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2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学（四）本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 若集合{012}A =，， ，2{1}B x =， ，则满足A B B =I 的实数x 的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．42． 若复数12i z =+，则1z= A ．12i 55-B ．12i 55+ C ．21i 55- D ．21i 55+ 3．函数()sin f x x x =-的一条对称轴为A ．0x =B ．6x π=C ．3x π=D ．56x π=4． 函数()1(0)31xmf x x =+≠-是奇函数，则实数m 的值是 A ．1 B ．2 C ．1-D ．2-5． 在ABC ∆中，“π2C =”是“sin cos A B =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6． 在ABC ∆中，D 为AB 的中点，E 在CD 上，||2BE CD BE ⊥=u u u r，，则AC BE ⋅=u u u r u u u r A ．4B ．4-C．-D ．8-7． 若执行如图所示的程序框图，则输出的x y ，A ．2y x =B ．12x y +=C ．2(1)y x =+D ．22xy =+1正视图侧视图俯视图8．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，若2112nn na a++=，则63SS=A．7-B．9C．7-或9D．29．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为AB．2πC．4πD．5π10．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，当0x>时，3()()0f x xf x'+>恒成立，若3()()g x x f x=，令12251(log)(log2)(e)ea gb gc g-===，，，则有A．a b c<<B．b a c<<C．b c a<<D．c b a<<11．甲、乙、丙、丁、戊五人要在周一至周五晚上值班，每天晚上安排一人值班，且每人只值班一个晚上．已知乙不值周一、周二、周四；丙不值周二、周三、周四；丁不值周三、周四、周五；戊不值周五，则不同的值班方案种数为A．6B．7C．8D．912．已知ABC∆与111A B C∆的最长边都为3，且ABC∆的三内角的正弦值与111A B C∆的三内角的余弦值相等，那么这样的ABC∆与111A B C∆A．不存在B．只有一对C．只有两对D．无数对二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某公司A，B两个车间共有员工1050名，从该公司的所有员工中随机抽取1名，抽到B车间员工的概率为521．现用分层抽样的方法在该公司抽取84名员工，应在A车间中抽取的员工人数是．14．曲线上某点的法线是指经过这点并且与该点处切线垂直的直线，则曲线e cosxy x=⋅在0x=处的法线方程为．15．若x，y满足约束条件24010x yx yy--⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则464xyz=的最大值为．16．若双曲线2222:1()x yC a ba b-=>>0，0与直线1:1l x y-=和直线2:22l x=都只有一个公共点，则双曲线C的方程是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2019年高三年级第三次诊断性测试理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，，，然后利用数轴可以得出. 【详解】解：因为，所以，，又因为，所以，故选B。
【点睛】本题考查了集合的交集运算，将集合中变量的范围具体解析出来是解题的前提，属于简单题。
2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，求出，然后根据复数模的公式求出。
【详解】解：因为复数满足所以所以，故选A。
【点睛】本题考查了复数的四则运算和复数模的运算，求解复数模的前提是将复数表示为的标准形式，然后根据模的公式求解。
3.若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（）A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 以上都有可能【答案】B【解析】【分析】直线与圆有两个公共点，可得，即为，由此可得点与圆的位置关系。
【详解】解：因为直线与圆有两个公共点，所以有，即，因为点与圆心的距离为，圆的半径为1，所以点在圆外，故选B。
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法有：1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程，根据方程组根的个数进行判断。
4.如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积。
【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥，最大面的表面边长为的等边三角形，故其面积为，故选B。
【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题。
5.函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需把的图像上所有点（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】根据题目中的图象求解出周期，得出的值，再将点代入函数解析式，求出的值，然后根据图象变换规则得出答案。
2019届黑龙江省高三下四模理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 复数（是虚数单位）的虚部是（）A． B．2 C．D．2. 已知集合，，则（）A．_____________________________________ B．______________________________________ C．______________________________________ D．3. 已知幂函数图像的一部分如下图，且过点，则图中阴影部分的面积等于（）A． B． C．D．4. 设向量，且，则锐角为（）A．_____________________________________ B．_____________________________________ C． D．5. 直线与圆（）交于两点，且弦的中点为，则直线的方程是（）A．_________________________________ B．___________________________________ C．_________________________________ D．6. 如图，程序框图输出的结果是（）A．12______________________________________B．132______________________________________C．1320_____________________________________ D．118807. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．___________________________________ B．______________________________ C．____________________________D．8. 下列命题中正确命题的个数是（）（1）设随机变量服从正态分布，若，则；（2）在区间上随机取一个数，则事件“ ”发生的概率为；（3）两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数越接近1；（4），则的最小正周期是 .A．0个 B．1个_____________________________________ C．2个 D．3个9. 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（）A． B． C．D．10. 在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（）A．_____________________________________ B．______________________________________ C． D．11. 如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为（）A． B． C．______________________________________ D．12. 已知函数则关于函数的零点个数的判断正确的是（）A．当时，有3个零点；当时，有2个零点；B．当时，有4个零点；当时，有1个零点；C．无论为何值，均有2个零点；D．无论为何值，均有4个零点.二、填空题13. 命题“存在，使得”的否定是_________.14. 假设要考察某公司生产的 500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋牛奶进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000，001， (799)行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号_________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5025 8392 1206 766301 6378 5916 9556 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439 5238 793321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 0279 5415. 已知变量满足约束条件，则的最大值为_________.16. 在中，内角所对的边长分别为且满足，若，边上中线，则的面积为_________.三、解答题17. 已知数列满足：（） .（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和 .18. 甲、乙两个学校高三年级分别有1100人、1000人，为了解两个学校高三年级全体学生在该地区三模考试的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布表，规定考试成绩在内为优秀. 甲校：乙校：（1）计算的值；（2）由以上统计数据填写下面列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异？（3）若将频率视为概率，从乙校高三学年任取三名学生的三模数学成绩，其中优秀的人数为，求的分布列和期望.参考数据：参考公式：19. 已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点.（1）求证：直线平面；（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.20. 已知抛物线，过焦点作动直线交于两点，过分别作圆的两条切线，切点分别为，若垂直于轴时， .（1）求抛物线方程；（2）若点也在曲线上，为坐标原点，且，，求实数的取值范围.21. 设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为 .（1）求的值；（2）证明：当时，；（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.22. 如图，是的直径，是上的两点，，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点 .求证： .23. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）直线与曲线交于两点.（1）求的长；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.24. 设函数 .（1）当时，解不等式；（2）当时，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第23题【答案】。
2019年高三年级第三次诊断性测试（理科数学答案）一、选择题：每小题5分.1~5 BABBC 6~10 ABDCD 11~12 CC 二、填空题：每小题5分. 13.23π14.3 15.2 16.15,28éö÷ê÷êëø三、解答题：17.（12分）（Ⅰ）由正弦定理得1sin C=Û()sin cos cos sin C B B C C B =+-()()()sin tan B C B C B C Û+=+Û+=∴60B C +=°，∴120A =°； …6分（Ⅱ）1sin 2S bc A ==，∵222222cos 3a b c bc A b c bc bc =+-=++³，即33bc ³∴1bc £，∴1sin 2S bc A ==£…12分 18.（12分）（Ⅰ）如图，取AD 中点G ，联结CG 交BD 于Q ，∴1//CG C E ，联结AF 交BD 于P ， ∵,F G 都是中点，∴AFCG 是平行四边形， ∴//PF CG ，∴//PF 平面1DEC ， 又∵//AF CG ，∴BP PQ QD ==，∴133BP BD ==； …6分（Ⅱ）建立空间直角坐标系，易得二面角1P EC D --的余弦值为13. …12分19. （12分）（Ⅰ）由已知可得100x =，()922221100671496000i i x ==´+++=å ，∴9221996000900006000i i x x =-=-=å，又()91ln 2522i i i x y =×=å，24.022.679v =»，∴25229 2.67100119ˆ0.0260006000b-´´==»， ˆ 2.670.021000.67a =-´=， ∴回归方程为：0.020.67x y e +=； …6分 （Ⅱ）由 3.67ˆ39.25ye =»，而39.25 1.247.147´=>， ∴这一在校男生的体重是正常的. …12分 20.（12分）（Ⅰ）由2b =，e =，得21c =，25a =，∴椭圆的方程为22154x y +=； …5分（Ⅱ）设P 为MN 的中点，由题意得2BF FP =，()0,2B ，()1,0F ，设(),P x y ，则()1,2BF =- ，∴1,12FP æöç÷=-ç÷èø ，即3,12P æöç÷-ç÷èø， 设直线l ：312y k x æöç÷+=-ç÷èø，即312y kx k æöç÷=-+ç÷èø，代入2245200x y +-=得 ()()222354532512002k x k k x k æöç÷+-+++-=ç÷èø， ∴()22253231510151254k k k k k k +=Þ+=++，∴65k =， ∴直线l 的方程为65140x y --=，联立2215465140x y x y ì+=ïíï--=ïî得2721120x x -+=， ∴MN =又d ==，∴11223535BMN S d MN D =××==. …12分21. （12分） （Ⅰ）由()()()()'221111xx x e ax e x fx a x xx --æö-ç÷=+-=ç÷èø，∴()22'2244e e a f -==， ∴0a =； …5分（Ⅱ）由()()()()'210xx eaxfx x x--=>设()()0x g x e ax x =->，则()'x g x e a =-，∴()()01g x g >=， ∴①若01a <£时，()'x g x e a =-，∴()()01g x g >=，∴()f x 在()0,1上递增，在()1,+¥上递减，∴()()min 11f x f e a e ==-³-，显然满足()20f x e +³，②若1a e <£时，()'0ln g x x a =Þ=，∴()()()ln ln 1ln 0g x g a a a a a a ³=-=-³， 同①则()()min 10f x f e a ==-³，也满足()20f x e +³， ③若2e a e <£时，()'0x g x e a =Þ=，∴(]ln 1,2x a =Î，∴()()()min ln 1ln 0g x g a a a ==-<， ∴()g x 在()0,+¥上存在两个零点12,x x ，且()10,1x Î，()21,x Î+¥，()f x 在()0,1和()21,x 上是减函数，在()1,1x 和()2,x +¥上是增函数，∴()f x 在1x 和2x 处取得极小值，由()()()1111111ln ln x e f x a x x a a x x x =+-=+-，又11x e ax =，∴11ln ln x a x =+，即11ln ln x x a -=-，∴()()1ln 1ln f x a a a a a =-=-，同理()()21ln f x a a =-，∴()()min 1ln f x a a =-， 记()()()21ln h a a a e a e =-££，则()()''ln 11ln ln 0h a a a a a a =-=--=-<，∴()()()222min 12h a h e e e ==-=-，∴2e a e ££时，()()221ln 0f x e a a e +³-+³， 综上所述 20a e ££时()20f x e +³成立. …12分 22. （10分）（Ⅰ）sin cos 0x αy α-=，()2221x y -+=； …5分 （Ⅱ）直线参数方程代入圆的方程得()()22cos 2sin 1t αt α-+=，化简得24cos 30t t α-+=，当06πα<<cos 1α<<，2316cos 04αæöç÷D =->ç÷èø成立，∴12124cos OA OB t t t t α+=+=+=，∵06πα<<，∴4OA OB <+<. …10分 23. （10分）（Ⅰ）()32f x x >-+，即123x x +++>，由数轴得()(),30,x Î-¥-+¥∪； …5分 （Ⅱ）∵()[]11,1f x x x x -=+-Î-，要证()f x x -£1£∵2a b +=2a b =+³14ab £，1==³. …10分以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分．。
四省名校2019届高三第三次大联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足i z i =-)1(（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．21-B ．21C ．i 21-D ．i 212．某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为1442cm ，则=d （ ）A ．14cmB ．13cmC ．12cmD ．11cm 3．设集合}2|{},20|{2x x R x N x R x M ≥∈=≤<∈=，则（ ） A ．M x N x ∈∈∀, B ．N x M x ∈∈∀, C ．M x N x ∈∉∃00, D ．N x M x ∉∈∃00,4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的71等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ） A ．35 B ．310 C ．65 D ．6115．对任意实数x ，有6622105)1)((x a x a x a a x x a ++++=-+ ，若2302=-a a ，则（ ）A ．2B ．2-C ．1123 D ．928- 6．双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线截圆0422=-+y y x 为弧长之比是1:2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中a 的取值范围是（ ）A ．]7,6(B ．]7,6[C ．)7,6[D ．)7,6( 8．设215,2ln ,23-===z y x，则（ ）A ．z y x <<B ．x z y <<C ．y x z <<D ．x y z <<9．设函数)0)(3cos(2)(πθθ<<+=x x f ，)('x f 为)(x f 的导函数，若函数)(')()(x f x f x g +=的图象关于原点对称，则=θcos （ ） A ．21-B ．23-C ．21D ．2310．近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S 城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生，按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计，通过整理得如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人.根据上述数据和频率分布直方图，判断下列说法正确的是（ ）参考数据与参考公式：1305.05.7sin ,258.015sin ,732.1300≈≈=.A ．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B ．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C ．样本数据的中位数约为1750元D ．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关11．如图，已知抛物线x y E 4:2=的焦点为F ，准线l 与x 轴交于K 点，过点K 的直线m 与抛物线E 相交于不同两点B A ,，且23||=AF ，连接BF 并延长准线l 于C 点，记ACF ∆与ABC ∆的面积为21,S S ，则=21S S （ ）A ．74 B ．54 C ．32 D ．107 12．设函数e xe xf x()(=为自然常数)，x x x g ln )(-=，有下列命题： ①)(x f 有极小值e f =)1(；②),0(0+∞∈∃x ，使得不等式0002)(')(x x g x f +≤（)('x g 为)(x g 的导函数）成立； ③若关于x 的方程0)(=-t x f 无解，则t 的取值范围为),0[e ；④记)()()(x g x f x F λ-=，若)(x F 在)2,21(∈x 上有三个不同的极值点，则λ的取值范围为)2,(e e . 其中真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤052301y x y x x ，y x z -=2，则z 的最小值为 ．14．设}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若362a a =，则=36S S ． 15．已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）111C B A ABC -各顶点都在同一球面上，且1AA AC AB ==，0120=∠BAC ，若此球的表面积等于π20，则=AB ．16．如图，在ABC ∆中，已知21=，P 为AD 上一点，且满足m 94+=，若ABC ∆的面积为3，3π=∠ACB ，则||的最小值为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数)sin 3(cos cos 2)(x x x x f +=. （1）当]127,24[ππ∈x 时，求)(x f 的值域；（2）在ABC ∆中，若A B BC B f sin 3sin ,3,1)(==-=，求ABC ∆的面积.18．在如图所示的几何体中，⊥EA 平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，BC AD //，BC AD 21=，1=AD ，060=∠ABC ，AC EF //，AC EF 21=.（1）证明：CF AB ⊥；（2）当二面角D EF B --的余弦值为1010时，求线段CF 的长. 19．2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜. （1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为31，男球迷选择德国队的概率为52，记ξ为三人中选择德国队的人数，求ξ的分布列和数学期望.20.如图，在平面直角坐标系中，已知点)0,1(F ，过直线l ：2=x 左侧的动点P 作l PH ⊥于点H ，HPF ∠的角平分线交x 轴于点M ，且||2||MF PH =，记动点P 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）过点F 作直线m 交曲线Γ于B A ,两点，点C 在l 上，且//BC x 轴，试问：直线AC 是否恒过定点？请说明理由.21．设函数))(1(ln )1()(R a x a x x x f ∈--+=.（1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）若0)(≥x f 对任意),0[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当)2,0(πθ∈时，试比较)ln(tan 21θ与)4tan(πθ-的大小，并说明理由. 22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程化为θρsin 6=，点P 的极坐标为)4,2(π，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；（2）过点P 的直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，若||2||PB PA =，求||AB 的值. 23.已知函数|12||2|)(-++=x a x x f ,1256)(--=x x x g . （1）当3=a 时，解不等式6)(≤x f ；（2）若对任意]25,1[1∈x ，都存在R x ∈2，使得)()(21x f x g =成立，求实数a 的取值范围.四省名校2019届高三第三次大联考数学（理）试题答案一、选择题1-5：BCBAB 6-10：CACDD 11、12：CC 二、填空题13．3- 14．3 15．2 16．34三、解答题17．解：（1）)]12(cos 212sin 23[2)(++=x x x f 1)62sin(2++=πx∵]127,24[ππ∈x ，∴]34,4[62πππ∈+x当262ππ=+x ，即6π=x 时，)(x f 取得最大值3；当3462ππ=+x ，即127π=x 时，)(x f 取得最小值31-，故)(x f 的值域为]3,31[-. （2）设ABC ∆中角C B A ,,所对的边分别为c b a ,, ∵,1)(-=B f ∴1)62sin(-=+πB ，∵π<<B 0，即62626ππππ+<+<B ，∴2362ππ=+B ，得π32=B .又∵3=BC ，即3=a ，A B sin 3sin =，即a b 3=，∴3=b 由正弦定理得Bb A a sin sin =，解得21sin =A∵30π<<A ，∴6π=A ，∴6π=C∴433213321sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC .18.解：(1)由题知⊥EA 平面ABCD ，⊂BA 平面ABCD ,∴AE BA ⊥过点A 作BC AH ⊥于H 点，在ABH Rt ∆中，060=∠ABH ，21=BH ，得1=AB ， 在ABC ∆中，360cos 20222=⋅-+=BC AB BC AB AC ∴22BC AC AB =+∴AC AB ⊥且A EA AC = ， ∴⊥AB 平面ACFE 又∵⊂CF 平面ACFE ∴CF AB ⊥.（2）以A 为坐标原点，AE AC AB ,,分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，设)0(>=a a AE ，则)0,0,1(B ，),0,0(a E ，),23,0(a F ，)0,23,21(-D ， ∴),0,1(a -=，),23,1(a -=，),23,21(a -=，),0,21(a = 设),,(z y x =为平面BEF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅023az y x az x ，令a x =得)1,0,(a =，同理可求得平面DEF 的一个法向量)1,0,2(-=a ，1010|14112||||||||,cos |222=+⨯+-==><a a a n m n m ， 化简得015424=+-a a 解得1=a 或21=a ∵二面角D EF B --为锐二面角，经验证21=a 舍去， ∴1=a .作AC FM ⊥于M 点，则M 为AC 中点， ∴2722=+=CM FM CF . 19.解：（1）设恰好有两支球队被人选择为事件A ，由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支，有34种不同选择，每种选择可能性相等，故恰好有两支球队被人选择有2423C C 种不同选择，所以1694)(32423==C C A P . 由题知3,2,1,0=ξ，且256)53(32)0(2=⨯==ξP ，2511258253535232)53(31)1(122=+=⨯⨯⨯+⨯==C P ξ，154758254)53(32535231)2(212=+=+⨯⨯⨯==C P ξ, 754)53(31)3(2=⨯==ξP ∴ξ的分布列为∴151775431542251112560)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 20、（1）设),(y x P ，由题可知||||PF MF =，所以22||||||||==PH MF PH PF ，即22|2|)1(22=-+-x y x ，化简整理得1222=+y x ， 即曲线Γ的方程为1222=+y x . （2）由已知可得直线m 的斜率不为0， ∴可设直线m 的方程为1+=ny x ，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x ny x 消去x得012)2(22=-++ny y n ，0>∆恒成立， 记),(),,(2211y x B y x A ，则),2(2y C ， 则1,21,2211221221+=+-=+-=+ny x n y y n n y y ， ∴直线AC 的斜率为2121--=x y y k ，直线AC 的方程为)2(21212---=-x x y y y y ， 即])2(2[22112121y y x y x x y y y --+---=， 又21)2(22222)1()2(222222122112=++++=-+--=--y n n n ny y n n ny y y y x y ，∴直线AC 的方程为)23(2)212(2121121---=+---=x x y y x x y y y ，∴直线AC 过定点)0,23(N .21.解：（1）当1=a 时，)1(ln )1()(--+=x x x x f ，x x x f 1ln )('+=， 设)0(,1ln )(>+=x x x x g则21)('x x x g -=，当)1,0(∈x 时，)(x g 单调递减，当),1(+∞∈x 时，)(x g 单调递增，01)1()(min >==g x g ，∴0)('>x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增，无单调递减区间.（2）a x g a xx x f -+=-++=1)(11ln )('，由（1）可知)(x g 在区间),1[+∞上单调递增， 则1)1()(=≥g x g ，即)('x f 在区间),1[+∞上单调递增，且a f -=2)1('①当2≤a 时，0)('≥x f ，)(x f 在区间),1[+∞上单调递增，∴0)1()(=≥f x f 满足条件；②当2>a 时，设)1(11ln )(≥-++=x a x x x h ，则22111)('xx x x x h -=-=， ∴)(x h 在区间),1[+∞上单调递增，且02)1(<-=a h ，01)(>+=-a a ee h∴],1[0a e x ∈∃使得0)(0=x h ∴当),1[0x x ∈时，0)(<x h ，)(x f 单调递减，即),1(0x x ∈时，0)1()(=<f x f ，不满足题意. 综合上述，实数a 的取值范围为]2,(-∞.（3）由（2）可知，取2=a ，当1>x 时，0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ，即11ln 21+->x x x ， 当10<<x 时，11>x， ∴112ln 11111ln 21+-<⇔+->x x x xx x ， 又∵1tan 1tan )4tan(+-=-θθπθ， ∴当40πθ<<时，)4tan()ln(tan 21,1tan 0πθθθ-<<<； 当4πθ=时，)4tan()ln(tan 21,1tan πθθθ-==； 当24πθπ<<时，1tan >θ，)4tan()ln(tan 21πθθ->. 22、（1）θρsin 6=，即θρρsin 62=，由θρθρsin ,cos ==y x ，有y y x 622=+，∴曲线C 的直角坐标方程为9)3(22=-+y x ， P 点的直角坐标为)1,1(.（2）设直线l 的倾斜角为)0(πθθ<≤，则直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 1t y t x （t 为参数）， 将其代入y y x 622=+，可得04)sin 2(cos 22=--+t t θθ，记21,t t 为方程的两根，由0>∆，得),0[πθ∈，421-=t t∵||2||PB PA =，∴212t t -=或122t t -=，当212t t -=时，2,2221-==t t 或2,2221=-=t t ∴23||||21=-=t t AB ，当122t t -=时，同理23||=AB ， ∴23||=AB .23.解：（1）当3=a 时，|12||32|)(-++=x x x f ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤-++--<⇔≤621)32(236)(x x x x f 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++≤≤-621322123x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>612)32(21x x x 解得12≤≤-x即不等式解集为}12|{≤≤-x x .（2）∵|1||122||12||2|)(+=+-+≥-++=a x a x x a x x f ， 当且仅当0)12)(2(≤-+x a x 时，取等号，∴)(x f 的值域为)|,1[|+∞+a又1256)(--=x x x g 1223--=x 在区间]25,1[上单调递增， ∴)25()()1(f x g g ≤≤，即)(x g 的值域为]25,1[， 要满足条件，必有)|,1[|]25,1[+∞+⊆a ， ∴1|1|≤+a ，解得02≤≤-a∴a 的取值范围为]0,2[-.。
绝密★启用前四川省绵阳市2019届高三年级第三次诊断性考试数学（理）试题2019年4月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知集合 A={＜31|x x ≤}，N={1,2}，则=N MA. {1}B. {1,2}C. 0D.[1, 2]2.已知i 为虚数单位，复数z 满足i i z =+⋅)1(,则=||z A. 21 B.2 C. 22 D.1 3.中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的已套指数体系。
如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况。
根据该折线图,下列结论中不正确的是A.2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B.这两年的最大仓铋指数都出现在4月份C.2018年全年仓储指数甲均饥明显低于2017年D.2018年各仓储指数的中位数与2017年备月仓储指数中位数差异明显4.已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≥021||0y x y x ,则22y x +的最大值为A.10B.5C.4D.25.将函数)62sin()(π-=x x f 的图像向左平移6π个单位,得到)(x g 的 解析式为A. x x g 2cos )(=B. x x g 2cos )(-=C. x x g 2sin )(=D. )32sin()(π+=x x g 6.已知{n a }是正项等比数列,且5814a a a =, 4a 与62a 的等差中项为18, 则=5aA. 2B. 4C. 8D.167.函数2ln )(x x x f =的大致图象为8.己知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球,若该长方体容器的三个相邻侧面的面枳分别为6, 8, 12,则铁球的直径最大只能为 A. 3 B. 2 C. 5 D.49.己知双曲线E: 12222=-b y ax (a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,以原点O 为圆心,OF1为半径作圆,与双曲线E 相交,若顺次连接这些交点和F1,,F2恰好构成一个正六边形, 则双曲线E 的离心率为 A. 3 B. 2 C. 13+ D.310.在5)21(x x-+的展开式中, 2x 项的系数为 A. -50 B. -30 C. 30 D. 50 11.若+∈R z y x ,,,且 z y x 1243==,N n n n z y x ∈+∈+),1,(,则 n 的值是 A. 2B. 3C. 4D.。
四川省泸县四中高2019届三诊模拟考试数学（理工类）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数()12i i a bi +=+, a R ∈, b R ∈, a b +=A ．3-B ．1-C ．1D ．32．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点()()20P a a a ≠，，则tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．7-B ．17-C ．17D ．7 3.设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为 A ．3 B ．2 C. 1 D ．-14.二项式51()x展开式中的常数项为A ．10B ．-10 C. 5 D ．-55.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，2n an b =且1317b b +=，2468b b +=，则10S = A ．90 B ．100 C ．110 D ．1206.已知0,0a b >>，则点P 在直线by x a =的右下方是是双曲线22221x y a b-=的离心率e 的取值范围为)+∞的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7. 设3log a π=，1()2b π=，8073tan4c π=，则（ ） A ． a c b >> B ．b a c >> C.a b c >> D ．c b a >>8.2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法种数为A. 5040B. 4800C. 3720D. 4920 9.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos bA c=，则该三角形为A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形 10.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，M 是C 上的一点，点M 关于l 的对称点为N ，若90MFN ∠=且12MF =，则p 的值为A ．18B ．12C ．6D ．6或18 11.已知函数()()()sin 0,0,xx f x a R a ωϕωϕππ+=><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则aω可取A ．2πB ．π C.2π D ．4π 12.已知()()22l o g 1,131235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围为DA ．()0,10B ．[]0,10 C. ()0,4 D ．[]0,4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数,x y 满足221y x x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y 的最大值为.14.若双曲线221169x y -=的渐近线与圆()224x y m +-=相切，则m =.15．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，H G F E ,,,分别为棱111111,,,DD D C C B AA 的中点，则GH 与平面EFH 所成角的余弦值为 ． 16．已知函数()24,1{ 1,1x x a x f x lnx x -+<=+≥，若方程()2f x =有两个解，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个考生都必须作答．第22,23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. (本大题满分12分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，且222a cb +=，32a b = （I ）求32a b =的值；（II ）若6b =，求ABC ∆的面积.18.(本大题满分12分)为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标x )、推理(能力指标y )、建模(能力指标z )的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w x y z =++的值评定学生的数学核心素养，若7w >，则数学核心素养为一级；若56w ≤<，则数学核心素养为二级；若34w ≤<，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下：（I ）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（II ）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X a b =-，求随机变量X 的分布列及其数学期望.19.(本大题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCDPB PD ==4PC =，点E 为PA 中点，AC 与BD 交于点O .（Ⅰ）求证：OE ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B PA D --的余弦值.20.(本大题满分12分)已知抛物线2:2(0)C y py p =>的焦点F 为曲线22:1243x y Γ-=的一个焦点，O 为坐标原点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 作x 轴的平行线交抛物线的准线于P ，直线OP 交抛物线于点N .（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若M 、F 、N 三个点满足2MF FN =，求直线MN 的方程.21..(本大题满分12分)已知函数()()2ln 1af x x x a=+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点12,x x 且满足()()124f x f x +>，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数，0a >).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()3f x x x x =--∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最大值m ；（Ⅱ）设a ，b ，c +∈R ，且234a b c m ++=，求证：1113234a b c++≥．四川省泸县四中高2019届三诊模拟考试数学（理工类）试题答案一、选择题1.B2.A3.A4.B5.A6.A7.A8.D9.D 10.C 11.C 12.D二、填空题13.12 14.52± 15.10103 16．(),5-∞三、解答题17.解：（Ⅰ）由222cos 2a c b B ac +-===6B π=，由32a b =及正弦定理可得出：3sin 2sin A B =，所以21sin sin 363A π==，再由32a b =知a b <，所以A为锐角，cos A ==， 所以()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+=⎡⎤⎣⎦（Ⅱ）由6b =及32a b =可得出4a =，所以11sin 46222S ab C ==⨯⨯=.18.（1）由题可知:建模能力一级的学生是9A ；建模能力二级的学生是245710,,,,A A A A A ；建模能力三级的学生是1368,,,A A A A .记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ，则225421016()=45c c P A c +=.(2)由题可知，数学核心素养一级: 123568,,,,,A A A A A A ，数学核心素养不是一级的:47910,,,A A A A ；X 的可能取值为1，2，3，4，5.113211641(1)=4C C P X C C ==；(2)=P X =111131221164724C C C C C C +=；(3)=P X =1111113122121164724C C C C C C C C ++=；1111211111641(4)=8C C C C P X C C +==；111111641(5)24C C P X C C ===.∴随机变量X 的分布列为：∴123424EX =⨯+⨯+⨯452482412+⨯+⨯= 19.解析：（I ）在△PBC 中，有222PB PC BC =+∴PC BC ⊥同理可得：PC CD ⊥ 而BCCD C =，,BC CD ⊂平面ABCD∴PC ⊥平面ABCD在△PAC 中，易知O 、E 分别为AC 、PA 中点，则//OE PC 而PC ⊥平面ABCD ∴OE ⊥平面ABCD ．（II ）由（I ）知：OE ⊥平面ABCD ，故可建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则1,0,0A （），0,1,0B （），(0,1,0)D -，(104)P -，， ∴(2,04)AP =-，，(1,1,0)AB =-，(1,1,0)AD =--设1111(,,)n x y z =、 2222(,,)n x y z =分别为平面PAB 和平面PAD 的一个法向量，则1100n AP n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2200n AP n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴11112400x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，22222400x z x y -+=⎧⎨--=⎩ 不妨设121z z ==，则1(2,2,1)n=，2(2,2,1)n =-∴1212222121cos ,922(2)n n n n n n <>===+-由图易知二面角B PA D --为钝二面角∴二面角的B PA D --的余弦值为19-． 20. 解：（Ⅰ）解由曲线22:1243x y Γ-=，可得2211344x y -=，所以曲线22:11344x y Γ-=是焦点在x 轴上的双曲线，其中2213,44a b ==，故2221c a b =+=， Γ的焦点坐标分别为12(1,0)(1,0)F F -、，因为抛物线的焦点坐标为(,0),(0)2p F p >，由题意知12p=，得2p =，所抛物线的方程为24y x =（Ⅱ）设直线MN 的方程为1ty x =-，联立直线与抛物线的方程得214ty x y x =-⎧⎨=⎩，消去x 得 2440y ty --=，设112(,),(,)M x y N x y ，由根与系数的关系得12124,4y y ty y +==-， 因为2MF FN =，故1122(1,)2(1,)x y x y --=-，得122y y =-，由122yy =-及124y y =-，解得12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩124y y t +=，解得4t =-或4t =故MN 的方程为14y x -=-或14y x =-，化简得440x -=或440x -=另解：如图，由2MF FN =，可设||2,||MF t FN t ==，则||22,||2MS t EF t =-=-，因为FSM NEF ∆∆，所以MF MSFN EF= 解得，32t =，所以||23,||1MF t MS ===，在Rt FSM ∆中， ||1cos tan ||3SM FMS FMS FM ∠==⇒∠=tan FMx k ∠==（k 为直线的斜率），所以直线MN 的方程为1)y x =-，即0y --=，由于对称性知另一条直线的方程为0y +-=.21.解：(1)定义域为{}1x x x a >-≠-且，()()()()()222211'211x a a f x a x x a x x a ⎡⎤+-=+⨯-=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦， 当2a ≥或0a ≤时，()'0f x ≥恒成立，当02a <<时，由()'0f x >得x <x > 于是结合函数定义域的分析可得：当2a ≥时，函数()f x 在定义域()1,-+∞上是增函数；当12a <<时，函数()f x 定义域为()1,-+∞，此时有1-<，于是()f x 在(1,-上是增函数，在(上是减函数，在)+∞上是增函数，当1a =时，函数()f x 定义域为()1,-+∞，于是()f x 在()1,1-上为减函数，在()1,+∞上为增函数， 当01a <<时，函数()f x 定义域为()()1,,a a ---+∞，此时有1a -<-，于是()f x 在(1,-上是增函数，在()a -上是减函数，在(a -上是减函数，在)+∞上是增函数，当0a ≤时，函数()f x 定义域为()()1,,a a ---+∞，于是()f x 在()1,a --上是增函数，在(),a -+∞上是增函数. (2)由(1)知()f x 存在两个极值点时，a 的取值范围是()()0,11,2，由(1)可知，()12122x x x x a a +=⎧⎪⎨⋅=-⎪⎩，()()()()()()()121212121221212122222ln 1ln 1ln 1a x x a a af x f x x x x x x x x a x a x x a x x a +++=+++++=+++⋅++++++()()()222242ln 1ln1221a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤=-+=-++⎣⎦⎣⎦-+-； 不等式()()124f x f x +>化为()22ln 1201a a ⎡⎤-+->⎣⎦-，令()()()10,11,2a t a -=∈，所以()()1,00,1t ∈-，令()()22ln 2g t t t=+-，()()1,00,1t ∈-， 当()1,0t ∈-时，()()22ln 2g t t t =-+-，()ln 0t -<，20t<，所以()0g t <，不合题意；当()0,1t ∈时，()22ln 2g t t t =+-，()()222111'220t g t t t t -⎛⎫=⨯+⨯-=< ⎪⎝⎭， 所以()g t 在()0,1上是减函数，所以()()212ln1201g t g >=+-=，适量题意，即()1,2a ∈. 综上，若()()124f x f x +>，此时正数a 的取值范围是()1,2.22.解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin ρθρθ-=-化成直角坐标方程，)x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P到直线l的距离6d tπ⎛⎫===+⎪⎝⎭，当26t kππ+=，即2,6t k k Zππ=-∈时，maxd==P到直线l的距离的最大值为（2）因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∴,cos2sin40t R a t t∀∈-+>恒成立，()4tϕ+-(其中2tanaϕ=)恒成立，4<，又0a>，解得0a<<故a的取值范围为(0,.23.（1）由()3,023,0 33,3xf x x xx-≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩知()[]3,3f x∈-，即3m=．.（2）：∵()2343,,0a b c a b c++=>，∴()11111112342343234a b ca b c a b c⎛⎫++=++++⎪⎝⎭1232434333324243a b a c b cb ac a c b⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．当且仅当234a b c==，即12a=，13b=，14c=时取等号，即1113234a b c++≥。
