第二节 几类简单微分方程及其解法

南京林业大学各种微分方程的解法1.可分别变量的微分方程解法 一般形式 :g(y)dy=f(x)dx 直接解得 ∫g(y)dy= ∫f(x)dx设 g(y)及 f(x) 的原函数挨次为 G(y)及 F(x),则 G(y)=F(x)+C 为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法一般形式 :dy/dx= φ(y/x)令 u=y/x 则 y=xu,dy/dx=u+xdu/dx, 因此 u+xdu/dx=φ(u), 即 du/ ［φ (u)-u ］=dx/x 两头积分 , 得∫du/ ［φ (u)-u ］ =∫dx/x 最后用 y/x 取代 u, 便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法一般形式 :dy/dx+P(x)y=Q(x)－∫P(x)dx－∫P(x)dx先令 Q(x)=0 则 dy/dx+P(x)y=0 解得 y=Ce, 再令 y=ue代入原方程 解得 u=∫Q(x) e∫P(x)dx－∫P(x)dx∫P(x)dxdx+C ］dx+C,因此 y=e［∫Q(x)e－∫P(x)dx－ ∫P(x)dx∫P(x)dxdx 为一阶线性微分方程的通解即 y=Ce +e∫Q(x)e 4.可降阶的高阶微分方程解法(n) ① y =f(x) 型的微分方程(n)y =f(x)y (n-1) = ∫f(x)dx+C 1y (n-2) = ∫［ ∫f(x)dx+C 1］ dx+C 2(n)=f(x) 的含有 n 个随意常数的通解挨次类推 , 接连积分 n 次, 便得方程 y ② y ” =f(x,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 则 y ”=p ’ , 因此 p ’=f(x,p), 再求解得 p=φ (x,C 1)即 dy/dx= φ(x,C 1), 因此 y=∫φ(x,C 1)dx+C 2 ③ y ” =f(y,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 则 y ”=pdp/dy, 因此 pdp/dy=f(y,p),再求解得 p=φ (y,C 1)即 dy/dx= φ(y,C 1), 即 dy/ φ(y,C 1)=dx, 因此 ∫dy/ φ (y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式 :y ”+py ’+qy=0,特点方程 r 2+pr+q=0南京林业大学特点方程 r 2+pr+q=0 的两根为 r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解r r1x r2x2 1 2两个不相等的实根 r1,y=C e +C e两个相等的实根 r1=r2 y=(C1+C2x)e r1x一对共轭复根 r1=α+iβ, r 2=α-iβαxcosβx+C2sin β x) y=e (C16.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式 : y ”+py’+qy=f(x)先求 y”+py’+qy=0 的通解 y0(x), 再求 y”+py’+qy=f(x) 的一个特解 y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x) 即为微分方程 y”+py’+qy=f(x) 的通解求y”+py’+qy=f(x) 特解的方法 :①f(x)=P m(x)e x型λ令 y*=x k Q m(x)eλx［k 按λ不是特点方程的根 , 是特点方程的单根或特点方程的重根挨次取 0,1 或 2］再代入原方程 , 确立 Q m(x) 的 m+1个系数λx②f(x)=e［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型k λx［Q m(x)cos ω x+R m(x)sin ωx］［m=max﹛ｌ ,n ﹜ ,k 按λ +i ω不是特点令 y*=x e方程的根或是特点方程的单根挨次取0 或 1］再代入原方程 , 分别确立 Q (x) 和mR m(x) 的 m+1个系数附微分方程在物理学中的应用:⑴找准适合的研究对象⑵确立正确的数学模型⑶联列合理的微分方程⑷解出最正确的方程结果执笔：缪张华。

南京林业大学各样微分方程的解法1.可分别变量的微分方程解法 一般形式 :g(y)dy=f(x)dx直接解得 ∫g(y)dy= ∫f(x)dx设 g(y)及 f(x) 的原函数依次为 G(y)及 F(x),那么 G(y)=F(x)+C 为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法一般形式 :dy/dx= φ(y/x)令 u=y/x 那么 y=xu,dy/dx=u+xdu/dx, 所以 u+xdu/dx=φ(u), 即 du/ ［φ (u)-u ］=dx/x 两端积分 , 得∫du/ ［φ (u)-u ］ =∫dx/x 最后用 y/x 代替 u, 便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法一般形式 :dy/dx+P(x)y=Q(x)－∫P(x)dx－∫P(x)dx先令 Q(x)=0 那么 dy/dx+P(x)y=0 解得 y=Ce, 再令 y=ue代入原方程解得 u=∫Q(x) e∫P(x)dx－∫P(x)dx∫P(x)dxdx+C ］dx+C,所以 y=e［∫Q(x)e－∫P(x)dx－ ∫P(x)dx∫P(x)dxdx 为一阶线性微分方程的通解即 y=Ce +e∫Q(x)e 4.可降阶的高阶微分方程解法(n) ① y =f(x) 型的微分方程(n)y =f(x)y (n-1) = ∫f(x)dx+C 1y (n-2) = ∫［ ∫f(x)dx+C 1］ dx+C 2(n)=f(x) 的含有 n 个任意常数的通解依次类推 , 接连积分 n 次, 便得方程 y ② y 〞 =f(x,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 那么 y 〞=p ’ , 所以 p ’=f(x,p),再求解得 p=φ (x,C 1)即 dy/dx= φ(x,C 1), 所以 y=∫φ(x,C 1)dx+C 2 ③ y 〞 =f(y,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 那么 y 〞=pdp/dy, 所以 pdp/dy=f(y,p), 再求解得 p=φ (y,C 1) 即 dy/dx= φ(y,C 1), 即 dy/ φ(y,C 1)=dx, 所以 ∫dy/ φ (y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式 :y 〞+py ’+qy=0,特色方程 r 2+pr+q=01南京林业大学特色方程 r 2+pr+q=0 的两根为 r1,r2微分方程y〞+py’+qy=0的通解r r1x r2x212两个不相等的实根 r1,y=C e +C e两个相等的实根 r1=r2y=(C1+C2x)e r 1 x一对共轭复根 r1=α+iβ, r 2=α-iβαxcosβx+C2sin β x) y=e (C16.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式 : y 〞+py’+qy=f(x)先求 y〞+py’+qy=0 的通解 y0(x), 再求 y〞+py’+qy=f(x) 的一个特解 y*(x)那么 y(x)=y 0(x)+y*(x) 即为微分方程 y〞+py’+qy=f(x) 的通解求 y〞+py’+qy=f(x) 特解的方法 :①f(x)=P m(x)e x型λ令 y*=x k Q m(x)eλx［k 按λ不是特色方程的根 , 是特色方程的单根或特色方程的重根依次取 0,1 或 2］再代入原方程 , 确定 Q m(x) 的 m+1个系数λx②f(x)=e［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型kλx［Q m(x)cos ω x+R m(x)sin ωx］［m=max﹛ｌ ,n ﹜ ,k 按λ +i ω不是特色令 y*=x e方程的根或是特色方程的单根依次取0 或 1］再代入原方程 , 分别确定 Q (x) 和mR m(x) 的 m+1个系数附微分方程在物理学中的应用:⑴找准合适的研究对象⑵确定正确的数学模型⑶联列合理的微分方程⑷解出最正确的方程结果执笔：缪张华2。

微分方程求解方法微分方程是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

微分方程求解是通过已知条件找到满足方程的未知函数的过程。

根据方程的类型和性质，有多种解法可供选择。

一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形式为dy/dx = f(x)g(y)，可以通过变量的分离和积分的方法进行求解。

具体步骤如下：1. 将方程变形为dy/g(y) = f(x)dx。

2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。

3.求出积分的表达式，然后求解原方程。

二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过线性变换和积分的方法进行求解。

具体步骤如下：1. 通过线性变换将方程变为dy/dx + yP(x) = Q(x)P(x)。

2. 确定积分因子μ(x) = e∫P(x)dx。

3. 将原方程两边同时乘以μ(x)，并进行化简得到d(yμ(x))/dx = Q(x)μ(x)。

4. 对等式两边同时积分得到∫d(yμ(x))/dx dx = ∫Q(x)μ(x)dx。

5.求出积分的表达式，然后求解原方程。

三、二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0，可以通过特征根法求解。

具体步骤如下：1. 假设解的形式为y = e^(mx)。

2. 将形式代入原方程，得到特征方程m² + pm + q = 0。

3.求解特征方程得到特征根m₁和m₂。

4.根据特征根的情况，得到相应的通解。

四、二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程的一般形式为d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)，可以通过常数变易法求解。

具体步骤如下：1.假设原方程的特解为y=u(x)，将其代入原方程，得到关于u和它的导数的代数方程。

2.根据原方程的非齐次项f(x)的形式，设定特解的形式。

微分方程解法微分方程是数学中非常重要的一种方程，它描述了变量之间的变化率关系。

解微分方程是找到满足给定条件的函数，使得该函数满足微分方程。

本文将探讨微分方程的解法，并介绍一些常用的解法方法。

一、常微分方程的解法常微分方程是只含有一个未知函数的微分方程。

常微分方程的解法方法主要有以下几种：1. 可分离变量法对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，如果能将其分离成f(x)dx=g(y)dy 的形式，那么可以通过分别对方程两边进行积分来求得解。

这种方法适用于大部分可分离变量的微分方程。

2. 齐次方程法对于形如dy/dx=F(y/x)的方程，如果能将其转化为F(z)=z的形式，其中z=y/x，那么可以通过引入新变量z来简化微分方程的求解。

这种方法适用于一类具有齐次性质的微分方程。

3. 线性微分方程法对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，如果p(x)和q(x)都是已知函数，那么可以通过求解一阶线性常系数齐次微分方程的解，再利用特解和齐次解的线性组合求得原方程的解。

线性微分方程是常微分方程中最常见的一类方程。

对于形如dy/dx=F(ax+by+c)的方程，如果通过适当的变量替换，将方程化为直线的斜率不变的形式，那么可以通过直线积分求解。

这种方法适用于一类具有特殊形式的微分方程，在求解过程中可通过合适的变换将其转化为更简单的方程。

5. 特殊类型方程法除了上述常见的解法方法外，还有一些特殊类型的微分方程有自己独特的解法。

例如，一阶线性微分方程、二阶常系数线性齐次微分方程、二阶线性方程等都有一些特殊性质和求解方法。

二、偏微分方程的解法偏微分方程是含有多个未知函数及其偏导数的方程。

相对于常微分方程，偏微分方程的求解更加复杂，常用的解法方法有以下几种：1. 分离变量法对于形如u_t=F(x)G(t)的方程，如果能将其分离为F(x)/G(t)=h(u)=h(x)+k(t)的形式，那么可以通过分别对方程两边进行积分来求得解。

微分方程常用解法总结微分方程常用解法总结2010年02月14日星期日14：47最近有点懒，有点颓废。

所以今天想写点什么了。

断断续续算是学完了微分方程，就来简单总结一下吧。

1、一阶微分方程可分离变量和齐次微分方程是最简单的微分方程了，而dy/dx=f[(a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2)]形式的方程则可以通过坐标平移x=x+h，y=y+k化为齐次方程，dy/dx=f(ax+by+c)形式的方程可以通过u=ax+by+c变为可分离变量的方程。

一阶线性方程dy/dx+P(x)y=Q(x)通常通过"常数变易法"或者直接代入公式求其通解。

但一般来说，通过简单的"凑微分"就可以求解。

考虑D[∫P(x)dx]=P(x)，且e∫P(x)dxP(x)=de∫P(x)dx方程两边同时乘上e∫P(x)dx得e∫P(x)dxdy/dx+de∫P(x)dxy=e∫P(x)dxQ(x)即d(e∫P(x)dxy)=e∫P(x)dxQ(x)两边同时对x求积分得e∫P(x)dxy=∫e∫P(x)dxQ(x)dx+c(不妨取每一个积分的常数项都为0即得y=e﹣∫P(x)dx∫e∫P(x)dxQ(x)dx+c]虽然上面说得很复杂，但上面的推导省去了硬背公式的麻烦，而且能运用于实际的运算。

如果每次运算都使用"常数变易法"，不仅步骤比凑微分长，而且回代后的求导过程也可能会出错。

贝努利方程一般是先化为一阶线性微分方程再求解。

2、二阶微分方程形如y``=f(x)，y``=f(x,y`)，y``=f(y,y`)的微分方程，都可以由教材上给出的方法求得通解。

由于方程都是可化为一阶方程求解，所以称以上三个方程为"可降阶二阶微分方程"。

二阶常系数线性微分方程(或者是更高阶的常系数线性微分方程)是最好求解的。

不仅仅是因为它们都公式可寻，而且因为它们的解法有很多，每一种解法都有其独到的美，包括以前所说过的"D算子法"。

二阶微分方程的解法二阶微分方程是一种重要的数学工具，使用普通方程难以描述的许多自然现象，可以通过二阶微分方程来描述。

二阶微分方程的解法一般通过分离变量、变量代换、常数变易法、常微分方程定理等多种方法来实现。

1.分离变量法对于形如 y''=f(x)y 的二阶微分方程，可以通过分离变量来解决。

首先将方程转化为 y''/y=f(x)，然后对两端同时积分，得到ln|y|=∫f(x)dx+C(常数)，则 y=Ae^（∫f(x)dx）或 y=Be^（-∫f(x)dx）。

2.变量代换法当二阶微分方程存在某种特殊的变量代换时，我们可以通过代换来解方程。

例如，对于 y''+p(x)y'+q(x)y=0 的方程，如果我们用y=e^(∫p(x)dx)v(x) 进行代换，则方程转化后的 v(x) 满足 v''+(q(x)-p'(x))v(x)=0,可以进一步使用其他的解法来求解。

3.常数变易法常数变易法主要适用于二阶齐次线性微分方程 y''+p(x)y'+q(x)y=0 的特殊情况。

在解此类方程时，我们常常按照 y=e^(mx) 代入方程，然后解出对应的特征方程。

如果特征方程的根是实数或共轭复数对，那么方程的通解可以表示为y=C1e^(αx)+C2e^(βx)，其中 C1，C2 是任意常数，α，β 是特征根；如果特征方程的根是重根，那么方程的通解可以表示为 y=(C1+C2x)e^(mx)。

4.常微分方程定理对于非齐次线性微分方程 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) 的解法，可以利用常微分方程定理（又称为Lagrange公式）来完成。

该定理指出，非齐次线性微分方程的特解可以表示为y*=u(x)y1+v(x)y2，其中 y1，y2分别为解齐次方程 y''+p(x)y'+q(x)y=0，u(x) 和 v(x) 是待定系数函数。

各种类型的微分方程及其相应解法专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。

一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dxdy=其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。

例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y2.齐次方程（1）)(x y f dx dy =（2） )(c by ax f dxdy++=（a ，b 均不等于0）例2求解微分方程.2222xyy dyy xy x dx -=+-解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫⎝⎛x y x y x y x y 令,x y u =则,dx dux u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--112212121u u u u ,x dxdu = 两边积分得,ln ln ln 21)2ln(23)1ln(C x u u u +=----整理得.)2(12/3Cx u u u =--所求微分方程的解为 .)2()(32x y Cy x y -=-3.一阶线性微分方程⎰+⎰⎰==+-])([),()()()(C dx e x Q e y x Q y x p dxdydx x p dx x p 其通解为 例3. x y dx dy x sin 2=+， ππ1)(=y ；解 将方程改写为 xxy x dx dy sin 2=+， 这里x x p 2)(=，xxx q sin )(=，故由求解公式得)sin (1sin 222⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=-xdx x C xdx e x x C e y dx x dx x 22sin cos xxx x x C +-=. 由初值条件ππ1)(=y ，得0=C .所以初值问题的解为 2cos sin x xx x y -=例 4.设非负函数()f x 具有一阶导数，且满足120()()()x f x f t dt t f t dt =+⎰⎰，求函数()f x ．解：设12()A t f t dt =⎰，则0()()xf x f t dt A =+⎰，两边对x 求导，得()()()x f x f x f x Ce '=⇒=，由已知(0)()xf A C A f x Ae =⇒=⇒=又 112224()()1t A t f t dt t Ae dt A e ==⇒=+⎰⎰，则 24()1xf x e e =+ 例5.设)()()(x g x f x F ⋅=，其中(),()f x g x 满足下列条件：)()(x g x f ='，()()g x f x '=，且()00f =，x e x g x f 2)()(=+．① 求)(x F 满足的一阶方程； ② 求)(x F 的表达式． 解：(1) 由 )()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+)(242x F e x-=,可见，)(x F 所满足的一阶微分方程为2()2()4(0)0xF x F x e F '⎧+=⎨=⎩． (2) 由通解公式有]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-22x x e Ce -=+．将0)0()0()0(==g f F 代入上式，得1-=C .于是22()x x F x e e -=-4.伯努利方程。

认识微分方程的各类类型与解法微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了变量之间的关系，是许多自然科学领域中理论和实际问题的数学描述工具。

微分方程的解法分为几个主要类型，包括一阶线性微分方程、一阶可分离变量微分方程、一阶齐次微分方程、二阶线性常系数齐次微分方程等。

本文将介绍这些类型的微分方程和相应的解法。

1. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程具有以下形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知的函数。

解这类微分方程的方法是通过乘积因子来将其转化为可积分的形式。

乘积因子是一个与y相关的因子，通过选择合适的乘积因子可以将方程变为可分离变量的形式。

2. 一阶可分离变量微分方程一阶可分离变量微分方程具有以下形式：dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是已知的函数。

这类微分方程可以通过分离变量的方式解决。

将方程两边同时乘以dy和dx的倒数，然后将包含y的项移到一个方程的一边，包含x的项移到另一个方程的一边。

然后分别对两个方程进行积分，得到y的函数和x的函数。

3. 一阶齐次微分方程一阶齐次微分方程具有以下形式：dy/dx = f(y/x)，其中f(y/x)是一个关于y/x的函数。

这类微分方程可以通过变量代换来求解。

令v=y/x，将原方程转化为关于v的常微分方程。

然后对v进行求导，将得到的结果带入常微分方程，最后对常微分方程进行求解，得到v的解，再通过v与y/x的关系求得y的解。

4. 二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程具有以下形式：d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = 0，其中p(x)和q(x)是已知的函数。

这类微分方程可以通过特征方程法来解决。

首先假设y=e^(rx)是方程的解，带入微分方程得到一个关于r的方程，解这个方程得到r的值。

然后根据r的值，得到y的通解。

除了以上介绍的几种类型外，还有许多其他类型的微分方程，如高阶线性微分方程、常系数齐次线性微分方程、变系数线性微分方程等。

各类微分方程的解法1.可分离变量的微分方程解法一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解2.齐次方程解法一般形式:dy/dx=φ(y/x)令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解3.一阶线性微分方程解法一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解4.可降阶的高阶微分方程解法①y(n)=f(x)型的微分方程y(n)=f(x)y(n-1)= ∫f(x)dx+C1y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1)即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2③y”=f(y,y’) 型的微分方程令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1) 即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C25.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=06.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式: y”+py’+qy=f(x)先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:①f(x)=P m(x)eλx型令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型令y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m(x)和R m(x)的m+1个系数附微分方程在物理学中的应用:⑴找准合适的研究对象⑵确定正确的数学模型⑶联列合理的微分方程⑷解出最佳的方程结果执笔：缪张华。

微分方程分类及解法微分方程是数学中重要的一类方程，广泛应用于自然科学、工程、社会科学等领域中的各种问题。

在掌握微分方程的基本概念和解法后，我们可以更好地理解实际问题中的潜在规律和机理。

本文将介绍微分方程的分类及解法。

一、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程是只有一个自变量的函数的微分方程，即只与时间、位置、速度等单一变量有关。

常微分方程按阶次可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。

一阶常微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$其中y是自变量x的函数，f(x,y)是给定的函数。

高阶常微分方程可表示为：$$F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0$$其中，y是自变量x的函数，n代表微分方程的阶数，y', y'' ,..., y^{(n)}分别表示y的一阶、二阶、n阶导数。

偏微分方程是包含多个自变量的函数的微分方程，通常是用来描述物理现象中的区域上的行为和变化。

偏微分方程按类型可分为椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程。

椭圆型偏微分方程形式为：$$A\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$该方程描述的是各方向的扩散速度都一样的过程，比如稳态情况下的热传导方程。

抛物型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是运动物体的一维热流方程、空气粘弹性和海浪向上传播等。

双曲型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是颤动或波动过程，比如振动问题或波动方程等。

第二节 可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.分布图示★ 可分离变量微分方程 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 齐次方程 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例 11★ 可化为齐次方程的微分方程★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题8-2内容要点一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程),(y x F dxdy =, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有)()(y g x f dxdy =. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.二、齐次方程：形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、可化为齐次方程的方程：对于形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy 的方程，先求出两条直线,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a的交点),(00y x ，然后作平移变换⎩⎨⎧-=-=00y y Y x x X 即 ⎩⎨⎧+=+=00y Y y x X x 这时，dXdY dx dy =，于是，原方程就化为齐次方程,2211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Y b X a Y b X a f dX dY例题选讲可分离变量的微分方程例1（E01）求微分方程xy dx dy 2=的通解.解 分离变量得xdx y dy 2=两端积分得⎰⎰=xdx y dy 212||ln C x y += 从而2112x C C xe e e y ⋅±=±=+,记,1C e C ±=则得到题设方程的通解 .2x Ce y =例2（E02）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=-设,01,012≠-≠-x y 分离变量得dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.例3 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f解 设,sin 2x y =则,21sin 212cos 2y x x -=-=.1sin 1sin cos sin tan 22222y y x x x x x -=-==所以原方程变为,121)(y y y y f -+-='即.112)(yy y f -+-=' 所以 =)(y f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y y 112dy 2y -=,)1ln(C y +-- 故 C x x x f +-+-=)]1ln([)(2).10(<<x例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:⎪⎩⎪⎨⎧=--==100|)20(0t T T k dt dT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得;20kdt T dT -=- 两边积分,201⎰⎰-=-kdt dT T 得1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)， 即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=).从而,20kt Ce T -+=再将条件(2)代入,得,8020100=-=C于是，所求规律为.8020kt e T -+=注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度按照牛顿冷却定律从原来的37℃开始下降，假设两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度T 随时间t 的变化规律。