋32sin 2A ＝32，所以c os B ＝12，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝23sinπ3＝4，所以a ＝4sin A ，c ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ，因此三角形ABC 的周长l ＝4sin A ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＋23＝43sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋2 3. 因为0<A <2π3，所以当A ＝π3时，l m a x ＝6 3.20．(本小题满分12分)(2018·兰州诊断)设函数f (x )＝1x ＋2ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)如果对所有的x ≥1，都有f (x )≤ax ，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1x 2，所以当0<x <12时，f ′(x )<0，当x >12时，f ′(x )>0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增． (2)当x ≥1时，f (x )≤ax ⇔a ≥2ln x x ＋1x2， 令h (x )＝2ln x x ＋1x2(x ≥1)，则h ′(x )＝2－2ln x x 2－2x 3＝2(x －x ln x －1)x 3，令m (x )＝x －x ln x －1(x ≥1)，则m ′(x )＝－ln x ，当x ≥1时，m ′(x )≤0，所以m (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以m (x )≤m (1)＝0，因此h ′(x )≤0，于是h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 所以当x ＝1时，h (x )有最大值h (1)＝1，故a ≥1， 即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＝3，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)(n ≥2，n ∈N *)，又b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n ＝a n ，对任意n ∈N *都成立．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解：(1)∵当n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋2＋S n ＝2(S n ＋1＋1)， 两式相减得：a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时， 数列{a n }是公差为2的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －2)＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，∴a n ＝2n －1. ∵b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n ＝a n ， ∴b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＝a n －1，两式相减得2n －1b n ＝a n －a n －1＝2，∴b n ＝22－n (n ≥2)．∵b 1＝1不满足b n ＝22－n，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，22－n ，n ≥2.(2)设c n ＝a n ·b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，(2n －1)·22－n，n ≥2，则T n ＝1＋3＋5×2－1＋7×2－2＋…＋(2n －1)×22－n ， 12T n ＝12＋3×2－1＋5×2－2＋7×2－3＋…＋(2n －1)×21－n ， 两式相减得12T n ＝72＋2×(2－1＋2－2＋2－3＋…＋22－n )－(2n －1)×21－n ＝72＋2×2－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －21－12－(2n －1)×21－n ＝112－(2n ＋3)×21－n ，∴T n ＝11－(2n ＋3)×22－n .22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[1，e]上的最小值和最大值；(2)是否存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a 恒成立．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－2ln x －x .则f ′(x )＝x －2x －1＝(x ＋1)(x －2)x ，x ∈[1，e]， ∴当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，e)时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(1,2)上单调递减，在(2，e)上单调递增．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，其最小值为f (2)＝－2ln 2. 又f (1)＝－12，f (e)＝e 22－e －2.f (e)－f (1)＝e 22－e －2＋12＝e 2－2e －32<0，∴f (e)<f (1)， ∴f (x )max ＝f (1)＝－12.(2)假设存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a 恒成立，不妨设0<x 1<x 2，若f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a ，则f (x 2)－ax 2>f (x 1)－ax 1.设g (x )＝f (x )－ax ＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x －ax ＝12x 2－2a ln x －2x .要满足题意，只需g (x )在(0，＋∞)为增函数即可， ∵g ′(x )＝x －2ax －2＝x 2－2x －2a x ＝(x －1)2－1－2a x.要使g ′(x )≥0在(0，＋∞)恒成立，只需－1－2a ≥0，解得a ≤－12.故存在a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12满足题意． 阶段滚动检测(三)检测范围：第一单元至第十二单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设命题p ：∀x ＞0，log 2x ＜2x ＋3，则綈p 为( ) A ．∀x ＞0，log 2x ≥2x ＋3 B ．∃x 0＞0，log 2x 0≥2x 0＋3 C ．∃x 0＞0，log 2x 0＜2x 0＋3 D ．∀x ＜0，log 2x ≥2x ＋3解析：选B 由全称命题否定的定义可知，答案为B.2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．{0,1,2} C ．(－1,2)D ．{－1,0,1}解析：选B 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝{0,1,2}．3．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．22B ．4C ．32D ．6解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)． 所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ的值为( ) A.13 B ．±13C ．－19D.19解析：选B 因为c os ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，即c osπ－⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝－79， 所以c os ⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝79， 由二倍角公式可得1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝79， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝±13. 5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．64－16π3B ．64－32π3C ．64－16πD ．64－64π3解析：选A 由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V 锥＝13Sh ＝13×π×22×4＝163π，∴V ＝V 正方体－V 锥＝43－163π＝64－163π. 6．若a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A.5－1B.5＋1 C ．25＋2D ．25－2解析：选D 因为a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，所以(2a ＋b ＋c )2＝4a 2＋b 2＋c 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ≥4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )＝4(6－25)＝4(5－1)2，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，即2a ＋b ＋c 的最小值是25－2.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A ．15B ．16 C.503D.533解析：选C 由三视图可知，该几何体是如图所示的以俯视图为底面、高为5的四棱锥P -ABCD ，则该几何体的体积V ＝13×12×4×4＋12×2×2×5＝503.8．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围为( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0) C.⎝⎛⎭⎫－1e 2，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 解析：选Df ′(x )＝a －1e x ＋xe x ，因为曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，所以f ′(x )＝a －1e x ＋x e x ＝0有两个不同的解．即a ＝1e x －xe x 有两个不同的解，令g (x )＝1e x －x e x ，g ′(x )＝－2e x ＋xex ，由g ′(x )>0，得x >2，由g ′(x )<0，得x <2，所以g (x )在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝2时，函数g (x )取得极小值g (2)＝－1e 2，当x →－∞时，g (x )→＋∞，当x →＋∞时，g (x )→0，画出函数g (x )的大致图象如图所示，要满足题意，则需－1e2<a <0.9．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210C.132D ．310解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132.10.如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP ―→·BP ―→的取值范围是( )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：选A 取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA ―→＋CB ―→＝2CD ―→，所以AP ―→·BP ―→＝(CP ―→－CA ―→)·(CP ―→－CB ―→)＝CA ―→·CB ―→－2CD ―→·CP ―→＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos 〈CD ―→，CP ―→〉＋1＝7－6cos 〈CD ―→，CP ―→〉，所以当c os 〈CD ―→，CP ―→〉＝1时，AP ―→·BP ―→取得最小值为1；当cos 〈CD ―→，CP ―→〉＝－1时，AP ―→·BP ―→取得最大值为13，因此AP ―→·BP ―→的取值范围是[1,13]．11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1ω>0,0≤φ≤π2的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，且在x ＝π3时取得最大值2，若f (α)＝85，且π3<α<5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( ) A.1225 B ．－1225C.2425D ．－2425解析：选D 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1ω>0,0≤φ≤π2的图象相邻两条对称轴之间的距离为π可知，函数的周期T ＝2π，则ω＝1.又因为函数在x ＝π3时取得最大值2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，且0≤φ≤π2，所以φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，又f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋1＝85，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，又π3<α<5π6，所以π2<α＋π6<π，则c os ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin α＋π6·c os ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－2425.12．对于函数f (x )，若关于x 的方程f (2x 2－4x －5)＋sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝0只有9个根，则这9个根之和为( )A ．9B ．18C ．πD ．0解析：选A 因为函数y ＝2x 2－4x －5的对称轴为x ＝1，所以f (2x 2－4x －5)关于直线x ＝1对称．由f (2x 2－4x －5)＋sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝0可得f (2x 2－4x －5)＝－sin π3x ＋π6关于直线x ＝1对称，因为方程f (2x 2－4x －5)＋sin π3x ＋π6＝0只有9个根，且其中一个根是1，其余8个根关于x＝1对称，所以这9个根之和为9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知向量|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1，且|AB ―→－2CD ―→|＝23，则向量AB ―→和CD ―→的夹角为________．解析：因为向量|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1，且|AB ―→－2CD ―→|＝23，所以AB ―→2－4|AB ―→||CD ―→|c os 〈AB ―→，CD ―→〉＋4CD ―→2＝12，则c os 〈AB ―→，CD ―→〉＝－12，所以〈AB ―→，CD ―→〉＝2π3.答案：2π314．已知函数f (n )＝n 2c os(n π)，数列{a n }满足a n ＝f (n )＋f (n ＋1)(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝________.解析：因为f (n )＝n 2c os(n π)，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，所以a 1＝f (1)＋f (2)＝－12＋22，a 2＝22－32，a 3＝－32＋42，a 4＝42－52，…，当n 是偶数时，a n ＝n 2－(n ＋1)2，当n 是奇数时，a n ＝－n 2＋(n ＋1)2，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(－12＋22)＋(22－32)＋(－32＋42)＋(42－52)＋…＋[－(2n －1)2＋(2n )2]＋[(2n )2－(2n ＋1)2]＝1×3－1×5＋1×7－1×9＋...＋(4n －1)－(4n ＋1) ＝－2－2－ (2)个－2＝－2n .答案：－2n15．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3BC ，则△ABC 面积的最大值是________． 解析：令BC ＝x ，则AC ＝3x ，角A 是锐角，由余弦定理可得c os A ＝123⎝⎛⎭⎫x ＋2x ，则sin A ＝1238－x 2－4x 2，S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝128x 2－x 4－4，当x ＝2时，△ABC 的面积最大，最大值为 3.答案： 316．若对任意m ∈(－2，－1)，f (x )＝mx 2－(5m ＋n )x ＋n 在x ∈(3,5)上存在零点，则实数n 的取值范围是________．解析：由f (x )＝0，可得x ＝5m ＋n ±25m 2＋6mn ＋n 22m.易知x ＝5m ＋n ＋25m 2＋6mn ＋n 22m<0，舍去，所以x ＝5m ＋n －25m 2＋6mn ＋n 22m∈(3,5)，化简可得n －5m >25m 2＋6mn ＋n 2>n －m .由n －5m >25m 2＋6mn ＋n 2两边平方，化简可得n >0，由25m 2＋6mn ＋n 2>n －m 两边平方，化简可得n <－3m 恒成立，所以n ≤3，综上可得，0<n ≤3. 答案：(0,3]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解：(1)由正弦定理可得sin A ＝2sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin B ＝12.因为B 是锐角，所以B ＝π6.(2)c os A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝3⎝⎛⎭⎫sin A cos π3＋cos A sin π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 因为C ＝5π6－A <π2，所以π3<A <π2，所以2π3<A ＋π3<5π6，12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32，所以32<3sin A ＋π3<32， 所以c os A ＋sin C ∈⎝⎛⎭⎫32，32.18．(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P -ABC 的高． 又PA ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ， 得PM MC ＝AN NC ＝13.19．(本小题满分12分)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)． (2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1. 所以a n b n ＝(2n －1)2n .则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)2n ，① 2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －1)2n ＋1.②①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，△PCD 为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝2BC ＝2，AB ＝3，点E ，F 分别为AD ，CD 的中点．(1)求证：BE ∥平面PCD ； (2)求证：平面PAF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AD ＝2BC ＝2，且E 为AD 的中点， ∴BC ＝ED .又∵AD ∥BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD .∵CD ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，∴BE ∥平面PCD .(2)∵在等边△PCD 中，F 是CD 的中点，∴CD ⊥PF . 又BC ∥AD ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥BC ，连接AC ， ∵AB ＝3，BC ＝1，∴AC ＝2， 又AD ＝2，∴AC ＝AD ，∴CD ⊥AF ，又∵PF ∩AF ＝F ，∴CD ⊥平面PAF . ∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PAF ⊥平面PCD .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －ax ，当x 0∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝1ex －e.(1)求a 的值；(2)求证：函数f (x )在定义域内单调递增． 解：(1)由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ，所以函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)， 即y －(x 0＋1)ln x 0＋ax 0＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a (x －x 0)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a x ＋ln x 0－x 0－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，x 0－ln x 0＋1＝e.令g (x )＝x －ln x ＋1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递增． 又因为g (e)＝e ，所以x 0＝e ，将x 0＝e 代入ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，得a ＝2.(2)证明：由a ＝2，得f ′(x )＝ln x ＋1x －1(x >0)． 令h (x )＝ln x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故当x ∈(0,1)时，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，故h (x )≥h (1)＝1. 因此当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝h (x )－1≥0，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0. 所以f (x )在定义域内单调递增．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ln x ＋(x －c )2，x ≥c ，a ln x －(x －c )2，0＜x ＜c (其中a ＜0，c ＞0)． (1)当a ＝2c －2时，若f (x )≥14对任意x ∈(c ，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设函数f (x )的图象在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))处的切线分别为l 1，l 2，若x 1＝ －a 2，x 2＝c ，且l 1⊥l 2，求实数c 的最小值．解：(1)当x ＞c ，a ＝2c －2时， f ′(x )＝ax ＋2(x －c )＝2x 2－2cx ＋a x ＝2(x －1)[x －(c －1)]x .∵a ＜0，c ＞0，且c ＝a2＋1，∴0＜c ＜1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )在(c ，＋∞)上的最小值为f (1)＝(1－c )2＝14a 2.∴要使f (x )≥14恒成立，只需14a 2≥14恒成立，即a ≤－1或a ≥1(舍去)． 又∵c ＝a2＋1＞0，∴a ＞－2.∴实数a 的取值范围是(－2，－1]． (2)由l 1⊥l 2可得，f ′⎝⎛⎭⎫－a 2·f ′(c )＝－1，。

2019-2020年高考数学大一轮复习滚动测试卷一文一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(xx福建福州模拟)已知集合M={2,3,4,5},N={3,4,5},则M∩N=()A.{2,3,4,5}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{3,4}2.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是()3.已知“0<t<m(m>0)”是“函数f(x)=-x2-tx+3t在区间(0,2)上只有一个零点”的充分不必要条件,则m的取值范围是()A.(0,2)B.(0,2]C.(0,4)D.(0,4]4.函数y=+log2(x+2)的定义域为()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)5.若函数f(x)=ax+(a∈R),则下列结论正确的是()A.∀a∈R,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数B.∀a∈R,函数f(x)在(0,+∞)上是减函数C.∃a∈R,函数f(x)为奇函数D.∃a∈R,函数f(x)为偶函数6.已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是()A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<17.已知函数f(x)=,命题p:∀x∈[0,+∞),f(x)≤1,则()A.p是假命题, p:∃x0∈[0,+∞),f(x0)>1B.p是假命题, p:∀x∈[0,+∞),f(x)≥1C.p是真命题, p:∃x0∈[0,+∞),f(x0)>1D.p是真命题, p:∀x∈[0,+∞),f(x)≥18.已知函数f(x)=x3-ax-1,若f(x)在(-1,1)上单调递减,则a的取值范围为()A.a≥3B.a>3C.a≤3D.a<39.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是()A.-13B.-15C.10D.1510.已知函数f(x)=a ln x+x2(a>0),若对任意两个不相等的正实数x1,x2,都有>2恒成立,则a的取值范围是()A.(0,1]B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞)11.已知函数f(x)=e x-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=x垂直的切线,则实数m的取值范围是()A.m≤2B.m>2C.m≤-D.m>-12.对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-2)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是()A.(-∞,-2]∪B.(-∞,-2]∪C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上)13.“若x=5或x=6,则(x-5)(x-6)=0”的逆否命题是.14.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是.15.已知函数f(x)=设a>b≥0,若f(a)=f(b),则b·f(a)的取值范围是.16.已知f(x)=x3-3x+m在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形,则m的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)(xx福建莆田模拟)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若C⊆(A∪B),求a的取值范围.18.(12分)求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程.19.(12分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;(2)为使本年度利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?20.(12分)已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)=(m≠0)是定义在R上的奇函数.(1)若m>0,f(x)在(-m,m)上单调递增,求m的范围;(2)若f(x)≤sinθcosθ+cos2θ+对任意的实数θ和正实数x恒成立,求实数m的取值范围.22.(14分)已知函数f(x)=-x3+ax2-4(a∈R).(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为,求f(x)在[-1,1]上的最小值;(2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范围.答案：1.C解析:集合M,N都有元素3,4,5,所以M∩N={3,4,5}.2.B3.C解析:由函数f(x)在区间(0,2)上只有一个零点,则f(0)·f(2)<0,即0<t<4.由条件知(0,m)⫋(0,4),所以0<m<4.4.D解析:易知,x应满足则故-2<x≤-1或x≥3.5.C解析:当a=1时,函数f(x)在(0,1)上为减函数,A错;当a=1时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,B 错;D选项中的a不存在,故选C.6.A解析:因为函数φ(x)=2x+b-1在定义域内单调递增,所以a>1.又因为-1<f(0)<0,即-1<log a b<0,所以a-1<b<1,故0<a-1<b<1.7.C解析:∵f(x)=是R上的减函数,∴当x∈[0,+∞)时,f(x)≤f(0)=1.∴p为真命题. p为:∃x0∈[0,+∞),f(x0)>1,故选C.8.A解析:∵f'(x)=3x2-a,又f(x)在(-1,1)上单调递减,∴f'(x)≤0在(-1,1)上恒成立,即3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立.∴a≥3x2在(-1,1)上恒成立.又当x∈(-1,1)时,0≤3x2<3,∴a≥3.经验证当a=3时,f(x)在(-1,1)上单调递减.9.A解析:求导得f'(x)=-3x2+2ax.由f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,故a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,故对m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又∵f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴对n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.于是,f(m)+f'(n)的最小值为-13.10.D解析:由题意得f'(x)=+x≥2,当且仅当=x,即x=时取等号.故>f'(x)min=2≥2,则a≥1.11.B解析:因为函数f(x)=e x-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=x垂直的切线,即说明e x-m=-2有解,故m=e x+2,则实数m的取值范围是m>2,选B.12.B解析:由题意得,f(x)=即f(x)=在同一坐标系内画出函数y=f(x)与y=c的图象如图所示,结合图象可知,当c∈(-∞,-2]∪时两个函数的图象有两个公共点,从而方程f(x)-c=0有两个不同的根,即y=f(x)-c与x轴有两个不同交点.13.若(x-5)(x-6)≠0,则x≠5,且x≠614.解析:y=x2-|x|+a=当其图象如图所示时满足题意.由图知解得1<a<.15.解析:画出函数图象如图所示,由图象可知要使a>b≥0,f(a)=f(b)同时成立,≤b<1,≤f(a)<2,即≤b·f(a)<2.16.m>6解析:由f'(x)=3x2-3=0得x1=1,x2=-1(舍去),所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增,则f(x)min=f(1)=m-2.由于f(0)=m,f(2)=m+2,所以f(x)max=f(2)=m+2,由题意知f(1)=m-2>0,①f(1)+f(1)>f(2),得-4+2m>2+m,②由①②得m>6.17.解:(1)A∪B={x|2<x<10}.因为∁R A={x|x<3或x≥7}.所以(∁R A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.(2)由(1)知A∪B={x|2<x<10},①当C=⌀时,满足C⊆A∪B,此时5-a≥a,所以a≤;②当C≠⌀时,要使C⊆A∪B,则解得<a≤3.综上所述,a≤3.18.解:f'(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为k.①当切点是原点时,k=f'(0)=2,所以所求曲线的切线方程为y=2x.②当切点不是原点时,设切点是(x0,y0),则有y0=-3+2x0,k=f'(x0)=3-6x0+2,①又k=-3x0+2,②由①②得x0=(x0=0舍去),k==-.∴所求曲线的切线方程为y=-x.综上,所求切线方程为y=2x或y=-x.19.解:(1)依题意,本年度每辆摩托车的成本为(1+x)(万元),出厂价为1.2×(1+0.75x)(万元),销售量为1 000×(1+0.6x)(辆).故利润y=[1.2×(1+0.75x)-(1+x)]×1000×(1+0.6x),整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1).(2)要保证本年度利润比上一年有所增加,则y-(1.2-1)×1000>0,即-60x2+20x+200-200>0,即3x2-x<0.解得0<x<.适合0<x<1.故为保证本年度利润比上年有所增加,投入成本增加的比例x应满足0<x<.20.解:(1)当a>0,b>0时,设任意x1,x2∈R,x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a()+b().∵,a>0⇒a()<0,,b>0⇒b()<0,∴f(x1)-f(x2)<0,函数f(x)在R上是增函数.当a<0,b<0时,同理,函数f(x)在R上是减函数.(2)由题意可得f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.当a<0,b>0时,>-,则x>log1.5;当a>0,b<0时,<-,则x<log1.5.21.解:(1)由f(x)=是定义在R上的奇函数可得f(0)=0,即=0,∴n=0,则f(x)=,显然f(-x)=-f(x)成立,故n=0时,f(x)为奇函数.∴f'(x)=.∵m>0,∴-m<0.由f'(x)>0可得x2-2<0,解之得-<x<,即f(x)的递增区间为(-),由条件只需(-m,m)⊆(-),∴0<m≤.(2)设g(θ)=sinθcosθ+cos2θ+,根据条件只需f(x)≤g(θ)min恒成立.而g(θ)=sinθcosθ+cos2θ+sin2θ+=sin2θ+cos2θ+=sin,故g(θ)的最小值为-,故只需f(x)≤在(0,+∞)上恒成立.即f(x)=,∵x>0,∴只需,即m≤恒成立.而×2=2,当且仅当x=时,取得最小值为2.∴m≤2.又m≠0,∴实数m的取值范围是(-∞,0)∪(0,2].22.解:(1)f'(x)=-3x2+2ax.根据题意得f'(1)=tan=1,故-3+2a=1,即a=2.因此,f(x)=-x3+2x2-4,则f'(x)=-3x2+4x.令f'(x)=0,得x1=0,x2=.x -1(-1,0)(0,1)1故当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值为f(0)=-4.(2)f'(x)=-3x.①若a≤0,则当x>0时,f'(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减.又f(0)=-4,则当x>0时,f(x)<-4.因此当a≤0时,不存在x0>0,使f(x0)>0.②若a>0,则当0<x<时,f'(x)>0;当x>时,f'(x)<0.从而f(x)在上单调递增,在上单调递减.故当x∈(0,+∞)时,f(x)max=f=--4=-4.根据题意得-4>0,即a3>27,故a>3.综上可知,a的取值范围是(3,+∞)..。

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列一（含答案解析）2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝?C ．M ?ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．?x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．?x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ?A ∩B }，已知M ＝{x |a <=""A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝?－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－40，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝ x (1－x )，0≤x≤1，sin πx ，1<=""> 则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝?3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和?R B ；(2)若A ?B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C??R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．。

滚动测试卷一(第一~三章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3},N={3,4,5},则集合{1,2}可以表示为()A.M∩NB.(∁U M)∩NC.M∩(∁U N)D.(∁U M)∩(∁U N)2.不等式-x2+|x|+2<0的解集是()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-2或x>1}3.若幂函数的图象经过点(3,),则该函数的解析式为()A.y=x3B.y=C.y=D.y=x-14.下列判断错误的是()A.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题B.命题“∀x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“∃x0∈R,-1>0”C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D.命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的充分不必要条件5.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=-x2+C.y=x3+3xD.y=e|x|6.(2017山东,理3)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(q)C.(p)∧qD.(p)∧(q)7.设函数f(x)=若f=8,则m=()A.2B.1C.2或1D.8.函数y=e sin x(-π≤x≤π)的大致图象为()9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(-1)+f(-2 017)=()A.0B.C.1D.210.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年11.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c=·f,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b12.已知函数f(x)=+sin πx在[0,1)内的最大值为m,在(1,2]上的最小值为n,则m+n=()A.-2B.-1C.1D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为.14.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是.15.已知函数f(x)=x2+,g(x)=-m.若∀x1∈[1,2],∃x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.16.(2017山东,理15)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.18.(12分)如图,在半径为30 cm的四分之一圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.(1)写出体积V关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?19.(12分)(2017全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=x-1-a ln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,·…·<m,求m的最小值.20.(12分)已知函数f(x)=,其中a∈R.(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.21.(12分)已知a∈R,函数f(x)=log2.(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围;(3)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)≥2x+m在区间上有解,求实数m的取值范围;(2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求证:f'<0(其中f'(x)是f(x)的导函数).答案：1.C解析由题意可画出Venn图如下,结合Venn图可知,集合{1,2}=M∩(∁U N),故选C.2.B解析由-x2+|x|+2<0,得x2-|x|-2>0,即(|x|+1)(|x|-2)>0,故|x|-2>0,解得x>2或x<-2.3.B解析设幂函数解析式为y=xα,则=3α,故α=,即y=.故选B.4.D解析A项中,当m=0时,满足am2≤bm2,但a可以大于b,故命题是假命题,故正确;B项显然正确;C项中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;D项中,p∨q为真命题,可知p,q至少有一个为真,但推不出p∧q为真命题,故错误.故选D.5.C解析选项A,C中函数为奇函数,又函数y=sin x在区间(0,+∞)内不是单调函数,故选C.6.B解析对∀x>0,都有x+1>1,所以ln(x+1)>0,故p为真命题.又1>-2,但12<(-2)2,故q为假命题,所以q为真命题,故p∧(q)为真命题.故选B.7.B解析∵f=8,∴f(4-m)=8.若4-m<1,即3<m,可得5(4-m)-m=8,解得m=2,舍去.若4-m≥1,即m≤3,可得24-m=8,解得m=1.故选B.8.D解析取x=-π,0,π这三个值,可得y总是1,故排除选项A,C;当0<x<时,y=sin x是增函数,y=e x也是增函数,故y=e sin x也是增函数,排除选项B,故选D.9.D解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,∴f(-1)=f(1)=1,f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=1,∴f(-1)+f(-2 017)=1+1=2.10.B解析设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130×(1+12%)n>200,∴1.12n>,两边取常用对数得n lg 1.12>lg,∴n>=3.8.∴n≥4,故选B.11.A解析设F(x)=xf(x),当x>0时,F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,即函数F(x)在(0,+∞)内单调递减,又y=f(x)在R上是偶函数,则F(x)在R上是奇函数,从而F(x)在R上单调递减,又30.2>1,0<logπ2<1,log2<0,即30.2>logπ2>log2,所以F(30.2)<F(logπ2)<F,即a<b<c.12.D解析可知f(x)=+sin πx=1++sin πx.记g(x)=+sin πx,则当x∈[0,1)时,g(2-x)=+sin π(2-x)=-sin πx=-=-g(x), 即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f(x)关于点(1,1)中心对称,故m+n=2.13.e2解析因为函数f(x)的导数为f'(x)=,所以切线斜率k=f'(x0)=,所以切线方程为y-ln x0=(x-x0).因为切线过点(0,1),所以代入切线方程得ln x0=2,解得x0=e2.14.1解析设f(x)=x3-6x2+9x-10,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为f(1)=-6<0,极小值为f(3)=-10<0,故方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1.15.解析∀x1∈[1,2],∃x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),只需f(x)=x2+在[1,2]上的最小值大于等于g(x)=-m在[-1,1]上的最小值.因为f'(x)=2x-≥0在[1,2]上恒成立,且f'(1)=0,所以f(x)=x2+在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=12+=3.因为g(x)=-m在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=g(1)=-m,所以-m≤3,即m≥-.16.①④解析对①,设g(x)=e x·2-x,则g'(x)=e x=e x·2-x·>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质;对②,设g(x)=e x·3-x,则g'(x)=e x=e x·3-x<0,∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;对③,设g(x)=e x·x3,则g'(x)=e x·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,∴g(x)在(-∞,-3)内单调递减,在(-3,+∞)内单调递增,不具有M性质;对④,设g(x)=e x(x2+2),则g'(x)=e x(x2+2x+2),∵x2+2x+2=(x+1)2+1>0,∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.17.解(1)因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2].由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以f(x)=x2+2x.又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0.所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)=0.18.解(1)连接OB,因为AB=x cm,所以OA=cm.设圆柱的底面半径为r cm,则=2πr,即4π2r2=900-x2,所以V=πr2x=π··x=,其中0<x<30.(2)由(1)知V=(0<x<30),则V'=.由V'==0,得x=10,可知V=在(0,10)内是增函数,在(10,30)内是减函数.所以当x=10时,V有最大值.19.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).①若a≤0,因为f=-+a ln 2<0,所以不满足题意;②若a>0,由f'(x)=1-知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0.故a=1.(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.令x=1+得ln.从而ln+ln+…+ln+…+=1-<1.故<e.而>2,所以m的最小值为3.20.解(1)当a=0时,函数f(x)=的定义域为{x|x∈R,且x≠-1},f'(x)=.令f'(x)=0,得x=0.当x变化时,f'(x)和f(x)所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+∞).故当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=1.函数f(x)无极大值.(2)函数g(x)存在两个零点.证明过程如下:由题意,函数g(x)=-1.因为x2+x+1=>0,所以函数g(x)的定义域为R.求导,得g'(x)==,:令g'(x)=0,得x1=0,x2=1,当x递增值递减值故函数g(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞).当x=0时,函数g(x)有极大值g(0)=0;当x=1时,函数g(x)有极小值g(1)=-1.因为函数g(x)在(-∞,0)内单调递增,且g(0)=0,所以对于任意x∈(-∞,0),g(x)≠0.因为函数g(x)在(0,1)内单调递减,且g(0)=0,所以对于任意x∈(0,1),g(x)≠0.因为函数g(x)在(1,+∞)内单调递增,且g(1)=-1<0,g(2)=-1>0,所以函数g(x)在(1,+∞)内有且仅有一个x0,使得g(x0)=0,故函数g(x)存在两个零点(即0和x0).21.解(1)由log2>0,得+5>1,解得x∈∪(0,+∞).(2)+a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.当a≠3且a≠4时,x1=,x2=-1,x1≠x2.x1是原方程的解当且仅当+a>0,即a>2;x2是原方程的解当且仅当+a>0,即a>1.于是满足题意的a∈(1,2].综上,a的取值范围为1<a≤2或a=3或a=4.(3)当0<x1<x2时,+a>+a,log2>log2,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).f(t)-f(t+1)=log2-log2≤1即at2+(a+1)t-1≥0,对任意t∈成立.因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间上单调递增,t=时,y有最小值a-,由a-≥0,得a≥.故a的取值范围为.22.(1)解由f'(x)=-2x+a,可知切线的斜率k=f'(2)=a-3=-1,故a=2.因此f(x)=2ln x-x2+2x.由f(x)≥2x+m,得m≤2ln x-x2.∵不等式f(x)≥2x+m在区间上有解,∴m≤(2ln x-x2)max.令g(x)=2ln x-x2,则g'(x)=-2x=.∵x∈,∴当g'(x)=0时,x=1.当<x<1时,g'(x)>0;当1<x<e时,g'(x)<0.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=-1,因此m≤-1,即m的取值范围为(-∞,-1).(2)证明∵f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0),∴方程2ln x-x2+ax=0的两个根为x1,x2,∴∴a=(x1+x2)-.又f'(x)=-2x+a,∴f'=-(x1+x2)+a=.下证<0,即证+ln <0.设t=,∵0<x1<x2,∴0<t<1.即证μ(t)=+ln t<0在t∈(0,1)内恒成立,∵μ'(t)=,又0<t<1,∴μ'(t)>0,∴μ(t)在区间(0,1)内是增函数,∴μ(t)<μ(1)=0,从而知+ln <0,故<0,即f'<0成立.。

高三数学第一学期滚动测试题一〔函数、导数、数列、三角函数〕一、选择题〔5*10=50分〕1、设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，那么()R C A B 等于〔 〕A ．RB ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅ 2、函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是 〔 〕 A ．y =122-x x (x >0) B ．y = 122-x x(x <0)C ．y =x x 212- (x >0)D ．y =xx 212- (x <0) 3、0log log ,10<<<<n m a a a ，那么 〔 〕 A ．1＜n ＜m B ．1＜m ＜n C ．m ＜n ＜1 D ． n ＜m ＜14、设p ：2200x x -->，q ：2102x x -<-，那么p 是q 的 〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、点P 的曲线323+-=x x y 上挪动，在点P 处的切线的倾斜角为α，那么α的取值范围是〔 〕A ．]2,0[π B ．),43[)2,0[πππ C ．),43[ππ D ．]43,2(ππ6、假设曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，那么l 的方程为 〔 〕 A ．430x y --= B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=7、在等差数列{}n a 中，1232,13,a a a =+=那么456a a a ++等于 〔 〕A. 40B. 42C. 43D. 458、函数f(x)=cosx ·sinx 的图象相邻的两条对称轴之间的间隔 是 〔 〕 A ．πB ．2πC.2π D ．4π 9、假如二次函数y=-2x 2+(a-1)x-3,在区间(-∞,]1上是增函数，那么〔 〕 A. a=5 B .a=3 C. a ≥5 D. a ≤-3 10、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出以下四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根。

2019-2020年高三数学阶段滚动检测一一、选择题1．如图所示的Venn图中，阴影部分对应的集合是()A．A∩B B．∁U(A∩B)C．A∩(∁U B) D．(∁U A)∩B2．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是() A．“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”B．“若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0”C．“若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0”D．“若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0”3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪(∁R N)等于()A．{x|x<1} B．{x|x≥－1}C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1≤x<1}5．下列各组函数中是同一个函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x2与g(x)＝x4；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④6．若a＝2－3.1，b＝0.53，c＝log3.14，则a，b，c的大小关系是() A．c<b<a B．b<c<aC．a<c<b D．a<b<c7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t x ，x <2，log t (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)等于( )C ．4D ．28．给出下列四个函数： ①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x .这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①9．已知函数f (x )是偶函数且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－2，－1)∪(0,1)10．已知命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( )A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④11．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－1，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 12．已知定义域为A 的函数f (x )，若对任意的x 1，x 2∈A ，都有f (x 1＋x 2)－f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )为“定义域上的M 函数”，给出以下五个函数：①f (x )＝2x ＋3，x ∈R ；②f (x )＝x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12；③f (x )＝x 2＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12；④f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；⑤f (x )＝log 2x ，x ∈[2，＋∞)． 其中是“定义域上的M 函数”的有( )C ．4个D ．5个二、填空题 13．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R }，则A ∩B 中元素的个数为________．14．已知p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0，若p 是错误的，则实数a 的取值范围是__________．(用区间表示)15．已知函数f (x )＝12(31)4,0,(log ),0,a x a x f x x -+<⎧⎪⎨≥⎪⎩若f (4)>1，则实数a 的取值范围是____________．16．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (x ＋1)，x <0，x 2＋1，x ≥0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题17．设p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；q ：若x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，则不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立．若p 不正确，q 正确，求实数m 的取值范围．18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |0<x <1}．(1)若a ＝12，求A ∩B ； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19．已知函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，x ∈[19，9]． (1)若t ＝log 3x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值及取得最值时对应的x 的值．20．已知p ：“∃x 0∈(－1,1)，x 20－x 0－m ＝0(m ∈R )”是正确的，设实数m 的取值集合为M .(1)求集合M ；(2)设关于x 的不等式(x －a )(x ＋a －2)<0(a ∈R )的解集为N ，若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，求实数a 的取值范围．21.据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．C [根据题图可知，阴影部分是由属于A 且不属于B (属于∁U B )的元素组成的集合，观察各选项易得结果．]2．A [逆否命题是将原命题的条件与结论先调换位置，再将新条件与新结论同时否定，故选A.]3．A [A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．A [M ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <1}．]5．C [①中，f (x )＝－2x 3＝－x －2x ，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中，g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数；易知③④中两函数表示同一个函数．]6．D [因为a ＝2－3.1，b ＝0.53＝2－3，函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2－3.1<2－3<20＝1，又函数y ＝log 3.1x 在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝log 3.14>log 3.13.1＝1，所以a <b <c .]7．B [因为f (2)＝1，所以log t (22－1)＝log t 3＝1，解得t ＝3，所以f (1)＝2×31＝6.]8．A [本题是选择题，可利用排除法．对于①，令y ＝f (x )，∵f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x ·sin x ＝f (x )，∴函数y ＝f (x )为偶函数，故①中的函数对应第1个图象，排除C 和D ；对于③，当x >0时，y ≥0，故③中的函数对应第4个图象，排除B.]9．C [若x ∈[－2,0]，则－x ∈[0,2]，此时f (－x )＝－x －1.∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝－x －1＝f (x )，即f (x )＝－x －1，x ∈[－2,0]．∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的函数．若x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]，∴f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝3－x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－2≤x <0，x －1，0≤x <2，3－x ，2≤x ≤4，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象，如图所示，若0<x ≤3，则不等式xf (x )>0等价于f (x )>0，此时1<x <3；若－1≤x <0，则不等式xf (x )>0等价于f (x )<0，此时－1<x <0；若x ＝0，显然不等式xf (x )>0的解集为∅.综上，不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．]10．D [函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数⇒f (－x )＝f (x )⇒a ＝0⇒p 为真命题；关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解⇒Δ＝4－4m ≥0⇒m ≤1⇒q 为假命题．故①④为真，故选D.]11．A [根据题意知，当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，则f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，故函数f (x )在(－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数．函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，相当于函数f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有2个交点，若其中1个交点为(1,1)，则m ＝12，结合函数的图象(图略)，可知m 的取值范围是(0，12]，故选A.] 12．C [对于①，∀x 1，x 2∈R ，f (x 1＋x 2)＝2(x 1＋x 2)＋3<2(x 1＋x 2)＋6＝f (x 1)＋f (x 2)，故①满足条件；对于②，∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22， 当x 1x 2>0时，不满足f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故②不是“定义域上的M 函数”；对于③，∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22＋2， 因为x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以2x 1x 2≤12<1， 故f (x 1＋x 2)<f (x 1)＋f (x 2)，故③满足条件；对于④，∀x 1，x 2∈[0，π2]，f (x 1＋x 2)＝sin x 1cos x 2＋sin x 2cos x 1≤sin x 1＋sin x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故④满足条件；对于⑤，∀x 1，x 2∈[2，＋∞)，f (x 1＋x 2)＝log 2(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)＝log 2(x 1x 2)，因为x 1，x 2∈[2，＋∞)，所以1x 1＋1x 2≤1，可得x 1＋x 2≤x 1x 2，即f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M 函数”的有①③④⑤，共4个．]13．3解析 由题意联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中元素的个数为3.14．(1，＋∞)解析 由题意知∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0的根的判别式Δ＝4－4a <0，∴a >1.∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)．15.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 由题意知f (4)＝f (log 124)＝f (－2)＝(3a －1)×(－2)＋4a >1，解得a <12.故实数a 的取值范围是(－∞，12)． 16．(2＋22，＋∞)解析 设点(m ，n )(m >0)是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n )必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m 2＋1，－n ＝k (－m ＋1)， 消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f (x )有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝k 2－4(k ＋1)>0，k >0，k ＋1>0，解得k >2＋2 2.故实数k 的取值范围是(2＋22，＋∞)．17．解 若p 正确，即f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数，则m ≤1. 若q 正确，∵x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，a ∈[－1,1]，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3.∵不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立，∴m 2＋5m －3≥3，∴m 2＋5m －6≥0，解得m ≥1或m ≤－6.又p 不正确，q 正确，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1. 故实数m 的取值范围是{m |m >1}．18．解 (1)若a ＝12，则A ＝{x |－12<x <2}，又B ＝{x |0<x <1}， ∴A ∩B ＝{x |0<x <1}．(2)当A ＝∅时，a －1≥2a ＋1，∴a ≤－2，此时满足A ∩B ＝∅；当A ≠∅时，则由A ∩B ＝∅，B ＝{x |0<x <1}，易得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>a －1，a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>a －1，2a ＋1≤0， ∴a ≥2或－2<a ≤－12. 综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－12或a ≥2. 19．解 (1)由t ＝log 3x ，x ∈[19，9]，解得－2≤t ≤2. (2)f (x )＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2，令t ＝log 3x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，t ∈[－2,2]． 当t ＝－32，即log 3x ＝－32， 即x ＝39时，f (x )min ＝－14； 当t ＝2，即log 3x ＝2，即x ＝9时，f (x )max ＝12.20．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在x ∈(－1,1)上有解，故m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易得M ＝{m |－14≤m <2}． (2)因为“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a <－14，a ≥2，解得a >94； 当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上可知，实数a 的取值范围为{a |a >94或a <－14}． 21．解 (1)由题中所给出的函数图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12(km/h)，∴s ＝12×4×12＝24(km)．(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2； 当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150； 当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知，s ＝223,[0,10],230150,(10,20],70550,(20,35].t t t t t t t ⎧∈⎪⎪-∈⎨⎪-+-∈⎪⎩(3)∵当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650， 当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋(x －1)·|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1. 当x ≥－1时，由f (x )＝1，得2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1；当x <－1时，f (x )＝1恒成立．∴方程的解集为{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－(a ＋1)x ＋a ，x ≥a ，(a ＋1)x －a ，x <a . 若f (x )在R 上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得a ≥13. ∴实数a 的取值范围为{a |a ≥13}． (3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－(a ＋3)x ＋a ＋3，x ≥a ，(a －1)x －a ＋3，x <a ， 不等式f (x )≥2x －3对任意x ∈R 恒成立，等价于不等式g (x )≥0对任意x ∈R 恒成立． ①若a >1，则1－a <0，即21－a<0，取x 0＝21－a，此时x 0<a ， ∴g (x 0)＝g ⎝⎛⎭⎫21－a ＝(a －1)·21－a－a ＋3＝1－a <0， 即对任意的a >1，总能找到x 0＝21－a，使得g (x 0)<0， ∴不存在a >1，使得g (x )≥0恒成立．②若a ＝1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－4x ＋4，x ≥1，2，x <1， ∴g (x )的值域为[2，＋∞)，∴g (x )≥0恒成立．③若a <1，当x ∈(－∞，a )时，g (x )单调递减，其值域为(a 2－2a ＋3，＋∞)． 由于a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，所以g (x )≥0恒成立．当x ∈[a ，＋∞)时，由a <1，知a <a ＋34， g (x )在x ＝a ＋34处取得最小值． 令g ⎝⎛⎭⎫a ＋34＝a ＋3－(a ＋3)28≥0，得－3≤a ≤5，又a <1，∴－3≤a <1. 综上，a ∈[－3,1]． .。

滚动评估检测(一)(第一至第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为实数集R,集合A={x|x2-3x<0},B={x|2x>1},则(R A)∩B= ( )A.(-∞,0]∪[3,+∞)B.(0,1]C.[3,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.集合A={x|x2-3x<0}={x|x(x-3)<0}={x|0<x<3},集合B={x|2x>1}={x|2x>20}={x|x>0}.所以R A={x|x≤0或x≥3},所以(R A)∩B={x|x≥3}.2.已知a,b为实数,命题甲:ab>b2,命题乙: < <0,则甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由ab>b2,即b(b-a)<0知b与b-a异号,由<<0知a<b<0,故甲是乙的必要不充分条件.3.下列命题中的假命题是( )A.∃x0∈(0,+∞),x0<sin x0B.∀x∈(-∞,0),e x>x+1C.∀x>0,5x>3xD.∃x0∈R,ln x0<0【解析】选A.因为x∈(0,+∞)时,x>sin x恒成立,所以∃x0∈(0,+∞),x0<sin x0,不正确; x∈(-∞,0),令g(x)=e x-x-1,可得g′(x)=e x-1<0,函数是减函数,g(x)>g(0)=0,可得∀x∈(-∞,0),e x>x+1恒成立.由指数函数的性质可知,∀x>0,5x>3x正确;∃x0∈R,ln x0<0,当x∈(0,1)时,ln x<0成立.4.已知a=2xdx,函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f+a图象的一个对称中心是( )A. B.C. D.【解析】选C.a=2xdx=1,T=4=π,所以ω=2.又是五点中的第2个点,所以2×+φ=,所以φ=.显然A=2,所以f(x)=2sin.则f+a=2sin+1,令2x-=kπ,k∈Z,则x=+,k∈Z,当k=1时,x=.5.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y对应的函数y=f(x)的图象的形状大致是下图中的( ) 【解析】选A.①当点P在AB上时,如图y=×x×1=x(0≤x≤1);②当点P在BC上时,如图所以PB=x-1,PC=2-x,所以y=S正方形ABCD-S△ADM-S△ABP-S△PCM=1-××1- (x-1)×1-××(2-x)=-x+,所以y=-x+ (1<x≤2);③当点P在CM上时,如图,因为MP=2.5-x,所以y= (2.5-x)=- x+ (2<x≤2.5),综上①②③得到的三个函数都是一次函数,由一次函数的图象与性质可以确定y与x的图象,只有A的图象是三个一次函数且在第二段上y随x的增大而减小.6.函数f(x)=ln(|x|-1)+x的大致图象是 ( )【解析】选A.f(x)的定义域为{x|x<-1或x>1}.f(x)=所以f′(x)=所以当x>1时,f′(x)>0,当x<-2时,f′(x)>0,当-2<x<-1时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,-1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=e x(x+1),给出下列命题:①当x>0时,f(x)=-e-x(x-1);②函数f(x)有2个零点;③f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).其中正确命题的个数是( )A.3B.2C.1D.0【解析】选C.①当x>0时,-x<0→f(-x)=e-x(-x+1),因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=e-x(x-1),所以①错;②因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,令f(x)=e x(x+1)=0即x=-1,所以f(-1)=f(1)=0,所以②错;③当x<0时,f(x)=e x(x+1)<0得x+1<0,即x<-1,当x>0时,f(x)=e-x(x-1)<0,得x-1<0,即0<x<1,所以f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1),所以③正确.8.函数f1(x)=,f2(x)=,…,f n+1(x)=,…,则函数f2 018(x)是( )A.奇函数但不是偶函数B.偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】选A.由题意可知f1(x)= (x≠0)是奇函数,f2(x)= (x≠0)是奇函数,f3(x)= (x≠0)是奇函数…由不完全归纳法提出猜想f n(x)为奇函数,其定义域关于原点对称.当n=1时,f1(x)=命题成立;假设n=k(k∈N+)时命题成立,即f k(x)是奇函数,其定义域关于原点对称,则f k+1(x)=,f k+1(-x)= =- =-f k+1(x),即函数f k+1(x)是奇函数,因为f k+1(x)=分母不为0,所以其定义域为{x|x+f k(x)≠0},关于原点对称.由数学归纳法可知函数f n(x)为奇函数.9.已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))- f(x)-1 的零点个数为 ( )A.8B.7C.6D. 5【解析】选C.作函数y=f(x),y=+1的图象,有四个交点,分别为t1<0,t2=0, 0<t3<1,t4>1,根据函数y=f(x)的图象知,方程f(x)=t对应解个数为0,1,3,2,因此零点个数为0+1+3+2=6.10.定义在R上的函数f(x)满足:f(x-1)=f(x+1)=f(1-x)成立,且f(x)在[-1,0]上单调递增,设a=f(3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a【解析】选D.因为f(x-1)=f(x+1),所以T=2, a=f(3)=f(-1),b=f()=f(-2), c=f(2)=f(0),因为-1<-2<0,且f(x)在[-1,0]上单调递增,所以c>b>a.11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( )A.0B.0或-C.-或-D.0或-【解析】选D.因为f(x+2)=f(x),所以T=2.又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如图.显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个公共点,由题意知y′=(x2)′=2x=1,所以x=.所以A,又A点在y=x+a上,所以a=-.12.已知函数f(x)=e4x-1,g(x)= +ln(2x),若f(m)=g(n)成立,则n-m的最小值为( )A. B.C. D.【解析】选B.设e4m-1=+ln(2n)=k(k>0),则m=+,n=,令h(k)=n-m=--,所以h′(k)= -.又h′(k)= -是增函数,h′=0.所以h(k)在上递减,在上递增,所以h(k)min=h=,即n-m的最小值为.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f(x)在点x=1处的切线方程为________. 【解题指南】利用换元法求出函数解析式,先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义:函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率,即可求出切线的斜率,从而问题解决.【解析】令t=e x,因为f(e x)=x+e x,所以f(t)=t+ln t,所以f(x)=x+ln x,所以f′(x)=1+,所以f′(1)=2,因为f(1)=1,所以f(x)在x=1处的切线方程为2x-y-1=0.答案:2x-y-1=014.已知a>0且a≠1,函数f(x)= +ln(-x),设函数f(x)的最大值为M,最小值为N,则M+N=________.【解析】f(x)= +ln(-x)= +ln(-x)+2,设g(x)= +ln(-x),g(-x)= +ln(+x)=- -ln(-x)=-g(x),则g(x)为奇函数,所以g(x)max+g(x)min=0.M+N=4.答案:415.若偶函数y=f(x),x∈R,满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2-x2,则方程f(x)=sin|x|在[-10,10]内的根的个数为________.【解析】因为函数y=f(x)为偶函数,且满足f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以偶函数y=f(x)为周期为4的函数,由x∈[0,2]时,f(x)=2-x2可作出函数f(x)在[-10,10]上的图象,同时作出函数y=sin|x|在[-10,10]上的图象,交点个数即为所求.数形结合可得交点个数为10.答案:1016.将f(x)=2x-的图象向右平移2个单位后得曲线C1,将函数y=g(x)的图象向下平移2个单位后得曲线C2, C1与C2关于x轴对称,若F(x)= +g(x)的最小值为m,且m>2+,则实数a的取值范围为________.【解析】首先应求出g(x)的表达式,曲线C1对应的函数式为y=2x-2-,曲线C2与C1关于x轴对称,因此C2的函数解析式为y=-=-2x-2+,C2向上平移2个单位,就是函数g(x)的图象,则g(x)=-2x-2++2,F(x)= - -2x-2++2,其最小值大于2+,说明函数G(x)= - -2x-2+=·2x+的最小值大于,下面观察函数G(x),若<0,则当x→+∞时,G(x)→-∞,G(x)无最小值,同理当4a-1<0时,x→-∞,2x→0,→-∞,G(x)无最小值.因此≥0,4a-1≥0,G(x)≥2=,当且仅当·2x=时等号成立,即G(x)最小值为,从而>⇒<a<2.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;命题q:实数x满足≤0.(1)若a = 1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【解析】(1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,又a>0,所以a<x<3a,当a = 1时, 1<x<3,即p 为真时实数x 的取值范围是1<x<3.q为真时≤0等价于得2<x≤ 3,即q为真时实数x 的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x 的取值范围是(2,3).(2)¬q为:实数x满足x≤2或x>3;¬p为:实数x满足x2-4ax+3a2≥0,并解x2-4ax+3a2≥0得x≤a,或x≥3a.¬p是¬q的充分不必要条件,所以a应满足:a≤2,且3a>3,解得1<a≤2.所以a的取值范围为 (1,2].18.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数,其中a,b为实数.(1)求a,b的值.(2)用定义证明f(x)在R上是减函数.【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,可得b=1.又f(-1)=-f(1),所以=-,解得a=1.当a=1且b=1时,f(x)=,经检验,满足f(x)是R上的奇函数.(2)由(1)得f(x)= =-1+,任取实数x1,x2,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)= -=.因为x1<x2,所以<,且(+1)( +1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在R上为减函数.19.(12分)已知函数f(x)=(x2+mx+n)e x,其导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)求函数f(x)在区间[-2,2]上的最值.【解析】(1)因为f(x)=(x2+mx+n)e x,所以f′(x)=(2x+m)e x+(x2+mx+n)e x=[x2+(2+m)x+(m+n)]e x,由知解得从而f(x)=(x2+x-1)e x,所以f′(x)=(x2+3x)e x,所以f(1)=e,所以f′(1)=4e,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)由于e x>0,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:故f(x)(3)由于f(2)=5e2,f(0)=-1,f(-2)=e-2,所以函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5e2,最小值为-1.20.(12分)已知函数f(x)= x2-(a+1)x+aln x+1.(1)若x=2是f(x)的极值点,求f(x)的极大值.(2)求实数a的范围,使得f(x)≥1恒成立.【解析】(1)f′(x)=x-(a+1)+,因为x=2是f(x)的极值点,所以f′(2)=2-(a+1)+ =0解得a=2,当a=2时,f′(x)=x-3+==当x变化时,f(x)(2)要使得f(x)≥1恒成立,即x>0时,x2-(a+1)x+aln x≥0恒成立,设g(x)= x2-(a+1)x+aln x,则g′(x)=x-(a+1)+ =,(ⅰ)当a≤0时,由g′(x)<0得函数g(x)的单调减区间为(0,1),由g′(x)>0得函数g(x)的单调增区间为(1,+∞),此时g(x)min=g(1)=-a-≥0,得a≤-.(ⅱ)当0<a<1时,由g′(x)<0得函数g(x)的单调减区间为(a,1),由g′(x)>0得函数g(x)的单调增区间为(0,a),(1,+∞),此时g(1)=-a-<0,所以不合题意.(ⅲ)当a=1时,g′(x)=≥0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,此时g(1)=-a-<0,所以不合题意. (ⅳ)当a>1时,由g′(x)<0得函数g(x)的单调减区间为(1,a),由g′(x)>0得函数g(x)的单调增区间为(0,1),(a,+∞),此时g(1)=-a-<0,所以不合题意.综上所述:a≤-时,f(x)≥1恒成立.21.(12分)设函数f(x)=x2+ax-ln x(a∈R).(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间.(2)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为1.【解析】(1)a=1时,f(x)=x2+x-ln x(x>0),所以f′(x)=2x+1-=,当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)设切点为M(t,f(t)),f′(x)=2x+a-,切线的斜率k=2t+a-,又切线过原点,则k=,所以=2t+a-,即t2+at-ln t=2t2+at-1.所以t2-1+ln t=0,存在性:t=1满足方程t2-1+ln t=0,所以t=1是方程t2-1+ln t=0的根.再证唯一性:设φ(t)=t2-1+ln t,φ′(t)=2t+>0,φ(t)在(0,+∞)上单调递增,且φ(1)=0,所以方程t2-1+ln t=0有唯一解.综上,切点的横坐标为1.22.(12分)已知函数f(x)=e x-(a-1)x+b.(1)求函数f(x)的极小值.(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求证:a>+1.【解析】(1)f′(x)=e x-a+1.当a≤1时,f′(x)>0,f(x)在R上为增函数,函数f(x)无极小值; 当a>1时,令f′(x)=0,解得x=ln(a-1).若x∈(-∞,ln(a-1)),则f′(x)<0,f(x)单调递减;若x∈(ln (a-1),+∞),则f′(x)>0,f(x)单调递增.故函数f(x)的极小值为f(ln(a-1))=(a-1)[1-ln(a-1)]+b.(2)由题可知-(a-1)x1+b=0, ①-(a-1)x2+b=0, ②①-②得--(a-1)(x1-x2)=0,所以a-1=.要证a>+1,即证<a-1=,不妨设x2>x1,只需证<,令t=x2-x1>0,即证<,要证<,只需证->t,令F(t)= - -t=()t--t,只需证F(t)>0,因为F′(t)= + -1=-1>0,所以F(t)在(0,+∞)内为增函数,故F(t)>F(0)=0,所以<成立.所以原命题成立.。

2020年高考数学一轮复习单元滚动检测卷系列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测一第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x ∈R |y ＝lg(2－x )}，N ＝{y ∈R |y ＝2x －1}，则( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝∅C ．M ⊇ND ．M ∪N ＝R 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知命题p ：△ABC 中，AB →·AC→<0，命题q ：△ABC 是钝角三角形，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．命题“∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0>2”的否定是( )A ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x <2B ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0≤2C ．∀x ∈[π2，π]，sin x －cos x ≤2D ．∃x 0∈[π2，π]，sin x 0－cos x 0<25．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 等于( )A ．6B ．－6C ．0D ．126．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞) 7．对于非空集合A ，B ，定义运算：A B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }，已知M ＝{x |a <x <b }，N ＝{x |c <x <d }，其中a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0，则M N 等于( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a ]∪[b ，d )C ．(a ，c ]∪[d ，b )D ．(c ，a )∪(d ，b )8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，－x 2＋1＋a ，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是______________．10．若函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________. 12．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧ x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f (294)＋f (416)＝________. 13．已知m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知集合A ＝{x ||x －a |≤2}，B ＝{x |lg(x 2＋6x ＋9)>0}．(1)求集合A 和∁R B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．16．(13分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a ≠0)，q ：实数x 满足x －3x －2<0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.(13分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．18．(13分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋1 x＋1的值域，集合C为不等式(ax－1a)·(x＋4)≤0的解集．(1)求A∩B；(2)若C⊆∁R A，求a的取值范围．19．(14分)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似地满足f(t)＝4＋1t，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似地满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益ω(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N)的函数关系式；(2)求该城市的旅游日收益的最小值．20．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2是奇函数．(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性并证明；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．答案解析1．D [集合M 是函数y ＝lg(2－x )的定义域，所以M ＝(－∞，2)，集合N 为函数y ＝2x －1的值域，所以N ＝(0，＋∞)，所以M ∪N ＝R .]2．C [∵⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，∴x >－1且x ≠1， 所以C 为正确选项，故选C.]3．A [由于在△ABC 中，AB →·AC→<0，可得A 为钝角，故△ABC 是钝角三角形，反之不成立，可能是B ，C 之一为钝角．故p 是q 的充分不必要条件．]4．C [特称命题的否定是全称命题，改量词并否定结论，所以C 正确．]5．B [作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－a 2]上单调递减，在[－a 2，＋∞)上单调递增．又已知函数f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a 2＝3，解得a ＝－6.]6．C [设函数h (x )＝f (x )＋x ，当x ≤0时，h (x )＝x 是增函数，此时h (x )的值域是(－∞，0]；当x >0时，h (x )＝e x ＋x 是增函数，此时h (x )的值域(1，＋∞)．综上，h (x )的值域是(－∞，0]∪(1，＋∞)．函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，即方程f (x )＋x －m ＝0有解，也即方程m ＝f (x )＋x 有解．故m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．]7．C [由新定义的概念可知当a ＋b ＝c ＋d ，ab <cd <0时，a <c <d <b .再由题意可知M N ＝(a ，c ]∪[d ，b )，根据选项可知应为C.故选C.]8．B [函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0的图象与直线y ＝－a 有3个不同的交点，作出图象，如图所示，可得当0<－a ≤1时，满足题意，故－1≤a <0.故选B.]9．[－1,6]解析 由p ：－4<x －a <4成立，得a －4<x <a ＋4；由q ：(x －2)(3－x )>0成立，得2<x <3，所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3，又綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]． 10．[－8，－6]解析 设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知得⎩⎨⎧ a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.11．－74解析 若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3,2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.12.516解析 因为函数f (x )的周期是4，则f (294)＝f (8－34)＝f (－34)，∵f (x )是奇函数，∴f (－34)＝－f (34)＝－34×14＝－316，f (416)＝f (8－76)＝f (－76)＝－f (76)＝－sin 7π6＝sin π6＝12，则f (294)＋f (416)＝－316＋12＝516.13．8或－83解析 若m >0，则f (2－m )＝3(2－m )－m ＝6－4m ，f (2＋m )＝－(2＋m )－2m ＝－2－3m ，∴6－4m ＝－2－3m ，解得m ＝8.若m <0，则f (2－m )＝－(2－m )－2m ＝－2－m ，f (2＋m )＝3(2＋m )－m ＝6＋2m ，∴－2－m ＝6＋2m ，解得m ＝－83.14．(1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1. 当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1， ∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论：当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点；当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点．因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2. 15．解 (1)∵|x －a |≤2⇔－2≤x －a ≤2⇔a －2≤x ≤2＋a ，∴集合A ＝{x |－2＋a ≤x ≤2＋a }，∵lg(x 2＋6x ＋9)>0，∴x 2＋6x ＋9>1，∴集合B ＝{x |x <－4或x >－2}．∴∁R B ＝[－4，－2]．(2)由A ⊆B ，得2＋a <－4或者－2<－2＋a .解得a <－6或a >0，所以a 的取值范围为{a |a <－6或a >0}．16．解 (1)当a ＝1时，由x 2－4ax ＋3a 2<0，解得1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是(1,3)；由x －3x －2<0，解得2<x <3，即q 为真时，实数x 的取值范围是(2,3)．若p ∧q 为真，则p 为真且q 为真，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0.当a >0时，p ：a <x <3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥3，解得1≤a ≤2； 当a <0时，p ：3a <x <a ，而⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥3无解，不合题意． 所以实数a 的取值范围是[1,2]．17．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<3－2x <2，解得12<x <52， ∴函数g (x )的定义域为(12，52)．(2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 又∵f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<2x －3<2，x －1≥2x －3.解得12<x ≤2，∴g (x )≤0的解集为(12，2]．18．解 (1)由－x 2－2x ＋8>0得－4<x <2， 即A ＝(－4,2)，∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)． y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 当x ＋1>0，即x >－1时y ≥2－1＝1， 此时x ＝0，符合要求；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3， 此时x ＝－2，符合要求．所以B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)．(2)(ax －1a )(x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2.当a >0时，C ＝{x |－4≤x ≤1a 2}，不可能C ⊆∁R A ；当a <0时，C ＝{x |x ≤－4或x ≥1a 2}，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，∴a 2≤12，∴－22≤a <0.故a 的取值范围为[－22，0)．19．解 (1)由题意得，ω(t )＝f (t )·g (t )＝(4＋1t )(115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N )，即ω(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (4＋1t )(t ＋100)(1≤t <15，t ∈N )，(4＋1t )(130－t )(15≤t ≤30，t ∈N ).(2)①当1≤t <15，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(t ＋100)＝4(t ＋25t )＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t ，即t ＝5时取等号，此时ω(t )取最小值，为441；②当15≤t ≤30，t ∈N 时，ω(t )＝(4＋1t )(130－t )＝519＋(130t －4t )，易知ω(t )在[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，ω(t )取最小值，为40313.因为40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元．20．解 (1)∵f (x )在定义域R 上是奇函数， ∴f (0)＝0，即b －12＋2＝0，∴b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1. 设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12x 1＋1－12x 2＋1＝2x2－2x1(2x1＋1)(2x2＋1).∵函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2，∴2x2－2x1>0.又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f(x)是奇函数，∴不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k －2t2)，∵f(x)为减函数，由上式推得t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R,3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－13.∴k的取值范围是(－∞，－1 3)．。

2019届高三理科数学一轮复习滚动检测一考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位臵上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |7<2x <33，x ∈N }，B ＝{x |log 3(x －1)<1}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．{4,5} B ．{3,4,5} C ．{x |3≤x <4}D ．{x |3≤x ≤5}2．“|x －1|<2成立”是“x (x －3)<0成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．(2017·肇庆期末)设命题p ：直线x －y ＋1＝0的倾斜角为135°；命题q ：平面直角坐标系内的三点A (－1，－3)，B (1，1)，C (2,2)共线．则下列判断正确的是( ) A ．綈p 为假 B ．(綈p )且(綈q )为真 C ．p 或q 为真D ．q 为真4．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －m －1为减函数，则实数m 的取值集合为( )A ．{2}B ．{－1}C ．{2，－1}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≠1＋52 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )，x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．26．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 015)＋f (2 018)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．28．函数f (x )＝e x －1x的图像大致为( )9．若a >0，b >0，ab >1，12log a ＝ln 2，则log a b 与12log a 的关系是( )A ．log a b <12log aB ．log a b ＝12log aC ．log a b >12log aD ．log a b ≤12log a10．已知f (x )是偶函数，x ∈R ，若将f (x )的图像向右平移一个单位得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)等于( ) A ．－1 003 B ．1 003 C ．1D ．－111．(2017·天津市河西区模拟)已知命题p ：任意x ∈[1,2]，e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2] B ．(－∞，e] C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)12．(2017·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，则a 的取值范围为( ) A ．[3,5] B ．[4,6] C ．(3,5)D ．(4,6)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．定义在R 上的奇函数f (x )，f (－1)＝2，且当x ≥0时，f (x )＝2x ＋(a ＋2)x ＋b (a ，b 为常数)，则f (－10)的值为______．14．(2018·保定模拟)已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图像必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图像关于原点对称，那么函数y ＝f (x )的图像关于点(3,0)对称，则命题p 或q 为______(填“真”或“假”)命题．15．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x ＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届衡水市武邑中学月考)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．18．(12分)(2018·唐山调研)命题p ：f (x )＝1－x3，且|f (a )|<2；命题q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0}，B ＝{x |x >0}且A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围，使命题p ，q 中至少有一个为真命题．19.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－1,3)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在(－1,2)内的值域；(2)若方程f (x )＝c 在[0,3]上有两个不相等实根，求c 的取值范围．20．(12分)旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16 000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35，则飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60.设旅行团的人数为x ，每个人的机票费为y 元，旅行社的利润为Q 元．成本只算飞机费用．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？并求出最大利润．21.(12分)已知函数f (x )＝22x －52·2x ＋1－6.(1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)若存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k2，k ∈Z ，x ∈R ，且f (x )＋f (2－x )＝0，f (x ＋1)＝－1f (x )，当12<x <1时，f (x )＝3x .(1)证明：f (x )为奇函数；(2)求f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－12上的表达式； (3)是否存在正整数k ，使得当x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时，log 3f (x )>x 2－kx －2k 有解？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．答案精析1．A 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.A 9.A 10.D 11.B12．C [∵f (x )－f (－x )＝0，∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图像如图所示：∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0，＋∞)上有三个零点，∴y 1＝f (x )和y 2＝log a x 的图像在(0，＋∞)上有三个交点，作出函数y 2＝log a x 的图像，∴⎩⎪⎨⎪⎧log a 3<1，log a 5>1，a >1，解得3<a <5，故选C.]13．－993 14.真 15．2解析 函数可化为f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1为奇函数，∴g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1的最大值与最小值的和为0.∴M ＋m ＝2.16.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 即2－x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－x )，解得m ＝－1，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－x，x >1，2－x －2x，x ≤1， 作出函数g (x )的图像(如图所示)．当x >1时，g (x )是增加的，此时g (x )>32；当x ≤1时，g (x )是减少的，此时g (x )≥－32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－32，32时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点． 17．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x ≤10}＝{x |－2≤x ≤5}， 所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)当P ≠∅时，由P ⊆Q ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2；当P ＝∅时，2a ＋1<a ＋1，解得a <0，此时有P ＝∅⊆Q ， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]． 18．解 先考虑p ：解得－5<a <7.再考虑q ：①当Δ<0时，A ＝∅，A ∩B ＝∅，此时由(a ＋2)2－4<0，得－4<a <0； ②当Δ≥0时，由A ∩B ＝∅，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(a ＋2)2－4≥0，x 1＋x 2＝－(a ＋2)<0，x 1x 2＝1>0，解得a ≥0.由①②可知，a >－4.当p ，q 都为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－5或a ≥7，a ≤－4，解得a ≤－5，所以当a 的取值范围是(－5，＋∞)时， p ，q 中至少有一个为真命题．19．解 (1)由题意知，－1,3是方程ax 2＋bx －a －ab ＝0的两根， 可得a ＝－1，b ＝2，则f (x )＝－x 2＋2x ＋3在(－1,2)内的值域为(0,4]．(2)方程－x 2＋2x ＋3＝c ，即x 2－2x ＋c －3＝0在[0,3]上有两个不相等实根， 设g (x )＝x 2－2x ＋c －3，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (0)≥0，g (3)≥0，解得3≤c <4.20．解 (1)依题意知，1≤x ≤60，x ∈N ＋，又当1≤x <20时，800x <16 000，不符合实际情况， 故20≤x ≤60，x ∈N ＋. 当20≤x ≤35时，y ＝800；当35<x ≤60时，y ＝800－10(x －35)＝－10x ＋1 150.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧800，20≤x ≤35，且x ∈N ＋，－10x ＋1 150，35<x ≤60，且x ∈N ＋.(2)当20≤x ≤35，且x ∈N ＋时， Q ＝yx －16 000＝800x －16 000， 此时Q max ＝800×35－16 000＝12 000； 当35<x ≤60，且x ∈N ＋时，Q ＝yx －16 000 ＝－10x 2＋1 150x －16 000 ＝－10⎝⎛⎭⎫x －11522＋34 1252， 所以当x ＝57或x ＝58时，Q 取得最大值，即Q max ＝17 060.因为17 060>12 000，所以当旅行团的人数为57或58时，旅行社可获得最大利润，为17 060元．21．解 (1)f (x )＝(2x )2－5·2x －6， 设2x ＝t ，∵x ∈[0,4]，则t ∈[1,16]， ∴h (t )＝t 2－5t －6，t ∈[1,16]．∵当t ∈⎝⎛⎦⎤1，52时，函数h (t )是减少的； 当t ∈⎝⎛⎦⎤52，16时，函数h (t )是增加的， ∴f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫52＝－494，f (x )max ＝h (16)＝170. (2)∵存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，而t ＝2x >0，∴存在t ∈[1,16]，使得a ≤t ＋6t－5成立．令g (t )＝t ＋6t －5，则g (t )在[1，6]上是减少的，在[6，16]上是增加的，而g (1)＝2<g (16)＝918， ∴g (t )max ＝g (16)＝918，∴a ≤g (t )max ＝g (16)＝918，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，918. 22．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝－1f (x ＋1)＝f (x )，∴f (x )的周期为2，∵f (x )＋f (2－x )＝0，即f (x )＋f (－x )＝0，又∵f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k2，k ∈Z ，x ∈R ，关于原点对称， ∴f (x )为奇函数．(2)解 当－1<x <－12时，12<－x <1，则f (－x )＝3－x .∵f (x )＝－f (－x )，∴当－1<x <－12时，f (x )＝－3－x .(3)解 任取x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1，则x －2k ∈⎝⎛⎭⎫12，1， ∵f (x )＝f (x －2k )＝3x －2k，log 3(3x－2k)>x 2－kx －2k 在x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时有解， 即x 2－(k ＋1)x <0在x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时有解， ∵k ∈N ＋，∴(0，k ＋1)∩⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1≠∅， ∴k ＋1>2k ＋12(k ∈N ＋)无解．∴不存在这样的k ∈N ＋，使得当x ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋12，2k ＋1时， log 3f (x )>x 2－kx －2k 有解．滚动检测二考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位臵上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·辽宁重点高中协作校期中)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{3,4,5}，N ＝{1,3,6}，则集合{4,5}等于( ) A ．M ∩(∁U N ) B ．(∁U M )∩(∁U N ) C ．(∁U M )∪(∁U N )D ．M ∪(∁U N )2．(2017·黄山质检)下列命题中正确的是( ) A ．若p 或q 为真命题，则p 且q 为真命题B ．若直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，则a ＝1C ．若命题“存在x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是a <－1或a >3D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”3．(2018·大同调研)给定函数：①y ＝x 12，②y ＝1x ，③y ＝|x |－1，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，其中既是奇函数又在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．① B ．②C ．③D ．④4．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >a >cD ．c >b >a5．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]6．曲线y ＝e x 在点A (2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A ．e 2 B ．2e 2 C ．eD.e 227．函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图像大致是( )8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．若b ＝3，则a ＋c 的最大值为( ) A.32B ．3C ．2 3D ．99．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π410．(2018届佳木斯市鸡东县二中月考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π8，0，则函数f (x )的递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π8，2k π－π8(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π8，2k π＋3π8(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) 11．己知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－(x ＋1)2＋1，函数y 1＝f (x )的图像和函数y 2＝lg|x |的图像的交点个数为( )A ．8B ．9C ．16D ．1812．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1} 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2017·洛阳一模)已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________． 14．若sin(π＋α)＝35，则cos (－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫－α－π2＋1sin (3π－α)－cos ⎝⎛⎭⎫－α－π2的值是________．15．(2017·唐山一模)将函数f (x )＝cos ωx 的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的图像，则正数ω的最小值为________． 16．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m ) n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m ) n －m .则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪18≤2x －2≤16，B ＝{x |2m ＋1≤x ≤3m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2018届重庆一中月考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3(0<φ<2π)，若f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)． (1)求y ＝f (x )的解析式和递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2时，求y ＝f (x )的值域．19．(12分)(2018·葫芦岛调研)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产1件这样的产品，还需增加投入0.5万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫5t －1200t 2 万元． (1)设该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ＝2处的切线方程； (2)求函数f (x )在x ∈[1,2]时的最大值．21.(12分)在△ABC 中，设边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .A ，B ，C 都不是直角，且ac cos B ＋bc cos A ＝a 2－b 2＋8cos A . (1)若sin B ＝2sin C ，求b ，c 的值； (2)若a ＝6，求△ABC 面积的最大值．22．(12分)已知f (x )＝ln(1＋x )－axx ＋1，x ∈R . (1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为5，求a 的值； (2)若函数f (x )的最小值为－a ，求a 的值；(3)当x >－1时，(1＋x )ln(1＋x )＋(ln k －1)x ＋ln k >0恒成立，求实数k 的取值范围．答案精析1．A 2.C 3.D 4.B5．D [因为f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数， 如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时恒成立，则|ax ＋1|≤|x －2|，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，当x －2≤ax ＋1时，a ≥1－3x ，而1－3x 在x ＝1处取最大值－2，所以a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．]6．D [y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点A (2，e 2)处的切线的斜率为e 2，相应的切线方程是y －e 2＝e 2(x －2)，当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×e 2×1＝e 22.]7．D [由y ＝e |ln x |－|x －1|可知，函数过点(1,1)， 当0＜x ＜1时，y ＝e－ln x－1＋x ＝1x ＋x －1，y ′＝－1x2＋1＜0.∴y ＝e －ln x －1＋x 在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，y ＝e ln x －x ＋1＝1，故选D.] 8．C [∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列， ∴2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )，∵A ＋B ＋C ＝π，∴2sin B cos B ＝sin B ， 又∵sin B ≠0，∴cos B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3， ac ≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2－33≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22， 即(a ＋c )2≤12，∴a ＋c ≤2 3.]9．B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位长度后，得到的图像的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.]10．C [由题意得2×π8＋φ＝k π(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝3π4，因此2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．∴k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．]11．D [函数y 1＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故f (1＋x )＝f (1－x )． 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (1－x )＝f (x －1)， 因此f (x ＋1)＝f (x －1)，从而函数f (x )是周期为2的函数．可根据函数性质作出函数y 1＝f (x )的图像和函数y 2＝lg|x |的图像，因为函数f (x )的值域为[0,1]，所以只需要考虑区间[－10，10]，数形结合可得交点个数为18.故选D.]12．C [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )恰有两个零点，转化为ln x －ax 2＋ax ＝0，即方程ln x x ＝a (x －1)恰有两解，设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上是增函数， 在(e ，＋∞)上是减函数，且g (1)＝0，当x >e 时，g (x )>0，g ′(1)＝1，作出函数y 1＝g (x )和函数y 2＝a (x －1)的图像如图所示，由图可知，两个函数有两个交点的充要条件是0<a <1或a >1，故选C.] 13.⎝⎛⎭⎫45，1解析 已知p ：任意x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，故m >2x x 2＋1，令g (x )＝2xx 2＋1，则g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上是增加的，故g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝45，故p 为真时，m >45； q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，若f (x )存在零点，则2－m －1>0，解得，m <1， 故q 为真时，m <1；若“p 且q ”为真命题， 则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1. 14．－5615.32解析 f (x )向右平移π2个单位长度后得g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2ω. ∵sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －3π4， ∴ωx －π2ω＝ωx －3π4＋2k π(k ∈Z )，∴ω＝32－4k (k ∈Z )，∴正数ω的最小值为32.16.⎝⎛⎭⎫12，1解析 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根． 令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1.17．解 (1)18≤2x －2≤16,2－3≤2x －2≤24，∴－3≤x －2≤4，∴－1≤x ≤6，∴A ＝{x |－1≤x ≤6}． (2)若B ＝∅，则2m ＋1>3m －1，解得m <2，此时满足题意； 若B ≠∅且B ⊆A ，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≤3m －1，－1≤2m ＋1，3m －1≤6，解得2≤m ≤73.综上所述，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≤73. 18．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3， 由f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0可知，x ＝π8为函数的对称轴， 则2×π8＋φ＋π3＝k π＋π2，φ＝－π12＋k π，k ∈Z ，由0<φ<2π可知，φ＝11π12或φ＝23π12.又由f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)可知，－sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3>sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3， 则sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3<0， 验证φ＝11π12和φ＝23π12，则φ＝11π12符合，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π， 得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π12，5π4， 则f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22. 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 19．解 (1)当0＜x ≤500时，f (x )＝5x －1200x 2－x2－25；当x ＞500时，f (x )＝5×500－1200×5002－x2－25，故f (x )＝⎩⎨⎧－1200x 2＋92x －25，0<x ≤500，－12x ＋1 225，x >500.(2)当0＜x ≤500时，f (x )＝－1200(x －450)2＋19752. 故当x ＝450时，f (x )max ＝1 9752＝987.5；当x ＞500时，f (x )<－12×500＋1 225＝975，故当该公司的年产量为450件时，当年获得的利润最大． 20．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －12x 2＋1，∴f ′(x )＝1x－x ，∴f ′(2)＝－32，即x ＝2处的切线斜率k ＝－32.已知切点为(2，－1＋ln 2)，∴切线的方程为3x ＋2y －4－2ln 2＝0.(2)∵f ′(x )＝－ax 2＋(1－a )x ＋1x ＝(x ＋1)(1－ax )x (1≤x ≤2)，当a ≤0时，f ′(x )>0在[1,2]上恒成立， ∴f (x )在[1,2]上是增加的， ∴f (x )max ＝f (2)＝－4a ＋3＋ln 2；当1a ≥2，即0<a ≤12时，f ′(x )≥0在[1,2]上恒成立， ∴f (x )在[1,2]上是增加的， ∴f (x )max ＝f (2)＝－4a ＋3＋ln 2；当1<1a <2，即12<a <1时，f (x )在⎣⎡⎤1，1a 上是增加的， 在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减少的，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝12a －ln a ； 当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1,2]上是减少的，∴f (x )max ＝f (1)＝－32a ＋2.综上所述，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＋3＋ln 2，a ≤12，－ln a ＋12a ，12<a <1，－32a ＋2，a ≥1.21．解 (1)∵ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＋bc ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2－b 2＋8cos A ，∴b 2＋c 2－a 2＝8cos A ，∴2bc cos A ＝8cos A ， ∵cos A ≠0，∴bc ＝4. 又∵sin B ＝2sin C ，由正弦定理，得b ＝2c ，∴b ＝22，c ＝ 2. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －2bc cos A ， 即6≥8－8cos A ，∴cos A ≥14，当且仅当b ＝c 时取等号．∴sin A ≤154，∴S ＝12bc sin A ≤152， ∴△ABC 面积的最大值为152. 22．解 (1)∵f ′(x )＝x ＋1－a(x ＋1)2，∴f ′(0)＝1－a ＝5，∴a ＝－4.(2)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝11＋x －a(x ＋1)2＝x ＋1－a (x ＋1)2， 令f ′(x )＝0，则x ＝a －1，①当a －1≤－1，即a ≤0时，在(－1，＋∞)上，f ′(x )>0， 函数f (x )是增加的，无最小值．②当a －1>－1，即a >0时，在(－1，a －1)上，f ′(x )<0， 函数f (x )是减少的；在(a －1，＋∞)上，f ′(x )>0，函数f (x )是增加的， ∴函数f (x )的最小值为f (a －1)＝ln a －a ＋1＝－a ， 解得a ＝1e.综上，若函数f (x )的最小值为－a ，则a ＝1e .(3)由(1＋x )ln(1＋x )＋(ln k －1)x ＋ln k >0，得 ln(1＋x )－x x ＋1＋ln k >0，即－ln k <ln(1＋x )－xx ＋1，令a ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )－xx ＋1， 由(2)可知，当a ＝1时，f (x )在(－1,0)上是减少的，在(0，＋∞)上，f (x )是增加的，∴在(－1，＋∞)上，f (x )min ＝f (0)＝0， ∴－ln k <0，即k >1.滚动检测三考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位臵上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·绵阳一诊)设命题p ：⎝⎛⎭⎫12x＜1，命题q ：ln x ＜1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．cos(－2 640°)＋sin 1 665°等于( ) A.1＋22B ．－1＋22C.1＋32D ．－1＋323．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 等于( ) A ．－14B.14C.78D.11164．(2018·新余模拟)在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.则满足条件的三角形的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．05．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b6．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]7．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增加的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝cos xD ．y ＝x 2＋2x8．(2017·重庆三诊)已知a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则实数m 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．49．(2018届洛阳联考)已知点O 是锐角△ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( ) A ．m ＋n ≤－2 B ．－2≤m ＋n <－1 C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <010．若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，若f (x )满足f (x ＋π)＝－f (x )，且f (0)＝12，则函数h (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．[－1，3] B ．[－2，3] C ．[－3，2]D ．[1，3]12．对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12e B.⎝⎛⎭⎫－∞，12e C.⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12e ，1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．1(2x ⎰＋1－x 2)d x ＝________.14．(2018届乐山调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为______．15．(2017·石嘴山三模)给出下列命题：①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1＞a b，则a ＜b ； ②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若任意x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)＜f (2)一定成立；③命题“存在x ∈R ，使得x 2－2x ＋1＜0”的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件．其中正确的命题的序号是________．16．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，若在区间[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2018·泉州模拟)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4，f (x )＝m ·n . (1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围．18．(12分)(2017·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(sin C －sin A )＝sin B .(1)求b c －a的值； (2)若b ＝2，BA →·BC →＝32，求△ABC 的面积．19.(12分)已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)分别求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)．20．(12分)(2018届西安模拟)已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，设向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12. (1)若m ∥n ，求x 的值；(2)若m·n ＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的值．21.(12分)某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第t 分钟内投放净化剂的路径长度p (t )＝140－|t －40|(单位：m)，净化剂净化水体的宽度q (单位：m)是时间t (单位：分钟)的函数：q (t )＝1＋a 2t(a 由单位时间投放的净化剂数量确定，设a 为常数，且a ∈N ＋)．(1)试写出投放净化剂的第t 分钟内净化水体面积S (t )(1≤t ≤60，t ∈N ＋)的表达式；(2)求S (t )的最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若f(x)有极值0，求实数a，并确定该极值为极大值还是极小值；(2)在(1)的条件下，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥mx ln(x＋1)恒成立，求实数m的取值范围．答案精析1．B [命题p ：⎝⎛⎭⎫12x ＜1，即x ＞0；命题q ：ln x ＜1，即0＜x ＜e ，所以p 是q 成立的必要不充分条件，故选B.]2．B [cos(－2 640°)＝cos 2 640°＝cos(7×360°＋120°)＝cos 120°＝－12， sin 1 665°＝sin(4×360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22， 故cos(－2 640°)＋sin 1 665°＝－12－22＝－1＋22.] 3．A [在△ABC 中，∵b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，由正弦定理， 得2b ＝3c ，可得a ＝2c ，b ＝32c ，再由余弦定理可得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝⎝⎛⎭⎫32c 2＋c 2－4c 22×32c ×c ＝－14，故选A.] 4．B [由正弦定理，得c sin C ＝b sin B ，sin C ＝32，由于c ＞b ， 所以有两种可能，故选B.]5．A [∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴⎝⎛⎭⎫12|－x －m |－1＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1，∴|－x －m |＝|x －m |，(－x －m )2＝(x －m )2，∴mx ＝0，m ＝0.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |－1，∴f (x )在[0，＋∞)是减少的，并且a ＝f (|log 123|)＝f (|log 23|)，b ＝f (|log 25|)，c ＝f (0)．∵0＜log 23＜log 25，∴c ＞a ＞b ，故选A.]6．D [因为f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，－1]上恒成立，即a ≤(3x 2)min ＝3，故选D.]7．B [对于答案A ，C ，当取x 1＝1，x 2＝2时，显然x 1＜x 2，但y 1＞y 2，故不是递增函数，则两个答案都不正确；对于答案D ，由于f (－1)＝1＋12＝32，f (1)＝1＋2＝3，即f (－1)≠f (1)，故不是偶函数，也不正确；对于答案B 结合所学基本初等函数的图像和性质可知函数f (x )＝lg|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，lg (－x )，x ＜0是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的，故选B.]8．C [由a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0,6－2m ＝0，解得m ＝3，故选C.]9．C [∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC →＝mOA →＋nOB →，∴|OC →|＝|mOA →＋nOB →|，可得OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →，而OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB <|OA →|·|OB →|＝1.∴1＝m 2＋n 2＋2mnOA →·OB →<m 2＋n 2＋2mn ，∴m ＋n <－1或m ＋n >1，如果m ＋n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形，∴m ＋n <－1，故选C.]10．A [(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝CB →·(MB →－MA →＋MC →－MA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 的形状为等腰三角形．]11．A [因为f (x ＋π)＝－f (x )，所以函数f (x )的周期为2π，ω＝1，由f (0)＝sin φ＝12且|φ|＜π2，得φ＝π6， 所以h (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2知π6≤x ＋π6≤2π3， 所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，h (x )∈[－1，3]， 故选A.]12．A [由x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0(x ＞0，y ＞0)，得a ＝x 2(ln y －ln x )y 2＝ln y x⎝⎛⎭⎫y x 2，令t ＝y x (t ＞0)，所以a ＝ln t t 2.设g (t )＝ln t t 2(t >0)，g ′(t )＝1t ·t 2－(ln t )2t t 4＝1－2ln t t 3， 令g ′(t )＞0，得0＜t ＜e ，g (t )是增加的；令g ′(t )＜0，得t ＞e ，g (t )是减少的．所以g (t )最大值为g (e)＝12e.又当t ＞1时，g (t )＞0；当0＜t ＜1时，g (t )＜0，故当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12e 时，存在两个正数t ，使a ＝ln t t 2成立，即对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，故选A.]13．1＋π4解析 由微积分基本定理，得10⎰2x d x ＝x 2|10＝1，曲线y ＝1－x 2(0<x <1)表示单位圆的四分之一，则10⎰1－x 2d x ＝14×π×12＝π4， 由此可得，10⎰ (2x ＋1－x 2)d x ＝1＋π4. 14.13 解析 ∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理可得BC ＝19，又根据余弦定理可得cos ∠ABC ＝419，AM →·BC →＝(BM →－BA →)·BC →＝λBC →2－BA →·BC →＝19λ－3×19×419＝－173， 解得λ＝13. 15．①③解析 ①已知a ，b 都是正数，a ＋1b ＋1＞a b，ab ＋b ＞ab ＋a ，则a ＜b 正确； ②若f (x )是常函数，则f (1)＜f (2)不成立，③命题“存在x ∈R ，使得x 2－2x ＋1＜0”是假命题，则它的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”⇒“x ＋y ≤2”，反之不成立，则“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充分不必要条件．正确的命题序号为①③.16．(6，＋∞)解析 三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0，则x 1＝1，x 2＝－1(舍去)，∵函数的定义域为[0,2]，∴当x ∈[0,1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间[0,1)上是减少的，在区间(1,2]上是增加的，则f (x )min ＝f (1)＝m －2，f (x )max ＝f (2)＝m ＋2，f (0)＝m ，由题意知，f (1)＝m －2＞0；①由f (1)＋f (1)＞f (2)，得－4＋2m ＞2＋m ，②由①②得m >6.17．解 (1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12， 而f (x )＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.又∵2π3－x ＝π－2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 ＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝－12. (2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b . 即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. 又∵0＜B ＜2π3， ∴π6＜B 2＋π6＜π2，∴f (B )∈⎝⎛⎭⎫1，32. 18．解 (1)由正弦定理，得2(c －a )＝b ，即b c －a＝2； (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2(c －a )＝b ，b ＝2，BA →·BC →＝ca cos B ＝32， 即⎩⎪⎨⎪⎧ c －a ＝1，ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，所以cos B ＝34， 所以sin B ＝74，所以S ＝12ac sin B ＝74.19．解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝221＋22＋122＋1＝1， 同理可得f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)令S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)， 则S ＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f (2 011)＋f (2 010)＋…＋f (2)＋f (1)， 则2S ＝4 022，故S ＝2 011.20．解 (1)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m ∥n ， 所以sin x ·12＝cos x ·32，即tan x ＝3， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以x ＝π3. (2)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m·n ＝35， 所以32sin x ＋12cos x ＝35， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，令θ＝x ＋π6， 则x ＝θ－π6，且sin θ＝35， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝ 1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π12＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin θcos π4－cos θsin π4＝35×22－45×22＝－210.21．解 (1)由题意， 得S (t )＝p (t )·q (t )＝(140－|t －40|)⎝⎛⎭⎫1＋a 2t ＝⎩⎨⎧ 100＋a 2＋t ＋100a 2t，1≤t ＜40，t ∈N ＋，180－a 2－t ＋180a 2t ，40≤t ≤60，t ∈N ＋.(2)当40≤t ≤60且t ∈N ＋时，S (t )＝180－a 2－t ＋180a 2t ， 当t 增加时180a 2t减小，所以S (t )在40≤t ≤60上是减少的， 所以当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120.当1≤t ＜40且t ∈N ＋时，S (t )＝100＋a 2＋t ＋100a 2t ≥100＋a 2＋20a (当且仅当t ＝10a 时，等号成立)，①若a ＝1或2或3；当t ＝10a 时，上述不等式中的等号成立，S (t )在1≤t ＜40范围中有最小值a 2＋20a ＋100.又在40≤t ≤60时S (t )有最小值2a 2＋120.当a ＝1时，100＋a 2＋20a ＝121＜122＝2a 2＋120，故S (t )有最小值121；当a ＝2或a ＝3时，100＋a 2＋20a ＞2a 2＋120，故S (t )有最小值2a 2＋120.②若a ≥4且1≤t ＜40时，因为S (t ＋1)－S (t )＝1＋100a 2t ＋1－100a 2t ＝1－100a 2t (t ＋1)<0， 所以S (t ＋1)<S (t )，故S (t )在1≤t <40时是减少的；又S (t )在40≤t ≤60时是减少的，且100＋a 2＋40＋100a 240＝180－a 2－40＋180a 240， 所以S (t )在1≤t ≤60时是减少的．所以，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120.综上，若a ＝1，当t ＝10时，S (t )有最小值121；若a ≥2且a ∈N *，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120.22．解 (1)f ′(x )＝e x －a .①若a ≤0，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，＋∞)上是增加的，无极值，不符合题意；②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，ln a )上是减少的；当x ∈(ln a ，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )在(ln a ，＋∞)上是增加的． 所以，当x ＝ln a 时，f (x )取到极小值，f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝0，即a ln a －a ＋1＝0.令φ(a )＝a ln a －a ＋1(a >0)，则φ′(a )＝ln a ＋a ·1a－1＝ln a ， 当0＜a ＜1时，φ′(a )＜0，φ(a )是减少的；当a ＞1时，φ′(a )＞0，φ(a )是增加的．又φ(1)＝0，所以a ln a －a ＋1＝0有唯一解a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝e x －x －1，当x ≥0时，f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立，即e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0(x ∈[0，＋∞))恒成立．令g (x )＝e x －x －mx ln(x ＋1)－1(x ∈[0，＋∞))，则g ′(x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mx x ＋1(x ∈[0，＋∞))， 令h (x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mx x ＋1(x ∈[0，＋∞))， 则h ′(x )＝e x －m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1， h ′(0)＝1－2m,0＜1(x ＋1)2＋1x ＋1≤2(当且仅当x ＝0时取“＝”)． ①当m ≤0时，h ′(x )＞0，h (x )在[0，＋∞)上是增加的， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即h (x )≥0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增加的，所以g (x )min ＝g (0)＝0，所以g (x )≥0，所以e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0，即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立．②当0＜m ≤12时，h ′(x )是增函数， h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ≥0，所以h ′(x )＞0，故h (x )在[0，＋∞)上是增加的，所以h (x )min ＝h (0)＝0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增加的，所以g (x )min ＝g (0)＝0， 所以g (x )≥0，即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立．③当m ＞12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ＜0，当x →＋∞时，e x →＋∞，－m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1→0，所以h ′(x )→＋∞，则存在x 0＞0，使得h ′(x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，x 0)上是减少的， 此时h (x 0)＜h (0)＝0，即g ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，所以g (x )在(0，x 0)上是减少的，g (x 0)＜g (0)＝0，不符合题意． 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.滚动检测四考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位臵上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(3,10) D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ－sin 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C. 35D. 453．(2018届衡水联考)已知命题p ：任意x ∈R ，(2－x )12<0，则命题綈p 为( )A ．存在x ∈R ，(2－x )12>0B ．任意x ∈R ，(1－x )12>0C ．任意x ∈R ，(1－x )12≥0D ．存在x ∈R ，(2－x )12≥04．(2018·济宁模拟)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1，－1)D ．(1,3)5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,1)，若向量a －λb 与向量c ＝(5，－2)共线，则λ的值为( ) A.43 B.413 C ．－49D ．46．(2017·贵阳适应性考试)设命题p ：若y ＝f (x )的定义域为R ，且函数y ＝f (x －2)图像关于点(2,0)对称，则函数y ＝f (x )是奇函数，命题q ：任意x ≥0， 12x ≥13x ，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p )或q C ．p 且(綈q )D ．(綈p )且(綈q )7．已知a ＝1213⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝121log 3，c ＝31log 2，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >b >cD ．b >a >c8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 39．(2018届吉林松原模拟)已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →等于( )。