受力图、汇交力系例题共30页

C
Y P TBD cos cos TBC cos cos 0
Z RA TBD sin TBC sin 0
联立解得
TBC 735 N
TBD 1094 N
RA 1500 N
p.4
例题
例题
例4.已知四根绳索AB、BC、BD、DE相互联接如图所示， DB保持水平，DE和BC分别与水平和铅垂线的夹角均
A
45o
0.8m
CB
0.4m
y
SC
A
45o C
RA
B x
E
P
EB BC 0.4m tg EB 0.4 1
AB 1.2 3 (2) 列出平衡方程；
X 0, RA cos Sc cos 45 0
Y 0,RA sin Sc sin 45 P 0
(3) 求未知力；
P
2
Sc sin 45 cos45tg
C EA
D
B -
y TDB D + x
y
TBE
TBC
B
TBD
x
P
TDA
P
SAB
解: (1) 研究D点，画受力图；
(2) 列出平衡方程并求解；
X 0,TDB cos( ) TDA cos( ) 0
Y 0,TDB sin( ) TDA sin( ) P 0
TDB
NA
O
O’与 O为矩形OAO’B的两个顶点，
O’ B
力的作用线既通过O’点也通过O点。
NB
由几何关系得
P A
90 2
NA
O
OA Lsin
p.6
例题
例题
例6. 铰接四连杆机构CABD的CD边固定。在铰链A上作用一 力Q，BAQ=45。在铰链B上作用一力R，ABR=30，

66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
受力图、汇交力系例题
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯

= 64.5 mm
另一种解法：负面积法
将截面看成是从 200mm×150mm 的 矩形中挖去图中的小矩形（虚线部 分）而得到，从而
A1 = 200×150mm2 = 30000 mm2
2020/8/20
17
x1= 75 mm, y1= 100 mm A2= -180×130 = -23400 mm2 x2= 85 mm, y2= 110 mm
知识点
能力层次
1 力的平移定理
理解
2 平面任意力系的简化
理解
3 力系的主矢与主矩
理解
4 固定端约束
应用
5 平面任意力系的平衡条件、平衡方程形式 理解、应用
6 刚体系的平衡
掌握
7 超静定的概念
向一点简化 平面任意力系
合成 平面汇交力系
合成 平面力偶系
识记
FR （主矢）
MO （主矩）
2020/8/20
平面任意力系平衡条件：FR 0 MO 0 超静定：系统中未知力数目﹥独立的平衡方程数目。
刚体系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系
统可列3n个方程（设物系中有n个物体）
第6章 重 心
知识点 1 重力、重心的概念 2 重心计算方法
确定重心和形心位置的具体方法： (1) 积分法； (2) 组合法； (3) 悬挂法； (4) 称重法。
解：以梁AB 为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平
衡方程
Fx 0 :
FAx 0
Fy 0 :
FAy q 2l F 0
MA(F) 0 : MA q 2l l M F 2l 0
解得： FAx 0
FAy ql

2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:

理论力学 Theoretical Mechanics
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。 与重物为研究对象，受力分析如图。 其侧视图为
z E C F
30o
D
F2
B
z E F
30o
F1
B
F1
α
FA
A
x
G
y
α
FA
A
G
y
理论力学 Theoretical Mechanics
z E F
30o
2
理论力学 Theoretical Mechanics
因为α很小，所以可取
tgα ≈ α
G 800 N = 80kN F TBA = G ctg α = 2 = 2 tg α 0.1
2
显然，拔力为
F
' TBA
= F TBA = 80kN
江苏工业学院机械系力学教研室
理论力学 Theoretical Mechanics
（4）由几何关系得： O =EA= 24 cm 由几何关系得： E
A
P
A
P
α
24
D E tgϕ = = 0.25 O E
C O B D
(a)
O
α ϕ
B
FB
E
6
ϕ = arctg0.25 =14°2'
FD
D
(b)
由力三角形可得： 由力三角形可得： = sin(180°−α−ϕ) P F B
sinϕ
P
J
解得
Fcosθ ⋅ yB −Fsinθ ⋅ xB FD = C l
江苏工业学院机械系力学教研室
理论力学 Theoretical Mechanics

同理： FRy F1y F2 y F3y Fy
§1 汇交力系的合成
5、汇交力系合成的解析法
应用合力投影定理求出力系合力的投影后，可用下式 求出合力的大小和方向： 合力的大小：
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向余弦：
汇交力系的合成 几何法(矢量法) 解析法(投影法)
汇交力系的平衡条件 几何法(矢量法) 解析法(投影法)
§1 汇交力系的合成
一、力的可传性
F
公理三：加减平衡力系原理 在刚体上增加或减去
一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应
F’ F”
F A
B
F
A
B
若{P1, P2 ,L , Pm} {0} 则 {F1, F2, , Fn}
例2-3：圆柱重G=500N，搁在光滑墙面与夹板间， 板与墙面夹角为60°，用解析法求：圆柱给墙面和 夹板的压力。
解：1.以圆柱为研究对象，画受力图；
FA
O
G
FB
O
AG
60° B
例2-3：圆柱重G=500N，搁在光滑墙面与夹板间，
板与墙面夹角为60°，用解析法求：圆柱给墙面和
夹板的压力。
解：1.以圆柱为研究对象，画受力图：
Fx + Fy = F
| F | = (Fx)2 + (Fy)2 x
= (Fx)2 + (Fy)2
α = atan (Fy /Fx)
§1 汇交力系的合成
三、汇交力系合成的解析法(投影法)
可见： 力F在垂直坐标轴上的投影分量与沿轴分解的分 力大小相等；力F在相互不垂直的轴上的投影分 量与沿轴分解的分力大小是不相等的。 力在任一轴上的投影大小都不大于力的大小；而 分力的大小却不一定都小于合力大小。 力在任一轴上的投影可求，力沿一轴的分量不可 定。

（2-10）
由式（2-10），得合力矢的大小及方向余弦为
FR = FR ⋅ FR = =
2 x
(F ) + (F ) + (F )
2 2 R x R y R z 2 2 y z
2
(∑ F ) + (∑ F ) + (∑ F )
cos ( FR , i ) = FR x FR FR y FR FR z FR
由式（2-1）可得汇交力系的合力矢为
FR = ( F1 x + L + Fn x ) i + ( F1 y + L + Fn y ) j + ( F1 z + L + Fn z )k = (∑ Fx ) i + (∑ Fy ) j + (∑ Fz )k = FR x i + FR y j + FRz k
o o o o
y F2 FR 60° O 45° F3 F1 x F4 30º 45°
= 10 + 15 3 − 5 2 − 12.5 2 = 11.23kN
(2)求合力矢FR的大小及方向余弦
FR = 12.932 + 11.232 = 17.13 kN 12.93 cos ( FR , i ) = = 0.75 17.13 11.23 cos ( FR , j ) = = 0.66 17.13 (FR , i ) = 40.99° 合力矢FR的方向角为
（2-14）
平衡方程式（2-13）虽然是在直角坐标系下推导 的，但在实际应用中，三根投影轴并不限定必须相互 垂直，只要三个投影轴既不共面，又不相互平行即可。 根据这一原则，可恰当选取投影轴，以简化计算。
例2-3 如图2-8所示简易起重设备，重力G = 20 kN 的重物吊在钢丝绳一端，钢丝绳另一端绕过定滑轮A接 在绞车D上。A、B、C处为铰链连接。不计滑轮和各杆 重力。试求重物匀速提升时，杆AB、AC作用于滑轮上 的力。

＝20kN，不计刚架自重。用几何法求支座A、D处的约束反力。
解 (1) 选平面刚架为研究对象，按比例画出其分离体图。
(2) 对刚架进行受力分析，并画出其受力图，如图 b) 所示。
刚架上作用有水平力F，辊轴支座D的反力FD。根据三力平衡汇交 定理，力F和FD交于C点，所以固定铰支座处的反力FA，必沿A、
200 0.5 300 0.866 100 0.707 250 0.707 112 . 3 N
合力：
夹角：
FR
2 2 FRx FRy 171.3N
FRx FR , i arccos arccos( 0.7548 ) 40.99 o FR
力。梁的自重不计。
F
A C 60º B 30º 60º 60º
a
a
30º
30º
解：(1) 取梁AB 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出F、FA 和FB 的闭合力三角形。 (4) 解出：FA = Fcos30 = 17.3 kN，FB = Psin30 = 10 kN
[例] 平面刚架ABCD在B点作用一水平力F，如图所示。已知F
例题 已知 P = 20 kN，求平衡时杆AB 和 BC所受的力 解： 取节点 B 为研究对象，AB 、BC 都是二力杆
A D
60 0
画受力图 建立坐标系如图 B 由平衡方程：
F
x
0
30
0
FBA F1 cos 600 F2 cos300 0
C
F
P
y
30 0
y
0
FBC F1 cos300 F2 cos 600 0
§2-1 汇交力系合成与平衡的几何法

求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆
受力。
汇交力系
10
解：AB、BC杆为二力杆。
取销钉B。
用解析法
F ix
0
FBA cos θ FBC cos θ 0
Fiy 0
F sin θ F sin θ F 0
BA
BC
解得
F F 11.35kN
BA
BC
汇交力系
11
选压块C
Fix 0
第二章 汇交力系
汇交力系
1
§2-1 汇交力系的合成
一、 汇交力系合成的几何法（矢量法） 1、两个汇交力的合成 力三角形法则
汇交力系
2
F F1 F2 F2 F1
2、多个汇交力的合成
力三角形规则 力多边形规则
汇交力系
3
F F F R1 1 2
3
FR2 FR1 FR3 Fi i1
F F F
F F cosθ x
F F cosβ y
汇交力系
6
F F F
x
y
2、平面汇交力系合成的解析法
因为 F F
R
i
汇交力系
7
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FRx Fix
F Ry
F iy
则，合力的大小为： F F 2 F 2
R
Rx
Ry
方向为：cos
F R
,
i
F ix
F
R
cosF , j Fiy
R1
1
2
3
F R2
F R1
F R3
F i
.
.
.i1
.
.
.
.
.

X 0 ,T DB cos( ) T DA cos( ) 0
Y 0 ,T DB sin( ) T DA sin( ) P 0
Y 0 , T BD sin T BE sin T BC sin 0
D
解: (1) 研究AB杆；
根据三力平衡汇交定理画出受力图；
EB BC 0 . 4 m
tg EB AB 0 .4 1 .2 1 3
A
45o
0.8m
C
0.4m
(2) 列出平衡方程； B
X 0 , R A cos S c cos 45 0
Y 0 , R A sin S c sin 45 P 0

Z R A T BD sin T BC sin 0
T BC 735 N
T BD 1094 N
联立解得
R A 1500 N

p.4
例
题
例
题
例4.已知四根绳索AB、BC、BD、DE相互联接如图所示， DB保持水平，DE和BC分别与水平和铅垂线的夹角均 为，A处连接一木桩，桩重W。求D处作用的铅垂力P 需多大才能与桩保持平衡。 TBC 解： 研究对象：点B C
B C E A



y
TDB TBC x
y
TBE
x
B

D P
-
TDA
D +


TBD
P
SAB
解:
(1) 研究D点，画受力图； (2) 列出平衡方程并求解；
(3) 研究滑轮B，画受力图； (4) 列出平衡方程并求解；