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(0,0)点对称； 椭圆关于
Q(-x,y)
y
P(x,y)
o
N(-x,-y) M(x,-y)
x
坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心
椭圆的对称中心叫椭圆的 中心
练一练
下列方程所表示的曲线 中，关于原点对称的是 （ D）
A. x 2 y
2
B. y 4 x 0
2
C. x 2 4 y 2 5 x
课堂总结：
1 这节课我们学习了哪些内容？ y
B2(0,b)
A1 (-a, 0)
Ｏ
A2 (a, 0)
x
B1(0,-b)
一个框，四个点， 注意光滑和圆扁, 莫忘对称要体现．
2 这节课我们用到了哪些思想方法？
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数无形时少直观, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离. ——华罗庚
D. 9 x 2 y 2 4
探究新知：
3.顶点与长短轴
椭圆和它的对称轴的 四个交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为： A1(－a，0)、A2(a，0)、
B1(0，－b)、B2(0，b)
x y 2 1 (a b 0) 2 a b
y
A1(-a, 0)
2
2
B2(0,b) A2 (a, 0)
关于原点成中心对称
(c,0)、 (c,0)
e c (0 e 1) a
(0,c)、 (0, c)
c e (0 e 1) a
学以致用
例1 求椭圆 16x 25y 400 的长轴和短轴的长、
2 2
离心率、焦点和顶点坐 标。
你能画出这个椭圆的草 图吗？
练一练已知椭圆方程为x 2
y
图形
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 离心率
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a y
o
o
x
x
a ≤ x ≤ a , b ≤ y ≤ b a ≤ y≤ a , b≤ x ≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称 关于x轴、y轴成轴对称；
(a,0)、 (a,0)、 (0,b)、 (0, b) (0,a)、 (0, a)、 (b,0)、 (b,0)
c e a
越小，椭圆越圆吗?
练一练
比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?
x y x y (1) + =1与 1； 9 5 16 12 2 2 2 x y 2 y （2）x + =1与 1。 2 6 10
2222来自归纳新知：标准方程 图形 范围 对称性
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
o
B1(0,-b)
x
回顾： 焦点坐标(±c，0)
长轴：线段A1A2；
长轴长 |A1A2|=2a 短轴：线段B1B2； 短轴长 |B1B2|=2b 焦 距 |F1F2| =2c
注意
B2(0,b) A1 (-a, 0)
b
y
a
1 a和b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长；
2
F1 a
o
c
A2 (a, 0) F2
2.2.2 椭圆的简单几何性质
复习回顾：
已知点P到两个定点 F1 (3,0), F2 (3,0)的距 离之和等于 10 ，求点P的轨迹方程
x y 1 25 16
2
2
探究新知： 简单的几何性质 ≤ y ≤ ≤ x b , a a 1.范围： 2 从图像上观察： 2
利用方程推导：
猜想： 离心率越大，椭圆越扁 证明： 离心率越小，椭圆越圆
1 范围 0<e<1 2 当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重 合，图形变为圆．
c 0.65 a
c 0.15 a
b 合作探究1： a 的大小能刻画椭圆的扁平 程度吗？为什么？
思考与探究
合作探究2：你能用三角函数的知识解释， c 为什么 e a 越大，椭圆越扁？
y
o
x
,
a
≤
x≤ a
b≤ y ≤ b
关于x轴、y轴对称 关于原点对称
顶点坐标
焦点坐标 离心率
x
(a,0)、 (a,0)、 (0,b)、 (0, b)
(c,0)、 (c,0)
e c (0 e 1) a
归纳新知：
焦点在ｙ轴上的椭圆的几何性质又如何呢？
标准方程
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
x
B1(0,-b)
焦点必在长轴上；
练一练
口答下列椭圆的顶点坐 标及长轴和短轴长。 x2 y 2 1 9 4
顶点是： (3,0)、 (3,0)、 (0,2)、 (0,2) 长轴长是6，短轴长是4.
探究新知：
4.离心率：
观察：
c 0.85 a
椭圆的焦距与长轴长的比e
c 叫做椭圆的离心率. a
它的长轴长是：
短轴长是：
2 6
y 1 则 6
;
;
2
2
2 5
30 6
(0,－ 5)
焦距是：
离心率等于： 焦点坐标是：
;
;
＿＿＿;
(0, 5)
(1, 0)(－ 1, 0) ; 顶点坐标是：(0, 6) (0,－ 6) ＿＿＿＿＿＿＿
外切矩形的面积等于：
4 6
。
当堂监测：
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点 P(5,0),Q(0,4);
椭圆
椭圆落在直线 x a, yy b组成的矩形中。
B2 A1
a≤ x ≤ a
,
b≤ y
a
y x 2 ≤1得： 2 ≤1, b a
≤
≤
b
b
b
b
F1
a
o
B1
c
b
A2
F2
a
x
练一练
讨论下列椭圆的范围 （ 1 ）4 x y 16
2 2
(2) 9 x 4 y 36
2 2
探究新知：
2.对称性
从图像上看：
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
y
o
x
探究新知：
2.对称性
-X x 换成 -x ， -Y 在方程中，把 Y
从方程上证： X
x2 y2 2 1( a b 0) 2 a b
方程不变，说明： 椭圆关于 Y 轴对称； 椭圆关于 x 轴对称；
2 (2)焦点在 y 轴上，长轴长是 6，离心率是 ； 3 (3)在 x 轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连 线互相垂直，且焦距为 6.
练习
练一练
3 已知椭圆的长轴长是 20 ，离心率是 ， 5 解：由题意得 : 求该椭圆的标准方程。
2a 20 a 10 c 3 e c 6 a 5 b 2 a 2 c 2 102 6 2 8 2 b 8 x2 y2 1 当焦点在 x 轴时，椭圆的标准方程是 100 64 2 2 y x 当焦点在 y 轴时，椭圆的标准方程是 1 100 64
