2020年全国高考理科数学模拟试卷及答案解析

【高仿咫卷•理科数学 笫1页（共4页）】2020年普通高等学校招生全国统一考试高仿密卷理科数学注意事项：L 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号 厦写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条影码粘贴在答勉卡上的曲 定位JL 。

2.选择题的作答：每小题选出答案后•用2B 铅爸把答题卡上对应题目的答案 标号涂浜,写在试晦卷、草稿纭和答题卡上的非答题区域均无殁°3,非选释题的作答:用签字名直报答在卷麴卡上对应的答意区域内。

客在试 场卷、草稿纸和答邈卡上的非答邈.区域均无效。

4.选考题的作冬：先把所选题目的期号在笔超卡上指定的位置用2B 铅笔涂耍.至案写在答题卡上 对应的冬题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答麴区域均无效. 5,考试结束后，请将本试四卷和答题于一并上交，一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的61.已知复数2=~<i 为虚数单位八则|片十2| = £ 1 A.ZB.75D.HH IgGr-DV1卜廿二《衣|2炉一9父+4t0},则AD 《C RB>=A. (1,4)B. (y.4)C. (4J + /I^)D. (1,14-710)2 .已知集合A={3 .已知向量:%。

则“E| =㈤"是口一2川=12。

一加”的 A.充分不必要条件 C,充要条件B.必鬟不充分条件 口既不充分也不必要条件4 .我国古代名著仪孙子算经》中有如卜有趣的问题广今有三女，长女五日一归，中女四日一归•少女三日一归.问三女何n 相会之意思是「一家有三个女儿郴已出嫁.大女儿五天回一次娘家9二女儿四天回一 次娘家，小女儿三天回一次娘家,三个女儿从娘冢同一天走后•至少再隔多少天三人可以再次在娘家相 会？：三人再次在娘家相会■则要隔的天数可以为A. 90 天C. 270 天S.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为B. 180天B. 2 020 *2 019 2Q21 '2 020n 2 020I I ------- 276.已知等差数列｛。

a为．y y⎪数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共 150 分，考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 若 z = 2 - bi (b ∈R )为纯虚数,则 b 的值为．2 + iA ．- 1B ．1C ．- 2D ．4 2． 在等差数列 { }中， a + a = 16, a = 1 ，则 a 的值是． n5739A ．15B ．30C ． - 31D ．643．给出下列命题：① 若平面 α 内的直线 l 垂直于平面 β 内的任意直线，则α ⊥ β ； ② 若平面 α 内的任一直线都平行于平面 β ，则 α // β ； ③ 若平面 α 垂直于平面 β ，直线 l 在平面内 α ，则 l ⊥ β ； ④ 若平面 α 平行于平面 β ，直线 l 在平面内 α ，则 l // β ．其中正确命题的个数是．A ．4B ．3C ．2D ．14．已知函数 f ( x ) = ⎛ 1 ⎫ x -1 - 1 ，则 f ( x ) 的反函数 f -1 ( x ) 的图像大致 ⎝ 2 ⎭y y-1ox -1 ox -1 ox -1oxABCD5．定义集合 M 与 N 的运算： M * N = {x x ∈ M 或x ∈ N , 且x ∉ M I N } ，⎪4C ． π - αD ． 3π - α4 B ． α +π则 (M * N ) * M = A ． M I NB ． M Y NC ． MD ． N6．已知 cos(α + π ) = 1 ，其中 α ∈ (0, π ) ，则 sin α 的值为．432A ． 4 - 2B ． 4 + 2C ． 2 2 - 1D ． 2 2 - 166 6 37．已 知 平 面 上 不 同 的 四 点 A 、 B 、 C 、 D ， 若DB ·DC + CD ·DC + DA ·BC = 0 ，则三角形 ABC 一定是．A ．直角或等腰三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形8．直线： x + y + 1 = 0 与直线： x sin α + y cos α - 2 = 0⎛ π < α < π ⎫ 的夹⎝ 4 2 ⎭角为．A ． α - π4 49．设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数，若f (2) > 1, f (3) = a 2 + a + 3，则 a 的取值范围是．a - 3A ． (-∞,-2) Y (0,3)B ． (-2,0) Y (3,+∞)C ． (-∞,-2) Y (0,+∞)D ． (-∞,0) Y (3,+∞)10． 若 log x = log x = log 21a2a系为．(a +1)x > 0 (0 < a < 1) ，则 x 、x 、x 的大小关3 1 2 3A ． x < x < x32 1D ． x < x < x231B ． x < x < x2 13C ． x < x < x1 3211． 点 P 是双曲线 y 2 - x 2 = 1 的上支上一点，F 1、F 2 分别为双曲线9 16的上、下焦点，则∆PF F 的内切圆圆心 M 的坐标一定适合的方程是．1 2A ． y = -3B ． y = 3C ． x 2 + y 2 = 5D ． y = 3x 2 - 212． 一个三棱椎的四个顶点均在直径为 6 的球面上，它的三条侧棱两两垂直，若其中一条⎨ ⎪5 - bx, x > 1.侧棱长是另一条侧棱长的 2 倍，则这三条侧棱长之和的最大值为．A ．3B ． 4 3C ． 2 105D ． 2 21555第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共四小题，每小题4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.⎧2 x , 13 ．设函数 f ( x ) = ⎪a,x < 1,x = 1, 在 x = 1 处连续，则实数 a, b 的值分别⎩为．14．以椭圆 x 2 + y 2 = 1 的右焦点为焦点，左准线为准线的抛物线方程 5 4为．15．如图，路灯距地面 8m ，一个身高 1.6m过路A的人沿穿灯的直路以 84m/min 的速度行走，人影1.6O NC M B长度变化速率是m/min ．16．在直三棱柱 ABC - A B C 中，有下列三个条件：1 1 1① A B ⊥ AC ；② A B ⊥ B C ；③ B C = A C ．11111 11 1以其中的两个为条件，其余一个为结论，可以构成的真命题是（填上所有成立的真命题，用条件的序号表示即可）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = cos x( 3 sin x - cos x), x ∈ R ． (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值；(Ⅱ)试说明该函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换，可以得到y=sin x,x∈R的图像？18．（本小题满分12分）已知数列{a}的首项a=2，且2a=a+1(n∈N*)．n1n+1n(Ⅰ)设b=na，求数列{b}的前n项和T；n n n n(Ⅱ)求使不等式a-a<10-9成立的最小正整数n．(已知n+1nlg2=0.3010)19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮比赛，每人投三次，规定：投中次数多者获胜，投中次数相同则成平局．若甲、乙两人的投篮命中的概率分别为2和1，且两人每次投篮是否命中是相互独立的．32(Ⅰ)求甲、乙成平局的概率；P(Ⅱ)求甲获胜的概率．D C 20．（本小题满分12分）A B如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AB//CD,AB⊥AD,AD=CD=2A B=2，侧面∆APD为等边三角形，且平面APD⊥平面ABCD．(Ⅰ)若M为PC上一动点，当M在何位置时，PC⊥平面MDB，并证明之；(Ⅱ)求直线AB到平面PDC的距离；(Ⅲ)若点G为∆PBC的重心，求二面角G-BD-C的大小．21．（本小题满分12分）y M B 1A 1o A2xB2如图，已知 A 1、A 2 为双曲线 C ： x 2 - y 2 = 1(a > 0, b > 0) a 2b 2的两个顶点，过双曲线上一点 B 1 作 x 轴的垂线，交双 曲线于另一点 B 2，直线 A 1B 1、A 2B 2 相交于点 M ． (Ⅰ)求点 M 的轨迹 E 的方程；(Ⅱ)若 P 、Q 分别为双曲线 C 与曲线 E 上不同于A 1、A 2 的动点，且 A P + A P = m ( A Q + A Q ) ( m ∈ R ,且 m > 1)，1212设直线 A 1P 、A 2P 、A 1Q 、A 2Q 的斜率分别为 k 1、k 2、k 3、k 4， 试问 k 1+k 2+k 3+k 4 是否为定值？说明理由．22．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - bx + 1 ( x ∈ R, a ,b 为实数)有极值，且3x = 1 在处的切线与直线 x - y + 1 = 0 平行．(Ⅰ)求实数 a 的取值范围；(Ⅱ)是否存在实数 a ，使得函数 f ( x ) 的极小值为 1，若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)设 a = 1 ， f ( x ) 的导数为 f '( x ) ，令 g ( x ) = f '( x + 1) - 3, x ∈ (0,+∞) ，2 x求证：g n ( x ) - x n- 1≥ 2 n - 2 (n ∈ N * ) ．x n=3sin2x-………………………………………（2=sin(2x-)-…………………………………………（46)有最大值1．此时函数f(x)的值最大,最大值为数学(理科)参考答案一、选择题：DABCD ADAAD BC二、填空题：13．a=2,b=3；14．y2=12(x+2)；15．21；16．①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．三、解答题：17．(Ⅰ)f(x)=3sin x cos x-cos2x1+cos2x22分）π162分）当2x-π=2kπ+π,(k∈Z)，即x=kπ+π,(k∈Z)时，623sin(2x-π1．……（6分）2(Ⅱ)将y=sin(2x-π)-1的图像依次进行如下变换：62①把函数y=sin(2x-π)-1的图像向上平移1个单位长度，得到622函数y=sin(2x-π6)的图像；…………………………………………（8分）②把得到的函数图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(x-π)6的图像；…………………………………………（10分）③将函数y=sin(x-π)的图像向左平移π个单位长度，就得到66函数y=sin x的图2 ∴ a = ⎪⎝2⎭⎝ 2 ⎭ ⎪ ∴T = 1· ⎪ + 2· ⎪ + 3· ⎪ + Λ + n · ⎪⎝2⎭ ⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭∴ T = 1· ⎪ + 2· ⎪ + Λ + (n - 1) ⎪ 1 n (n + 1) ………+ n · ⎪ + ·T = 4 - (4 + 2n) ⎪ + ⎝ 2 ⎭ - a = ⎪ < 10 -9⎝2⎭C ⨯ ⎪ ⨯ ⨯ C 2 ⨯ ⎪ =⎝3⎭ 3⎝ 2 ⎭像．…………………………………………（12 分）（注：如考生按向量进行变换，或改变变换顺序，只要正确，可给相应分数）18．(Ⅰ)由 2an +1= a + 1得 ann +1 - 1 = 1 2(a - 1) n可知数列{a - 1} 是以 a - 1 = 1 为首项，公比为 1 的等比数列． n 1n⎛ 1 ⎫ n -1+ 1 (n ∈ N * ) . …………………………………………（4分）从而有 b = na = n ·⎛ 1 ⎫n -1+ n ．n nT = b + b +Λ + b n 1 2n n⎛ 1 ⎫ 0 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ n -1 + (1 + 2 + Λ + n) ………①1 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫ n -12 n ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎛ 1 ⎫ n⎝ 2 ⎭ 2 2②n ①⎛1⎫ n- ② 并 整 理 得n(n + 1) ． ………………（8 分）2(Ⅱ) a n +1n⎛ 1 ⎫ n两边取常用对数得： n > 9 ≈ 29.9lg 2∴ 使 不 等 式 成 立 的 最 小 正 整 数30． ………………………………（12 分）19．(Ⅰ) 甲、乙各投中三次的概率：n 为⎛ 2 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎪ ⨯ ⎪ =⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 , …………………………………………（1 分） 27甲、 乙各投中两次的概率：23 3 ⎛ 2 ⎫ 2 1 ⎛ 1 ⎫ 3 1 , …………………………………（ 2 61 ,…………………………（ 3C 1 ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ ⨯ C 1 ⨯ ⎪ = ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 12⎪ ⨯ 1 - ⎪ =2 ,………（ 9C ⨯ ⎪ ⨯ ⨯ ⎢C 0 ⨯ ⎪ + C 1 ⨯ ⎪ ⎥=⎝ 3 ⎭ 3 ⎢ 3 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎥ 9C 1 ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ = ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭分）甲、 乙各投中一次的概率：⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ 333 分）甲、 乙两人均投三次，三次都不中的概率：⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3⎪ ⨯ ⎪ =⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 , …………………………………………（4 216分）∴甲、乙平局的概率是： 1 + 1 + 1 + 1 = 7 ． ……………27 6 12 216 24（6 分）(Ⅱ) 甲投中三球获胜的概率：⎛ 2 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 7 , …………………………………⎝ 3 ⎭ ⎝ 8 ⎭ 27（8 分）甲投中两球获胜的概率：⎛ 2 ⎫ 2 1 ⎡ ⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎤ 2 3 3分）甲投中一球获胜的概率：3⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ 31 , (36)（10 分）甲获胜的概率为： 7 + 2 + 1 = 55 ．………………………27 9 36 108（12 分）20．(Ⅰ) 当 M 在中点时，PC ⊥ 平面 MDB ………………………………（1 分）连结 BM 、DM ，取 AD 的中点 N ，连结 PN 、NB ． ∵ PN ⊥ AD 且面 P AD ⊥ 面 ABCD ， ∴ PN ⊥ 面 ABCD ． 在 Rt ∆PNB 中， PN = 3, NB = 2, ∴ PB = 5,CM =又 BC = 5 ． ∴ BM ⊥ PC……………………………………（3分）又 PD = DC = 2, 又 DM I BM = M ,∴ DM ⊥ PC ，∴ PC ⊥ 面 MDB ． ……………………（4分）(Ⅱ) AB // CD, C D ⊂ 面 PDC ， AB ⊄ 面 PDC ，∴ AB // 面 PDC ．∴AB 到面 PDC 的距离即 A 到面 PDC 的距离． ………………（6 分）Θ CD ⊥ DA, C D ⊥ PN , DA I PN = N , ∴ CD ⊥ 面 PAD ，又 DC ⊂ 面 PDC ，∴面 P AD ⊥ 面 PDC ．作 AE ⊥ PD ，AE 就是 A 到面 PDC 的距离，∴ AE = 3 , 即 AB 到平面 PDC 的距离为 3 ．………………（8 分）(Ⅲ)过 M 作 MF ⊥ BD 于 F ，连结 CF ．Θ PC ⊥ 面 MBD ，∴ ∠MFC 就是二面角 G - BD - C 的平面角． ………………（10分）在 ∆BDC 中， BD = 5, DC = 2, BC = 5,∴ CF = 4 5, 又 CM = 2,5∴ s in ∠MFC = 10 ． CF 4即二面角 G - BD - C 的大小是 arcsin 10 ．4……………（12分）21．(Ⅰ) 设 B ( x , y ) 、 B ( x ,- y ) 且 y ≠ 0 ，由题意 A (-a,0) 、 A (a,0) ，1212则直线 A 1B 1 的方程为： y = x + a ………①y x + a0 0直线 A 2B 2 的方程为： - y = x - a ………②…………（2y x - a0 0分）x , 由①、②可得 ⎪⎪⎨ 0⎩a 2 b 2b 2 x + a x - a x 2 - a 2 a 2 y a 2 y∴O 、P 、Q 三点共线，………………………………yy⎧ a 2 x = ⎪ y = ay ． ⎪ 0 x………………………………（ 4分）a 4 a 2 y 2又点 B ( x , y ) 在双曲线上，所以有 x 2 - x 2 = 1 ，1 0 0 整理得 x2 + y 2 = 1 ，a 2b 2所以点 M 的轨迹 E 的方程为 x 2 + y 2 = 1（ x ≠ 0 且 y ≠ 0 ）．……a 2b 2（6 分）(Ⅱ) k 1+k 2+k 3+k 4 为定值．设 P ( x , y ) ，则 x 2 - a 2 = a 2 y 12 ，1 1 1分）则 k + k = y 1 + y 1 = 2 x 1 y 1 = 2b 2 · x 1 ……③ 1 2 1 1 1 1设 Q ( x , y ) ，则同理可得 k + k = - 2b 2 · x 2 ……④ ………（82 234 2设 O 为原点，则 A P + A P = 2OP , A Q + A Q = 2OQ ．1212Θ A P + A P = m ( A Q + A Q)∴ O P = mOQ1 212（10 分）∴ x 1 = x 2 , 再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 0 yy12∴k 1+k 2+k 3+k 4 为定值 0．………………………………（12 分）另解：由 A P + A P = m ( A Q + A Q ) ，1212得 ( x + a , y ) + ( x - a , y ) = m [( x + a , y ) + ( x - a , y )] 111122 2 2即 ( x , y ) = m ( x , y )∴ x1 = x2 ,112212再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 022．(Ⅰ) ∵ f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - bx + 13xx 10 0 3∴ -a + a 2 + 2a = 4∴ a = - < -2 ,- 3 = x 2 + 1= x +∴ f '( x ) = x 2 + 2ax - b由题意 f '(1) = 1 + 2a - b = 1∴ b = 2a……①………………………………………（2 分）∵ f ( x ) 有极值，∴方程 f '( x ) = x 2 + 2ax - b = 0 有两个不等实根．∴ ∆ = 4a 2 + 4b > 0∴ a 2 + b > 0 ……②由①、②可得， a 2 + 2a > 0∴ a < -2 或a > 0 ．故实数 a 的取值范围是 a ∈ (-∞,-2) Y (0,+∞)…………（4 分）(Ⅱ)存在 a = - 8 ，………………………………………（5 分）3由(Ⅰ)可知 f '( x ) = x 2 + 2ax - b ，令 f '( x ) = 0 ，∴ x = -a + a 2 + 2a , x = -a - a 2 + 2a12(-∞, x )( x , x )1 12x 2( x ,+∞)2f '( x )f ( x )＋ － ＋单调增 极大值 单调减 极小值 单调增（7 分）（8 分）∴ x = x 时， f ( x ) 取极小值， ………………………………………2则 f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - 2ax + 1 = 1, ∴ x = 0 或 x 2 + 3ax - 6a = 0 ， 2 2 2 2 2 2若 x = 0 ，即 - a + a 2 + 2a = 0 ，则 a = 0 （舍） ………………2若 x 2 + 3ax - 6a = 0 ，又 f '( x ) = 0 ，∴ x 2 + 2ax - 2a = 0 ,22222∴ ax - 4a = 0 ,Θ a ≠ 0∴ x = 4 , 2283∴存在实数 a = - 8 ， 使 得 函 数 f ( x ) 的 极 小 值 为31．…………（9 分）(Ⅲ) Θ a = 1 , f '( x ) = x 2 + x - 12 ∴ f '( x + 1) = x 2 + 3x + 1 ,∴ f '( x + 1)1 , x x x∴ g ( x ) = x + ,x ∈ (0,+∞) ．…………………………………（ 10= x + ⎪ - x n - = C x ⎪+ C2 x n -2 ⎪ +Λ + C n -2 x 2 ⎪ + C n -1 x ⎪ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ 2 ⎢⎣ n ⎝ x n -2 ⎭ ⎝ ⎝ x n -2 + x n -2 ⎪⎥ 2 ⎣ x n -2 x n -4⎢1 x分）g n ( x ) - x n -1 ⎛ 1 ⎫ nx n ⎝ x ⎭ 1 x n⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ n -2 ⎛ 1 ⎫ n -1 1 n -1 n n n n= 1 ⎡ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 C 1 x n -2 + ⎪ + C 2 x n -4 + ⎪ + Λ + C n -1 n n ⎫⎤ ⎭⎦≥ 1 ⎡C 1 2 x n -2 · 1 + C 2 2 x n -4 · 1 + Λ + C n -1 2 n n n 1 x n -2 ⎤·x n -2 ⎥ ⎦= C 1 + C 2 + Λ + C n -1 = 2 n - 2n n n∴其中等号成立的条件为 x = 1 ．…………………………………（13 分）∴ g n ( x ) - x n - 1 ≥ 2 n - 2 (n ∈ N * )…………………………（ 14x n分）。

2020年高考理科数学模拟试卷一、选择题1．已知实数a，b满足（a+bi）•（1+i）＝4i，其中i是虚数单位，若z＝a+bi﹣4，则在复平面内，复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|5x2+x﹣4＜0}，B＝，则A∩（∁R B）＝（）A．B．C．D．3．已知实数a，b满足，则（）A．B．log2a＞log2bC．D．sin a＞sin b4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．5．下列函数中，既是奇函数，又在（1，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝x B．C．D．f（x）＝x3﹣6x 6．已知正方形ABCD内接于圆O，点E是AD的中点，点F是BC边上靠近B的四等分点，则往圆O内投掷一点，该点落在△CEF内的概率为（）A．B．C．D．7．伟大的法国数学家笛卡儿（Descartes1596～1650）创立了直角坐标系．他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∠BCD＝60°，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若，则＝（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝4sin x cos x+4sin x﹣2，则下列说法错误的是（）A．函数f（x）的周期为B．函数f（x）的一条对称轴为x＝﹣C．函数f（x）在[﹣，﹣π]上单调递增D．函数f（x）的最小值为﹣49．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．B．C．D．10．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为365，则判断框中可以填（）A．i＞4B．i＞5C．i＞6D．i＞711．过双曲线E：的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与E 的渐近线交于B，C两点，若＝，则双曲线E的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±4x C．y＝±x D．y＝±2x12．已知数列{a n}满足．令T n＝|a n+a n+1+…+a n+5|（n∈N*），则T n的最小值为（）A．20B．15C．25D．30二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）13．二项式的常数项为a，则＝．14．已知点（x，y）满足，则的取值范围为．15．已知A，B两点分别为椭圆的左焦点与上顶点，C为椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为．16．已知∃x0∈R，使得不等式能成立，则实数m的取值范围为．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝a．（1）求A的大小；（2）若a＝，b+c＝3+，求△ABC的面积．18．在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72．（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数，求ξ的分布列及期望．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB＝2AC＝2，∠BAC＝90°，∠BAA1＝120°．（1）求证：AB⊥平面AB1C；（2）若B1C＝AA1，求平面AB1C1与平面BCB1所成二面角的余弦值．20．已知椭圆O：+＝1（a＞b＞0）过点（，﹣），A（x0，y0）（x0y0≠0），其上顶点到直线x+y+3＝0的距离为2，过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M、N，且＝2．（1）证明：|MN|为定值；（2）如图所示，若A，C关于原点对称，B，D关于原点对称，且＝λ，求四边形ABCD面积的最大值．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x，且函数f（x）在x＝1处取到极值．（1）求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数，且函数g（x）有3个极值点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），证明：ln（）＞﹣．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4（2cosθ+sinθ）．现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标系方程和直线l的普通方程；（2）求曲线C关于直线l对称曲线的参数方程．[选修4-5不等式选讲]23．已知定义在R上的函数f（x）＝|x|．（1）求f（x+1）+f（2x﹣4）的最小值M；（2）若a，b＞0且a+2b＝M，求+的最小值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知实数a，b满足（a+bi）•（1+i）＝4i，其中i是虚数单位，若z＝a+bi﹣4，则在复平面内，复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．解：实数a，b满足（a+bi）•（1+i）＝4i，其中i是虚数单位，∴a﹣b+（a+b）i＝4i，可得a﹣b＝0，a+b＝4，解得a＝b＝2．若z＝a+bi﹣4，＝﹣2+2i，则在复平面内，复数z所对应的点（﹣2，2）位于第二象限．故选：B．2．已知集合A＝{x|5x2+x﹣4＜0}，B＝，则A∩（∁R B）＝（）A．B．C．D．【分析】求出集合A，B的补集，再计算即可．解：A＝{x|5x2+x﹣4＜0}＝（﹣1，），B＝，∁R B＝（），则A∩（∁R B）＝[），故选：B．3．已知实数a，b满足，则（）A．B．log2a＞log2bC．D．sin a＞sin b【分析】首先利用指数函数的性质得到a，b的范围，然后逐一考查所给的不等式即可求得最终结果．解：由指数函数的单调性可得：a＞b＞0，则：，sin a与sin b的大小无法确定．故选：B．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体由三部分组成：最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体．利用表面积计算公式即可得出．解：由三视图可知：该几何体由三部分组成：最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体．∴该几何体的表面积＝+2π×1×1+42×6﹣π×12＝（）π+96．故选：D．5．下列函数中，既是奇函数，又在（1，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝x B．C．D．f（x）＝x3﹣6x 【分析】根据题意，逐项判断即可．解：对于A，其在定义域上为增函数，不符合题意，舍去；对于B，其在定义域上为偶函数，不符合题意，舍去；对于C，其是奇函数，又在（1，+∞）上单调递减，符合题意；对于D，f（2）＝﹣4，f（3）＝33﹣18＝9，其在（1，+∞）上不为减函数，不符合题意，舍去．故选：C．6．已知正方形ABCD内接于圆O，点E是AD的中点，点F是BC边上靠近B的四等分点，则往圆O内投掷一点，该点落在△CEF内的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据已知可分别求解圆的面积及△CEF内解：设正方形的边长为4，则正方形的面积为4×4＝16的面积，然后根据几何概率求解公式即可．△CEF的面积为16﹣＝7，因为圆的直径2R＝即R＝2，圆的面积为8π，根据几何概率的公式可得P＝．故选：C．7．伟大的法国数学家笛卡儿（Descartes1596～1650）创立了直角坐标系．他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∠BCD＝60°，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若，则＝（）A．B．C．D．【分析】过B作BM⊥DC于M，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可．解：过B作BM⊥DC于M，故AB＝DM＝2，因为BM＝AD＝，∠BCD＝60°，故CM＝1，则DF＝则＝（+）（+）＝•+•＝××（﹣1）+2×＝故选：A．8．已知函数f（x）＝4sin x cos x+4sin x﹣2，则下列说法错误的是（）A．函数f（x）的周期为B．函数f（x）的一条对称轴为x＝﹣C．函数f（x）在[﹣，﹣π]上单调递增D．函数f（x）的最小值为﹣4【分析】化简函数f（x），根据三角函数的图象和性质，判断即可．解：f（x）＝4sin x cos x+4sin x﹣2＝2＝2＝4（＝4sin（3x﹣），周期为，x＝﹣时，sin（3x﹣）＝﹣1，故A，B成立，最小值为﹣4，成立，故D成立，x∈[﹣，﹣π]时，3x﹣∈[﹣，]＝[﹣4π+，﹣4π+]，f（x）递减，故选：C．9．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．B．C．D．【分析】由排除法求解即可．解：由图象可知，函数的定义域中不含0，故排除D；若，则当x→0时，f（x）→+∞，故排除C；若，则，不符合题意，故排除A；故选：B．10．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为365，则判断框中可以填（）A．i＞4B．i＞5C．i＞6D．i＞7【分析】根据条件进行模拟运算，寻找成立的条件进行判断即可．解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1执行循环体，S＝302.5，i＝2，不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝315，i＝3不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝327.5，i＝4不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝340，i＝5不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝352.5，i＝6不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝365，i＝7此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为365．则判断框内的件为i＞6？，故选：C．11．过双曲线E：的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与E的渐近线交于B，C两点，若＝，则双曲线E的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±4x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】分别表示出直线l和两个渐近线的交点，利用＝，＝3，求得a 和b的关系，可得双曲线E的渐近线方程．解：直线l：y＝﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay＝0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay＝0交于C（，﹣），A（a，0），∵＝，∴＝3∴﹣a＝3（﹣a），∴b＝2a，∴双曲线E的渐近线方程为y＝±2x．故选：D．12．已知数列{a n}满足．令T n＝|a n+a n+1+…+a n+5|（n∈N*），则T n的最小值为（）A．20B．15C．25D．30【分析】本题先设数列{a n}的前n项和为S n，则可计算出S n＝﹣．然后应用公式a n＝即可计算出数列{a n}的通项公式，可发现数列{a n}是一个等差数列．然后应用等差数列的性质化简整理T n＝|a n+a n+1+…+a n+5|，再根据绝对值的特点可得T n的最小值．解：依题意，由，可得：＝．设数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝﹣．当n＝1时，a1＝S1＝﹣＝35．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣﹣[﹣]＝40﹣5n．n＝1也满足上式，故a n＝40﹣5n，n∈N*．很明显数列{a n}是以35为首项，﹣5为公差的等差数列．∴T n＝|a n+a n+1+a n+2+a n+3+a n+4+a n+5|＝|5a n+2+a n+5|＝|5[40﹣5（n+2）]+40﹣5（n+5）|＝|165﹣30n|∴当n＝5或n＝6时，T n取得最小值T5＝T6＝15．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）13．二项式的常数项为a，则＝．【分析】利用二项式定理的通项公式可得a，再利用微积分基本定理及其性质即可得出．解：T k+1＝（2x）6﹣k＝26﹣k，令6﹣＝0，解得k＝4．∴T5＝＝a．∴＝dx＝+dx＝0+＝．故答案为：．14．已知点（x，y）满足，则的取值范围为[﹣2，1]．【分析】首先画出可行域，利用z的几何意义：区域内的点与（﹣1，1）连接直线的斜率，因此求最值即可．解：由已知得到平面区域如图：z＝表示区域内的点与原点连接的直线斜率，由解得A（2，2），由解得B（1，﹣2）当与A（2，2）连接时直线斜率最大为1，与B（1，﹣2）连接时直线斜率最小为﹣2，所以的取值范围为[﹣2，1]；故答案为：[﹣2，1]．15．已知A，B两点分别为椭圆的左焦点与上顶点，C为椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为2（）．【分析】由椭圆的方程可得A，B的坐标，进而求出直线AB的方程，及|AB|的长度，当三角形ABC的面积最大时为过C点的直线与直线AB平行且与椭圆相切时面积最大，设过C的直线方程与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值求出两条平行线的距离的最大值，代入面积公式可得面积的最大值．解：由椭圆方程可得A（﹣2，0），B（0，2）所以直线AB的方程为：x﹣y+2＝0，且：|AB|＝2，由题意可得当过C的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，两条平行线间的距离最大时，三角形ABC的面积最大，设过C点与AB平行的切线方程l为：x﹣y+m＝0，直线l与直线AB的距离为d＝，联立直线l与椭圆的方程可得：，整理可得：3y2﹣2my+m2﹣8＝0，△＝4m2﹣12（m2﹣8）＝0，可得m2＝12，解得m＝，所以当m＝﹣2时d＝＝2+最大，这时S△ABC的最大值为：＝＝2（），故答案为：2（）．16．已知∃x0∈R，使得不等式能成立，则实数m的取值范围为m ＜1或m＞4e．【分析】由题意可得m（x0﹣1）＞e x0（2x0﹣1），分别x0＝1，x0＞1，x0＜1，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，结合能成立思想可得所求范围．解：不等式，即为m（x0﹣1）＞e x0（2x0﹣1），若x0＝1则不等式显然不成立；当x0＞1时，可得m＞，设f（x）＝，f′（x）＝，则f（x）在（1，）时递减，在（，+∞）递增，即有f（x）在x＝处取得最小值4e，由题意可得m＞4e，又当x0＜1时，可得m＜，设f（x）＝，f′（x）＝，则f（x）在（0，1）时递减，在（﹣∞，0）递增，即有f（x）在x＝0处取得最大值1，由题意可得m＜1，综上可得m的范围是m＜1或m＞4e，故答案为：m＜1或m＞4e．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝a．（1）求A的大小；（2）若a＝，b+c＝3+，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得B+C＝2A，然后结合三角形的内角和定理即可求解；（2）由已知结合余弦定理可求bc，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵＝a．∴（b+c）cos A＝a cos B+a cos C，由正弦定理可得sin B cos A+sin C cos A＝sin A cos B+sin A cos C，即sin（B﹣A）＝sin（A﹣C），所以B﹣A＝A﹣C，即B+C＝2A，又因为A+B+C＝π，故A＝，（2）由余弦定理可得，＝＝，∴bc＝2，S△ABC＝＝＝．18．在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72．（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数，求ξ的分布列及期望．【分析】（1）由这12名学生的测试成绩能绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并求出该组数据的中位数．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，分虽求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望E（ξ）．解：（1）绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，如下：该组数据的中位数为：＝86．（2）抽取的12人中，成绩不低于76分的有9人，从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数，则ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝．P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P数学期望E（ξ）＝＝．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB＝2AC＝2，∠BAC＝90°，∠BAA1＝120°．（1）求证：AB⊥平面AB1C；（2）若B1C＝AA1，求平面AB1C1与平面BCB1所成二面角的余弦值．【分析】（1）求出B₁A⊥AB，又AB⊥AC，利用线面垂直的判定定理求出即可；（2）根据题意，以A为原点，以AB，AC，AB₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C1与平面BCB1的法向量，利用夹角公式求出即可．解：（1）在三角形BB₁A中，∠BAA1＝120°，得∠B₁BA＝60°，由AB₁2＝22+12﹣2×1×2×cos60°＝3，所以BB₁2＝AB2+AB₁2，B₁A⊥AB又∠BAC＝90°，AB⊥AC，AC∩AB₁＝A，故AB⊥平面AB1C；（2）根据题意，以A为原点，以AB，AC，AB₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），B₁（0，0，），，，设平面AB1C1的法向量为，由，，得，设平面BCB1的法向量为，由，得，由cos＜＞＝，故平面AB1C1与平面BCB1所成二面角的余弦值20．已知椭圆O：+＝1（a＞b＞0）过点（，﹣），A（x0，y0）（x0y0≠0），其上顶点到直线x+y+3＝0的距离为2，过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M、N，且＝2．（1）证明：|MN|为定值；（2）如图所示，若A，C关于原点对称，B，D关于原点对称，且＝λ，求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）其上顶点（0，b）到直线x+y+3＝0的距离为2，利用点到直线的距离公式可得，根据椭圆O：+＝1（a＞b＞0）过点（，﹣），解得a2．可得椭圆的标准方程为：＝1．设经过点A的直线方程为：y﹣y0＝k（x﹣x0），可得M，N（0，y0﹣kx0）．利用＝2，可得k＝﹣．利用两点之间的距离公式可得|MN|．（2）设∠AOD＝α．由＝λ，可得2|OD|＝3λ．由题意可得：S四边形ABCD＝＝2×|OA|•sinα，即可得出．【解答】（1）证明：其上顶点（0，b）到直线x+y+3＝0的距离为2，∴，解得b＝1．又椭圆O：+＝1（a＞b＞0）过点（，﹣），∴＝1，解得a2＝4．∴椭圆的标准方程为：＝1．点A在椭圆上，∴＝1．设经过点A的直线方程为：y﹣y0＝k（x﹣x0），可得M，N（0，y0﹣kx0）．∵＝2，∴﹣x0＝，即k＝﹣．∴|MN|＝＝＝3为定值．（2）解：设∠AOD＝α．∵＝λ，∴2|OD|＝3λ．由题意可得：S四边形ABCD＝＝2×|OA|•sinα≤3λ|OA|．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x，且函数f（x）在x＝1处取到极值．（1）求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数，且函数g（x）有3个极值点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），证明：ln（）＞﹣．【分析】（1）求出原函数的导函数，由f′（1）＝0求解a值，则曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程可求；（2）求出函数g（x）的解析式，由g′（x）＝0，构造函数h（x）＝2lnx+﹣1，根据零点存在定理，可知函数的一个零点x0∈（1，2），则x0＞m，再根据导数和函数的极值的关系即可证明x＝m是f（x）极大值点，h（）是h（x）的最小值；由g（x）有三个极值点x1＜x2＜x3，得h（）＝2ln+1＜0，得m＜，则m的取值范围为（0，），当0＜m＜时，h（m）＝2lnm＜0，h（1）＝m﹣1＜0，得x2＝m，即x1，x3是函数h（x）的两个零点．构造函数φ（x）＝2xlnx﹣x，求导可得φ（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，把证明ln（）＞﹣转化为证明φ（x3）＞φ（﹣x1）即可．解：（1）f（x）＝alnx﹣x，f′（x）＝，∵函数f（x）在x＝1处取到极值，∴f′（1）＝a﹣1＝0，即a＝1．则f（x）＝lnx﹣x，f（1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣1；（2）g（x）＝（0＜m＜1），函数的定义域为（0，+∞）且x≠1，∴g′（x）＝＝，令h（x）＝2lnx+，∴h′（x）＝，h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；∵h（1）＝m﹣1＜0，h（2）＝2ln2+﹣1＝ln+＞0，∴h（x）在（1，2）内存在零点，设h（x0）＝0，∴x0＞m，当g′（x）＞0时，即0＜x＜m，或x＞x0，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即m＜x＜x0，函数单调递减，∴当x＝m时，函数有极大值，∴当0＜m＜1时，x＝m是f（x）极大值点；h（）是h（x）的最小值；∵g（x）有三个极值点x1＜x2＜x3，∴h（）＝2ln+1＜0，得m＜．∴m的取值范围为（0，），当0＜m＜时，h（m）＝2lnm＜0，h（1）＝m﹣1＜0，∴x2＝m；即x1，x3是函数h（x）的两个零点．∴，消去m得2x1lnx1﹣x1＝2x3lnx3﹣x3；令φ（x）＝2xlnx﹣x，φ′（x）＝2lnx+1，φ′（x）的零点为x＝，且x1＜＜x3．∴φ（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增．要证明ln（）＞﹣，即证x1+x3＞，等价于证明x3＞﹣x1，即φ（x3）＞φ（﹣x1）．∵φ（x1）＝φ（x3），∴即证φ（x1）＞φ（﹣x1）．构造函数F（x）＝φ（x）﹣φ（﹣x），则F（）＝0；∴只要证明在（0，]上F（x）单调递减，函数φ（x）在（0，]单调递减；∵x增大时，﹣x减小，φ（﹣x）增大，﹣φ（﹣x）减小，∴﹣φ（﹣x）在（0，]上是减函数．∴φ（x）﹣φ（﹣x）在（0，]上是减函数．∴当0＜a＜时，x1+x3＞．即ln（）＞﹣．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4（2cosθ+sinθ）．现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标系方程和直线l的普通方程；（2）求曲线C关于直线l对称曲线的参数方程．【分析】（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2，可得曲线C的直角坐标方程；由代入法可得直线l的普通方程；（2）由圆关于直线的对称为半径相等的圆，由点关于直线对称的特点，解方程可得所求曲线的方程．解：（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2，可得曲线C的极坐标方程ρ＝4（2cosθ+sinθ）的直角坐标方程为x2+y2＝8x+4y，即为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20；直线l的参数方程为（t为参数），消去t，可得2x﹣y+4＝0；（2）可设曲线C：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20关于直线l：2x﹣y+4＝0对称曲线为圆（x ﹣a）2+（y﹣b）2＝20，由可得，则曲线C关于直线l对称曲线的直角坐标方程为（x+4）2+（y﹣6）2＝20，其参数方程为（θ为参数）．[选修4-5不等式选讲]23．已知定义在R上的函数f（x）＝|x|．（1）求f（x+1）+f（2x﹣4）的最小值M；（2）若a，b＞0且a+2b＝M，求+的最小值．【分析】（1）先对函数化简，然后结合函数的单调性即可求解函数的最值，（2）结合基本不等式及二次函数的性质可求．解：（1）因为f（x）＝|x|．所以f（x+1）+f（2x﹣4）＝|x+1|+|2x﹣4|，当x≤﹣1时，f（x）＝3﹣3x单调递减，当﹣1＜x＜2时，f（x）＝﹣x+5单调递减，当x≥2时，f（x）＝3x﹣3单调递增，故当x＝2时，函数取得最小值M＝3；（2）若a，b＞0且a+2b＝3，∴即ab，当且仅当a＝2b即a＝，b＝时取等号，则+＝＝＝，令t＝，t，而y＝的开口向上，对存在t＝，在[）上单调递增，结合二次函数的性质可知，当t＝，取得最小值．。

百师联盟2020届高三练习一全国卷 理科数学试卷注言事项：L 答卷祁,君生务必将白己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

Z 冋答远择題时,选出铮小题答案n,Hi®笔把答题R 上对应题口的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮慷干療后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案场在答题卡上。

丐在本 试卷上无效。

3. 羽试给束后,将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间120分钟•满分150分」一、选择题:本题共12小题，毎小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的。

L 集合力={xlZ τ2-x-3≤0},βχ{xl -2<Λ<1}.贝IMrl£ =A. {xl -2 <x < -* 1}B. {x ∖ -1 < 1} G "今}严-y + 2 NO.2-若X.yifli 足约朿条件< 2X +Λ-2^0,则“2戈-3）的授人值为 3x -y— 3≤∏,A.2B. -23.已知 LatIa=-3^i ∣J 2sh ζα~11 的值等丁COSZa + 15.等差数列仏}中,若α3+αj +α∣1+αu = 10,则心-Ya ln 的值是丄 2 B.4 C.56. LL 知圆 C ： J + (>• - 1 )2 =K(r>O),设p ：(JVrV3/2 ；g ： [S] C 上至多有 2 个点到H 线 Λ + y ÷ 3 = O的距离为②则"是Q 的A.充分不必耍条件 R 必耍不充分条件 C.充更条件D.既不充分也不必要条件第】页(宾4页)114D.丄-亠丄D.6A. -4氏-24. ^aJ^C 均为正数,且3“=5—45「,则7. 已知定虑4(-】,0),点B 在圆C ：? + Γ-2x-15=0上运动,C 为圆心,线段AB 的垂直半分 线交SC F 点P,则动点P 的轨迹方程为9. 2 2 > 2 2 2A ∙ v+⅛ = lB. V + y 1 = >C ・ v+Λ1 = lD ∙ v+j V = i4 34 Z 4 4 3已知定义征R 上的函数/ (%)满足：/ ( -X) = /(χ),当0 <知V 七时Ux 1 -χ2) I/ (V I ) - / (A 2) J >0,« - - ⅝^.6 J> -2(I Λ,Γ ^0.玖则 ∕α),∕(E,∕(r)的人小顺庁为 λ.f{a)<f(b}<f(c) B. /(c)<∕(δ)<∕(α) C. ./ (C) </(«)</(/>)a∕(5)<∕(c)<∕(α)斐波那契燻旋线T 也称“黄金缥 旋”，是根据雯波那契数列画治 来的嫖旋曲线，Fl 然界中行在 许多斐波那契摞淀线的1冬1案， 是自然界录完天的经典黄金比 例.作圏规则是在以更波那契数为边的正方形拼成 的氏方形屮匝一个圆心角为90。

理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足： x2  3x  4  0 ，( x  4)( x  1)  0 ， x  4 或x  1 ， A  {x | x  4 或 x  1} ， CU A={x | 1„ x „ 4} ， y  2x  2  2 ， B  {y | y  2} ，可知 (CU A)  B  {x | 2  x „ 4} .故选 D. 2. 【答案】A【解析】 z  1  i  (1  i)(1  2i)  1  3i ，复数 z 的虚部为  3 ，1 2i555故错误；② | z | ( 1)2  ( 3)2  10 ，故错误；③复数 z 对应的555点为 ( 1 ， 3) 为第三象限内的点，故正确；④复数不能比较大小， 55故错误.故选 A.3. 【答案】C【解析】 Sn  2an  4 ，可得当 n  1 时， a1  2a1  4 ， a1  4 ，当n…2时，S n 12 an 14与已知相减可得an an 12，可知数列{ an } 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， a5  4  24  64 .故选 C.4. 【答案】D【解析】可知降落的概率为pA22 A55 A661 3.故选D.5. 【答案】C【解析】函数 f (x)  2 020x  sin 2x 满足 f (x)  2 020x  sin 2x  f (x) ，且 f (x)  2 020  2cos 2x  0 ，可知函数 f (x) 为单调递增的奇函数， f (x2  x)  f (1  t) 0 可以变为 f (x2  x)  f (1  t) f (t  1) ，可知 x2  x t  1 ，t „ x2  x  1 ，x2  x  1  (x  1)2 2 3 3 ，可知实数 t „ 3 ，故实数 t 的取值范围为 (∞，3] .故选 C.44446. 【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为 y   3x ，可得双曲线的方程为x2  y2   ，把点 P(2，3) 代入可得 4  3= ，   1 ，双曲线的 3方程为 x2  y2  1，c2  1  3  4，c  2，F(2，0) ，可得 A(2，2 3) ， 3B(2， 23)，可得SAOB1 224343 .故选 A.7. 【答案】B【解析】 f (x)  sin(x  π )sin x  cos2 x3 (sin x cos π  cos x sin π )sin x  1  cos 2x332 3 sin 2x  1 cos 2x  3  1 ( 3 sin 2x  1 cos 2x)  3444 2224 1 sin(2x  π )  3264把函数 f (x) 的图象向右平移 π 单位，再把横坐标缩小到原来的一 6半，得到函数 g(x) ，可得 g (x)  1 sin(4x  π )  3 ，最小正周期为2642π  π ，故选项 A 错误； x  π ， 4x  π  4  π  π  π ，故选426666 2项 B 正确；最大值为 1  3  5 ，故选项 C 错误；对称中心的方程 244为 (kπ  π ，3)(k  Z) ，故选项 D 错误.故选 B. 4 24 48. 【答案】D【解析】可知 BDC  120°，且 AD  3 ，BD  DC  1 ，在 BDC中，根据余弦定理可得 BC 2  1  1  2 11 cos120° 3， BC  3 ，据正弦定理可得 BC  2r ， sin120°3 32r，r 1 ， O1 为 BDC2的外心，过点 O1 作 O1O  平面 BDC ， O 为三棱锥 A  BCD 的外 接球的球心，过点 O 作 OK  AD ， K 为 AD 的中点，连接 OD 即为外接球的半径 R  12  ( 3 )2  7 ，可得外接球的表面积为22S  4πR2  4π  ( 7 )2  7π .故选 D. 29. 【答案】C【解析】二项式 (x  y)n 的展开式的二项式项的系数和为 64 ，可得 2n  64 ，n  6 ，(2x  3)n  (2x  3)6 ，设 x  1  t ，2x  3  2t  1 ，(2x  3)n  (2x  3)6  (2t  1)6  a 0  a1t  a 2t 2   a 6t 6 ，可得 Tr1  C64 (2t)6414  C64 22t 2  60t 2 ，可知 a2  60 .故选 C. 10.【答案】A【解析】设点 P(x0 ，y0) ，则 x0  y0  6  0 ，则过点 P 向圆 C 作切 线，切点为 A，B ，连接 AB ，则直线 AB 的方程为 xx0  yy0  4 ，可得y0x06，代入可得(xy) x06y40，满足 x y 0 6y  4  0 x 2 3，故过定点为M(2，2).故选A. y2 33311.【答案】B【解析】f (x)  log2 (x2  e|x|) ，定义域为 R ，且满足 f ( x)  f (| x |) ，当 x  0 时，单调递增，而 (5)0.2  1 ， 0  (1)0.3  1 ， b  a ，42cf(log 125)  4f( log25) 4f(log25 4)，而0log25 4 log221， 2( 1 )0.3 21 2，  log 25 4 (1)0.3 ， 2f(log25)  4f(( 1 )0.3 ) 2，故 c a，故 c  a  b .故选 B.12.【答案】D【解析】f (x1)  f (x2 ) x1  x21 x1x2，不妨设 x1x2 ，则f( x1) f (x2 ) 1 x21 x1，整理可得f (x1) 1 x1f (x2 ) 1 x2，设函数 h(x) f (x) 1 xa ln xx1 x在[e2 ，e4 ]上单调递减，可知 h'(x)a(1  ln x2x)1 x2„0，可知 a…1 1  lnx，而函数F ( x)1 1 lnx在[e2，e4 ]单调递增，F (x)maxF (4)11 41 3，可知实数a…1 3.故选D.二、填空题13.【答案】 9 5 5【解析】向量 a b在 a上的投影为| a b|cos (a b)  a|a| (1，5)  (1，2)  9 5 .5514.【答案】 5  2 6【解析】首先作出可行域，把 z  ax  by(a  0，b  0) 变形为 y  a x  z ，根据图象可知当目标函数过点 A 时，取最大值为 1， bb理科数学答案第 1 页（共 4 页） x 2x y 1 0 y40A(3，2)，代入可得3a2b1，则1 a1 b3a a2b 3a  2b  3  2b  3a  2 5  2 2b  3a  5  2 6 ，当且仅当bababb  6 a 取等号，可知最小值为 5  2 6 .故选 C. 215.【答案】 4 3【解析】 cos A  cos B  2 3 sin C ，根据正弦定理 sin B cos A ab3asin Acos B  2 3 sin B sin C ，可知 sin( A  B)  2 3 sin B sin C ，33sin C  2 3 sin B sin C ，sin B  3 ，在 ABC 内，可知 B  π 或3232π ，因为锐角 ABC ，可知 B  π ，利用余弦定理可得 b2  a2  c2 332ac cos B  a2  c2  ac 2ac  ac  ac ，可知 ac „ 16 ，则 ABC 的面积的最大值 1 ac sin B „ 1 16  3  4 3 ，当且仅当 a  c 时，取222等号，故面积的最大值为 4 3 .16.【答案】 4 5【解析】抛物线 C ：y2  2 px( p  0) 的准线方程为 x  2 ，可知抛物线 C 的方程为：y2  8x ，设点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，AB 的中点为 M (x0 ，y0 ) ，则 y12  8x1 ，y22  8x2 两式相减可得 ( y1  y2 )( y1  y2 ) 8(x1 x2 )，y1  y2  x1  x2 8 y1  y2 ，可知    8  (1)  1 2 y0 x0  y0  6  0，解得  x0 y02 4，可得 M(2，4)，则 OA  OB  2OM  2(2，4)  (4，8) ，可得 | OA  OB |  | (4，8) |  42  82  4 5 .三、解答题17.【解析】（1） a1  1，an1  2an  1 ，可得 an1  1  2(an  1) ，{an  1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.--------------- 2 分  an  1  2  2n1  2n ， an  2n  1 .即数列 { an } 的通项公式 an  2n  1 .--------------- 4 分数列 { bn } 的前 n 项的和为 Sn  n2 ，可得 b1  S1  1 ，当 n 2 时， bn  Sn  Sn1  n2  (n  1)2  2n  1 ，故数列 { bn } 的通项公式为 bn  2n  1 .--------------- 6 分（2）可知 cn  bn  an  (2n  1)  (2n  1) (2n  1)  2n  (2n  1) --------------- 7 分设 An  1 2  3 22  5  23   (2n  1)  2 n ， 2 An  1 22  3  23    (2n  3)  2 n  (2n 1)  2 n 1 ， 两式相减可得  An  2  2(22  23   2 n)  (2n  1)  2 n 1 ，可得 An  6  (2n  1)  2n1  2n2 ，--------------- 10 分而数列 {2n 1}的前n项的和为Bn(1 2n 1)  2nn2，所以 Tn  6  (2n  1)  2n1  2n2  n2 .--------------- 12 分 18.【解析】（1）证明： PD  面 ABCD ， PD  BC ，在梯形 ABCD 中，过 B 作 BH  DC 交 DC 于 H ， BH  1 ，BD  DH 2  BH 2  1  1  2 ，BC  2 ，( 2)2  ( 2)2  22 ，即 DB2  BC 2  DC 2 ，即 BC  DB .--------------- 2 分  BC  DB ， PD  BD  D ， BC  平面 PDB ，  BC  平面 EBC 平面 PBC  平面 PDB .--------------- 4 分 （2）连接 PH ， BH  面 PDC ，BPH 为 PB 与面 PDC 所成的角， tan BPH  BH  1 ， BH  1 ， PH  2 ， PH 2 PD2  DH 2  PH 2 ， PD2  1  2 ， PD  1 ，--------------- 6 分以 D 为原点，分别以 DA ， DC 与 PD 为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的E(空0间，2直，角12)坐，标可系知，则PBP(0(1，，01，，1) ，1)A，(A1，B0，(00)，，1B，(01)，1，，0) ，C (0，2，0) ，设平面PAB 可知 PB  a AB  a 设平面 PEB的法向量为 a  (x，y，z) ， 0 0  xy y z 00，可取 a(1，0，1)，-----------的法向量为 b(x，y ，z ) ，BE(1，1，1)，8分2可知 PB BE  b b 0 0 x x y y z 1 2 z0 0 ，可取 b(3，1，4)，-----10分可知两向量的夹角的余弦值为 cos  a  b  1 3  0 11 4| a || b | 1 1 32 1  42 7 13 ，可知两平面所成的角为钝角，可知两平面所成角的余弦 26值为  7 13 .--------------- 12 分 2619.【解析】（1）完成 2  2 列联表， 满意 不满意总计男生302555女生50合计80156540120 ----------- 4 分根据列联表中的数据，得到 K 2  120  (30 15  25  50)2 55 65 80  40 960  6.713  6.635 ，所以有 99% 的把握认为对“线上教育是否 143满意与性别有关”.--------------- 6 分（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，   0，1，2，3 .P(0)C53 C835 ，P( 28 1)C52C31 C8315 28，P(2)C51C32 C8315 ，P( 563)C33 C831 56.---------------8分可得分布列为0123P515152828561------------ 10 分56可得 E( )  0  5  1 15  2  15  3 1  9 .--------------- 12 分 28 28 56 56 820.【解析】（1）x2  4 y ，焦点 F (0 ， 1) ，代入得 b 1，e  c  2 ， a2a2  b2  c2 ，解得 a2  2，b2  1 ， x2  y2  1 ，-------------- 2 分 2 直线的斜率为 1，且经过 (1，0) ，则直线方程为 y  x 1 ，联立   x2 2y2 1，解得y  x 1，x y 0 1或 x y 4 3 1 3， ，C(0，1) ，D( 4 ，1) ，--------------- 4 分 33理科数学答案第 2 页（共 4 页）| CD |  4 2 ，又原点 O 到直线 y  x 1 的距离 d 为 2 ，32 SCOD1 2| CD|d1 242 32  2 .--------------- 6 分 23（2）根据题意可知直线 m 的斜率存在，可设直线 m 的方程为： y  kx  t，ykxt，联立  x2  2y2 1，(2k 2 1)x24ktx2t 220，可得   (4kt)2  4(2k 2  1)(2t 2  2)  0 ，整理可得 t 2  2k 2  1 ，可知 F2 (1，0) ， A(1，k  t)，B(2，2k  t) ，--------------- 8 分则 | AF2 |  (1 1)2  (k  t  0)2 k 2  2kt  t2| BF2 | (2 1)2  (2k  t  0)2 1  (4k 2  4kt  t2) k 2  2kt  t2  2 为定值.--------------- 12 分 2k 2  4kt  2t 2 221.【解析】（1）函数 f (x) 的定义域为 (0， ∞) ，f (x)  x  a  1  x2  ax  1 ，设 h(x)  x2  ax  1 ，xx函数 h(x) 在 (1，3) 内有且只有一个零点，满足 h(1)  h(3)  0 ，可得 (1  a  1)(9  3a  1)  0 ，解得 2  a  10 ， 3故实数 a 的取值范围为 (2，10) .--------------- 4 分3（2） 2 f (x)  2x  2 „ (a 1)x2 ，可以变形为 2ln x  2x  2 „a(x22x)，因为x0，可得a…2ln x x2 2x   2x2，--------------6分设g(x)2ln x  2x  x2  2x2，g' ( x)2(x  1)(2ln x (x2  2x)2x).设 h(x)  2 ln x  x ，h(x) 在 (0， ∞) 单调递增，h(1 )  2ln 2  1  0 ， h(1)  1  0 .22故存在一点 x0  (0.5，1) ，使得 h(x0 )  0 ，--------------- 8 分当 0  x  x0 时， h(x)  0，g'(x)  0 ，函数 g(x) 单调递增；当 x  x0 时， h(x)  0，g'(x)  0 ，函数 g(x) 的最大值为 g(x0) ，且 2 ln x0  x0  0 ，--------------- 10 分g (x)max g(x0) 2ln x0  2x0  2  x02  2x01 x0，可知 a 1 x0，又1 x0 (1，2) ，可得整数 a 的最小值为 2.--------------- 12 分22.【解析】（1）由题可知：2 2   2 cos2   6 ， 2(x2  y2 )  x2  6 ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2  x2  1 ， 32直线 l 的普通方程为 3x  4 y  4  3a  0 ，--------------- 3 分两方程联立可得 33x2  6  (4  3a)x  (4  3a)2  48  0 ，可知   [6  (4  3a)]2  4  33  [(4  3a)2  48]  0 ，解得 a  66  4 或 a   66  4 .--------------- 6 分33（2）曲线 C 的方程y2x21，可设x 2 cos ，32 y  3 sin则 2x  3y  2 2 cos  3 3 sin  (2 2)2  (3 3)2 sin(  ) ，其中 tan  2 6 ，可知最大值为 9(2 2)2  (3 3)2  35 .--------------- 10 分 23.【解析】（1）当 a  1 时， f (x)  | 3x  6 |  | x  1 |  x 10 ，当 x  1时， (3x  6)  (x  1)  x 10 ，解得 x „ 1 ， 可得 x  1；--------------- 2 分 当 1„ x „ 2 时， (3x  6)  (x  1)  x 10 ，解得 x „ 1 ， 可得 x  1； 当 x  2 时， (3x  6)  (x 1)  x 10 ，解得 x 5 ， 综上可得 {x | x 5或x „ 1} .--------------- 4 分 （2）由 f (x)  0 可知， f (x)  | 3x  6 |  | x 1| ax  0 ， | 3x  6 |  | x 1|  ax ，设 g(x)  | 3x  6 |  | x 1| ， h(x)  ax ， 同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，--------------- 6 分 4x  5，x  1， g(x)  2x  7，1„ x „ 2，可得 A(2，3) ， 4x  5，x  2， 当函数 h(x) 与函数 g (x) 的图象有两个交点时，方程 f (x)  0 有两 个不同的实数根，--------------- 8 分由函数图象可知，当 3  a  4 时，有两个不同的解，故实数 a 的 2取值范围为 ( 3 ，4) .--------------- 10 分 2理科数学答案第 3 页（共 4 页）理科数学答案第 4 页（共 4 页）。