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高等数学同济大学第七版上册答案题型：选择题1. 下列哪个函数是奇函数？A. y=x^2B. y=2x-1C. y=|x|D. y=\sin x答案：C2. 已知函数f(x)在区间[a,b]内单调递增，那么在以下哪个区间内f^{-1}(x)单调递减？A. [f(a),f(b)]B. [a,b]C. [f(b),f(a)]D. (-\infty,+\infty)答案：A3. 设\alpha为第二象限的角，则\cos\alpha等于A. -√2/2B. √2/2C. -√3/2D. -√6/2答案：B4. 若y=\log_3{(x+√1+x^2)}，则(1/y)等于A. 3√1+x^2B. \dfrac{3x}{√1+x^2}C. \dfrac{x}{√1+x^2}D. \dfrac{√1+x^2}{x}答案：B5. 函数f(x)=(1/2)(2x-1)\ln{(x+1)}在(0,+\infty)有单峰。
对于f(x)的单峰值点x_0，下列说法正确的是？A. f'(x_0)>0，且f''(x_0)>0B. f'(x_0)<0，且f''(x_0)<0C. f'(x_0)>0，且f''(x_0)<0D. f'(x_0)<0，且f''(x_0)>0答案：C题型：填空题6. 已知f(x)=x^3-3x^2+bx+c在x=1处取极小值-2，则b=____}，c=____}。
答案：b=-3，c=0。
7. 设a,b均为正数，若a\ln{3}+b\ln{5}=0，则\log_{15}{√a}+\log_{45}{√b}=____}。
答案：0。
8. 设函数f(x)具有二阶导数，f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=-2，则f(x)+f(-x)的极小值为____}。
第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
5.2 课后习题详解习题5-1 定积分的概念与性质1．利用定积分定义计算由抛物线y ＝x 2＋1，两直线x ＝a 、x ＝b （b ＞a ）及x 轴所围成的图形的面积．解：因为函数f(x)＝x 2＋1在区间[a ，b]上连续，所以函数可积，为计算方便，不妨把[a ，b]分成n 等份，则分点为每个小区间长度为取ξi 为小区间的右端点x i ，则当n→∞时，上式极限为即为所求图形的面积．2．利用定积分定义计算下列积分：解：因为被积函数在积分区间上连续，所以把积分区间分成n等份，并取ξi为小区间的右端点，得到（1）（2）3．利用定积分的几何意义，证明下列等式：证：（1）根据定积分的几何意义，定积分表示由直线y＝2x、x＝1及x轴围成的图形的面积，该图形是底边长为1、高为2的三角形，因此面积为1，即（2）根据定积分的几何意义，定积分表示的是由曲线以及x轴、y轴围成的在第I象限内的图形面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有（3）因为函数y＝sinx在区间[0，π]上非负，在区间[－π，0]上非正．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴所围成的图形D1的面积减去曲线y＝sinx（x∈[－π，0]）与x轴所围成的图形D2的面积，显然图形D1与D2的面积是相等的，所以有（4）因为函数y＝cosx在区间上非负．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线与x轴和y轴所围成的图形D1的面积加上曲线与x轴和y轴所围成的图形D2的面积，而图形D1的面积和图形D2的面积显然相等，所以有4．利用定积分的几何意义，求下列积分：解：（1）根据定积分的几何意义，表示的是由直线y＝x，x＝t以及x轴所围成的直角三角形面积，该直角三角形的两条直角边的长均为t，因此面积为因此有（2）根据定积分的几何意义，表示的是由直线x＝－2，x＝4以及x轴所围成的梯形的面积，该梯形的两底长分别为梯形的高为4－（－2）＝6，因此面积为21．因此有（3）根据定积分的几何意义，表示的是由折线y＝|x|和直线x＝－1，x＝2以及x轴所围成的图形的面积．该图形由两个等腰直角三角形组成，一个由直线y＝－x，x＝－1和x轴所围成，其直角边长为1，面积为另一个由直线y＝x，x＝2和x轴所围成，其直角边长为2，面积为2．因此（4）根据定积分的几何意义，表示的是由上半圆周以及x轴所围成的半圆的面积，因此有5．设a＜b，问a、b取什么值时，积分取得最大值？解：根据定积分几何意义，表示的是由y＝x－x2，x＝a，x＝b，以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去x轴下方部分面积．因此如果下方部分面积为0，上方部分面积为最大时，的值最大，即当a＝0，b＝1时，积分取得最大值．6．已知试用抛物线法公式求出ln2的近似值（取n＝10，计算时取4位小数）．解：计算y i并列表表5-2-1按抛物线法公式，求得7．设求解：（1）（2）（3）（4）8．水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力．已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p＝9.8h（kN／m2）．若闸门高H＝3m，宽L＝2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P．解：在区间[0，3]上插入n－1个分点，取ξi∈[h i－1，h i]，并记Δh i＝h i－h i－1，得到闸门所受水压力的近似值为根据定积分的定义可知闸门所受的水压力为因为被积函数连续，而连续函数是可积的，因此积分值与积分区间的分法和ξi的取法无关．为方便计算，对区间[0，3]进行n等分，并取ξi为小区间的端点所以。
习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。
