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§2.3 2.4 2.5逻辑代数的基本公式和常用公式

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第2章 逻辑代数基础

第2章 逻辑代数基础
0-1率A· 1=1
A B
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
1、并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。 运用分配律 变并 相 和 包 量成 同 反 含 Y1 ABC A BC BC ( A A ) BC BC 的一 时 变 同 若 因项 ， 量 一 两 BC BC B(C C ) B 子， 则 ， 个 个 。并 这 而 因 乘 运用分配律 消两其子积 去项他的项 Y2 ABC AB AC ABC A( B C ) 互可因原中 ABC ABC A( BC BC) A 为以子变分 反合都量别 运用摩根定律
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么 所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规 则称为反演规则。例如：
Y AB CD E
Y A B C D E
A A B A 吸收率： A ( A B) A
A ( A B) A B A A B A B
证明： A A B ( A A)(A B)
分配率 A+BC=(A+B)(A+C)
1 ( A B)

互补率A+A=1

逻辑代数

逻辑代数
全部输入条件的所有组 合与输出的关系。 合与输出的关系
有0出 0 全1为 1
逻辑代数的基本运算
• 与的逻辑表达式
F＝A ●B 或者 F=A∧B 简写为：F＝AB 读作：F等于A与B AB=BA A●1=1●A A●0=0 A●A=A
逻辑代数的基本运算
与门逻辑符号
A B A B A B & Y Y Y
基本公式和常用公式
• 重点
摩根定理: 摩根定理 A＋B＝A⋅ B A＋A ⋅ B＝A+B A ⋅ B ＝A＋B A⋅ ( A +B)＝A⋅ B
A• B + A•C + B •C = A• B + A•C A• B + A•C + B •C • D = A• B + A•C
逻辑代数的基本定理
1. 代入定理： 任何一个含有某变量的等式， 任何一个含有某变量的等式，如果等式中所 有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式， 有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式， 变量的位置均代之以一个逻辑函数式 则此等式依然成立。 则此等式依然成立。
逻辑代数
主讲人： 主讲人：刘瑛
主要内容
1 2 3 4
逻辑代数的概念
逻辑代数的基本运算
基本公式及常用公式
基本定理
逻辑代数的概念
• 什么是逻辑代数 什么是逻辑代数?
– 又称为布尔代数或开关代数,是数学的一个分支，是 用数学方法研究逻辑的学科 .
逻辑代数的基本运算
• “与”运算（逻辑乘） 运算（逻辑乘）
• “非”运算
定义:某一事情的发生，取决于对另一事情的否定，这种 逻辑关系叫“非”逻辑。 例1:高压配电柜
+u K F

逻辑代数公式范文

逻辑代数公式范文

逻辑代数公式范文逻辑代数是研究命题、命题变量和它们之间的关系的数学分支。

它在计算机科学、电子工程等领域有着广泛的应用。

下面我将介绍一些逻辑代数的常用公式。

1.双否定律:¬(¬p)=p双重否定除去了两次否定的影响，一个命题的否定即为它本身。

2.同一律:p ∧ True = p命题与真值为真。

3.吸收律:p∨(p∧q)=p一个命题与它与另一个命题的合取再与第一个命题的析取等价。

4.排中律:p ∨ ¬p = True一个命题与它的否定的析取为真。

5.德·摩根定律:¬(p∧q)=¬p∨¬q¬(p∨q)=¬p∧¬q对合取和析取进行取反是等价的。

6.分配律:p∨(q∧r)=(p∨q)∧(p∨r)p∧(q∨r)=(p∧q)∨(p∧r)合取和析取对于另一个运算符是分配的。

7.交换律:p∧q=q∧pp∨q=q∨p合取和析取运算可以交换操作数的位置。

8.结合律:(p∧q)∧r=p∧(q∧r)(p∨q)∨r=p∨(q∨r)合取和析取运算可以在多个操作数之间进行结合。

9.否定的否定律:¬(¬p)=p一个命题的双重否定等价于它本身。

10.对偶原理:p≡q，当且仅当¬p≡¬q如果命题p和q具有相同的真值，那么它们的否定也具有相同的真值。

这些是逻辑代数中的一些常用公式。

它们为我们在分析命题和命题之间的关系时提供了便利，并帮助我们理解和运用逻辑代数的概念和原则。

2.3-2.5 逻辑代数的公式、定理、表示方法

2.3-2.5 逻辑代数的公式、定理、表示方法

0 1 2 3 4 5 6 7
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合 ① 在输入变量的任何取值下有一个最小 ③ 任意两个最小项的乘积为0。 ② 全体最小项和为1。 并成一项并消去一对因子。 项，而且仅有一个最小项的值为1。
二、最大项
在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之 和，而且这n个变量均以原变量或反变 量的形式在M中出现一次，则称M为该 组变量的最大项。
？
思考： 2 个。 n个变量的最小项有多少个？
n
三变量（A、B、C）最小项的编号表：
相 邻
A' B ' C ' A' B ' C A' BC ' A' BC AB' C ' AB' C ABC' ABC
相 邻
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
证明： A A' B ( A A' )( A B)
A B
两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一 项的因子，则此因子是多余的，可以消去。
(23) AB AB' A
当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B’ 两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且 可将B和B’消去。
(24) A( A B) A
小结： 掌握逻辑代数的基本公式和常用公式。
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外
一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成 立。
例如，已知 ( A B) A B (反演律)，若用B+C代替 等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即

数电 第2章 逻辑代数基础

数电 第2章 逻辑代数基础

“异或”运算的符号：

异或逻辑的真值表及其逻辑表达式：
A B 0 0 1 1 0 1 0 1
F 0 1 1 0
F A B AB AB
第2章 逻辑代数基础
A B A B A B
F F
异或门的逻辑符号
＋ 1
F
第2章 逻辑代数基础
“同或”逻辑与“异或”逻辑相反，它表示当两个输入 变量相同时输出为1；相异时输出为0。 “同或”运算的符号：⊙ “同或”逻辑的真值表及其逻辑表达式：
必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能改
变， 且式中的非号也保持不变。 前面逻辑代数基本定律和公式，都是成对出现，而且都 是互为对偶的对偶式。 例如，已知 A(B+C)=AB+AC
则有
A+BC=(A+B)(A+C)
第2章 逻辑代数基础
2.2.3 若干常用公式
1. 合并律
AB AB A
V1 A B
&
F
( c) 中国标准
V2
二极管与门
与门的逻辑符号
第2章 逻辑代数基础
2. 或运算(逻辑加)
逻辑关系：？
或逻辑运算真值表:
A B E F
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
F 0 1 1 1
或逻辑实例
或逻辑可以用逻辑表达式表示：
F=A＋B
第2章 逻辑代数基础
实现或逻辑的单元电路称为“或门”，其逻辑符号如左下 图所示，其中图 (a)为国际流行符号，图 (b)为 IEEE标准符号，
的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
A B C A B C A B C
第2章 逻辑代数基础

逻辑代数基础

逻辑代数基础

式中符号“⊙”表示同或运算。
表2-12 同或逻辑的真值表
图2-8 同或逻辑的逻辑符号
2020/6/27 “相同为1，相异为0”
A BY 0 01 0 10 1 00 1 11
13
复习与思考
▪ 请举出现实生活中与、或、非的事例？ ▪ 两个变量的异或运算和同或运算之间是什么关系？
2020/6/27
14
串联开关电路功能表
表1-6 与逻辑的真值表
开关A 开关B 灯Y
A BY
断开 断开 灭
0 00
断开 闭合 闭合 2020/6/27
闭合 断开 闭合
灭 A、B全1， 0 1 0
灭 Y才为1。 1 0 0
亮
1 1 12
逻辑表达式： Y＝A ·B＝AB 符号“·”读作“与”（或读作“逻辑乘”）； 在不致引起混淆的前提下，“·”常被省略。
2.2 逻辑代数中的三种基本运算
逻辑：一定的因果关系。 逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法， 是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数 学家乔治·布尔(George Boole)于1847年提出的,所以又 称为布尔代数。 逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不同 于普通代数。 相同点：都用字母A、B、C……表示变量； 2“逻0真20/6辑1和/2”7，变不假“且量同、0”无。点高和大：电“小逻位1”、辑和表正代低示负数电两之变位种分量、不。的有同逻取和的辑值无逻代范、辑数围开状中仅和态的为关：变“等是量0等”和称和。为非1、
符号“ ’ ” 或“—”读作“ 非 ” 。
实现非逻辑的电路称作非门，非逻辑和非门 的逻辑符号如图1-3(b)所示。
逻辑符号中用小圆圈“ 。”表示非运算，符号 中的“1”表示缓冲。

逻辑函数的基本运算与定律


与逻辑和与运算
♦ “所有前提皆为真，结论才为真”，这种逻辑关系称为与逻
辑; ♦与逻辑表明只有当所有前提条件均具备时，结论命题才为真;
电路实例
2016/9/23
状态表
开关A开关B 灯L
断断灭 断通灭 通断灭 通通亮
真值表
AB
L=A*B
00
0
0
1
0
1
0
0
与门符号
7
2.1基本逻辑运算-与逻辑和与运算
>
L = A^B
证明：
__ __ __ __ __ __
A + AB = A + B
A + AB = (A + A)・(A + B) =1 ・(A + B) =A + B
2.5逻辑代数的常用公式一消冗余项公式
__ __
> 2.5.3消冗余项公式
AB + AC + BC = AB + AC
证明： AB + AC + BC = AB + AC + (A + A) BC
2016/9/23
5
2.1基本逻辑运算-非逻辑和非运算
> L = f （刀）=A ♦ 字母A上方的短划线“一”表示非运算，符号读作“A非”； ♦ 非逻辑公理
0=1 1=0
♦ 非运算规则
A=A
♦ 表明非运算具有“否定之否定等于肯定”的双重否定律；
2016/9/23
6
2.1基本逻辑运算-与逻辑和与运算
11
2.1基本逻辑运算一逻辑运算的完备集
逻辑运算的优先级和逻辑运算的完备集
♦三种基本逻辑运算如在逻辑运算式中同时出现时，其优先顺序

逻辑代数的基本公式和常用公式

逻辑代数的基本公式和常用公式一．基本定义与运算代数是以字母代替数,称因变量为自变量的函数,函数有定义域和值域。

——这些都是大家耳熟能详的概念。

如或；当自变量的取值（定义域）只有0和1（非0即1）函数的取值也只有0和1（非0即1）两个数——这种代数就是逻辑代数，这种变量就是逻辑变量，这种函数就是逻辑函数。

逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治布尔（George Boole）于1849年创立的。

在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然没有物理意义，也没有现实意义。

在其诞生100多年后才发现其应用和价值。

其规定：1．所有可能出现的数只有0和1两个。

2．基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。

与运算（逻辑与、逻辑乘）定义为（为与运算符，后用代替）00＝0 01＝0 10＝0 11＝1 或00＝0 01＝0 10＝0 11＝1或运算（逻辑或、逻辑加）定义为（为或运算符，后用＋代替）00＝0 01＝1 10＝1 11＝1 或0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝1非运算（取反）定义为：至此布尔代数宣告诞生。

二、基本公式如果用字母来代替数（字母的取值非0即1），根据布尔定义的三种基本运算，我们马上可推出下列基本公式：A A＝A A+A=AA0＝0 A+0=AA1＝A A+1=1=+=上述公式的证明可用穷举法。

如果对字母变量所有可能的取值，等式两边始终相等，该公式即告成立。

现以=+为例进行证明。

对A、B两个逻辑变量，其所有可能的取值为00、01、10、11四种（不可能有第五种情况）列表如下：由此可知：=+成立。

用上述方法读者很容易证明：三、常用公式1．左边＝＝右边2．左边＝＝右边例题：将下列函数化为最简与或表达式。

（公式1：）= (公式2：)（）练习题：3．异或运算和同或运算（放到最小项卡诺图中讲）四、逻辑函数1．定义：如果有若干个逻辑变量（如A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L。

数字逻辑与数字系统 逻辑代数基础

与门被禁止 与门被使能
4. 逻辑门的使能和禁止特性
14
逻 辑 门 的 使 能 和 禁 止 特 性
4. 逻辑门的使能和禁止特性
1）与门
与门被禁止
与门被使能
与门的使能与禁止运算真值表 A 0 B 0 Y=AB 0
0
1 1
1
0 1
0
0 1
Y=0 禁止 Y=B 使能
15
逻 辑 门 的 使 能 和 禁 止 特 性
异或、同或运算真值表(异或与同或互为取非运算) A
0
B
0
F=AB
0
F=AB +A B
0
F=A ⊙ B
1
F=A B +AB
1
0
1 1
1
0 1
1
1 0
1
1 0
0
0 1
0
0 1
IEEE/ANSI符号
异或门 XOR 同或门 XNOR
A B A B =1 F
国际符号
F
惯用符号
A B
A B F
A B
A B
A B
A B
=1 F
=
F
F
=
F
⊙
F
12
正 逻 辑 和 负 逻 辑
正逻辑和负逻辑
通常规定：
高电平代表1，低电平代表0，是正逻辑(高电平有效) 高电平代表0，低电平代表1，是负逻辑(低电平有效) 本书中如无特殊声明，均指正逻辑。 对同一个逻辑电路，从正逻辑和负逻辑的角度分析，其表达的逻辑 关系是不一样的。 例如一个逻辑电路在正逻辑分析时是一个与门电路，而使用负 逻辑分析时则成为一个或门电路。 负逻辑门的逻辑符号和正逻辑门的逻辑符号画法一样，但要在输入 端和输出端分别加上一个小圆圈，以便区别于正逻辑门。

逻辑代数基础


2、不属于单个变量上的反号应保留不变。
Y A( B C ) CD
Y ( A BC)(C D) Y (( AB C ) D) C
Y (((A B)C)D) C
三、 对偶定理
对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可得Y的 对偶式YD, YD称为Y的对偶式。 对偶变换： “﹒”→“﹢” 对偶定理：如果两个逻辑式相等， 则它们的对偶式也相等。
1 1
C
0
1
1 0
1 0
1 1 t 1 0 1 1
0
1 0 1
Y
1
0
1
三、逻辑函数的两种标准形式 最小项: 在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘 积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在 m 中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该 组变量的最小项。 3个变量A、B、C可组成 8(23)个最小项：
“﹢”→“﹒”
“0” → “1”
“1” →“0”
利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公 式数目减少一半。
Y A( B C )
Y A B C
D
Y ( AB CD)
Y (( A B) (C D))
D
（2）式 （12）式
1 A A
0 A A
A( B C ) AB AC
§2.2
逻辑代数中的三种基本运算
一、与逻辑（与运算） 与逻辑：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，
B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达
式为： Ｙ＝ＡＢＣ…
例：开关A，B串联控制灯泡Y
A A A A E E E E
电路图
BB B B YY Y Y
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A BC 与A BC A′BC ′ + A′BC = A′B(C ′ + C ) = A′B
Hale Waihona Puke 2. 逻辑函数最小项之和的形式：
利用公式 A + A′ = 1 可将任何一个函数化为
∑ mi
• 例：
Y ( A, B , C ) = ABC ′ + BC = ABC ′ + BC ( A + A′) = ABC ′ + ABC + A′BC =
一. 代入定理 在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另 外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依 然成立。
二. 反演定理 对任一逻辑式，可通过以下方式求其反 函数
• ⇒ +，+ ⇒ •，0 ⇒ 1，1 ⇒ 0， 原变量 ⇒ 反变量 反变量 ⇒ 原变量
三. 对偶定理 若两逻辑式相等，则他们的对偶式也相等 F(A,B ′,0,1, ·,+) 的对偶式为 FD = F(A,B ′,1,0, +,·) 即： 若F=H, 则FD=HD
§2.5 逻辑函数及其表示方法
一.逻辑函数 逻辑函数=F(A,B,C,基本运算，复合运算，······) 若以逻辑变量为输入，运算结果为输出， 则输入变量值确定以后，输出的取值也随之 而定。输入/输出之间是一种函数关系。
二.逻辑函数的表示方法 • 逻辑式 • 逻辑图 • 波形图 • 卡诺图 • 真值表 • 计算机软件中的描述方式
∑ m(3,6,7)
3. 最大项M
1）定义 M是相加项，包含n个因子，n个变量均以原变量或反 变量的形式在M中仅出现一次。 如：两变量A, B的最大项
A′ + B′, A′ + B , A + B′, A + B （ 2 = 4个） 2
2） 最大项的性质
ⅰ) 在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项
编号 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
3） 最小项的性质
• 在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的 值为1。 • 全体最小项之和为1 。 • 任何两个最小项之积为0 。 • 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子， 只留下公共因子。 ------相邻：仅一个变量不同的最小项 如 ′ ′ ′
取值 对应 A B C 十进制数 1 1 1 7 1 1 0 6 1 0 1 5 1 0 0 4 0 1 1 3 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0
编号 M7 M6 M5 M4 M3 M2 M1 M0
§2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
一.基本公式 1.变量和常数
A+0=A A·1=A A+1=1 A·0=0
2.互补定律 A+A′=1 3.交换律
A+B=B+A
A·A′=0
A·B=B·A
4.结合律 （A+B)+C=A+(B+C)
(A·B) ·C=A·(B·C
5.分配律 A ·(B+C)=A ·B+A ·C A+B ·C=(A+B) ·(A+C) 6. 同一律 A+A=A A ·A=A 7.反演律（摩根定理） (A+B) ′=A′ ·B′ (A ·B) ′=A′+B′ 8.非非律 （A′）′=A
的值为0；
ⅱ)全体最大项之积为0； ⅲ)任何两个最大项之和为1； ⅳ)只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各
相同变量之和；
ⅴ)最小项之非为最大项。
3） 最大项的编号：
最大项
A′ + B ′ + C ′ A′ + B ′ + C A′ + B + C ′ A′ + B + C A + B′ + C ′ A + B′ + C A + B + C′ A+ B+C
1.最小项 m： 1 1）定义： n个变量的最小项是n个因子与项, n n , 每个变量以原变量或反变量的形式在与项 中仅出现一次。
2) 最小项的真值表
最小项
A′B′C ′ A′B′C A′BC ′ A′BC AB′C ′ AB′C ABC ′ ABC
取值 对应 A B C 十进制数 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7
三.各种表现形式的相互转换 1.真值表 逻辑式 1)逻辑式→真值表 2)真值表→逻辑式 1. 找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。 2. 每组输入变量取值对应一个乘积项，其中输入变量取 值为1的写原变量，输入变量取值为0的写反变量。 3. 将这些乘积项相加即得 Y 2.逻辑式 逻辑图
四. 逻辑函数的两种标准形式
二.常用公式
1.吸收律 1） A · B +A · B′=A 2） A+A · B=A 3 3） A+A′· B=A+B 2. 包含律 AB+A′C+BC= AB+A′C 3.其它 1） A ( A + B) = A 2）A (AB) ′ = A B′ ; A′ (AB) ′ = A′
§2.4 逻辑代数的基本定理