24.1 圆的有关性质(第4课时)优质课件PPT

连接OA，OB．
根据圆周角定理，得∠C1＝
1 2
∠AOB，
∠C2＝
1 2
∠AOB，∠C3＝
1∠AOB， 2
∴∠C1＝∠C2＝∠C3．
由此可得，同弧所对的圆周角相等．
C2
C1
C3
O
A
B
（2）等弧所对的圆周角
如图，在⊙O中，如果 AB ＝DE ，那么它们所对的圆周角∠C1 和∠C2的大小有什么关系？由此你能得到什么结论？
它们所对的弧一定相等．
O B
理由：在同圆或等圆中，如果两个圆周
角相等，那么它们所对的圆心角相等，因此 它们所对的弧也相等．
C
E
D
探究 仔细观察下面的动图，想一想直径所对的圆周角的度数确定吗？
如果确定，它是多少度？
探究 仔细观察下面的动图，想一想直径所对的圆周角的度数确定吗？
如果确定，它是多少度？
A
O
B
∴∠AOD＝∠BOD， ∴AD＝BD．
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
D
∴AD＝BD＝ 2 AB＝5 2
2 (cm) ．
巧用圆周角定理及其推论解决两类问题 （1）解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是 圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利 用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半 等关系求解． （2）在圆中有直径即可连接圆一点与直径的两个端点，构 造直径所对的圆周角，这是圆中添加辅助线的一种常用方法．
如图，∠C＝90°，
C
根据圆周角定理：圆周角∠C的度数等
O
于它所对的圆心角∠AOB度数的一半，
A
B
∴∠AOB＝180°．

C
3．证明猜想
（3）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半？ 证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D． A ∵ OA=OB， ∴ ∠BAD=∠B． 又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B， 1 O ∴ BAD BOD． 2 1 同理， CAD COD． B 2 C D 1 ∴ BAC BAD CAD BOC． 2
A
O
B
5．应用
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长． C 解：连接 OD，AD，BD， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ACB=ADB=90°． O A B 在 Rt△ABC 中， BC= AB 2 AC 2 = 102 62 =8（cm）
A O O B C B C B C A A O
3．证明猜想
我们来分析上页的前两种情况，第三种情况请同学 们完成证明． （2）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半？ A ∵ OA=OC， ∴ ∠A=∠C． 又∵ ∠BOC=∠A+∠C， 1 ∴ BAC BOC． 2 O B
6．课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎样探究圆周角定理的？在证明过程 中用到了哪些思想方法？
7．布置作业
教科书第 88 页
练习第 2，3，4 题．
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知

A
课件
O B
活动一：复习导入
垂径定理
▪ 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条
弧.
C
如图∵ CD是直径,
A M└
B
●O
D
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
课件
活动二：名题引路
▪ 如图，已知AB是⊙O
▪ 的中点，弦CD经过点M，∠CMA=30°，
▪
则CD4=15
cm
C
8
E
A
O2
M
B
4 D
课件
活动四：顺利闯二关
▪ 1、（1）⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD, AB=6 cm, CD=8 cm,
▪ ①请画出图形
▪ ②根据图形，求出AB与CD之间的距离 是 。 7cm或1cm
▪
(2)你能直接写出此题的答案么：
O
B
A
课件
D
思考：
1、图中有哪些相等的量？
2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD？ C
3、将弦AB进行
平移时，以上结A O
B
论是否仍成立？
课件
D
思 1.图中有哪些相等的量？
?
考 2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD ？
3.将弦AB进行平移时， C 以上结论是否仍成立？
4.当弦AB与直径 CD不垂直时,以 A
课件
思考： 1、图中有哪些相等的量？
2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD？
C B
O

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A ·r O
问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
形成性定义(动态)：在一个平面内，线段 OA 绕它 固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的 图形叫做圆．
概 念
与圆有关
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧 都叫做半圆.
的概念 等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，
优弧、劣弧：能够互相重合的弧叫做等弧. 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.
24.1.1 圆
推进新课
知识点1 圆的定义
圆的概念
如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一
个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫
做圆．
A
固定的端点 O 叫做圆心；
r
线段 OA 叫做半径；

昨天跟同学一起吃饭，同学说：“他说，感谢你成就了他”。当时也只是报以微笑回应，分手四年了，这四年里始终单身，不敢在谈爱，我怕会时不时冷战，也怕周末约逛街、景点走一走的时候还没到目的地就已经闹的不开心却还要顾及其他人而强颜欢笑……习惯了单身，是真的会上瘾，这句话一点都没错。这几年我去了很多的地方，走了很多城市，看了很多曾经不曾看过的风景。 想回到过去，刚在一起的时候，想告诉曾经的自己，这段感情，不会有结果。也想狠狠的骂自己一顿，清醒点，一个不适合自己的人，不要在坚持，所有的一切都是徒劳，不开心的日子会比快乐多，你该现在放手。 我用青春成就了你，换来了我在也不想触碰爱。
身边的友人渐渐地脱单，越来越多的走进婚姻的殿堂，而我依然在殿堂外独自行走，关心自己的人，都在为自己着急，挑选各种各样认为好的女孩，而我却总是无动于衷。我不知道是因为自己对爱情的惧怕，还是对婚姻的恐惧，还是已无力与一个陌生人去从相识开始，也以无心去接受这一切，所以独自逃离的远远地，不提不问不想不念。 我不知道，未来，谁与我并肩看人间烟火。只是，在内心深处，有一股浓浓的思念萦绕心尖，剪不断，理还乱，或许，是一年，或许，是两年，或许，一辈子。刚刚结束了班夫的自驾游，去之前一点没做攻略，除了传说中对美景的盛赞，对那里几乎一无所知。 头一次毫无准备地上路，得益于同行的友人一家，他们已是三顾班夫了，轻车熟路，所以我放心地当了甩手掌柜，从装备到路线、酒店、景点、美食，统统不必操心，乐得轻松自在。 这是一片广袤的天地，无一处不风景，无一眼不风情。 最喜欢峡谷里的瀑布，清凉的冰水摧枯拉朽般从高耸的岩壁奔流而下，无止无休，千年万年，冲刷出今日的残岩断壁。伫立在水边，俯仰之间，山水交融，仿佛看到了久远的一幕，子在川上曰：逝者如斯夫。 而友人一家之所以乐此不疲地到此三游，则是为了一座岛——精灵岛，位于嘉士伯国家公园的马琳湖。 精灵岛已经成了他们心中的一份执念。 第一次慕名而至，临近冬季，一场大雪扑灭了他们通往精灵岛的梦幻之旅。 第二次避开了雪季，却不想又被大雾遮望眼，再一次与精灵岛失之交臂。 此行已是第三次了，虽然沿途的景致百看不厌，却比不上心系精灵岛的一眼。 遗憾的是，又一次天公不作美，明明之前连日的晴空万里，偏偏这一日阴雨绵绵云雾缭绕，注定又要错失梦想中的小岛了。 我的心情还好，因为没有过多的期待，入目皆是美景，撑起雨伞欣赏了一圈雨中湖景朦胧岛影，后来在湖边的礼品店里看到了清晰的精灵岛图片，权当完成了心愿。 友人静静地站在湖边，望着面前的雨幕，一言不发。 我向她提议，“不如我们多呆一天，或许明天就放晴了。” “天气预报说今天下午才有雨，本以为早上赶过来还能来得及看一眼的。”她失落地说。 “那明天呢？”我暗自惭愧，自己连天气预报都没看。 “明天也有雨。”她皱眉道。 “那--”我不知该说什么安慰好了。 “走吧，这就是人生，总要有点遗憾的，就让它永远留在我的心里，偶尔想念一下，作为求而不得的最美风景吧！”她甩甩头，最后看了一眼她的梦想，然后潇洒地往回走了。 她的一番话似乎把所有的不悦都带走了，突然觉得这样的遗憾竟比睛天还美。 风景自在人心，有时候不完美也是一种完美。 于是想起另一个故事。 一次聚会，有个朋友刚从张家界旅游回来，大赞那里风景绝美，堪称人间仙境。 在看过她晒出的自拍后，所有人都开始兴致勃勃地憧憬起来，相约什么时侯有假期可以同行。 只有闺蜜沉默不语。 我后知后觉地记起来，她和初恋男友分手的那年暑假，正是她男友从张家界回来之后不久。 她曾经说过，此生都不会去那个地方，因为在她心里，那是世界上最美的地方，是他曾经承诺要带她一起去看的风景，因为少了他，再美的风景都是泡影。 难道这么多年过去了，她还没能放下？ 她看出我的疑惑，淡淡地笑了，“不是因为他，纯粹是不想去。我相信它是最美的，就因为相信，所以不想破坏了它在我心里的那份完美，一旦真正去了，总会有遗憾，现实永远没有想象的完美。” 她把初恋放下了，却放不下他为她描绘的那片风景。还是因为太在意啊，没有期盼，何来遗憾？ 人生需要遗憾，因为遗憾，所以真实；因为遗憾，所以美丽。 就象张家界之于闺蜜，精灵岛之于友人一家，每个人的遗憾都源于心中所念。 心有所系，故有所憾。引导语：傻孩子，你记住，可以哭，可以恨，但是不可以不坚强。心若在，梦就在，你必须非常努力，因为后面还有一群人在等着看你的笑话。即便是躺着中枪，也要姿势漂亮！ 傻孩子，你记住：我们有许多的梦想，不一定都能实现，有些梦想甚至要摒弃。不要把自己太当回事，也不要把自己太不当回事。好好地呵护自己，对自己好点，就要有好的心态，有了好的心态就会心胸宽广，就会豁达，就会有好的心境。 傻孩子，你记住：爱一个人不容易，忘记一个人更难。是啊，爱一个人是很苦的很苦的事，想一个人是很累的很累的事，等一个人是很傻的很傻的事，为什么我们却不能拒绝这样的相思？为什么我们心甘情愿无怨无悔？为什么我们却如此依然痴迷不悟？

第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两

2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角

平分弦所对的两条弧。
知识梳理
知识点4：垂径定理的应用。
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题。
“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径
的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆（semi-circle）。
圆
能够重合的两个圆叫做等圆，容易
看出：半径相等的两个圆是等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的
弧叫做等弧。
圆
概念辨析
直径是弦，弦是直径。这句话正确吗？
2
2
1
∠DOB。
2
圆周角
探究结论
෢
分别测量图中所对的圆周角∠ACB和
圆心角∠AOB的度数，可以发现两角的
度数相同。
同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所
对的圆心角的度数的一半。
圆周角
则有圆周角定理：一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半。
我们还可以得到推论：（1）同弧或等弧
进一步，我们还可以得到推论：平分弦（
不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦
所对的两条弧。
垂直于弦的直径
问题二
赵州桥（图右）是我国隋代建造的石拱桥，距
今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨
度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的
中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱
8（）。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD。又在Rt∆ABD中，
2
2
2
2
2
AD +BD =AB ，∴AD=BD= AB= ×10=5

2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= 166°．
C
O
A
B
3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于 点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（A ） A.30° B.40° C.50° D.60°
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准 确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角 定理.
解：当船位于安全区域时， 即船位于暗礁区域外（即 ⊙O外） ，与两个灯塔的夹 角∠α小于“危险角”.
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?
A
(2)求证：BD DE .
解:BD=CD.理由是:连接AD,
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x， ∵四边形ABCD内接于圆， ∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°， ∵2x+6x=180°， ∴ x=22.5°. ∴ ∠A=45°， ∠B=67.5°， ∠C =135°， ∠D=180°-67.5°=112.5°.
当堂训练
1.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ × ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ × ）
练一练
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝ 120°，那么∠BCD是( A )
A．120° B．100° C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝ 180°－60°＝120°，故选A.
例6 在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度 数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.

B
D
O
F
E
(2)请写出以点A为端点的弦及直径；
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
C
A
(
(
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 AF 和 ABF .
巩固练习
在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是直
径;③如图所围成的图形是半圆.
其中正确的命题有 ①
.
解析： 弧不但包括半圆，还包括优弧、劣弧，
探究新知
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
⌒ =BD.
⌒ =BC,
⌒
⌒ AD
∴ AE=BE, AC
·O
A
E
D
B
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种
语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
探究新知
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
课堂检测
能力提升题
一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓
着一只羊，请画出羊的
活动区域．
5m
课堂小结
（描述性定义）
要画一个确定的圆，关
键是确定圆心和半径
集 合 定 义
同圆半径相等
旋转定义
同心圆
定义
圆
有关
概念
同圆
等圆
等弧
直径是圆中最长的弦
例 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.

2
∴∠B=90°-∠BAC=60°，∴∠B+∠BCD=180°， ∴CD∥AB
（2）连结OA、OB，∵∠DOC=2∠DAC=60°， ∴△ODC为等边三角形，而∠B=60°， ∴△OBC为等边三角形，∵AB∥CD， ∴S△ADC=S△ODC，而S△OBC=S△ODC，S△ABC=2S△OBC， ∴S△ACD：S△ABC=1：2．
思考：圆内接四边形的4个角之间有什么关系？
1.在圆内画不同的内接四边形ABCD，用量角器 分别度量一组对角的和. 2.观察所得数据，你发现了什么？
3.作出猜想：圆内接四边形的对角互补.
4.你能证明自己的猜想吗？
已知：四边形ABCD内接于⊙O. 求证：∠A+∠C=180°，
∠B+∠D=180°
证明：如图所示，连接OB，OD.
检测反馈
1.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=34°，
则∠AOB的度数为（ D ）
A.34°
B.56°
OC
C.60°
D.68°
AB 2.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项
可能成立（ B ）
A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶3∶2
3.如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°， 则∠D=__6_0_°__，∠AOB=__1_2_0_°_．
4.已知如图，在圆内接四边形ABCD中， ∠B=30°，则∠D=_1_5_0_°_．
5.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到 C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
5．应用