同济大学第七版高数A下知识点

练习1-1
文案大全
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练习1-2
文案大全
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练习1-3
文案大全
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文案大全
文案大全
文案大全
文案大全
文案大全
文案大全
文案大全
文案大全
文案大全。

-
0
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无
-
-
yf(x)
1
极小值
↗
无
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0
拐点
↗
无
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-1
极大值
练习3-7
总习题三
x
(, 0)
0
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不存在
-
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f(x)
↗
2
极大值
↘
极小值
↗
练习4-2
练习4-3
练习4-4
>>>
总习题四
练习5-1
练习5-2
练习5-3
练习5-4
总习题五
练习6-2
练习6-3
总习题六
练习7-1
练习7-2
练习7-3
练习7-4
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3练习3-4Biblioteka 练习3-5练习3-6
x
(2)
2
(21)
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y
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y
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+
0
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yf(x)
练习7-5
练习7-6
总习题七
练习8-1

函数、极限、连续一、函数：五大类根本初等函数幂函数，指数函数，对数函数反函数，有界性，奇偶性三角函数：正割函数，余割反三角函数二、极限1、数列的极限夹逼准那么2、函数的极限〔1〕两个重要极限〔2〕无穷小：高阶，低阶，同阶，等价；性质：有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小。

等价无穷小代换；三、连续间断点：第一类，第二类左右极限都存在；可去间断点，跳跃间断点无穷间断点，振荡间断点一切初等函数在定义区间内都连续。

闭区间上连续函数的性质：零点定理：方程根的存在性第二章导数与微分、相关概念1、导数的两大定义式；2、左右导数；3、几何意义；4、可导与连续的关系。

5、16 个根本导数公式，4 个求导法那么二、六大类函数求导1、复合函数求导；2、隐函数求导；3、参数方程所确定的函数求导；4、幂指函数求导；对数求导法5、分段函数求导；6、抽象函数求导。

三、微分1、概念；可微2、计算第三章微分中值定理与导数的应用一、中值定理罗尔定理：驻点拉格朗日中值定理二、洛必达法那么三、单调性和凹凸性单调性：求单调区间；求极值；证明不等式；证明方程根的唯一性。

极值的第一充分条件有且仅有；凹凸性：凹凸区间；拐点四、渐近线1、水平渐近线2、垂直渐近线3、斜渐近线第四章不定积分一、不定积分的概念；〔13+2〕原函数；被积函数；积分变量二、计算1、凑微分法〔第一类换元法〕2、第二类换元法3、分部积分法〔一〕4 小题〔二〕2 小题〔三〕1 小题简单根式的积分第五章定积分一、相关概念和性质积分下限，积分上限几何意义：面积的代数和[a,b] 积分区间比拟性质定积分的中值定理二、关于计算方面的内容1、定积分的计算；2、广义积分〔反常积分〕；〔1〕无穷限的广义积分；收敛；发散〔2〕无界函数的广义积分〔瑕积分〕无界间断点，瑕点3、积分上限的函数；〔1〕变上限定积分；〔2〕求导运算；4、用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积。

两个简便公式第六章微分方程一、相关概念定义：未知函数，未知函数的导数，自变量；阶，解，通解，特解初始条件二、四类方程1、可别离变量的微分方程；2、一阶线性微分方程；一阶齐次线性。

链式法则
复合函数的求导法则，即一个复合函数的导数等于其内部函数的导数乘以外部函数的导数。
乘法法则
复合函数的求导法则，即两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第二个函 数的导数乘以第一个函数。
隐函数的求导公式
隐函数
一个方程可以确定一个函数，这样的函 数称为隐函数。
VS
隐函数的求导公式
曲面及其方程
曲面的概念
曲面是一维图形在三维空间中的表现形式，它由多个点组成，每个 点都对应于空间中的一个位置。
曲面方程
曲面方程是描述曲面形状和大小的数学表达式。对于给定的曲面， 可以通过在其上任取一点，并建立该点的坐标系来得到该曲面的方 程。
常见曲面及其方程
例如，球面、锥面、柱面等都有对应的方程式。这些方程式描述了这 些曲面的形状和大小，并且可以通过图形来直观地表现出来。
VS
详细描述
对坐标的曲面积分主要用于计算曲面图形 上某部分区域内某物理量的累积值，如流 量、速度等。求解方法通常为定义法、参 数方程法、公式法等。在具体问题中，还 需考虑积分曲面的方向、不同部分的分界 线等因素。
THANK YOU
重积分的应用
总结词
重积分的应用非常广泛，包括求面积、求体 积、求质量等。
详细描述
重积分的应用包括求曲顶柱体的体积、求空 间物体的质量、求平面的面积等。例如，利 用二重积分可以求出平面区域的面积，利用 三重积分可以求出空间物体的质量。此外， 重积分还可以用于求解某些物理问题，如力
学、电磁学、光学等问题。
两个向量的向量积是一个向量，记作 $\overset{\longrightarrow}{a} \times \overset{\longrightarrow}{b}$，其 大小等于两个向量对应分量乘积的矢 量和，其方向垂直于两个向量所确定 的平面。

高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

10.空间曲线的切线与法平面
11.空间曲面的切平面与法线
12.方向导数与梯度
13.多元函数的极值和条件极值的计算
14.直角坐标系下二重积分的计算（交换积分次序(可能作为填空题)）
15.极坐标下二重积分的计算（计算题）
16.三重积分的计算
17.第一类、第二类曲线积分的计算
18.积分与路径无关的条件
19.格林公式的应用（应用在封闭曲线上）
高数A（二）知识重点
1.两个平面之间的垂直或平行（平面的法向量）
平面方程：A x +B y +C z +D =0
2.多元函数的定义域
3.多元函数的极限
4.多元函数的连续性
5.多元复合函数求偏导数
6.多元隐函数求偏导数
7.多元函数的微分
8.多元函数偏导数连续性和可微的关系
9.分段函数在分段点处，连续偏导数存在和可微的判断
20.第一类、第二类曲面积分的计算
21.高斯公式的应用（封闭曲面）Байду номын сангаас
22.正项级数敛散性的各种判别方法
23.交错级数敛散性的判别方法
24.一般项级数敛散性的判别（绝对收敛、条件收敛）
25.幂级数的收敛半径，收敛域以及和函数的计算（逐项求导或积分求和）
26.常微分方程的阶，可分离变量的微分方程的通解与特解

高等数学同济第七版下册笔记
摘要：
一、引言
二、高等数学同济第七版下册的主要内容
三、下册的重点与难点
四、学习建议与方法
五、总结
正文：
一、引言
高等数学是理工科专业的基础课程，对于学生的综合素质培养具有重要意义。

同济大学第七版《高等数学》下册，作为经典教材，涵盖了微分方程、向量代数与空间解析几何、无穷级数等内容，是学生学习高等数学的重要参考资料。

二、高等数学同济第七版下册的主要内容
1.微分方程：介绍了常微分方程的基本概念、解法及其应用，如线性微分方程、一阶微分方程组、线性微分方程组等。

2.向量代数与空间解析几何：涉及向量及其运算、空间解析几何中的直线与平面、空间曲线与曲面等内容。

3.无穷级数：讨论了级数收敛性、级数求和、幂级数、傅里叶级数等概念。

三、下册的重点与难点
1.微分方程：理解微分方程的基本概念，熟练掌握解法，并能应用于实际问题。

2.空间解析几何：熟练掌握向量及其运算，理解空间解析几何中的直线与平面、空间曲线与曲面的性质。

3.无穷级数：理解级数收敛性及其判断方法，熟练掌握级数求和技巧，了解幂级数与傅里叶级数的性质及应用。

四、学习建议与方法
1.注重理论联系实际，通过大量例题巩固理论知识。

2.及时复习，整理笔记，避免遗漏重点内容。

3.参加讨论班，与同学互相交流，取长补短。

4.多做习题，提高解题能力。

五、总结
同济大学第七版《高等数学》下册是学生学习高等数学的重要教材，内容丰富且具有挑战性。

练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一练习2-1练 Nhomakorabea2-2练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
(2)
2
(21)
1
(11)
1
(1)
y
0
+
+
+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(01)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
-
-
-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
(1)
-1
(10)
0
y
-
-

抛物线
y2
2
pz 绕 z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz
旋转抛物面 z
z
y x
y xo
22
旋转椭球面
y2
椭圆
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和z轴；
x 0
绕 y轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
z
o
y
x
23
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(Q( x) xkQm ) 12
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
设
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
R(2 m
)
(
x
)
sin
x
],
其中
R(1) m
(
x
),
R(2) m
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)
而
y1*与
y
* 2
分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x) y P( x) y Q( x) y f2 ( x)
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
代入即可证得 .
解的叠加原理
(
x
)是m次多项式，m
maxl
,

2 ()
∭ (, , ) = ∫ ∫

Ω
2 (,)
∫
1 ()
(, , )
1 (,)
=
三重积分转化为柱坐标计算 { =
=
⇒ ∭ (, , ) = ∭ (, , )
=0
当|| < 1时，级数收敛
当|| > 1时，级数发散
当|| = 1时，级数发散
∞
1
调和级数 ∑ 发散

=1
基本性质：
∞
∞
如果级数 ∑ 收敛于和 s ，那么级数 ∑ 也收敛于和 (为常数)
=1
∞
=1
∞
∞
∑ = ， ∑ = ，那么 ∑ （ ） = ±

( )
的计算

1 当 = C即有( ) = ( + ) = ( + )
○



1
——sxd
( )

亦然
2 当 = (, )即有 ( ) = + ( &#= + ( + )

方向导数 │
(0 ,0 )
= (0 , 0 ) cos + (0 , 0 ) cos ，其中cos ，cos 是方向的方向余
弦
梯度grad(0 , 0 ) =▽(0 , 0 ) = (0 , 0 ) → + (0 , 0 ) →


三元函数 = (, , ) 全微分 = + +
抽象函数的 z 偏导
= (, )， = (, )， = (, )

高等数学同济第七版下册1. 引言高等数学作为一门重要的学科，对于理工类专业的学生来说是必修课程之一。

同济大学高等数学第七版下册是高等数学教材系列中的一本教材，本文将对该教材进行全面的介绍和分析。

2. 教材概述高等数学同济第七版下册是同济大学出版社于2016年出版的教材，是同济大学高等数学教材系列的一部分。

本册主要涵盖了多元函数微分学与积分学两个方面的内容。

该教材的整体结构合理，内容丰富。

每个章节都包括了概念、定理、例题和练习题等部分，使得学生可以系统地学习和巩固所学的知识。

3. 内容分析3.1 多元函数微分学教材第一章至第四章是关于多元函数微分学的内容。

其中包括了多元函数的极限与连续、偏导数与全微分、多元函数的微分学基本定理等内容。

这些内容涉及到了多元函数的性质、导数的定义和性质等方面的知识。

3.2 积分学教材第五章至第八章是关于积分学的内容。

其中包括了定积分与不定积分、多元函数的积分学、曲线积分与曲面积分等内容。

这些内容涉及到了积分的概念、性质以及在多元函数中的应用等方面的知识。

3.3 附录教材的附录部分包括了一些高等数学中常用的参考公式和函数等内容，方便学生在学习和解题过程中的参考使用。

4. 特点和优势4.1 清晰的结构该教材的结构清晰，每个章节的内容安排合理，既有理论知识的阐述，又有例题和练习题的提供，使得学生可以系统地学习和巩固知识。

4.2 知识点简明易懂教材中的知识点表述简明易懂，使用了简洁明快的语言，结合具体的例题和图表，使得学生能够更好地理解和掌握知识。

4.3 练习题丰富多样教材中的练习题种类繁多，题目涵盖了不同难度的题目，既能够巩固基础知识，又能够扩展学生的思维，提高解题能力。

5. 使用体验笔者在使用高等数学同济第七版下册教材时，深受其简明扼要的特点所吸引。

教材在阐述概念和定理时，用语简明，清晰明了；在例题和解题方法的讲解中，始终贴合实际问题，并配以详细的步骤和推导过程，便于学生理解和掌握。

dx Fy
x Fz y Fz
9、空间曲线的切线与法平面：设空间曲线 的参数方程为
x (t), y (t), t [, ]
z (t),
M (x0 , y0 , z0 ) 为曲线上一点
假定上式的三个函数都在[, ]上可导，且三个导数不同时为零
则向量 T f '(t0 ) ('(t0 ), '(t0 ),'(t0 )) 为曲线 在点 M 处的一个切向量，曲
ax
az
bx bz
j + (1)13
ax bx
ay
by k = (aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
注： a b b a
3、二次曲面
（1）
x2 椭圆锥面：
y2
z2 ；
a2 b2
x2 y2
x2 y2
（2） 椭圆抛物面： z ； （旋转抛物面：
A12 B12 C12 A22 B22 C22
特殊： 两平面互相垂直 A1A2 B1B2 C1C2 0
两平面互相平行或重合 A1 B1 C1 A2 B2 C2
6、点 P（x0, y0, z0 ) 到 平 面 Ax By Cz D 0 的 距 离 公 式 ：
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C 2
的形式给出，则 在点 M 处的切线方
G(x, y, z) 0,
程为： x x0 y y0 z z0
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面方程为：
Fy Fz Gy Gz
M
(x
x0 )
Fz Fx Gz Gx

同济高等数学第七版下册1. 引言《同济高等数学第七版下册》是同济大学数学系编写的一本高等数学教材。

本教材是数学专业本科生的必修课程，主要涵盖了微分方程、多元函数积分学、曲线积分与曲面积分等内容。

本文将对该教材进行全面的介绍和评价。

2. 教材概述《同济高等数学第七版下册》共分为十个章节，分别是：1.微分方程初步2.二阶线性常微分方程3.欧拉方程和二阶齐次线性微分方程4.变量分离方程和一阶线性微分方程5.常系数齐次线性微分方程6.变系数线性微分方程7.高阶线性微分方程8.多元函数微分学初步9.多元函数的偏导数与全微分10.曲线积分与曲面积分每个章节都有详细的讲解和例题，并配有练习题供读者练习。

3. 教材特点《同济高等数学第七版下册》的特点主要体现在以下几个方面：3.1. 内容全面教材内容全面涵盖了微分方程、多元函数积分学、曲线积分与曲面积分等重要的数学知识点。

每个章节的讲解都循序渐进，结构清晰，易于理解。

3.2. 理论与实践相结合教材不仅讲解了理论知识，还通过大量的例题和习题来巩固和应用所学知识。

这种理论与实践相结合的方式有助于学生更好地理解难点和掌握解题技巧。

3.3. 题目分类明确教材中的习题按照题型和难度进行分类，有助于学生选择适合自己水平的习题进行巩固训练。

每个章节还配有习题的解答，方便学生自我检验和纠正。

4. 教材优势4.1. 知识点详尽在每个章节的讲解中，教材都对重要的知识点进行了详尽的讲解，包括基本概念、性质、定理和定律等。

学生通过学习教材，可以全面了解和掌握数学中的基本概念和知识。

4.2. 解题方法详细教材中的例题和习题都给出了详细的解题方法和步骤，对于学生来说非常有帮助。

通过学习教材，学生可以了解到不同类型题目的解题思路和技巧。

4.3. 知识扩展教材还提供了一些扩展知识和拓展阅读的内容，进一步丰富了教材的知识面。

这对于对数学有浓厚兴趣的学生来说，可以提供更多的学习资源和学习机会。

5. 教材不足虽然《同济高等数学第七版下册》在内容和讲解方面都有一定的优势，但也存在一些不足之处：5.1. 难度适应问题教材的难度适应的问题不够良好，有些章节的内容对于一些学生来说可能较难理解，而有些章节的内容又相对简单。

高等数学（第七版·下册）同济大学知识点一、多元函数微分学多元函数微分学是高等数学中的一个重要分支，研究的是多元函数的导数、微分以及应用。

在本章中主要介绍了以下几个知识点：1. 偏导数与全微分•偏导数：多元函数的偏导数是指函数在某一点上某个自变量的变化率。

•全微分：多元函数的全微分是在某一点上，函数值关于自变量的微小变化量。

2. 高阶偏导数与多元函数的泰勒展开式•高阶偏导数：多元函数的高阶偏导数是指对多个自变量进行重复求导的结果。

•多元函数的泰勒展开式：用多项式逐次逼近函数的方法，可以近似表示函数在某一点附近的取值。

3. 隐函数与参数方程的求导•隐函数求导：对于由方程定义的函数，可以通过偏导数求导的方法来求解其导数。

•参数方程求导：对于由参数方程定义的函数，可以通过链式法则将参数的导数转化为函数关于参数的导数。

4. 方向导数与梯度•方向导数：多元函数在某一点沿着给定方向的变化率。

•梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向函数值增加最快的方向，模表示变化率最大的值。

5. 多元函数的极值与条件极值•多元函数的极值：函数取得的最大值或最小值。

•条件极值：在满足一定条件下，函数取得的最大值或最小值。

6. 格林公式与高斯公式•格林公式：二维平面上的曲线积分与这个曲线所围成的区域上的面积分之间的关系。

•高斯公式：三维空间中，某个闭合曲面上的散度与这个曲面所围成的空间区域内的体积分之间的关系。

二、多元函数积分学多元函数积分学是研究多元函数的积分以及应用的学科。

本章介绍了以下几个知识点：1. 二重积分•二重积分的概念：二重积分是将二元函数沿着某一平面区域上的小面积元素进行累加得到的量。

•二重积分的性质：二重积分具有线性性、可加性、保号性等性质。

2. 二重积分的计算方法•基本的计算方法：可以通过把二重积分化为累次积分的形式进行计算。

•坐标变换法：通过变换坐标系，使得被积函数的形式更简单，从而更容易计算。

《高等数学A》(第二学期)期末总复习一、微分方程(一)一阶微分方程：形如(,,)0F x y y ，(,)y f x y 或(.)(,)0M x y dx N x y dy初值问题：00(,),x x y f x y yy 注：一阶方程的通解必须且只能含有一个任意常数1． 可分离变量方程：()()f x dx g y dy ，两边同时积分可得通解 2．齐次方程：dy y dx x，令y u x ，y xu ，dy du u x dx dx ()du dx u u x ，可分离变量形式 3．一阶线性微分方程： 形如()()dyP x y Q x dx，()0Q x ：齐次；()0Q x ：非齐次. (1)齐次：()0()||()dy dy P x y P x dx ln y P x dx lnC dx y通解：()P x dxy Ce(2)非齐次①常数变易法：先求相应齐次形式的通解，令其任意常数为变量，再代入原方程以确定该变量②公式解：()()()P x dxP x dx y e Q x e dx C(二)可降阶的高阶微分方程(1)()()n y f x 型：连续积分；(2)(,)y f x y 型(不显含y 的方程)：设y p ，则(,)y p p f x p (3)(,)y f y y 型(不显含x 的方程)：设y p ，则dp y p dy (,)dyp f y p dy(三)二阶线性微分方程的解的结构 1．齐次：()()0y P x y Q x y ，通解：1122()()y C y x C y x ，其中12(),()y x y x 为该方程两个线性无关的特解． 2．非齐次：()()()y P x y Q x y f x通解：()*()y Y x y x ，其中()Y x 为对应的齐次方程的通解，*()y x 为原方程的一个特解．3．设**12(),()y x y x 分别为1()()()y P x y Q x y f x 与2()()()y P x y Q x y f x 的特解， 则***12()()y y x y x 为12()()()()y P x y Q x y f x f x ＋的特解．(四)二阶常系数线性微分方程1.齐次：0y py qy ，其中,p q 都为常数(1)特征方程20r pr q 特征根12,?r r(2)通解：12112121212121,2()(cos sin )r x r x r x x C e C e r r y C C x e r r e C x C x r i2.非齐次：()y py qy f x ，其中,p q 都为常数(1)先求出对应的齐次方程0y py qy 的通解：()Y Y x ； (2)后求原非齐次方程的特解：A、()()x m f x e P x 型：令*()k x m y x e Q x ，其中k 是特征方程的根 的重数B、()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x 型：令*[()cos ()sin ]k x m m y x e Q x x R x x ，其中max{,}m l n ，k 是特征根i 的重数.注意事项1) 积分法主要方程类型：可分离变量方程(分离变量后直接积分)、齐次方程(令u y x )、一阶线性方程(公式法)、伯努利方程1()n zy 、可降阶方程(不显含x ：,p y p y 与不显含y ：,p y y p dp dy ) 2) 碰到一个方程都是从可分离变量方程开始判断形式，认清形式最关键3) 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解利用解的结构结论：非齐次通解(两线性无关特解的线性组合)=齐次通解+非齐次解；求解步骤为：齐次方程 特征方程 特征根 齐次通解；设非齐次特解形式 代入原方程 求得非齐次特解 非齐次通解二、向量代数与空间解析几何(一)向量代数1.点(,,)M x y z 向量(,,)OM x y z xi yj zk；2.点111222(,,),(,,)A x y z B x y z 向量212121(,,)AB x x y y z z； 3.向量运算及其坐标形式：设(,,),(,,)x y z x y z a a a a b b b b，则(,,)x x y y z z a b a b a b a b；(,,)x y z a a a a （ 为数）；||||cos(,)x x y y z z a b a b a b a b a b a b ；x y z x y zi j ka b a a a b b b ，(||||||sin(,),,)a b a b a b a b b a b a ；以向量a 和b为邻边的平行四边形面积公式：||S a b//y x z x y z b b b a b a a a（对应坐标成比例，一向量某个坐标为零，另一向量相应坐标亦为零）； 0a b a b ；//0a b a b ； cos(,)||||a b a b a b ； ||cos(,)a b b a b Prj . (二)曲面、空间曲线及其方程1.曲面及其方程:(,,)0F x y z ，旋转曲面【绕谁不换谁， 正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】；要熟悉常见的二次曲面及其方程并会作图(重点：球面，圆柱面，锥面，抛物面)2.空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程(只有一个参数)；3.曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投xOy 便两两联立消去z ，其余类推. (三)平面方程与直线方程 1.平面方程(1)一般方程：0Ax By Cz D ，其中(,,)n A B C为其一法向量．(2)点法式方程：法向量(,,)n A B C，点000(,,)M x y z ，则000()()()0A x x B y y C z z ．(3)截距式方程：1x y za b c，主要用于画图. (4)平面束方程：过直线111122220A xB yC zD A x B y C z D 的平面束方程为：11112222()()0A x B y C z D A x B y C z D ：过该直线的除第2个平面外的所有平面.2.直线方程(1)点向式方程：方向向量(,,)s m n p，点0000(,,)M x y z L ，则000x x y y z z m n p； (2)参数式方程：000x x mty y nt z z pt（注：主要用于求交点坐标）；(3)一般式方程：1111222200A x B y C z D A x B y C z D3.面面、线线、线面关系：确定了相应的方向向量或法向量之后，其夹角便转化为向量之间的夹角4.距离：点0000(,,)M x y z 到平面0Ax By Cz D 的距离：d主要题型（1）向量数量积的运算或求夹角；(2)计算三角形面积（3）求解直线方程和平面方程.注意事项1) 本章的向量是自由向量，与起点无关，可任意平移2) 空间直角坐标系利用右手准则建立，xyz 要满足这样的循环关系x y z x 3) 数量积是个数量，向量积是个向量，重点掌握它们的坐标形式4) 数量积可用于求向量夹角(介于0到 之间)，向量积可用于确定方向及计算三角形或平行四边形面积 5) 一个方程(一个等号)是一个面，两个方程(两个等号)是条曲线 6) 平面主要抓住法向量，直线主要抓住方向向量三、多元函数的微分学及其应用(一)极限与连续二重极限常用求法：夹逼准则、等价无穷小、有理化，不可用洛必达法则；注：特殊方向法只能证极限不存在 连续性①一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的；②有界闭区域上的连续函数必有最值. (二)偏导数1.显函数：(,)z f x y a．定义：0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x，00(,)y f x y 定义类似；要掌握定义法求偏导b．求导法则：对x 求偏导，暂时视y 为常量；对y 求偏导，暂时视x 为常量c．高阶偏导数：22(,)xx z z f x y x x x ；2(,)xy z z f x y x y y x定理：二阶混合偏导在其连续时相同.d．复合函数的求导法则（链式法则）：若(,)z f u v 具有连续偏导数，而(,)u g x y 与(,)v h x y 都具有偏导数，则复合函数[(,),(,)]z f g x y h x y 的偏导数为：12u x v x x x z z u z vf u f v fg fh x u x v x ，12u y v y y yz z u z v f u f v f g f h y u y v y注①解题时，要注意偏导数以及导数的写法，并按顺序遍历每一个中间变量；②111,,f f f 等都具有相同的中间变量.2.隐函数（要诀：方程两边同时对自变量求导；一个方程确定一个因变量，剩下的全为自变量）(1)一个方程的情形：二元方程可确定一个一元隐函数：(,)0F x y :x ydy F dx F 公式法 三元方程可确定一个二元隐函数：(,)(,)0,z z x y y x z zF z F zF x y z x F y F 公式法：，(2)方程组的情形：三元方程组确定两个一元隐函数：()()(,,)0,(,,)0y y x z z x x F x y z dy dz G x y z dx dx对求导四元方程组可确定两个二元隐函数：(,)(,)(,,,)0(,,,)0u u x y v v x y F x y u v G x y u v对x (或y )求偏导得,u vx x（或,u v y y ） (三)全微分：可微函数(,)z f x y 的全微分为：z zdz dx dy x y. 定义为：0000[(,)(,)]()z f x x y y f x y A x B y o，其中全微分存在之证明：计算 z A x B y ，证明是否趋近于0，其中,A B 为该点处的两个偏导数. (四)几何应用（重点把握切向量和法向量） 1． 曲线的切线与法平面a、 若曲线 的参数方程为：()()()x x t y y t z z t，点0000(,,)M x y z t t ，则切向量为000((),(),())T x t y t z t ，切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t；法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z b、 若曲线 的方程为：()()y f x z g x ，点000(,,)M x y z ，则切向量为00(1,(),())T y x z xc、 若曲线 的方程为一般方程：(,,)0(,,)0F x y z G x y z，点000(,,)M x y z ，则切向量为00(1,(),())T y x z x （利用隐函数求导法，方程两边对x 求导，解方程组可得,dy dzdx dx）．(注：该法若无解，需改换其它自变量求导) 【另解：利用三阶行列式计算 x y z x y zij k T F F F G G G】2． 曲面的切平面与法线a、 若曲面 的方程为(,,)0F x y z ，点000(,,)M x y z ，则法向量为：((),(),())x y z n F M F M F M，切平面方程为：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z ； 法线方程为：000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y zb、 若曲面 的方程为(,)z f x y ，点000(,,)M x y z ，则法向量为：0000((,),(,),1)x y n f x y f x y，切平面方程为：0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z ； 法线方程为：0000000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y(五)方向导数与梯度 （以二元函数为例）(1)方向导数：设(,)z f x y 可微分，(cos ,cos )l e，则000000(,)(,)cos (,)cos x y x y f f x y f x y l(2)梯度：(,)((,),(,))x y f x y f x y f x y grad ，沿梯度方向，方向导数取得最大值，该值即为梯度的模.(六)极值 (1)无条件极值：设(,)z f x y ，由(,)0(,)0x y f x y f x y解得驻点00(,)x y ，令000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ，然后利用,,A B C 判定驻点是否极值：20AC B 有极值，0A 极小，0A 极大；20AC B 无极值；20AC B 用此法无法判定．(2)条件极值：(,)z f x y 在条件(,)0x y 下的极值：构造拉格朗日函数，令(,)(,)(,)L x y f x y x y ，联立方程(,)0(,)0(,)0x y L x y L x y x y，其解00(,)x y 为可能的极值点．是否为真正的极值点，一般可由问题的本身性质来判定．(3)闭区域上最值问题：内部区域令一阶偏导为零得驻点；边界通过代入法或拉格朗日乘数法求可疑点.注意事项1) 二重极限与一元函数极限的本质区别在于前者趋近方向有无数多个，而后者只有左右两个 2) 特殊方向法只能用于证明二重极限不存在，绝对不能用于求二重极限3) 掌握右边的关系图4) 求切线和法平面主要抓住曲线切向量，求切平面和法线主要抓住曲面法向量 5) 沿梯度方向，方向导数取得最大值，最大值为梯度模长四、积分的计算与应用(一)二重积分1.直角坐标：(,)D I f x y dxdy 2121():()()()12():()()()12(,),(,),b y x a x b D a y x y x y y x dx y c y d D cx y x y x x y dx f x y dy dy f x y dx若若注(1)利用可任意平移的穿线来确定积分顺序及积分上下限；要先对x 求积分，则画平行于x 轴的穿线 (2)若积分区域不只一条穿线，则适当分割之；(3)常考题型：交换二次积分的积分顺序．2.极坐标： cos ,sin (cos ,sin )x y d d d DI f d d， 注(1)被积函数或积分区域中含有22xy 的都可以考虑极坐标法(2)积分顺序： ；（3）先确定 的范围，后固定 ，选取从极点出发的穿线来确定 .(注：此处的穿线为一条由极点出发的射线，可绕极点任意旋转) 3.对称性(1)奇偶对称性：若积分区域D 关于x 轴对称， 1(,),0D x y D y ，则①当(,)f x y 是关于y 的奇函数，有(,)0Df x y dxdy ；②当(,)f x y 是关于y 的偶函数，有1(,)2(,)DD f x y dxdy f x y dxdy .(2)轮换对称性：若积分区域D 关于直线y x 对称，则(,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy .4.应用： 平面面积DA dxdy ；曲顶柱体体积DV d 上顶下底； a注：求立体体积，不一定要画出立体的准确图形，但一定要会求出坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程.曲面面积xyD A dS（yzD或zxD ）(二)三重积分1.投影法（先一后二法） 1221(,,)|(,)(,),(,)(,)(,)(,,)xy xyx y z z x y z z x y x y Dz x y z x y D I dxdy f x y z dz确定区域：先将立体区域 投影到xOy 平面上，选取平行于z 轴的穿越线确定z 的上下限.2.截面法（先二后一法）(,,)|,(,)(,,)z zx y z c z d x y D dc D I dz f x y z dxdy主要适用于(1)被积函数(,,)f x y z 仅含一种或不含自变量，比如只含z (2)截面应易计算其面积3.柱面坐标 cos ,sin ,x y z zdv d d dzI (cos ,sin ,)f z d d dz； 积分顺序：z ；确定积分上下限同上述投影法，取平行于z 轴的穿线；, 同极坐标.4.球面坐标 2sin cos ,sin sin ,cos sin x r y r z r dv r drd d I2(sin cos ,sin sin ,cos )sin f r r r r drd d积分顺序：r ；(1)将闭区域 投影至xOy 平面，以确定 的范围(2)在半平面c 内确定 的范围(3)固定, ，画一条从原点出发的穿越线，以确定r 的范围.5.对称性(1)奇偶对称性：设积分区域 关于xOy 平面对称①若(,,)f x y z 关于z 为奇函数，则(,,)0f x y z dv；②若(,,)f x y z 关于z 为偶函数， 1(,,),0x y z z ，1(,,)2(,,)f x y z dv f x y z dv.(2)轮换对称性：区域轮换对称即可.(三)曲线积分1.第一类曲线积分（对弧长）a、平面曲线：(,)L f x y ds :(),()L x x t y y t t[(),()]()f x t y tb、空间曲线：(,,)f x y z ds :(),(),()x x t y y t z z t t[(),(),()]()f x t y t z t 2.第二类曲线积分（对坐标），主要考虑平面曲线：(,)(,)L I P x y dx Q x y dyi)参数法：:(),()L x x t y y t ,:t (或t 由 变化到 ){[(),()]()[(),()]()}I P x t y t x t Q x t y t y t dtii）格林(Green)公式：(,)(,)()L D Q PP x y dx Q x y dy dxdy x y；不闭则补之(常取折线)． 注意条件：偏导数处处连续，L 为D 的正向边界曲线．定理：设函数(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内处处具有连续的偏导数，则下列命题相互等价： (1)沿D 内任意闭曲线C ，(,)(,)C P x y dx Q x y dy 0 ；(2)(,)(,)L P x y dx Q x y dy 在D 内与路径无关；(3)(,)(,)P x y dx Q x y dy 在D 内为某函数(,)u x y 的全微分，即存在函数(,)u x y ，使得du Pdx Qdy ； (4)在D 内恒有：P Qy x. 这里(,)u x y 可由下列两种方法求得：①线积分法：00(,)(,)(,)(,)(,)x y x y u x y P x y dx Q x y dy C ；选取特殊路径，一般是折线路径. ②偏积分法：由du Pdx Qdy ，得(,)uP x y x； 两边对x 求偏积分可得(,)(,)(,)()u x y P x y dx f x y C y两边对y 求偏导可得(,)()y u f x y C y y ，再由(,)uQ x y y，可解得()C y ，从而得(,)u x y ． (四)曲面积分1.第一类曲面积分（对面积）设:(,)z z x y ，(,)xy x y D，则(,,)[,,(,)]xyD I f x y z dS f x y z x y2.第二类曲面积分（对坐标）：(,,)(,,)(,,)I P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy(1)高斯(Gauss)公式：(P Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y z若不闭则补之，一般补平面．注意条件：偏导数处处连续及方向性： 为 的整个边界曲面的外侧． (2)投影法：注意垂直性， 垂直于被投影面,则积分为零．若不垂直，则(,,):(,)[(,),,]yzD P x y z dydz x x y z P x y z y z dydz【前正后负】(,,):(,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx y y z x Q x y z x z dzdx【右正左负】(,,):(,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy z z x y R x y z x y dxdy【上正下负】(2)化为第一类曲面积分：(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS注意事项1) 线和面积分的第一类的与方向无关，第二类的与方向有关2) 曲线与曲面积分可以将曲线或曲面方程代入被积函数，重积分一定不能代入3) 非封闭曲线上的第二类曲线积分的计算常用格林公式：先补辅助线，注意曲线方向与已知曲线一致；一般补折线4) 非封闭曲面上的第二类曲面积分的计算常用高斯公式：先补辅助面，辅助面的设定要有三个元素，分别是方程、侧和范围(即投影区域)；注意侧要保证一致对外或一致对内 5) 积分的实际意义1. 定积分：曲边梯形的面积、旋转体的体积、曲线长度、直线质量、恒力沿直线作功2. 二重积分：曲顶柱体的体积、平面质量3. 三重积分：立体质量4.第一类曲线积分：曲线质量5. 第二类曲线积分：变力沿曲线作功6. 第一类曲面积分：曲面质量7.第二类曲面积分：变速度流体流过曲面的流量五、级数(一)常数项级数及其收敛性1.定义：1n n u收敛（发散） lim n n s 存在（不存在）【部分和12n n s u u u 】2.基本性质：(1)1(0)n n ku k 与1n n u具有相同的敛散性；(2)1n n u 与1n n v 都收敛 1()n n n u v收敛；(3)改变有限项的值不影响级数的敛散性； (4)收敛的级数可以任意加括号； (5)若1n n u收敛，则lim 0n n u ；反之未必； (6)若lim 0n n u，则1n n u发散.3.特殊级数的收敛性【必须牢记之】：①调和级数11n n发散； 1111n n n 条件收敛；②p 级数11p n n ：当1p 时收敛，当1p 时发散； 1111n pn n：1p 时绝对收敛，当1p 时条件收敛. ③等比级数（几何级数）0n n aq，当||1q 时发散，当||1q 时收敛，且0(||1)1n n aaq q q． 4.正项级数审敛法：1n n u，其中0(1,2,)n u nI、1n n u收敛 部分和n s 有界；II、比较审敛法：(1)()n n u v n N ，若1n n v 收敛，则1n n u收敛；(2)极限形式：lim(0)nn nu l l v ，1n n u 和1n n v 具有相同的敛散性； 若0l ，则1n n v收敛，1n n u也收敛；若l ， 1n n v发散，1n n u也发散. 【可利用无穷小的比较记忆】III、比值(根值)审敛法：1lim)n n n nu u ，当1 时收敛；当1() 时发散；而当1时用此法不能判定其收敛性，转而用II 或I．5.交错级数 1(1)(0,1,2,)n n n n u u n：一般项绝对值{}n u 单调递减趋于零．6.任意项级数 1n n u（n u 为任意常数）：综合以上各方法来判断发散或收敛（绝对收敛，条件收敛）(二)幂级数 0()nn n n n u x a x或00()n n n a x x1.收敛半径： (1)若0n a 【不缺项】：1lim (lim n n n n a a ，,01,00,R (2)若缺项：如200()n n n n n u x a x ，由1()lim1()n n n u x u x ，解得收敛区间． 2.收敛域：先求收敛半径R ，可得收敛区间(,)R R ，再讨论端点x R 处的收敛性可得所求的收敛域3.幂级数和函数的求法：先求收敛域，再利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的和函数． 注：主要参照等比级数4.函数展开成幂级数 00()()n n n f x a x x()x I1）直接展开法：【利用泰勒展开定理】求导数得系数，写出泰勒级数，求其收敛域，最后记得判定余项趋于零，便可得到所求的展开式．2）间接展开法：利用幂级数的运算性质（加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分）以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的展开式．注：了解以下6个常用的展开式（重点是前两个）： ①01(||1)1n n x x x 、01(1)(||1)1n n n x x x ; ②0(||)!n x n x e x n ③210sin (1)(||)(21)!n n n x x x n ; ④20cos (1)(||)(2)!nn n x x x n⑤10ln(1)(1)(11)1n nn x x x n ⑥1222(1)(1)(1)(1)112!!m n n n m m m m m m m m n x C x C x C x mx x x n (三)傅里叶级数：只列举2T 情形，一般周期2T l 类似．1.傅里叶级数展开式：01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx 2.傅里叶系数： 1()cos (0,1,2,)n a f x nxdx n ，1()sin (1,2,)n b f x nxdx n(1)当()f x 为奇函数时，00(0,1,22()(1,2,3)n n a n b f x sinnxdx n) 此时级数变为1n n b sinnx ，称为正弦级数 (2)当()f x 为偶函数时，02()(0,1,20(1,2,3)n n a f x cosnxdx n b n ) 此时级数变为01cos 2n n a a nx ，称为余弦级数 3、收敛性条件：在一个周期内(1)处处连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点．4、和(函数)： 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ()()()()()2f x x f x f x f x x f x 为的连续点为的间断点 5.函数展开成傅里叶级数的题型(1)若()f x 为2T 的周期函数，则对()f x 验证收敛定理的条件，求出()f x 的间断点，利用收敛定理，写出()f x 的傅里叶级数的收敛性，再求出傅里叶系数，最后写出所求的傅里叶级数展开式．注意：必须写出展开式成立的范围，在展开式不成立的点（必为间断点）必须指明傅里叶级数的收敛性．(2)若()f x 只在[,] 上有定义，则必须对()f x 进行周期延拓，然后对周期延拓后所得的函数()F x 的傅里叶级数展开式限制在[,] 上讨论．(3)若()f x 只在[0,] 上有定义，对()f x 进行奇(偶)周期延拓，可得正弦（余弦）级数．。

同济高数考前知识点归纳第一章：数列和数列极限1.1 数列的定义和性质•数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数。

•数列的性质：有界性、单调性、有限项和无限项。

1.2 数列极限的定义和性质•数列极限的定义：若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，数列的值与极限的差的绝对值小于ε。

记作lim⁡(n→∞)⁡(an)=a。

•数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性和四则运算性质。

1.3 常见数列和其极限•等差数列：an=a1+(n-1)d，极限为an=a1。

•等比数列：an=a1*q^(n-1)，当|q|<1时，极限为0。

•斐波那契数列：an=an-1+an-2，当n→∞时，极限为∞。

第二章：函数与连续性2.1 函数的定义和性质•函数的定义：函数是一个或多个自变量和因变量之间的依赖关系。

常见表示：y=f(x)。

•函数的性质：定义域、值域、奇偶性和周期性。

2.2 函数的极限与连续性•函数的极限定义：若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，函数值与极限的差的绝对值小于ε。

记作lim⁡(x→a)⁡(f(x))=L。

•函数的连续性定义：若函数在点a处极限存在且与函数在点a处的函数值相等，即lim⁡(x→a)⁡(f(x))=f(a)，则函数在点a处连续。

2.3 常见函数及其性质•幂函数：f(x)=x^a，其性质与指数a的正负、大小相关。

•对数函数：f(x)=log⁡a(x)，其中a为底数，其性质与底数的大小相关。

•三角函数：正弦函数、余弦函数和正切函数等，具有周期性和奇偶性。

第三章：导数和微分3.1 导数的定义和性质•导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或dy/dx|_(x=a)，表示f(x)在点x=a处的瞬时变化率。

•导数的性质：可导性、线性性和乘积、商、链式求导法则。

3.2 常见函数的导数•幂函数的导数：f’(x)=a*x^(a-1)。

高等数学同济第七版下册笔记
以下是高等数学同济第七版下册的部分笔记：
1. 向量代数与空间解析几何：
复习笔记：包括向量及其线性运算、数量积、向量积、混合积、平面及其方程、空间直线及其方程、曲面及其方程、空间曲线及其方程等。

课后习题详解：对每个章节的习题进行详细的解答，包括向量的线性运算、向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积、平面方程、空间直线方程、曲面方程、空间曲线方程等。

2. 多元函数微分法及其应用：
复习笔记：包括多元函数的基本概念、偏导数、全微分、多元复合函数的求导法则、隐函数的求导公式、多元函数微分学的几何应用、方向导数与梯度、多元函数的极值及其求法等。

课后习题详解：对每个章节的习题进行详细的解答，包括多元函数的偏导数、全微分、多元复合函数的求导法则、隐函数的求导公式等。

3. 重积分：
复习笔记：包括二重积分的概念与性质等。

课后习题详解：对每个章节的习题进行详细的解答，包括二重积分的计算等。

以上是高等数学同济第七版下册的部分笔记，如需获取更多内容，建议查阅相关教辅练习或咨询专业人士。