受力图汇交力系例题共28页

平面汇交力系的例子
1. 哎呀，想想拔河比赛呀！两队人在那拼命拉绳子，这可不就是平面汇交力系的典型例子嘛！大家都使着劲，力量在绳子上汇聚，谁能赢不就看哪边的力更大嘛！
2. 建筑工地上的起重机吊东西，那也是平面汇交力系啊！起重臂上的各种力都往一个点上作用，这多明显呀！
3. 你看咱平时推桌子，是不是几个方向都可能发力，这些力在桌子上不就形成了平面汇交力系嘛！
4. 还记得小时候玩的跷跷板吗？两边人一上一下，那其实就是两边的力在跷跷板这个平面上交会呀，这就是个有趣的平面汇交力系例子呀！
5. 抬重物的时候，几个人一起用力抬，这些力可不就在重物所在的平面上汇交啦，这不是随处可见的平面汇交力系嘛！
6. 开帆船的时候，风的力和船员拉帆的力，不都作用在帆上嘛，这不就是平面汇交力系在起作用嘛，多神奇！
7. 公园里的旋转木马，它的转动也是因为各种力在平面上交汇呀，你说是不是很有意思呢？
8. 大家一起拉一辆车，每个人使的力都不一样，但都作用在车身上，这就是平面汇交力系的体现呀！
结论：平面汇交力系在我们生活中无处不在呀，只要留意就能发现很多这样的例子呢！。

C
Y P TBD cos cos TBC cos cos 0
Z RA TBD sin TBC sin 0
联立解得
TBC 735 N
TBD 1094 N
RA 1500 N
p.4
例题
例题
例4.已知四根绳索AB、BC、BD、DE相互联接如图所示， DB保持水平，DE和BC分别与水平和铅垂线的夹角均
A
45o
0.8m
CB
0.4m
y
SC
A
45o C
RA
B x
E
P
EB BC 0.4m tg EB 0.4 1
AB 1.2 3 (2) 列出平衡方程；
X 0, RA cos Sc cos 45 0
Y 0,RA sin Sc sin 45 P 0
(3) 求未知力；
P
2
Sc sin 45 cos45tg
C EA
D
B -
y TDB D + x
y
TBE
TBC
B
TBD
x
P
TDA
P
SAB
解: (1) 研究D点，画受力图；
(2) 列出平衡方程并求解；
X 0,TDB cos( ) TDA cos( ) 0
Y 0,TDB sin( ) TDA sin( ) P 0
TDB
NA
O
O’与 O为矩形OAO’B的两个顶点，
O’ B
力的作用线既通过O’点也通过O点。
NB
由几何关系得
P A
90 2
NA
O
OA Lsin
p.6
例题
例题
例6. 铰接四连杆机构CABD的CD边固定。在铰链A上作用一 力Q，BAQ=45。在铰链B上作用一力R，ABR=30，

理论力学 Theoretical Mechanics
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。 与重物为研究对象，受力分析如图。 其侧视图为
z E C F
30o
D
F2
B
z E F
30o
F1
B
F1
α
FA
A
x
G
y
α
FA
A
G
y
理论力学 Theoretical Mechanics
z E F
30o
2
理论力学 Theoretical Mechanics
因为α很小，所以可取
tgα ≈ α
G 800 N = 80kN F TBA = G ctg α = 2 = 2 tg α 0.1
2
显然，拔力为
F
' TBA
= F TBA = 80kN
江苏工业学院机械系力学教研室
理论力学 Theoretical Mechanics
（4）由几何关系得： O =EA= 24 cm 由几何关系得： E
A
P
A
P
α
24
D E tgϕ = = 0.25 O E
C O B D
(a)
O
α ϕ
B
FB
E
6
ϕ = arctg0.25 =14°2'
FD
D
(b)
由力三角形可得： 由力三角形可得： = sin(180°−α−ϕ) P F B
sinϕ
P
J
解得
Fcosθ ⋅ yB −Fsinθ ⋅ xB FD = C l
江苏工业学院机械系力学教研室
理论力学 Theoretical Mechanics

直接投影法（一次投影法） 间接投影法（二次投影法）
2、力F沿空间直角坐标轴分解所得分力Fx 、Fy 、Fz的大小，等于该力在相应轴上投影 的绝对值。
3、分力是矢量，投影是代数量。
4、已知投影求力的大小：F Fx2 Fy2 Fz2
g为F 与z轴正向间的夹角，则
z
Fz
F
g
O
b
Fy
Fx
y
x
F Fx2 Fy2 Fz2
例1 设力 F 作用于立方体的点 A，其作用线沿面ABCD对角线。试求力在图示直角 坐标轴上的投影。
解：
45
b 45
F 在Z轴上的投影
FZ Fcos
2F 2
F 在y轴上的投影
Fy Fcosb
2F 2
二、空间汇交力系的平衡
1、平衡条件：力系的合力等于零。即 FR=0
FR Fx 2 Fy 2 Fz 2 0
2、平衡方程：
例1 杆AO，BO，CO用光滑铰链连接在O处，并在O处挂有重物，重力为G。如图所示。各 杆的自重不计，且α＝45，OB=OC，试求平衡时各杆所受的力。
解： （1）选取铰链 O为研究对象，画受力图。
cos 45
2F
FB FC
2F 2
FB，FFAC为为负正值值，，说说明明假假设设方方向向与与实实际际方方向向相相反同，，即即ABOO杆杆受和压CO。杆受 拉。
例2 如图所示，起重机起吊重物, 连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30，CDB平面与水平面间 的夹角∠EBF= 30,重物G=10 kN。不计起重杆的重量,试求起重杆和绳子所受的力。
FC
O
FB
WF
FA
C
O

0 0
FA = 366 N
FB = 448 N
点作用水平力F、 块与光滑墙 例2-6：图示压榨机，在A点作用水平力 、C块与光滑墙 ：图示压榨机， 点作用水平力 接触， 力作用使C块压紧物体 物体D所受力 所受力。 接触，在F力作用使 块压紧物体 ，求：物体 所受力。 力作用使 块压紧物体D，
h B L A L D C [A] y [C] y
FR =
2 . 62 2 + 3 . 98 2 + 2 . 37 2 = 4 . 93 kN
Fx cos α = F
cos β =
Fy F
Fz cos γ = F
α = 57.890 , β = 36.160 ,γ = 61.260
§2-3 汇交力系的平衡
汇交力系的平衡的充要条件：力系的合力等于零。 汇交力系的平衡的充要条件：力系的合力等于零。 汇交力系平衡的几何条件：力多边形自行封闭。 汇交力系平衡的几何条件：力多边形自行封闭。 汇交力系平衡的解析条件： 汇交力系平衡的解析条件： FR = 0
ϕ
Fmin |ϕ = 90 0
sin 30 0 ′ FBC = P 0 sin 40
例2-4：结构如图所示，杆重不计，已知 ：结构如图所示，杆重不计， 求两杆的内力和绳BD的拉力。 BD的拉力 力P，求两杆的内力和绳BD的拉力。 解：研究铰链B 研究铰链 D
z
F 3
z
D
C
C
ϕ
θ
ϕ
θ
y
F 2
y B
A
§2-2 汇交力系的合成
一、汇交力系合成的几何法
x
F4
F R
F2
y `
F3
F R
F3

i
i
i
平面汇交力系的几何法
力的多边形法则：
F
先求出任意两个力的合力， 再求出这个合力跟第三个 力的合力，直到把所有的 力都合成进去，最后得到 的结果就是这些力的合力。
F3 F4 F2
F123
F12
0
F1
F
F34
F3 F4
F2
F12
0
F1
F F4 F F3 F123 F3 F4
F2
F12
F2
F1
i
Fy Fyi 0
FAB FAy sin FAx sin 0
解出： FAC W (cos cos )
i
FAB W (sin sin )
例题1-2：P14：
图示、AB、AC、AD三杆由活动球铰连接于A处； B、C、D三处均为 固定球铰支座。若 在A处悬挂重物的 重量W为已知，试 求：三杆的受力。 解：以A处的球铰 为研究对象，各杆 均为二力杆
F1
力的多边形法则：
Pn-1 Fn-1 Fn-1
平面汇交力系平衡的几何条件：
由 FR
F 0
i i
Fn P3 F3 Pn-1 Fn Pn an-1 Fn-1
a3
F3
Fn-1
力多边形自行封闭
例题：1-1
图示结构中，AB杆、AC 杆以及滑轮A三者用销钉 铰接在一起，B、C均为 固定铰支座，A、D沿水 平方向。若W、、等 均为已知，试： 1）画出销钉和滑轮的受力 图； 2）求出AB、BC杆的受力。
w
解：1、受力分析
取销钉为研究对象， 建立坐标系
取滑轮与绳研究
2、求AB、BC杆的受力： 由滑轮与绳平衡

二力杆的应用场景
在工程结构中，二力杆广泛应 用于桥梁、建筑和机械等领域
，用以支撑和传递载荷。
力的可传递性
力的可传递性定义
力的可传递性是指在刚体上作用三个或三个以上的共线平 行力，这些力可以沿其作用线任意移动而不改变其作用效 果。
力的可传递性原理
力的可传递性原理表明，对于共线平行的多力合成，不论 这些力在作用线上如何移动，只要不改变其作用点，它们 对刚体的作用效果总是一样的。
05
汇交力系中的特殊问 题
二力杆问题
01
02
03
04
二力杆的定义
二力杆指的是在力的作用下， 只承受两个力且处于平衡状态
的杆件。
二力杆的平衡条件
二力杆在平衡状态下，其两端 的力必须大小相等、方向相反
且作用在同一条直线上。
二力杆的分类
根据其形状和功能，可以将二 力杆分为固定二力杆、活动二
力杆和可变二力杆。
力的可传递性的应用
力的可传递性原理在工程实践中具有广泛的应用，如机械 传动、车辆悬挂系统和船舶推进系统等。
力线平移定理
01 02
力线平移定理的内容
力线平移定理是指如果作用在刚体上的力沿其作用线移动一段距离，而 不改变它对刚体的作用效果，则这个力的作用点沿其作用线所作的移动 距离等于该力的大小。
力线平移定理的证明
吊车吊重分析
总结词
通过汇交力系分析，确定吊车吊重的合理范围，确保安全作 业。
详细描述
在吊车吊重分析中，利用汇交力系的原理，可以确定吊车在 各种工况下的受力情况，从而计算出吊车的最大承载能力和 安全作业范围。这有助于确保吊车在作业过程中不会发生倾 覆或超载等危险情况。
杠杆平衡分析

试求: (1)当水平拉力F=5 kN时，碾子对地面和障碍物的压力；
(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；
(3)力F沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。
解：1.选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。
由已知条件可求得
再由力多边形图c中各矢量的几何关系可得
2.碾子能越过障碍的力学条件是FA=0，得封闭力三角形abc。
My= ∑My=－M2=－80 N·m
Mz= ∑Mz=－M1－M4cos 45o－M5cos 45o=－193.1 N·m
M=Mx2+My2+Mz2= 284.6 N·m
cos (M,i) =MX/M=－0.6786
cos (M,j) =MY/M=－0.2811
cos (M,k) =MZ/M=－0.6786
解：选工件为研究对象
FA= FB
列平衡方程：
∑M= 0，FAl－M1－M2－M3=0
FA= FB=200 N
例题4横梁AB长l，A端用铰链杆支撑，B端为铰支座。梁上受到一力偶的作用，其力偶矩为M，如图所示。不计梁和支杆的自重，求A和B端的约束力。
解：选梁AB为研究对象
FA=FB
列平衡方程：
∑M= 0，M－FAlcos45o= 0
解：取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图。
FT=G列平衡方程：
∑Fx=0－FAB－FT cos30o+ FTcos60o= 0
∑Fy=0FBC－FTcos30o－FTcos60o=0
解方程得:FAB=-0.366G=-7.312KNFBC=1.366G=27.32KN
例题6梯长AB=l，重G=100 N，重心假设在中点C，梯子的上端A靠在光滑的端上，下端B放置在与水平面成40°角的光滑斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以及梯子和水平面的夹角θ。

= 0 S AB =
SAB’
y
再以压板为研究对象并分析受力: 再以压板为研究对象并分析受力 SAB’, Q, N
B Q
N
x
∑ Y = Q S ′AB cos α = 0
∴Q =
P ctg α 2
讨论：P力一定， 越小，压紧力Q越大。 讨论 P力一定，α 越小，压紧力Q越大。
p.3 p.3例题 Nhomakorabea例
题
1.12 = 41° 1.29
(3) 画出合力 ； 画出合力R；
p.10 p.10
例
题
例
题
AB与 构成， 例10.图示一管道支架，由杆AB与CD构成，管道通过拉杆悬挂 .图示一管道支架，由杆AB CD构成 在水平杆AB AB的 每个支架负担的管道重为2KN 2KN， 在水平杆AB的B端，每个支架负担的管道重为2KN，不计 杆重。求杆CD所受的力及支座A CD所受的力及支座 杆重。求杆CD所受的力及支座A的反力 。
OA
受力分析： 受力分析： P,SOA, SAB 选投影轴列方程： 选投影轴列方程：
A P
x
P SAB
A
α
α
B
∑ Y = SOA cos α + S AB cos α = 0
∑ X = P SOA sin α S AB sin α
选投影轴列方程： 选投影轴列方程
SOA = S AB
P 2 sin α
P
4m
B
C
P
B
C
A
8m
D
A RA
θ
D ND c P ND b
解: (1) 研究刚架；根据三力平衡汇交定理画出受力图； 研究刚架；根据三力平衡汇交定理画出受力图；

66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
受力图、汇交力系例题
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯

F3
F2
FR12
F1
FR
F3
F2
A
FR12
FR
F1
F2
FR12 F1 F2
FR FR12 F3
F1
力 多 边 形
FR F1 F2 F3
设 F1 , F2 ,, Fn 为作用在A点的汇交力系
FR F1 , F2 ,, Fn
FR F1 F2 Fn Fi
① 固定铰链支座应用
4偏心轮顶杆录像.avi
首都机场候机楼顶棚拱架支座
20
二、常见约束类型及其约束反力方向的确定
②连接铰链（中间铰）
连接铰链.avi 5
B
FBy
FBx
B
FBy
注意：作用力与反作用力关系 约束力特点：只须画一对正交的分力
21
B F Bx
机械系统中的约束
•光滑面约束
•固定铰链约束
9
§1-3 静力学基本公理
二、解析法(投影法)
z
Fn
F2
FR Fixi Fiy j Fizk
FRx Fix FRy Fiy FR FRz Fiz
FRx cosα FR
cos β
2 2 2 FRx FRy FRz
注：约束不是限制物体不动，而是限制物体的运动
18
二、常见约束类型及其约束反力方向的确定
3、光滑圆柱铰链 ① 固定铰链支座
3固定铰链支座.avi
y
Fx
F
大小 方向
固 定 铰 链 简 图
Fy
x
A
约束特点：限制物体 在平面内的移动。 约束力特点：提供在平面内 两个互相垂直方向的反力

X 0 ,T DB cos( ) T DA cos( ) 0
Y 0 ,T DB sin( ) T DA sin( ) P 0
Y 0 , T BD sin T BE sin T BC sin 0
D
解: (1) 研究AB杆；
根据三力平衡汇交定理画出受力图；
EB BC 0 . 4 m
tg EB AB 0 .4 1 .2 1 3
A
45o
0.8m
C
0.4m
(2) 列出平衡方程； B
X 0 , R A cos S c cos 45 0
Y 0 , R A sin S c sin 45 P 0

Z R A T BD sin T BC sin 0
T BC 735 N
T BD 1094 N
联立解得
R A 1500 N

p.4
例
题
例
题
例4.已知四根绳索AB、BC、BD、DE相互联接如图所示， DB保持水平，DE和BC分别与水平和铅垂线的夹角均 为，A处连接一木桩，桩重W。求D处作用的铅垂力P 需多大才能与桩保持平衡。 TBC 解： 研究对象：点B C
B C E A



y
TDB TBC x
y
TBE
x
B

D P
-
TDA
D +


TBD
P
SAB
解:
(1) 研究D点，画受力图； (2) 列出平衡方程并求解；
(3) 研究滑轮B，画受力图； (4) 列出平衡方程并求解；

3、解析法
当由右式求出合力在两轴上的 投影值时，合力的大小及方向可 由下式计算：
FR FR2x FR2y
Fx 2
Fy 2
y
F2
F1
FR
F3 F4
cosFR , i
FRx FR
Fx FR
cosFR ,
j
FRx FR
Fx FR
4、平衡条件
平衡的充要条件是: FR 0
O
x
FRx F1x F2x Fnx Fx
FRy F1y F2y Fny Fy
Fx 0 Fy 0
为平面汇交力系的平衡方程
例2 求图示作用在O点之共点力系的合力。
解：取坐标如图。 合力在坐标轴上的投影为：
FRx=Fx=-400+250cos45-200×4/5 =-383.2 N FRy=Fy=250sin45-500+200×3/5=-203.2N
多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于0。
例1 已知图示刚架结构，试求其约束反力。
解：1）作受力分析，并选取适当比例尺， P=20kN
C
作力矢图
B
10kN
4m
FA
FD
P
FA A
D
8m
FD
2）可量得：FD=10kN，FA=22.4kN
注：图解法结果的精确度决定于所作力矢图的精度。
二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
3）光滑圆柱铰链约束：
特点：光滑园柱铰链约束的反力只能是压力，在垂直于园柱 销轴线的平面内，通过园柱销中心，方向不定；
4）支座：
FAy
FA
（1）固定铰支座：
A FAx
特点：约束反力FA，过铰链中心。 大小和方向待定，用FAx、FAy表示。

第二章习题解答2—1如图所示，固定在墙壁上的圆环首三条绳索的拉力作用，力F1沿水平方向，力F3沿铅直方向，力F2与水平线成40度角。

三力的大小分别为F1=2000N,F2=2500N,F3=1500N.求三力的合力。

解：图解法解题时，首先要确定比例尺，即每单位长度代表多大的力，这里我们用单位代表500N，三力在圆环的圆心处相交。

如图（b），力系的力多边形如图（c）。

在图上量出OC的长度和L和与水平之间的夹角有。

Fr=L×500=5000Nφ=38°26＇由（c）图的几何关系可见OB=BC,∠BOC=∠BCO=(40°－36°52＇)=1°34＇故合力F r的大小约为Fr＝2F2cos1°34＇=2×2500×0.99963＝4998N与水平方向之间的夹角为φ=38°26＇例：用解析法求圆环受三个力的合力。

解：如图建立坐标，则NF F F F NF F F F y R y x xR 310764279.025********cos 391576604.025********cos 2321=⨯+=︒+===⨯+=︒+==∑∑ 合力的大小NF F F yR xR r 5000310739152222=+=+=合力与X 轴之间的夹角为 '283850003915cos arccos1︒===-R Rx F F α2—2 物体重P=20 kN ，用绳子挂在子架的滑轮B 上，绳子的另一端杰在绞车D 上，如图所示。

转动绞车，物体便能升起。

，A 、B 、C 处均为光滑铰链连接。

钢丝绳、杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小。

试求平衡时杆AB 和BC 所受得力。

解：该题与例题基本相同1、确定研究对象。

系统中AB,BC 为二力杆，设AB 受拉力，BC 受压力，以各力汇交的滑轮为研究对象。

2、画滑轮的受力图如图（C ）建立坐标，列平衡方程（坐标轴要尽量和未知的约束力的方向一致或垂直）030cos 60cos 0030cos 60cos ,0=+︒+︒-==︒-︒+=∑∑P P F F F P F F BC y BC AB x4、解方程，得kN F kNF BC BA 64.747.54==1、 答2—3 火箭沿与水平面成θ=25°角的方向作匀速直线运动，如图所示。