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24.1圆的有关性质第1课时教学内容1．圆的有关概念．2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用． 教学目标了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题． 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 重难点、关键1．重点：垂径定理及其运用．2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程 一、复习引入（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个．2．你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知从以上圆的形成过程，我们可以得出： 在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径． 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”． 学生四人一组讨论下面的两个问题：问题1：图上各点到定点（圆心O ）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结．（1）图上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形． 同时，我们又把①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB ；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．AC AC ABC AC BC④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （学生活动）请同学们回答下面两个问题．1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的． 因此，我们可以得到：（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM=BM ，，，即直径CD 平分弦AB ，并且平分及． 这样，我们就得到下面的定理：下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，，.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中 ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM∴AM=BMAC BC =AD BD =AB ADB AC BC =AD BD =OA OBOM OM =⎧⎨=⎩B∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，与重合，与重合． ∴，进一步，我们还可以得到结论：（本题的证明作为课后练习）例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O 是的圆心，其中CD=600m ，E 为上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接OC设弯路的半径为R ，则OF=（R-90）m∵OE ⊥CD ∴CF=CD=×600=300（m ） 根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2即R 2=3002+（R-90）2解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m ． 三、巩固练习 教材练习 四、应用拓展例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m 是否需要采取紧急措施，只要求出DE 的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R ． 解：不需要采取紧急措施设OA=R ，在Rt △AOC 中，AC=30，CD=18R 2=302+（R-18）2 R 2=900+R 2-36R+324解得R=34（m ）连接OM ，设DE=x ，在Rt △MOE 中，ME=16342=162+（34-x ）2162+342-68x+x 2=342 x 2-68x+256=0 解得x 1=4，x 2=64（不合设） ∴DE=4∴不需采取紧急措施．五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：1．圆的有关概念；AC BC AD BD AC BC =AD BD =CD CD CD 12122．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 3．垂径定理及其推论以及它们的应用． 六、布置作业1．教材复习巩固1、2、3． 2．车轮为什么是圆的呢？ 3．垂径定理推论的证明． 4．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题．1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（）．A ．CE=DEB ．C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD(1) (2) (3)2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．83．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是（）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．D ．PO=PD 二、填空题1．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．(4) (5)2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；最长弦长为_______．3．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 三、综合提高题1．如图24-11，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过C 、D 分别作CN ⊥CD 、DM ⊥CD ，分别交AB 于N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．BC BD =CAD BD =BC BA2．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．3．（开放题）AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC 的度数．答案:一、1．D 2．D 3．D二、1．8 2．8 10 3．AB=CD三、1．AN=BM 理由：过点O 作OE ⊥CD 于点E ，则CE=DE ，且CN ∥OE ∥DM ． ∴ON=OM ，∴OA-ON=OB-OM ，∴AN=BM ．2．过O 作OF ⊥CD 于F ，如右图所示 ∵AE=2，EB=6，∴OE=2，∴，OF=1，连结OD ，在Rt △ODF 中，42=12+DF 2，．3．（1）AC 、AD 在AB 的同旁，如右图所示:∵AB=16，AC=8，∴AC=（AB ），∴∠CAB=60°， 同理可得∠DAB=30°， ∴∠DAC=30°．（2）AC 、AD 在AB 的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．121212。
圆的基本性质1．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．2．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心： （3）三角形的内心：3. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【例题精讲】例1． AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cm C． D ．9cm 例2、BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④________（不添加其它字母和辅助线） （2）A ∠=30°，CDO ⊙的半径r ．例3、如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 长．P B CEA 例3题图直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°练习、1．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O •的位置关系是____2．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．3、如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 。
24.1圆的有关性质尊敬的各位评委老师：上（下）午好，今天我说课的题目是“人教版九年级上册第二十四章第一节《圆的有关性质》第一课时圆是常见的几何图形，圆形物体在生活中随处可见。
它具有独特的对称性，无论你从哪个角度看，圆都具有同一形状。
古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆。
”下面我将从设计思想、背景分析、教学目标、教学过程、板书设计五个方面来对圆的有关性质进行说明。
一、设计思想：数学来源于生活，数学教学应走进生活，生活也应走进数学。
数学与生活的结合，会使问题变得具体、生动，学生就会产生亲近感、探究欲，从而诱发内在学习潜能，主动动手、动口、动脑。
因此，在教学中，我们应自觉地把生活作为课堂，让数学回归生活，服务生活。
培养学生的动手能力和创新能力，丰富和发展学生的数学活动经历，并使学生充分体会到数学之趣、数学之用、数学之美。
教师既要做到精讲精练，又要敢于放手引导学生参与尝试和讨论，展开思维活动。
根据新教材留给学生一定的思维空间的特点，教师要鼓励学生自己动脑参与探索，让学生有发表意见的机会，绝对不能包办代替，使学生不仅能学会，而且能会学。
充分发挥网络在课堂教学中的优势，力争促进学生学习方式的转变，由被动听讲式学习转变为积极主动的探索发现式学习。
数学问题生活化，主导主体相结合，发挥媒体技术优势，探究练习相结合，符合《课标》精神。
二、背景分析：“圆的有关性质”是人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书·数学·九年级上册》第二十四章第一节的内容。
在“圆”这一章，我们将进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一些实际问题。
九年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力。
他们在小学已学习了一些圆形的基本知识和面积计算方法, 基础知识较扎实，具有一定探索解决问题的能力，电脑使用水平较熟练，对于课件环境下的学习模式已适应。
三、教学目标：知识技能：1.了解圆的画法及其圆的定义；2.理解确定圆的条件及其与圆相关的概念. 过程方法过程方法：1.理解圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念．2.能初步应用“同圆的半径相等”及“圆心是任一直径的中点”进行简单的证明和计算．情感态度：1.通过观察、动手操作培养学生通过动手实践发现问题、解决问题的能力；2.渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法. 加强学生的爱国主义教育，体验中华古文明的辉煌，培养学生的民族自豪感及爱国热情设计说明：情感、态度、价值观目标不应该是一节课或一学期的教学目标，它应该贯穿于初中数学教学的每一堂课，它应该与具体的数学知识联系在一起，才能让教师好把握，学生好掌握，否则就是空中楼阁，雾里看花，水中望月。
高中数学-圆第一节圆的有关概念和性质一【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3.正多边形和圆（1）通过等分圆画正多边形。
（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等于正n边形内角的一半，∠BOP=nn1802360 ，BP等于正多边形的边长的一半。
第01讲与圆有关的性质——垂径定理课程标准学习目标①与圆有关的概念②圆的对称性③圆的垂径定理1.认识圆，掌握圆的相关概念。
2.掌握圆的对称性。
3.掌握垂径定理，并能够灵活运用垂径定理解决相关题目。
1.圆的概念：静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。
定点是，定长是圆的。
动态定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点A所形成的叫做圆．固定的端点O叫做，线段OA的长叫做。
以O点为圆心的圆，记作，读作。
2.弦的概念：如图：连接圆上任意两点的线段叫做。
如图中有弦CD与弦AB。
3.直径：过的弦叫做直径。
如图中弦AB是直径。
直径是弦，但是弦不一定是直径。
4.弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。
它包含、、。
（1）半圆：的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做。
（2）优弧：半圆的弧叫做优弧。
如图中的优弧AOC，表示为。
读作。
表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。
若只有两个字母默认为劣弧。
（3）劣弧：半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为。
读作。
5.等圆：能够的两个圆或半径的两个圆叫做等圆。
6.等弧：在同圆或等圆中，能够的两条弧叫做等弧。
题型考点：①相关概念的理解与认识。
知识点02 圆的对称性1.圆的对称性：圆既是图形，有条对称轴。
又是图形，对称中心是圆的。
【即学即练1】1．圆的有关概念：（1）圆两种定义方式：（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做．线段OA叫做．（b）圆是所有点到定点O的距离定长r的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够的弧叫等弧．（5）等圆：能够的两个圆叫等圆，半径的两个圆也叫等圆..【即学即练2】2．如图中有条直径，有条弦，以点A为端点的优弧有条，有劣弧条．【即学即练3】3．下列说法中，正确的是．①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧；③长度相等的两条弧是等弧；④圆心不同的圆不可能是等圆；⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形；⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段；⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形．知识点03 垂径定理1.垂径定理的内容：垂直于弦的，弦，平分弦所对的和。
圆的有关性质（第1课时）教学目标1．通过观察、操作、归纳等数学活动理解圆的定义，感受圆和实际生活的联系，体会数学知识在生活中的普遍性．2．理解弦、直径、弧、优弧、半圆、劣弧、等圆、等弧的概念，能够在图形中识别弦和弧．3．理解概念之间的区别和联系，能灵活运用圆的有关概念解决问题．教学重点圆的定义的形成过程；理解与圆有关的概念．教学难点圆的集合性定义．教学准备准备直尺和圆规．教学过程新课导入希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆．”圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象．你能发现下面图片中的圆形吗？【师生活动】教师展示图片，学生指出图片中的圆形．【设计意图】结合生活实际，列举生活中的圆，让学生体会圆在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，激发学生的学习兴趣，引出本节课要学习的“圆的有关性质”．新知探究一、探究学习【问题】我们在小学已经对圆有了初步认识．请仿照图中方法，在纸上画一个半径为3 cm的圆．观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？【师生活动】学生先自己画图，教师演示画圆的动态过程；然后学生小组讨论圆的形成过程，教师进行总结．【新知】在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”．【设计意图】学生动手操作中发现圆的形成过程，得出圆的描述性定义．【问题】量一量，圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么特点？反过来，到定点的距离等于定长的点又有什么特点？【师生活动】学生独立操作，思考答案，教师进行演示，师生一起总结．【新知】（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．【设计意图】学生动手操作中得出圆的集合性定义．让学生认识到，把一个图形看成满足某种条件的点的集合，必须符合：（1）图形上的每一点都满足某个条件；（2）满足这个条件的每一个点，都在这个图形上．这两个条件缺一不可．【思考】（1）以2 cm为半径能画几个圆？（2）在同一个平面内，以点O为圆心能画几个圆？（3）在同一个平面内，以点O为圆心、以2 cm为半径，能画几个圆？（4）确定一个圆需要哪几个要素？【师生活动】学生先自己画图，然后小组讨论交流，教师进行演示，师生一起总结．【归纳】确定圆的两个要素：圆心和半径；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．【设计意图】让学生在交流讨论中，体会到只有圆心和半径都确定，才能确定一个圆．【新知】连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．如图，AB，AC是弦，AB是直径．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．【思考】直径与弦有什么关系？半圆与弧有什么关系？【师生活动】学生小组讨论得出：直径一定是弦，但弦不一定是直径；弦包括直径，直径是特殊的弦．半圆一定是弧，但弧不一定是半圆．【设计意图】引导学生分析弦与直径、弧与半圆之间的区别与联系．【新知】大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的ABC）叫做优弧；小于半圆的弧（如图中的AC）叫做劣弧．【思考】图中还有其他的优弧或劣弧吗？【师生活动】学生独立思考后回答：优弧BAC，劣弧BC．【设计意图】巩固新学习的优弧和劣弧的概念．【问题】仔细观察下面的动图，想一想什么情况下两个圆能够完全重合？【师生活动】学生小组讨论，教师进行延伸、总结．【新知】能够重合的两个圆叫做等圆．容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．如图，AB，CD，EF是等弧．【设计意图】借助动图和动画，形象地展示等圆和等弧的特点，让学生对等圆和等弧的理解更深一层．二、典例精讲【例1】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．【师生活动】学生独立完成，并小组讨论，尝试进行解答，教师给予帮助．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD．又∵AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD．∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上（如图）．【归纳】巧用圆的特性，判断多点共圆．判断多点是否在同一个圆上的问题，实质上是寻找一个定点，判断这些点到定点的距离是否相等，若存在这样的定点，则这些点在同一个圆上；若不存在这样的定点，则这些点就不在同一个圆上．【设计意图】巩固学生对圆的定义的理解和掌握．【例2】写出图中⊙O的直径、弦、优弧、劣弧．【师生活动】学生独立完成，教师出示答案．【答案】解：直径AC；弦AB，BC，AC；优弧BCA，BAC；劣弧AB，BC．【设计意图】锻炼学生在图形中识别弦和弧的能力．【例3】有以下结论：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．0个【师生活动】学生独立完成，教师出示答案．【答案】A【解析】直径相等即半径相等，所以①正确；等弧是指在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以②错误；直径把圆分成的两个半圆就是等弧，所以③错误．【提醒】（1）直径是圆中最长的弦，而弦不一定是直径．（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆．（3）弧包括优弧、劣弧和半圆．（4）等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关．（5）等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧．【设计意图】帮助学生理解圆的相关概念之间的区别和联系．课堂小结板书设计一、圆的描述性定义二、圆的集合性定义三、圆的相关概念课后任务完成教材第81页练习第1～3题．。
圆的有关性质（一）一、内容综述：1.圆的有关概念：(1).圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
圆还有旋转不变性。
(2).点和圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则:点在圆内d<r点在圆上d=r点在圆外d>r2.有关性质：（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（2）同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
（3）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径。
（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
3.难点讲解：垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)．如果将定理的条件与结论一个换一个或两个换两个，就可得到九个逆命题，并能证明它们都是真命题．教科书把较重要的作为推论l，而其余的作为练习题。
总之，一条直线，如果它五个性质中的任何两个成立，那么它也一定具有其余三个性质．推论1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧，推论1的实质是：一条直线(如图)(1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．(2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。
则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧．(3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧．推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图中，若AB∥CD，则注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。
第一课时 圆的有关概念及性质知识要点概括：1．圆、圆心角、圆周角的定义。
2．圆的性质：①对称性（轴对称，中心对称）②旋转不变性。
3．圆的确定：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4．垂径定理及其推论（知“二”推“三”）5．在同圆或等圆中：等弦 等弧 等弦心距 等圆心角。
6．圆周角定理及其推论。
7．三角形的内心与外心。
典型例题剖析：例1．如图，⊙O的弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2例2．两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形面积为16cm 2，则半圆的半径为________.单元目标训练： 一、填空题 1．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC 上一点，若∠CEA ＝28°，则∠ABD ＝_________.（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图） 2．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD=6，那么BD=_______.3．如图，⊙O 的直径CD=10，弦AB=8，AB ⊥CD ，垂足为点M ，则DM 的长为__________.4．如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°，若PE 2+PF 2=8，则AB 等于_________.5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC=30°，点P 在线段OB 上运动，设∠ACP=x ，则x 的取值范围是________. 二、选择题6．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB=28°，则∠C 的大小为（ ）A ．28°B ．36°O MA B（C ．60°D ．62°7．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD=22，BD=3， 则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（ ）A ．()a 12- B ．a 212- C ．a 422- D ．()a 22- 9．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ∥OC.（1）求证：AC 平分∠OAB（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交AC 于点P ，若AB=2，∠AOE=30°，求PE 的长.10．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD=24m ，OE ⊥CD 于点E. 已测得sin ∠DOE=1312 （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？第二课时 与圆有关的位置关系知识要点概述：1．点与圆的位置关系：①点在圆内<=>d ＜r ②点在圆上<=>d ＝r ③点在圆外<=>d ＞r2．直线与圆的位置关系：①相交<=> d ＜r ②相切<=> d ＝r ③相离<=> d ＞r 3．切线的性质和判定：三种判定方法，五个性质 4．切线长定理5．圆与圆的位置关系：①外离<=>d ＞R ＋r ②外切<=>d ＝R ＋r③相交<=>R －r ＜d ＜R ＋r ④内切<=>d ＝R －r ⑤内含<=>d ＜R －r典型例题剖析：例1．在数轴上，点A 表示实数3，点B 表示实数a ，⊙A 的半径为2，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外例2．两圆的圆心距为3，两圆半径分别为方程0342=+-x x 的两根，则两圆位置关系是（ ）A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切单元目标训练：一、选择题1．图中圆与圆之间不同的位置关系是（ ） A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种2．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A ．与x 轴相离、与y 轴相切B ．与x 轴、y 轴都相离C ．与x 轴相切、与y 轴相离D ．与x 轴、y 轴都相切3．将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了（ ） A ．1圈 B ．1.5圈C ．2圈D ．2.5圈4．如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB 的取值范围是（ ） A ．8≤AB ≤10 B ．AB ≥8C ．8＜AB ≤10D ．8＜AB ＜105．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，点C 在⊙O 上，BC ∥OD ，AB=2，OD=3，则BC 的长为（ ） A ．32 B ．23 C ．23 D ．22 二、填空题6．如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，若∠APB=60°，⊙O 的半径为3，则阴影部分的面积为____________.（第6题图） （第7题图） （第8题图）7．如图，在Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3，将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA 、BC为半径的圆形成一圆环，则该圆环的面积为__________. 8．如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使AB BP 21=，PC 切半圆O 于点C ，点D 是AC 上和点C 不重合的一点，则∠D 的度数为__________.9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接BC 、AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连接BF ，与直线CD 交于点G. 求证：BC 2=BG ·BF.10．如图，点C 是半圆O 的半径OB 上的动点，作PC ⊥AB 于C ，点D 是半圆上位于PC 左侧的点，连接BD 交线段PC 于E ，且PD=PE. 求证：（1）PD 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为34，38=PC ，设OC=x ，PD 2=y. ①求y 关于x 的函数关系式；②当3=x 时，求tan ∠DBA 的值.（第三课时 圆中的计算问题知识要点概述：1．正多边形与圆的概念2．正多边形的性质3．圆中的弦长与扇形面积：180R n π= R R n S 213602==π扇形 4．圆柱和圆锥的侧面积： R S π2=圆柱（ 为圆柱高）R S π=圆锥（ 为母线长）典型例题剖析：例1．如图，已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）A ．π4cm 2B ．π6 cm 2C ．π9cm 2D ．π12 cm 2例2．如图，三角板ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点A ′落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则点B 转过的路径长为_________.单元目标训练： 一、选择题1．边长为a 的正六边形的面积等于（ ） A ．243a B ．a 2 C ．2233a D ．233a2．挂钟分针的长为10cm ，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是（ ） A ．cm215π B ．π15cm C ．275πcm D ．π75cm 3．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sin θ的值为（ ） A ．125 B ．135 C ．1310 D ．13124．如图，水平面上有一面积为30πcm 2的扇形AOB ，半径OA=6cm ，且OA 与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（ ） A ．20cm B ．24cmC ．40πcmD ．30πcm5．如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 二、填空题6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ），点O 是这段弧的圆心，C 是AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB=300m ，CD=50m ，则这段弯路的半径是________m.7．将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO=________度. 8．若一个圆锥的底面积是侧面积的31，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______度.9．如图，一个圆锥的高为33cm ，侧面展开图是半圆. 求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比； （第7题图） （2）求∠BAC 的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留π）10．将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图①放置，图②是由他抽象出的几何图形，其中点B 在半圆O 的直径DE 的延长线上，AB 切半圆O 于点F ，且BC=OD. （1）求证：DB ∥CF.（2）当OD=2时，若以O 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，求OB.（第四课时圆的综合问题知识要点概述：图中常见辅助线：1．遇到直径时，常构造直径所对圆用角，即直角。
模块六 圆第一讲 与圆有关的概念及性质知识梳理 夯实基础知识点1：与圆有关的概念1.圆的定义如图,在平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,则另一个端点A 所形成的封闭曲线叫做圆,固定的端点O 叫做圆心,线段OA 的长为r,叫做半径.以点O 为圆心的圆,记作“ O”,读作“圆O”.注:圆也可以看成到定点的距离等于定长的点的集合.2.圆的有关概念同心圆圆心相同、半径不同的圆叫做同心圆。
等圆能够重合的两个圆叫做等圆半圆圆的任意一条 的两端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“ ”表示。
大于半圆的弧叫做 ，如 ABC ；小于半圆的弧叫做 ，如AB .等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦连接圆上任意两点的叫做弦，如弦AC弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
直径经过 的弦叫做直径，如直径BC 。
圆心角顶点在 的角叫做圆心角，如∠AOB 。
圆周角顶点在圆上，并且 都与圆还有另一个交点的角叫做圆周角，如∠ACB 。
3.确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
4.圆的对称性(1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是圆所在的平面内任意一条过圆心的直线.(2)圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,都能与自身重合,旋转中心为圆心,圆的这种性质叫做圆的旋转不变性.(3)圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.知识点2：垂径分弦1.垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且 弦所对的两条弧。
注意:垂径定理使用时必须具备两个条件：一是直径；二是垂直，二者缺一不可。
2.垂径定理的逆定理：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：定理中括号内“非直径”这三个字不能省略,否则定理不成立。
知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦相等,所对弦的弦心距相等。
第1讲-圆的有关性质1（1）在同圆或等圆中，“同弧或等弧上”的圆周角＝12；（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的和相等；反之亦然；（3）直径所对的圆周角是，反之，90°的圆周角所对的弦是．1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝40°，则∠C的度数为（）．A．30°B．40°C．50°D．80°22．垂径定理：如图1，若AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，则，，．2．（14常德）如图1所示，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB＝10，CD＝8，则圆心O到弦CD的距离为．图13．（14凉山）如图，已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，求AC的长．CNCMABO．4．已知⊙O 的半径是10，点C 是弦AB 的中点，弦MN 过C 点，且AB 为12，MN 为16，求NC 的值．5．已知，在⊙O 中，弦AB 与直径MN 成45°角，且把MN 分成1和9长的两段，求AB 的长．6．⊙O 的半径为5，弦AB ，MN 互相垂直于E ，且AE 为1，BE 为7，求ME ，NE 的长度．OBA MNE OBA MNCBAO第9题第11题图157．（14山西）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为（ ）． A ．30° B ．40° C ．50° D ．80°8．（14毕节）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ）． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 9．（14临沂）如图，在⊙O 中，AC ∥OB ，∠BAO ＝25°，则∠BOC 的度数为（ ）．A ．25°B ．50°C ．60°D ．80°10．（14潍坊）如图，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是（ ）． A ．44° B ．54° C ．72° D ．53° 11．（14内江）如图，在⊙O 中，∠AOB ＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为（ ）．A ．B ．3C ．D ．4323第7题第8题OAB第10题ABDEO·C12．如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ，BE 是弦，且DF BE =．求证：D B ∠=∠．13．如图，AB ，CD 是⊙O 中互相垂直的直径，点E 是的中点，连EO 并延长交⊙O 于F ，连EA ，ED ．求证：FE 平分∠AED ．14．点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，OC ⊥AB ，∠ADC ＝30°． （1）求∠BOC 的度数；（2）求证：四边形AOBC 是菱形．15．如图，M在x轴上，⊙M交x轴于A，B，交y轴于D，F，D为的中点，AC交OD 于E，交BD于N．（1）求证：AE＝DE；（2）若AC＝4，求点D的坐标；（3）探究：EM与BN之间的数量关系和位置关系．16．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：EB＝EC；（2）分别求式子AB ACBF+，AB ACAF-的值；（3）若EF＝AC＝3，AB＝5，求△AEF的面积．第15题图17．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值是．18．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则P A＋PC的最小值为．19．如图，BC为⊙O的直径，BC＝42，，P为BC上一动点，M为AB的中点，设△P AM的周长为m，则m的取值范围是．20．如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．21．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，．（1）求证：AF＝CF；（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长．第17题第19题第18题22．（13资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数．图1图2第一讲-参考答案1．C 2．33．OM ＝3，AC ＝4 54．连接OC ，则OC ⊥AB ，在Rt △ACO 中，OC ＝8，过O 点作OD ⊥MN ，垂足为D ，则在Rt △OND 中OD ＝6，Rt △OCD 中，CD 22OC OD -27CN ＝278．5．记AB 与MN 交点为C ，作OH ⊥AB 于H ，连结OB ，依题意得：MC ＝1，CN ＝9， ∴OB ＝5，OC ＝4，∵∠OCH ＝45°，∴OH ＝22，HB 258-＝17，AB ＝217． 6．ME ＝7，NE ＝1 7．B8．B9．B10．B11．C12．证明：连接AE ，CF ，∵DF ＝BE ，∴∠DCF ＝∠BAE ，∵∠CFD ＝∠AEB ＝90°，∴∠D ＝∠B ．13．证明：∵点E 是弧BC 的中点，∴弧CE ＝弧BE ，∴∠A ＝∠D ，∵OA ＝OE ，OE ＝OD ，∴∠AEF ＝∠A ，∠DEF ＝∠D ， ∴∠AEF ＝∠DEF ，∴FE 平分∠AED ．14．（1）解：∵∠ADC ＝30°，∴∠AOC ＝60°又∵OC ⊥AB ，∴弧AC ＝弧BC ， ∴∠BOC ＝∠AOC ＝60°．（2）证明：∵∠BOC ＝∠AOC ＝60°，又∵OA ＝OB ＝OC ，∴△AOC 和△BOC 是全等的等边三角形， ∴OA ＝OB ＝BC ＝AC ，∴四边形AOBC 是菱形．15．（1）证明：连结AD ，如图，∵M 在x 轴上，⊙M 交x 轴于A ，B ，∴AM 为⊙M 的半径， ∵AB ⊥DF ，∴，∵D 为的中点，∴，∴，∴∠DAC ＝∠ADF ，∴AE ＝DE ；（2）解：连结DM 交AC 于H ，如图，∵D 为的中点，∴DM ⊥AC ，AH ＝CH ，∴∠AHM ＝90°，AH ＝21AC ＝2， ∵∠ODM ＋∠DMO ＝90°，∠MAH ＋∠AMH ＝90°，∴∠ODM ＝∠HAM ，在△ODM 和△HAM 中，DOM AHM ODM HAM MD MA∠=∠∠=∠=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴△ODM ≌△HAM （AAS ），∴OD ＝HA ＝2， ∴D 点坐标为（0，2）；（3）解：EM ∥BN 且EM ＝21BN ．理由如下： ∵△ODM ≌△HAM ，∴MO ＝MH ，在Rt △MHE 和Rt △MOE 中，MH MOME ME==⎧⎪⎨⎪⎩，∴Rt △MHE ≌Rt △MOE （HL ），∴∠1＝∠2，∵∠AMD ＝∠MDB ＋∠B ，即∠1＋∠2＝∠MDB ＋∠B ，而∠MDB ＝∠B ， ∴∠1＝∠B ，∴ME ∥BN ，∵M 为AB 的中点，∴ME 为△ABN 的中位线，∴ME ＝21BN ． 16．（1）证明：∵∠BAC 的外角平分线交⊙O 于E ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠EBC ，∠2＝∠3，∴∠EBC ＝∠3， ∴EB ＝EC ；（2）解：在BA 上截取BD ＝CA ，连接DE ，如图，在△BED 和△CEA 中，45BE CE BD CA=∠=∠=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴△BED ≌△CEA （SAS ）， ∴ED ＝EA ， ∵EF ⊥AD ， ∴DF ＝AF ，∴AB ＋AC ＝BD ＋DF ＋F A ＋BD ＝BF ＋DF ＋BD ＝2BF ， AB －AC ＝BD ＋DF ＋AF －BD ＝2AF ， ∴AB AC BF+＝2BF BF＝2，AB AC AF-＝2AF AF＝2；（3）解：由（2）得BD ＝AC ＝3，∵AB ＝BD ＋DF ＋AF ＝AC ＋2AF ， ∴3＋2AF ＝5，∴AF ＝1， ∵EF ＝3，∴△AEF 的面积＝12×3×1＝32．17．8 18．7 2 19．2＋25≤m ≤6＋2520．解：连接OD ，∵AB ⊥CD ，CF ⊥AD ，∴∠AFO ＝∠CEO ＝90°，∵在△AOF 和△COE 中，∠AOF ＝∠COE ，∴∠A ＝∠C ， ∵∠A ＝∠ODA ，∠C ＝∠ODC ，∴∠A ＝∠ODA ＝∠ODC ， ∵∠A ＋∠ODA ＋∠ODC ＝90°，∴∠ODC ＝30°， ∴OD ＝1，DE ＝32，CD ＝3．21．（1）证明：如图，连接BC ，AC ，∵弧AC ＝弧CE ，∴∠B ＝∠CAE ， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，即∠ACD ＋∠BCD ＝90°， ∵CD ⊥AB ，∴∠B ＋∠BCD ＝90°， ∴∠B ＝∠ACD ，∴∠CAE ＝∠ACD ， ∴AF ＝CF ；（2）解：连接AC ，OE ，OC ，BC ，设CO 与AE 交点为G ，则OC ⊥AE ，EG ＝AG ＝12AE ＝4．∵弧AC ＝弧CE ，∴∠COE ＝∠COA ，即∠GOE ＝∠DOC ， 又∵∠OGE ＝∠ODC ＝90°，OE ＝OC ，∴△EGO ≌△CDO （AAS ）， ∴OG ＝OD ．在△OEG 中，∵∠OGE ＝90°，OE ＝5，EG ＝4， ∴OG ＝3，∴OD ＝OG ＝3，CG ＝AD ＝2． 设GF ＝x ，则CF ＝AF ＝4－x ， 在△CGF 中，∵∠CGF ＝90°，∴CF 2＝CG 2＋GF 2，即(4－x )2＝22＋x 2，解得x ＝1.5， ∴EF ＝EG ＋GF ＝4＋1.5＝5.5．22．解：（1）如图1，过点O 作OE ⊥AC 于E ，则AE ＝12AC ＝12×2＝1，∵翻折后点D 与圆心O 重合， ∴OE ＝12r ，在Rt △AOE 中，AO 2＝AE 2＋OE 2，即r 2＝12＋(12r )2，解得r ＝233；（2）如图2，连接BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝25°，∴∠B ＝90°－∠BAC ＝90°－25°＝65°， 根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，∴∠DCA ＝∠B －∠A ＝65°－25°＝40°．。
