原(逆)命题,原(逆)定理

原命题与逆命题、原定理与逆定理
能量储备
●逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，
那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
两个命题的条件与结论恰好相反，是互逆命题，当把前者叫做原命题时，后者叫做原命题的逆命题，反过来也成立．
●逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是证明是真命题，那么它也是一个定理，其中
一个定理称为另一个定理的逆定理.
●如果原命题是真命题，那么它的逆命题不一定是真命题；如果原命题是假命题，那么它
的逆命题不一定是假命题．
●任何命题都有逆命题，但不一定每个定理都有逆定理．
通关宝典
★基础方法点
1：写原命题的逆命题时，最好先将原命题改写成“如果……那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题．
例：命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是
________________________________________________________________________．
解析：原命题可改写为“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分”，此命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线互相平分”，交换原命题的条件和结论的位置即可得到它的逆命题．
答案：对角线互相平分的四边形是平行四边形
★★易混易误点
蓄势待发
考前攻略
逆命题与逆定理，主要考查已知命题的逆命题或判断已知定理是否有逆定理，以填空题或选择题的形式呈现，难度不大．
完胜关卡。

初二下册数学逆命题与逆定理知识点引言在初中数学的学习过程中，我们经常会遇到一些逆命题和逆定理。

逆命题是指对于一个命题，将其表述中的“如果……，那么……”反过来，得到的命题就是逆命题。

逆定理则是一些与已知定理相对立的命题。

理解和掌握逆命题和逆定理的知识对于我们解题过程中的推理和证明非常重要。

接下来，我们将介绍初二下册数学中的一些重要的逆命题和逆定理知识点。

逆命题逆命题是对于一个命题，将其表述中的“如果……，那么……”反过来，得到的命题。

逆命题与原命题不一定等价，也就是说，原命题成立并不能保证逆命题成立。

举个例子，假设原命题为“如果一个人是中国人，那么他会说中文”。

那么逆命题为“如果一个人不会说中文，那么他不是中国人”。

显然，原命题成立并不能保证逆命题成立。

因此，在推理过程中，我们通常不能通过逆命题得出与原命题相同的结论。

逆定理逆定理是一些与已知定理相对立的命题。

逆定理的表达形式通常为“不成立”的形式。

逆定理与原定理不一定互为逆命题。

举个例子，已知定理为“两个平行线被一条截线所截，对内相对应的两组对应角相等”。

那么逆定理可以表述为“两个平行线被一条截线所截，对外相对应的两组对应角相等不成立”。

即使逆定理与原定理不一定互为逆命题，但它们之间却具有密切的联系。

数学逆定理的应用在初二下册数学学习中，逆定理的应用非常广泛。

我们以数学中的一些重要定理为例，介绍逆定理的应用。

勾股定理及逆定理勾股定理是我们在初中学习过程中最常见的定理之一。

勾股定理表述为“直角三角形斜边的平方等于两腰的平方和”。

即若已知一个三角形的两边为a和b，斜边为c，且满足c^2 = a^2 + b^2，那么这个三角形一定是直角三角形。

逆定理表述为“如果一个三角形的三边满足c^2 = a^2 + b^2，那么这个三角形一定是直角三角形。

”逆定理与勾股定理之间存在着密切的联系。

作图定理及逆定理作图定理是指根据一个几何条件，我们可以用直尺和圆规画出符合要求的图形。

.17.2勾股定理的逆定理1.会理解并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识发生、发展和形成的过程.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用.1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.【重点】勾股定理的逆定理的应用.【难点】勾股定理的逆定理的证明.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】三角板、绳子.学生利用准备好的绳子,以小组为单位动手操作,观察,做出合理的推断.[设计意图]介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活,同时明确了本节课研究的问题,既实行了数学史的教育,又锻炼了学生动手实践、观察探究的水平.导入二：你能说出勾股定理吗?并指出定理的题设和结论.学生独立回忆勾股定理,师生共同分析得出其题设和结论,教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系.追问：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗?师生共同得出新的命题,教师指出其为勾股定理的逆命题.追问：“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢?本节课我们一起来研究这个问题.[设计意图]通过对前面所学知识的归纳总结,自然合理地引出勾股定理的逆定理.1.勾股定理的逆定理思路一①如果改变一下三条边的结数,是否还能摆放出同样形状的三角形吗?②画图看一看,三角形的三边长分别为2.5 cm,6 cm,6.5 cm,观察三角形的形状.再换成4 cm,7.5 cm,8.5 cm试试看.③三角形的三边具有怎样的关系,才得到上面同样的结论?教师根据学生的思考结果,对第③个问题总结归纳,提出猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.[设计意图]由特殊到一般,归纳猜想出“如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就为直角三角形”的结论,培养学生动手操作水平和寻求解决数学问题的一般方法.思路二下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c.5,12,13;7,24,25;8,15,17.①这三组数都满足a2+b2=c2吗?②分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?学生以小组为单位,按给出的三组数作出三角形,得出结论：①这三组数都满足a2+b2=c2;②以每组数为边长作出的三角形都是直角三角形.师生进一步通过实际操作,猜想结论：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.[设计意图]本活动通过让学生按已知数据作出三角形,并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的相关边的条件,猜想得出结论.学生独立思考回答问题,命题1的题设是直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,结论是a2+b2=c2;命题2的题设是三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,结论是这个三角形是直角三角形.教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的.归纳出互逆命题概念：两个命题的题设和结论正好相反,像这样的两个命题叫做互逆命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.提问：请同学们举出一些互逆命题,并思考：原命题准确,它的逆命题是否也准确呢?举例说明.学生分组讨论合作交流,然后举手发言,教师适时记下一些互逆命题,其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题.如：①对顶角相等和相等的角是对顶角;②两直线平行,内错角相等和内错角相等,两直线平行;③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.追问：在大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?学生举手发言回答,另一学生纠错.同时教师引导学生明确：①任何一个命题都有逆命题.②原命题准确,逆命题不一定准确;原命题不准确,逆命题可能准确.③原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系.[设计意图]让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.这个三角形是直角三角形”吗?教师引导学生分析命题的题设及结论,让学生独立画出图形,写出已知和求证.已知：如图所示,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2.求证：∠C=90°.追问：要证明△ABC是直角三角形,只要证明∠C=90°,由已知能直接证吗?教师引导,如果能证明△ABC与一个以a,b为直角边长的Rt△A'B'C'全等.那么就证明了△ABC是直角三角形,为此,能够先构造Rt△A'B'C',使A'C'=b,B'C'=a,∠C'=90°,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的准确性.教师适时板书出规范的证明过程.证明：如图所示,作直角三角形A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b,由勾股定理得A'B'===c,∴A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC,∴△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=90°,∴△ABC是直角三角形.教师在此基础上进一步指出,如果一个定理的逆命题经过证明是准确的,那么它也是一个定理,我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理,称这两个定理为互逆定理.[设计意图]引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题,构造直角三角形,让学生体会这种证明思路的合理性,协助学生突破难点.2.例题讲解(教材例1)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15.学生独立完成,教师适时指导,并规范地书写解题过程.在此活动中,教师协助学生分析得到：要判断一个三角形是不是直角三角形,可根据勾股定理及其逆定理,关键是对两条较小边长的平方和与最大边长的平方实行比较,只有相等时才是直角三角形.解：(1)因为a2+b2=152+82=289,c2=172=289,所以152+82=172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.(2)因为a2+b2=132+142=365,c2=152=225,所以132+142≠152,(1)3,4,;(2)6,8,;(3)7,24,;(4)5,12,;(5)9,12, .[设计意图]通过练习,学会使用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.[知识拓展]勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一,利用它判定是否为直角三角形的一般步骤：①确定最大边长c;②计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形;若a2+b2<c2,则此三角形是钝角三角形;若a2+b2>c2,则此三角形是锐角三角形.(教材例2)某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?引导学生认真审题,弄清已知是什么,解决的问题是什么.学生通过思考举手回答,教师在黑板上列出：已知两艘轮船的航速,它们的航行时间以及相距的路程,“远航”号的航向——东北方向;解决的问题是“海天”号的航向.引导学生尝试画图,教师在黑板上或多媒体中画出示意图.引导学生分析：图中的E,N分别表示东、北两个方向.要求出“海天”号的航行方向,只要求出∠RPQ的度数,而∠1=45°,利用角的和差得出∠2的度数.解：根据题意,由已知得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°,由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°,所以∠2=∠QPR-∠1=45°,即“海天”号沿西北方向航行.[设计意图]学生在规范化的解答过程及练习中,提升对勾股定理逆定理的理解以及实际应用的水平.师生共同回顾本节课所学主要内容：(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.(2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.(3)三个数满足勾股数的两个条件：①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.(4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中使用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.1.(2019·毕节中考)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是 ()A.,,B.1,,C.6,7,8D.2,3,4解析：A中,()2+()2≠()2,不能构成直角三角形,故错误;B中,12+()2=()2,能构成直角三角形,故准确;C中,62+72≠82,不能构成直角三角形,故错误;D中,22+32≠42,不能构成直角三角形,故错误.故选B.2.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是 ()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析：根据题意可得a=b或a2+b2-c2=0,所以△ABC可能为等腰三角形,也可能为直角三角形.故选C.3.下列说法中准确的有 ()(1)在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角;(2)命题“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半”的逆命题是真命题;(3)勾股定理的逆定理是：如果两条直角边长的平方和等于斜边长的平方,那么这个三角形是直角三角形;(4)△ABC的三边之比是1∶1∶,则△ABC是直角三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个解析：(1)准确,(2)错误,(3)错误,(4)准确,故有两个说法是准确的.故选B.4.如图(1)所示的是一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,AD⊥DC,AB=13 m,BC=12 m,求这块地的面积.解：如图(2)所示,连接AC.∵AD⊥DC,∴在Rt△ACD中,AD2+CD2=AC2,∴AC===5(m).∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,∴△ABC为直角三角形,∴这块地的面积为S=S△ABC-S△ACD=AC·CB-AD·DC=×5×12-×3×4=24(m2).17.2勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理(1)归纳猜想(2)原命题、逆命题(3)勾股定理的逆定理的证明2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材练习第33页第1,2,3题;教材第34页习题17.2第1,2,3,4题.【选做题】教材第34页习题17.2第7题.本节课以“提出问题——解决问题”为主线,以学生的自主探索学习为中心,从解决问题的完成情况看,知识目标完全达到,水平目标基本实现,情感目标基本实现.在本节课教学中,充分发挥学生在教学中的主体作用,教师不能一味地“讲知识”,而是应用启发式的原则,给学生指明学习目标和方向,让学生去自主探究,注重了知识上的即时巩固,也侧重了学生各方面的素质的培养.在重难点的突破上,还应加一些递进的习题,降低题的难度,使优生学好,中等生也能跟上.同时,缺少了板书示范,不利于学生养成良好的书写习惯.。

17.2原（逆）命题、原（逆）定理八年级的学生正是由实验几何向推理几何过渡的重要时期，通过勾股定理的逆定理的探究，培养学生的分析问题的思维能力，发展推理能力，所以要充分利用课堂，让学生当堂动脑，深入探究，课后微课助消化.一、学习目标1、理解勾股定理的逆定理，探索勾股定理的逆定理.2、通过用三角形三边的数量系来判断三角形的形状，体验数与形结合的方法.3、通过具体事例，了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 二、重点难点重点：探索勾股定理的逆定理，原命题及其逆命题的概念. 难点：勾股定理的逆定理的探索与证明.教学准备:圆规、三角板、课件.三、教学过程:（一）逆向思考提出问题据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？思考1：三角形的三边长分别是多少？它的三边数量之间有怎样的关系？发现这 个三角形是什么样的三角形？思考2： 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a ²+b ²=c ²， 那么这个三角形是否是直角三角形？（二）精确验证 提出猜想回顾勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ， 那么a ²+b ²=c ²．用圆规、三角板作符合下列条件的三角形. （（（（（（（（（（（（（（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，（2）分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm ），它们是直角三角形吗？① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．它们的三边有怎样的关系？②学生猜想：△ABC 中，三边长满足下面的关系，则这个三角形的形状是--- ？哪条边所 对的角是90度？（三）探究新知：勾股定理逆定理的证明：1、探究的关键构建一个直角边是a ，b 的直角△A‘B’C‘ ，然后和△ABC 比较！于是画一个直角三角形A‘B’C‘， 使∠C’=90°，A‘C’=b，B‘C ’ =a .（教师演示板书操作； 学生分组动手画，教师巡视指导）A bc A B C b b ╒（四）逻辑推理证明结论已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a²+b²=c²．求证：△ABC一定是直角三角形．证明: 作△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=b，B’C’=a，如上图那么A’B’²=a²+b²（勾股定理）又∵a²+b²=c ²（已知）∴A’B’²=c²，A’B’=c(A’B’＞0)在△ABC和△A’B’C’中，BC=a=B’C’CA==C’A’AB=c=A’B’∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠C=∠C’=90°，∴△ABC是直角三角形（五）演绎推理形成定理定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a²+b²=c²．那么这个三角形是直角三角形．作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直角三角形．（六）直接运用巩固知识例1 判断由线段a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形：（1） a=15，b=17，c=8；（2） a=13，b=15，c=14；（3） a= √41，b=4，c=5．分析：看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．（七）互逆命题概念：勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c²．定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a²+b²=c²．那么这个三角形是直角三角形．两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．练习：说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？（1）两条直线平行，内错角相等；逆命题：内错角相等，两直线平行．真命题．（2）对顶角相等；逆命题：相等的角是对顶角．假命题．（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．真命题．（八）当堂检测1.下列各组长度的线段为边能构成直角三角形的一组是( )(A) 1,2,3 (B) 2,√2,√3 (C) 6,8,14 (D)2,1.5,2.52.写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的逆命题是否为真命题：全等三角形的对应边相等；两个负数的积是正数.3.在△ABC中，a=24,b=25,c=7,求三角形的面积。