而是偏离到远处去 (3)随遇平衡 —— 平面上,刚球在新位置上平衡 理想弹性压杆(材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线) 作用压力P,给一横向干扰力,出现类似现象: (1)稳定平衡 —— 若干扰力撤消,直杆能回到原 有的直线状态 ,图 b 压力P小 类似凹面作用 (2)不稳定平衡 ——若干扰力撤消,直杆不能回 C— 挠曲 C、D— 挠 线拐点 曲线拐点 C— 挠曲线拐点 临界力Pcr 欧拉公式 长度系数μ =1 0.7 =0.5 =2 =1 虽然梁弯曲与柱稳定都用了 但是含义不同,对于梁弯曲: 力学上 —— 载荷直接引起了弯矩 数学上 —— 求解是一个积分运算问题 对于柱屈曲(压杆稳定): 力学上 ——载荷在横向干扰力产生的变形上引起 了弯矩 大柔度 小柔度 发现不安全 — 插进中柔度 拍脑袋确定中柔度最低限 l 0 lP = 0.6 l P 根据中柔度最低限 算出a,b l 0 lP 例 两端铰支杆长L=1.5m,由两根 56568 等边A3角 钢组成,压力P=150kN,求临界压力和安全因数 解:一个角钢: z y 两根角钢组合之后 所以,应由抛物线公式求临界压力 ③微分方程的解 ④确定积分常数 临界力 Pcr 是微弯下的最小压力,故只能取n=1 且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲 两端铰支压杆临界力的欧拉公式 此公式的应用条件: 1.理想压杆 2.线弹性范围内 3.两端为球铰支座 §3.3 压杆两端约束不同的临界力 (Critical Load) 两端约束不同的情况,分析方法与两端铰支的相同 其它支承情况下,压杆临界力为 如何显化它的作用呢?欧拉用13年的功夫,悟 出了一个捕捉它、显化它的巧妙方法 —— 用干扰力产生的初始变形代替它 干扰力使受压杆产生横向变形后,就从柱上撤 走了,但它产生的变形还在,若这种变形: 1、还能保留,即 随遇平衡 或 不稳定平衡 2、不能保留,即 稳定平衡 y y P x y P x x M P P P y x M P 例 导出下述两种细长压杆的临界力公式 解:变形如图,其挠曲线近似微分方程为 P P M0 P x x M0 L M0 P M0 P 边界条件为 为了求最小临界力,“k”应取的最小正值,即 故临界力为 = 0.5 例 求下列细长压杆的临界力 y z h b 解:①绕 y 轴,两端铰支: z L1 L2 =1.0, ②绕 z 轴,左端固定,右端铰支: §2.1 压杆稳定性的概念 构件的承载能力 ①强度 ②刚度 ③稳定性 工程中有些 构件具有足够的 强度、刚度,却 不一定能安全可 靠地工作 P 一、稳定平衡与不稳定平衡 不稳定平衡 稳定平衡 平衡刚性圆球受干扰力,刚球离开原位置; 干扰力撤消: (1)稳定平衡 —— 凹面上,刚球回到原位置 (2)不稳定平衡 —— 凸面上,刚球不回到原位置, 到原有直线状态,图 c 压力P大类似凸面作用 二、压杆失稳与临界压力 1.理想压杆:材料绝对纯,轴线绝对直,压力绝对沿轴线 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡 稳 P 定 平 衡 横向扰动 100P 横向扰动 不 稳 定 平 衡 哪个杆会有 失稳现象? —— 斜撑杆 3.压杆失稳 4.压杆的临界压力 干扰力是随机出现的,大小也不确定 —— 抓不住的、来去无踪 我国建筑业常用: ②s < 时: 对于临界应力的理解 (1)它的实质: 象强度中的比例极限、屈服极限类似,除以 安全因数就是稳定中的应力极限 (2)同作为常数的比例极限、屈服极限不同, 变化的临界应力依赖压杆自身因素而变 对于临界应力总图形成的不同见解 (1)书中思路: 大柔度 中柔度(a,b) 小柔度 (2)我猜想的历史发现过程: 横向干扰力产生2种初始变形,在轴力作用下 要保持平衡,截面有力矩 M ,得到同一方程 为得到压杆变形方程,回忆M与挠曲线的关系 由2式得到压杆变形微分方程 §2.2 两端铰支压杆的临界力 图示横向干扰力产生的初始变形,在轴力作用下 要保持平衡,截面必然有力矩 M ①力矩 ②挠曲线近似微分方程 P P x y M P P x 若向下弯,所得挠曲方程是一样的 即压杆临界力欧拉公式的一般形式 —长度系数(或约束系数) 各种支承条件下等截面细长压杆临界力欧拉公式 支承情况 两端铰支 一端固定 另端铰支 两端固定 一端固定 另端自由 两端固定但可沿 横向相对移动 Pcr Pcr 失 Pcr Pcr l l 0.7l l 0.5l l 2l l 0.5l 稳 时 B B B 挠 D 曲 线 形 C C 状 A A A =0.7, ③压杆的临界力 y x 例 求下列细长压杆的临界力 解:图(a) P P 10 30 z y 图(b) L L 图(a) (4545 6) 等边角钢 图(b) §15.4 临界应力、经验公式、临界应力总图 一.临界应力和柔度 1.临界应力:压杆处于临界状态时横截面上的平均应力 2.细长压杆的临界应力: 3.柔度: 同长度、截面性质、支撑条件有关 二、欧拉公式的适用范围 着眼点 —— 临界应力在线弹性内(小于比例极限) 三、经验公式、临界应力总图 1.直线型经验公式 ①P < <S 时: ②S< 时: ③临界应力总图 ls =s -a b lP = p 2E P 来自百度文库 2.抛物线型经验公式 ①P < < s 时: 第2章 压杆稳定 Column Stability 赠言 惟有道者能备患于未形也。 《管子 ·牧民》 见微知著,睹始知终。 袁康《越绝书 ·越绝德序外传记》 §2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 压杆稳定性的概念 两端铰支细长压杆的临界力 两端约束不同时的临界力 临界力、经验公式、临界力总图 压杆的稳定校核 压杆稳定计算的折减系数法 提高压杆稳定性的措施 数学上 ——是一个求解微分方程的问题 欧拉圆满地处理了干扰力的作用,值得注意的5点: 1、轴向压力和横向干扰力的区别—— 强度、刚度、疲劳等,载荷为外因 压杆稳定中,载荷为内因,横向干扰力为外因 2、横向干扰力不直接显式处理,化为受压柱的初 始变形予以隐式地处理 (干扰力作用后即撤销,用其变形去推导有道理) 3、轴向压力同干扰力产生的横向变形的共同效应, 产生了一个纯轴压时不存在的弯矩,该弯矩决定 了平衡的稳定或不稳定 4、显示了量变引起质变的道理、内因与外因的关系 5、近代科学的混沌、分岔学科的极好的开端