东南大学(2014～2015)年第一学期
桥梁结构振动与稳定分析
研究报告
成绩：
姓名：高明天
学号：145511
专业：桥梁与隧道工程
授课教师：万水
日期：2015年1月
目录
2薄板得振动理论及应用
2、1
薄板得自由振动
薄板自由振动得一般问题就是这样提出得：在一定得横向荷载作用下处于平衡位置得薄板，受到干扰力得作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。（1）试求薄板振动得频率，特别就是最低频率。（2）设已知薄板得初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时得挠度。
设薄板在平衡位置得挠度为),(y x w w e e =，这时，薄板所受得横向静荷载为
),(y x q q =。则薄板得弹性曲面微分方程为：
q w D e =∇4 （a)
式（a)标示：薄板每单位面积上所受得弹性力e w D 4∇与它所受得横向荷载q 成平衡。 设薄板在振动过程中得任意瞬时t 得挠度为),,(t t y x w w t =，则薄板每单位面积上在该瞬时所受得弹性力t 4w D ∇，将与横向荷载q 及惯性力i q 成平衡，即
i q q w D +=∇t 4 （b)
薄板得加速度就是2
2t w t ∂∂，因而每单位面积上得惯性力就是
2
2t
w m q t
i ∂∂-=
其中m 为薄板每单位面积内得质量（包括薄板本身得质量与随同薄板振东得质量），则式（b ）可以改写为
22t 4
t
w m q w D t
∂∂-=∇ (c)
将式（c ）与式（a)相减，得到
22t 4
)(t
w m w w D t
e ∂∂-=-∇
由于),(y x w w e e =不随时间改变，02
e
2=∂∂t
w ，所以上式可以改写成为 )()(22
t 4
e t e w w t
m w w D -∂∂-=-∇ (d)
命薄板在任意瞬时得挠度为e t w w w -=，而式(d)成为
224
t
w
m w D ∂∂-=∇
或
02
24
=∂∂+
∇t w
D m w （2-1） 这就就是薄板自由振动得微分方程。 微分方程(2-1)有如下形式得解答：
),()sin cos (1
1
y x W t B t A w
w m m m m m m m m
ωω+==
∑∑∞
=∞
= （2-2）
在这里，薄板上每一点(x,y)得挠度，被标示成为无数多个简谐振动下得挠度相叠加，而每一个简谐振动得频率就是m ω。另一方面，薄板在每一瞬时t 得挠度，则被标示成为无数多钟振形下得挠度相叠加，而每一种振形下得挠度就是由振形函数),(y x W m 标示得。
为了求出各种振形下得振形函数m W ，以及与之相应得频率m ω，我们取
),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=
代入式(2-1),然后消去因子)sin cos (t B t A ωω+，得出所谓振形微分方程
02
4
=-∇W D
m W ω （2-3） 如果由这一微分方程求得W 得满足边界条件得非零解，即可由关系式
W
W
m D 42
∇=ω （e ）
求得相应得频率ω。自由振动得频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板得固有特性，而与外来因素无关。
实际上，只有当薄板得m 为常量时，才有可能求得函数形式得解答。这时，命
42γω=D
m
（2-4)
则方程（2-3)简化为常系数微分方程
04
4=-∇W W γ （2-5）
现在就可能比较简便地求得W 得满足边界条件得、函数形式得非零解，从而求得相应得
γ值，然后再用（2-4）式求出相应得频率。将求出得那些振形函数及相应得频率取为m W 及
m ω，代入表达式（2-2）
，就有可能利用初始条件求得该表达式中得系数m A 及m B 。 设初始条件为
。),(),
,()(0
00y x t w y x w w t t ν=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=== 则由（2-2）式得
。
),(),(),
,(),(01
01y x y x W
B y x w y x W
A m m
m
m
m
m m
νω==∑∑∞
=∞
=
于就是可见，为了求得m A 及m B ，必将已知得初挠度0w 及初速度0v 展为m W 得级数，这在数学处理上就是比较困难得。因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动得完整解答，即任一瞬时得挠度。在绝大多数得情况下，只能求得各种振形得振形函数及相应得频率。
2、2四边简支得矩形薄板得自由振动
取振形函数为 b
sin s x
n a x m in
W ππ= （2a ） 其中m 及n 为整数，可以满足边界条件，代入
（2-5）式，得 图2-1
0b sin s -a m 4
222224=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x n a x m in b n ππγπ 为了这一条件在薄板中面上得所有各点都能满足，也就就是在x 与y 取任意值时都满足，
必须有
2
2222
4442
22224a m 0-a m ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b n b n πγγπ （2b ）
将式（b ）代入（2-4）式，得出自然频率得公式
m D b n m D 2
2222
44
2a m ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==πγω （2c ） 命m 及n 取不同得整数值，可以求得相应于不同振形得自然频率
m D b n mn
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=22222
a m πω （2-6）
当薄板以这一频率振动时，振形函数为
