专题圆锥曲线知识梳理高二数学下学期期末专项复习沪教版

高二数学选修1-1圆锥曲线知识点复习班别_________姓名_____________一、椭圆与双曲线的比较2、统一形式比较：椭圆与圆锥曲线的标准方程的统一形式是：122=+ny mx （1）当____________________________，方程表示的曲线是椭圆 （2）当____________________________，方程表示的曲线是双曲线例题：11422=-++ky k x ，当∈k _______________________，是椭圆； 当∈k _______________________，是双曲线二、抛物线 1、定义：动点M 到顶点F 的距离等于到定直线的距离，则点M 的轨迹是抛物线。

其中顶点F 叫______，定直线叫_____2、焦半径MF ：抛物线上点M 到焦点F 的距离3、焦点弦AB ：直线AB 过焦点F ，与抛物线交于点A 、B三、圆锥曲线常见问题1、求相交弦AB 中点坐标问题步骤：（1）设点：()11,y x A ，()22,y x B ；（2）联立方程，得出：02=++c bx ax ；（3）利用韦达定理：abx x -=+21 （4）利用直线方程，求出：21y y +；（5）中点M 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x练习：已知直线1:-=x y l ，与抛物线x y C 12:21=相交于点A 、B ，与椭圆145:222=+y x C 相交于点M 、N 则AB 中点坐标为_________________，MN 中点坐标为_______________ 2、已知中点M （00,y x ），求中点弦（过中点的相交弦）方程问题步骤：（1）设点：()11,y x A ，()22,y x B ，则2102x x x +=，2102y y y += （2）把()11,y x A ，()22,y x B 代入曲线方程；（3）作差；（4）求斜率k （5）求直线方程AB ：)(00x x k y y -=-练习：（1）、已知抛物线x y 82=的弦AB 被)1,1(-平分，则AB 方程为_____________________（2）、椭圆193622=+y x 的的弦AB 被)2,4(平分，则AB 方程为_____________________ 3、求弦长AB步骤：（1）设点：()11,y x A ，()22,y x B ；（2）联立方程，得出：02=++c bx ax ；（3）利用韦达定理：a b x x -=+21，acx x =21 （4）求弦长AB =()21221241x x x x k-++练习：（1）已知直线1:-=x y l 与抛物线x y C 12:21=相交于点A 、B ，则AB =____________（2）已知直线1:-=x y l 与椭圆145:222=+y x C 相交于点M 、N ，则MN =___________ 4、直线与圆锥曲线的位置关系判断交点情况，一般步骤：（1）联立方程，得出：02=++c bx ax ；（2）判断ac b 42-=∆的符号 ①0<∆，直线与圆锥曲线没有交点，相离②0=∆，直线与圆锥曲线有1个交点，相切 ③0>∆，直线与圆锥曲线有2个交点，相交练习：已知直线过定点()3,0，斜率为k ，当k 为何值时，直线与抛物线x y 82=有（1）1个交点 （2）0个交点 （3）2个交点。

数学高二圆锥曲线知识点在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的数学概念，它在几何图形和代数方程中都有广泛的应用。

在高二数学学习过程中，我们会接触到圆锥曲线的基本知识和性质。

本文将详细介绍高二数学中的圆锥曲线知识点，帮助你更好地理解和掌握这一概念。

一、圆锥曲线的定义和分类圆锥曲线是在平面直角坐标系中描述的一类曲线，它们由一个平面和一个与其不重合的点（称为焦点）以及到这个点的距离之比（称为离心率）所确定。

根据离心率的不同取值，圆锥曲线可分为以下三类：1. 椭圆：离心率小于1的圆锥曲线。

在平面上的图形是一个闭合曲线，它以两个焦点为中心，轨迹上的所有点到两个焦点的距离之和等于一个常数。

2. 抛物线：离心率等于1的圆锥曲线。

在平面上的图形是一个开放曲线，它以一个焦点为中心，轨迹上的所有点到焦点的距离等于到其直角坐标轴的距离。

3. 双曲线：离心率大于1的圆锥曲线。

在平面上的图形是一个开放曲线，它以两个焦点为中心，轨迹上的所有点到两个焦点的距离之差等于一个常数。

二、椭圆的性质和方程表示椭圆是一种常见的圆锥曲线，在几何问题和工程应用中经常遇到。

以下是椭圆的一些基本性质和方程表示：1. 长轴和短轴：椭圆的长轴是连接两个焦点并通过中心的线段，短轴是与长轴垂直并通过中心的线段。

2. 焦距和离心率：椭圆的焦距是指两个焦点之间的距离，离心率则是焦距与椭圆长轴之间的比值。

3. 方程表示：椭圆的一般方程形式为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长半轴和短半轴的长度。

三、抛物线的性质和方程表示抛物线是另一种常见的圆锥曲线，其形状和特性与开口朝上或朝下的碗形相似。

以下是抛物线的一些基本性质和方程表示：1. 焦点和准线：抛物线的焦点是与准线的距离相等的点，准线是与焦点之间距离相等的直线。

2. 抛物线开口方向：抛物线开口朝上时，其准线在抛物线的上方；开口朝下时，准线在抛物线的下方。

第十二章 圆锥曲线一、轨迹方程1、求轨迹方程的几个步骤：（建-设-列-化-证）a.建系（建立平面直角坐标系,多数情况此步省略）b.设点（求哪个点的轨迹，就设它（x,y ））c.列式（根据条件列等量关系）d.化简（化到可以看出轨迹的种类）e.证明（改成：修正）（特别是①三角形、②斜率、③弦的中点问题） 2、求动点轨迹方程的几种方法a.直接法：题目怎么说，列式怎么列。

b.定义法：先得到轨迹名称c.代入法（相关点法）:设所求点（x ，y ）另外点（21y x ,）找出已知点和所求点的关系c.参数法：（x,y ）中x,y 都随另一个量变化而变化—消参 二、弦长若直线b kx y +=与二次曲线的交点为A(1,1,y x )和B (2,2,y x ) 方法一：联立直线与二次曲线方程求出两交点⇒两点间距离方法二：利用弦长公式：||1||212x x k AB -+==2122124)(1x x x x k -+∙+ ||21211y y k -+==212212411y y y y k-+∙+)( 方法三：（半弦长）2=（半径）2-（圆心到直线距离）2（—只适用于圆） 三、直线与二次曲线交点方法一：利用圆的圆心与弦中点的连线与弦垂直。

（—只适用于圆）方法二：点差法—不能用于判别存在性问题。

方法三：联立方程后利用两根之和与中点的关系—求存在性问题或求范围时需考虑∆。

五、椭圆1.另椭圆还具有以下性质a.椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，最大的点是长轴的两个端点；b.椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点（天体运动中称“远日点”“近日点”） 最大、最小距离分别为a+c ， a-c ；c.设椭圆的两个焦点F 1、F 2当椭圆上的点P 在短轴端点时，21PF F ∠最大。

六、椭圆与双曲线对比七、双曲线2.已知渐近线02222=-b y a x ，可设双曲线方程：)(02222≠=-k k by a x ⎩⎨⎧<>轴焦点在轴焦点在y ,k x ,00k （二）等轴双曲线1、定义：若a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：222a y x =-或222a x y =-.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；渐近线互相垂直. 3）等轴双曲线方程可以设为：)0(22≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上.(三)共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）12222=-b y a x 的共轭双曲线为12222=-a x b y ；12222=-b x a y 的共轭双曲线为12222-=-bx a y ; （2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为12222±=-b y a x （或12222±=-bx a y ;）3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如121822=-y x 和1922=-y x ；（2）12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a ≠b ）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；八、圆1．圆的标准方程：222r b y a x =-+-)()( （圆心（a,b ）,半径r ） 2．圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） （*）配方：44)2()2(2222FE D E y D x -+=+++（1） 当0422>-+F E D 时，方程（*）表示的轨迹为圆心)2,2(ED --，半径 2422FE D r -+=的圆；（2） 当0422=-+F E D 时，方程（*）表示一个点)2,2(E D --； （3） 当0422<-+F E D 时，方程（*）无解，无轨迹图形.3.二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cxy By Ax 表示圆的充要条件：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=≠=040022AF E D B B A 九、抛物线。

一、抛物线性质定义平面内，到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹标准方程)0(22>=ppxy)0(22>-=ppxy)0(22>=ppyx)0(22>-=ppyx图形焦点准线范围对称轴顶点抛物线6基础练习：1、抛物线28x y =的准线方程为 ，焦点坐标为 .2、经过点()4,2--P 的抛物线的标准方程是 .3、若抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A 、2；B 、3；C 、4；D 、5.4、若抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）A 、1716； B 、1516； C 、78； D 、0.【例题1】 点M 与点()0,4F 的距离比它到直线05:=+x l 的距离小1，则点M 的轨迹方程为 .【巩固练习】（1）点M 到点()8,0的距离比它到直线7-=y 的距离大1，则点M 的轨迹方程为 .（2）设抛物线2y mx =(0)m >的准线与直线1x =的距离为3，则该抛物线方程为 ；（3）已知动圆M 与圆22100x y x +-=外切，且与y 轴相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

（4）抛物线22(0)y px p =>有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边所在的直线的方程是2y x =，斜边长是【例题2】已知点A 的坐标为(4,3)，F 为抛物线24y x =的焦点，若点P 在抛物线上移动，则当||||PA PF +取最小值时点P 的坐标为 ；【巩固练习】（1）已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为 .（2） 已知抛物线x y 42=， P 为抛物线上的动点，过点P 作抛物线准线的垂线PH ，定点A 为()4,3，当||||PH PA +有最小值时，点P 的坐标为 .（3）已知P 为抛物线214y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则PM PA +的最小值是________【例题3】已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点)1,2(-P ，当斜率k 为何值时，直线l 与抛物 线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【例题4】过抛物线y 2=4x 的焦点F 作倾斜角为34π的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB 的长是 .【巩固练习】1、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB = .2、设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA OB ⋅u u u r u u u r = .【例题5】已知抛物线22(0)y px p =>的焦点弦AB 的两端点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，问关系式1212y y x x 是否为定值？如果是，求出此值；如果不是，说明理由.【巩固练习】设A （1x ，1y ）、B (2x ，2y )是抛物线22y px =（p >0）上的两点，满足OA ⊥OB (O 为原点)（1）求21x x －21y y 的值； （2）证明直线AB 交x 轴于定点【例题6】给定抛物线x y 22=，设)0,(a A ，P a ),0(>是抛物线上的一点，且d PA =，试求d 的最 小值.【例题7】 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m ，假设车与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？并说明理由。

沪教版（上海）高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.7抛物线的标准方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．（1）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，且过点(2,3)-，求抛物线的标准方程；（2）求到定点(4,0)F 的距离，比到定直线50x +=的距离小1的点的轨迹方程． 2．过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，且直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，则121212,,y y x x k k 中有几个是定值？反过来是否成立？3．设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，试求||||||FA FB FC ++的值．4．对于抛物线22y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足||||PQ a ，试求a 的取值范围．二、单选题5．设M （x 0，y 0）为抛物线C ：x 2=8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．[0，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）6．（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）A ．n=0B ．n=1C ．n=2D ．n≥3 7．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2yx 于,A B 两点，且||||PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ）．A ．直线l 上的所有点都是“A 点”B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（不是所有的点）是“A 点”8．设抛物线22y x = 的焦点为F ，过点0)M 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，||2BF = ，则BCF △ 与ACF 的面积之比BCF ACFS S等于（ ）A ．45B ．23C ．47D ．12三、填空题9．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的标准方程是__________.10．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是____．11．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．12．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足，如果直线AF斜率为||PF =________．参考答案1．（1）292y x =-；（2）216y x = 【分析】（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =->，将点(2,3)M -代入，即得解；（2）等价于到(4,0)F 与到直线40x +=的距离相等．由抛物线定义得，动点的轨迹是抛物线，再求出抛物线的方程即得解. 【详解】解：（1）由题意，因为抛物线过点(2,3)-，其开口方向向左，所以可设抛物线的方程为22(0)y px p =->．将点(2,3)M -代入，得94p =．解得94p =． 因此，抛物线的方程为292y x =-． （2）动点到(4,0)F 的距离比它到50x +=的距离小1， 等价于到(4,0)F 与到直线40x +=的距离相等． 由抛物线定义得，动点的轨迹是抛物线，该点(4,0)F 就是抛物线的焦点，该直线4x =-就是抛物线的准线， 所以抛物线开口向右，且4,82pp =∴=. 所求轨迹方程为216y x =． 【点睛】本题主要考查抛物线标准方程的求法，考查动点轨迹方程的求法和抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．3个均为定值，反过来不一定成立 【分析】根据直线AB 是否存在斜率进行分类讨论，当存在斜率时，将直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行验证即可，当不存在斜率时，直接求出,A B 坐标，再进行验证；反过来时，假设三个都是定值，直线AB 是否存在斜率进行分类讨论，当存在斜率时，将直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系进行判断直线AB 是否过抛物线的焦点，当不存在斜率时，直接求出,A B 坐标，再进行判断直线AB 是否过抛物线的焦点即可； 【详解】解：设直线AB 的方程为(0)2p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，即2=+y p x k ． 代入22y px =，得2220py y p k--=，则212y y p =-． 又22222121212*********,,,42244=====⋅=-y y y y y y p x x x x k k p p p x x ． 若直线AB 与x 轴垂直，由122p x x ==，得2124px x =．可求得12,==-y p y p ，则21212,4=-=-y y p k k ．故121212,,y y x x k k 均为定值．反过来，当212y y p =-时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，即=+yx a k，代入抛物线方程，得2220--=py y pa k，则 2122,2=-=-∴=p y y pa p a ． 即直线AB 过焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭．若直线AB 的斜率不存在，也同样有此结论． 若2124p x x =，则,A B 可能为抛物线上x 轴上方的两点，则此直线AB 一定不过焦点．因此由2124p x x =不能得到直线AB 过焦点．若222212121212122112124,422⋅=⋅=⋅=∴=-⇔=-y y y y y p k k k k y y p y x x p y y p． 故当124k k =-时，直线AB 也过焦点，若直线AB 的斜率不存在，也同样有此结论．综上所述可知，121212,,y y x x k k 分别为定值2,,44--p p ；反过来，只有21212,4=-=-y y p k k 时，才有直线AB 过焦点． 【点睛】本题考查了利用直线与抛物线的位置关系判断代数式是否为定值问题，考查了当代数式为定值时直线是否过抛物线的焦点与抛物线相交问题，考查了分类讨论思想和数学运算能力. 3．6 【分析】设出,,A B C 三点的坐标，把||||||FA FB FC ++（三个焦半径之和）转化为三个点线距之和，用上条件即可求解. 【详解】解：设点,,A B C 的坐标分别为()()()112233,,,,,x y x y x y ． 又24,2,(1,0)p p F ==，则()()()1122331,,1,,1,FA x y FB x y FC x y =-=-=-．1231230,1110,3FA FB FC x x x x x x ++=∴-+-+-=∴++=．1233||||||3362pFA FB FC x x x ∴++=+++=+= 【点睛】考查抛物线的定义，把焦半径（点点距）转化为点到准线的距离是解答这类题的关键；基础题. 4．(,1]-∞ 【分析】当0a ≤时显然合适，当0a >时，根据两点间的距离公式代入||||PQ a ，再化简利用恒成立方法求解即可. 【详解】(1)若0a ≤，显然适合(2)若0a >，点(,0)P a 都满足||PQ a ，则 22222y a a y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即211,014miny a a ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，则a 的取值范围(,1]-∞ 【点睛】本题主要考查了根据抛物线上的点满足的条件求解参数范围的问题，需要根据题意分情况讨论，代入距离公式化简.属于中档题. 5．C 【解析】试题分析：由已知，4p =，4FM >,即024FM y =+>.所以，02y >，选C . 考点：1.抛物线的定义；2.直线与圆的位置关系. 6．C【解析】y 2=2px （P ＞0）的焦点F （，0）等边三角形的一个顶点位于抛物线y 2=2px （P ＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x 轴轴对称两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x ﹣），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形． 故n=2， 故选C 7．A 【分析】设点,A P 的坐标分别为(,),(,1)m n x x -，则点B 的坐标为(2,21)m x n x --+．联立直线与抛物线方程, 消去n ,整理可得关于x 的方程，判断∆的值可得答案. 【详解】解：如图，设点,A P 的坐标分别为(,),(,1)m n x x -，则点B 的坐标为(2,21)m x n x --+．,A B 在2yx 上，22,21(2).n m n x m x ⎧=∴⎨-+=-⎩消去n ,整理，得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-=． ①()222(41)4218850m m m m ∆=---=-+>恒成立，∴方程①恒有实数解， 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的阅读理解能力、信息迁移能力，分析问题与解决问题的能力，属于创新题型. 8．A 【解析】如图过B 作准线12l x =-：的垂线，垂足分别为11A B ，， BCF ACFBC S SAC=，又11,B BC A AC ∽11BC BB ACAA =，，由拋物线定义112BB BF AA AFAF ==． 由12BF BB ==知32B B x y ，==02AB y x ∴-=-： 把22y x = 代入上式，求得22A A y x ==，，15 2AF AA ∴==．故24552BCF ACFBF SSAF===． 故选A ． 9．28y x = 【分析】根据抛物线准线方程可求出p ，再根据准线方程设出抛物线的标准方程，代入p 值即可. 【详解】 由题意可知：22p=，4p ∴=且抛物线的标准方程的焦点在x 轴的正半轴上 故可设抛物线的标准方程为：22y px = 将p 代入可得28y x =.故答案为：28y x =. 【点睛】本题考查了根据抛物线准线的方程求抛物线标准方程，属于基础题. 10．6 【分析】先作出图形，再结合抛物线的定义进行计算即可. 【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0F ,准线方程为2x =-,如图所示,4PA =,2AB =,由抛物线的定义可得：6PF PB PA AB ==+=. 故答案为:6. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属于常考题. 11．2 【解析】抛物线的准线为2px =-，与圆相切，则342p +=，2p =． 12．8 【分析】设准线与x 轴焦点为B ,可得B 的坐标为(2,0)-，4BF =,由直线AF 斜率为，可得60o AFB ∠=，由抛物线的几何性质有PA PF =,可得PAF ∆是等边三角形，可得答案.【详解】 解：如图由抛物线方程为28y x =，可得其焦点为(2,0)F ，准线方程为2x =-， 设准线与x 轴焦点为B ,则B 的坐标为(2,0)-，4BF =,由直线AF 斜率为60o AFB ∠=，可得8cos60oBFAF ==，因为AP x 轴，所以60o PAF AFB ∠=∠=,又由抛物线的几何性质有PA PF =, 所以PAF ∆是等边三角形，故8PA PF ==， 故答案为：8. 【点睛】本题主要考查抛物线的性质，抛物线焦半径公式的应用，考查学生对相关知识的理解与应用，属于基础题型.。

1。

圆锥曲线的两个定义：(1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ， 当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹；双曲线中,与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2｜，定义中的“绝对值"与2a ＜|F 1F 2｜不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2｜，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线， 若2a ﹥｜F 1F 2｜，则轨迹不存在.若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如（1)已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF (答:C ）;（2）方程8表示的曲线是_____（答:双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如(08宣武一模） 已知P 为抛物线221x y =上的动点,点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是 _____ (答:219）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心(顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1)椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1(0a b >>)。

方程221Ax By +=表示椭圆 （A,B,同正,A ≠B)。

如（1)已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆,则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22---）；(理科班)（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___(2)（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，（3）焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>).（4）方程221Ax By +=表示双曲线 （A ，B 异号）。

.高二期末复习曲线与方程专题第一课时一、课前练习：1、.方程02=-+x xy x 的曲线是A.一个点B.一条直线C.一个点和一条直线D.两条直线2、若椭圆221x my +=，则它的长半轴长为__________； 3、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，则双曲线的方程为 ；4、以椭圆2212516x y +=的右焦点为焦点的抛物线方程为 ．二、典型例题：例1：设1F ，2F 分别为椭圆C ：2222x y a b + =1(0)a b >>的左、右两个焦点．⑴若椭圆C 上的点A （1，32）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；⑵设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程．变式训练：1、双曲线与椭圆2212736x y +=有相同焦点，且经过点4)，求双曲线的方程．2、求对称轴在坐标轴，顶点距离为8，45=e 的双曲线标准方程。

例2：△ABC 的顶点B 、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0),AB 边上的中线的长为3,求顶点A 的轨迹方程.变式训练 经过原点的直线l 与圆226490x y x y +--+=相交于两个不同点A 、B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.知识小结 求曲线方程的一般步骤“建设限代化”{建（坐标系），设（点坐标），限（找限 制条件）代{用坐标代条件）化（化简）}一般方法：1.直接法 2 定义或待定系数法3 相关点法（根据动点与相关点的关系求）三、课后巩固练习：1. 动点在圆122=+y x 上移动时，它与定点)0,3(B 连线的中点的轨迹方程是( ) A 4)3(22=++y x B 1)3(22=+-y x C 14)32(22=+-y x D 21)23(22=++y x2.点M (,)x y 与定点F (1,0)距离和它到直线8x =的距离的比为12,则动点M 的轨迹方程为213y =217y =2112y = (D)2234860x y x ++-=03.若k 可以取任意实数，则方程x 2+ky 2=1所表示的曲线不可能是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆或双曲线 D.抛物线4.平面内过点A （-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5.直线01=-+y x 关于点)2,2(对称的直线是（ ）A.08=-+y xB.08=--y xC.07=-+y x D 07=--y x6.曲线22+-=x x y 和m x y += 有两个不同的交点，则 m 的范围是 。

一、曲线与方程的概念：如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；（2）以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点，此时，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.二、求曲线方程（动点的轨迹方程）：（1）步骤：① 建系② 设点③ 列式④ 化简并检验（2）方法：① 直接法：根据题目给出的条件，可以直接列出等式方程．② 转换代入：给出已知曲线方程(),0f x y =，，求与该曲线相关的点P 的轨迹，通常设P 为(),x y ，已知曲线上的点为()'',x y ，得出''(,)(,)x X x y y Y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩将其代入已知曲线方程(),0f x y = 即可．③ 消参法：所求点(),P x y 的轨迹，若x 和y 可以通过参数k 联系，比如()()x X k y Y k =⎧⎪⎨=⎪⎩，两式消去k ，即得P 的轨迹．三、曲线的交点：可以利用代数法联立方程组求解.曲线和方程1题型一 概念题【例题1】已知坐标满足方程0),(=y x F 的点都在曲线C 上，那么下列说法错误的是 （只填序号）.①曲线C 上的点的坐标都适合方程0),(=y x F ；②凡坐标不适合0),(=y x F 的点都不在C 上；③不在C 上的点的坐标有些适合0),(=y x F ，有些不适合0),(=y x F ；④不在C 上的点的坐标必不适合0),(=y x F .【答案】C【巩固练习】若命题“曲线C 上的各点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）.A.不是曲线C 上的点的坐标一定不满足方程0),(=y x FB.坐标满足方程0),(=y x F 的点均在曲线C 上C.曲线C 是方程0),(=y x F 的图像D.方程0),(=y x F 所表示的曲线不一定是曲线C【答案】D【例题2】求证：以原点为圆心，半径为3的圆的方程不是29x y -=.【答案】略【例题3】（1）方程09222=-+-y xy x 表示的曲线是 .【答案】两条直线（2）方程11=++y x 确定的曲线所围成的图形的面积是 .【答案】2（3）方程1322=+-y xy x 表示的曲线具有的对称性是 . A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于x y =对称 E.关于x y -=对称【答案】C（4）到x 轴距离为1的点的直线方程为1-=y 是否正确？【答案】否题型二 求曲线方程（求动点的轨迹方程）【例题4】ABC △的顶点B C 、的坐标分别是(0,0)和(4,0),BC 边上的中线长为3,求顶点A 的轨迹方程.【答案】)0(0281622≠=+-+y x y x 【巩固练习】1、已知两点()2,0M -、()2,0N ，点P 为坐标平面内的动点0MN MP MN NP +=u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g ，满足，则动点(),P x y 的轨迹方程为【答案】x y 82-=2、已知两个定点B A ,的距离为6，动点M 到B A ,距离的平方和为26，求点M 的轨迹方程。

沪教版(上海) 高二第二学期新高考辅导与训练第12章圆锥曲线12.8（1）抛物线的几何性质一、解答题(★★) 1. 已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程.(★★★) 2. 如图所示，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点.（1）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；（2）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点.证明为定值，并求此定值.(★★★) 3. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，求的最小值.(★★★★) 4. 已知拋物线的焦点为是抛物线上横坐标为4且位于轴上方的点，点到抛物线准线的距离等于5.过点作垂直于轴，垂足为的中点为. （1）求抛物线方程；（2）过点作，垂足为，求点的坐标；（3）以点为圆心，为半径作圆，当是轴上一动点时，讨论直线与圆的位置关系.(★★★) 5. 定长为3的线段端点在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时的中点的坐标.二、单选题(★★★★) 6. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A．B．C．D．(★) 7. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在三、填空题(★★) 8. 已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为 ______(★) 9. 已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段 AB的中点为，则的面积等于．(★★★) 10. 已知点是抛物线的弦的中点，直线的方程为____________. (★★★) 11. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点.若线段与长分别为、，则等于_____________.。