江苏省海安高级中学高一数学试卷(27)

江苏省海安高级中学2019-2020学年高一数学12月月考试题一、选择题：(本大题共13小题，每小题4分，其中1-10题为单选题，11-13为多选题.） 1．已知集合A ={x |-1≤x ≤3}，B ={x ∈Z|x 2<5}，则A ∩B=( )A ．{0，1}B ．{-1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{-2，-1，0，1，2} 2．函数f (x 24x-x +1)的定义域为 ( )A ．[12-，2]B ．[12-，2)C ．(12-，2]D ．(12-，2)3.2πsin()=3-（ ） A. 3B. 12-3 D.124．向量a =(1，x +1)，b =(1- x ，2)，a ⊥b ，则(a +b )∙(a -b )=( ) A ．-15 B ．15 C ．-20 D ．20 5. 已知a =log 52，b =log 73，c =125，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a < b < cB ．a < c < bC ．b < a < cD ．c < b < a6．已知将函数f (x )=sin(2ωx +π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度得到函数g (x )的图象，若函数g (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为π2，则函数g (x )的—个对称中心为( ) A ．(-π6，0) B ．(π6，0) C ．(-π12，0) D ．(π12，0)7．如图，已知△ABC 与△AMN 有一个公共顶点A ，且MN 与BC 的 交点O 平分 BC,若AB mAM =uu u r uuu r ，AC nAN =uuu r uuu r，则m n +的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．6 8．已知函数f (x )=log a x (a >0，a ≠1)的图象经过点2，12).若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[-2，2]时，有g (x )=f (x )，且函数g (x +2)为偶函数，则下列结论正确的是：( )A ．g (π)<g (3)<g 2．g (π)<g 2)<g (3) C ．g 2g (3)<g (π)D ．g 2)<g (π)<g (3)9．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数且(1)()f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f +++++=（ ）A ．4B ．0C ．3D ．210．对于实数a ，b 定义运算“⊗”:22,b a a ba b b a a b-<⎧⊗=⎨-⎩≥，设f (x )=(2x -3)⊗(x -3)，若关于x 的方程f (x )=k (k ∈R)恰有三个互不相同的实根x 1，x 2，x 3则x 1x 2x 3取值范围为( )A ．(0，3)B ．(-1，0)C ．(-∞，0)D ．(-3，0)11．下列四个说法中，错误的选项有（ ）.A ．若函数()f x 在(,0]-∞,(0,)+∞上都是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数B ．已知函数的解析式为2y x =，它的值域为[1,4]，这样的函数有无数个 C ．把函数22xy =的图像向右平移2个单位长度，就得到了函数222x y -=的图像 D ．若函数()f x 为奇函数，则一定有(0)0f = 12．下列命题中，正确的是（ ）.A.已知非零向量,a b rr 满足4a b =r r ，且()2b a b ⊥+r r r ，则a r 与b r 的夹角为56π.B.若,,a b c v v v是平面内三个非零向量，则()()a b c a b c ⋅=⋅v v v v v v ；C.若(sin a θ=v，(b =v ，其中3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则a b ⊥v v； D.若O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，()0,λ∈+∞，则直线AP 一定经过ABC ∆的内心. 13．函数()()()2a xb f x x b c-=-+()0,,0a b R c ≠∈>，()()2g x m f x n =-⎡⎤⎣⎦()0mn >，下列结论：A.函数()f x 的图像关于x 轴上某点成中心对称；B.函数()f x 在R 上单调递增；C.存在实数q p ,，使得()p f x q ≤≤对于任意的实数x 恒成立；D.关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}4,2,0,3--．正确结论为( ) 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共20分． 14. 函数()f x =的单调递减区间为 ▲ ．15.已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos θ=_____▲______.16.已知函数(21),(1)()1log ,(01)3a a x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，当120,0x x >>且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是 ▲ ．17.已知函数()()sin f x x ωϕ=+(016ω<<，02πϕ-<<),()04f π-=,对任意x R ∈恒有()()4f x f π≤且()f x 在区间(,)3216ππ上单调，则ϕ=____,ω的可能值有__________．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．已知实数a 为常数，U =R ，设集合A ={x |31x x -+＞0}，B ={x |y=}，C ={x |x 2﹣(4+a )x +4a ≤0}．（1）求A ∩B ；（2）若∁U A ⊆C ，求a 的取值范围．19．设a =(x ，1)，b =(2，-1)，c =(x -m ，m -1)(x ∈R ，m ∈R).（1）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围； （2）解关于x 的不等式|a +c |<|a -c |.20．我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数()f x 与第x 天近似地满足()88f x x=+（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费()g x 近似地满足()g 14322x x =--（元）．(1)求该村的第x 天的旅游收入()p x ,并求最低日收入为多少？（单位：千元，130x ≤≤，*N x ∈）；(2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入计量依据，并以纯收入的5%税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？21．已知函数())f x x ϕ=+02πϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1).（1）求724f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）利用五点作图作出函数在一个周期内的图像； （3）当5,248x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()f x k =恰有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围.22．对于函数f 1(x )，f 2(x )，h (x )，如果存在实数a ，b 使得h (x )=af 1(x )+bf 2(x )，，那么称h (x )为f 1(x )，f 2(x )，的生成函数. （1）给出函数f 1(x )=lg 10x，f 2(x )=lg(10x )，h (x )=lg x ，h (x )是否为f 1(x )，f 2(x )的生成函数？并说明理由.（2）设f 1(x )=log 2x ，f 2(x )=log 12x ，a =2，b =1，生成函数.若不等式3h 2(x )+2h (x )+t >0在x∈[2，4]上恒成立，求实数t 的取值范围.23．已知函数()2327mx n h x x +=+为奇函数，()13x mk x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，其中m n R ∈、.(1)若函数()h x 的图像过点()1,1A ，求实数m 和n 的值； (2)若3m =，试判断函数()()()11f x h x k x =+在[3,)x ∈+∞上的单调性并证明； (3)设函数()()(),39,3h x x g x k x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩若对每一个不小于3的实数1x ，都恰有一个小于3的实数2x ，使得()()12g x g x =成立，求实数m 的取值范围.阶段测试（二）一、选择题：(本大题共13小题，每小题4分，其中1-10题为单选题，11-13为多选题.） 1． B 2． D 3. A 4． A 5. A 6．D 7． C 8. C 9． B 10． D 11． ACD 12． CD 13． AC三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 14. (],3-∞- ． 15. ________35___. 16. 10,3⎛⎤⎥⎝⎦．17 ϕ=__4π-__, ____3,7,11______．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．解：(1)()()[)3,,1,2,A B =+∞⋃-∞-=+∞则[)2,A B ⋂=+∞. (2) []1,3U C A =-，当[]{}[]4,4,;4,4;4,,4a C a a C a C a >===<=因为∁U A ⊆C ,则4,1a a <⎧⎨≤-⎩解得1a ≤-.19．解：（1）依题意得0a b •<r r 且,a b r r 不反向共线，即210,2x x -<⎧⎨≠-⎩解得12x <且 2.x ≠- （2）依题意得0a c •<r r ，即210x mx m -+-=当2,m =不等式的解集为空集； 当2m >，不等式的解集为()1,1m -；当2m <不等式的解集为()1,1m -.20．解：(1)依据题意，有()()()()8g 814322x f x x x p x ⎛⎫=⋅=+⋅-- ⎪⎝⎭(130x ≤≤,*N x ∈) 即()**9688976,122,N 132081312,2230,N x x x xp x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩，1当*122,N x x ≤≤∈时，()96889769761152x p x x =++≥= (当且仅当11x =时，等号成立) ． 因此，()()p 111152min p x == (千元) ．2当*2230,N x x <≤∈时，()132081312p x xx =-++． 易知函数132081312xy x =-++ 在(]22,30上单调递减，于是，()()301116min p x p == (千元) ． 又11521116>，所以，日最低收入为1116千元．(2)该村两年可收回的投资资金为111620%5%301228035.2⨯⨯⨯⨯⨯=(千元)= 803.52 (万元)．因为803.52万元> 800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金． 21．【详解】（1）由题知()01fϕ==，∴cosϕ=，又02πϕ-<<，∴4πϕ=-，∴772242442fπππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)作图略（3）∵5,2,24843x xπππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当2,043xππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦即在区间,248ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上f(x)为增函数; []20,,4xππ-∈即在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上f(x)为减函数，又242fπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，8fπ⎛⎫=⎪⎝⎭58fπ⎛⎫=⎪⎝⎭∴当方程()f x k=恰有两个不同实根时，2k∈⎣.22．解:(1)由题意得lg lg lg(10)()lg10xx a b x a b x b a=+=++-由1a bb a+=⎧⎨-=⎩解得1212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以h(x)是f1(x)，f2(x)的生成函数.（2）由题意得,2()log xh x=,令[]2log,1,2xm m=∈即232t m m>--在[]1,2m∈上恒成立解得5t>-.23．解;()1()2327mx nh xx+=+Q为奇函数()()h x h x ∴-=-，即22()327327mx n mx nx R x x -++=+∈-+恒成立，0n ∴=()h x Q 的图像过点()1,1A()11,h ∴=130m n+= 30,0m n ∴==()2有题意知()393x f x x x-=++，()f x 在[)3,+∞上单调递增证明：任取123x x ≤≤，则()()12331212129933x x f x f x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()1221123312933x x x x x x x x ----=+-123x x ≤≤Q210x x ∴->，129x x >，1233x x -<-()()21121290x x x x x x -∴-<123333x x --<()()12f x f x ∴<，函数()f x 在区间[3,)+∞上单调递增；()3当3x ≥时，()()2273273mx mg x h x x x x===++当3x <时，()()1993x mg x k x -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭① 当0m ≤时， 3x ∀≥，()211111027327(3)mx mg x x h x x x ===≤++不满足条件()()2213,9903x mx g x k x -⎛⎫∀<==⋅> ⎪⎝⎭，舍；②当0 3m <<时，3x ∀≥，()211111()0,27327183mx m m g h x x x x x ⎛⎤===∈ ⎥+⎝⎦+ 23,0,x x m ∀<-≥()()(]221990,93x mg x k x -⎛⎫==⋅∈ ⎪⎝⎭由题可知(]0,0,918m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即918m ≤，162m ≤ 03m ∴<<③当3m ≥时，3x ∀≥，()211111()0,27327183mx m m g h x x x x x ⎛⎤===∈ ⎥+⎝⎦+23,30,x x m m ∀<->-≥()()32211990,933x mm g x k x --⎛⎤⎛⎫⎛⎫==⋅∈⋅ ⎥ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎥⎝⎦ 由题可知310,0,9183m m -⎛⎤⎛⎤⎛⎫∈⋅ ⎥ ⎪⎥ ⎝⎦⎝⎭⎥⎝⎦，即5318mm -<令()5318xxH x -=-单调递减，()60H = 5318x x-<，可得6m < 36m ∴≤< 综上:()0,6m ∈。

江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量a ⃑=(2,3)，b ⃑⃑=(x,−6)，若a ⃑//b ⃑ ，则实数x =（ ） A ．9 B ．4C ．−9D ．−42．计算2(1−i )2的结果是（ ）A ．2iB ．−2iC ．iD ．−i3．已知sin(α+π4)=45，α∈(π4,π2)，则cosα=（ ） A ．√210B ．3√210C ．√22D ．7√2104．已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 船沿北偏东30°的方向航行，B 船沿着正北方向航行．若A 船的航行速度为40nmile/h ，1h 后，B 船测得A 船位于B 船的北偏东45°的方向上，则此时A ，B 两船的距离是（ ） A ．20√2nmileB ．20√3nmileC ．20√5nmileD ．20√6nmile5．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =√3，AA 1=1，则AD 1与A 1C 1所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√646．在锐角△ABC 中，C =π6，AC =4，则BC 的取值范围是（ ） A ．(0,8√33) B ．(2√3,8√33) C ．(2√3,+∞)D ．(4,8√33) 7．在平行四边形ABCD 中，AB =3,AD =4,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−6,DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．16B ．14C ．12D ．108．已知0<α<π2,0<β<π2，且sin(2α+β)=4sinβ，10tan α2=√3(1−tan 2α2)，则α+β的值为（ ） A ．π6B ．5π6C ．2π3D ．π3二、多选题9．下列关于向量的说法正确的是（ ） A ．若a ∥b ⃑ ，b ⃑ ∥c ，则a ∥cB ．若单位向量a ,b ⃑ 夹角为θ，则向量a 在向量b ⃑ 上的投影向量为cosθb ⃑C ．若a 与b ⃑ 不共线，且sa +tb ⃑ =0⃑ ，那么s =t =0 D ．若a →⋅c →=b →⋅c →且c ≠0⃑ ，则a =b⃑ 10．对于△ABC 有如下命题，其中正确的是（ ）A ．若sin 2A +sin 2B +cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形B ．若B =π3，a =2√3，且△ABC 有两解，则b 的取值范围是(√3,2√3)C ．在锐角△ABC 中，不等式sinA >cosB 恒成立D ．在△ABC 中，若B =60°，b 2=ac ，则△ABC 必是等边三角形11．如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =BB 1=2，E,F 分别为棱AB,A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有（ ）A ．直线CF 与A 1B 为相交直线 B ．异面直线DB 1与CE 所成角为90°C ．若P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P =1，则E 、C 、P 、F 四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面可能为六边形三、填空题12．已知圆台下底面的半径为4cm ，高为4cm ，母线长为2√5cm ，则圆台的体积为 cm 3． 13．计算：tan12°−√3(4cos 212°−2)sin12°= .14．设a ,b ⃑ ,c 都是单位向量，且a ⋅b ⃑ =0，则(c −a )⋅(c −b⃑ )的最小值为 ．四、解答题15．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知a (sinB +cosB )=c ． (1)求A ；(2)若c =√2，a =√5，求△ABC 的面积．16．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若P 为棱BB 1的中点，(1)判断平面D 1PC 与平面ABCD 是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由；(2)如图2，求证：DB 1//平面PAC ．17．已知向量a ⃑=(√3sinx,cosx)，b ⃑⃑=(cosx,cosx )，函数f(x)=2a ⃑⋅b ⃑⃑−1． （1）求函数f(x)的最小正周期及最小值； （2）若f (x2)=14，求sin (2x −π6)的值．18．已知△OAB 的两个顶点分别为原点O 和A (4,3)，且∠AOB =90°，OB =OA ． (1)求点B 的坐标；(2)若点B 落在第二象限，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)，点P 是直线OM 上的一个动点，当PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 取最小值时，求OP⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，并求cos∠APB 的值． 19．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD =90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC =120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD =60°，路宽AD =12m ．设灯柱高AB =ℎ(m )，∠ACB =θ(30°≤θ≤45°)．(1)当θ=30°时，求四边形ABCD 的面积；(2)求灯柱的高ℎ（用θ表示）；(3)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．。

2019～2020学年度第一学期期中考试高一数学（创新班）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}π,4k A x x k ∈Z ＝＝，集合{}ππB x x ＝-＜＜，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．92． 设3log 2x ＝，则33223333x x x x ----的值为（ ） A ．2110 B ．2110- C ．1710 D ．13103． 幂函数()231m y m m x -=--在定义域内为偶函数，则m ＝（ ）A ．－1B ．2C ．－1或2D ．14． 函数()(ln f x x +＝，若()()2540f a f b +++＝，则2a b +＝（ ）A ．－1B ．1C ．－9D ．95． 若等差数列{}n a 的公差d ≠0，且222268101216a a d a a +++＝，则{}n a 的前17项的和17S ＝（ ）A ．17B ．18C ．30D ．326． 已知15αβ+o ＝，则1tan tan tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβ---++-＝（ ）A B 2 C ．2 D 7． 函数()422x f x x +-＝ 的零点与()g x 的零点之差的绝对值不超过14，则()g x 的解析式可能是（ ）A ．()41g x x -＝B ．()()21g x x -＝C ．()e 1x g x -＝D ．()()1ln 2g x x -＝ 8． 将函数2x y ＝的图像向右平移t 个单位长度，所得图像对应的函数解析式为23xy ＝，则t 的值为（ ）A ．12B ．2log 3C ．3log 2D 9． 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不相等实数1x 、2x ∈R ，使得122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ ()()122f x f x +，则称函数()f x 为“创新函数”．则下列函数不是“创新函数”的是（ ）①()1,0,0,0,x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩＝＝ ②()f x x x ＝ ③()22f x x -＝ ④()21x f x -＝A ．①B ．②C ．③D ．④10．已知函数()22x f x x++＝，x ∈R ，则不等式()()2223f x x f x --＜的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()1,3 C ．()0,2 D ．(31,2⎤⎥⎦11．已知直线x ＝2，x ＝4与函数lg y x ＝的图像交于A ，B 两点，与函数ln y x ＝的图像交于C ，D 两点，则直线AB 与CD 的交点的横坐标（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不确定12．已知点O 是△ABC 内一点，满足2OA OB mOC +u u u r u u u r u u u r ＝，且47AOB ABC S S △△＝，则实数m 为（ ） A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在指定的位置上．13．已知实数a ，b ，c ，d 满足23a ＝，35b =，57c ＝，716d ＝，则abcd ＝ ▲ ． 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ．若{}n a,均为公差为d 的等差数列，则n S ＝▲ ． 15．已知向量a 与b 的夹角为60o ，且1＝a ，2＝b ，实数k 满足a ＋k b 与k a ＋b 的夹角为钝角，则k 的取值范围为 ▲ ．16．已知x ＞0且x ≠1，y ＞0且y ≠1，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝的解为11x x y y ⎧⎨⎩＝＝或22x x y y ⎧⎨⎩＝＝，则()1212lg x x y y ＝▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 设集合{}2320A x x x -+＝＝，集合()(){}222150B x x a x a +++-＝＝（a ∈R ）．（1）若{}1A B I ＝，求实数a 的值；（2）若A B A U ＝，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益()g x 与投入x （单位：万元）满足()6g x ＝，乙城市收益()h x 与投入x （单位：万元）满足()124h x x +＝，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为()f x （单位：万元）（1）求()f x 及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？19．（本小题满分12分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin a c A C -+＝ ()sin sin b A B -．（1）求角C 的大小；（2）若2CB m ＝， 2CA m＝，O 为△ABC 的外心，且CO CB CA αβ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ＝，求αβ+的最大值．20．（本小题满分12分）设函数()22x x f x k --⋅＝在定义域具有奇偶性．（1）求k 的值；（2）已知()()442x x g x mf x -+-＝在区间[)1,+∞上的最小值为－2，求m 的值．21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 与公比为正数的等比数列{}n b 满足1122b a ＝＝，2310a b +＝，327a b +＝． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若()()11n n n c a b ++＝，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）若()()111n n n n n n b A a b a b ++++⋅+＝，数列{}n A 的前n 项和n T ，且n T λ＞恒成立，求λ的最小值．22．（本小题满分12分）对于定义域为R 的奇函数()f x 同时满足下列三个条件： ① 对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +＝-； ② ()11f ＝③ 对任意m ，[]0,1n ∈且m ≤n ，都有()()()()12m n f a f m a f n +-⋅+⋅＝成立，其中 0＜a ＜1．（1）求a 的值；（2）求()()()201920202021234f f f ++的值．参考答案1-5 CAACA6-10 DABDA11-12 BD13. 414.15.16. 617.18.19.22.。

江苏省海安高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题1．下列关系中正确的是( )A.π∈QB.{}0∅⊆C.{}(){}0,10,1⊆D.(){}(){},,a b b a = 2．设a ,b ∈R ,则“2a >且1b >”是“3a b +>且2ab >”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3．已知13a a -+=,则1122a a -+=( )A.5B.4．已知函数()2411f x x -=+,则函数()y f x =的解析式是( )A.()222f x x x =++,0x ≥B.()222f x x x =++,1x ≥-C.()222f x x x =-+,0x ≥D.()222f x x x =-+,1x ≥-5．已知()13A x f x x ⎧==⎨-⎩,{}28150B x x x =-+≤．则A B =( ) A.[2,5] B.[3,5] C.(3,5] D.(2,)+∞6．若两个正实数x ,y 满足x y xy +=且存在这样的x ,y 使不等式248x y m m +<+有解,则实数m 的取值范围是( )A.()1,9-B.()9,1-C.()(),91,-∞-+∞D.()(),19,-∞-+∞ 7．中国的5G 技术领先世界,5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C 取决于信通带宽信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计,按照香农公式,由于技术提升,带宽W（附：lg50.6990≈）A.22%B.33%C.44%D.55%8．若函数()5,1,,1x x a x f x a x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围为( ) A.[]3,2-- B.[]3,1-- C.[)2,0- D.()0,+∞二、多项选择题9．设0a b c >>>,则( )A.ac bc >B.c a c b -<-C.2ab c >D.11a c b c -->10．下列命题正确的是( )A.集合{},,a b c 有6个非空子集B.m ∃∈NC.“4m <”是“3m <”的必要不充分条件D.已知23a <<,21b -<<-则2a b +的范围为225a b <+<11．下列命题中为真命题的是( )1>的解集为[]0,3; B.若函数2()4f x x ax =-++有两零点,一个大于2,另一个小于1-,则a 的取值范围是(0,3);C.函数()f x =2()1g x x =-为同一个函数;D.若()f x 的定义域为[2,2]-,则(21)f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 12．早在西元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经知道算中项,几何中项以及调和中项.毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项,其中,算术中项,几何中项的()0,02a b a b +≤>>叫做基本不等式,下列与基本不等式有关的命题中正确的是( )A.若0a >,0b >,2a b +=14b ≥B.若实数0a >,0b >满足21a b +=,则24a b +C.若0a >,b >b +=D.若0a >,0b >,a b +=三、填空题13．命题“1x ∀≥,21x ≥”的否定为__________.14．已知集合{}240A x x =-=,{}20B x ax =-=,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,则实数a 的所有可能取值构成的集合为__________．15．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,且满足1()25f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 的最小值为___________．16．若对任意x ∈R ,2222224x ax bx c x x +≤++≤-+ 恒成立,则ab 的最大值为_________．四、解答题17．数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养,因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．lg8lg16lg9lg 27⎫+⎪⎭的值;（2）已知x ,y ,z 为正数,若346x y ==18．已知集合()(){}110A x x a x a =---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,{}13B x x =-≤≤.（1）若2a =,求A B ;（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19．已知函数()f x =()2,2x ∈-,满足条件()00f =,且12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求a ,b 的值;（2）用单调性定义证明：函数()f x 在区间()2,2-上单调递增;（3）若()()1210f a f a +-->,求实数a 的取值范围.20．函数2(3)f x x ax =++（1）当[2,2]x ∈-时()f x a ≥恒成立,求实数a 的取值范围;（2）当[4,6]a ∈时()0f x ≥恒成立,求实数x 的取值范围;21．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为()y f x =时,该公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时,①()f x 是增函数;②()90f x ≤恒成立;③()f x ≤(1)现有两个奖励函数模型：①1()1015f x x =+;②()6f x =.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数()10(2)f x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a 的取值范围.22．已知定义在R 的函数()f x 满足：①对x ∀,y ∈R ,()()()1f x y f x f y +=+-;②当0x >时,()1f x <;③()12f =-.（1）求()0f ,判断并证明()f x 的单调性;（2）若[]1,1x ∃∈-,使得()225f x m am ≤--,对[]11a ∀∈-，成立,求实数m 的取值范围; （3）解关于x 的不等式()()()226f ax f a x <++.参考答案1．答案：B解析：π是无理数,所以A 选项错误.空集是任何集合的子集,所以B 选项正确.集合{}0,1与集合(){}0,1的元素不相同,所以没有包含关系,所以C 选项错误. ()(),,a b b a ≠,所以D 选项错误.故选：B.2．答案：A解析：若2a >且1b >,由不等式的同向可加性可得3a b +>,由不等式的同向同正可乘性可得2ab >,所以“2a >且1b >”可以推出“3a b +>且2ab >”,即充分性成立;反之,若6a =,b =3b +>且2ab >”,所以 “3a b +>且2ab >”不可以推出“2a >且1b >”,即必要性不成立;所以“2a >且1b >”是“3a b +>且2ab >”的充分不必要条件. 故选：A.3．答案：D 解析：易知11220a a -+>,而211212)(25a a a a --+=++= 故1122a a -+故选：D.4．答案：B解析：()()224211111f x x x ⎡⎤-=+=-++⎣⎦,且211x -≥-,所以()()221122f x x x x =++=++,1x ≥-. 故选：B.5．答案：C解析：由30240x x -≠⎧⎨-≥⎩解得2x ≥且3x ≠,所以[)()2,33,A =+∞.由()()2815350x x x x -+=--≤,解得35x ≤≤,所以[]3,5B =,所以A B =(3,5].故选：C.6．答案：C解析：由x y+=11y +=, 则()11444559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭, 即()min 49x y +=,则289m m +>,则()(),91,m ∈-∞-+∞,故选：C.7．答案：C解析：由题意可知：C 大约增加了222100022120%log 4000log 1000 1.2log 40001 1.2log 400010.4lg 40001log 1000log 1000W W W -=-=-=- 0.4(32lg 2)10.20.8(1lg5)0.4408=+-=+-≈,故选：C. 8．答案：A解析：函数()5,1,1x x a x f x a x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩, 当1a =-时,()15,11,1x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩, 当1x ≤时,()25f x x x =-+-,函数图像的对称轴为x =排除B 、C; 当1a =时,()15,11,1x x x f x x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩, 当()1,1x ∈-时,25fx x x =+-（）,函数图像对称轴为x =故选：A ．9．答案：BD解析：因为0a b c >>>,故ac bc <,故A 错误,而a b -<-,故c a c b -<-,故B 正确.<c b>即11a c b c -->,故D 正确. 取2a b ==,3c =-此时0a b c >>>,但2ab c <,故C 错误. 故选：BD.10．答案：BCD解析：集合{},,a b c 非空子集的个数为3217-=,故A 错误; 当m =1=∈N ,符合题意,故B 正确;由条件可得34m m <⇒<,反之,不成立,所以“4m <”是“3m <”的必要不充分条件,故C 正确;因为23a <<,21b -<<-则426a <<,所以225a b <+<,故D 正确; 故选：BCD.11．答案：BCD1>,等价于()21011x x x -≠⎧⎪⎨+>-⎪⎩,解得01x <<或13x <<,故A 错误;对于B 选项,由()24f x x ax =-++有两个零点,一个大于2,一个小于-1,则()()1020f f ->⎧⎪⎨>⎪⎩,即3020a a -+>⎧⎨>⎩,解得0<<3a ,故B 正确; 对于C 选项,由()422111x f x x x -==-+,定义域为R ,而()21g x x =-的定义域为R ,所以它们是同一函数,故C 正确;对于D 选项,由()f x 的定义域为[]22-,,2212x ∴-≤-≤,解得1322x -≤≤,所以函数()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,故D 正确. 故选：BCD.12．答案：ACD解析：对于A 选项：因为0a >,0b >,21a b +=()1112222422b a a b b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭=2a =时,等号成立,故正确; 对于B 选项： 21a b +=22222221(2)4442(4)a b a b ab a b a b ∴=+=++=+++≤,224a b ≥∴+a b ==对于C 选项：原式()()11111111131213331b b b b b b b b b a ⎛⎫=+=+=+=+-+ ⎪-+--⎝⎭+ 131133b b b b -⎛⎫=+++≥ ⎪-⎝⎭=2=时取等号）．故正确; 对于D 选项．令22a m b n +=⎧⎨+=⎩,则22a mb n =-⎧⎨=-⎩,由4a b +=,得8m n +=,()()22222444442m n b m n b m n m n m --=+=+-++-=++()411111222222n m m n n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝, =m =时,等号成立,故正确; 故选：ACD.13．答案：1x ∃≥,使得21x <解析：根据全称命题的否定为特称命题,所以命题“1x ∀≥,21x ≥”的否定为“1x ∃≥,使得21x <”.故答案为：1x ∃≥,使得21x <. 14．答案：{}1,0,1-解析：依题意,{}{}2|402,2A x x =-==-,若0a =,则B =∅,满足x A ∈是x B ∈的必要不充分条件.当0a ≠时,2|B x x a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭,由于x A ∈是x ∈=2=-, 解得1a =或1a =-, 综上所述,a 的所有可能取值构成的集合为{}1,0,1-. 故答案为：{}1,0,1-.15．答案：解析：因为1()25f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1524x f f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭两式联立得()2f x x x =+得()2f x x x =+≥()0x x =>,即x =()f x 的最小值为故答案为：解析：令1x =,则44a b c ≤++≤,故4a b c ++=,对任意x ∈R ,222x ax bx c +≤++,则2(2)20ax b x c +-+-≥恒成立, 222(2)4(2)(2)4(2)(2)0b a c a c a c a c ∴∆=---=+---=-+≤ 2c a ∴=+,此时22b a =-,211(22)2(1)2()22ab a a a a a ∴=-=-=--+≤当a =1=,c =此时()()2222333224310222x x ax bx c x x x -+-++=-+=-≥成立,解析：（1）原式lg33lg 24lg 2lg317lg 2172lg 22lg33lg32lg 26lg312⎛⎫=+=⨯= ⎪⎝⎭; （2）由题意知,令346x y z a ===,则0a >,所以3log x a =,4log y a =,6log z a=,4463log log ln ln 6ln ln 3ln 6ln 3ln 2log log ln 4ln ln 4ln ln 4ln 42ln 2a a y a a x a a a a =-=⨯-⨯=-==18．答案：（1）{|13}x x -≤≤（2）[0,2]解析：（1）2a =时,集合{|[(1)][(1)]0}{|13}A x x a x a x x =---+<=<<, {|13}B x x =-≤≤．{|13}A B x x ∴=-≤≤;（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,则A B ⊆, 集合{|[(1)][(1)]0}{|11}A x x a x a x a x a =---+<=-<<+≠∅, ∴1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得02a ≤≤,∴实数a 的取值范围是[0,2]．19．答案：（1）1,0a b == （2）证明见解析（3）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解析：（1）因为()f x =()00f =,12217f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以20412142b a b ⎧=⎪⎪⎪+⎨=⎪⎪⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩10a b ==,所以1a =,0b =. （2）由（1）得()f x =1x ∀,()22,2x ∈-且12x x <,有()()()()()()221221121222221212444444x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-==++++由于1222x x -<<<,210x x ∴->,1240x x -<,()()120f x f x ∴-<即()()12f x f x <, 所以函数()f x 在区间()2,2-上单调递增.（3）由()()1210f a f a +-->得()()121f a f a +>- 又函数()f x 在区间()2,2-上单调递增,所以2122212121a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩,解得3122a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩112a <<,所以实数a 的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．答案：(1)[7,2]--(2)(,3[36,)x ∈-∞---++∞解析：（1）①当22a-<-,即4a >时()()min 2423f xf a a =-=-+≥,所以a ≤②当222a -≤-≤,即44a -≤≤时()22min3242a a a f x f a ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭,所以24120a a +-≤,解得62a -≤≤此时[]4,2a ∈- ③当22a ->,即4a <-时()()min 2423f x f a a ==++≥,所以7a ≥-． 此时[)7,4a ∈--综上所述：实数a 的取值范围是[]7,2-- （2）令()23h a x a x =⋅++所以()()2244306630h x x h x x ⎧=++≥⎪⎨=++≥⎪⎩解得3133x x x x ≤-≥-⎧⎪⎨≤-≥-⎪⎩或所以[(),336,x ∈-∞--++∞21．答案：(1)函数模型：②()6f x =符合公司要求; (2)522a ≤≤．解析：(1)对于函数模型：①1()1015f x x =+,验证条件③：当30x =时()12f x =，而65x=，即()f x ≤对于函数模型：②()6f x =,当[]25,1600x ∈时,条件①()f x 是增函数满足;max ()624067490f x ∴==⨯-=<,满足条件②;对于条件③：记()6(251600)5xg x x =-≤≤则21()515g x =--（）[]5,40x∈,∴时,()2max 1()551=105g x =----≤ ()f x ∴≤故函数模型： ②()6f x =符合公司要求. (2) 2a≥,∴函数()10f x =符合条件①;由函数()10f x=符合条件②,得10401090a -=⨯-≤,解得：a ≤由函数()10f x=符合条件③,得10≤[]25,1600∈恒成立,即a ≤+[]25,1600∈恒成立.5≥50x =时等号成立, ∴a ≤综上所述,实数a 的取值范围52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22．答案：（1）()01f =,()f x 单调递减区间为R ,无单调递增区间; （2）(][),33,-∞-+∞;（3）2a >时,解集为()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;02a <<时,解集为()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;0a =时,解集为(),1-∞;0a <时,解集为2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭.解析：（1）令0x y ==,得()()()0001f f f =+-,解得：()01f =; 令12x x <,即210x x ->,则()()()()()()()()21211121112111f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=--, 因为0x >时,()1f x <,所以12x x <时,()()()212110f x f x f x x -=--<, 所以()f x 在R 上的单调递减;故()f x 单调递减区间为R ,无单调递增区间. （2）由（1）知,[]1,1x ∈-时,()f x 单调递减, 又()12f =-,则[]1,1x ∈-时,()()min 12f x f ==-;因为[]1,1x ∃∈-,使得()225f x m am ≤--,对[]1,1a ∀∈-成立, 所以()2min 25f x m am ≤--,则2252m am --≥-, 即对[]1,1a ∀∈-,2230m am --≥成立; 设()[]()2231,1g a am m a =-+-∈-, 则对[]1,1a ∀∈-,()0g a ≥恒成立,即()()221230,1230,g m m g m m ⎧-=+-≥⎪⎨=--≥⎪⎩解得：3m ≥或3m ≤-;故实数m 的取值范围为(][),33,-∞-+∞.（3）令y x =-,得()()()01f f x f x =+--,又知()01f =,即()()2f x f x +-=,所以()()2f x f x =--;因为()12f =-,所以()()1214f f -=-=,()()()21117f f f -=-+--=; 不等式()()()226f ax fa x <++等价于()()()226f ax f a x -+<,即()()()()()()2222268f ax f a x f ax f a x ⎡⎤---+<⇒⎣⎦+-+<; 又因为()()()1f x y f x f y +=+-,所以()()()1f x f y f x y +=++, 故()()2218f ax a x -++<,则()()()2272f ax a x f -+<=-; 因为()f x 在R 上单调递减,所以()222ax a x -+>-, 即()2220ax a x -++>⇒()()210ax x -->,①2a >时,201a <<,解得1x >或x <②0a <<1>,解得x >1<;③0a =时,解得1x <;④a <0<<1x <<;综上所述： 不等式()()()226f ax fa x <++的解集为：2a >时,解集为()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;02a <<时,解集为()2,1,a⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;0a =时,解集为(),1-∞;0a <时,解集为2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

2024届江苏省南通市海安县海安高级中学数学高一下期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．长方体共顶点的三个相邻面面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A ．6πB ．8πC ．12πD ．24π2．在等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，点E 是线段BC 的中点，若AE AB AD λμ=+，则(λμ+= ) A ．52B ．54C ．12D ．143．在平行四边形ABCD 中，()()1.2,2,0A B -,()2,3AC =-,则点D 的坐标为（ ） A ．()6,1B ．()6,1--C ．()0,3-D ．()0,34．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A ．56B ．3C ．52D ．65．在区间[1,5]内任取一个实数，则此数大于2的概率为（ ）A ．25B ．12C ．35D ．346．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．34k ≥或 4k ≤- B ．34k ≥或 14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 7．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤8．在ABC 中，若sin sin sin 34A B Ck ==，则下列结论错误的是（ ） A ．当5k =时，ABC 是直角三角形 B ．当3k =时，ABC 是锐角三角形 C ．当2k =时，ABC 是钝角三角形D ．当1k =时，ABC 是钝角三角形9．已知a ，b ，c 满足,0c b a ac <<<且，那么下列选项一定正确的是（ ） A ．22ca ac >B ．ac bc >C ．22ab cb >D ．ab ac >10．已知点O 是边长为2的正三角形ABC 的中心，则OB OC ⋅=（ ） A ．16-B ．23-C ．12-D ．56-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

江苏省海安高级中学高一数学试卷（）编制：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1． 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB AD ⋅=u u u r u u u r▲ ． 【答案】1522． 已知向量()1,3=-a ，则与a 反向的单位向量是 ▲ ． 【答案】31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3． 若()π3sin 25θ+=，则cos2θ= ▲ ．【答案】725- 4． 在△ABC 中，若sin sin sin a A b B c C +<，则△ABC 的形状是 ▲ ． 【答案】钝角三角形5． 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin c a C =，bc ＝4，则△AB C的面积等于 ▲ ． 【答案】16． 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ DC λ=u u u r u u u r ，()1CP CB λ=-u u u r u u u r ，则AP AQ ⋅u u u r u u u r的取值范围是▲ ．【答案】[0,2]7． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，则角B 为 ▲ ． 【答案】30°8．若5π3π,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin 21sin 2θθ-+可化简为 ▲ ．【答案】2cos θ9． 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是 ▲ ． 【答案】510．将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为 ▲ ．【答案】31211．正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设A α∠=，若1441S =，2440S =，则sin2α= ▲ ．【答案】11012．已知函数()()10,0f x ax x a x =+>>在x ＝2时取得最小值，则a ＝ ▲ ．【答案】1413．已知二次函数()24f x ax x c =-+的值域是[)0,+∞，则19a c +的最小值是 ▲ ．【答案】314．如果关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和()11,b a，那么称这两个不ABCDEFS 1αABCPNF S 2αMQ等式为“对偶不等式”．如果不等式220x x θ-⋅+<与不等式224sin 210x x θ+⋅+<为“对偶不等式”，且()π,π2θ∈，那么θ= ▲ ．【答案】5π6二、解答题：本大题共6小题，计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知平面向量()1,x =a ，()23,x x =+-b ，x ∈R ． （1）若a ⊥b ，求x 的值； （2）若a ∥b ，求|a －b |的值．【答案】（1）x ＝－1或x ＝3；（2）2或 16．（本小题满分14分）已知函数()2cos sin cos f x x x x =+，x ∈R ． （1）求()π6f 的值；（2）若3sin 5α=，且()π,π2α∈，求()π224f α+．【答案】（1；（217．（本小题满分14分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且()2cos cos b A C =． （1）求角A 的大小；（2）若角π6B =，BC 边上的中线AM ，求△ABC 的面积．【答案】（1）π6；（218．（本小题满分16分）设函数()2f x x a =-，a ∈R ．（1）若不等式()1f x <的解集为{}13x x <<，求a 的值； （2）若存在0x ∈R ，使()003f x x +<，求a 的取值范围． 【答案】（1）a ＝1；（2）32a <19．（本小题满分16分）某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米．（1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域； （2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？（3）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？【答案】（1）()90030150y x x x=+-<< （2）长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小. （3）长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足()22n n S a n n *=-∈N ． （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）若数列{}n b 满足()2log 2n n b a =+，n T 为数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求证：12n T ≥．【答案】（1）122n n a +=-；。

江苏省南通市海安高级中学高一下学期3月线上考试数学试题一、单选题1．某地区对当地3000户家庭的2018年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，则年收入不超过6万的家庭大约为（）A．900户B．600户C．300户D．150户【答案】A【解析】先计算年收入不超过6万的家庭的频率,再根据样本估计总体的方法求解即可. 【详解】由频率分布直方图可得,年收入不超过6万的家庭的频率为（0.005+0.010）×20＝0.3.可得年收入不超过6万的家庭大约为3000×0.3＝900户.故选：A.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,属于基础题.2．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（）A．12B．12-C．32D．3【答案】B【解析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可. 【详解】sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin43sin17=-︒︒︒︒1cos 43cos17sin 43sin17)co (s 602=︒︒-︒︒=-︒--=故选：B 【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.3．已知向量a ，b 满足a =（x ，1），b =（1，﹣2），若a ∥b ，则a 2b +（ ） A ．（4，﹣3） B ．（0，﹣3） C ．（32，﹣3） D ．（4，3）【答案】C【解析】根据a =（x ，1），b =（1，﹣2），且a ∥b ，求得向量a 的坐标，再求a 2b +的坐标. 【详解】因为a =（x ，1），b =（1，﹣2），且a ∥b ， 所以21x -= ， 所以12x =- ，所以a =（12-，1）， 所以a 32,32⎛⎫+=- ⎪⎝⎭b . 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程y bx a =+，计算得7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为 A ．75万元 B ．85万元 C ．99万元D ．105万元【答案】B【解析】分析：根据表中数据求得样本中心(,)x y ，代入回归方程ˆ7ˆyx a =+后求得ˆa ，然后再求当10x =的函数值即可． 详解：由题意得11(24568)5,(3040506070)5055x y =++++==++++=， ∴样本中心为(5,50)．∵回归直线ˆ7ˆyx a =+过样本中心(5,50)， ∴ˆ5075a=⨯+，解得ˆ15a =， ∴回归直线方程为ˆ715yx =+． 当10x =时，710158ˆ5y=⨯+=， 故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元． 故选B ．点睛：本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题．5．已知函数f （x ）＝3x +x ，g （x ）＝log 3x +x ，h （x ）＝x 3+x 的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c【答案】B【解析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图像的交点比较大小即可. 【详解】f （x ）＝3x +x ＝0,则x ＝﹣3x ,g （x ）＝log 3x +x ,则x ＝﹣log 3x ,h （x ）＝x 3+x ,则x ＝﹣x 3,∵函数f （x ）,g （x ）,h （x ）的零点分别为a ,b ,c , 作出函数y ＝﹣3x ,y ＝﹣log 3x ,y ＝﹣x 3,y ＝x 的图象如图, 由图可知：b ＞c ＞a ,故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数零点的运用以及数形结合求解函数值大小的问题,属于中档题. 6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1 B ．3C ．5D ．7【答案】C【解析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()3002%1.x-<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.7．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线4x π=和54x π=是函数f （x ）＝sin （ωx +φ）图象的两条相邻的对称轴，若将函数f （x ）图象上每一点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标变为原来的2倍，则得到的图象的函数解析式是（ ） A ．224y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．1224y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．y ＝2cos2xD ．1228y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据题意先求得()()sin f x x ωϕ=+的周期,再根据三角函数图像变换的方法求解析式即可. 【详解】 ∵直线4x π=和54=x π是函数f （x ）＝sin （ωx +φ）图象的两条相邻的对称轴, ∴周期T ＝2×（544ππ-）＝2π,即22ππω=,得ω＝1, 则f （x ）＝sin （x +φ）,由五点对应法得4π+φ2π=,得φ4π=,即f （x ）＝sin （x 4π+）,若将函数f （x ）图象上每一点的横坐标变为原来的12倍,得到y ＝sin （2x 4π+）, 然后纵坐标变为原来的2倍,得到y ＝2sin （2x 4π+）,故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解参数以及三角函数变换的方法等.属于中档题.8．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222c a b -=，且c =a -的取值范围是（ ）A ．(1,0)-B ．(1-C ．(D ．【解析】分析：利用222c a b -=求得,4C π=由正弦定理a 转化为A 、B 的表达式，利用三角形内角和定理华为同一个角的三角函数，即可得到2a -的取值范围.详解：由题，222c a b -=，可得222cos ,0,22a b c C C ab π+-==<<,4C π∴=由正弦定理可得2,2sin ,2sin sin sin sin c b ab B a A C B A===∴==， 且3,44A B B πππ=--=-则32sin 2sin 4a A B B B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭B B B B =30,4B π<<2cos 1,12B B ∴-<<-<< 故选B.点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变形的应用，属于基础题． 9．已知函数f （x ）＝x 2+bx ，若f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等，则实数b 的取值范围是（ ） A ．[0，2]B ．[﹣2，0]C ．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）D ．（﹣∞，0]∪[2，+∞）【答案】D【解析】先求得()f x 的最小值,再根据二次函数对称轴与值域的关系列出不等式求解即可. 【详解】由于f （x ）＝x 2+bx ,x ∈R.则当x 2b =-时,f （x ）min 24b =-, 又函数y ＝f （f （x ））的最小值与函数y ＝f （x ）的最小值相等,则函数y 必须要能够取到最小值,即242b b-≤-,得到b ≤0或b ≥2,所以b的取值范围为{b|b≥2或b≤0}.故选：D.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质运用,需要分析到对称轴满足的关系式,属于常考题. 10．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面；④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．其中正确命题的序号是（）A．①②④B．①②③C．②③D．③【答案】D【解析】根据常见几何体的性质逐个判定即可.【详解】对于①,棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形,但不一定是全等平行四边形,所以①错误；对于②,用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台,所以②错误；对于③,半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面,③正确；对于④,棱台的侧棱延长后交于一点,但侧面不一定是等腰梯形,所以④错误.综上知,正确的命题序号是③.故选：D.【点睛】本题主要考查了常见几何体的性质判定,属于基础题.二、多选题11．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（）A．A与B是互斥事件但不是对立事件B．A与C是互斥事件也是对立事件C．A与D是互斥事件D．C与D不是对立事件也不是互斥事件【答案】AD【解析】根据互斥事件的定义以及对立事件的定义逐个判定即可. 【详解】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A ,“向上的点数是1,2”为事件B , “向上的点数是1,2,3”为事件C ,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D ,在A 中,A 与B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A 正确； 在B 中,A 与C 是对立事件,故B 错误；在C 中,A 与D 能同时发生,不是互斥事件,故C 错误；在D 中,C 与D 能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的判定,属于基础题. 12．下列说法中正确的有（ ）A ．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为B ．用斜二测法作△ABC 的水平放置直观图得到边长为a 的正三角形，则△ABC 面积2 C ．三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分 D ．已知四点不共面，则其中任意三点不共线． 【答案】ACD【解析】对A,根据题意求出底面积与高再求体积判定即可. 对B,根据斜二测画法前后面积的关系求解判断即可. 对C,分析这三个平面的位置关系再逐个讨论即可. 对D,利用反证法证明即可. 【详解】对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S 底面积＝6•12⨯1×1×sin60°=；则棱锥的高h ==2,所以该棱锥的体积为V 13=S 底面积h 13=2=正确； 对于B,水平放置直观图是边长为a 的正三角形,直观图的面积为S ′12=⨯a 2×sin60°2=,则原△ABC 的面积为S ＝′＝2a 2=a 2,所以B 错误；对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分； 若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C 正确；对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D 正确； 综上知,正确的命题序号是ACD. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查了立体几何中的基本性质与空间中线面的关系问题,属于基础题. 13．下列函数()f x 对任意的正数1x ，2x ，3x 满足123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++的有（ ）A ．()42sin f x x =+B ．()f x =C ．()xf x e =D ．()ln(1)f x x =+【答案】ABD【解析】根据四个选项中的函数证明不等式123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++成立或举反例说明不成立(举反例时中让123x x x ==)． 【详解】A ．123123()42sin()6f x x x x x x ++=+++≤，123123()()()42sin 42sin 42sin 6f x f x f x x x x ++=+++++≥，A 正确；B ．2123123x x x x x x =+++>++，B 正确；C ．1231x x x ===时，1233x x x e e e e e ++=>++，C 错；D ．123123122313123123(1)(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+++++++>+++，∴123123123ln[(1)(1)(1)]ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)x x x x x x x x x +++=+++++>+++，D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明．三、填空题14．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n =与向量()1,1b =-的夹角为θ，则θ为锐角的概率是__________． 【答案】512【解析】连掷两次骰子分别得到点数m ,n ,所组成的向量(m ,n )的个数共有36种由于向量(m ,n )与向量(1,−1)的夹角θ为锐角,∴(m ,n )⋅(1,−1)>0， 即m >n ，满足题意的情况如下： 当m =2时，n =1； 当m =3时，n =1，2； 当m =4时，n =1，2，3； 当m =5时，n =1，2，3，4；当m =6时，n =1，2，3，4，5；共有15种， 故所求事件的概率为：1553612= . 15．若等腰△ABC 的周长为3，则△ABC 的腰AB 上的中线CD 的长的最小值为_____【解析】画图利用三角形三边的关系以及余弦定理分析求解即可. 【详解】如图所示,设腰长AB ＝2x ,则BC ＝3﹣4x ＞0,解得0＜x34＜；由中线长定理可得：2CD2+2x2＝（2x）2+（3﹣4x）2,化为：CD2＝9（x23-）212+；∴x23=时,CD取得最小值为1222=.2.【点睛】本题主要考查了利用三角形三边之间的关系与余弦定理求解线段长度的最值问题等,需要建立关于所求线段的等式再根据函数的最值分析.属于常考题.16．用一张长为12，宽为8的铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积为_____；半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是_____．【答案】288π或192π3【解析】①根据底面周长等于铁皮的边长,进而求得底面半径,再计算体积即可.②根据圆锥底面周长等于扇形弧长列式求解即可.【详解】①若圆柱的底面周长为12,则底面半径为r6π=,高为h＝8,此时圆柱的体积为V＝π•r2•h288π=；若圆柱的底面周长为8cm,则底面半径为r′4π=,h′＝12,此时圆柱的体积V＝π•r′2•h′192π=；所以圆柱的体积为288π或192π；②半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,所以底面圆的半径r满足2πr＝πR,即2r＝R；所以该圆锥筒的轴截面是边长为R的等边三角形,则其高为h ==. 故答案为：(1)288π或192π. 【点睛】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积与周长等的关系,属于常考题.17．对于函数y ＝f （x ），若在其定义域内存在x 0，使得x 0f （x 0）＝1成立，则称函数f （x ）具有性质M ．（1）下列函数中具有性质M 的有____ ①f （x ）＝﹣x +2②f （x ）＝sin x （x ∈[0，2π]） ③f （x ）＝x 1x+，（x ∈（0，+∞）） ④f （x）=（2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ，则实数a 的取值范围是____．【答案】①②④ a 12≤-或a ＞0 【解析】（1）①因为f （x ）＝﹣x +2，若存在，则()0021x x -+=，解一元二次方程即可.②若存在，则00sin 1x x =，即00sin 10x x -=，再利用零点存在定理判断.③若存在，则00011x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，直接解方程.④若存在，则1x =，即10x -=，令()01f x x =-，再利用零点存在定理判断.（2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ，则ax （|x ﹣2|﹣1）=1，x ∈[﹣1，+∞）有解，将问题转化 ：当2x ≥ 时，213a x x=- 有解，当12x -≤< 时，21a x x=-+ 有解，分别用二次函数的性质求解.【详解】（1）①因为f （x ）＝﹣x +2，若存在，则()0021x x -+=， 即200210x x -+=，所以01x = ，存在.②因为f （x ）＝sin x （x ∈[0，2π]），若存在，则00sin 1x x =， 即00sin 10x x -=， 令()00sin 1f x x x =-，因为()πππ⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭1sin 110,sin 10222f f ， 所以存在01,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ③因为f （x ）＝x 1x+，（x ∈（0，+∞）），若存在，则00011x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()000,x =∉+∞，所以不存在. ④因为f （x）（x ∈（0，+∞）），若存在，则1x =，即10x -=， 令()1f x x =-，因为()1110,11022f f ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ， 则ax （|x ﹣2|﹣1）=1，x ∈[﹣1，+∞）有解， 当2x ≥ 时，213a x x=- 有解， 令2239()3[2,)24g x x x x ⎛⎫=-=--∈-+∞ ⎪⎝⎭ ，所以1(,](0,)2a ∈-∞-+∞ .当12x -≤< 时，21a x x=-+ 有解， 令22111()[2,]244g x x x x ⎛⎫=-+=--+∈- ⎪⎝⎭ ，所以1(,](0,4]2a ∈-∞- .综上：实数a 的取值范围是a 12≤-或a ＞0. 故答案为：(1). ①②④ (2). a 12≤-或a ＞0【点睛】本题主要考查了函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.四、解答题18．某校有教师400人，对他们进行年龄状况和学历的调查，其结果如下：(1)若随机抽取一人，年龄是35岁以下的概率为35，求,x y ； (2)在35-55岁年龄段的教师中，按学历状况用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名教师中任选2人，求两人中至多有1人的学历为本科的概率. 【答案】（1）20；（2）710【解析】分析：（1）(1)由由古典概型概率公式8034005x +=，解得160x =,故()4001608060404020y =-++++=；（2）由分层抽样的规律可知，需学历为研究生的2人，记为12,A A ，学历为本科的3人，记为的123,,B B B ，列举可得总的基本事件，找出符合题意得基本事件，由古典概型公式可得. 详解：(1)由已知可知8034005x +=，解得160x =, 故()4001608060404020y =-++++=.(2)由分层抽样的规则可知，样本中学历为硕士的人数为4052100⨯=人，记为12,A A , 学历为本科的人数为6053100⨯=人.记为123,,B B B , 从中任选2人所有的基本事件为121112132121222312|,|,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B B B1323,,,?B B B B 共10个，设“至多有1人的学历为本科”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为1211121321|,|,,,,,,,,A A A B A B A B A B 2223,,,A B A B ，共7个.所以()710P A =. 点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 总体中个体差异明显，层次分明适合分层抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同. 19．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2bacosB c =-． （1）求角A ；（2）若△ABC 外接圆的面积为4π，且△ABC 的面积S =△ABC 的周长．【答案】（1）3A π=．（2）6+．【解析】(1)根据正弦定理边化角,再利用三角函数和差角公式化简求解即可.(2)利用正弦定理可得a =,再结合面积公式与余弦定理求解b c +即可. 【详解】解：（1）法一：已知2bacosB c =-,由正弦定理得2sin A cos B ＝2sin C ﹣sin B ＝2sin （A +B ）﹣sin B ,可得：2cos A sin B ﹣sin B ＝0,可得：sin B （2cos A ﹣1）＝0, ∵sin B ≠0, ∴12cosA =, ∵A ∈（0,π）, ∴3A π=. 法二：已知2b acosB c =-,由余弦定理得22222a cb ba c ac +-⋅=-,可得：a 2＝b 2+c 2﹣bc又a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A , ∴12cosA =, ∵A ∈（0,π）, ∴3A π=. （2）由△ABC 外接圆的面积为πR 2＝4π,得到R ＝2,由正弦定理知23243a a R sinA ===, ∴23a =. ∵△ABC 的面积1232S bcsinA ==,可得bc ＝8. 法一：由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣3bc ,即12＝（b +c ）2﹣24 从而b +c ＝6,故△ABC 的周长为623a b c ++=+.法二：由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ,即b 2+c 2＝20从而42b c =⎧⎨=⎩或24b c =⎧⎨=⎩, 故△ABC 的周长为623a b c ++=+. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式等在解三角形中的运用,属于中档题.20．如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.（1）求证：,,,E F G H 四点共面；（2）设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用三角形的中位线平行于第三边；平行线分线段成比例定理，得到EF 、GH 都平行于BD ，利用平行线的传递性得到EF ∥GH ，据两平行线确定以平面得证．（2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，得证． 试题解析：证明：（1）因为,E F 分别为,AB AD 的中点， 所以EFBD .在BCD ∆中，BG DHGC HC=， 所以GHBD ，所以EF GH .所以,,,E F G H 四点共面.（2）因为EG FH P ⋂=，所以P EG ∈，又因为EG ⊂平面ABC ， 所以P ∈平面ABC ， 同理P ∈平面ADC ，所以P 为平面ABC 与平面ADC 的一个公共点. 又平面ABC 平面ADC AC =. 所以P AC ∈，所以,,P A C 三点共线. 21．已知奇函数f （x ）222x b x +=+，函数g （θ）＝cos 2θ+2sinθ32-，θ∈[m ，56π]．m ，b ∈R ．（1）求b 的值；（2）判断函数f （x ）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x ∈[0，1]时，函数g （θ）的最小值恰为f （x ）的最大值，求m 的取值范围． 【答案】（1）b ＝0；（2）在[0，1]上的单调递增，证明见解析；（3）566ππ≤<m 【解析】（1）根据函数f （x ）222x bx +=+为奇函数，令f （0）＝0求解.（2）函数f （x ）在[0，1]上的单调递增，再利用函数的单调性定义证明.（3）根据（2）知，函数f （x ）在[0，1]上的单调递增，得到()()114max f x f ==．即g （θ）的最小值为14，再令t ＝sinθ，转化为二次函数求解. 【详解】（1）因为函数f （x ）222x bx +=+为R 上的奇函数，所以f （0）＝0，解得b ＝0．（2）函数f （x ）在[0，1]上的单调递增． 证明：设1201x x ≤≤≤则：f （x 2）﹣f （x 1）()21122122222121()1112112(1)(1)x x x x x x x x x x --⎛⎫=-=⨯⎪++++⎝⎭，因为1201x x ≤≤≤， 所以x 2﹣x 1＞0，1﹣x 1x 2＞0， 所以()21122221()1102(1)(1)x x x x x x --⨯++＞， 即f （x 2）> f （x 1），所以函数f （x ）在[0，1]上的单调递增．（3）由（2）得：函数f （x ）在[0，1]上的单调递增，所以()()114max f x f ==．所以g （θ）的最小值为14． 令t ＝sinθ，所以y 2122=-+-t t 的最小值为14，令211224=-+-=t t解得13,22==t t所以1322≤≤t ，即112sin θ≤≤， 所以5,66ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 又因为θ∈[m ，56π]．m ，b ∈R ， 所以566ππ≤<m ． 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于难题.22．一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一圆弧，AB,DC 分别与圆弧BC 相切于B,C 两点，EF //AB,GH //CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.（1）若水平放置的木棒MN 的两个端点M ,N 分别在外壁CD 和AB 上，且木棒与内壁圆弧相切于点P,设CMN (rad ),θ∠=试用θ表示木棒MN 的长度f ();θ （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．【答案】（1）)20(cos sin 1)cos (sin 2)(πθθθθθθ<<-+=f ；（2）224-．【解析】试题分析：（1）如图，设圆弧FG 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作CD 垂线，垂足为点T ，且交MN 或其延长线与于S ，并连接PQ ，再过N 点作TQ 的垂线，垂足为W ．在NWS Rt ∆中用NW 和SNW ∠表示出NS ，在QPS Rt ∆中用PQ 和PQS ∠表示出QS ，然后分别看S 在线段TG 上和在线段GT 的延长线上分别表示出TS=QT-QS ，然后在STM Rt ∆中表示出MS ，利用MN=NS+MS 求得MN 的表达式和)(θf 的表达式． （2）设出)21(,cos sin ≤<=+t t θθ，则θθcos sin 可用t 表示出，然后可得)(θf 关于t 的表达式，对函数进行求导，根据t 的范围判断出导函数与0的大小，进而就可推断出函数的单调性；然后根据t 的范围求得函数的最小值． 试题解析：⑴如图，设圆弧FG 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作CD 的垂线，垂足为点T ，且交MN 或其延长线于S ，并连结PQ ，再过点N 作TQ 的垂线，垂足为W ，在NWS Rt ∆中，因为NW=2，θ=∠SNW ，所以θcos 2=NS ，因为MN 与圆弧FG 切于点P ，所以MN PQ ⊥，在QPS Rt ∆中，因为PQ=1，PQS ∠θ=，所以θθcos 12,cos 1-=-=QS QT QS ， ①若M 在线段TD 上，即S 在线段TG 上，则TS=QT-QS ，在STM Rt ∆中，θθsin sin QSQT TS MS -==， 因此θsin QSQT NS MS NS MN -+=+=．②若M 在线段CT 上，即若S 在线段GT 的延长线上，则TS=QS-QT ，在STM Rt ∆中，θθsin sin QTQS TS MS -==， 因此θθsin sin QSQT NS QT QS NS MS NS MN -+=--=+=．．0)(<'t g 恒成立，所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为224-． 【考点】解三角形的实际应用．23．已知函数y ＝f 1（x ），y ＝f 2（x ），定义函数f （x ）()()()()()()112212f x f x f x f x f x f x ⎧≤⎪=⎨⎪⎩，，＞． （1）设函数f 1（x ）＝x +3，f 2（x ）＝x 2﹣x ，求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）在（1）的条件下，g （x ）＝mx +2（m ∈R ），函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点，求实数m 的取值范围；（3）设函数f 1（x ）＝x 2﹣2，f 2（x ）＝|x ﹣a |，函数F （x ）＝f 1（x ）+f 2（x ），求函数F （x ）的最小值． 【答案】（1）()231313x x x f x x x x +≤-≥⎧=⎨--⎩，或，＜＜；（2）()40113⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，，；（3）()2914211[]2229142mina a F x a a a a ⎧---⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-⎪⎩，＜，，＞【解析】（1）根据函数f （x ）()()()()()()112212f x f x f x f x f x f x ⎧≤⎪=⎨⎪⎩，，＞的定义，两个函数中取小的.（2）函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点，即方程f （x ）＝g （x ）有三个不同的实数根，因为函数()f x 是分段函数，分类讨论，分别用一次方程和二次方程求解.（3）根据题意F （x ）2219241924x a x a x a x a ⎧⎛⎫+--≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，，＜．按照二次函数函数定区间动的类型，讨论对称轴与区间端点值间的关系求最值.【详解】（1）∵f 1（x ）＝x +3，()22f x x x =-， 当f 1（x ）≤f 2（x ），即x ≥3或x ≤﹣1时，f （x ）＝x +3，当f 1（x ）＞f 2（x ），即﹣1＜x ＜3时，()2f x x x =-， 综上：()231313x x x f x x x x +≤-≥⎧=⎨--⎩，或，＜＜． （2）函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点，即方程f （x ）＝g （x ）有三个不同的实数根，因为函数()231313x x x f x x x x +≤-≥⎧=⎨--⎩，或，＜＜，函数g （x ）＝mx +2（m ∈R ）， 所以当x ≤﹣1或x ≥3时，mx +2＝x +3恰有一个实数解， 所以11103m x ⎛⎤-=∈ ⎥⎝⎦，或[)1110m x-=∈-，， 解得，[)40113m ⎛⎤∈⋃ ⎥⎝⎦，，． 当﹣1＜x ＜3时，mx +2＝x 2﹣x 恰有两个不同的实数解，即当﹣1＜x ＜3时x 2﹣（m +1）x ﹣2=0恰有两个不同的实数解，设函数h （x ）＝x 2﹣（m +1）x ﹣2，由题意可得()()010301132h h m ∆⎧⎪-⎪⎪⎨⎪+⎪-⎪⎩＞＞＞＜＜，所以2(1)8004335m m m m ⎧++⎪⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎩＞＞＜＜＜， 解得403m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 综上，m 的取值范围为()40113⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，，． （3）F （x ）＝f 1（x ）+f 2（x ）＝x 2+|x ﹣a |﹣222221924221924x a x a x x a x a x x a x a x a x a ⎧⎛⎫+--≥⎪ ⎪⎧+--≥⎪⎝⎭==⎨⎨-+-⎩⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，，，＜，＜． ①若a 12＞，则函数F （x ）在12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上是单调减函数，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是单调增函数， 此时，函数F （x ）的最小值为1924F a ⎛⎫=-⎪⎝⎭； ②若1122a -≤≤，则函数F （x ）在（﹣∞，a ）上是单调减函数，在（a ，+∞）上是单调增函数，此时，函数F （x ）的最小值为F （a ）＝a 2﹣2；③若12a -＜，则函数F （x ）在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上是单调减函数，在12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上是单调增函数，此时，函数F （x ）的最小值为1924F a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭； 综上：()2914211[]2229142min a a F x a a a a ⎧---⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-⎪⎩，＜，，＞． 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，还考查了分类讨论，运算求解的能力，属于难题.。

江苏省海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={0 , 1 , 2 , 3}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=()A. {0 , 1 , 2}B. {1 , 2}C. {0 , 1}D. {1}2.命题“∀x>0 , x2―x+1>0”的否定为( )A. ∀x>0 , x2―x+1≤0B. ∀x≤0 , x2―x+1≤0C. ∃x>0 , x2―x+1≤0D. ∃x≤0 , x2―x+1≤03.已知函数f(x)={x2+1 , x>0cos x , x≤0，则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)是周期函数D. f(x)的值域为[―1 ,+∞)4.若a>b，则( )A. ln a>ln bB. 0.3a>0.3bC. a3―b3>0D. |a|―|b|>05.已知函数f(x)=1，则y=f(x)的图象大致为( )ln(x+1)―xA. B. C. D.6.如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y=lo g2x，y=x12，y=(22)x的图象上，且矩形的边分2别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为( )A. (12, 14)B. (13, 14)C. (12, 13)D. (13, 13)=( )7.已知a>0，b>0，log9a=log12b=log16(a+b)，则abA.2―12B.3―12C. 12D.5―128.已知a =5，b =15(ln 4―ln 3)，c =16(ln 5―ln 4)，则( )A. a <c <bB. c <b <aC. b <a <cD. a <b <c二、多选题：本题共3小题，共15分。

江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析) 一、选择题：1。

化为弧度数为( ）A. B. C. D。

【答案】A【解析】【分析】利用角度化弧度公式可计算出答案.【详解】.故选：A。

【点睛】本题考查角度化弧度，考查计算能力，属于基础题. 2。

已知集合，集合,则中元素的个数为（）A。

B. C. D。

【答案】C【解析】分析】解不等式,求出整数的个数，即可得出答案。

【详解】解不等式，得，,的取值有、、、、、、，因此,中元素的个数为.故选：C。

【点睛】本题考查交集元素个数的计算，考查计算能力，属于基础题.3.已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长为（）A。

B. C。

D。

【答案】C【解析】【分析】计算出圆的半径,然后利用扇形的弧长公式可得出结果.【详解】设圆的半径为，则，，因此，这个圆心角所对的弧长为。

故选:C。

【点睛】本题考查扇形的弧长，解答的关键就是计算出圆的半径，考查计算能力,属于基础题。

4.函数的定义域为（)A. B。

C。

D.【答案】C【解析】分析】根据二次根式被开方数非负、分母不为零、对数真数大于零列出关于的不等式组，即可得出函数的定义域。

【详解】由题意可得，即，解得且，因此，函数的定义域为.故选：C。

【点睛】本题考查函数定义域的求解，要根据一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）求解,考查运算求解能力，属于基础题.5。

计算：（）A。

B. C。

D。

【答案】B【解析】【分析】利用换底公式和对数的运算律可计算出所求代数式的值.【详解】，,由换底公式可得,因此，原式.故选：B.【点睛】本题考查对数的运算，解题时要充分利用换底公式、对数的运算律以及对数恒等式来进行化简计算，考查计算能力，属于基础题.6.若是上周期为的奇函数，且，则( ）A。

B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质得出,再由函数的周期性得出,利用奇函数的性质可计算出结果。

江苏省南通市海安高级中学【最新】高一下学期6月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．35B ．45C ．35D ．45-2．下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（ ）A ．()f x =B ．1()f x x=C ．()x f x e =D ．()sin f x x =3．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120 km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A ．30辆B ．1700辆C ．170辆D ．300辆4．已知圆O ：221x y +=，直线l 过点（-2，0），若直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线l 的斜率为（ ）A ．3±B ．3±C ．D ．±15．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是梯形，//AB CD ，若平面PAD平面PBC l =，则（ ）A ．//l CDB ．//l BC C ．l 与直线AB 相交D ．l 与直线DA 相交6．设全集{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，集合3{(,)|1}2y M x y x -==-，{(,)|1}P x y y x =≠+，那么()UM P ⋃等于（ ）A ．∅B ．{}(2,3)C ．(2,3)D ．{(,)|1}x y y x =+7．已知()0,x π∈，cos 6x π⎛⎫⎪⎝=⎭-，则cos 3x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A B C D 8．函数2ln 12y x x x =-+-的所有零点之和是（ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．49．已知函数()()212f x a x x =-≤≤与()1g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5,4⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭B ．[]1,3C ．5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,1-10．已知,A B 是圆O ：224x y +=上两点，点(1,2)P 且0PA PB ⋅=，则AB 最小值是（ ）A B -C D ．1-二、填空题11．121lg 25lg 49-⎛⎫++= ⎪⎝⎭______.12．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若21,3b c C π==∠=，则a ＝__________.13．已知平面向量()1,0a =，1,2b ⎛=-⎝⎭，则a 与a b +的夹角为______. 14．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____．15．，它的侧棱与底面所成的角为3π，则它的体积为______. 16．已知锐角111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222A B C ∆的三个内角的正弦值，其中22A π>，若221B C =，则22223B A C +的最大值为_______.三、解答题17．已知向量()sin ,cos 2sin a θθθ=-，()2,1b =，其中0θπ<<. （1）若//a b ，求sin cos θθ⋅的值； （2）若a b =，求θ的值.18．如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若CF AE ⊥，AB AE ⊥，求证：平面ABFE ⊥平面CDEF . 19．已知集合{|(2)(31)0}A x x x a =---<，函数()22lg 1a xy x a -=-+的定义域为B ．（1）若2a =求集合B ； （2）若A B =，求实数a 的值． 20．已知函数()221xf x m =-+是定义在R 上的奇函数， （1）求实数m 的值；（2）如果对任意x ∈R ，不等式2(2cos )(4sin 7)0f a x f x ++--<恒成立，求实数a 的取值范围．21．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角3AOB π∠=，该地区为打击走私，在海岸线外侧2海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内），在圆弧的两端点A 、B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为10海里.（1）求海域ABCD 的面积；（2）现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点4海里，在B 点测得其距B点.判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由. 22．已知函数1y x x=+在()0,1上是减函数，在[)1,∞+上是增函数.若函数()()1f x x a a R x=--∈，利用上述性质， (Ⅰ)当a 1=时，求()f x 的单调递增区间(只需判定单调区间，不需要证明)； (Ⅱ)设()f x 在区间(]0,2上最大值为()g a ，求()y g a =的解析式； (Ⅲ)若方程()f x a 2-=恰有四解，求实数a 的取值范围．参考答案1．B【分析】根据三角函数的基本定义求解即可【详解】由三角函数定义4 cos5xrα===故选：B【点睛】本题考查三角函数的基本定义，属于基础题2．D【解析】试题分析：A：不是奇函数，B：不存在零点；C：既不是奇函数，也不存在零点；D：符合题意，故选D．考点：函数的奇偶性与函数的零点．3．B【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆.【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为()0.030.0350.02100.85++⨯=，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有20000.851700⨯=（辆），故选B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.4．A 【分析】由题意得到直线l 斜率存在，设为k ，表示出直线l 方程，根据直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，圆心到直线l 的距离=1，求出方程的解得到直线的斜率．【详解】由题意知所求直线的斜率存在，设为k ，直线l 方程为y=k （x ﹣2），即kx ﹣y ﹣2k=0， ∵直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径， ∴圆心到直线l 的距离=1，解得：k= 故答案为：A 【点睛】(1)本题主要考查直线和圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)点P 00(,)x y 到直线ax+by+c=0的距离为d =5．D 【解析】分析：两个平面若有一个交点，那么必然有无数个交点，而且这些交点在同一条直线上． 详解：根据公理4：两个平面若有一个交点，那么必然有无数个交点，而且这些交点在同一条直线上．那么DA 与BC 的交点必在直线l ，故选D点睛：本题考查了公理4的应用，学生不要受题目图形的影响． 6．B 【详解】试题分析：因为集合3{(,)|1}{(,)|1,2}2y M x y x y y x x x -====+≠-且，集合{(,)|1}P x y y x =≠+，所以集合M P ⋃表示平面内除点(2,3)外部分，因此{}()(2,3)UM P ⋃=.故选B.考点：集合运算. 7．A 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值，然后利用两角差的余弦公式可求出cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】已知()0,x π∈，cos 63x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，5666x πππ∴-<-<，5266x πππ∴<-<，sin 63x π⎛⎫∴-==⎪⎝⎭， 因此，cos cos cos cos sin sin 3666666x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1332326=-+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式的应用，解题时要弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题． 8．D 【分析】令2ln 120y x x x =-+-=，可得出2ln 12x x x -=-，令()ln 1f x x =-，()22g x x x =-，可知两个函数的图象都关于直线1x =对称，然后利用数形结合思想可得出原函数所有零点之和. 【详解】令2ln 120y x x x =-+-=，可得出2ln 12x x x -=-，令()ln 1f x x =-，()22g x x x =-，在同一坐标系内画出这两个函数的图象：由图象可知，两个函数的图象都关于直线1x =对称，所以122x x +=，432x x +=，因此，函数2ln 12y x x x =-+-的所有零点之和为12344x x x x +++=.故选：D. 【点睛】本题考查的知识要点：函数的零点和函数的图象的关系式的转化，利用图形的对称性求解是关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 9．D 【分析】由已知，得到方程()2211a x x a x x -=-+⇔=--在区间[]1,2上有解，构造函数()21h x x x =--，求出它的值域，得到a 的范围即可.【详解】若函数()()212f x a x x =-≤≤与()1g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程()2211a x x a x x -=-+⇔=--在区间[]1,2上有解，令()21h x x x =--，12x ≤≤，由()21h x x x =--的图象是开口朝上，且以直线12x =为对称轴的抛物线， 则函数()21h x x x =--在区间[]1,2上单调递增，故当1x =时，函数()y h x =取最小值1-，当2x =时，函数()y h x =取最大值1， 所以，[]1,1a ∈-. 故选：D ． 【点睛】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，关键是将已知转化为方程21a x x =--在区间[]1,2上有解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 10．C 【分析】设(),R x y 是线段AB 的中点求得其轨迹是以1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为r =的圆，再利用圆的性质和弦长公式，即可求解得到答案. 【详解】如图所示，设(),R x y 是线段AB 的中点，则OR AB ⊥， 因为0PA PB ⋅=，所以PA PB ⊥，于是12PR AB RB ==,在直角ORB ∆中，2,OB OR ==RB RP ==由勾股定理得()()22222211x y x y =++-+-，整理得()2213124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故(),R x y 的轨迹是以1,12C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2r =的圆，故max OR OC r =+==， 又由圆的弦长公式可得min min 2AB BR =====， 故选C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及直线与圆的位置关系和圆的弦长公式的应用，其中解答中求得弦MN 的中点的轨迹，合理利用圆的性质和圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，属于中档试题. 11．5 【分析】利用指数和对数的运算法则直接求解． 【详解】原式()()122lg 4253lg1003235--=⨯+=+=+=.故答案为：5. 【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数和对数运算法则的应用，考查计算能力，是基础题． 12．1 【解析】试题分析：因为23π,那么根据正弦定理可知sin sin c b C B=,可知sinB=12,因为b<c ，那么角B=6π，A=6π然后利用余弦定理可知a 2=c 2+b 2-2cbcosA=1,故a=1. 考点：本试题主要考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的运用．点评：解决该试题的关键是能正确使用正弦定理得到角B 的值，注意不要出现两解，要根据大边对大角，小边对小角来求解B ． 13．3π【分析】求出向量a b +的坐标，然后利用向量夹角的余弦公式可计算出a 与a b +的夹角的余弦值，进而可求出这两个向量的夹角. 【详解】()1,0a =，1,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13,22a b ⎛∴+= ⎝⎭，()111022a a b ⋅+=⨯+=. 设a 与a b +的夹角为θ，则()1cos 2a a ba a bθ⋅+==⋅+，0θπ≤≤，3πθ∴=，因此，a 与a b +的夹角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量夹角的余弦公式，考查计算能力，属于基础题. 14．1 【解析】试题分析：由题意03x t <+<，3t x t -<<-，所以1{32t t -=--=，1t=． 考点：函数的单调性． 15【分析】由已知，，它的侧棱与底面所成角为3π，可求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出答案．【详解】，故底面积为2， 又侧棱与底面所成的角为3π，所以正四棱锥的高为tan 23π= 故正四棱锥的体积123V =⨯=.. 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的体积，考查了线面角定义的应用，其中根据已知求出棱锥的底面面积和高是解答本题的关键，考查计算能力，属于中等题. 16【解析】由于12cos sin A A =，且2A 为钝角，故23π4A =，由正弦定理得22222222213πsin sin sin sin 4A B A C B C C B A ====，故22222234sin B A C C B +=+()22222π4sin sin 3cos 4C C C C C ϕ⎛⎫=+-=+=+≤ ⎪⎝⎭17．（1）1029；（2）2πθ=或34πθ=. 【分析】（1）结合已知及向量平行的坐标表示可求tan θ，然后由22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ⋅⋅=+，利用弦化切的基本思想可求出该代数式的值；（2）由已知结合向量的数量积的性质可得出2cos sin cos 0θθθ+⋅=，结合θ的取值范围可求出θ的值. 【详解】（1）因为//a b ，所以()sin 2cos 2sin 0θθθ--=，即5sin 2cos θθ=， 又cos 0θ≠，所以2tan 5θ=，所以222sin cos tan 10sin cos sin cos tan 129θθθθθθθθ⋅⋅===++；（2）因为a b =，所以=，所以2cos sin cos 0θθθ+⋅=，则cos 0θ=或sin cos θθ=-，即cos 0θ=或tan 1θ=-. 又0θπ<<，所以2πθ=或34πθ=. 【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示及同角三角函数基本关系的应用，以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中档试题 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）推导出//AB CD ，从而得出//AB 面CDEF ，由线面平行的性质定理，得//AB EF ，由此能证明//EF 平面ABCD ；（2）推导出AE DE ⊥，AE CD ⊥，从而得出AE ⊥平面CDEF ，由此能证明平面ABFE ⊥平面CDEF ．【详解】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以//AB 平面CDEF ， 又因为AB平面ABFE ，平面ABFE平面CDEF EF =，所以//AB EF ，又因为EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ；（2）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//AB CD ， 又因为AB AE ⊥，所以AE CD ⊥， 又因为AE CF ⊥，CDCF C =，CD ⊂平面CDEF ，CF ⊂平面CDEF ，所以AE ⊥平面CDEF ，又因为AE ⊂平面ABFE ，所以平面ABFE ⊥平面CDEF . 【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题． 19．（1）{|45}B x x =<<；（2）1a =-． 【分析】（1）对数的真数大于零；（2）按2与31a +的大小分类讨论求解. 【详解】 （Ⅰ）由405xx ->-，得45x <<， 故集合{|45}B x x =<<；（Ⅱ）由题可知，2(2,1)B a a =+①若231a <+，即13a >时，(2,31)A a =+， 又因为A B =，所以222131a a a =⎧⎨+=+⎩，无解； ②若231a =+时，显然不合题意； ③若231a >+，即13a <时，(31,2)A a =+， 又因为A B =，所以223112a a a =+⎧⎨+=⎩，解得1a =-． 综上所述，1a =-． 【点睛】本题考查函数的定义域和集合的运算. 求函数定义域的常用方法：1、分母不为零；2、对数的真数大于零；3、偶次方根的被开方方数大于或等于零；4、零次幂的底数不等于零；5、tan x 中2x k ππ≠+.20．（1）1（2）1522a ≤< 【分析】(1)利用函数为奇函数的定义即可得到m 值；（2）先判断出函数f(x)在R 上单调递增，利用奇偶性和单调性将不等式转为22cos 4sin 7a x x +<+恒成立，然后变量分离，转为求函数最值问题，最后解不等式即可得a 的范围. 【详解】解：（1）方法1：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()()f x f x -=-，即2202121x x m m --+-=++， 即220m -=，即1m =方法2：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即02012m -=+， 即1m =，检验符合要求． （2）()2121x f x =-+，任取12x x <，则()()12f x f x - 21221212x x =-++ ()()()12122221212x x x x -=++， 因为12x x <，所以1222x x <，所以()()120f x f x -<， 所以函数()f x 在R 上是增函数． 注：此处交代单调性即可，可不证明因为()()22cos 4sin 70f a x f x ++<，且()f x 是奇函数所以()())22cos 4sin 74sin 7f a x f x f x +<-=+，因为()f x 在R上单调递增，所以22cos 4sin 7a x x +<+，即22cos 4sin 7a x x --+对任意x R ∈都成立， 由于2cos 4sin 7x x --+=()2sin 22x -+，其中1sin 1x -≤≤， 所以()2sin 223x -+≥，即最小值为3所以23a -<，即2120a -<，解得12-<<，故02≤<，即1522a ≤<. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式恒成立问题，常用方法为利用变量分离转为函数最值问题，考查学生的计算能力和转化能力,属于中档题. 21．（1）223π（平方海里）；（2）这艘不明船只没有进入海域ABCD ，详见解析. 【分析】（1）利用扇环的面积公式求出海域ABCD 的面积；（2）由题意建立平面直角坐标系，利用坐标求出点P 的位置，由此判断点P 是否在海域ABCD 内．【详解】 （1）3AOB π∠=，在海岸线外侧2海里内的海域ABCD ，10AB =，所以2AD BC ==，10OA OB AB ===，所以12OD OA AD =+=，所以()()222212*********ABCD S OD OA πππππ=⋅-=-=（平方海里）；（2）由题意建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知，点P 在圆B 上，即()221076x y -+=； 点P 也在圆A 上，即()(22516x y -+-=.组成方程组()()(22221076516x y x y ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩9x y =⎧⎪⎨=⎪⎩又区域ABCD 内的点满足2222100144x y x y ⎧+≥⎨+≤⎩，由(22336100+=<，(229156144+=>，即这艘不明船只没有进入海域ABCD . 【点睛】本题考查了圆的方程模型应用问题，考查分析问题和解决问题的能力，是中档题．22．（Ⅰ）单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞（Ⅱ）72,4()37,24a a g a a a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩（Ⅲ）1a >【分析】（I ）当1a =时，将函数()f x 写为分段函数的形式，结合11,x x x x-+的单调性，写出函数的单调递增区间.（II ）对a 分成2,0,02a a a ≥≤<<三种情况，结合函数()f x 的解析式，讨论函数的最大值，由此求得()g a 的解析式.（III ）分成,x a x a >≤两种情况，去掉()2f x a -=的绝对值，根据解的个数，求得a 的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，()11,11111,1x x x f x x x x x x ⎧-->⎪⎪=--=⎨⎛⎫⎪-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ ()f x 的单调递增区间为()1,0-，()0,+∞（Ⅱ）∵(]0,2x ∈ ①当2a ≥时，()1f x x a x=--+，()()1g a f = ②当0a ≤时，()1f x x a x=--，()()2g a f =，()()2g a f = ③当02a <<时，()1,1,x a x a x f x a x x a x ⎧-->⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，()()(){}max 1,2g a f f =，()12f a =-，()322f a =- 当322a a -≥-，即724a ≤<时，()()1g a f = 当322a a -<-，即704a <<时，()()2g a f =综上所述()72,437,24a a g a a a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩（Ⅲ）x a >时，方程为122x a x -=±，且11x a x a-≥-，其中2222a a -<+. 若122a a a -≤-，即0a >时，由于()1y x x a x =->为增函数，故122x a x-=±有且只有两正解.若122a a a -≥+，即0a <时，由于()1y x x a x =->为增函数，故122x a x-=±无解. 所以0a >时，方程122x a x -=±有且只有两正解.x a ≤时，方程为121x x x +=±⇔=或1x =-，只需1a >，可使122x a x-=±有且只有两解.综上所述1a >时，()2f x a -=恰有四解 【点睛】本小题主要考查含有绝对值函数的单调性的判断，考查含有绝对值函数的最值的求法，考查含有绝对值的方程的求解策略，考查分类讨论的数学思想，考查化归与转化的数学思想方法.属于难题.对于含有绝对值的函数，主要是对自变量分类，去绝对值，将函数转化为分段函数来求解.。

2024届江苏省南通市海安市海安高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列{}n a 为等比数列，且263a a π⋅=，则35a a ⋅=（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．43π 2．计算:2sincos12122cos 112πππ=- A．B．3C．3D．3．已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭4．若直线1l ：260ax y ++=与直线2l ：(1)10x a y +--=垂直，则实数a =( ). A ．23B ．1-C ．2D ．1-或25．已知2x >，函数42y x x =+-的最小值是（ ） A ．5B ．4C ．8D ．66．已知α、β为锐角，3cos 5α=，()1tan 3αβ-=-，则tan β=（ ） A ．13B ．3C ．913D ．1397．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．189．若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 03a b c A +B +=，则角（ ）A ．90B ．60C ．45D ．3010．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下： 排队人数12345≥概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.10.04则至少有两人排队的概率为（ ） A ．0.16B ．0.26C ．0.56D ．0.74二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

江苏省海安高级中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．1. 设集合则________．【答案】【解析】分析：由并集的定义，把A、B中的元素合并在一起即得.详解：由题意.故答案为.点睛：本题考查集合的并集运算，属于基础题.2. 函数的定义域为________．【答案】【解析】分析：使函数式有意义即可，即且.详解：由题意，解得，故答案为.点睛：本题考查求函数定义域，属于基础题.函数定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，即分母不为0，二次（偶次）根式下被开方数非负，0次幂的底数不为0，另外对数函数，正切函数对自变量也有要求.3. 已知函数满足，则函数=_____．【答案】【解析】分析：用换元法，令，然后代入可得.详解：令，则，代入可得，即，故答案为.点睛：本题考查求函数解析式，可用凑配法求解，属于基础题.求解析式的常用方法有待定系数法，换元法，凑配法，方程组思想等等.4. 已知对应是集合A到集合B的映射，若集合，则集合A=_______．【答案】【解析】分析：由象的集合，令等于B中的每一个元素，解得，即为集合A中的元素.详解：由得，由得，由得，∴，故答案为.5. 设A={x| 1＜x＜4}，B={x| x-a＜0}，若A B，则a的取值范围是________．【答案】【解析】分析：化简集合B，然后根据子集的概念得出的不等式即可.详解：由题意，∵，∴.故答案为.点睛：本题考查集合的包含关系，解题时可根据关系在数轴上表示出集合A，B，从而得出的不等关系，解得的范围.6. 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合.若 R ,则AB=______．【答案】【解析】分析：根据Venn图，图中阴影部分实质是详解：，故答案为.点睛：Venn图是集合中的一个重要概念，一种重要方法，一定要掌握集合的运算与Venn图的表示方法，基础是掌握交、并、补运算的Venn图表示，由此可用集合的运算表示出图中各个阴影部分.7. 下列各组函数是同一函数的是_________．①与；②与；③与；④与；【答案】③④【解析】分析：看两个函数的定义域是否相同，再化简对应法则（即解析式），看对应法则是否相同.详解：①中两函数定义域相同，但，对应法则不同；②中两函数定义域相同，但，对应法则不同；③中定义域都是，对应法则都是，是同一函数；④是两函数定义域都是，对应法则也相同，是同一函数.故答案为③④.点睛：函数的定义域中有三要求：定义域、值域、对应法则，一般是三要素相同的两个函数都是同一函数，当然根据值域的定义，只要定义域相同，对应法则相同，则值域也相同，故只要考虑这两个要素即可.8. 若函数y=f(x)的图象经过点，则函数y=f(-x)+1的图象必定经过的点的坐标是________．【答案】（-1,4）【解析】分析：把中的作为中的进行计算.详解：设，则，此时，即的图象过点，故答案为．点睛：本题考查抽象函数问题，解决此类问题的思想方法是整体思想，整体代换，本题中中的与中的相当，从而只要令即可.9. 已知则的值为__________．【答案】【解析】分析：把用表示，考虑立方和公式，可先求出的值．详解：题意，∴，∴，故答案为．点睛：本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．10. 函数的单调递减区间为_______．【答案】和【解析】分析：把函数进行常数分离，然后与函数比较可得．详解：，定义域是，∴单调减区间为和．故答案为和．点睛：函数可分离常数为：，这样的单调区间是和，但是增区间还是减区间与及的正负有关．11. 某班46名学生中，有篮球爱好者23人，足球爱好者29人，同时爱好这两项运动的人最多有m人，最少有n人，则m-n =______．【答案】17【解析】因为某班46名学生中，有篮球爱好者23人，足球爱好者29人，同时爱好这两项运动的人最多有人，最少有人，则由集合的交集的韦恩图可知，=17，故答案为17.12. 已知函数且在上的最小值为则的最大值为________．【答案】1【解析】分析：先确定的单调性，求得，再根据的性质求解．详解：，当时，，；当时，是减函数，，显然；当时，是增函数，，显然；综上，的最大值为1.故答案为1.点睛：本题考查函数的单调性与最值问题，要求函数最值可以先确定函数的单调性，若在区间是单调递增，则；若在区间是单调递减，则．13. 下列命题：①若函数是一个定义在R上的函数，则函数是奇函数；②函数是偶函数；③函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到；④函数在区间上既有最大值，又有最小值；⑤对于定义在R上的函数，若存在R，，则函数不是奇函数.则上述正确命题的序号是________．.【答案】①③【解析】分析：对每一个命题进行判断，①②⑤利用奇偶性定义，③利用图象变换，④利用单调性．...............故答案为①③．点睛：具有奇偶性的函数有一个必要条件是函数的定义域关于原点对称，因此确定奇偶性时，可选定义域，如果定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数．而并不能保证函数一定不是奇函数，这里主要是，可举一反例说明，如函数（）既是奇函数也是偶函数．14. 已知函数，，其中R，Z，且取得最大值时的值与取得最小值时值相同，则实数对组成的集合A为__________．【答案】【解析】分析：由二次函数的性质，通过配方得出函数取最值时的值．详解：时，无最值或者，不合题意，在时，且，∴，∵，∴，，，，∴，故答案为．点睛：本题考查二次函数的性质，二次函数只有在顶点处取得最值，因此可通过配方得出，但要注意是取最大值，因此有，否则易出错，另外是一个不定方程，有无数解，但利用整数的知识及二次函数的性质可得，从而才能求出结论．二、解答题：本大题共5小题，共计80分．请在答题纸指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤．15. 已知集合A={x |}，．（1）若a=1，求；（2）若=R，求实数a的取值范围．【答案】(1)(-3,-1);(2)-1≤a≤3 .【解析】分析：（1）由绝对值的性质和解二次不等式得出集合A、B，再由交集定义可得；（2）得出集合A、B后，可在数轴上表示出来，分析得出的不等关系.详解：（1）当时，，.∴．（2），，且=R，∴，∴a的取值范围是-1≤a≤3 .点睛：本题考查集合的运算，解题时还要掌握绝对值的性质以及一元二次不等式的求解，属于基础题．16. 定义在实数集R上的偶函数在上是单调递增函数.(1)试判断并证明在上的单调性；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】分析：根据单调性的定义，设，则有，再由己知条件可证；（2）根据偶函数性质，把不等式化为，再由单调性求解．详解： (1)在是单调减函数设，则，∵在是单调增函数∴又∵是偶函数，∴∴在是单调减函数.（2）由是偶函数，，又是上的单调增函数∴∴为所求的取值范围.点睛：若函数是增函数，则，若是偶函数，则在和上的单调性相反，因此此时函数不等式要先变形为，再由单调性去掉函数符号“”．17. 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/ 件，商场以高于成本价的价格（标价）出售. 问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【答案】(1)羊毛衫的标价应定为每件200元;(2)商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元. 【解析】试题分析：（1）设出函数的解析式，确定利润函数，利用配方法，即可求出最大利润和羊毛衫的标价；（2）利用商场要获得的最大利润的，建立方程，即可求得结论．试题解析：（1）设购买人数为人，羊毛衫的标价为每件元，利润为元，则，，由题意，得，即，∴，∴（），∵，∴时，，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．（2）解：由题意得，，解得或，所以，商场要获取最大利润的，每件标价为250元或150元．考点：函数的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到二次函数的解析式的求解、一元二次函数的配方法的应用，一元二次方程的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中利用题设条件，求得函数的解析式是解答的关键，同时注意仔细审题、认真运算也是一个重要的方面，属于基础题．18. 已知是定义在上的偶函数，且时，．（1）求，；（2）求函数的表达式；（3）判断并证明函数在区间上的单调性.【答案】(1);(2);(3)见解析.【解析】分析：（1）直接代入解析式计算；（2）设，利用及函数为偶函数可求得；（3）用单调性的定义，设，判断的正负即可得.详解：（1）.（2）设因为函数f(x)为偶函数，所以有既所以.（3）设∵∴∴∴f(x)在为单调减函数.点睛：判断或证明函数的单调性，一般都是利用单调性定义，即在定义域内设，计算，化简变形为积的形式，然后判断其正负，得和的大小.19. 在直角三角形ABC中，，它的内切圆分别与边，，相切于点，，，联结，与内切圆相交于另一点，联结，，，，已知，求证：（1）；（2）。

江苏省南通市海安市海安高级中学2019-2020学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、单选题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知{}13A x x =-<<， {}12B x x =<<，则A B =U （ ） A. (),-∞+∞ B. ()1,2C. ()1,3-D. ()1,3【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集的定义写出A ∪B ． 【详解】A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |1＜x ＜2}，则A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）． 故选：C ．【点睛】本题考查了并集的定义及运算问题，是基础题．2.将抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数式为223y x x =--，则b 、c 的值为（ ）A. 2b =，2c =B. 2b =-，1c =-C. 2b =，0c =D. 3b =-，2c =【答案】C 【解析】 【分析】先将变换后的函数的解析式化为顶点式，利用逆向变换，即先将该函数向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得出函数的解析式，表示为一般形式后可得出b 、c 的值.【详解】将二次函数223y x x =--的解析式表示为顶点式得()214y x =--.利用逆向变换，先将该函数向上平移3个单位，所得函数的解析式为()211y x =--，再将所得函数的图象向左平移2个单位，得到函数的解析式为()22112y x x x =+-=+，因此，2b =，0c =，故选：C.【点睛】本题考查二次函数图象变换，解题的关键就是利用逆向变换，从已知函数到所求函数，逐步写出每一步所得函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.3.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A. [2,2]- B. [1,1]-C. [0,4]D. [1,3]【答案】D 【解析】【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.4.若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A. (]0,4 B. 254,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出当0x =或3x =时函数值为4-，当32x =时函数值为254-，再利用二次函数的图象分析可得出实数m 的取值范围. 【详解】如下图所示：223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭Q ，当32x =时，254y =-；当0x =或3时，4y =-.由二次函数图象可知，当332m ≤≤时，函数234y x x =--在区间[]0,m 上的最小值为254-，最大值为4-，因此，实数m 的取值范围是3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C.【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，解题的关键就是利用二次函数的对称性来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5.若关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中错误的个数是( )（1）当0m =时，122,3x x ==；（2）14m >-；（3）当0m >时，1223x x <<<；（4）二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0） A. 1 B. 2C. 3D. 0【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的解的定义可以判定（1）正确；根据二次函数的最值问题，且结合题意可以判定（2）正确；根据二次函数图象平移的有关性质可以判定（3）错误；根据二次函数与x 轴交点的有关性质可以判定（4）正确．【详解】（1）∵m ＝0时，方程为（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，∴x 1＝2，x 2＝3，故（1）正确；（2）设y ＝（x ﹣2）（x ﹣3）＝x 2﹣5x +6＝（x 52-）214-，∴y 的最小值为14-，故（2）正确； （3）∵一元二次方程（x ﹣2）（x ﹣3）＝0的两根为x 1＝2，x 2＝3， （x ﹣2）（x ﹣3）＝m 有实数根x 1、x 2，又m ＞0时，令函数y ′＝（x ﹣2）（x ﹣3）﹣m 与x 轴交于（x 1，0），（x 2，0），则y ′＝（x ﹣2）（x ﹣3）﹣m 是由y=（x ﹣2）（x ﹣3）向下平移了m 个单位，∴x 1＜2＜3＜x 2，故（3）错误；（4）∵y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+m ＝（x ﹣2）（x ﹣3）﹣m +m ＝（x ﹣2）（x ﹣3）， ∴函数与x 轴交于点（2，0），（3，0）．故（4）正确． 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴交点问题、一元二次方程与抛物线的关系、函数图象的平移问题，解题的关键是理解题意以及掌握一元二次方程与二次函数的关系，属于基础题.6.若函数()323223,0,0x x x x f x x ax bx x ⎧++≥=⎨++<⎩为奇函数，则实数,a b 的值分别为（ ） A. 2,3 B. 2,3- C. 2,3-- D. 2,3-【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式的步骤即可得到x ＜0时，f （x ）的解析式，与已知对比得到所求.【详解】任取x ＜0则﹣x ＞0， ∵x ≥0时，f （x ）＝x 3+2x 2+3x ， ∴f （﹣x ）＝﹣x 3+2x 2﹣3x ，① 又函数y ＝f （x ）在R 上为奇函数 ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）②由①②得x ＜0时，f （x ）＝x 3﹣2x 2+3x ，∴2,3a b =-=，故选：B ．【点睛】本题考查奇函数的性质，考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，这是函数奇偶性的一个重要应用，解决此类题的关键是正确理解定义及步骤．7.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()201926f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()2019f =（ ）A. －4034B. 2017C. 2018D. 4036【答案】A 【解析】 【分析】 将x 换成2019x 再构造一个等式，然后消去f （2019x），得到f （x ）的解析式，最后可求得f （2019）．【详解】∵f （x ）+2f （2019x）＝6x ① ∴f （2019x ）+2f （x ）62019x⨯=②∴①﹣②×2得﹣3f （x ）＝6x 622019x⨯⨯-∴f （x ）＝﹣2x 42019x⨯+，∴f （2019）＝﹣4038+4＝﹣4034. 故选：A ．【点睛】本题考查了函数解析式的求法，属中档题．8.已知函数()22f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值，则函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上一定（ ）A. 有最小值B. 有最大值C. 是减函数D. 是增函数【答案】D 【解析】 分析】由二次函数()y f x =在区间(),1-∞上有最小值得知其对称轴(),1x a =∈-∞，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上的单调性. 【详解】由于二次函数()y f x =在区间(),1-∞上有最小值，可知其对称轴(),1x a =∈-∞，()()222f x x ax a a g x x a x x x-+===+-.当0a <时，由于函数12y x a =-和函数2ay x=在()1,+∞上都为增函数， 此时，函数()2ag x x a x=+-在()1,+∞上为增函数； 当0a =时，()2g x x a =-在()1,+∞上为增函数； 当01a <<时，由双勾函数的单调性知，函数()2ag x x a x=+-在)+∞上单调递增，())1,+∞⊆+∞Q ，所以，函数()2ag x x a x=+-在()1,+∞上为增函数. 综上所述：函数()()f xg x x=在区间()1,+∞上为增函数，故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了ay x x=+型函数单调性的分析，解题时要注意对a 的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.9.对任意x ∈R ，函数{}231()max 3,,4322f x x x x x =-++-+，则()f x 的最小值为( ) A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】分别作出三个函数的图象，利用数形结合求出f （x ）的最小值 【详解】分别作出y ＝﹣x +3，y 32=x 12+，y ＝x 2﹣4x +3的图象如图：（阴影部分对应的曲线ABCDE ），则由图象可知函数f （x ）在C 处取得最小值，由3 3122y xy x=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，得x＝1，y＝2，即f（x）的最小值为2．故选：A．【点睛】本题主要考查函数最值的判断，利用数形结合是解决本题的关键．10.若函数()22f x x a x=++，x∈R在区间[)3,+∞和[]2,1--上均为增函数，则实数a的取值范围是（）A.11,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B. []6,4--C. 3,22⎡--⎣ D.[]4,3--【答案】B【解析】【分析】分析出函数()y f x=为偶函数，根据偶函数的性质并结合题意得出()y f x=在区间[]1,2上为减函数，在区间[)3,+∞上为增函数，可得出232a≤-≤，由此求出实数a的取值范围. 【详解】由于函数()y f x=为R上的偶函数，因此只需考虑函数()y f x =在()0,∞+上的单调性即可. 由于函数()y f x =在区间[)3,+∞和[]2,1--上均为增函数，所以，函数()y f x =在区间[]1,2上为减函数，在区间[)3,+∞上为增函数，232a∴≤-≤，解得64a -≤≤-，因此，实数a 的取值范围是[]6,4--，故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，解题时要注意分析函数的奇偶性，结合函数的奇偶性与单调性的关系进行求解，同时也涉及到二次函数的单调性，属于中等题.11.设集合{}12={,,}1,2,3,37,n A r r r ⊆L L 且A 中任意两数之和不能被5整除，则n 的最大值为（ ） A. 17 B. 18C. 15D. 16【答案】A 【解析】 【分析】由已知中A ⊆{1，2，3，…，37}，且A 中任意两数之和不能被5整除，我们可根据1～37中各数除以5的余数将数分为5类，进而分析出集合A 中元素的最多个数，得到答案． 【详解】可将A 集合分为5组：A 0＝{5，10，15，20，25，30，35}，则card （A 0）＝7 A 1＝{1，6，11，16，21，26，31，36}，则card （A 1）＝8 A 2＝{2，7，12，17，22，27，32，37}，则card （A 2）＝8 A 3＝{3，8，13，18，23，28，33}，则card （A 3）＝7 A 4＝{4，9，14，19，24，29，34}，则card （A 4）＝7A 中的任何两个数之和不能被5整除，故A 1和A 4，A 2和A 3中不能同时取数，且A 0中最多取一个，所以最多的取法是取A 1U A 2和A 0中的一个元素， 故card （A ）max ＝8+8+1＝17 故选：A.【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中根据已知对1～37各数根据除以5的余数将数分为5类，进而分析出结果，是解答本题的关键．12.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是（ ） A. 215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B. 163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C. 184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D. 194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【答案】D 【解析】 【分析】利用对勾函数求得()f x 在(]0,2x ∈的最小值，再()()22f x f x +=得图象向右移动2个单位，其函数值扩大2倍，从而求解. 【详解】当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-的最小值是1,4-由()()22f x f x +=知当(]2,4x ∈时，()()19224f x x x =-+--的最小值是1,2- 当(]4,6x ∈时，()()19444f x x x =-+--的最小值是1,- 要使()23f x ≥-，则()1924443x x -+-≥--， 解得：194x ≤或16.3x ≥故选D.【点睛】本题考查对勾函数和()()22f x f x +=的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度题.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 13.若集合2={|230},{|10}A x x x B x ax --==-=，A B B =I ，则实数a 的取值集合为___________.【答案】10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由已知得B ⊆A ，从而B ＝∅或B ＝{﹣1}，或B ＝{3}，进而1a 不存在，或1a =-1或13a=，由此能求出实数a 的取值集合．【详解】∵A ＝{x |x 2﹣2x-3＝1}＝{﹣1，3}，B ＝{x |ax ＝1}，且A ∩B ＝B ， ∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{﹣1}，或B ＝{3}，B ＝∅时，a ＝0；B ≠∅时，B ＝{x |ax ＝1}＝{1a}，∴1a =-1或13a=， 解得a ＝﹣1或a ＝13． ∴实数a 的取值集合为10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭故答案为：10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．14.函数()12f x x=+-的定义域是_____________. 【答案】[4,2)(2,4]-⋃ 【解析】 【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可． 【详解】由题意得：220160x x -≠⎧⎨-≥⎩， 解得：﹣4≤x ≤4且x ≠2，故函数的定义域是{x |﹣4≤x ≤4且x≠2}，故答案为：[﹣4，2)(]2,4⋃． 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．15.已知2)f x =+则()f x 的解析式为_________. 【答案】2()4(2)f x x x =-≥ 【解析】 【分析】利用换元法设t =2（t ≥2）=t ﹣2，代入求出即可．【详解】设t =2（t ≥2）=t ﹣2，即x ＝（t ﹣2）2， ∴f （t ）＝（t ﹣2）2+4（t ﹣2）＝t 2﹣4， ∴f （x ）＝x 2﹣4（x ≥2）．【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，换元法是常用方法之一，是基础题．16.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =+，且当(,0]x ∈-∞时，()g x 单调递增，则不等式(1)(2)23f x f x x +-+>+的解集为__________. 【答案】3(,)2-+∞ 【解析】 【分析】根据题意，分析可得f （x +1）﹣f （x +2）＞2x +3⇒f （x +1）+（x +1）2＞f （x +2）+（x +2）2⇒g（x +1）＞g （x +2），由函数奇偶性的定义分析可得g （x ）为偶函数，结合函数的单调性分析可得g （x +1）＞g （x +2）⇒|x +1|＞|x +2|，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，g （x ）＝f （x ）+x 2，则f （x +1）﹣f （x +2）＞2x +3⇒f （x +1）+（x +1）2＞f （x +2）+（x +2）2⇒g （x +1）＞g （x +2）， 若f （x ）为偶函数，则g （﹣x ）＝f （﹣x ）+（﹣x ）2＝f （x ）+x 2＝g （x ），即可得函数g （x ）为偶函数，又由当x ∈（﹣∞，0]时，g （x ）单调递增，则g （x ）在[0，+∞）上递减，则g （x +1）＞g （x +2）⇒|x +1|＜|x +2|⇒（x +1）2＜（x +2）2，解可得x 32-＞， 即不等式的解集为（32-，+∞）； 故答案为：（32-，+∞）． 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g （x ）的奇偶性与单调性，属于中档题．三、解答题:本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 17.已知2221{|680}0{|(24)40}3x A x x x B x C x x a x a a x ⎧⎫-=-+≤=≥=-+++≤⎨⎬-⎩⎭，，.（1）求A B I ；（2）若A C ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）（3，4]；（2）[0，2]． 【解析】 【分析】（1）化简集合A ，B 根据交集的定义计算即可；（2）根据子集的概念，列出不等式组，求出a 的取值范围． 【详解】（1）A ：（x ﹣2）（x ﹣4）≤0，则A ＝[2，4]；B ：x ＞3或x ≤1，则B ＝（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）；则A ∩B ＝（3，4]；（2）C ：（x ﹣a ）[x ﹣（a +4）]≤0，则a ≤x ≤a +4，因为A ⊆C ，则244a a ≤⎧⎨+≥⎩，所以，解得a ∈[0，2]．【点睛】本题考查了集合的定义与应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，是基础题目．18.已知函数()1f x a x x =++，x ∈R .（1）若()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，作出函数()f x 的图象，并求()f x 的值域. 【答案】（1）()1,1-；（2）[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）化简函数为分段函数，利用f （x ）在R 上是增函数，列出不等式组即可求实数a 的取值范围；（2）当a ＝1时，作出函数f （x ）的图象，并得到值域.【详解】（1）已知()()()110110a x x f x a x x ⎧++≥⎪=⎨-+⎪⎩，，＜∵f （x ）在R 上是增函数，∴()101110a a a +⎧⇒∈-⎨-⎩＞，＞；（2）当a ＝1时，()210110x x f x xx x +≥⎧=++=⎨⎩，，＜，图象如图，由图可得值域为[1，+∞）．【点睛】本题考查分段函数的单调性及函数图象，考查数形结合思想方法的应用．19.已知函数()f x 是定义在()44-，上的奇函数，满足()21f =，当40x -<≤时，有()4ax bf x x +=+. （1）求实数,a b 的值；（2）求函数()f x 在区间()04，上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性.【答案】（1）1,0；（2）()4xf x x =-+,证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据条件可得f （0）＝0，f （﹣2）＝﹣1，解不等式组即可；（2）将a ，b 的值代入f （x ）中，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式的步骤即可得到函数()f x 在区间()04，上的解析式，再利用定义证明f （x ）的单调性即可； 【详解】（1）由题可知，函数()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数，且(2)1f =，则2(2)12(0)04a b f b f -+⎧-==-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，解得1,0a b ==； （2）由（1）可知当()4,0x ∈-时，()4xf x x =+， 当(0,4)x ∈时，(4,0)()()44x xx f x f x x x --∈-=--==-+-+任取1204x x ∈，（，），且12x x <，()()()()()121212121244444x x x x f x f x x x x x --=-=-+-+-+-+1204x x ∈Q ，（，），且12x x <，则121240400x x x x -+>-+>-<，， 于是120f x f x -<（）（），所以()4xf x x =-+在04x ∈（，）上单调递增. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用和单调性的证明，属基础题．20.北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入()216006x -万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【答案】（1）40元；（2）销售至少达10.2万件，每件定价30元. 【解析】 【分析】（1）设每件定价为x 元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价； （2）依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8+5016+（x 2﹣600）15+x 有解，等价于x ＞25时，a 15016x ≥+x 15+有解，利用基本不等式，我们可以求得结论． 【详解】（1）设每件定价为t 元，依题意得（8250.21x --⨯）x ≥25×8， 整理得t 2﹣65t +1 000≤0，解得25≤t ≤40．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． （2）依题意知当x ＞25时，不等式ax ≥25×8+5016+（x 2﹣600）15+x 有解， 等价于x ＞25时，a 15016x ≥+x 15+有解．由于15016x +x ≥=10，当且仅当1506x x =，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2． 当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．点睛】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义.21.定义域为R 的函数()f x 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x <时， ()0f x >恒成立，且()(),(nf x f nx n =是一个给定的正整数）． （1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）判断并证明()f x 的单调性；若函数()f x 在[]2,5-上总有()10f x ≤成立，试确定()1f应满足的条件；（3）当0a <时，解关于x 的不等式()()()()2211f ax nf x f a x nf a n n--＞． 【答案】（1）()f x 为奇函数，证明见解析；（2）f （x ）在（-∞，+∞）上是减函数,证明见解析；f （1）∈[-5，0）（3）①当a n <-时，原不等式的解集为{2|nx x a>或}x a <；②当a n=-时，原不等式的解集为{}|x x n ≠-；③当0n a -<< 时，原不等式的解集为{|x x a >或2n x a ⎫<⎬⎭}．【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数关系，利用赋值法进行证明; （2）结合函数单调性的定义以及最值函数成立问题进行证明即可;（3）利用抽象函数关系，结合函数奇偶性和单调性定义转化为一元二次不等式，讨论参数的范围进行求解即可;【详解】（1）f （x ）为奇函数，证明如下；由已知对于任意实数x ，y 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ） 恒成立． 令 x=y=0，得f （0+0）=f （0）+f （0），所以f （0）=0． 令y=-x ，得f （x-x ）=f （x ）+f （-x ）=0． 所以对于任意x ，都有f （-x ）=-f （x ）． 所以f （x ）是奇函数．（2）设任意x 1，x 2且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，由已知f （x 2﹣x 1）＜0， 又f （x 2﹣x 1）＝f （x 2）+f （﹣x 1）＝f （x 2）﹣f （x 1）＜0 得f （x 2）＜f （x 1），根据函数单调性的定义知f （x ）在（﹣∞，+∞） 上是减函数． 所以f （x ）在[﹣2，5]上的最大值为f （﹣2）． 要使f （x ）≤10恒成立，当且仅当f （﹣2）≤10， 又因为f （﹣2）＝﹣f （2）＝﹣f （1+1）＝﹣2f （1） 所以f （1）≥﹣5． 又x ＞1，f （x ）＜0，所以f （1）∈[﹣5，0）． （3）∵()()()()2211f ax nf x f a x nf a n n--＞．， ∴f（ax 2）-f （a 2x ）＞n 2[f （x ）-f （a ）]． 所以f （ax 2-a 2x ）＞n 2f （x-a ）， 所以f （ax 2-a 2x ）＞f[n 2（x-a ）]，因为f （x ） 在 （-∞，+∞） 上是减函数， 所以ax 2-a 2x ＜n 2（x-a ）． 即（x-a ）（ax-n 2）＜0，因为a ＜0，所以（x-a ）（x 2n a-）＞0．讨论：①当a ＜2n a ＜0，即a ＜-n 时，原不等式的解集为{x|x ＞2n a 或x ＜a}；②当a=2n a，即a=-n 时，原不等式的解集为{x|x≠-n}；③当2n a ＜a ＜0，即-n ＜a ＜0 时，原不等式的解集为{x|x ＞a 或x ＜2n a}．【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义，利用赋值法是解决本题的关键．考查学生的转化能力，综合性较强，有一定的难度．22.如果函数()y f x =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有()()f x a f x +=-成立，则称此函数()f x 具有“性质()P a ”.（1）判断函数|1|y x =+是否具有“()P a 性质”，若具有“()P a 性质”，求出所有a 的值的集合，若不具有“()P a 性质”，请说明理由；（2）已知函数()y f x =具有“(0)P 性质”，且当0x ≤时，2()()f x x m =+，求函数()y f x =在区间[0,1]上的值域；（3）已知函数()y g x =既具有“(0)P 性质”，又具有“(2)P 性质”，且当11x -≤≤时，()||g x x =，若函数()y g x =的图像与直线y px =有2017个公共点，求实数p 的值.【答案】（1）{}2-；（2）0m ≤，函数()y f x =的值域为22,(1)m m ⎡⎤-⎣⎦；102m <<，函数()y f x =的值域为22[,(1)]m m -；112m ≤≤，函数()y f x =的值域为2[0,]m ；1m >，函数()y f x =的值域为22[(1),]m m -；（3）12017p =±. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知|1||1|x a x ++=-+，由待定系数法可求得2a =-；（2）由新定义可推出()f x 为偶函数，从而求出()f x 在[0,1]上的解析式，讨论m 与[0,1]的关系判断()f x 的单调性得出()f x 的最值；（3）根据新定义可知()g x 为周期为2的偶函数，作出()g x 的函数图象，根据函数图象得出p 的值.【详解】（1）假设|1|y x =+具有“()P a 性质”，则|1||1|x a x ++=-+恒成立， 等式两边平方整理得，2222(1)(1)21x a x a x x ++++=-+，因为等式恒成立，所以22(1)2(1)1a a +=-⎧⎨+=⎩，解得2a =-， 则所有a 的值的集合为{}2-；（2）因为函数()y f x =具有“(0)P 性质”，所以()()f x f x =-恒成立，()y f x ∴=是偶函数.设01x ≤≤，则0x -≤，22()()()()f x f x x m x m ∴=-=-+=-.①当0m ≤时，函数()y f x =在[0,1]上递增，值域为22,(1)m m ⎡⎤-⎣⎦.②当102m <<时，函数()y f x =在[0,]m 上递减，在[,1]m 上递增， min ()0y f m ==，2max (1)(1)y f m ==-，值域为20,(1)m ⎡⎤-⎣⎦.③当112m ≤≤时，min ()0y f m ==，2max (0)y f m ==，值域为20,m ⎡⎤⎣⎦. ④1m >时，函数()y f x =在[0,1]上递减，值域为22(1),m m ⎡⎤-⎣⎦.（3）()y g x =Q 既具有“(0)P 性质”，即()()g x g x =-，∴函数()y g x =为偶函数， 又()y g x =既具有“(2)P 性质”，即(2)()()g x g x g x +=-=，∴函数()y g x =是以2为周期的函数.作出函数()y g x =的图象如图所示：由图象可知，当0p =时，函数()y g x =与直线y px =交于点(2,0)()k k Z ∈，即有无数个交点，不合题意.当0p >时，在区间[0,2016]上，函数()y g x =有1008个周期，要使函数()y g x =的图象与直线y px =有2017个交点，则直线与函数y =g (x )的图像在每个周期内都应有2个交点，且第2017个交点恰好为(2017,1)，所以12017p =， 同理，当0p <时，12017p =-， 综上，12017p =±. 【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考查分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题.。

江苏省海安高级中学2018-2019学年高一上学期第一次月考数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.已知集合，，则=______．【答案】【解析】【分析】由题意结合交集的定义求解即可.【详解】由题意结合交集的定义可得：，表示为区间形式即：.【点睛】本题主要考查交集的定义，属于基础题.2.函数的定义域是______．【答案】【解析】【分析】由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组即可求得函数的定义域.【详解】函数有意义，则：，解得：，据此可得，函数的多为.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．3.若函数是奇函数，则实数的值为______．【答案】－2【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质求解实数a的值即可.【详解】设，则，由函数的解析式可得：，由奇函数的定义可知：，则：，故，结合题意可得：.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，分段函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.下列对应为函数的是______．（填相应序号）①R；②其中R,R；③R；④其中N,R.【答案】①②③【解析】【分析】由函数的定义逐一考查所给的对应是否为函数即可.【详解】逐一考查所给的对应：①R，每个自变量对应唯一的函数值，是函数；②其中R,R，每个自变量对应唯一的函数值，是函数；③R，每个自变量对应唯一的函数值，是函数；④其中N,R.自变量时对应两个值，不是函数.综上可得：题中所给的对应为函数的是①②③.【点睛】本题主要考查函数的定义及其应用，属于基础题.5.已知若，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由函数的解析式分类讨论求解实数的取值范围即可.【详解】由函数的解析式分类讨论：当时，不等式即，求解不等式可得，此时，当时，不等式即，该不等式恒成立，即，综上可得，实数的取值范围是.【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．6.设集合，则满足条件的集合的个数是_______．【答案】4个【解析】【分析】将原问题转化为子集个数公式的问题，然后确定集合的个数即可.【详解】令集合，集合为集合的子集，则集合，结合子集个数公式可得集合的个数是个.【点睛】本题主要考查子集个数公式，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知函数为一次函数，且，若，则函数的解析式为_____．【答案】【解析】【分析】利用待定系数法求解函数的解析式即可.【详解】设函数的解析式为，则，且，据此可得：，解得：，故函数的解析式为.【点睛】求函数解析式常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．8.已知函数在是单调增函数，则实数的取值集合是______．【答案】【解析】【分析】由题意结合二次函数的性质求解实数的取值集合即可.【详解】分类讨论：当时，函数的解析式为，不合题意；当时，由二次函数的性质可得：，不等式的解集为空集；综上可得：实数的取值集合为.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9.已知函数满足，则______．【答案】【解析】【分析】首先确定的解析式，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，解得：，令可得：，则.【点睛】本题主要考查抽象函数将其解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.规定记号“”表示一种运算，即，R，若，则函数的值域是_______．【答案】【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解函数的值域即可.【详解】由新定义的运算可得：，即：，则：，则函数的解析式为：，该函数是一个关于的二次函数，且函数的对称轴为，则当时，函数的最大值为：，函数的值域为.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.11.设函数，R，且在区间上单调递增，则满足的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数的单调性求解的取值范围即可.【详解】由题意可得：，结合函数的定义域可知函数为偶函数，题中的不等式即，结合函数的单调性可得：，故，据此可得的取值范围是.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．12.下列说法中不正确．．．的序号为_______．①若函数在上单调递减，则实数的取值范围是；②函数是偶函数，但不是奇函数；③已知函数的定义域为，则函数的定义域是；④若函数在上有最小值－4，（，为非零常数），则函数在上有最大值6．【答案】②③【解析】【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：①若函数,函数在上单调递减，则：，据此可得实数的取值范围是，原命题正确；②函数有意义，则：，据此可得函数的定义域为，即函数图像是由组成的，据此可得函数既是奇函数也是偶函数，原命题错误；③函数的定义域为，即，则，即函数的定义域是，原命题错误；④若函数在上有最小值－4，则函数在上有最小值－5，由奇函数的性质可得函数在上有最大值5，则函数在上有最大值6，原命题正确．综上可得，不正确的说法序号为②③.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.13.．如果对于函数定义域内任意的两个自变量的值，当时,都有，且存在两个不相等的自变量值,使得,就称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为、，,, 且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的共有____个．【答案】9【解析】【分析】由题意结合新定义的知识分类讨论满足题意的函数的个数即可.【详解】由不严格的增函数的定义可知函数的值域为一个数或两个数，当值域为一个数时：，，共三种情况，当值域为两个数时：，，，，，，综上可得，函数共有9个.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.14.函数的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】由题意首先确定函数的定义域，然后结合函数的单调性求解最小值即可.【详解】函数有意义，则：，则据此可得函数的定义域为：，由于函数都在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数的最小值为，而，据此可得函数的最小值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集U=R，集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】由题意可得,（1）当时，结合交集的定义计算交集即可；（2）由题意可知.分类讨论和两种情况即可求得实数p的取值范围.【详解】因为，所以,（1）当时，，所以,（2）当时，可得.当时，2p-1＞p+3，解得p＞4，满足题意；当时，应满足或解得或；即或.综上，实数p的取值范围．【点睛】本题主要考查交集的定义，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知函数．（1）若，请根据其图象，直接写出该函数的值域；（2）若，求证：对任意实数，为定值；（3）若，求值：．【答案】（1）；（2）见解析；（3）8.【解析】【分析】由函数的解析式可得，（1）由图象可知函数的值域为；（2）由函数的解析式计算的值即可证得题中的结论.（3）结合(2)的结论计算可得.【详解】由，（1）绘制函数图象如图所示，由图象可知，函数的值域为；（2），即：.（3）.【点睛】本题主要考查函数值域的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.海安市江淮文化园是以江淮历史文化为底蕴的人文景观，整个园区由白龙故里、先贤景区、凤山书院、中国名人艺术馆群四大景区组成．据估计，其中凤山书院景区每天的水电、人工等固定成本为1000元，另每增加一名游客需另外增加成本10元，凤山书院景区门票单价x（元）（x∈N*）与日门票销售量（张）的关系如下表，并保证凤山书院景区每天盈利．（1）在坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对的对应点，并确定y与x的函数关系式；（2）求出的值，并解释其实际意义；（3）请写出凤山书院景区的日利润的表达式，并回答该景区怎样定价才能获最大日利润？【答案】（1）；（2）销售单价每上涨1元，日销售量减少10张；（3）（N*），当时，有最大值，故单价定为元时，才能获得日最大利润．【解析】【分析】（1）由题表作出四点的对应点，它们分布在一条直线上，据此可得函数解析式为（N*）．（2）由（1）可得，然后解释其实际意义即可；（3）由题意求得函数的解析式，然后结合二次函数的性质讨论该景区怎样定价才能获最大日利润即可.【详解】（1）由题表在坐标纸中作出四点的对应点如图所示，它们分布在一条直线上，设它们共线于，则取两点的坐标代入得：.所以（N*），经检验，也在此直线上．故所求函数解析式为（N*）．（2）由（1）可得，实际意义表示：销售单价每上涨1元，日销售量减少10张．（3）依题意:（N*）图象开口向下，对称轴为.当时，函数单调递增；当时，函数单调递减. 故当时，有最大值，答：当时，有最大值，故单价定为元时，才能获得日最大利润．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，函数的实际意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.设函数满足（1）求的值；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）若b=1，且函数在上是单调增函数，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数；（3）.【解析】【分析】（1）由题意可得.据此即可求得的值；（2）分类讨论和两种情况即可确定函数的奇偶性；（3）由题意结合函数的单调性的定义计算可得. 据此讨论可得a的取值范围是.【详解】（1）因为，所以，即.所以（2）当时，，即，为偶函数；当时，，即函数不是偶函数；，即函数不是奇函数；综上所述：当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数.（3）若b=1，则c=0，于是，所以，在上是单调减函数，任取，且，则.因为，有，所以.即，解得.故a的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.定义在R上的函数满足，且当时，，对任意R，均有．（1）求证：；（2）求证：对任意R，恒有；（3）求证：是R上的增函数；（4）若，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4） .【解析】【分析】（1）利用赋值法，令a＝b＝0，求解f (0)的值即可；（2）分类讨论x < 0和两种情况证明题中的不等式即可；（3）由函数的性质可证得当时，f (x2) > f (x1)，则f(x)是R上的增函数．（4）由题意结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得x的取值范围是(0，3)．【详解】（1）证明：令a＝b＝0，得f (0)＝f2 (0)，又因为f(0) ≠ 0，所以f (0)＝1.（2）当x < 0时，－x >0，所以f (0) ＝f (x) f (－x) ＝1，即，又因为时，，所以对任意x∈R，恒有f (x) >0.（3）证明：设，则，所以f (x2)＝f [(x2－x1)＋x1]＝f (x2－x1) f (x1)．因为x2－x1>0，所以f (x2－x1)>1，又f (x1) > 0，则f (x2－x1) f (x1) > f (x1)，即f (x2) > f (x1)，所以f(x)是R上的增函数．（4）由f (x)·f (2x－x2) >1，f (0)＝1得f (3x－x2) > f (0)，又由f (x) 为增函数，所以3x－x2 > 0 ⇒ 0 < x < 3.故x的取值范围是(0，3)．【点睛】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法.20.已知函数（，R，），且对任意实数，恒成立.（1）求证：；（2）若当时，不等式对满足条件的，恒成立，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2） .【解析】【分析】（1）将原问题转化为二次函数恒成立的问题，然后结合即可证得题中的结论；（2）原问题恒成立，利用换元法结合反比例函数的性质可得的最小值为.【详解】（1）因为对任意实数，恒成立，所以对任意实数，，即恒成立.即，即. 所以，又因为，即，故。

江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数()()34i 12i z =+-，则z =（ ）A ．5B ．C ．10D ．2．在ABC V 中，AB c =u u u r r ，AC b =u u u r r ，若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，以{},b c r r 作为基底，则AD u u u r 等于（ ）A ．2133b c +r rB ．5233b c -r rC ．2133b c -r rD ．1233b c +r r3．已知||8a =r ，与a r 同向的单位向量为e r ，||4b =r ，,a b r r 的夹角为120o ，则向量b r在向量a r方向上的投影向量为（ ）A ．4e rB ．－4e rC ．2e rD ．－2e r4．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 八条边上的动点，则AP AB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A B ．0C ．-D ．-5．若3πtan +24α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则223cos sin cos ααα+-=（ ）A ．1B ．75C ．1110D ．656．已知1sin cos (0π)5θθθ+=<<，则cos 2θ=（ ）A ．2425±B ．2425-C ．725±D ．725-7．如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且AC BC ⊥， M 是圆 O 外一点，2OM =，则2MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r的最大值是（ ）A ．5B ．8C ．10D ．128．已知: ()()()sin 20sin 20sin 400θθθ-+++-=o o o，则tan θ=（ ）A．B ．C D二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．平面向量的一个基底{}12,e e r r中，1e r ，2e r 一定都是非零向量B ．在平面向量基本定理中，若0a r r =，则120λλ==C ．若单位向量1e r ，2e r 的夹角为23π，则1e r 在2e r 上的投影向量是212e -rD ．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的10．已知π53,0,,cos(),sin()2135αβαβαβ⎛⎫∈+=-= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．12sin()13αβ+= B ．4cos()5αβ-=-C ．63sin 265α= D ．tan 33tan 7αβ= 11．中华人民共和国国旗是五星红旗，国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中隐藏着黄金分割数．连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中每个等腰三角形都是黄金三角形．黄金三角形分两种：一种是顶角为36︒的等腰三角形，；一种是顶角为108︒的等腰三角ABCDE 中，2AG =，记,AG AF θ<>=u u u r u u u r，则（ ）A ．AG FI =u u u r u u rB ．1AG AF ⋅=u u u r u u u rC ．AG u u u r 在AF u u u r AFu ur D ．1cos 2cos 4cos6cos 20242θθθθ++++=-L三、填空题12．已知()tan π2θ+=，则πcos 22θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．13．向量,,a b c r r r 满足||||2==r r a b ，||2a b -=r r ，|2|a c -r r||c b -r r 的最大值为. 14．记ABC V 的内角A ，B ，C ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B =++，求2sin sin A B-的取值范围为.四、解答题 15．已知5sin 13α=，()4sin 5αβ+=，π0π2βα<<<<. (1)求πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭； (2)求πcos 4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭.16．已知向量,a b r r 满足1a b ==r r ，设a r 与b r 的夹角为θ， (1)若对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+r rr r 恒成立，求cos θ的值； (2)根据（1）中a r 与b r 的夹角θ值，求a r 与2a b +r r夹角的余弦值．17．如图，已知直线12//l l ，,A C 分别在直线1l ，2l 上，B 是1l ，2l 之间的定点，点B 到1l ，2l 的距离分别为1，2，AB BC ⊥.设BAM θ∠=.(1)用θ表示边AB ，BC 的长度；(2)若ABC V 为等腰三角形，求ABC V 的面积；(3)设l AB BC =+，问：是否存在θ，使得4l =？若存在，请求出tan θ的值；若不存在，请说明理由.18．如图，A ､B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），且AOB θ∠=（θ为锐角）.点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M .(1)求OA AB ⋅u u u r u u u r（结果用θ表示）； (2)若60θ=o①求CA CB ⋅u u u r u u u r的取值范围：②设(01)OM tOB t =<<u u u u r u u u r ，求COMBMAS S V V 的取值范围.19．定义非零向量(),OM a b =u u u u r的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),OM a b =u u u u r称为函数()()sin cos f x a x b x x =+∈R 的“相伴向量”（其中O 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S ．(1)设()()ππ3cos 63h x x x x ⎛⎫⎛⎫++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，请问函数()h x 是否存在相伴向量OM u u u u r ，若存在，求出与OM u u u u r共线的单位向量；若不存在，请说明理由．(2)已知点(),M a b满足：(ba∈，向量OM u u u u r 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值，求0tan 2x 的取值范围．。

江苏省海安高级中学高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（每题5分，共50分）1.若集合2{|52},{|90},A x x B x x A B =-<<=-<⋂=求（ ） A. {|32}x x -<<B. {|52}x x -<<C. {|33}x x -<<D.{|53}x x -<<【答案】A 【解析】 【分析】利用集合交集运算性质即可解得. 【详解】{|52},A x x =-<<2{|90}={|-33}B x x x x =-<<<所以{|32}A B x x ⋂=-<< 故选A【点睛】本题主要考查集合的运算性质,属于基础题.2.已知,m n R ∈，i 是虚数单位，若(1)(1)mi i n +-=，则m ni +的值为（ ） A. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模. 【详解】()()11mi i n +-=()11m m i n ∴++-=11m n m +=⎧∴⎨=⎩ 21n m =⎧∴⎨=⎩12m ni i +=+=故选D【点睛】本题考查复数运算性质和复数模的计算,属于基础题,解题时要准确计算.3.若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ）A. 1)-B. (-C. (1)-D.(1,-【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=- (()333-=-故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.4.将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A. 5212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. 5212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先将函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2sin 2()124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化解为2sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换.5.设实数，y 满足的约束条件10200xy x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A. [1,1]-B. [1,2]-C. [1,3]-D. [0,4]【答案】C 【解析】 【分析】先画出可行域的几何图形,再根据z x y =+中z 的几何意义(直线在y 轴上的截距)求出z 的范围.【详解】如图:做出满足不等式组的10200x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域,由图可知在A(1,2)处取得最大值3,在点B(-1,0)处取得最小值-1;故选C【点睛】本题主要考查线性规划问题中的截距型问题,属于基础题型,解题中关键是准确画出可行域,再结合z 的几何意义求出z 的范围.6.若函数22,0()(),0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. ()()()20f a f a f >> B. ()()()02f a f f a >> C. ()()()20f a f a f >> D. ()()()20f a f f a >>【答案】C 【解析】 【分析】函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数,则有f(-1)=f(1),可解得a=1,函数在区间(),0-∞ 单调递减,在区间()0,∞+单调递增,故自变量距离0越远函数值越大,即可求解.【详解】因为函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数所以f(-1)=f(1),解得a=1又因为函数在(),0-∞ 单调递减,在()0,∞+单调递增 所以()()()20f a f a f >> 故选C【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利用偶函数的性质求解a 的值,其次是利用偶函数的单调性比较大小(先减后增,离原点越远函数值越大,先增后减,离原点越远越小).7.已知圆()2229x y -+=的圆心为C ，过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间。