初中数学北师大版九年级下册《223二次函数的图像》课件PPT

y=x2 二次函数y=x2、y=x2、
y= 12x2的图象都是抛物线、 开口方向、对称轴、顶点 坐标、增减性、最值都相同； 不同点是开口的大小不同.
1
x -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1
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(4)请同学们想一想,在 同一坐标系中作二次函 数y=2x2和y=-2x2的图象 会是什么样？ 二次函 数y=-x2和y=-2x2的图象 会是怎么样的，它们有 什么共同特点？
y=2x120 y
8 6 4
2
y=x2
-4 -2 O 2 4 x
y=-x2 y=-2x2
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（5）你能说出抛物线y=ax2对称轴、顶点 坐标是什么吗？抛物线y＝ax2的开口方向 和开口大小与什么有关？你能说出其中的 规律吗？ 抛物线y=ax2的对称轴是y轴；
顶点坐标（0,0）； a的符号决定开口方向， 当a＞0时,开口向上； 当a＜0时,开口向下； a 决定开口大小，a 越大,开口越小．
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二次函数 形状
y=x2
y=2x2 抛物线
开口方向
开口方向相同，都向上
对称轴
对称轴都是y轴（直线x=0）
顶点坐标 顶点都是原点，坐标为（0，0）．
相同点
增减性
在y轴左侧，都是y的值随x值的增大而减小； 在y轴右侧，都是y值随x值的增大而增大．
最值
都有最低点，即原点，即函数都有最小值， 当x=0时，y的值最小等于0．
(1)在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象
x
－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
y=2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8

（2）y=-3x2与y=-0.5x2 （3）y=-2x2+2与y=-4x2+2
2、下列每组函数中，后一个函数的图象经 过怎样的变换可以得到前一个函数的图象？
（1）y=-3x2与y=3x2 （2）y=0.3x2-2与y=0.3x2
（4）y=-5x2+6与y=5x2-1
3、如图，函数y=﹣ax2与y=ax+a的图象 在同一坐标系中可能是（ ）
北师大版数学九年级下册第二章
2.2二次函数的图象与性质
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？
形状 开口方向 对称轴
顶点
问题1：什么是二次函数？
问题2：如何画出二次函数y=x2 与 y=﹣x2的图象？它们的图象有什么特 点？ 问题3：接下来，研究什么类型的二 次函数呢？
同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D． 3、利用图形计算器将函数 y = x2的图象左右 平移，猜测函数表达式如何变化？为什么？
谢谢大家！
函数
y=ax2
图象
a>0
a<0
开口
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点
（0,0）
（0,0）
a决定了图象的开口大小
函数
图象
开口 对称轴
顶点
y=ax2+c
a>0 向上 y轴 （0,c）
2. 改变y=2x2+c中的c值，猜测图象如何 变化，利用图形计算器验证自己的想法， 比较异同，思考原因，总结共性. 3. 思考y=ax2+c与y=ax2的图象有什么关 系？
动态验证
函数

教师寄语
整理： 3(x 1)2 4
整理： 2(x 3)2 5
转化
思路：二次函数一般式
二次函数顶点式
知 新
一般步骤： 在二次函数一般式下能否不配方，就可以解决刚才的
1、问提题取？（提取二次项系数）
2、配方（加上一次项系数一半的平方，再减去配的数）
3、整理（整理为顶点式）
二、探究活动
问题探究，师生合作
四、我的收获
五、我的收获
二次函数顶点式.
二次函数对称 轴和顶点坐标
的求解方法 二次函数一般式，利用公式求解.
五、我的收获
六、作业布置 课堂延伸
必做题（全体都做）： 1、课本习题2.5知识技能第1题（1）、（4）； 2、课本40页做一做 3、课后思考a与b的符号对二次函数图像位置的影响。 选作题（A层）：4、课本习题2.5数学理解第2题
例、y 3x2 6x 7 提取二次项系数： （3 x2 2x） 7
配方： （3 x2 2x 11） 7
整理： 3(x 1)2 4
练习：y 2x2 12 x 13 提取二次项系数： （2 x2 6x）13
配方： （2 x2 6x 9 9）13
整理： 2(x 3)2 5
4
1 9
20 9
8 9
2
4a
4
1 9
4
对称轴是直线：x 4
顶点坐标是：（4，4）
y 1 42 8 4 20 4
9
9
9
四、当堂达标检测
1、求下列函数的对称轴与顶点坐标。
y 2x2 2x 5
对称轴：直线x 1
2
顶点坐标： （1 ，9 ）
22
四、当堂达标检测
2、（同桌合作）五步骤： （1）、请你在练习本上任意写出一个 二次函数的顶点式。 （2）、再把它展开化为一般式。 （3）、把一般式写在空白纸上送给你 的同桌，请他用公式法求出该函数的 顶点坐标。（注意你的顶点式要保密） （4）、请你们互相检查对错。

新知探究
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量。在我 国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的。
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一 年定期储蓄转存。如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达 式(不考虑利息税)。
y 100(x 1)2 100x2 200x 100
新知探究
y 5x2 100x 60000 y 100x2 200x 100
y是x的函数吗？y是x的一次函数吗？ y是x的反比例函数吗？
新知探究
y 5x2 100x 60000 y 100x2 200x 100
定义：一般地,形如 y ax2 bx c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次 函数。 提问:
(1)问题中有哪些变量? 其中哪些是自变量?哪些是因变量? (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结 多少个橙子? (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
新知探究
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,பைடு நூலகம்此果园橙子 的总产量
解： S a(60 a) a(30 a) 2
30a a2 a2 30a
是二次函数。
课堂练习
3、如果函数 y xk2 3k2 kx 1是二次函数，则k的值一定是
0或3
4、如果函数 y (k 3)xk23k2 kx 1是二次函数，则k的值
一定是 0
课堂练习
课堂总结
定义中应该注意的几个问题:
北师大版·统编教材九年级数学下册
第一单元·第1课
二次函数

对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y=2x2
y 1 0 8 6
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
4
2
-4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
二、新课讲解
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
y=2x2
y 1 0 8
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大.
二、新课讲解
y=2x2
② 在直角坐标系 中描点
y 1 0 8 6 4 2 -4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
③ 用光滑的曲线 连接各点，便得到
函数y=2x² 的图像
二、新课讲解
y=2x2
y 1 0 8 6
4 2
-4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
二、新课讲解
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
当x=-2时，y=8 当x=-1时，y=2
6 4
当x=1时，y=2 当x=2时，y=8
2
抛物线y=2x2在x轴的上方(除顶 点外),顶点是它的最低点,开口 向上,并且向上无限伸展;当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0.
-4 -3 -2 -1 0 -2
1
2
3
4 x
二、新课讲解
二次函数y=2x² 的图像 是什么形状？ 它与y=x² 的图像 有什么相同和不同？ 它的开口方向，对称轴和 顶点坐标分别是什么
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流. (3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？

方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下 所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开 口方向、对称轴m+1)xm2+m 是二次函数,且其图象开口向
上,求m的值和函数解析式
解: 依题意有:
m+1>0 ① m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
当堂检测
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线 y=-x2. 向下平移1个单位. （2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大 而减小；当x =0 时，函数y有最大值，最大 值y是 1 ，其图象与y轴的交点坐标是 (0,1) ，与x 轴的交点坐标是 (-1,0),(1,0). （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐 标. 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
谢谢~
问题：在抛物线y=2x2+1 ，y=2x2-1的开口方向、顶 点坐标和对称轴各是什么？
9y
y=2x2+1 二次函数 y=2x2+1 y=2x2-1
6
开口方向 向上 向上
3
y=2x2-1
-3 -2 -1 O 1 2 3
顶点坐标 对称轴
（0,1） （0,-1）
y轴
y轴
x
讲授新课
练一练：二次函数y=-2x2+3的图象大致为( C )
当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小.
对于抛物线 y = ax 2 +k（a＜0），开口向下，
对称轴轴为 y轴，顶点坐标为（0，k）， 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大.