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§2 一阶微分方程一、一阶微分方程解的存在和唯一性一阶微分方程的一般形式是()0,,='y y x F如果在所考虑的区域上0≠'∂∂y F，那末根据隐函数存在定理（第五章 §3，四，2），解出'y 得()y x f xy,d d = 或者写成对称形式()()0d ,d ,=+y y x N x y x M[解的存在和唯一性定理] 给定微分方程()y x f x y,d d = 及初始值()00,y x .设()y x f ,在闭区域R ：()0,0,00>>≤-≤-b a b y y a x x 上连续，那末方程()y x f xy,d d =至少存在一个解，它在x x =0处取值y 0，同时在包含x 0的某一区间上确定且连续（此定理称为柯西存在定理）. 如果在R 内对变数y 还满足李普希茨条件，即存在正数N ，使得对于R 内的任意两值1y 和2y ，下面不等式成立：()()2121,,y y N y x f y x f -≤- 那末这个解还是唯一的.二、可积类型及其通解（表中c 为任意常数）找积分因子的方法三、奇解及其求法[微分方程的奇解] 微分方程()0,,='y y x F 的一族积分曲线（通解）的包络，称为这个微分方程的奇解.奇解是方程的解，同时过奇解上的每一点都不止有一条积分曲线，即在奇解上的每一点，方程的解不是唯一的.[c -判别曲线法] 设一阶微分方程()0,,='y y x F 的通解为()0,,=c y x Φ，其中c 是任意常数，把c 看成参数.从下面方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=00,,cc y x ΦΦ 中消去c 而得到的所有曲线，都称为曲线族()0,,=c y x Φ的c -判别曲线，其中包含着曲线族()0,,=c y x Φ的包络.但应注意c -判别曲线不一定都是曲线族的包络，还要作实际检验.例 求一阶微分方程3227894y y y x '-'=- 的通解和奇解.解 把方程写成y x y y =-'+'4982723令y '=p .方程两边对p 求导，得p p x 98d d = 于是有x c p +=492 即()p y x c ='=±+3212代入原方程，得通解()()()0,,32=+-+=c x c y c y x Φ从()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=∂∂=+-+=032,,0,,232c x c y c c y x c x c y c y x ΦΦ 中消去c ，得c-判别曲线y=x 和x y -=427.直接代入原方程可知y=x 不是已知方程的解，所以不是奇解，而x y -=427是奇解.[p -判别曲线法] 对于一阶微分方程()0,,='y y x F ，令p y ='，那末方程的奇解一定包含在下面方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=0,,0,,p p y x F p y x F 消去p 后得到的曲线（称为p -判别曲线）中.至于p -判别曲线是否是奇解，也需要实际检验.例 求微分方程'+-=y y 2210 的奇解. 解 从()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=-+=02,,01,,22p p p y x F y p p y x F 中消去p 得p-判别曲线 12=y ，即y=1±.代入原方程知y=1±是奇解.。
第二节一阶微分方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f x y d d 齐次方程0)(d d =+y x p xy一阶线性齐方程)()(d d x q y x p xy=+一阶线性非齐方程变量代换变量分离常数变易)()(d d y g x f xy=变量可分离方程一、变量可分离方程如果一阶微分方程可以化为下列形式：x x f y y g d )(d )(=则称原方程为变量可分离的方程。
运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：⎰⎰=x x f y y g d )(d )(其中C 为积分后出现的任意常数。
),( 。
就是原方程的通解积分的结果C x y y =二、齐次方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f x y d d 齐次方程d )(d x xu u f u =-变量分离方程变量代换x u u x y d d d +=)(d d u f u xu x =+代入原方程，得三、可化为齐次方程的方程⎪⎭⎫⎝⎛=X Y X Y ϕd d 齐次方程⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111d d c y b x a c y b x a f x y可化为齐次方程的方程变量代换0111=++c y b x a 0222=++c y b x a ，，βα==y x，，令βα-=-=y Y x Xd )(d X XZ Z f Z =-变量分离方程变量代换)()(d d y g x f xy=变量可分离方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f x y d d 齐次方程0)(d d =+y x p xy一阶齐线性方程)()(d d x q y x p xy=+一阶非齐线性方程变量代换变量分离常数变易四、一阶线性微分方程形如)()(x q y x p y =+'的方程称为一阶线性微分方程。
0)( 时，当≡x q 方程称为一阶齐线性方程。
方程称为一阶非齐线性方程。
0)( 时，当≡x q 习惯上，称0)(=+'y x p y 为方程)()(x q y x p y =+'所对应的齐方程。
一阶微分方程解法在数学的广袤天地中，一阶微分方程是一个重要的研究领域。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
理解和掌握一阶微分方程的解法，对于解决实际问题和深入理解相关理论至关重要。
一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄＼frac{dy}｛dx} ＝ f(x,y)＄。
这里，我们的目标就是找到函数＄y ＝ y(x)＄满足这个方程。
首先，我们来谈谈分离变量法。
这是一种在一阶微分方程中较为常见且实用的解法。
如果方程可以改写成＄g(y)dy ＝ h(x)dx$ 的形式，那么我们就可以分别对两边进行积分：＄＼int g(y)dy ＝＼int h(x)dx$ 。
举个例子，考虑方程＄＼frac{dy}｛dx} ＝＼frac{x}｛y}＄。
将其变形为＄ydy ＝ xdx$ ，然后对两边积分：＄＼int ydy ＝＼int xdx$ ，得到＄＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$ ，进一步化简为＄y^2 x^2 ＝ 2C$ ，这就是原方程的解。
接下来是一阶线性微分方程的解法。
一阶线性微分方程的标准形式为：＄＼frac{dy}｛dx} ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄。
我们先求出它的积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。
然后将方程两边乘以积分因子，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}＼frac{dy}｛dx} ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝Q(x)e^｛＼int P(x)dx}＄这时，左边可以变形为＄＼frac{d}｛dx}（ye^｛＼int P(x)dx}）＄。
所以，方程就变成了＄＼frac{d}｛dx}（ye^｛＼int P(x)dx}）＝Q(x)e^｛＼int P(x)dx}＄。
接下来对等式两边进行积分，就可以求出＄y$ 。
例如，对于方程＄＼frac{dy}｛dx} ＋ 2xy ＝ 2x$ ，这里＄P(x) ＝2x$ ，＄Q(x) ＝ 2x$ 。
广东金融学院期末考试试题 （B ）2009—2010 学年 第二学期 考试科目：《微积分II 》(闭卷 120 分钟)姓名 班级 学号 成绩一、填空题（每小题3分，共15分） 1．函数22221arccos4)ln(),(y x yx x y y x f ++---=，则其定义域为 。
2． 设yx y xy y x f arcsin)1(2),(2-+=，则(,1)x f x = _______ 。
3．改变积分次序⎰⎰121sin xdy y dx = _________ 。
4．幂级数∑∞=0n n nx 的收敛区间为 _________ 。
5．∑∞=123ln n nn 的和为 _________ 。
二、选择题（每小题3分，共15分） 6．极限).(lim242)0,0(),(=+→y x y x y x（A ）;0 （B ）;1 （C ）;2 （D ）不存在。
7．二元函数z=f(x,y)在点),(00y x 处各偏导数存在是全微分存在的（ ） A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .无关条件8. D 是由x x y y =-==-=1111，，，所围成的区域，则2d Dσ⎰⎰=( )(A) 1； (B) 2 ； (C) 4 ； (D) 89. 在下面级数中，条件收敛的级数是（ ）..)1()(;1)1()(;1)1()(;1)1()(121113∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=---+-n nn nn nn nn D nC nB n n A10. 若幂级数nn n x a )1(1-∑∞=在1-=x 处收敛,则此级数在2=x 处( ). (A) 发散 ; (B) 条件收敛; (C) 绝对收敛; (D) 收敛性不确定.三、求解下列各题（每小题５分，共40分）11．设z =yxyxe e+，求偏导数yx zx z∂∂∂∂∂2,。
12. ),(y x z z =由03=+--z xye z e确定，求dz 。
