江苏省南京市海安高级中学、外国语学校、金陵中学联考2015届高考数学四模试卷

江苏省南京一中等五校联考2015届高考数学四模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．（5分）已知集合M={x|x＜1}，N={x|lg（2x+1）＞0}，则M∩N=．2．（5分）若复数是纯虚数，则实数a的值为．3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，2014-2015学年高一年级有30名，2014-2015学年高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了6名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为．4．（5分）执行如图的流程图，得到的结果是．5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为．6．（5分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为．7．（5分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．8．（5分）直线l过点（﹣1，0），且与直线3x+y﹣1=0垂直，直线l与圆C：（x﹣2）2+y2=1交于M、N两点，则MN=．9．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是．10．（5分）函数y=sinα（sinα﹣cosα）（α∈[﹣，0]）的最大值为．11．（5分）已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•=．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是．14．（5分）各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有项．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），其图象经过点M（，），且与x轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a=13，f（A）=，f（B）=，求△ABC的面积．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．17．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，F1、F2为椭圆左、右焦点，点B为下顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（x0，y0）是椭圆C上第一象限的点．①若M为线段BF1上一点，且满足=•，求直线OP的斜率；②设点O到直线PF1、PF2的距离分别为d1、d2，求证：+为定值，并求出该定值．18．（15分）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求⊙P的半径（用θ表示）；（2）求⊙Q的半径的最大值．19．（16分）已知a为实数，函数f （x）=a•lnx+x2﹣4x．（1）是否存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[1，e]，使得f （x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．20．（16分）已知两个无穷数列{a n}，{b n}分别满足|a n+1﹣a n|=2，b=4b，且a1=1，b1=﹣1．（1）若数列{a n}，{b n}都为递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数r（r∈N*），使得c r+1＜c r，称数列{c n}为“梦r数列”；设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，①若数列{a n}为“梦5数列”，求S n；②若{a n}为“梦r1数列”，{b n}为“梦r2数列”，是否存在正整数m，使得S m+1=T m，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．【选做题】请考生在四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-1几何证明选讲】21．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．证明：AD•DE=2PB2．【选修4-2矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=（1）求A﹣1；（2）满足AX=A﹣1二阶矩阵X．【选修4-4坐标系与参数方程选讲】23．已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．【不等式选讲】24．已知实数x，y，z满足3x+2y+z=1，求x2+2y2+3z2的最小值．【必做题】第25题，第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AA1=AC=4，AA1⊥平面ABC；AB⊥AC，（1）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（2）在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求的值．26．（10分）（1）证明：①C+C=C；②C=2C（其中n，r∈N*，0≤r≤n﹣1）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设2n+1局，每局比赛甲获胜的概率均为p（p＞），首先赢满n+1局者获胜（n∈N*）．①若n=2，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）．江苏省南京一中等五校联考2015届高考数学四模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．（5分）已知集合M={x|x＜1}，N={x|lg（2x+1）＞0}，则M∩N=（0，1）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：N={x|lg（2x+1）＞0}={x|2x+1＞1}={x|x＞0}，∵M={x|x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故答案为：（0，1）点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若复数是纯虚数，则实数a的值为1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a 的值．解答：解：∵复数==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案为：1．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，2014-2015学年高一年级有30名，2014-2015学年高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了6名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为8．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：首先根据2014-2015学年高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以2014-2015学年高二的学生数，得到2014-2015学年高二要抽取的人数．解答：解：∵2014-2015学年高一年级有30名学生，在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵2014-2015学年高二年级有40名学生，∴要抽取40×=8名学生，故答案为：8点评：本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数，本题是一个基础题．4．（5分）执行如图的流程图，得到的结果是．考点：循环结构．专题：阅读型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算S的值，并输出，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/0 0第一圈是 1第二圈是 2第三圈是 3第四圈否故最后输出的结果为：故答案为：点评：本题主要考查了循环结构，以及根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得它的渐近线方程为y=x，对照已知条件得=，结合平方关系，得到c==a，从而求得该双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线的方程为，∴该双曲线的渐近线方程为y=x∵双曲线一条渐近线方程为y=x，∴=，得b=a，所以c== a因此，双曲线的离心率为e==故答案为：点评：本题给出中心在原点的双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．6．（5分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：将一颗骰子先后抛掷2次，含有36个等可能基本事件，两数中至少有一个奇数包含两个数有一个奇数，两个数都是奇数两种情况，这样做起来比较繁琐，可以选用它的对立事件来，对立事件是两数均为偶数，通过列举得到结论．解答：解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件记“两数中至少有一个奇数”为事件A，则事件A与“两数均为偶数”为对立事件，两数都是偶数包含（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）共9中结果，∴P（A）=1﹣=．故答案为：点评：本题考查的是古典概型，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．7．（5分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：根据圆锥的体积计算出圆锥的高，以及圆锥的母线，进而求出圆锥的侧面积．解答：解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h=4，∴圆锥的母线长l=，∴圆锥的侧面积S=πrl=3×5π=15π，故答案为：15π．点评：本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算，要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式．8．（5分）直线l过点（﹣1，0），且与直线3x+y﹣1=0垂直，直线l与圆C：（x﹣2）2+y2=1交于M、N两点，则MN=．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：用点斜式求得直线l的方程，再根据点到直线的距离公式求得弦心距，再利用弦长公式求出弦长MN的值．解答：解：与直线3x+y﹣1=0垂直的直线的斜率为，∴直线l的方程为y﹣0=（x+1），即x﹣3y+1=0．圆心C（2，0）到直线l的距离d==，∴弦长MN=2=2=，故答案为：．点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．9．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是4．考点：基本不等式；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2 代入已知条件，化简为函数求最值．解答：解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号）则x+2y的最小值是4故答案为：4．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．10．（5分）函数y=sinα（sinα﹣cosα）（α∈[﹣，0]）的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：利用倍角公式、两角和差公式可得：函数y=+，由于α∈[﹣，0]，可得∈，因此取得最小值﹣1，y取得最大值．解答：解：函数y=sinα（sinα﹣cosα）==﹣sin2α=+，∵α∈[﹣，0]，∴∈，∴∈，∴当2=﹣，即α=时，取得最小值﹣1，y取得最大值．故答案为：．点评：本题考查了倍角公式、两角和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知画出图形，得到各向量的关系，求出等边三角形的边长，利用数量积公式解答．解答：解：由已知得到如图因为△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，所以EF∥CD，并且EF=，所以BE=，AC=2，所以AD=，•=||||cosD===3；故答案为：3．点评：本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是a＜4．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则函数f（x）=，不为单调函数，即﹣1+a＞2a﹣5，综合讨论结果可得答案．解答：解：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则﹣1+a＞2a﹣5，解得：a＜4，∴2≤a＜4，综上所述：实数a的取值范围是a＜4，故答案为：a＜4点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．13．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是[，）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据已知即可求得f（x）在[，1]上的解析式为f（x）=﹣lnx，从而可画出f（x）在上的图象，而容易知道g（x）与x轴交点个数便是y=f（x）与y=ax交点个数．通过图象可以看出直线y=ax在其与f（x）=lnx的切点和曲线y=f（x）的右端点之间，从而分别求出相切时a的值和经过右端点时a的值即可．解答：解：设x∈，则∈[1，3]；∴根据条件；g（x）与x轴有三个不同的交点即表示函数y=f（x）和函数y=ax有三个不同交点，如图所示：由图可看出当直线y=ax与曲线f（x）=lnx，x∈[1，3]，相切时直线y=ax和曲线y=f（x）有两个公共点；若直线y=ax再向下旋转便有三个交点，直到y=ax经过曲线y=f（x）的右端点，再向下旋转便成了两个交点；设切点为（x0，lnx0），∴，又，∴；∴此时lnx0=1，x0=e；∴此时a=；y=f（x）的右端点坐标为（3，ln3）；∴直线y=ax经过右端点时，a=；∴实数a的取值范围是．故答案为：[）．点评：考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法，数形结合解题的方法，以及直线和曲线相切时的斜率和曲线在切点处导数的关系．14．（5分）各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有7项．考点：等差数列的通项公式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过写出首项的平方与其余各项之和的表达式，利用一个数的平方最小为0，化简即可．解答：解：+a2+a3+…+a n=+n2+n（a1﹣1）﹣a1=+（n﹣1）（a1+n）=+（n﹣1）a1+n（n﹣1）=（a1+）2+n（n﹣1）﹣=（a1+）2+≤33，为了使得n尽量大，故（a1+）2=0，∴≤33，∴（n﹣1）（3n+1）≤132，当n=6时，5×19＜132，当n=7时，6×22=132，∴n max=7，故答案为：7．点评：本题考查求数列的项数，考查计算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），其图象经过点M（，），且与x轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a=13，f（A）=，f（B）=，求△ABC的面积．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质．分析：①由图象与x轴两个相邻的交点的距离为π确定周期，然后以点M（，）代人函数解析式求φ，②由f（A）=，f（B）=，求出sinA=，sinB=，再求sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，根据正弦定理求边b，然后应用面积公式即可．解答：解：①依题意T=2π，∴ω=1，∴函数f（x）=sin（x+φ）∵f（）=sin（+φ）=，且0＜φ＜π，∴＜+φ＜π，+φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（x+）=cosx②∵f（A）=cosA=，f（B）=cosB=，∴A，B∈（0，），∴sinA=，sinB=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，∵在三角形ABC中，=，∴b=15，∴S△ABC=absinC=×13×15×=84点评：本题主要考查怎样求函数解析式，灵活运用诱导公式，同角三角函数的基本关系，正弦定理及面积公式．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明A1C∥平面AB1D；（2）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．解答：证明：（1）记A1B∩AB1=O，连接OD．∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD．…2分又∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．…6分注意：条件“A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！（2）∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．…8分∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C．或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C．…10分∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM．…12分又∵BM⊥B1D，AD∩B1D=D，AD，B1D⊂平面AB1D，∴BM⊥平面AB1D．又∵BM⊂平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM．…14分．点评：本题主要考查线面平行和面面垂直的判定，根据平行和垂直的判定定理是解决本题的关键．17．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，F1、F2为椭圆左、右焦点，点B为下顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（x0，y0）是椭圆C上第一象限的点．①若M为线段BF1上一点，且满足=•，求直线OP的斜率；②设点O到直线PF1、PF2的距离分别为d1、d2，求证：+为定值，并求出该定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，求出a，b，c．即可求椭圆C的标准方程；（2）①设M（t，﹣2t﹣2），由=•，得，代入椭圆方程得：+6（t+1）2=1，求出M的坐标，即可求直线OP的斜率；②求出点O到直线PF1、PF2的距离分别为d1、d2，利用椭圆的定义证明：+为定值．解答：解：（1）由题意知，2b=4，∴b=2，又∵e==，且a2=b2+c2，解得：a=，c=1，∴椭圆C的标准方程为=1；…4分（2）①由（1）知：B（0，﹣2），F1（﹣1，0），∴BF1：y=﹣2x﹣2 …5分设M（t，﹣2t﹣2），由=•，得…7分代入椭圆方程得：+6（t+1）2=1，∴36t2+60t+25=0，∴（6t+5）2=0，∴t=﹣，∴M（﹣，﹣）…9分∴OM的斜率为，即直线OP的斜率为；…10分②由题意，PF1：y=（x+1），即y0x﹣（x0+1）y+y0=0 …11分∴d1=，同理可得：d2=∴=•，=PF1+PF2=2a=…15分点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（15分）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求⊙P的半径（用θ表示）；（2）求⊙Q的半径的最大值．考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：（1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．可得|OP|=80﹣r P，由此求得r P的解析式．（2）由|PQ|=r P+r Q，求得r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得r Q=80（﹣1﹣+），再利用二次函数的性质求得它的最大值．解答：解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80﹣r P，∴+r P=80，∴r P=（0＜θ＜）．（2）∵|PQ|=r P+r Q∴|OP|﹣|OQ|=﹣=r P+r Q，∴r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），∴r Q=80•=80（﹣1﹣+），令m=∈（，1），r Q=80（﹣2m2+3m﹣1），∴m=时，有最大值10．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求三角函数的最值，属于基础题．19．（16分）已知a为实数，函数f （x）=a•lnx+x2﹣4x．（1）是否存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[1，e]，使得f （x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）假设存在实数a，使f （x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，解出a的值，根据x=1的左右均为增函数，则x=1不是极值点．（2）先对f（x）进行求导，在[2，3]上单调增，则f'（x）≥0在[2，3]上恒成立．求得a的取值范围．（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h （x0）＜0，即函数h（x）=x+在[1，e]上的最小值小于零．对h（x）求导．求出h（x）的最小值即可．解答：解：（1）函数f （x）定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣4=假设存在实数a，使f （x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，…2分此时，f′（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f （x）递增；当x＞1时，f′（x）＞0，f （x）递增．∴x=1不是f （x）的极值点．故不存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值．…4分（2）f′（x）=，①当a≥2时，∴f′（x）≥0，∴f （x）在（0，+∞）上递增，成立；…6分②当a＜2时，令f′（x）＞0，则x＞1+或x＜1﹣，∴f （x）在（1+，+∞）上递增，∵f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，∴1+＜3，解得：﹣6＜a＜2综上，a＞﹣6．…10分（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h （x0）＜0，即函数h（x）=x+在[1，e]上的最小值小于零．﹣①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）的最小值为q，由h（e）=e+可得a＞，因为，所以a＞；…12分②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；…14分③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a）=2+a﹣aln（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）＜0成立．综上可得所求a的范围是：或a＜﹣2．…16分解法二：由题意得，存在x∈[1，e]，使得a（lnx﹣）＞x+成立．令m（x）=lnx﹣，∵m（x）在[1，e]上单调递增，且m（1）=﹣1＜0，m（e）=1﹣＞0 故存在x1∈（1，e），使得x∈[1，x1）时，m（x）＜0；x∈（x1，e]时，m（x）＞0故存在x∈[1，x1）时，使得a＜成立，…（☆）或存在x∈（x1，e]时，使得a＞成立，…（☆☆）…12分记函数F（x）=，F′（x）=当1＜x≤e时，（x2﹣1）lnx﹣（x+1）2=（x2﹣1）•∵G（x）=lnx﹣=lnx﹣﹣1递增，且G（e）=﹣＜0∴当1＜x≤e时，（x2﹣1）lnx﹣（x+1）2＜0，即F′（x）＜0∴F（x）在[1，x1）上单调递减，在（x1，e]上也是单调递减，…14分∴由条件（☆）得：a＜F（x）max=F（1）=﹣2由条件（☆☆）得：a＞F（x）min=F（e）=综上可得，a＞或a＜﹣2．…16分．点评：本题主要考查利用导数解决函数极值问题和利用导数解决函数单调性和参数取值范围，2015届高考常考题型，难度较大．20．（16分）已知两个无穷数列{a n}，{b n}分别满足|a n+1﹣a n|=2，b=4b，且a1=1，b1=﹣1．（1）若数列{a n}，{b n}都为递增数列，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足：存在唯一的正整数r（r∈N*），使得c r+1＜c r，称数列{c n}为“梦r数列”；设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，①若数列{a n}为“梦5数列”，求S n；②若{a n}为“梦r1数列”，{b n}为“梦r2数列”，是否存在正整数m，使得S m+1=T m，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．考点：数列的应用；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）a n+1﹣a n=2，，判断得出调查网，等比数列即可求解通项公式．（2）①根据题目条件判断：数列{a n}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，求解S n即可．②运用数列{b n}为“梦数列”且b1=﹣1，综合判断数列{b n}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得S m+1=T m，显然m≠1，且T m为奇数，而{a n}中各项均为奇数，即可得出；m必为偶数．再运用不等式证明m≤6，求出数列即可．解答：解：（1）数列{a n}，{b n}都为递增数列，∴a n+1﹣a n=2，，∴a n=2n﹣1，；（2）①∵数列{a n}满足：存在唯一的正整数r=5，使得a r+1＜a r，且|a n+1﹣a n|=2，∴数列{a n}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，故；②∵即b n+1=±2b n，∴，而数列{b n}为“梦数列”且b1=﹣1，∴数列{b n}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得S m+1=T m，显然m≠1，且T m为奇数，而{a n}中各项均为奇数，∴m必为偶数．首先证明：m≤6．若m＞7，数列{a n}中，而数列{b n}中，b m必然为正，否则，显然矛盾；（※）∴，设，易得，而，（m＞7），∴{d m}（m＞7）为增数列，且d7＞0进而{c m}（m＞7）为增数列，而c8＞0，∴（T m）min＞（S m）max，即m≤6．当m=6时，构造：{a n}为1，3，1，3，5，7，9，…，{b n}为﹣1，2，4，8，﹣16，32，64，…此时r1=2，r2=4所以m max=6，对应的r1=2，r2=4．点评：本题综合考查了学生运用新定义，求解数列的问题，结合不等式，函数的思想求解，考查了分析问题，解决问题的能力，属于难题．【选做题】请考生在四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-1几何证明选讲】21．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．证明：AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用切割线定理证明DC=2PB，BD=PB，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：由切割线定理得PA2=PB•PC．因为PC=2PA，D为PC的中点，所以DC=2PB，BD=PB．…5分由相交弦定理得AD•DE=BD•DC，所以AD•DE=2PB2．…10分．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-2矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=（1）求A﹣1；（2）满足AX=A﹣1二阶矩阵X．考点：矩阵乘法的性质；二阶行列式与逆矩阵．专题：矩阵和变换．分析：（1）通过变换计算即可；（2）通过AX=A﹣1可得X=A﹣1A﹣1，计算即可．解答：解：（1）∵A=，∴，∴A﹣1=；（2）∵AX=A﹣1，∴X=A﹣1A﹣1==，即．点评：本题考查矩阵乘法，注意解题方法的积累，属于基础题．【选修4-4坐标系与参数方程选讲】23．已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先求圆C的圆心坐标及点P的坐标，利用以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，借助于正弦定理可求切线的极坐标方程解答：解：由题设知，圆心2分∠CPO=60°，故过P点的切线的倾斜角为30° 4分设M（ρ，θ）是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，∠MOP=θ，∠OMP=30°﹣θ，∠OPM=150°由正弦定理得，∴8分∴ρcos（θ+60°）=1（或ρsin（30°﹣θ）=1），即为所求切线的极坐标方程.10分点评：本题以圆的参数方程为载体，考查直线的极坐标方程，关键是利用正弦定理求解．【不等式选讲】24．已知实数x，y，z满足3x+2y+z=1，求x2+2y2+3z2的最小值．考点：柯西不等式在函数极值中的应用．专题：选作题；不等式．分析：用条件3x+2y+z=1，构造柯西不等式进行解题即可解答：解：由柯西不等式，，…（4分）所以，当且仅当，即时，等号成立，所以x2+2y2+3z2的最小值为．…（10分）点评：本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用进行解决．【必做题】第25题，第26题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AA1=AC=4，AA1⊥平面ABC；AB⊥AC，（1）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（2）在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面A1BC1的法向量、平面BB1C1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（2）设D（x，y，z）是直线BC1上一点，且，可得，利用AD⊥A1B，即可求的值．解答：解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4），设平面A1BC1的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=3，则x=0，y=4，所以=（0，4，3）．同理可得，平面BB1C1的法向量为=（3，4，0），所以cos＜，＞=．由题知二面角A1﹣BC1﹣B1为锐角，所以二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．…5分（2）设D（x，y，z）是直线BC1上一点，且．所以（x，y﹣3，z）=λ（4，﹣3，4）．解得x=4λ，y=3﹣3λ，z=4λ．所以．由，即9﹣25λ=0．解得．因为，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B．此时，．…10分．点评：本题考查二面角的平面角，考查利用空间向量解决数学问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2015年江苏省大联考高考数学四模试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．(★★★★)已知集合A={x|x 2≤2x}，B={y|y＞1}，则A∩B等于 {x|1＜x≤2} ．2．(★★★★)若双曲线x 2-ay 2=1的离心率为，则正数a的值为 2 ．3．(★★★)将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是．4．(★★★)在下列四个图所表示的正方体中，能够得到AB⊥CD的是①②．5．(★★★)若过点P（2，-1）的圆（x-1）2+y 2=25的弦AB的长为10，则直线AB的方程是 x+y-1=0 ．6．(★★★)已知α是第二象限角，且sinα= ，则tan（α+ ）= ．7．(★★★)已知椭圆+ =1（m＞n＞0）的离心率为，且有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则椭圆的短轴长为 8 ．8．(★★★★)设m，n∈R，若直线l：mx+ny-1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为 3 ．9．(★★★)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a 2-b 2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c= 3 ．10．(★★★)已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y 2=8x相交于A、B，F为C的焦点．若|FA|=2|FB|，则k= ．11．(★★★)已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）= cos（x）+ x，则函数f（x）的零点有 7 个．12．(★★)半径为1的球内最大圆柱的体积为．13．(★★)双曲线- =1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l 1、l 2，点P在第一象限内且在l 1上，若PA⊥l 2，PB∥l 2，则该双曲线的离心率为 2 ．14．(★★)正四面体ABCD的棱长为1，其中线段AB∥平面α，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，线段EF在平面α上的射影E 1F 1长的范围是，．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(★★★)如图，这是一个半圆柱与多面体ABB 1A 1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为上的动点．（1）证明：PA 1⊥平面PBB 1；（2）设半圆柱和多面体ABB 1A 1C的体积分别为V 1，V 2，且AC=BC，求V 1：V 2．16．(★★★)已知点C的坐标为（0，1），A，B是抛物线y=x 2上不同于原点O的相异的两个动点，且•=0．（1）求证：∥；（2）若=λ（λ∈R），且•=0，试求点M的轨迹方程．17．(★★★)如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD是平行四边形，DD 1⊥平面ABCD，AB= AD，AD= A 1B 1，∠BAD=45o．（1）证明：BD⊥AA 1；（2）证明：AA 1∥平面BC 1D．18．(★★★)已知数列{a n}中，a 1=5，a 2=2，且2（a n+a n+2）=5a n+1．求证：（1）数列{a n+1-2a n}和{a n+1- a n}都是等比数列；（2）求数列{2 n-3a n}的前n项和S n．19．(★★★)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（-2，0），且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．20．(★★★)已知函数f（x）= （a∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）=-1的图象在区间（0，e上有公共点，求实数a的取值范围．。

2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{|0}U x x =∈>R ，集合{}2A x x =∈R ≥，则U A ð ▲ ． 2．如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则z 2的模为 ▲ ． 3．抛物线22y x =-的焦点坐标是 ▲ ．4．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l ax y -+=．则“3-=a ”是“1l ∥2l ”的 ▲ 条件． 5．当向量(1,1)==-a c ，(1,0)=b 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为 ▲ ．6．为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为 ▲ ．7．定义在R 上的偶函数()f x x a x b =-+-（其中a b 、为常数）的最小值为2，则22=a b + ▲ ．8．设不等式组2201010x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域为D ，()P x y ，是区域D 上任意一点，则2x y --的最小值是 ▲ ．9．已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ▲ ． 10．已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则sin(2)3πθ-= ▲ ． 11．已知22:1O x y +=e ，若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O e 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的任意一点，若7 88 6 1 8 9 1 5 7 8A 1-2Oyx212||||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．13．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 等于 ▲ ． 14．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且10<<k ），lBD =为定长，则ABC ∆的面积最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）函数π()cos(π)(0)2f x x ϕϕ=+<<的部分图象如图所示． （1）写出ϕ及图中0x 的值；（2）求()f x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中， 11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ． （1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；（3）设点,,,E F H G 分别是111111,,,B C AA A B B C 的中点，试判断,,,E F H G 四点是否共面，并说明理由．CBC 1B 1A 1A如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD ． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>且过点P ．右焦点为F ，点N （2,0）． （1）求椭圆E 的方程；（2）设动弦AB 与x 轴垂直，求证：直线AF 与直线BN 的交点M 仍在椭圆E 上．ABDCPβ α已知函数e ()xf x x=．（1）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （2）当0x >时，求证：()f x x >；（3）设函数()()F x f x bx =-，其中b 为实常数，试讨论函数()F x 的零点个数，并证明你的结论．20．（本小题满分16分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，122n n a a p +=+（p 为常数，1,2,3,n =L ）． （1）若312S =，求n S ；（2）若数列{}n a 是等比数列，求实数p 的值． （3）是否存在实数p ，使得数列1{}na 满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p 的值；若不存在，说明理由．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O e 外一点，PD 为切线，割线PEF 经过圆心O ，若12PF =，43PD =，求EFD ∠的度数．B ．选修4—2：矩阵与变换将曲线y ＝2sin4x 经矩阵M 变换后的曲线方程为y ＝sin x ，求变换矩阵M 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知0a b >，且1a b +=，求证：212122a b +++≤．【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111B A P A λ=（∈λR ）． （1）证明：PN ⊥AM ；（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．23．（本小题满分10分）已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数．2015年江苏高考数学模拟试卷（一）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{|02}x x ∈<<R 2．5 3． 1(,0)2- 4．充分不必要 5．2 6．0.625 7．28．3- 9．2π 10．410- 11． (,1][1,)-∞-+∞U 12．(]1,3 13．12 14．)1(222k l -． 解析：2．2225z i z z =-+==， 4．1230l l a a ⇒=-=∥或,7．由题意()f x x a x b =-+-为偶函数，故0a b +=，又()f x 的最小值为2，所以2a b -=，所以221a b ==10．4cos(2)sin 225πθθ+=-=-，3cos()0,cos245πθθ+>∴=Q，故sin(2)3πθ-12．设2PF x =，2448a x a a x++≥，所以2x a c a =-≥，所以13e <≤13．2222221232222212349141a a a d d d b b b d d q d q q q ++++==++++++，令214=1t q q ++，t 为正整数，所以214+1=0q q t +-，解得q =8t 时，12q =14．如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy ．设A (x ，y )，y >0．因AD =kAC =kAB ，故AD 2=k 2AB 2，于是(x -l )2+y 2=k 2(x 2+y 2)．所以，22222(1)21k x lx l y k --+-=-=2222222(1)()111l k l k x k k k ---+---≤2222(1)k l k -，于是，max21kly k =-，2max 2()2(1)ABD kl S k ∆=-，2max max 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）ϕ的值是π6．0x 的值是53． （2）由（1）可知：π()cos(π)3f x x =+．因为 11[,]23x ∈-，所以 ππππ362x -+≤≤． 所以 当ππ03x +=，即13x =-时，()f x 取得最大值1；当πππ62x +=，即13x =时，()f x 取得最小值0．16．证明：（1）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C ．因为 BC Ë平面11AB C ，11B C Ì平面11AB C ， 所以 //BC 平面11AB C ．（2）连接1BC ．在正方形11ABB A 中，1AB BB ^． 因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B I 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ， 所以 AB ^平面11BB C C ．因为 1B C Ì平面11BB C C ， 所以 1AB B C ^． 在菱形11BB C C 中，11BC B C ^．因为 1BC Ì平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ，1BC AB B I =，所以 1B C ^平面1ABC ． 因为 1AC Ì平面1ABC ， 所以 1B C ⊥1AC ． （3）,,,E F H G 四点不共面． 理由如下：因为 ,E G 分别是111,B C B C 的中点， 所以 GE ∥1CC ． 同理可证：GH ∥11C A ．因为 GE Ì平面EHG ，GH Ì平面EHG ，GE GH G I =，1CC Ì平面11AAC C ，11A C Ì平面11AAC C ，所以 平面EHG ∥平面11AAC C ． 因为 F ∈平面11AAC C ，所以 F ∉平面EHG ，即,,,E F H G 四点不共面．17．解：（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =，则tan tan tan tan()1tan tan CAE DAECAD CAE DAE CAE DAE ∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++961961x x x x==-⋅+， 化简得215540x x --=，解之得，18x =或3x =-（舍） 答：BC 的长度为18m ．（2）设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，CBC 1B 1A 1AH GFECBC 1B 1A 1A2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．设227()18135tf t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =，当27)t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数；当27,18)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当27t =时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+， 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m 时，αβ+取得最小值． 18．（1）解：因为2e =，所以a =，b =c ， 即椭圆E 的方程可以设为222212x y b b+=．将点P 的坐标代入得：213144b =+=， 所以，椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）证明：右焦点为F （1,0），设00(,)A x y ，由题意得00(,)B x y -．所以直线AF 的方程为：00(1)1y y x x =--， ① 直线BN 的方程为：00(2)2y y x x -=--， ② ①、 ②联立得，0000(1)(2)12y y x x x x --=---， 即003423x x x -=-，在代入②得，000034(1)123y x y x x -=---，即0023y y x =-．所以点M 的坐标为000034(,)2323x y x x ---．又因为2222220000200034(34)21()()2223232(23)M M x y x y x y x x x --++=+=--- ③将22012x y =-代入③得，2222202000222000(34)2(1)824182(23)2122(23)2(23)2(23)M M x x x x x x y x x x -+--+-+====---． 所以点M 在椭圆E 上．19．（1）解：2e e '()x xx f x x-=． 因为切线0ax y -=过原点(0,0)， 所以 00000200e e e x x x x x x x -=，解得：02x =． （2）证明：设2()e ()(0)xf xg x x x x ==>，则24e (2)'()x x x g x x -=． 令24e (2)'()0x x x g x x -==，解得2x =． x 在(0,)+∞上变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表所以 当2x =时，()g x 取得最小值2e4． 所以 当0x >时，2e ()14g x ?，即()f x x >．（3）解：()0F x =等价于()0f x bx -=，等价于20xe b x-=．注意0x ≠．令2()x e H x b x =-，所以3(2)()(0)x e x H x x x -'=≠． （I ）当0b ≤时， ()0H x >，所以()H x 无零点，即F(x)定义域内无零点．（II ）当0b >时，（i ）当0x <时，()0H x '>，()H x 单调递增；因为()H x 在(,0)-∞上单调递增，而11(H be b b -=-=⋅，又1>，所以(0H <．又因为1(n H nbe b b -=-=⋅，其中n N *∈，取13n b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，1b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示1b的整数部分．所以1e <<，3n >，由此(0H >． 由零点存在定理知，()H x 在(,0)-∞上存在唯一零点． （ii ）当02x <<时，()0H x '<，()H x 单调递减； 当2x >时，()0H x '>，()H x 单调递增．所以当2x =时，()H x 有极小值也是最小值，2(2)4e H b =-． ①当2(2)04e H b =->，即204e b <<时，()H x 在(0,)+∞上不存在零点； ②当2(2)04e H b =-=，即24e b =时，()H x 在(0,)+∞上存在惟一零点2；………12分 ③当2(2)04e H b =-<，即24e b >时，由1>有(1)0H b b =-=->，而(2)0H <，所以()H x 在(0,2)上存在惟一零点；又因为23b >，223224(2)44b b e e b H b b b b -=-=． 令31()2th t e t =-，其中22t b =>，23()2t h t e t '=-，()3t h t e t ''=-，()3t h t e '''=-， 所以2()30h t e '''>->，因此()h t ''在(2,)+∞上单调递增，从而2()(2)60h t h e ''>=->， 所以()h t '在(2,)+∞上单调递增，因此2()(2)60h t h e ''>=->， 故()h t 在(2,)+∞上单调递增，所以2()(2)40h t h e >=->．由上得(2)0H b >，由零点存在定理知，()H x 在(2,2)b 上存在惟一零点，即在(2,)+∞上存在唯一零点．综上所述：当0b ≤时，函数F(x)的零点个数为0；当2e 04b <<时，函数F(x)的零点个数为1；当2e 4b =时，函数F(x)的零点个数为2；当2e 4b >时，函数F(x)的零点个数为3．20．解：（1）因为 11a =，122n n a a p +=+，所以 21222a a p p =+=+，322222a a p p =+=+． 因为 312S =，所以 22226324p p p ++++=+=，即6p =． 所以 13(1,2,3,)n n a a n +-==L ．所以 数列{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列．所以 2(1)31322n n n n nS n --=⨯+⨯=． （2）若数列{}n a 是等比数列，则2213a a a =．由（1）可得：2(1)1(1)2p p +=⨯+．解得：0p =． 当0p =时，由122n n a a p +=+得：11n n a a +===L ． 显然，数列{}n a 是以1为首项，1为公比的等比数列． 所以 0p =．（3）当0p =时，由（2）知：1(1,2,3,)n a n ==L ．所以11(1,2,3,)nn a ==L ，即数列1{}n a 就是一个无穷等差数列．所以 当0p =时，可以得到满足题意的等差数列． 当0p ≠时，因为 11a =，122n n a a p +=+，即12n n pa a +-=， 所以 数列{}n a 是以1为首项，2p为公差的等差数列． 所以 122n p p a n =+-． 下面用反证法证明：当0p ≠时，数列1{}na 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列．假设存在00p ≠，从数列1{}na 中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为{}nb ． 设数列{}n b 的公差为d ．①当00p >时，0(1,2,3,)n a n >=L ． 所以 数列{}n b 是各项均为正数的递减数列． 所以 0d <．因为 1(1)(1,2,3,)n b b n d n =+-=L ， 所以 当11b n d >-时，111(1)(11)0n bb b n d b d d=+-<+--=，这与0n b >矛盾． ②当00p <时，令001022p pn +-<，解得：021n p >-．所以 当021n p >-时，0n a <恒成立． 所以 数列{}n b 必然是各项均为负数的递增数列． 所以 0d >．因为 1(1)(1,2,3,)n b b n d n =+-=L ， 所以 当11b n d >-时，111(1)(11)0n bb b n d b d d=+->+--=，这与0n b <矛盾． 综上所述，0p =是唯一满足条件的p 的值．第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 解：连结DO ，Q PD 为切线，PEF 为割线，∴2PD PE PF =⋅，又Q PD =12PF =，∴24PD PE PF==，∴8EF PF PE =-=，4EO =，Q PD 为切线，D 为切点，∴OD PD ⊥在Rt PDO V 中，4OD =，8PO PE EO =+=，∴30DPO ∠=o ，60DOP ∠=o ，Q OD OF =，∴1302EFD DOP ∠=∠=o ． B ．选修4—2：矩阵与变换解：由条件知点(x ，y)在矩阵M 作用下变换为点⎝⎛⎭⎫4x ，y 2，即M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4x y 2， 所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012，设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，于是有MM －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝14b ＝0c 2＝0d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝0d ＝2，所以M 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）由θθρcos 4sin 2=，得θρθρcos 4)sin (2=所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=．（2）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得04cos 4sin 22=--ααt t ．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则=+21t t αα2sin cos 4，=21t t α2sin 4-， ∴=-+=-=21221214)(t t t t t t AB αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+，当2πα=时，AB 的最小值为4．D ．选修4—5：不等式选讲解：()()()22221212121118a b a b +++++++=≤，∴212122a b +++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）证明：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．则P （λ，0,1），N （12，12，0），M （0,1，12），从而PN u u u r ＝（12－λ，12，－1），AM u u u u r ＝（0,1，12），PN AM ⋅u u u r u u u u r ＝（12－λ)×0＋12×1－1×12＝0，所以PN ⊥AM ；（2）平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA u u u r＝（0,0,1）．设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ），由（1）得MP u u u r ＝（λ，－1，12）．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021,021)21(,0,0z y x z y x MP m NP m λλ得 解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312λλλλ-+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m x x z x y 得令． ∵平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m |·|n ||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22，解得λ＝－12．故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12．23．解：（1）当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-， 所以，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）当3a =时，1114,31n a n a a -+==+．下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅L L ，m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立．∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立．2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．函数2()log (21)f x x =-的定义域为 ▲ ． 2．若复数iia ++2是实数（i 为虚数单位），则实数a 的值是 ▲ ． 3．在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ▲ ． 4．若()1cos 33πα-= ，则()sin 26πα-= ▲ ． 5．如图所示的流程图，若输入x 的值为 5.5-，则输出的结果c = ▲ ．6．已知实数x y ，满足约束条件 13230x x y x y ⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≤ 若z ax y =+取得最小值时的最优解有无数个，则a = ▲ ．7．给出下列命题：其中，所有真命题的序号为 ▲ ．（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中正确的是 ▲ ．8．设斜率为22的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点P 、Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．9．已知等比数列{}n a 各项都是正数，且42324,4a a a -==，则{}n a 前10项的和为 ▲ ．10．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别是2222a b c a b c +=，，，，则角C 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕπ=+>≤≤的部分图象，其中A B ，分别是图中的最高点和最低点，且5AB =，那么ωϕ+的值为 ▲ ． 12．若141m x x+-≥对任意的)1,0(∈x 恒成立，则m 的取值范围为 ▲ ． 13．若正实数a ，b ，c 满足2223108a ab b c +-=，且a>b ，若不等式5a +6b ≥kc 恒成立，则实数k 的最大值为 ▲ ．14．设三角形ABC 的内角A 、B 、C 所对边a 、b 、c 成等比数列，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a =sin θ)与b =(1，cos θ)互相平行，其中θ∈(0，2π)． （1）求sin θ和cos θ的值；（2）求f (x )=sin(2x ＋θ)的最小正周期和单调增区间．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 中点，N 是PC 中点， （1）求证：//MN 面PAB ；（2）若面PMC ⊥面PAD ，求证：CM AD ⊥．BDA O BM C DEF N xy如图，某小区有一矩形地块OABC ，其中2=OC ，3=OA （单位百米）．已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N ．现以点O 为坐标原点，线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF 满足函数()2202y x x =-+剟的图象．若点M 到y 轴距离记为t ． （1）当32=t 时，求直路l 所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，并求出最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 2e =﹒ （1）求椭圆E 的方程；（2）过点()1,0作斜率为k 的直线l 交点B 是点A 关于x 求出定点坐标﹒在数列{a n }中，1n a n=(n ∈N *)．从数列{a n }中选出k (k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项之列．例如数列11112358，，，为{a n }的一个4项子列． （1）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（2）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足108d -<< ； （3）如果{c n }为数列{a n }的一个m (m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤2－112m -．20．（本小题满分16分）已知函数xm x x x f --=ln )(． （1）若,2=m 求)(x f 的最值； （2）讨论)(x f 的单调性；（3）已知B A ,是)(x f 图像上的二个不同的极值点，设直线AB 的斜率为k ． 求证: 1->k第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．若35AC AB =，求FDAF的值．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c b M 有特征值11-=λ及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ． （1）求矩阵M ；（2）求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知222+=x y ，且x y ≠，求()()2211++-x y x y 的最小值．ABCDEFO【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，已知三棱锥ABC O -的侧棱OC OB OA ,,两两垂直，且2,1===OC OB OA ，E 是OC 的中点． （1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求二面角C BE A --的正弦值．23．（本小题满分10分）设整数3n ≥，集合{1,2,,},,P n A B =L 是P 的两个非空子集．记n a 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数． （1）求3a ； （2）求n a ．AECBO2015年江苏高考数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1(,)2+∞ 2．2 3．564．79- 5．1 6．－12 7．()1、()3、()4 89．1023 10．(0,]3π11．76π 12．1m ≥ 13． 14．解析：1．只要解不等式210x ->3．任意取两个球的种数有6种，取出两个都是白色的有2种， 116P =-6．直线y ＝－ax ＋z 与可行域（三角形）下边界x －2y －3＝0重合时z 最小，a=－128．设点P 、Q 在x 轴上的射影分别为焦点F 1、F 2，|PF 1|=2c (其中c 为|OF 1|的长)，从而|PF 2，所以2a =|PF 1|＋|PF 2|=，得e ． 9．由条件得11,2a q ==，则101023S =10．2222221cos 2442a b c a b ab C ab ab ab +-+===≥，又因为(0,)C π∈，得C ∈(0,]3π11． 23,6,2T T πω===得3πω=，又当0x =时，(0)1f =，得56πϕ=12．由题意可知0>m ，)1)(11(11x x x mx x m x -+-+=-+1111x mx m m x x-=+++++-≥∴14m ++，∴1m ≥13．由已知，2(4)(32)a b a b c +-=，40,320a b a b +>->，562(4)(32)a b a b a b +=++-≥min 56()a bk c+=≤14．sin cos tan sin cos tan A A C B B C ++=sin cos cos sin sin cos cos sin A C A C B C B C ++=sin()sin()A C B C ++=sin()sin()B A ππ--=sin sin B A =ba设a 、b 、c 的公比为q ，则b =aq ，c =aq 2，又 a 、b 、c 能构成三角形的三边，所以有222a aq aq aq aq a a aq aq ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，解得15151551q q q q R⎧-+<<⎪⎪⎪+-⎪<->⎨⎪∈⎪⎪⎪⎩或，即5151q -+<<． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）因为向量a 与b 平行，则sin θ=3cos θ，tan θ=3，又θ∈(0，2π)， 所以θ=3π，所以sin θ=32，cos θ=12；（2）由f (x )=sin(2x ＋θ)=sin(2)3x π+，得最小正周期T π=，由22k ππ-≤23x π+≤22k ππ+，k Z ∈，解得512k ππ-≤x ≤12k ππ+，k Z ∈， 所以f (x )的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈． 16．证明：（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，四边形ENMA 是平行四边形， 得//MN AE ，MN ⊄面PAB ，AE ⊂面PAB ，//MN ∴面PAB（2）过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，Q 面PMC ⊥面PAD ，面PMC I 面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂面PADAH ∴⊥面PMC ，CM ⊂面PMC ，AH ∴⊥CMQ PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM Q PA AH A =I ，PA 、AH ⊂面PAD ，CM ⊥面PAD ，AD ⊂Q 面PAD ，CM AD ∴⊥17．解：（1）由题意得()214,39M， 又因为2y x '=-，所以直线l 的斜率34-=k ，故直线l 的方程为()1442933y x -=--， 即92234+-=x y ． （2）由（1）易知)(2)2(:2t x t t y l --=--，即222++-=t tx y ．令0=y 得()122x t t=+，令0x =得22y t =+．由题意()2122,223t tt ⎧+⎪⎨⎪+⎩≤≤解得221t -≤≤． ()()2112222ODN S t t t ∆∴=⋅++()31444t t t=++．令()()31444g t t t t=++，则()()42222143443444t t g t t t t +-'=+-=()()2222324t t t +-=． 当6t =时，()60g '=；当()622,t ∈-时，()60g '<；∴所求面积的最大值为86918．解：（1）设椭圆E 的方程为22221x ya b +=，由已知得：2122a c c a⎧-=⎪⎨=⎪⎩21a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-= ，∴椭圆E 的方程为2212x y += （2）设()11,A x y ，()11,B x y -，则11x ≠，直线AP :11(1)1y y x x =--，与椭圆方程2222x y +=联立， 得()1222111234340x x y x x x -++-=，得113423P x x x -=-，点P 在直线AP 上，则1123P y y x =-，直线BP 方程：1111()(2)y y y x x x +=---，化简得：11(2)(2)y y x x =---，则直线BP 过定点(2,0)19．解：（1）3项子列111,,236；(答案不唯一)（2）由题意，知1≥b 1>b 2>b 3>b 4>b 5>0，所以d =b 2－b 1<0．若b 1=1，若{b n }为{a n }的一个5项子列，得b 2≤12，所以d =b 2－b 1≤12－1=－12，又b 5=b 1＋4d ，b 5>0，所以4d =b 5－b 1=b 5－1>－1，即d >－14，与d ≤－12矛盾，所以b 1≠1． 所以b 1≤12，因为b 5=b 1＋4d ，b 5>0，所以4d =b 5－b 1≥b 5－12>－12，即d >－18， 所以108d -<<．（3）由题意，设{c n }的公比为q ，则：c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)，因为{c n }为{a n }的一个m 项子项，所以q 为正有理数，且q <1，c 1=1a≤1(a ∈N *)， 设q =(,*KK L N L∈，且K ，L 互质，L ≥2)， 当K =1时，因为q =1L ≤12，所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)≤ 1＋12＋21()2＋……＋11()2m -=2－112m -； 当K ≠1时，因为c m =c 1qm －1=111m m K a L--⨯是{a n }的项，且K 、L 互质，所以a =K m －1×M (M ∈N*) 所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m =c 1(1＋q ＋q 2＋……＋q m －1)=1232111111()m m m m M K K L K L L----++++L 因为L ≥2，M ∈N *，所以c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤1＋12＋21()2＋……＋11()2m -=2－112m -； 综上，c 1＋c 2＋c 3＋……＋c m ≤2－112m -．20．解：（1）当2=m 时， 222(2)(2)(1)()0x x x x f x x x-----+'===，∴2=x ∴)(x f 在()2,0上单调递增，在()+∞,2上单调递减 ∴32ln )2()(max -==f x f（2）2221()()1m x x m f x x x x---'=-+= )0(>x i: 104m ∆-≤时，即≤时()0f x '≤，∴)(x f 在()+∞,0上单调递减．ii: ()0f x '=时24111m x +-=，24112mx ++=① 当041<<-m 时， 210x x << ∴)(x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2411,0m上单调递减，在1122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411m 上单调递减． ② 当0m ≥时， 210x x <<∴)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2411,0m 上单调递增，在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411m 上单调递减． （3）设)(,(),(,(2211x f x B x f x A则21,x x 是方程02=--m x x 的二个根，且m x x -=⋅21，1021<<<x x∴212221112121)(ln ln )()(x x x m x x x m x x x x x f x f k ------=--=2121211ln ln x x m x x x x ⋅+---=2ln ln 2121---=x x x x令)10(ln )(<<-=x xx x g ，∴ 11()10xg x x x-'=-=>，∴)(x g 在()1,0上单调递增 Θ1021<<<x x ，∴ )()(21x g x g <即2211ln ln x x x x -<-∴2121ln ln x x x x -<-，∴ 1ln ln 2121>--x x x x∴ 1->k第II 卷 参考答案与解析21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲解：连接OD ，BC ，设BC 交OD 于点M ．因为OA=OD ，所以∠OAD=∠ODA ；又因为∠OAD=∠DAE ，所以∠ODA=∠DAE 所以OD//AE ；又 因为AC ⊥BC ，且DE ⊥AC ，所以BC//DE ． 所以四边形CMDE 为平行四边形，所以CE=MD 由35AC AB =，设AC=3x ，AB=5x ，则OM=32x ，又OD=52x ， 所以MD=52x -32x =x ，所以AE=AC+CE=4x ，因为OD//AE ，所以FD AF =48552AE x OD x ==．B ．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）由已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡111121c b ，即12,11=--=-c b ， ∴3,2==c b ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2331M ； （2）设曲线上任一点),(y x P ，P 在M 作用下对应点),(11'y x P ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x 232111 即⎩⎨⎧+=+=y x y y x x 23211，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4321111y x y x y x ，代入148522=++y xy x 得22121=+y x ，即曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线的方程是222=+y x ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝2．又圆C 的半径r ＝2， 因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝22．D ．选修4—5：不等式选讲解：222x y +=Q ，()()224x y x y ∴++-= ，()()()2222114()()x y x y x y x y ⎛⎫++-+ ⎪+-⎝⎭Q≥，22111()()x y x y ∴++-≥， 当且仅当0x y ==，或0x ,y ==时2211()()x y x y ++-的最小值是1． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x ，y ，z 轴，建立直角坐标系A (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，E (0，1，0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-u u u r u u u r 2cos ,5EB AC ∴<>=-u u u r u u u r异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25． （2）(2,0,1),(0,1,1)AB AE =-=-u u u r u u u r，设平面ABE 的法向量为1(,,)x y z =n ，则由11,AB AE ⊥⊥n n u u u r u u u r ，得120(1,2,2)0x z y z -=⎧=⎨-=⎩n 取平面BEC 的法向量为2(0,0,1)=n122cos ,3∴<>=n n ， 二面角C BE A --． 23．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=；（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{x |x <a }，其中a Z ∈，若A I B={1,2}，则a ＝ ▲ ． 2．若复数(1+i )z =3-4i (i 为虚数单位)，则复数z 的模| z | = ▲ ．3．右图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．4．右边是一个算法的伪代码，若输入x 的值为1，则输出的x 的值是 ▲ ．5．有三张大小形状都相同的卡片，它们的正反面分别写有1和2、3和4、5和6，现将它们随机放在桌面上，则三张卡片上显示的数字之和大于10的概率是 ▲ ．6．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若371517233a a a a ++-=，则17S = ▲ ．7．已知正四棱锥的底面边长是2，这个正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥的体积为 ▲ .8．设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为 ▲ ． 9．已知x ，y 满足约束条件1,3,23,x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则z ＝2x ＋y 的最小值为 ▲ ．10．若2x ∀<，不等式()2620x a x a +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，A 为椭圆上一点，120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，2AF 与y轴交与点M ，若254F M MA =u u u u u r u u u r，则椭圆离心率的值为 ▲ ．12．已知二次函数232()(16)16f x ax a x a =+--（0a >）的图象与x 轴交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值 ▲ ．13．如图，在正△ABC 中，点G 为边BC 上的中点，线段AB ，AC 上的动点D ，E分别满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(12)AE AC λ=-u u u r u u u r()λ∈R ，设DE 中点为F ，记()FG R BCλ=u u u r u u u r ，则()R λ的取值范围为 ▲ ． 14．设二次函数2()(21)2(0)f x ax b x a a =++--≠在区间[3,4]上至少有一个零点，则22a b +的最小值Read xIf x >3 then x ←x -3 Else x ←3-x EndIf Print x为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且222a cb ac +=+． （1）若cosA ＝13，求sinC 的值；（2）若b ＝7，a ＝3c ，求三角形ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面ABCD 是菱形，45ABC ∠=︒， E 、F 分别是棱BC 、P A 上的点，EF //平面PCD ，PAE PAD ⊥平面平面． （1）求证：EF BC ⊥；（2）若AF FP λ=，求实数λ的值．如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设COB θ∠=．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD ∆和BOC ∆内种满鲜花，在扇形COD 内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．18．（本小题满分16分）如图，设A 、B 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点，P 是椭圆E 上不同于A 、B 的一动点，点F 是椭圆E 的右焦点，直线l 是椭圆E 的右准线．若直线AP 与直线：x a =和l 分别相交于C 、Q 两点，FQ 与直线BC 交于M ． （1）求:BM MC 的值；（2）若椭圆E的离心率为2，直线PM 的方程为80x +-=，求椭圆E 的方程．已知数列{n a }、{n b }满足：1121141n n n n n b a a b b a +=+==-，，.（1）求1234,,,b b b b ；（2）证明：11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（3）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立．20．（本小题满分16分）已知函数()f x 满足2(2)()f x f x +=，当(02)x ∈，x ∈(0，2)时，1()ln ()2f x x ax a =+<-，当42x ∈--（，）时，()f x 的最大值为 - 4．（1）求实数a 的值； （2）设b ≠0，函数31()3g x bx bx =-，12x ∈（，）．若对任意112x ∈（，），总存在212x ∈（，），使()()120f x g x -=，求实数b 的取值范围．第II 卷 （附加题 分值40分）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，P A ＝3，PB ＝1，求∠ABC 的大小．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A 和A 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l ：cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝＋m ＝（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|F A|·|FB|的最大值与最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1，2a 2＋3b 2＋6c 2＋d 2＝25，求实数d 的取值范围．OCBPA【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1 D 1的所有棱长都为1，M 、N 分别为线段BD 和B 1C 上的两个动点．（1）求线段MN 长的最小值；（2）当线段MN 长最小时，求二面角B －MN －C 的大小．23．（本小题满分10分）设函数()213213x f x x ex x -=--()x ∈R ． （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，用数学归纳法证明：*n ∀∈N ，1!nx x en ->．C 1AA2015年江苏高考数学模拟试卷（三）第Ⅰ卷 参考答案与解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．3 2．5223．1.04 4．2 5． 12 6． 10.2 7．3154 8．1665- 9．1 10． 2a ≥ 11．1012．12 13．17,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．1100 解析：2．由|(1+i )z | =|3-4i |和|(1+i )z | =|1+i ||z | 可知|z |＝522. 3．由题意知，只要求83，84，84，85，86的方差，得到2222221.40.40.40.6 1.6 1.045s ++++==.4．1<3，故x =3-1=2.5．1+3+5=9，1+3+6=10，1+4+5=10，1+4+6=11，2+3+5=10，2+3+6=11，2+4+5=11，2+4+6=12共8种其中和大于10的有4种，故概率为4182=. 6．由条件得953a =，故1791710.2S a ==9．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由1,23,x y x =⎧⎨=-⎩得1,1,x y =⎧⎨=-⎩∴z min ＝2－1＝1.11．设(0,)M m ，(,)A x y ，因为254F M MA =u u u u u r u u u r ，所以5(,)(,)4c m x y m -=-，解得49,55x c y m =-=，又因为120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，所以999(,)(,)05555c m c m ---=，解得229c m =，因为点A 在椭圆22221x y a b+=上，所以2222168112525c m a b +=，即222216912525c c a b +=，又即42241650250c a c a -+=，从而421650250e e -+=，解得10e =. 12．因式分解可得2()()(16)f x x a ax =-+，于是,A B 两点的坐标分别是216(,0),(,0)a a-，于是线段AB 的长度等于216a a +．记216()F a a a=+，322162(8)'()2a F a a a a -=-=，于是()F a 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，从而()F a 的最小值就是216(2)2122F =+=． 13．()12FG EC DB =+u u u r u u u r u u u r ，不妨设三角形边长为1，则12(1)2FG AC AB λλ=+-u u u r u u u r u u u r 231λ+=，又由。

2016-2017年江苏省南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校高三第四次模拟考试数学一、填空题：共14题1．已知集合，集合，则 . A ={x |―1<x ≤1}B ={―1,1,3}A ∩B =【答案】{1}【解析】本题主要考查集合的基本运算.因为，，所以. A ={x |―1<x ≤1}B ={―1,1,3}A ∩B ={1}2．若复数 (为虚数单位)，则的实部是 .z =―i1+2i i z 【答案】―25【解析】本题主要考查复数的四则运算与复数的实部与虚部.因为，所以的实部是z =―i1+2i =―i(1―2i)5=―2―i5z ―253．函数的定义域为 .f (x )=1―lg x 【答案】(0,10]【解析】本题主要考查函数的定义域、对数函数. 由题意可得,即,所以, 1―lg x ≥0lg x ≤10<x ≤10所以函数的定义域为f (x )=1―lg x (0,10]a4．根据如图所示的程序语言，输出的值为 .【答案】21【解析】本题主要考查While 语句.运行程序：a=1,i=2;a=3,i=4;a=7,i=6;a=13,i=8;a=21,i=8,此时，不满足条件，循环结束，输出a=21.5．采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人进行问卷调查.将这1 000人随机编号为1,2,…,1 000,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则做问卷C的人数为 .【答案】A【解析】采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人进行问卷调查,分50组,每组20人,在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8,以后每组各抽取一个号码,间隔为20,所以第二组抽取28号,第三组抽取48号,…….做问卷A的有20人,做问卷B的有18人,所以做问卷C的有12人,选择A.6．从1,2,3,4,5这五个数中一次随机取两个数，则取出的两个数的和为奇数的概率为.5【解析】本题主要考查古典概型.从1,2,3,4,5这五个数中一次随机取两个数，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5), 共有10个不同的结果，其中取出的两个数的和为奇数的取法有(1,2),(1,4),(2,3), (2,5),(3,4),(4,5), 共有6个不同的结果，所以所求事件的概率P= 610=35.7．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则该双曲线的两条xoy x 22―y 2m =1(m >0)62渐近线方程是 .【答案】y =±22x 【解析】本题主要考查双曲线的性质，由双曲线的性质求出m 的值，即可得出双曲线的渐近线方程.由双曲线的方程与离心率可知,则m =1，2+m 2=32所以双曲线的渐近线方程为y =±22x8．在平面直角坐标系中，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，xoy y =sin2x π12g (x )则的值为 .g (π12)2【解析】本题主要考查三角函数的图象变换与求值，由题意求出的解析式，即可求值.g (x )由题意可得,g (x )=sin (2x +π6)则g (π12)=sin (2×π12+π6)=329．若实数满足，则的最小值是 .x,y {2x ―y ≤2x ―y ≥―1x +y ≥1 z =2x +y 【答案】1【解析】本题主要考查线性规划问题，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z 与直线在y 轴上的截z =2x +y 距之间的关系可知，当直线过点时，目标函数取得最小值1.z =2x +y z =2x +y10．已知正六边形ABCDEF 的边长为1，则的值为 .AF •BD2【解析】本题主要考查平面向量的数量积,正六边形的性质.易知AE//BD,且AE=BD =,且3,则. ∠EAF =30°AF •BD =|AF |•|BD |cos∠EAF =3211．在等差数列中，已知，，若，则正整数的值{a n }a 4+a 7+a 10=15∑14i =4a i =77a k =13k 为 . 【答案】15【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.设公差为d ,则,,求解可得a 4+a 7+a 10=3a 1+18d =15∑14i =4a i =11a 1+88d =77,则,所以,则k =15. a 1=―1,d =1a n =n ―2a k =k ―2=1312．在平面直角坐标系中，已知圆心分别为的三个圆半径相xoy A (14,92),B (17,76),C (19,84)同，直线过点B,且位于同侧的三个圆各部分的面积之和等于另一侧三个圆各部分的面积之l l 和，则直线的斜率的取值集合为 .l 【答案】{―24,85}【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离.因为直线l 过点B ,所以圆B 的面积被平分,因此圆A,C 位于l 同侧的面积之和等于另一侧的两个圆各部分之和,易知A,B,C 三点不共线,所以A,C 两点在直线l 的两侧,且到直线l 的距离相等,显然直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为,则kx ―y ―17k +76=0,则,所以则直线的斜率的取值集合为|14k ―92―17k +76|1+k2=|19k ―84―17k +76|1+k2k =―24或85l{―24,85}13．设函数，若存在实数，使得函数恰有2个零点，则实数f (x )={x 3,x ≤ax 2,x >a b y =f (x )―bx a 的取值范围为 . 【答案】(―∞,0)∪(0,1)【解析】本题主要考查函数的解析式,图象与性质,零点,考查了转化思想与数形结合思想. 显然x=0是的一个零点;y =f (x )―bx 当时,令得, x ≠0y =f (x )―bx =0b =f (x )x令,则存在唯一一个解.g(x)=f (x )x={x 2,x ≤ax,x >a b =g(x)当a<0时,作出函数的图象,如图所示,g(x)显然当当a<b<a 2且时,存在唯一一个解,符合题意; b ≠0b =g(x)当a >0时,作出函数的图象,如图所示,g(x)若要使存在唯一一个解,则a>a 2,即0<a <1, b =g(x)同理,当a =0时,显然有零解或两解,不符合题意. b =g(x)综上,a 的取值范围是. (―∞,0)∪(0,1)14．设，函数，且，，a >0,b >0f (x )=x ln x,g (x )=―a +x ln b ∃x ∈[a +b 4,3a +b5]f (x )≤g (x )则的取值范围是 . ba 【答案】[e ,7)【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了存在问题与转化思想,逻辑推理能力与计算能力.由可化为,f (x )≤g (x )x ln xb +a ≤0令,,ℎ(x )=x ln xb +a,x ∈[a +b 4,3a +b5]ℎ(x )=ln xb +1x >be 由可得,由可得,ℎ(x )>0x >be ℎ(x )<00<x <be 由题意可得,则,a +b4<3a +b 5ba∈(0,7)若,即时,因此在上是减函数, a +b 4≤b e b a ∈(3e5―e ,7)ℎ(x )[a +b 4,3a +b5]所以的最小值为,对恒成立, ℎ(x )ℎ(3a +b 5)=3a +b 5ln 3a +b 5b +a ≤0(3e5―e ,7)若,即,a +b 4<b e <3a +b 5b a ∈(e 4―e ,3e5―e )可得的最小值为,则,即有,ℎ(x )ℎ(be)=b e ln 1e +a ≤0b a ≥e b a ∈[e,3e5―e )若,即,a +b 4≥b e b a ≤e4―e 可得在上是增函数, ℎ(x )[a +b 4,3a +b5]所以的最小值为,ℎ(x )ℎ(a +b 4)=a +b 4ln a +b 4b+a ≤0令,即恒成立.t =b a ∈(0,e4―e )p (t )=ln1+t 4t+41+t ≤0因为,所以函数在上是减函数,p (t )=―5t +1t(1+t )2<0p (t )(0,e4―e )故存在无数个实数使得,t ∈(0,e4―e )p (t )>0如取t =1,,与恒成立矛盾,此时不成立.p (1)=ln 12+2>0p (t )≤0综上所述,的取值范围是 ba [e,7)二、解答题：共11题15．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知.sin C2=104(1)求的值；cos(C +π6)(2)若△ABC 的面积为，且，求的值.3154sin 2A +sin 2B =1316sin 2C c 【答案】(1)因为，所以，sin C 2=104cos C =1―2sin 2C2=1―2×(104)2=―14在△ABC 中，，sin C =1―cos 2C =1―(―14)2=154所以；cos(C +π6)=cos C cos π6―sin C sin π6=―14×32―154×12=―3+158(2)因为，sin 2A +sin 2B =1316sin 2C 由正弦定理得：所以； asin A =bsin B =csin C a 2+b 2=1316c 2由余弦定理得， c 2=a 2+b 2―2ab cos C 即，所以，a 2+b 2=c 2+12ab =1316c 2ab =38c 2由，所以，S △ABC =12ab sin C =12ab ×154=3154ab =6所以.c =4【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理,三角形的面积公式,简单的三角恒等式,考查了转化思想与计算能力.(1)利用二倍角公式求出,,再利用两角和与差公式公式求解cos C sin C 即可;(2)结合(1),利用三角形的面积公式求出,利用正弦定理可得,结合ab =6a 2+b 2=1316c 2余弦定理求解即可.16．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，AC,BD 相交于点O ，EF //AB,EF =AB,12平面BCF ⊥平面ABCD ，BF =CF,G 为BC 的中点，求证：(1)OG //平面ABE ； (2)AC ⊥平面BD E.【答案】（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC∩BD=O，∴点O 是BD 的中点， ∵点G 为BC 的中点∴OG ∥AB ，又∵OG 平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，∴直线OG ∥平面AB E.⊄（2）连接OE,FG ,∵BF=CF ，点G 为BC 的中点，∴FG ⊥BC ，∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF∩平面ABCD=BC ，FG ⊂平面BCF ，FG ⊥BC ∴FG ⊥平面ABCD ， ∵AC ⊂平面ABCD ∴FG ⊥AC ，∵OG ∥AB ，OG=AB ，EF//AB, EF =AB 1212∴OG ∥EF ，OG=EF ，∴四边形EFGO 为平行四边形，∴FG ∥EO ， ∵FG ⊥AC ，FG ∥EO ，∴AC ⊥EO ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥DO ，∵AC ⊥EO ，AC ⊥DO ，EO∩DO=O，EO 、DO 在平面ODE 内， ∴AC ⊥平面ODE 即AC ⊥平面BD E.【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定与性质,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.(1)证明OG ∥AB,则易得结论;(2)利用面面垂直的性质定理可得FG ⊥平面ABCD ，再证明四边形EFGO 为平行四边形，可得AC ⊥EO,易知AC ⊥DO,则结论易得.17．如图，等腰直角三角形区域ABC 中，百米，现准备画出一块三∠ACB =900,BC =AC =1角形区域CDE ，其中D,E 均在斜边AB 上，且，记三角形CDE 的面积为S .∠DCE =450(1)①设，试用表示S ; ∠BCE =θθ②设，试用表示S ； AD =x x (2)求S 的最大值.【答案】(1)①以CB 为轴正方向，CA 为轴正方向建立平面直角坐标系，x y 则，，，CE :y =(tan θ)•x CD :y =(tan(θ+π4))•x 0≤θ<π4，联立解得：，， AB :y =―x +1E (11+tan θ,tan θ1+tan θ)D (1―tan θ2,1+tan θ2)所以， S (θ)=12•d •|DE |=1+tan 2θ4(1+tan θ)当时，，满足， θ=π4S △CDE =14S (θ)=1+tan 2θ4(1+tan θ)所以，；S (θ)=1+tan 2θ4(1+tan θ)0≤θ≤π4②如图，以AB 为斜边另作等腰直角三角形AOB ，延长CD 交AO 于F,延长CE 交BO 于G ，设，，，∠ACF =α∠BCG =βAF =m,BG =n 所以，同理，tan α=m =AFAC =AFBC =ADDC =x2―x tan β=n =2―x ―DE x +DE由，代入化简，，tan(α+β)=m +n 1―mn=1DE =x 2―2x +12―x0≤x ≤22所以；S (x )=12×22•DE =2x 2―2x +24(2―x),0≤x ≤22(2)令，，所以，t =2―x 22≤t ≤2S(x)=24(t +1t ―2)≥2―12当且仅当，即时取到等号.t =1x =2―1答：三角形CDE 面积的最大值.2―12百米2【解析】本题主要考查函数的解析式,任意角的三角函数,两角和与差公式,基本不等式,考查了转化思想与逻辑推理能力.(1) ①以CB 为轴正方向，CA 为轴正方向建立平面直角坐标x y 系,求出AB,CD,CE 的直线方程,进而求出点D,E 的坐标,则易得结论;(2) ②如图，以AB 为斜边另作等腰直角三角形AOB ，设，，，∠ACF =α∠BCG =βAF =m,BG =n 求出，同理,由,化简求出DE ,tan α=m =x2―x tan β=n =2―x ―DE x +DEtan(α+β)=m +n1―mn =1则可得结论;(2) 令，,则利用基本不等式求t =2―x 22≤t ≤2S(x)=24(t +1t ―2)解即可.18．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，焦距为2. xoy C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)12(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆C 相交于A,B 两点，且； l :y =kx +m (k,m ∈R )k OA k OB =―34①求证：△AOB 的面积为定值；②椭圆C 上是否存在一点P,使得四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出点P 的横坐标的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】(1)由题意：，所以，则，{2c =2e =c a =12{c =1a =2b 2=a 2―c 2=3椭圆C 的方程为.x 24+y 23=1(2)①由，消去，化简得：，{x 24+y 23=1y =kx +my (3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2―12=0设，则，，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)x 1+x 2=―8km 3+4k 2x 1x 2=4m 2―123+4k 2故，y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3m 2―12k 23+4k 2因为，所以，k OA •k OB =y 1y 2x 1x 2=―342m 2=3+4k 2所以，，|AB |=1+k2(x 1+x 2)2―4x 1x 2=24(1+k 2)3+4k 2d =|m |1+k 2所以为定值.S =12|AB |•d=12×24(1+k 2)3+4k 2•|m |1+k 2=12×24m 23+4k 2=3②若存在椭圆上的点，使得OAPB 为平行四边形，则，P OP =OA +OB 设，则，又因为， P (x 0,y 0){x 0=x 1+x 2=―8km3+4k 2y 0=y 1+y 2=6m 3+4k 2x 024+y 023=1即，得，16k 2m 2(3+4k 2)2+12m 2(3+4k 2)2=14m 2=3+4k 2又因为，矛盾;2m 2=3+4k 2故椭圆上不存在点P ，使得OAPB 为平行四边形.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质,直线的方程与斜率,弦长公式与点到直线的距离公式,考查了方程思想与逻辑推理能力.(1) 由题意：,求解易得结论;(2) ①联立直线{2c =2e =c a =12与椭圆方程,由韦达定理,结合条件可,由弦长公式与点到直线k OA k OB =―34得2m 2=3+4k 2的距离公式,即可得出S 的表达式,化简求解即可; ②若存在椭圆上的点，使得OAPB 为平行P 四边形，则，设，则,结合椭圆方程,化简可得OP =OA +OB P (x 0,y 0){x 0=x 1+x 2=―8km3+4k 2y 0=y 1+y 2=6m 3+4k 2 结论.19．设定义在R 上的函数. f (x )=e x ―ax (a ∈R )(1)求函数的单调区间；f (x )(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围；x 0∈[1,+∞)f (x 0)<e ―a a (3)定义：如果实数满足，那么称比更接近，对于(2)中的及，s,t,y |s ―t |≤|t ―r |s t r a x ≥1问和哪个更接近？并说明理由.ex e x ―1ln x【答案】(1)由题设知，，f '(x )=e x ―a ①当时，恒成立，上单调递增；a ≤0f '(x )>0f (x )在R ②当时，，得，当时，单调递减，当a >0f '(x )=0x =ln a x ∈(―∞,ln a )f '(x )<0f (x )时，单调递增；x ∈(ln a,+∞)f '(x )>0f (x )综上：当时，上单调递增；当时，在单调递减，在a ≤0f (x )在R a >0f (x )(―∞,ln a )(ln a,+∞)单调递增；(2)由(1)知当时，在单调递增，所以恒成立，舍； a ≤e f (x )[1,+∞)f (x )≥f (1)=e ―a 当时，在单调递减，在单调递增，所以满足，a >e f (x )[1,ln a )(ln a,+∞)f (ln a )<f (i )=e ―a 综上：实数的取值范围；a a >e (3)令，，p (x )=ex ―ln x q (x )=e x ―1++a ―ln x x ≥1，单调递减，p '(x )=―ex 2―1x <0p (x )故当时，；当时，；1≤x ≤e p (x )≥p (e)=0x >e p (x )<0，，在单调递增， q '(x )=e x ―1―1x q ''(x )=e x ―1+1x 2>0q '(x )[1,+∞)故，则在单调递增，； q '(x )≥q '(t )=0q (x )[1,+∞)q (x )≥q (1)=a +1>0①当时，令，1≤x ≤e m (x )=|p (x )|―|q (x )|=p (x )―q (x )=ex ―e x ―1―a 所以，故在单调递减， m '(x )=―ex 2―e x ―1<0m (x )[1,e]所以，即， m (x )≤m (t )=e ―1―a <0|p (x )|<|q (x )|所以比更接近；ex e x ―1+a ln x ②当时，令，x >e n (x )=|p (x )|―|q (x )|=―p (x )―q (x )=―ex +2ln x ―e x ―1―a 所以，故单调递减， m '(x )=ex 2+2x ―e x ―1<3e ―e e ―1<0n (x )在[e ,+∞)所以，即，n (x )≤n (e)<0|p (x )|<|q (x )|所以比更接近；ex e x ―1+a ln x 综上：当及，比更接近.a >e x ≥1ex e x ―1+a ln x 【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了转化思想与分类讨论思想,逻辑推理能力与计算能力.(1),分,两种情况讨论的符号,即可得出结论;(2)结f '(x )=e x ―a a ≤0a >0f '(x )合(1)的结论,分,两种情况讨论函数的单调性,即可得出结论;(3) 令a ≤e a >e f (x )，，,求导并函数函数的单调性,求出两个函数p (x )=ex ―ln x q (x )=e x ―1++a ―ln x x ≥1的最小值,比较两个最小值的大小,则可得结论.20．已知正整数为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，且λ,μλ≠1{a n }n S n ，记数列中任意不同两项的和构成的集合为A. S n =λa n ―μ,n ∈N ∗{a n }(1)求证：数列为等比数列，并求的值； {a n }λ(2)若，求的值；2015∈A μ(3)已知，求集合的元素的个数. m ≥1{x |3μ•2m ―1<x <3μ•2m ,x ∈A }【答案】(1)证明：当时，， n ≥2S n =λa n ―μ,S n ―1=λa n ―1―μ所以，因为，，所以，a n =λa n ―λa n ―1λ≠1a n >0a na n ―1=λλ―1所以数列是以为公比的等比数列；{a n }λλ―1又因为为无穷数列且各项均为正整数，所以为正整数， {a n }λλ―1=1+1λ―1所以正整数；λ=2(2)由(1)知，则，故， S n =2a n ―μa 1=μa n =μ•2n ―1所以，A ={μ•(2i ―1+2j +1),1≤i <j,i,j ∈N ∗}因为，所以， 2015∈A 2015=μ•2i ―1(1+2j ―i )=5×13×31因为，所以为不小于3的奇数，j ―i >01+2j ―i1+2j―i=135×31,13×31,5×13×311+2j―i=55×13而，31，均不满足，所以，；1+2j―i=5j―i=2μ•2i―1=403i=1j=3,μ=403当时，，，则，满足；1+2j―i=65j―i=6μ•2i―1=31i=1j=7,μ=31当时，，，则，满足；μ=31综上：或403；B n={x|3μ•2n―1<x<3μ•2n,x∈A}3μ•2n―1<μ(2i―1+2j―1)<3μ•2n(3)因为，即，集合3•2n<2i+2j<3•2n+1(i,j)i<j,i,j∈N∗中元素等价于满足的不同解，，j>n+22i+2j≥2i+2n+3>3•2n+1若，则，矛盾；j<n+22i+2j≤2i+2n+1≤2n+2n+1=3•2n若，则，矛盾；j=n+2所以.21+2n+2―3•2n=1+2n>0又因为，3•2n<21+2n+2<22+2n+2<...<2n+2n+2<2n+1+2n+2=3•2n+1所以，i=1,2,...,n n x∈B n即满足，故共有个不同的.a n=S n―S n―1(n≥2)【解析】本题主要考查元素与集合,的应用,等比数列,考查了放缩法a n=S n―S n―1(n≥2)与定义法,逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意,利用化简即可得出a n=μ•2n―1A={μ•(2i―1+2j+1),1≤i<j,i,j∈N∗}2015∈A结论;(2)由(1)可得,则,由,讨1+2j―i3μ•2n―1<μ(2i―1+2j―1)<3μ•2n论的值,进而得出结论;(3)由题意,即集合中元3•2n<2i+2j<3•2n+1(i,j)i<j,i,j∈N∗j>n+2素等价于满足的不同解，,分别讨论, ,三种情况,易得结论.j<n+2j=n+2⊙O⊙O21．如图，的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为上一点，AE=AC,求证：∠PDE=∠PO C.【答案】因A E =AC,AB 为直径， 故OAC =OA E.∠∠所以=+=+= ∠POC ∠OAC ∠OCA ∠OAC ∠OAC ∠EAC .又=, ∠EAC ∠PDE 所以，=∠PED ∠POC .【解析】本题主要考查圆的性质，考查了逻辑推理能力.由圆的性质可知，OAC =OA E ，进而可得=，由圆内接四边形的性质可知=∠∠∠POC ∠EAC ∠EAC ，即可得出结论. ∠PDE22．设矩阵 ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为 ，属于特征值2的A =[m 0 0n ][10]一个特征向量为 ，求矩阵A.[01]【答案】由题意得=1，=1， [m 0 0n ][10][10][m 0 0n ][01][01]所以，故.{m =1,n =2,A =[10 02]【解析】本题主要考查矩阵与变换，考查了矩阵的特征值与特征向量. 由题意得=1，=1，求解可得结果. [m 0 0n ][10][10][m 0 0n ][01][01]23．在极坐标系中，设直线过点，，且直线与曲线有且仅有一个l A (3,π6)B (a,0)l C :ρ=cos θ公共点，求正数的值.a 【答案】依题意，的直角坐标为，A (3,π6)A (32,32)曲线的普通方程为，C :ρ=cos θ(x ―12)2+y 2=14因为直线过点A 且与曲线C 有且只有一个公共点，设，l l :y ―32=k (x ―32)所以解，令，所以(另一解舍). |3―k |k 2+1=12k =23±63y =0a =324【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，极直互化，直线与圆的位置关系.求出点A 的直角坐标，与曲线C 的直角坐标方程，设直线，易得，求出k 的l :y ―32=k (x ―32)|3―k |k 2+1=12值，即可得出a .24．已知，且，求证：.a,b >0a +b =12a +1+2b +1≤22【答案】因为，(2a +1+2b +1)2≤(2a +1+2b +1)(12+12)=8所以.2a +1+2b +1≤22【解析】本题主要考查不等式证明，考查了柯西不等式的应用. 由题意，利用柯西不等式易得结论.(2a +1+2b +1)2≤(2a +1+2b +1)(12+12)25．如图，李先生家住H 小区，他工作在C 处科技园，从家开车到公司上班路上有两L 1,L 2条路线，路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，路线上有两L 1A 1,A 2,A 312L 2B 1,B 2个路口，个各路口遇到红灯的概率依次为34,35(1)若走路线，求遇到红灯次数X 的分布列和数学期望；L 2(2)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.【答案】(1)依题意，的可能取值为0，1，2.X ，，P (X =0)=(1―34)×(1―35)=110P (X =1)=34×(1―35)+(1―34)×35=920. P (X =2)=34×35=920随机变量X 的分布列为：所以.E (X )=110×0+920×1+920×2=2720(2)设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以L 1Y Y Y ∼B (3,12).E (Y )=3×12=32因为，所以选择路线上班最好.E (X )<E (Y )L 2【解析】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率、离散型随机变量的分布列与期望、二项分布，考查了分析问题与解决问题的能力.(1) 依题意，的可能取值为0，1，2，利用相X 互独立事件的概率公式求出每一个变量X 的概率，即可得X 的分布列与期望；(2) 设E (X )选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，利用二项分布的期望公L 1Y Y Y ∼B (3,12)式求出，再结合(1)的结论进行比较，则可得结论.E (Y )。

第1页 共6页 ◎ 第2页 共6页（第5题图）绝密★启用前【学科网学易大联考】2015年第四次全国大联考【江苏版】数学试卷考试时间：理150分钟，文120分钟；命题人：学科网大联考命题中心第Ⅰ卷 必做题部分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上． 1．已知复数(1i)(12i)z =+-(i 为虚数单位)，则z 的虚部为 .2．记不等式260x x +->的解集为集合A ，函数lg()y x a =-的定义域为集合B ．若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围为 . 3．已知实数,x y 满足条件210x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则2||||z x y =+的最大值是4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．则a 的值为 .5．在如图所示的算法流程图中，若输出k 的值是5，则实数m 取值范围为 ．6. 底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为 .7．已知,D E 分别为ABC ∆的边上的点12,.23AD AB BE BC ==若12DE AB AC λλ=+12(,)R λλ∈，则12λλ+的值为 .8．在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线218y x =的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为 .9．在等差数列{}n a 中，公差为1,-n S 为其前n 项和，若存在常数k 且2k ≥使得21,,k k S S S 成等比数列，则1a 的值为 .10．已知二次函数2()2()1f u u x y u =+++的值域为[0,)+∞，且当0x >，0y >时，不等式2221x y t x y +≥++恒成立，则实数t 的最大值为 . 11. 若函数()sin(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x = .12．设直线1:10l x my ++=过定点A ，直线2:230l mx y m --+=过定点B ，且这两条直线交于点M ，则M A M B ⋅的最大值为 .13．已知函数322341()5 1x x m x f x mx x ⎧+++=⎨+⎩≤，，，＞.若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值集合为 .14．设椭圆方程为2226,x y +=若过定圆C 上每一点都可以作与椭圆相切的两条互相垂直的直线，则圆C 的方程为 .二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

江苏省南京一中等五校2015届高三联考（四模）数学数 学 (I)（满分160分，考试时间120分钟）注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分,共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1.已知集合M ＝{x |x ＜1｝,N ＝{x |lg （2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．【答案】(0,1）【解析】 试题分析：由{}{}lg(21)00N x x x x =+>=>，可得 M ∩N ＝（0,1）考点：1.集合；2。

不等式；2。

复数z ＝错误!为纯虚数，则实数a 的值为 ．【答案】1【解析】试题分析:由()(1)(1)(1)122a i a i i a a i z i +++-++===-为纯虚数，可得a －1＝0,即a ＝1。

考点：1。

复数的除法；2.纯虚数的定义；3．某学校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．【答案】8【解析】试题分析：由题意知抽取的人数为40×错误!＝8。

考点：分层抽样;4.执行如图所示流程图，得到的结果是．【答案】错误!【解析】试题分析：n＝1,S＝错误!；n＝2，S＝错误!；n＝3，S＝错误!.输出S。

考点：程序框图；5。

已知双曲线错误!（a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝错误!x，那么该双曲线的离心率为 ．【答案】错误!【解析】试题分析：由题意得错误!＝错误!，则由c 2＝a 2＋b 2,可得22169b a =,即222169c a a -=，则22259c a =，所以e=错误!.考点:双曲线的概念及性质；6.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为 ．【答案】错误!【解析】试题分析：总的基本事件个数为36，两个都是偶数的基本事件有9个，故由对立事件的概率可得P ＝1－错误!＝错误!。

12015年第四次全国大联考统考【新课标Ⅱ】数学（文）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 已知全集{}6,U x x x =∈≤N 且{}1,3,6A =,{}2,3B = 则()UAB =ð（ ）A ．{}0,4,5 B.{}4,5 C.{}1,6 D.{}0,1,62．设复数z 满足()12i 5i,z -= 则z =（ ）A ．2i + B. 2i - C. 2i -+ D. 2i --3．若变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+4352y x y x ,则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]4,7B ．[]1,7-C ．]7 , 25[D ．[]1,74．若sin 2cos ,x x = 则sin cos x x =（ ）A ．23B ．25C ．45D ．145．已知圆C 与圆2220x y x ++=关于抛物线22y x =的焦点对称,则圆C 的方程为（ ） A. 2220x y x +-= B. 22430x y x +-+= C. 22680x y x +-+= D.22680x y x +++= 6．如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此 棱锥的体积为（ ）A ．38 B.34C.34D.327．执行如图所示的程序框图,则输出的a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．128.若log 2021a n a n ⎛⎫-> ⎪+⎝⎭对任意n *∈N 恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A. 1a >B. 1a >或102a <<C. 1a >或103a << D. 1a >或102a <≤9. 正数a,b 满足()2363log 2log 1log a b a b +=+=++,则a b +的最小值为（ ）A.1B. 12C.13D.1410.△ABC 中π6B =,,,a b c 成等差数列且,a b c << 则cos cos A C -=（ ）A.31-B. 312+ C.31+ D.31-+11．已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点,点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心,2OF 为半径的圆上,则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3开a =2,i =i <201411a a=-1i i =+输出结束是 否212. 已知三次函数()f x 在0x =处取得极值0,在1x =处取得极值1,()()()()2,x x a g x f x x a +>⎧=⎨'≤⎩若()3g x x=恰有三个不同实根,则实数a 的取值范围是（ ）A.()1,+∞B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ()0,1D.10,2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知10a b >>>,1,log ,log ,b b a bx a y z a === 则,,x y z 中值最大的是____________．14．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球的表面积与圆柱的表面积之比是_________．15．若函数()πsin cos 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足对任意x ∈R ,都有()()f x f a ≥,则a = _______． 16．在平面直角坐标系xOy 中,点),(P P y x P 和点),(QQ y x Q 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=,,P P Q P P Q y x y y x x 若O 为坐标原点,mOQ OP =||||,向量OP 与OQ 的夹角为θ,则θsin m 的值为____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 是公差0d ≠ 的等差数列,其前n 项和为n S ,若55S =-且458,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n nb a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单 位利用周末时间进行了一次社会实践活动,且每个小组有5名同学,在实践 活动结束后,学校团委会对该班的所有同学都进行了测评,该班的,A B 两 个小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示,其中B 组一同学 的分数已被污损,但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．（1）若在B 组学生中随机挑选1人,求其得分超过85分的概率； （2）现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学,设其分数分别 为,m n ,求||8m n -≤的概率．19．（本小题满分12分）如图,已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形,120BCD ∠=,2AB PC ==,2AP BP ==.（1）求证：AB PC ⊥； （2）求点D 到平面PAC 的距离.20．（本题满分12分）已知圆M 的圆心在直线240x y -+=上,且圆M 与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B ．（1）求圆M 的方程；（2）若点B 关于直线1y =的对称点为C ,求过点C 的圆M 的切线方程；（3）已知(3,4)D -,点P 在圆M 上运动,求以AD ,AP 为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q 轨迹方程．21．（本题满分12分）已知函数1()ex a f x x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,a ∈R ． （1）若()10f '-= 求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点,求a 的取值范围．请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

江苏省南京市金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2025届语文高三上期末调研模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．1．阅读下面的文字，完成下面小题。

中华民族的文化博大精深、包罗万象，在上下五千年的历史长河中形成了民族独有的特质。

国宝作为历史文物，承载着民族的记忆与文明，它的诞生与流传皆源于文化血脉的精髓，同时又反哺于发展着的博大文化。

作为一种器物媒介，不仅仅为今天的人们所欣赏和收藏，更是华夏文明的表征。

“历史作为一种记忆，使先民的事迹、经验与思想存活于今，它充当着不同时代的纽带。

”每种文化都会形成一种“凝聚性结构”，历史作为一种“凝聚性结构”，对中华民族的向心力、归属感起着重要的促进作用。

《国家宝藏》以博物馆的文化底蕴为依托，用文物衔接历史与当下，采用舞台剧与小话剧的展演方式，集中展现文明古国文化的博大精深。

故事讲述、舞台演绎与观众互动，环环相扣，层层递进，激活了中华民族的文化记忆。

不同的个人和文化通过语言、图像和重复的仪式等方式进行交际，从而互动地建立起他们的记忆。

个人和文化两者都需要借助外部的存储媒介和文化实践来组织他们的记忆。

用舞台剧演绎国宝的“前世传奇”，让观众有身临其境之感，是《国家宝藏》的节目特色之一。

如在第五期对国宝辛追墓T形帛画的前世传奇的演绎中，雷佳一开嗓，便将辛追所思之人、所念之世深情道来，听者皆入其境。

《帛画魂》是根据T形帛画的内容作的曲，大致分为天国之美、人世之欢、炼狱之苦。