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椭圆的几何性质的应用ppt

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椭圆的简单几何性质ppt课件

椭圆的简单几何性质ppt课件

由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)

椭圆的几何性质ppt课件

椭圆的几何性质ppt课件

的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：

椭圆ppt课件

椭圆ppt课件

02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例

椭圆的简单几何性质ppt课件

椭圆的简单几何性质ppt课件
探究 离心率对椭圆形状的影响
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e

1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,

消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1

2
a
b
2
2
x
y
2 2 1

b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0

2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭

椭圆的几何性质 课件(52张)

椭圆的几何性质 课件(52张)
c 的等量关系．
[解] 设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为 F1(－c， 0)，F2(c，0)．
依题意设 A 点坐标为－c，ba2， 则 B 点坐标为－c，－ba2， ∴|AB|＝2ab2．
由△ABF2 是正三角形得 2c＝ 23×2ab2， 即 3b2＝2ac． 又∵b2＝a2－c2，∴ 3a2－ 3c2－2ac＝0， 两边同除以 a2 得 3×ac2＋2×ac－ 3＝0， 解得 e＝ac＝ 33．
心率 e＝ac＝35，两个焦点分别是 F1(－3，0)和 F2(3，0)，椭圆的四个 顶点是 A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和 B2(0，4)．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准 形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2＝ b2＋c2 求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
NO.3 当堂达标·夯基础
1．椭圆x92＋1y62 ＝1 的离心率(
)
A．
7 4
B．196
C．13
A [a2＝16，b2＝9，c2＝7，
设 A 点坐标为(0，y0)(y0＞0)， 则 B 点坐标为－2c，y20， ∵B 点在椭圆上，∴4ca22＋4yb202＝1，
解得 y20＝4b2－ba2c22， 由△AF1F2 为正三角形得 4b2－ba2c22＝3c2， 即 c4－8a2c2＋4a4＝0， 两边同除以 a4 得 e4－8e2＋4＝0， 解得 e＝ 3－1．
∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠PF2B＝60°．∵|OF2|＝c，∴ 点 P 的坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点 P(2c， 3c)．∵点 P

《椭圆的几何性质》课件

《椭圆的几何性质》课件

椭圆的焦点性质
1 焦距定理
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。
2 焦点到直线的距离
椭圆上任意一点到直线的距离与其与两个焦点的距离相等。
3 焦点到任一点距离之和
焦点到椭圆上任意一点距离之和等于长轴的长度。
椭圆的切线
1
切点和法线垂直于切线。
2
切线的斜率和方程
总结
1 椭圆的定义及特点
椭圆是由两个焦点和常距 离点的连线构成的几何形 态。
2 椭圆的焦点、切线和
双曲线性质
椭圆具有焦点性质，切线 和双曲线也与椭圆有所关 联。
3 椭圆的应用和意义
椭圆在工程、艺术和日常 生活中扮演着重要的角色， 具有广泛的应用和意义。
切线的斜率可以通过椭圆的参数表示，方程可以通过切点和斜率求得。
3
切线和弦的交点和中垂线
切线和椭圆上任意一条弦的交点在椭圆的中垂线上。
椭圆的双曲线性质
椭圆与双曲线的区别
椭圆的焦点在内部，离心率小 于1；双曲线的焦点在外部，离 心率大于1。
双曲线的基本形态
双曲线具有两个分离的曲线臂， 曲线臂的形状类似于打开的喇 叭。
双曲线的焦点和离心 率
双曲线也有焦点和离心率的概 念，但与椭圆略有不同。
椭圆的应用
椭圆在工程中的应用
椭圆在艺术中的运用
椭圆形状可以应用于桥梁设计， 提供更好的结构支持和负载分散。
椭圆形状在艺术作品中常用于创 造平衡、和谐和美感的效果。
椭圆在日常生活中的例子
行星轨道、椭圆形家具等都是椭 圆在日常生活中的例子。
《椭圆的几何性质》PPT 课件
欢迎来到《椭圆的几何性质》PPT课件！在本课程中，我们将深入研究椭圆的 几何性质，涵盖定义、基本形态、焦点性质、切线、双曲线性质、应用等内 容。让我们一起开始这个精彩的学习之旅吧。

椭圆的简单几何性质及应用课件

椭圆的简单几何性质及应用课件

所以 k 的取值范围为－∞，椭－圆2的2∪简单 2几2，何＋性∞.
质及应用
解答
跟踪训练
y
解：设与l平行的直线m：4x-5y+k=0
与椭圆相切，
4x-5y＋k＝0， 由
9x2＋25y2＝225，
O
x
得25x2＋8kx＋k2-225＝0，
令Δ＝64k2－4×25(k2-225)=0，
解得：k=25或k=-25，
11．设
F1，F2
分别是椭圆
E ：x 2＋ y2＝1(0＜ b＜1)的左 、右焦 点，过点 b2
F1
的直线交椭圆
E
于 A，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________________.
椭圆的简单几何性 质及应用
本课结束
椭圆的简单几何性 质及应用
椭圆的简单几何性质及应用
16
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
椭圆的简单几何性质及应用
17
另解1：
设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 又∵A、B在椭圆上，∴x12＋4y12＝16，x22＋4y22＝16.
两式相减，得(x12－x22)＋4(y12－y22)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
显然当k=25时，m与l的距离最小，
椭圆的简单几何性质及应用
9
知识点三 弦长公式
如何求圆的弦长？
几何性质 y
O
x
如何求椭圆的弦长？
y
y=kx+m
A(x1, y1)
y=kx+m，

椭圆的简单几何性质：课件一(15张PPT).ppt

椭圆的简单几何性质：课件一(15张PPT).ppt
是长轴顶点， 是短轴顶点 解:(1)P是长轴顶点，Q是短轴顶点 是长轴顶点 轴上． 故a=3，b=2，焦点在 轴上． ， ，焦点在x轴上 x2 y2 即椭圆的方程为 + =1 9 4 (2)a=10，离心率 ／a=0.6 离心率c／
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
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5、若椭圆的一个焦点与长轴的两个端点的距离
之比为2：3，则椭圆的离心率为（ D ）
( A) 2 ( B) 1 (C ) 3 ( D) 1
3
3
3
5
6、椭圆的焦点与长轴较近端点的距为 10 5 ， 焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求椭圆的标准 方程 。
x2 y2 1或 x2 y2 1
10 5
则有：| PF1 | | PF2 | 2a
| PF2 | 2a | PF1 | 7.
，
P
y
l
则由 | PF2 | e得 7 3 . | PM | | PM | 5
M
F1 o F2
x
| PM | 35 .
3
同步练习( 一)
1、椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两
顶点分别是（4，0）和（0，2），则此椭圆的方
72 81
.
提示：∵2a=18,2c= 1 ×2a=6 3
∴a=9,c=3,b2=81-9=72
. 2c. 2a
例题讲授
例4：如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨
道,是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆.已知 它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地
点B(离地面最远的点)距地面2384km,并且F2、A、 B在同一直线上,地球半径约为6371km.求卫星运行
复习：椭圆的几何性质
1、范围： -a≤x≤ a ， -b≤y≤ b .
2、顶点: (a,0),(a,0),(0, b),(0,b)
3、对称性：椭圆既是 轴 对称图形， 也是 中心 对称图形.
4、离心率:e=
c
A1
a ( 0<e<1)
F1
y
B2
M
b o
a A2 c F2 x
5、a、b、c的关系 a2 b2
程是（C）
x2 A.
y2
1或
x2
y2
1
x2 y2 B. 1
4 16
16 4
4 16
x2 y2 C. 1
D. x2 y2 1
16 4
16 20
2、方程
x2 ka2
y2 kb2
1(a b 0, k
0且k
1)
，
与
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)方程表示的椭圆（D）
A、有等长的短轴、长轴 B、有共同的焦点
5 10
想一想：
例4中说明这个卫星运行的近地点、 远地点及轨道焦点在同一直线上，所有的卫 星的近地点、远地点、焦点都这样吗？ 为什么？
1、已知地球运行的轨道是长半轴长 a=1.50×108km,离心率e=0.0192 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦 点上，求地球到太阳的最大和最小距离。
y
o
F1
F2
x
小结
1、、利用椭圆的曲线特征、几何性质 求椭圆的标准方程；
2、掌握待定系数法求椭圆的标准方程。
3、介绍了椭圆在航天领域应用的例子。
a c | OB | | OF2 || F2B |
=6371+2384=8755。
解得 a 7782.5, c 972.5
b a2 c2 (a c)(a c) y
8755 6810
7722.
卫星的轨道方程是
x2 77832
y2 77222
1
B
F1
0
c
FF2 2
a
a
Ax
同步练习（二）
C、有公共的准线
D、有相同的离心率
同步练习( 一)
3、中心在原点，坐标轴为对称轴的椭
圆，若短轴长为6，且过点(1,4)，则其
标准方程是
x2 y2 1 9 18
.
4、中心在原点,焦点在坐标轴上,若长轴长为18, 且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程
x2 y2 1或 x2 y2 1
是 81 72
解：因为椭圆的长轴长是6，cos3OFA 2
3
y
点A不是长轴的端点（是短轴的端点）。
| OF | c,| AF | a 3. F
c 2. 33
o
A x
c 2, b2 32 22 5.
故椭圆的方程是 x2 y2 1或 x2 y2 1
95
59
另一个重要的结论
特征三角形角的余弦值
y
的轨道方程(精确到1km).
解：如图,建立直角坐标系，使
y
点A、B、F2在x轴上,F2为椭
圆的右焦点(记F1为左焦点). 所以因设为它椭的圆标的准焦方点程在为x轴上,B
F1
0
c
FF2 2
a
a
Ax
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
则 a c | OA | | OF2 || F2 A |
=6371+439=6810，
△OFA是椭圆的特征三角形，
它的两直角边长分别为b、c， F a
斜边的长为a， OFA的
余弦值是椭圆的离心率。cob A Nhomakorabeax
例题讲授
例3：已知椭圆
x2 25
y2 16
1
上一点P到
左焦点的距离是3，求 P 到右准线的距离。
解：根据题意得: a 5,b 4c 3
过 左点 、右P作焦右点准分线别的为垂F线1 ,，F2垂，足为M，
X
B
x2 y2 1 16 4
一个重要的结论
焦点三角形的周长
y
A
过椭圆的一个焦点的直线
与椭圆交于AB两点，F2为
椭圆的另一个焦点，则 △ABF2的周长为: C ＝ 4a
F1 O F2 B
x
例题讲授
例2：已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原 点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长
轴长是6，且cos OFA 2 ，求椭圆的方程。
6、准线方程：x=
a2
c2.
x2 a2
y2 b2
B1
1a b 0
c.
例题讲授
例1、已知F1、F2为椭圆
x2
a2
y2 b2
1 △aA焦F点1bB的 0
的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若周△长A为4Fa1B
的周长为16，椭圆的离心率e= 3 ，求椭圆
的标准方程。
2
Y A
F1.
F2.
O